简单回归与相关
第十三章简单回归和相关分析研究两个变量之间的关系
= 9.80 （亿元）
相关系数的计算
r r2
nXY XY
=
nX2 X2 nY2 Y2
=0.8257
相关系数对样本相关关系的计量
｜ r ｜值
1 0.8 ～ 1 0.5 ～ 0.8 0.3 ～ 0.5 0 ～ 0.3
利润额（亿元）
140 120 100 80 60 40 20
0 0
50
100
150
200
250
300
销售额（亿元）
销售额为 200 亿元时利润额的平均值 Yc = － 1.43 + 0.49 × 200 = 96.57 （ 亿 元 ）
估计标准误 68634 －（－ 1.43 ）× 788 － 0.49 × 140653
– 线性相关回归 – 非 线性相关回归
按 两变量变动的方向可分
– 正相关回归 – 负相关回归
分析统计关系的定量方法
分析统计 关系的 方法
回归分析 相关分析 其他方法
1996 年 12 个沿海省、直辖市、自治区 大型零售、批发贸易业企业利润额与销售额
单位：亿元
省、市、区
销售总额
利润总额
北京
147
y66 2.15 0.22 66 15.35
1
66 71.62
Syi 3.18 10 1 5636810 71.62 4.0071
Yi 的置信区间为
15.35 t84.0071 15.35 2.3064.0071
(6.11 24.54)
请解释结果：
为什么 Yi 的置信区间比 yx的
简要说明相关分析与回归分析的区别
相关分析与回归分析的区别和联系
一、回归分析和相关分析主要区别是：
1、在回归分析中,y被称为因变量,处在被解释的特殊地位,而在相关分析中,x与y处于平等的地位,即研究x与y的密切程度和研究y与x的密切程度是一致的；
2、相关分析中,x与y都是随机变量,而在回归分析中,y是随机变量,x 可以是随机变量,也可以是非随机的,通常在回归模型中,总是假定x是非随机的；
3、相关分析的研究主要是两个变量之间的密切程度,而回归分析不仅可以揭示x对y的影响大小,还可以由回归方程进行数量上的预测和控制.
二、回归分析与相关分析的联系：
1、回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
2、在专业上研究上：
有一定联系的两个变量之间是否存在直线关系以及如何求得直线回归方程等问题,需进行直线相关分析和回归分析。
3、从研究的目的来说：
若仅仅为了了解两变量之间呈直线关系的密切程度和方向,宜选用线性相关分析；若仅仅为了建立由自变量推算因变量的直线回归方程,宜选用直线回归分析.
三、扩展资料：
1、相关分析是研究两个或两个以上处于同等地位的随机变量间的相关关系的统计分析方法。
例如，人的身高和体重之间；空气中的相对湿度与降雨量之间的相关关系都是相关分析研究的问题。
2、回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛。
回归分析按照涉及的变量的多少，分为一元回归和多元回归分析；按照因变量的多少，可分为简单回归分析和多重回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
相关和回归
1．意义：相关反映两变量的相互关种双向变化的关系。回归是反映两个变量的依存关系，一个变量的改变会引起另一个变量的变化，是一种单向的关系。
2．应用：研究两个变量的相互关系用相关分析。研究两个变量的依存关系用回归分析。
3．研究性质：相关是对两个变量之间的关系进行描述，看两个变量是否有关，关系是否密切，关系的性质是什么，是正相关还是负相关。回归是对两个变量做定量描述，研究两个变量的数量关系，已知一个变量值可以预测出另一个变量值，可以得到定量结果。
4．相关系数r与回归系数b：r与b的绝对值反映的意义不同。r的绝对值越大，散点图中的点越趋向于一条直线，表明两变量的关系越密切，相关程度越高。b的绝对值越大，回归直线越陡，说明当X变化一个单位时，Y的平均变化就越大。反之也是一样。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析回归分析是通过建立一个数学模型来研究自变量对因变量的影响程度。
回归分析的基本思想是假设自变量和因变量之间存在一种函数关系，通过拟合数据来确定函数的参数。
回归分析可以分为线性回归和非线性回归两种。
线性回归是指自变量和因变量之间存在线性关系，非线性回归是指自变量和因变量之间存在非线性关系。
回归分析可用于预测、解释和控制因变量。
回归分析的应用非常广泛。
例如，在经济学中，回归分析可以用于研究收入与消费之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用于研究生活方式与健康之间的关系。
回归分析的步骤包括确定自变量和因变量、选择合适的回归模型、拟合数据、检验模型的显著性和解释模型。
相关分析是一种用来衡量变量之间相关性的方法。
