人教版初三数学上册实际问题与一元二次方程(变化率问题).3《一元二次方程与变化率问题》导学案
人教九年级数学上册- 实际问题与一元二次方程(变化率问题和销售问题)(附习题)
推进新课
知识点1 有关增长/下降率的问题
探究2 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在 生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成 本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？
解：设平均每月的增长率为x. 依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122. 解得x1=0.25，x2=-3.25(舍去). 二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册) 三月份发行图书32×(1+0.25)2=50(万册)
答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.
课堂小结
下降率是下降额与原成本的比值；
原成本－终成本
下降率=
原成本
×100%
①如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则 下降一次后的成本变为 5000(1-x) ，再次下降 后的成本变为 5000(1-x) 2 .（用代数式表示）
②设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等 量关系 终成本=原成本×(1－下降率)2 可得方 程 5000(1-x)2=3000 ，解这个方程，得到方程的 两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？ 为什么？
21.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
变化率问题和销售问题
新课导入
两年前生产1t甲种药品的成本是5000元， 生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技 术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药 品成本的年平均下降率较大?
人教版九年级上册2实际问题与一元二次方程课件
——变化率问题和数字问题
学习目标
熟练掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤
学习目标
会分析实际问题（变化率问题和数字问题）中的
数量关系并会列一元二次方程
温故知新
你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的？
“设”
“列”
“解”
即设未知数
即根据题中的等量关系列方程
即解出所列方程的根
“验”
C.3、4
D.-3、4
学以致用
2.读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算的快，多少年华属周瑜？
周瑜去世时( B)岁？
A.25岁
B.36岁
C.47岁
盘点收获
变化率问题
两位数、三位数的
表示
变化率和数字问题
数字问题
连续整数、偶数或
奇数的表示
谢谢凝
听
量逐年上升，三月份生产化工原料60万吨，求二、三月份平均增长
的百分率？
解：设二、三月份平均增长的百分率为X.
15 1 + 2 = 60
解得1 = 1，2 = −3（舍去）
答：二、三月份平均增长的百分率100%
学以致用
3、某电脑公司2001年的各项经营，一月份的营业额为200万元，一、
二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相
则这个三位数表示为 100x+10y+z
3.连续的三个整数，若中间一个数为n，则其余的两个数分别
人教版初三数学上册实际问题与一元二次方程.3实际问题与一元二次方程1
审
设
列
解
检验作答
二、教材预习
自主学习 自学课本P19页探究1，完成导学案上预习测试。
预习测试：
1）、传播问题中的数量关系
传染源数量为1，每个传染源每轮传染中都能传染给x个人
，经过一轮传染后有
人感染，经过两轮感染后，有
人
2.选择：一个小组有若干人，新年互相打一个电话祝福，已知全
组共打电话36次，则这个小组共有人数为（ ）．
A 12人
B 9人 C 16人 D 18人
C、拓展与提高
3.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一
场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
A.5个
B.6个 C7个
D8个
21.3 实际问题与一元二次方程
第一课时
制作：高庙中心学校 刘林杰
学习目标
1、掌握用“倍数关系”建立数学模型，并用 它解决一些具体问题；
2、体会一元二次方程在实际生活中的应用， 经历将实际问题转化为数学问题的过程， 提高数学应用意识；
重点、难点： 正确地列一元二次方程解决有关的实际问题。
一、情景导入
变式
某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过 两轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析， 每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
中考链接
某种植物的主干长出若干数目的支 干，每个支干又长出同样数目的小分支， 支干和小分支的总数是91，每个支干长 出多少个小分支？
感染。
2）、列一元二次方程解应用题的步骤
人教版数学初三上册课件：实际问题与一元二次方程——平均变化率与一元二次方程
0
10×1
少 1卖0×2 1十0×3 1斤0×4
10x
100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4
100-10x
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+2)× (100-10×2）
w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4)
0
10×1
少 1卖0×2 1十0×3 1斤0×4
10x
100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4
100-10x
w=(3-2) ×100
w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+2)× (100-10×2）
w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4)
5000(1-x)
第一次降低后的量
5050000(10-(x1)-(x1)-2x)
例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生 产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，
列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000，
w=(3-2+x)× (100-10x)
探究归纳
填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元， 则下降率是 7% .如果保持这个下降率，则现在生 产1吨甲种药品的成本是 4324.5 元.
