广东省执信中学2012-2013学年高二上学期期中数学试题

MN2012-2013学年度第一学期高二级数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}{}Z k k x x N x x M ∈+==≤<=,12,30， 则图中阴影部分表示的集合是A ． φB ．{}1C ． {}3,1D ．{}3,1,02. “0=x ”是“0=xy ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ． 既不充分也不必要条件3. 下列对一组数据的分析，不正确的说法是 A 数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C. 数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定Ks5u4. 已知向量),,2(t a = 满足5=a，则实数t 值是A ．1-或1B . 1- C. 33或- D . 21-或215.命题:p x y =在R 上是增函数;命题:q 若x x f 2log )(=,则有: )()()(y f x f y x f +=⋅ A.真q p ∧ B. 假p ⌝ C. 真q ⌝ D. 真q p ∨ 6.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图 (或称主视图)是一个底边长为8、高为3的等腰三角形， 侧视图(或称左视图)是一个底边长为4、高为3的等腰 三角形．则该儿何体的侧面积为A. 13820+B.13410+C. 36D. 607. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S =A. 1631B. 87C. 3231D. 16158. 当42<<x ，则 22,log ,2x x x 的大小关系是 A ．xx x 2log 22>> B ． 22log 2x x x>> C. x x x 22log 2>> D ． x x x 22log 2>>9. 已知点()1,0A ，直线l ：24y x =-， 点R 是直线l 上的一点，若RA AP =，则 点P 的轨迹方程为A ．2y x =-B ．2y x =C ．28y x =-D ．24y x =+10.若对任意实数x ,022sin 2cos 2<--+k x k x 恒成立,则实数k 的取值范围是 A. 2121+<<-k B. 21->k C. 121≤<-k D.1->k第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 把答案填在答卷的相应位置．11．已知椭圆1162522=+y x ，则椭圆的焦点坐标是 ＊ 12.数列{}n a 是等差数列，27=a ，则前13项和=13S _*____13.设y x , 满足约束条件,0,00132013⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-y x y x y x 若目标函数()0,0>>+=b a by ax z的最大值为1,则正数b a ,满足的关系是___*_____,ba 21+的最小值是__*___14.定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 满足：)()2(x f x f -=+，且在[]0,2-上 是增函数，下面是关于)(x f 的判断：（1）)(x f 是周期函数； （2）)(x f 在[]2,0上是增函数； （3）)(x f 在[]4,2上是减函数； （4）)(x f 的图象关于直线2=x 对称. 则正确的命题序号是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）ABC ∆的面积是,4角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,53cos ,2==A b (1) 求212cos 2cos2++A A 的值； (2) 分别求a c ,的值.16．（本题满分12分）甲、乙、丙、丁四名广交会志愿者分在同一组.广交会期间，该组每天提供上午或下午共两个时间段的服务，每个时间段需且仅需一名志愿者.（1）如果每位志愿者每天仅提供一个时间段的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率； （2）如果每位志愿者每天可以提供上午或下午的服务，求甲、乙两人在同一天服务的概率.17.（本题满分14分）如图所示,四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是菱形，60B =∠AD ，E 为PC 的中点，（1）求证：PA ∥平面BDE ；（2）求证：AD PB ⊥； （3）(文科)求三棱锥PDB C -的体积. (3)(理科) 求直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值.18. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足()*2121N n a S n n ∈-=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n a n c ⋅=,求数列{}n c 的前n 项和n T ,并证明43<n T .19． （本题满分14分）已知圆:C ()()42122=-++y x（1）若直线l :)2(-=x k y 与圆C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围； （2）（文科）若过)0,2(的直线m 被圆C 截得的弦长为14，求直线m 的方程； （2）（理科）若斜率为1的直线m 被圆C 截得的弦AB 满足OB OA ⊥（O 是坐标PABCD E原点），求直线m 的方程.20．（本题满分14分）已知函数12)(2-+-=a x ax x f ，R a ∈（1）若函数)(x f 满足)1()1(x f x f +=-，求实数a 的值；（2）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上总是单调函数，求实数a 的取值范围； （3）若函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点，求实数a 的取值范围.2012-2013学年度第一学期高二级数学科期中试题答案一、选择题：CABA D AD C BB二、填空题：11. )0,3(),0,3(-; 12. 26 13. 12=+b a ；8 14.（1），（4） 三、解答题 15．（本题满分12分） 15.