相关分析通过计算相关系数来度量变量之间的关系的强度和方向。
常用的相关系数有Pearson相关系数、Spearman相关系数和判定系数。
Pearson相关系数适用于连续变量，Spearman相关系数适用于顺序变量，判定系数用于解释变量之间的关系。
相关分析通常用于确定两个变量之间是否相关，以及它们之间的相关性强度和方向。
相关分析的应用也非常广泛。
例如，在市场研究中，相关分析可以用于研究产品价格与销量之间的关系；在心理学研究中，相关分析可以用于研究学习成绩与学习时间之间的关系。
相关分析的步骤包括确定变量、计算相关系数、检验相关系数的显著性和解释相关系数。
回归分析与相关分析的主要区别在于它们研究的对象不同。
回归分析研究自变量与因变量之间的关系，关注的是因变量的预测和解释；相关分析研究变量之间的关系，关注的是变量之间的相关性。
此外，回归分析通常是为了解释因变量的变化，而相关分析通常是为了量化变量之间的相关性。
综上所述，回归分析和相关分析是统计学中常用的两种数据分析方法。
回归分析用于确定自变量与因变量之间的关系，相关分析用于测量变量之间的相关性。
回归分析和相关分析在实践中有广泛的应用，并且它们的步骤和原理较为相似。
回归系数与相关系数的关系
回归系数与相关系数的关系回归分析是一种常用的统计方法，它可以用来研究两个或多个变量之间的关系。
其中，回归系数和相关系数是回归分析中非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
本文将从回归系数和相关系数的定义、计算方法以及意义等方面，探讨它们之间的关系。
一、回归系数和相关系数的定义回归系数是用来描述自变量与因变量之间关系的参数。
在一元线性回归中，回归系数通常表示为β1，它表示因变量y对自变量x的变化量，即y的平均值随着x的变化而变化的程度。
在多元回归中，回归系数通常表示为βi，表示因变量y对自变量xi的变化量，即y 的平均值随着xi的变化而变化的程度。
相关系数是用来描述两个变量之间线性相关程度的指标。
它通常用r表示，在一定程度上反映了两个变量之间的相似程度。
当r=1时，表示两个变量完全正相关；当r=-1时，表示两个变量完全负相关；当r=0时，表示两个变量之间不存在线性相关关系。
二、回归系数和相关系数的计算方法在一元线性回归中，回归系数β1的计算方法为：β1=Σ((xi- x)(yi- y))/Σ(xi- x)^2其中，x表示自变量的平均值，y表示因变量的平均值，xi和yi 分别表示第i个样本的自变量和因变量的值。
相关系数r的计算方法为：r=Σ((xi- x)(yi- y))/√(Σ(xi- x)^2Σ(yi- y)^2)在多元回归中，回归系数βi的计算方法为：βi=(XTX)^-1XTY其中，X表示自变量的矩阵，Y表示因变量的向量，T表示转置，-1表示矩阵的逆。
三、回归系数和相关系数的意义回归系数和相关系数都是用来描述两个变量之间关系的指标，但它们的意义有所不同。
回归系数描述的是因变量在自变量变化时的变化量，它可以用来预测因变量的变化情况。
例如，一个人的身高和体重之间存在一定的关系，假设我们已经建立了身高和体重之间的回归模型，其中回归系数为2.5，那么当这个人的身高增加1厘米时，他的体重预计会增加2.5公斤。
相关和回归的数学模型区别和联系
相关和回归的数学模型区别和联系在统计学和数据分析领域，相关和回归是两种常用的数学模型，用以揭示变量之间的关系。
本文将详细阐述相关和回归的数学模型的区别与联系，帮助读者更好地理解这两种模型的应用场景和特点。
一、相关和回归的数学模型概述1.相关分析相关分析是指衡量两个变量之间线性关系紧密程度的统计分析方法。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
相关分析主要用于描述两个变量之间的相关性，但不能确定变量间的因果关系。
2.回归分析回归分析是指研究一个或多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间线性或非线性关系的方法。
根据自变量的个数，回归分析可分为一元回归和多元回归。
回归分析可以用于预测因变量的值，并分析自变量对因变量的影响程度。
二、相关和回归的数学模型区别1.目的性区别相关分析的目的是衡量两个变量之间的线性关系程度，但不能判断因果关系；回归分析的目的则是建立变量间的预测模型，分析自变量对因变量的影响程度，并预测因变量的值。
2.数学表达区别相关分析通常使用相关系数（如皮尔逊相关系数）来表示两个变量之间的线性关系程度；回归分析则使用回归方程（如线性回归方程）来描述自变量与因变量之间的关系。
3.结果解释区别相关分析的结果是一个介于-1和1之间的数值，表示两个变量之间的线性相关程度；回归分析的结果是一组回归系数，表示自变量对因变量的影响程度。
三、相关和回归的数学模型联系1.研究对象相同相关分析和回归分析都是研究两个或多个变量之间关系的统计分析方法，可以揭示变量间的相互作用。