21.3 实际问题与一元二次方程(第一课时)传播问题和变化率问题(课件)九年级数学上册(人教版)
分层作业
【拓展延伸作业】 1.（2023沈阳市苏家屯区统考期中）某地区 2019 年投入教育经费 2 000万元，2021 年投入教育经费 2 880万元． (1)求 2019 年至 2021 年该地区投入教育经费的年平均增长率； (2)根据(1)中所得的年平均增长率，预计 2022 年该地区将投入教育 经费多少万元．
探究新知
1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮 传染中平均一个人传染了_______个人?
探究新知
2. 小明学习数学非常努力，成绩直线上升，第一次检测数学成绩是a 分，第二次检测增长了10%，第三次检测又增长了10%，他第二次 数学成绩是________分，第三次数学成绩是________分．
A．11 B．12 C．13 D．14 2．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次 ，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
分层作业
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的
小分支，主干、支干和小分支的总数是57个，则这种植物每个支干长出
的小分支的个数是（ ）
如果按照这样的传播速度，三轮传染后，
有多少人患流感？
三轮传染后的总人数：（1+x）+x（1+x）+x·x（1+x）
121+121×10=1331（人） 答：三轮传染后，有1331人患流感.
注意:1.此类问 题是传播问题. 2.计算结果要 符合问题的实 际意义.
典例解析
例2.两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着 生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设乙种药品成本的年平均下降率为 y
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、速度或距离等与一元二次方程相关的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在实际问题中的应用奥秘。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程
1.实际问题中的一元二次方程：以生活中的例子导入，如面积、速度、时间等问题，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
2.解一元二次方程的步骤：回顾一元二次方程的定义，总结求解一元二次方程的步骤，包括移项、合并同类项、因式分解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和解法这两个重点。对于难点部分，如判别式和根与系数的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体抛掷的高度，并利用一元二次方程计算最大高度。
3.应用一元二次方程解决实际问题：结合教材例题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，进而求解一元二次方程。
4.一元二次方程的根的判别式：讲解判别式的概念，引导学生学会判断一元二次方程的根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系：探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理等。
人教版数学九年级上册 21.3 实际问题与一元二次方程
第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 传播问题与一元二次方程学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.重点：会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.一、知识链接1.解一元二次方程的四种解法是什么？2.列方程解应用题的一般步骤是什么？二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程引例 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?想一想 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?讨论1 在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？讨论2 解决这类传播问题有什么经验和方法？方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？例 2 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？练一练某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？方法总结：握手及球赛单循环问题中次数重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列方程.例3 一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？方法总结：解决这类问题关键要设出数位上的数字，并能准确的表示出原数.三、课堂小结1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A. x2=1980B. x(x+1)=1980C. 12x(x-1)=1980 D. x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A. 1+x+x(1+x)=73B. 1+x+x2=73C. 1+x2=73D. (1+x)2=733.早期，甲肝流行，传染性很强，在一天内，一人平均能传染x人，若有2人同时患上甲肝.经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 74.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.参考答案自主学习知识链接1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.课堂探究二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程引例解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10, x2 = -12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.想一想第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源，传染一次后就是：121(1+x )=121(1+10)=1331（人）.例1 解：设每个支干长出x 个小分支，则，1+x +x 2=133，即x 2+x -132=0.解得x 1=11， x 2=-12（不合题意，舍去）. 答：每个支干长出11个小分支.