解：（1）211cos 22cos 1212cos 2cos 22+-++=++A A A A 2c o s c o s 22A A += ……3分 505153212592=⋅+⋅= ……………… 6分 （2）,2,4sin 21===b A bc S ABC ∆中，54cos 1sin 2=-=A A ……… 8分代入解得5=c …… 9分Ks5u 由余弦定理得： 1753522254cos 222=⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b a ………11分 17=∴a ………12分16．（本题满分12分）16.解（Ⅰ）从四个人中选出2个人去上午或下午服务（仅一段）是一个基本事件，……………1分， 基本事件总数有：（画树状图（或列举法））（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）共12种情况，每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………3分，其中甲乙在同一天服务有2种情况（乙、甲），（甲、乙），……………………4分， 所以甲.乙两人在同一天服务的概率611221==P ……………………6分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）（Ⅱ）从四个人中选出2个人(可以重复选同一个人)去上午或下午服务（一段或两段）是一个基本事件,…………1分，画树状图（或列举法）（甲、甲），（甲、乙），（甲、丙），（甲，丁），（乙、甲），（乙，乙），（乙、丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），（丁，丁）共16种情况每种情况的发生都是等可能的，符合古典概型的条件……………………9分. “其中甲乙在同一天服务”有2种情况（甲、乙），（乙、甲），……………………10分. 所以甲.乙两人在同一天服务的概率811622==P ……………………12分. （未画树状图或列举的酌情扣1~2分，没有任何过程仅有答案者只记2分）17(本题满分14分) 证明（1）连接AC 交BD 于为O ，连接EO ，∵ E 为PC 的中点，O 为AC 的中点，在△PAC 中，PA ∥EO BDE EO 平面⊂ ，BDE PA 平面⊄，PA ∥平面BDE, ……………5分Ks5u （2）则F 为AD 的中点, 连接,PF BF . PD PA = ,AD PF ⊥∴. ……………6分ABCD 是菱形，︒=∠60BAD ,ABD ∆是等边三角形..AD BF ⊥∴ ………7分 ,F BF PF = ………8分⊥∴AD 平面PBF ………9分.⊂PB 平面PBF ,AD ⊥∴PB .……………10分 （3）(文科） ABD ∆为正三角形,PF 是三棱锥BDC P -的体高, PF S V V V BDC PDB C BDC P PDB C ⋅=∴=∆---31,∴=⨯⨯⨯=∆,360sin 2221BDC S 13331=⋅⋅=-PDB C V ……………14分（3）（理科）ABD ∆为正三角形, .ABCD PC PCF CF,所成的角与平面是直线则连接∠7cos120212-41CF .120CDF 1CF 2CD CDF =⋅⋅⋅+==∠==∆ 由余弦定理，，中，在72173tan .3PF PFC Rt ===∠=∆CF PF PCF 中，在……………………………14分18．（本题满分14分） （1）当1=n 时，31,21211111=-==a a S a ．…………3分 当2≥n 时，n n n n n n n a a a a S S a 2121)2121()2121(111-=---=-=---，………5分即131-=n n a a ,…………6分 又,0311≠=a 所以数列{}n a 是首项为,31公比为31的等比数列, …………8分n n n a 3131311=⋅=∴-)(*N n ∈．…………9分（2）由（1）可知nn n c 31⋅=， 所以n n n n n T 3131)1(313312311132⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ． ① ①⨯3得122103131)1(3133123113--⋅+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ． ②………11分 ②-①得：122103131311311313112--+⋅++⨯+⨯+⋅-⨯=n n n n n T …………12分3113113131121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-=-n n n n T 13212131-⋅-+-=n n n …………13分 ．43343243<⋅+-=n n n T …………14分 19.（本题满分14分）,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥面面面面面,,.PAD ABCD PAD ABCD AD PF AD PF ABCD ⊥⋂=⊥∴⊥面面面面面（1）直线与圆C 有公共点，所以圆心到直线的距离（r=2），Ks5u ……2分 1223212222+≤+⇔≤+---=∴k k k k k d ………………5分两边平方，整理得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈∴≤+0,512.01252k k k ………………7分（2）（文科）设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程为y=k(x-2),即kx-y-2=0，………………8分由222d r l -=，221234214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=k k ………………9分两边平方，整理得：0724172=++k k ………………10分解得,1-=k 或,177-=k 均在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,512上，………………12分 直线方程为：)2(1-⋅-=x y 或),2(177-⋅-=x y 即：,02=-+y x 或014177=-+y x …………14分 (2)（理科）存在，253±+=x y 解法1：设直线l 的方程：m x y +=，设(),,11y x A ()22,y x B ………………8分则02121=+⇔⊥⇔⊥y y x x OB OA ，因为()2212121m x x m x x y y +++= ⇔=+∴02121y y x x ()221212m x x m x x +++①………………10分把m x y +=代入()()42122=-++y x 整理得()01422222=+-+--m m x m x()()016,014822222<+->+---=∆m m m m m 即223223+<<-⇔m （*）,121m x x -=+,214221+-=m m x x ………………12分将上式代入①得,0)1(1422=+-++-m m m m m 即,0132=+-m m 得253±=m 满足（*） ………………13分所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 解法2：设直线l 的方程：m x y +=，………………8分设AB 的中点为D ，则,AB CD ⊥又DA AB OD OB OA ==∴⊥21,，………………9分则CD 的方程是()112+-=-x y ，即1+-=x y ，………………10分联立m x y +=与1+-=x y 得)21,21(mm D +-………………11分 圆心)2,1(-到直线m x y +=的距离223223223+<<-⇔<+-=m m d2222342121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m m m ………………12分 整理得,0132=+-m m 得253±=m ，满足2=≤r d ………………13分 所以存在直线，方程是，253±+=x y ………………14分 20. （本题满分14分）(1) )1()1(x f x f +=-知函数12)(2-+-=a x ax x f 关于直线1=x 对称…Ks5u …………1分.1,11,0==≠∴a aa ……………………2分 （2）①,0=a 12)(--=x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………3分②⎪⎩⎪⎨⎧≤>2110a a 即2≥a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递增……………………4分 ③⎪⎩⎪⎨⎧≥>210aa 即210≤<a 时，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………5分 ④,0<a )(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减……………………6分综上所述，21≤a 或2≥a ，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上是单调函数…………………7分 （3）解法1：当0a =时，函数12)(--=x x f 的零点是∉-21⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上没有零点 当0≠a 时，…………………8分 ①若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个相等的实根，则,0)1(44=--=∆a a 且2121≤≤a 即221≤≤a 当,0)1(44=--=∆a a 则∈+=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，∉-=251a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，251+=∴a ………9分 ②若)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,21上有一个实根，则0)2()21(<f f ，即()()045585<--a a 得581<<a …………………10分③若)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有两个的不同实根，则有 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-=≥-=≤≤>++-=∆>055)2(0485)21(21210)1(402a f a f a a a a 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤-=≤-=≤≤>++-=∆<055)2(0485)21(21210)1(402a f a f aa a a 解得21558+≤≤a 或空集…………12分 综上2151+≤<a ，检验,1,0)2(==a f x x x f 2)(2-=的零点是0，2，其中2⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21，符合； 综上所述2151+≤≤a …………………14分解法2当0a ≠时，函数12)(2-+-=a x ax x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有零点⇔()x x a 2112+=+在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解⇔2121x x a ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上有解，问题转化为求函数2121x x y ++=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的值域……8分 设[]5,221∈+=x t ，21-=t x ，则 25425421122-+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=t t t t t t t y ……9分 设tt t g 5)(+=，可以证明当())(,5,2t g t ∈递减，())(,5,5t g t ∈递增事实上，设,5021<<<t t 则()()()212121*********)(t t t t t t t t t t t g t g --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-，所以()g t 在5,2上单调递减．同理得 ()g t 在(5,5上单调递增，……11分又5.4)2(6)5(=>=g g 故∴≤≤),5()()5(g t g g ∴≤≤,6)(52t g ,42)(2520≤-≤-<t g ……12分,25242)(41-≤-≤∴t g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈∴+≤-≤∴215,1,2152)(41y t g ． 13分故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+215,1．……14分。