2.数据类型相似相关分析和回归分析通常应用于数值型数据，且都需要满足一定的数据分布特征，如正态分布、线性关系等。
3.相互补充在实际应用中，相关分析和回归分析可以相互补充。
通过相关分析，我们可以初步判断变量间是否存在线性关系，进而决定是否采用回归分析建立预测模型。
四、总结相关和回归的数学模型在研究变量关系方面有着广泛的应用。
相关与回归的区别与联系
相关与回归的区别与联系相关与回归是统计学中常见的两个概念，它们在数据分析和建模中起着重要的作用。
虽然相关与回归都涉及到变量之间的关系，但它们在实际应用中有着不同的含义和用途。
本文将从相关与回归的定义、计算方法、应用领域等方面进行详细的比较，以便更好地理解它们之间的区别与联系。
相关是指两个或多个变量之间的关联程度，用相关系数来衡量。
相关系数的取值范围在-1到1之间，0表示无相关，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
相关系数的计算可以采用皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数等方法。
相关分析主要用于描述和衡量变量之间的线性关系，帮助我们了解变量之间的相互影响程度。
回归分析则是一种建立变量之间关系的数学模型的方法。
回归分析可以分为线性回归、多元回归、逻辑回归等不同类型，用于预测和解释变量之间的关系。
回归分析通过拟合数据点来找到最佳拟合线或曲线，从而建立变量之间的函数关系。
回归分析广泛应用于经济学、社会学、生物学等领域，帮助研究人员进行数据建模和预测。
相关与回归之间的联系在于它们都是用来研究变量之间的关系的方法。
相关分析可以帮助我们初步了解变量之间的相关程度，为后续的回归分析提供参考。
而回归分析则可以更深入地探究变量之间的函数关系，帮助我们建立预测模型和解释变量之间的因果关系。
因此，相关与回归在数据分析中常常是相辅相成的。
然而，相关与回归之间也存在一些区别。
首先，相关分析更注重描述变量之间的关系，而回归分析更注重建立变量之间的函数关系。
其次，相关系数的取值范围在-1到1之间，而回归系数则可以是任意实数。
最后，相关分析不涉及因果关系，而回归分析可以用来解释变量之间的因果关系。
综上所述，相关与回归在统计学中有着不同的含义和用途，但又有着密切的联系。
通过对相关与回归的区别与联系进行深入理解，我们可以更好地运用它们来分析数据、建立模型，为科学研究和决策提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解相关与回归的概念和应用，提升数据分析能力和研究水平。
第六章-相关与回归
间相关程度的比较。
（2）1≤r≤1，0≤|r|≤1。 |r|越接近于1，说明两变量的相关程度越强； |r|越接近于0，两变量的相关程度越差。
（3）r=0表示x与y无相关， r＜0表示负相关， r＞0表示正相关， |r|=1为完全相关。
二、样本相关系数的计算
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。
前面已经指出，要研究两种变量间的关系，最简单的方 法是把一系列观测数据在坐标中用散点图表示，如果散点 大致分布在一条直线附件，就可以判断两者为直线回归关 系。这种关系可用直线回归方程表示。则总体直线回归方 程为：
yi xi i （i=1，2，…，n） i服 N 0 从 ，2，且相互独
相关变量间的关系一般分为两种: 一种是平行关系，是研究变量间关系的强弱程度，此
时我们不关心在它们之间是谁影响了谁，谁是因，谁是果， 变量间的地位是平等的。如黄牛的体长和胸围之间的关系， 猪的背膘厚度和眼肌面积之间的关系等都属于平行关系。
另一种是因果关系，即一个变量的变化受另一个或几 个变量的影响。如仔猪的生长速度受遗传特性、营养水平、 饲养管理条件等因素的影响，子代的体高受亲本体高的影 响。
N 1N 1 (XX X)Y ( Y Y)
(XX)Y (Y) (XX)2 (YY)2
r SP xy
xy(x)n(y)
SSxSSy
x2(nx)2y2(ny)2
其中：
SPxy— 变量x和变量y的离均差乘积和简称乘积和 SSx — 变量x 的离均差平方和 SSy — 变量y 的离均差平方和
相关系数r 的特点:
变量。
例如，进行药物疗效试验 时，应用不同的剂量 （x），分析疗效（y）如 何受到药物剂量的影响及 其变化规律。这里规定的
第13章 简单线性回归与相关
b ( X X )(Y Y ) lXY
(X X)2
l XX
a Y bX
§ （1）方差分析
§ 其原理与前面的单因素方差分析相同，统计量F
的计算公式为，
F
SS回归 / 回归 SS 残差 / 残差
MS回归 MS 残差
§ （2）t检验 § 检验统计量t的计算公式为，
t b0 Sb
§ 其中Sb为回归系数的标准误，
Sb
SYX l XX