讨论1 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.讨论2 （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.例2 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x －1)场比赛，共要进行x (x －1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得(1)15,2x x 解得x 1=6, x 2=－5（舍去）. ∴x =6. 答：共有6个班级参赛．练一练 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x －1)次，共握手x (x －1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得(1)10,2x x 解得x 1=5, x 2=-4（舍去）. ∴x =5.答：共有5个人参加聚会．【变式题】解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x －1)场比赛，根据题意得(1)72,x x 解得x 1=9, x 2=-8（舍去）. ∴x =9.答：共有9个班级参赛．例3 解：设这个两位数个位数字为x ，则十位数字为(x －3)，根据题意得x 2=10(x -3)+x ,解得x 1=5, x 2=6.∴x ＝5时，十位数字为2，x =6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36. 当堂检测1.D2.B3.D4.105. 解：初三有x 个班，根据题意列方程，得1(1)6,2x x 化简，得x 2-x -12=0，解得x 1=4，x 2=-3（舍去）.答：初三有4个班.6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x 个有益菌，60+60x +60(1+x )x =24000，∴x 1=19， x 2=-21（舍去）.∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.7.解：设原来的两位数十位上的数字为x ，则个位上的数字为(5－x )，依题意得(10x +5－x )[10(5－x )+x ]=736，解得x 1=2， x 2=3.当x ＝2时，5－x =3；当x ＝3时，5－x =2.答：原来的两位数是23或32.第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第2课时平均变化率问题与一元二次方程学习目标：1.学会建立数学模型以解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.重点：通过建立数学模型来解决增长率与降低率问题.难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.一、知识链接小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是75分，第二次月考增长了20%，第三次月考又增长了20%，问他第三次数学成绩是多少？二、要点探究探究点1：平均变化率问题与一元二次方程探究归纳两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000 元，生产1t乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？注意：下降率不可为负，且不大于1.例1某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）例 2 为做好延迟开学期间学生的在线学习服务工作，盐城市教育局推出“中小学延迟开学期间网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率.注意：增长率不可为负，但可以超过1.问题你能总结出有关增长率和降低率问题的数量关系式吗？方法归纳：若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”，降低取“－”).例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．探究点2：营销问题与一元二次方程合作探究填空：假设某种商品每件的成本为2元，售价为3元时，可卖100件.(1)此时的利润w= 元；(2)若售价涨了1元，每件利润为元，同时少卖了10件，销售量为件，利润w= 元；(3)若售价涨了2元，每件利润为元，同时少卖了20件，销售量为件，利润w= 元；(4)若售价涨了3元，每件利润为元，同时少卖了30件，销售量为件，利润w= 元；(5)若售价涨了x元，每件利润为元，同时少卖了件，销售量为件，利润w= 元.想一想若想售卖这种商品获取利润300元，则每件商品应涨价多少元？变式训练假设某种糖的成本为每千克8元，售价为12元时，可卖100千克.若售价涨了1元，则少卖了5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？注意：题目中有限定条件时，要注意取舍.例4 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？变式训练增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？方法归纳：用一元二次方程解决营销问题的一般步骤1.设未知数x,用含x的代数式表示销量、单件利润；2.根据利润=销量×单件利润列方程；3.解方程；4.根据题意，如限制利润率、减少库存、让利于民等条件，进行取舍.5.作答.三、课堂小结1.某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x，列方程( )A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今、明两年的投资总额为8 万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是x，则可列方程为.3.某村种的水稻前年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712千克，求该村这两年水稻每公顷产量的年平均增长率.4.某超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？5.菜农小李种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，小李为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.(1)求平均每次下调的百分率；(2)小华准备到小李处购买5吨该蔬菜，因数量多，小李决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.能力提升为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？参考答案自主学习知识链接75×（1+20%）（1+20%）=108（分），即小明第三次数学成绩是108分.课堂探究二、要点探究探究点1：平均变化率问题与一元二次方程探究解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为5000(1-x)2元，于是有5000(1-x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.