§ 3.回归分析的统计预测 § 所谓预测就是将预报因子（自变量）代入回归
方程对预报量进行估计。
§ （1）总体均数的置信区间
§ 2.线性相关系数（ Pearson积矩相关系数） 线性相关，又称简单相关，用来定量描述两个变 量间线性关系密切程度和相关方向的统计指标 ，适用于二元正态分布资料。
相关系数的计算公式为：
r (X X )(Y Y ) ( X X )2 (Y Y )2
§ 相关系数的统计检验是计算t统计量，计算公式 为：
§ （6）分层资料盲目合并时易出现假象。
分析实例
§ 对某省9个地区水质的碘含量及其甲状腺肿的患 病率作调查后得到一组数据，如图所示，试分 析不同地区的甲状腺肿的患病率高低与本地区 水质的碘含量有无关联？数据文件见例13-1.sav 。
§利用散点图观察两变量之间有无相关趋势。
1.操作步骤与界面说明
§ 距离分析可以计算距离测量指标或者相似性测 量指标 。
§ 1.距离测量指标
§ （1）区间变量（连续变量）：默认为Euclidean 距离（欧氏距离） ；有Euclidean距离 、平方 Euclidean距离 、块等。
线性相关与回归(简单线性相关与回归、多重线性回归、Spearman等级相关)
何平平
北大医学部流行病与卫生统计学系 Tel：82801619
线性相关与回归
内容：
多重线性回归分析 简单线性相关与回归
特例
Spearman等级相关
一、简单线性相关与回归 （一）直线回归（linear regression）
1.定义：用直线方程表达X（自变量，independent variable；解释变量，explanatory variable；预测变量， predictor variable ）和Y （因变量，dependent variable；响应变量，response variable；结局变量， outcome variable ）之间的数量关系。
ˆ 0.05/ 2, n 2 Y Y
（二）直线相关（linear correlation）
1.定义
描述具有直线关系的两个变量之间的相互关系。 r：相关系数，correlation coefficient 用来衡量有直线关系的两个变量之间相关的密切程度和 方向。-1r1 r>0，正相关；r=1为完全正相关 r <0，负相关；r=-1为完全负相关
变量说明：X:体重指数；Y:收缩压（mmHg）。 1.绘制散点图
散点图显示：收 缩压与体重指数 之间有线性相关 趋势，因此可以 进一步做直线回 归与相关
2.直线回归与相关分析
Regression, 回归
Linear, 线性
2.直线回归与相关分析
因变量
自变量
相关 系数r
调整r2 决定 系数r2
F值
4.b的假设检验： b为样本回归系数，由于抽样误差， 实际工作中b一般都不为0。要判断直线回归方程是否成 立，需要检验总体回归系数是否为0。 H0：=0 H1：0 方法一：t检验
回归方程相关系数公式
回归方程相关系数公式
回归方程相关系数是指用来衡量回归方程拟合程度的统计量，通常用R或R^2表示。
在简单线性回归中，相关系数R可以通过以下公式计算得出：
R = ±√(r^2)。
其中，r是样本相关系数，表示自变量和因变量之间的线性关系强度。
样本相关系数r的计算公式为：
r = Σ((X X̄)(Y Ȳ)) / √(Σ(X X̄)^2 Σ(Y Ȳ)^2)。
其中，Σ表示求和，X̄和Ȳ分别表示自变量X和因变量Y的样本均值。
在多元线性回归中，相关系数R^2的计算公式为：
R^2 = 1 (Σ(Yi Ŷi)^2) / Σ(Yi Ȳ)^2。
其中，Yi表示观测到的因变量值，Ŷi表示回归方程预测的因
变量值，Ȳ表示因变量的样本均值。
相关系数R或R^2的取值范围在0到1之间，越接近1表示回归方程对样本数据的拟合程度越好，越接近0表示拟合程度越差。
相关系数的正负号表示自变量和因变量之间的正负相关关系。
需要注意的是，相关系数虽然可以衡量回归方程的拟合程度，但并不能说明因果关系，因此在解释回归分析结果时，需要综合考虑其他因素和背景知识。
统计学中直线相关与回归的区别与联系
统计学中直线相关与回归的区别与联系在统计学中，直线相关和回归是两个相关的概念，但又有一些区别和联系。
区别：
1. 定义：直线相关是指两个变量之间的线性关系，即随着一个变量的增加，另一个变量也以一定的比例增加或减少。
回归分析是一种统计方法，用于建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。
2. 目的：直线相关主要关注变量之间的关系和相关程度，通过相关系数来衡量。
而回归分析旨在通过建立数学模型来预测或解释因变量的变化，以及评估自变量对因变量的影响。
3. 变量角色：在直线相关中，两个变量没有明确的自变量和因变量的区分，它们之间的关系是对称的。
而在回归分析中，通常有一个或多个自变量作为预测因变量的因素。
联系：
1. 线性关系：直线相关和回归分析都假设变量之间存在线性关系，即可以用直线或线性模型来描述它们之间的关系。
2. 相关系数：直线相关中使用相关系数来度量变量之间的相关程度。
回归分析中也使用相关系数，但更多地关注回归模型的参数估计和显著性检验。
3. 数据分析：直线相关和回归分析都是常用的数据分析方法，在实际应用中经常同时使用。
直线相关可以帮助我们了解变量之间的关系和趋势，而回归分析可以进一步建立模型和进行预测。
总之，直线相关和回归分析是统计学中两个相关但又有区别的概念。
直线相关关注变量之间的线性关系和相关程度，而回归分析则更关注建立模型和预测变量之间的关系。
在实际应用中，它们常常相互补充使用，以帮助我们理解和解释数据。
回归分析与相关分析联系区别
回归分析与相关分析联系区别
一、定义：
1.回归分析：回归分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法，旨
在通过一个或多个自变量与一个因变量的关系来预测和解释因变量的变化。
2.相关分析：相关分析是一种用于度量两个变量之间线性关系的统计
方法，通过计算相关系数来判断变量之间的相互关联程度。
二、应用领域：
1.回归分析：回归分析广泛应用于社会科学、经济学、市场营销等领域，常用于预测、解释和因果推断等研究中，也可以用于探索性数据分析
和模型诊断。
2.相关分析：相关分析适用于自然科学、医学、环境科学等领域，可
用于分析变量之间的关联，评估变量之间的相关性以及预测未来的变化趋势。
三、应用步骤：
1.回归分析的应用步骤通常包括：确定研究问题、收集数据、选择适
当的回归模型、进行模型拟合和参数估计、模型诊断和解释回归结果等。
2.相关分析的应用步骤通常包括：明确研究目的、收集数据、计算相
关系数、进行假设显著性检验、解释相关结果和绘制相关图等。
四、结果解释：
1.回归分析的结果解释主要包括判断拟合度（如R-squared）、解释
变量的显著性和系数大小、诊断模型的合理性、进行预测和因果推断等。
2.相关分析的结果解释主要包括相关系数的显著性、方向（正相关或负相关）和强度（绝对值的大小），还可通过散点图等图形来展示变量之间的线性相关关系。
回归分析与相关性检验方法
回归分析与相关性检验方法引言回归分析和相关性检验方法是统计学中常用的两种分析方法。
它们主要用于研究变量之间的关联程度和预测某一变量对其他变量的影响。
在实际应用中，回归分析和相关性检验方法具有广泛的应用领域，例如经济学、医学、社会科学等。
本文将对回归分析和相关性检验方法进行详细介绍，并给出相应的案例应用。
一、回归分析回归分析是一种统计学方法，用于研究因变量和一个或多个自变量之间关系的强度和方向。
回归分析有两种基本类型：简单线性回归和多元线性回归。
1. 简单线性回归简单线性回归是指当因变量和自变量之间存在一种线性关系时使用的回归分析方法。
简单线性回归的模型可以表示为：$y = \\beta_0 + \\beta_1x + \\epsilon$，其中y表示因变量，x表示自变量，$\\beta_0$和$\\beta_1$是回归系数，表示截距和斜率，$\\epsilon$表示误差项。
简单线性回归的关键是通过最小二乘法估计回归系数，然后进行显著性检验和模型拟合度的评估。
通过显著性检验可以确定回归系数是否显著不为零，进而得出自变量对因变量的影响是否显著。
2. 多元线性回归多元线性回归是指当因变量和多个自变量之间存在一种线性关系时使用的回归分析方法。
多元线性回归的模型可以表示为：$y = \\beta_0 + \\beta_1x_1 +\\beta_2x_2 + ... + \\beta_nx_n + \\epsilon$，其中y表示因变量，x1,x2,...,x n表示自变量，$\\beta_0, \\beta_1, \\beta_2, ..., \\beta_n$表示回归系数，$\\epsilon$表示误差项。
多元线性回归的关键也是通过最小二乘法估计回归系数，并进行显著性检验和模型拟合度的评估。
多元线性回归可以通过检验回归系数的显著性，判断各个自变量是否对因变量产生显著影响。
二、相关性检验方法相关性检验方法是用于检测变量之间关系的非参数统计学方法。
统计学中的回归分析与相关性
统计学中的回归分析与相关性回归分析与相关性是统计学中重要的概念和方法，用于研究变量之间的关系和预测。
本文将介绍回归分析和相关性分析的基本原理、应用领域以及实际案例。
一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
它的基本思想是通过对一个或多个自变量与一个因变量之间的关系进行建模，来预测因变量的取值。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元回归多元回归是回归分析的扩展形式，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
1.3 回归诊断回归分析需要对建立的模型进行诊断，以确保模型的有效性和合理性。