设乙种药品成本的年平均下降率为y，则一年后乙种药品成本为6000(1-y)元，两年后乙种药品成本为6000(1-y)2元，于是有6000(1-y)2=3600，解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.综上可知，甲、乙两种药品的下降率相同.例1解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得211.2x解这个方程，得12112x（舍去），22129.3%.2x答：每次降价的百分率约为29.3%.例2 解：设增长率为x，根据题意，得20（1+x）2=24.2.解得x1=-2.1（舍去），x2=0.1=10%．答：增长率为10%.例 3 解：设这个增长率为x.根据题意，得200+200(1+x) +200(1+x)2=950.整理方程，得4x2+12x-7=0，这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5=50%．答：这个增长率为50%.探究点2：营销问题与一元二次方程合作探究（1）100 （2）2 90 180 （3）3 80 240（4）4 70 280 （5）(1+x) 10x(100-10x) (1+x)(100-10x)想一想解：设售价涨了x元，依题意得(1+x)(100-10x)=300，解得x1=4，x2=5.即当每件商品涨价4元或5元时，能获得300元利润.变式训练解：设售价涨了x 元，依题意得(4+x )(100-5x )=640，解得x 1=4，x 2=12.∴售价不高于成本价的2.5倍，即x +12≤2.5×8. ∴x ≤8.∴x =4.即每千克糖应涨价4元.例4 解：设每件衬衫降价x 元，根据题意得（40-x )(20+2x )=1200， 整理得x 2-30x +200=0. 解方程得x 1=10，x 2=20.答：每件衬衫应降价10元或20元. 变式训练解：设每件衬衫降价x 元，根据题意得（40-x )(20+2x )=1200，整理得，x 2-30x +200=0. 解方程得x 1=10，x 2=20. 因为要尽快减少库存，所以x =10舍去. 答：每件衬衫应降价20元. 当堂检测1.B2.2(1+x )+2(1+x )2=83.解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x ,根据题意，得7200(1+x )2=8712，系数化为1得(1+x )2=1.21.直接开平方得，1+x =1.1，1+x =-1.1.则x 1=0.1= 10%，x 2=-2.1(舍去). 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.4.解：设每个商品涨价x 元，则销售价为(50+x )元，销售量为(500－10x )个，则(500－10x )· [(50+x )－40]=8000，整理得 x 2－40x +300=0， 解得x 1=10，x 2=30都符合题意. 当x =10时，50+x =60，500－10x =400；当x =30时，50+x =80， 500－10 x =200.答：要想赚8000元，售价应定为60元/个，进货400个；或售价定为80元/个，进货200 个.5.解：（1）设平均每次下调的百分率为x ， 由题意，得5(1－x )2=3.2，解得 x 1=20%，x 2=1.8 （舍去）∴平均每次下调的百分率为20%.（2）解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)，∴14400＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠. 能力提升解：（1）设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，依题意得6028,4032,k b k b 解得5,200.k b所以y 与x 的函数关系式为y = -5x +200．（2）依题知（x -25）（-5x +200）=130．整理方程，得x 2-65x +1026=0．解得x 1=27，x 2=38．∴此设备的销售单价不得高于35万元，∴x2=38（舍），所以x=27．答：该设备的销售单价应是27 万元．第二十一章一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第3课时几何图形与一元二次方程学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.自主学习一、知识链接用长为60 m的篱笆围一个矩形的菜园，宽AD为x m. 用含x的代数式填空：（1）如图①，AB=_________m，S矩形ABCD=___________；（2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m，S矩形ABCD=___________；（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m，S矩形ABCD=______.图①图②图③2.假如有一幅画长60 cm，宽40 cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它总面积达到3500 cm2，设木框宽度x cm，你能列出等式吗？二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程引例要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm)方法点拨：在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.典例精析例1 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽为多少？【变式题1】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题2】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的课堂探究部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题3】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题4】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58 m的围栏围成总面积为200 m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边AB和BC的长各是多少米？【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600 m2的矩形羊圈，则羊圈的边AB和BC的长各是多少米？【变式题2】如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m的门，所围矩形鸡场的长、宽分别为多少时，鸡场面积为80 m2？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，然后用含x的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.