常见的回归诊断方法包括检验残差的正态性、检验变量之间的线性关系、检验残差的独立性和方差齐性等。
二、相关性分析相关性分析是统计学中用来研究两个变量之间线性关系强弱的方法。
通过计算两个变量的相关系数，可以判断它们之间的相关性。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是最常用的衡量两个连续变量之间线性相关强度的指标，取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计量，用于衡量两个变量之间的等级相关性。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不要求变量呈线性关系。
三、回归分析与相关性的应用回归分析和相关性分析在各个领域都有广泛的应用。
下面以两个实际案例来说明其应用：3.1 股票市场分析在股票市场分析中，可以使用回归分析来研究某只股票的收益率与市场整体指数之间的关系。
回归分析与相关分析联系区别
回归分析与相关分析联系、区别简单线性回归分析是对两个具有线性关系的变量,研究其相关性,配合线性回归方程,并根据自变量的变动来推算和预测因变量平均发展趋势的方法;回归分析Regression analysis通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化;主要内容和步骤：首先依据经济学理论并且通过对问题的分析判断,将变量分为自变量和因变量,一般情况下,自变量表示原因,因变量表示结果；其次,设法找出合适的数学方程式即回归模型描述变量间的关系；接着要估计模型的参数,得出样本回归方程；由于涉及到的变量具有不确定性,接着还要对回归模型进行统计检验,计量经济学检验、预测检验；当所有检验通过后,就可以应用回归模型了;回归的种类回归按照自变量的个数划分为一元回归和多元回归;只有一个自变量的回归叫一元回归,有两个或两个以上自变量的回归叫多元回归;按照回归曲线的形态划分,有线性直线回归和非线性曲线回归;相关分析与回归分析的关系一相关分析与回归分析的联系相关分析是回归分析的基础和前提,回归分析则是相关分析的深入和继续;相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式,而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度;只有当变量之间存在高度相关时,进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义;如果在没有对变量之间是否相关以及相关方向和程度做出正确判断之前,就进行回归分析,很容易造成“虚假回归”;与此同时,相关分析只研究变量之间相关的方向和程度,不能推断变量之间相互关系的具体形式,也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况,因此,在具体应用过程中,只有把相关分析和回归分析结合起来,才能达到研究和分析的目的;二相关分析与回归分析的区别1．相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的划分问题,变量之间的关系是对等的；而在回归分析中,则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的,对变量进行自变量和因变量的划分;因此,在回归分析中,变量之间的关系是不对等的;2．在相关分析中所有的变量都必须是随机变量；而在回归分析中,自变量是确定的,因变量才是随机的,即将自变量的给定值代入回归方程后,所得到的因变量的估计值不是唯一确定的,而会表现出一定的随机波动性;3．相关分析主要是通过一个指标即相关系数来反映变量之间相关程度的大小,由于变量之间是对等的,因此相关系数是唯一确定的;而在回归分析中,对于互为因果的两个变量如人的身高与体重,商品的价格与需求量,则有可能存在多个回归方程;需要指出的是,变量之间是否存在“真实相关”,是由变量之间的内在联系所决定的;相关分析和回归分析只是定量分析的手段,通过相关分析和回归分析,虽然可以从数量上反映变量之间的联系形式及其密切程度,但是无法准确判断变量之间内在联系的存在与否,也无法判断变量之间的因果关系;因此,在具体应用过程中,一定要注意把定性分析和定量分析结合起来,在定性分析的基础上展开定量分析;。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016/2/8
四、相关与回归应用的注意事项
1. 根据分析目的选择变量及统计方法
直线相关用于说明两变量之间直线关系的方向和密切程 度，X与Y 没有主次之分 直线回归则进一步用于定量刻画应变量Y 对自变量X 在数 值上的依存关系，其中应变量的定夺主要依专业要求而定， 可以考虑把易于精确测量的变量作为X，另一个随机变量作Y 例如用身高估计体表面积 两个变量的选择一定要结合专业背景，不能把毫无关联的两 种现象勉强作回归或相关分析
2016/2/8
线性相关（ linear correlation ）
相关系数的假设检验：
r≠0原因：① 由于抽样误差引起，ρ=0
② 存在相关关系， ρ≠0 检验方法：① 直接查表法（r界值表），② t 检验；
公式
r 0 tr ＝ Sr
r 1 r n2
2
，v =n-2
Sr---- 相关系数的标准误
发硒值
74.2 66.6 88.8 69.5 91.0 73.5 66.6 96.0 58.8 73.5 64.8 78.6
血硒值
13.5 10.5 13.8 11.0 16.6 9.8 7.8 14.0 5.8 10.0 7.6 11.5
2016/2/8
相SPSS操作步骤
一、 绘制 散点 图
二、 对X/Y
相关 —— 反映两变量间的相互关系
3.回归系数与原度量单位有关，而相关系数无关
2016/2/8
相关与回归的区别和联系
联系
r 与 b 的假设检验等价: tr=tb r 与 b 可互相换算： r b l XX lYY
1. 同一资料 r 与 b 同号 2. 3.
4. 回归与相关可相互解释 决定系数
第七章 简单相关与回归
武汉大学.公共卫生学院 卫生统计学教研室
2016/2/8
一、线性相关（ linear correlation ）
直线相关：又称简单相关(simple correlation)，用 于描述两个变量之间的线性相关程度。
经典相关分析要求X与Y都是随机变量，而且服从双 变量正态分布。 相关关系的统计量使人们对变量间的相关关系是否 成立、相关的性质和强弱等有了量化依据。
2016/2/8
二、线性回归（linear regression）
直线回归的前提假设(LINE)
• 线性 Linearity 反应变量均数 与X间呈线性关系：Y|X= α + X • 独立 Independence 每一观察值之间彼此独立 • 正态 Normality 对于任何给定的 X：Y均服从正态分布 • 等方差 Equal variance 对于任何X值，随机变量Y的标准差 Y|X相等
2016/2/8
二、线性回归（linear regression）
注意：
做直线回归之前，先做散点图，是确定两变量之间是否有关系 的最简单的好方法。 回归系数（b）的假设检验 判断直线回归方程是否成立，需要检验总体回归系数β是否为0。 方法一：t检验 方法二：F检验
b t Sb
MS回归 F MS 剩余
2016/2/8
二、线性回归（linear regression）
定义 用直线方程表达X（自变量，independent variable） 和Y（应变量, dependent variables）之间的数量关系。 ^ Y 是Y（实测值）的预测值（predictive value），b是直 线的斜率，即X每变化一单位，Y相应的变化b个单位。 a为截距，即X为0时Y值的大小。
相关与回归应用的注意事项
3. 资料的要求
直线相关分析要求 X与Y 服从双变量正态分布 直线回归要求至少对于每个 X 相应的 Y 要服从正态分 布，X可以是服从正态分布的随机变量也可以是能精确 测量和严格控制的非随机变量 对于双变量正态分布资料，根据研究目的可选择由 X 估计 Y 或者由 Y 估计 X ，一般情况下两个回归方程不 相同
2016/2/8
2016/2/8
r
( X X )(Y Y )
2
(X X )
(Y Y ) 2
X 表示X 的平均数，表示 Y Y的平均数。
线性相关（ linear correlation ）
相关系数的特点：
相关系数r是表示两个随机变量之间直线相关强度和方向的 统计量，是一个无量纲的数值，取值范围-1≤ r ≤ 1； r的正负值表示两变量之间直线相关的方向，即 r＞0为正相 关，r＜0为负相关，r=0为零相关；r与回归系数b的符号相 同； r的绝对值大小表示两变量之间直线相关的密切程度，｜r｜ 越接近于1，说明密切程度越高，｜r｜越接近于0，说明密 切程度越低。
两种方法等价，
F t
只有当β ≠0，才能认为直线回归方程成立（具有统计学意义）。
2016/2/8
三、相关与回归的区别和联系
区别
回归 —— Y为正态随机变量，X为固定的非随机变量 相关 —— X、Y均为随机变量，且服从双变量正态分布
1. 资料：
2.意义与应用： 回归 —— 反映两变量间的依存关系
2016/2/8
线性回归（linear regression）
回归直线的建立主要是基于最小二乘法
（least-squares ,LS)，即各实测点与拟合直线之间纵 向距离的平方和最小。
线性回归的主要运用：统计预测与统计控制
统计预测：给定X值，估计Y； 统计控制（逆估计）：要求Y在一定范围内波动，可 通过X的取值来实现。
2016/2/8
2、回归SPSS结果
结果解释 经F检验，F=34.156，P<0.001,差异有统计学意义，即此回 归方程有意义.