三、课堂小结几何图形问题与一元二次方程几何图形运用常见几何图形面积公式构建等量关系类型课本封面问题常采用图形平移聚零为整，方便列方程彩条/小路宽度问题动点面积问题1. 在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0D．x2－65x－350=02.一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．当堂检测3.如图，要设计一个宽20 cm，长为30 cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∴3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？4.如图，在∴ABC中，∴C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s 的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使∴PCQ的面积为9 cm²？参考答案自主学习知识链接1.(1)(30-x) x(30-x) (2)(30-1.5x) x(30-1.5x) (3)(60-3x) x(60-3x)2.(60 + 2x)(40 + 2x) = 3500课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程引例：解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为：11(279):(217)9(3):7(3)9:7.a a a a22设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可列出方程3(2718)(2114)2721,4x x整理得16x 2-48x +9=0，解方程得12633633,44x x （不合题意，舍去）. 故上下边衬的宽度为6339 1.8,4左右边衬的宽度为6337 1.4.4例1 方法一：解：设道路的宽为x 米，依题意得20×32-32x -20x +x 2=540,解得 x 1=2，x 2=50.当x =50时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取x =2. 答：道路的宽为2米.方法二：解：设道路的宽为x 米，依题意得(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50.当x =50时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取x =2. 答：道路的宽为2米.【变式题1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50（不合题意，舍去）.∴x =2. 答：道路的宽为2米.【变式题2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-x )=540，解得x 1=18x2（不合题意，舍去）.答：道路的宽为 (18【变式题3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-2x )=540，解得 x 1=1，x 2=25（不合题意，舍去）.∴x =1. 答：道路的宽为1米.【变式题4】解：设横、竖小路的宽度分别为3x 、 2x ， 于是可列方程(32-4x )(20-6x )=32032,4解得 x 10.62≈，x 210.71≈（不合题意，舍去）.∴x ≈0.62.则3x ≈1.86,2x ≈1.24.答：横、竖小路的宽度分别约为1.86米、1.24米.例2 解：设AB 的长是x m.依题意得 (58-2x )x =200，即x 2-29x +100=0，解得x 1=25，x 2=4.x =25时，58-2x =8，x =4时，58-2x =50.答：羊圈的边AB 和BC 的长各是25 m ，8 m 或4 m ，50 m.【变式题】 解：设AB 的长是x m.依题意得(80-2x )x =600，即x 2-40x +300=0，解得x 1=10，x 2=30. x =10时，80-2x =60>25，舍去；x =30时，80-2x =20<25. 答：羊圈的边AB 和BC 的长各是30 m ，20 m.【变式题】解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为x m ，则平行于住房墙的一边长(25-2x +1)m.由题意得x (25-2x +1)=80，化简，得x 2-13x +40=0，解得x 1=5，x 2=8.当x =5时，26-2x =16>12 (舍去），当x =8时，26-2x =10<12，故所围矩形鸡场的长为10 m ，宽为8 m. 当堂检测 1.B2.解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.依题意得5(2x -10)(x -10)=3000，即x 2-15x -250=0. 解得 x 1=25，x 2=-10(舍去）.所以 2x =50. 答：铁板的长50cm ，宽为25cm.3. 解：设横向彩条的宽度2x cm ,竖彩条的宽度3x cm ，依题意得 (20-6x )(30-4x )=400，即6x 2-65x +50=0.解得125,106x x （舍去）.552,332x x . 答：横向彩条的宽度53cm ,竖彩条的宽度52cm. 能力提升解：若设出发x s 后可使△PCQ 的面积为9cm² ,根据题意得AP = x cm ，PC =(6-x )cm ，CQ =2x cm. 依题意得，整理，得x 2-6x +9=0，解得x 1= x 2=3.答：点P ，Q 出发3s 后可使∴PCQ 的面积为9cm².。
实际问题与一元二次方程-变化率、销售问题-2022-2023学年九年级数学上册课件(人教版)
1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,
平均每月增长率是x,列方程__5_0_0_(_1_+_x_)_2=_7_2_0__.
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总
额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率
是x,则可列方程为_2_(_1_+_x_)_+_2_(_1_+_x_)_2_=_8_.
销量：20 件 ↑2件 ↑2x件
利润＝(售价-进价)×销量
强化 训练
巩固训练 实际问题与一元二次方程 查漏补缺
1.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每 天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若 每千克涨价0.1元,日销售量将减少2千克.现该商场要保证每天 盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少 元？
∴平均每次下调的百分率为20%;
强化训练 实际问题与一元二次方程 提升能力
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予 两种优惠方案以供选择：方案一,打九折销售；方案二,不打折, 每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠.