2016/2/8
2、回归SPSS结果
2016/2/8
2、回归SPSS结果
学生化残差散点图 以血硒值为纵轴， 学生化残差为横轴的 散点图显示： 可认为散点图无明 显变化趋势，且各学 生化残差的绝对值都 不大于2，未发现极 端值； 可用回归方程描述 发硒值和血硒值之间 的关系。
2016/2/8
问题：
是否能求出以血液中的硒含量为因变量 的回归方程？
2016/2/8
2、回归SPSS操作
• 回归过程步 正态性、散点图 Analyze Regression Linear
2016/2/8
2、回归SPSS操作
检验残差序列是否存在相关关系
2016/2/8
2、回归SPSS结果
结果解释 相关系数R=0.880，R2=0.774，表示血硒值（因变量）的变 异中77.4%可由发硒值（自变量）来解释，说明血硒值的变化能 较好的运用发硒值的变化来解释。
2016/2/8
相关与回归应用的注意事项
2. 进行相关、回归分析前应绘制散点图—第一步
散点图可考察两变量是否有直线趋势 可发现异常点（outlier） 散点图对异常点的识别与处理需要从专业知识和现有数据两方
面来考虑，结果可能是现有回归模型的假设错误需要改变模型形 式，也可能是抽样误差造成的一次偶然结果甚至过失误差。需要 认真核对原始数据并检查其产生过程认定是过失误差，或者通过 重复测定确定是抽样误差造成的偶然结果，才可以谨慎地剔除或 采用其它估计方法。 2016/2/8
等级相关系数 非参数方法
Correlate
Bivariate Correlations Kendall’s 相关系数：用于反映分类变量一致性的指标， 只能在两个变量均为有序分类时使用。
2016/2/8
1.相关SPSS结果
结果解释： 相关系数r=0.880，双侧 Pearson检验p<0.001，有统 计学意义，可认为血硒值与 发硒值呈正相关关系。
2016/2/8
相关与回归应用的注意事项
4. 结果解释及正确应用
反应两变量关系密切程度或数量上影响大小的统计量 应该是回归系数或相关系数的绝对值，而不是假设检 验的P值 P值越小只能说越有理由认为变量间的直线关系存在， 而不能说关系越密切或越“显著”
不能任意“外延”；直线回归用于预测时，其适用范 围一般不应超出样本中自变量的取值范围
2016/2/8
例题（相关与回归）
例题7.1 在某克山病区测量12名健康儿童头发中的硒含量与血液中的硒含 量，其结果如表1所示。问儿童头发中的硒含量与血液中的硒含量 是否相关，是否能求出以血液中的硒含量为因变量的回归方程。
表1 12名健康儿童的发硒与血硒的测量值（单位：1000ppm）
编号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2016/2/8
线性相关（ linear correlation ）
相关系数(correlation coefficient)，又称积差相关系数或 Pearson 相关系数（软件中常用此名称）以及spearman 相关系数； 定量描述线性相关程度的一个常用指标，说明相关的密 切程度和方向。
计算公式
有线性趋势
变量 做正 态性 检验
X/Y变量均成正态分布
三、 相关 spss 步骤
2016/2/8
1.相关SPSS操作步骤
•散点图结果 有线性趋势
•正态性检验结果 发硒值（X）、 血硒值（Y）的 P>0.05，均成正 态分布。
2016/2/8
1.相关SPSS操作步骤
• 相关过程步 Analyze
积矩相关 系数 参数方法