“双循环”问题公式： x(x-1)=m
知识要点
01 “变化率”问题 02 “销售”问题
精讲精练
探究新知
“变化率”问题
知识点一
【问题1】某户的粮食产量年平均增长率为x,第一年产量为6吨,
21.3 实际问题与一元二次方程(传播问题和变化率问题)九年级数学上册(人教版)
针针对对训训练练
一个人传染了几个人？
具体传播过程
【问题】如果按照这样的传播速度，第
三轮传染过后总共会有多少人得流感？
[分析]经过两轮传染后共有___1_2_1__个人患了流感,平
x
…
均每轮传染___1_0____人，则第三轮有_____1_2_1_0___人 患了流感。
一轮传染
121+121×10 = 1 331（人）
直接开方法
x2=a (a≥0)
配方法
(x+m)2=n (n≥0)
公式法
因式分解法
(x-x1)(x-x2)=0
复习巩固
【提问】回顾列方程解决实际问题的基本步骤? 1）审：分清已知未知，明确数量关系； 2）设：设未知数； 3）列：列方程； 4）解：解方程； 5）验：根据实际验结果； 6) 答：写出答案。
1.2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题 教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3 月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
两种药品成本的年平均下降率相等
【问题】成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
九年级数学上册 第章 一元二次方程 . 实际问题与一元二次方程变化率等问题与一元二次方程
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请问：(1)2015 年到 2017 年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多 少？
(2)2017 年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？ 解：(1)设 2015 年到 2017 年甜甜和她妹妹在六一收到红包的增长率是 x. 根据题意，得 400(1＋x)2＝484， 解得 x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)， 故平均增长率为 10%.
克(用含 x 的代数式表示)．
(2)销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每千克的售价降低多少
元？
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(1【) 解析】将这种水果每千克的售价降低 x 元，则每天的销售量是 100＋0x.1 ×20＝(100＋200x)千克．
(2)解：根据题意，得(4－x－2)(100＋200x)＝300， 解得 x＝12或 x＝1. ∵每天至少售出 260 千克，∴x＝1. 答：张阿姨需将每千克的售价降低 1 元．
品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，∴当每件商品降价 x 元时，商场
日销售量增加 2x 件，每件商品盈利(150－100－x)元，即(50－x)元．
(2)解：设每件商品降价 x 元时，商场日盈利可达到 2 100 元．
根据题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100，
化简，得 x2－35x＋300＝0，
A．1＋x＋x(x＋1)＝241 B．1＋x＋x2＝241 C．1＋(x＋1)＋(x＋1)2＝241 D．1＋(x＋1)＋x2＝241
第十七页，共二十七页。
4．某人将 2 000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1 000 元用作
购物，剩下的 1 000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率
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崇文中学导学案九年级数学
设计：戚书宏审核：张丽娟
班级：姓名：
一元二次方程与变化率问题
【学习目标】
1、熟悉变化率问题的模型，能理清楚各种数量关系；
2、会用一元二次方程相关知识解答变化率问题相关的实际问题。
【自主学习】
1、列方程解应用题的一般步骤：
①，②，③，④，⑤，⑥。
2、思考，填空：
（1）80的60%是。
（2）某商场以120元的价格购进一种衬衫，加价20%售出，售价是，如果再提价20%，那售价应方定为。
（3）某药品2014年的售价是150元，2015年售价降低10%，则2015年的售价是元，2016年售价又降低10%，则2016年的售价是元。
【合作探究】
1、某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 60000 kg，第二年的产量为 kg，第三年的产量为 kg．
2、某砂糖生产厂 2015 年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2016年的产量是吨，2017 年的产量是．
3、教学【探究2】
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
（1）怎样理解下降额和下降率的关系？
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。
（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
（5）思考:经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？（口答）
【课堂检测】
1.某厂今年一月份的产量为500吨,三月的产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,根据题意可列方程为．
3.红米note手机连续两次降价，由原来的1299元降688元，求平均每次降价的百分率为。
4.某种商品原价50元．因销售不畅，3月份降价10％，从4月份开始涨价，5月份的售价为64.8元，求4、5月份两个月的平均涨价率。
5.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．求该厂五、六月份平均每月的增长率。
【拓展延伸】
某人在一家银行存款5万元，两年后连本带利共得6.05万元，问这家银行的年利率为多少？小明是这样列式的：5×2x=6.05﹣5；小颖是这样列式的：5（1+x）2=6.05．你认为谁的想法是正确的？为什么？。