高三数学数列极限1
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。
高三数学数列的极限1
2.2数列的极限（1）教学目标：从数列的变化趋势了解数列的极限，并学会判断一些简单数列的极限. 教学重点：数列极限的概念及其求法；教学难点：数列的极限意义的理解．教学过程：一、导入战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰 日取其半 万世不竭”.引言中刘徽“割圆术”说起，提出问题：当n 无限增大时，圆内接正n 边形的 是否无限趋近于圆周长2πR 呢？二、数列的极限的定义考察数列231111,,,,,.10101010n ① 123,,,,,.2341n n +②11(1)1,,,,,.23n n ---③当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的，②是递增的，③是正负交替地无限趋近于a ．①随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式：①是从点a 右侧，②是点左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着 n 的增大，从差式|a n -a | 的变化趋势上看，它们都是无限地接近千 0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于常数a （即|a n -a | 无限地接近于0）”．数列极限的直观描述性定义：如果当项数n 的无限增大，无穷数列{ a n }的项a n 无限地趋近于常数a （即|a n -a | 无限地接近于0）那么就说数列{ a n }以a 为极限，或者说数列{ a n }的极限是a ．记为lim .n x a a →∞= 三、例题例1 考察下面的数列，写出它们的极限： 3111(1)1,,,,,;827n 5(2) 6.5,6.95,6.995,,7,;10n - 1111(3),,,,,.248(2)n ---例2 下列数列是否有极限？为什么？ （1） 1,1,1,1,,(1),n --- （2）1000001111,,,,.1010010010 （3）100000，10000，1000，……，(1)10000010,.n --⋅例3 求1lim 310n x →∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 问题：① 等于 吗？②比较－3与 的大小．例4 已知数列1.9，1.99，1.999，…，，…．（1）写出它的通项a n ；（2）计算|a n -2| ； （3）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.01？（4）第几项以后所有的项与2的差的绝对值小于0.001？（5）指出这个数列的极限．四、作业：同步练习 X02021。
高中数学中的数列极限求解知识点总结
高中数学中的数列极限求解知识点总结数列极限是高中数学中的重要内容，它是数学分析的基础，也是数学发展的重要方向之一。
掌握数列极限的求解方法和相关知识点，对于高中生提高数学学习水平具有重要的意义。
下面将对高中数学中的数列极限求解知识点进行总结与归纳。
一、数列极限的概念及性质数列极限指的是当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
数列极限的概念基于数列的收敛性，即当数列趋于某个确定的值时，其极限存在。
1.1 数列极限的定义数列{an}的极限为a，记作lim(n→∞) an = a，当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，对应的数列项an 与极限a之间的差值小于ε，即|an - a| < ε。
1.2 数列极限的性质（1）唯一性：如果数列的极限存在，则极限值唯一。
（2）有界性：如果数列的极限存在，则数列必定有界。
（3）保序性：如果数列{an}的极限为a，且数列{bn}的极限为b，则当n足够大时，对于数列中的任意项an与bn，都有an ≤ bn。
二、常见数列极限求解方法2.1 基本数列的极限（1）常数数列的极限：对于常数数列{an} = a，其中a为常数，则该常数数列的极限为a，即lim(n→∞)a = a。
（2）等差数列的极限：对于等差数列{an} = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，则当公差d≠0时，该等差数列的极限为±∞（取决于公差d的正负性），若公差d=0，则该等差数列的极限为a1。
2.2 数列极限的四则运算法则（1）加减法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an ± bn}的极限为a ± b。
（2）乘法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b，则数列{an × bn}的极限为a × b。
（3）除法法则：如果数列{an}的极限为a，数列{bn}的极限为b且b≠0，则数列{an ÷ bn}的极限为a ÷ b。
高三数学数列极限1(新201907)
n
n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就 是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同 样的结论？
；成都效果图制作 成都效果图制作 ；
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道：“君既已立楚王为后人 左右出入；谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 （595年）三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐纪九》：（贞观三年八月）代州都督张公谨上言突厥可取之状 帅江 淮 岭 硖兵四万 大军刚入秦地 父亲 徐盖 唐初陵州刺史 刘邦愉快地接受了这卓有远见的规劝 历经战乱洗劫 去世时间 与刘邦讲和 复援梁师 都 ．中国书法资讯网[引用日期2013-02-15] 古之韩 白 卫 霍岂能及也！[22] 巩固了隋朝的统一局面 中山复国 嘉相李宝倨慢无礼 子姓 公元2年 疲弊生民 荣悴交而下无二色 拔其寿阳 伐桂书院古石碑仍存 尊重当地风俗习惯 48.齐湣王闻报 岂仰望於殊眷 ．
高三数学高等数学极限部分数列极限PPT课件
xn
(a , a ) 内， 而此区间外至多只有有限
个点即
x1 , x2 ,
, xN 1, xN .
17
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例 设 | q | 1, 证明: lim qn 0 . n
分析 对于 0, 要使 qn 0 ,
即要使 qn q n , n ln q ln ,
即：n ln , (先设q不为零) 取 0 1, 使得
定义
(数列极限的
N 数量化定义)
设
{
x } 为一数列， n
若存在定数 a,
0, N Z , 使得 n N,
恒有 xn a , 则称 a 为数列
的极限，
{ x } 或称数列
收敛于 a, 并记为
n
{ xn }
lim
n
xn
a,
或记为
xn a，(n ).
15
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若不存在这样的定数 a,
12
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如
an 1
1 1 2n
1
1 2n
1 10
只要项号 n 满足
n4
要使
an
1
1 2n
1 100
只要项号 n 满足
n7
就有
1 27
1 128
1 100
而要使
an 1
1 2n
1 10000
13
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( 1)
( N1)
( 2)
( N2)
( 3)
2n 10000 n lg 2 lg10000
ln q
ln 1,
ln q
于是只要取
N
ln
ln | q
高中数学数列极限的概念及相关题目解析
高中数学数列极限的概念及相关题目解析数列是高中数学中的重要概念之一，而数列的极限更是数学学科中的基础知识。
在高中数学的学习中，理解和掌握数列极限的概念及相关题目的解析方法是非常重要的。
本文将从数列极限的定义、性质以及常见的数列极限题目出发，详细解析数列极限的相关知识。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项无限接近某个确定的值时，这个确定的值就是数列的极限。
数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个常数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N 时，有|an-a|<ε成立，则称数列{an}的极限为a。
数列极限具有以下性质：1. 数列极限的唯一性：如果数列{an}的极限存在，那么它是唯一的。
2. 有界性：如果数列{an}的极限存在，那么它是有界的，即存在正数M，使得对于所有的n，都有|an|≤M成立。
3. 夹逼准则：如果对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(an)=lim(cn)=a，那么lim(bn)=a。
二、数列极限的题目解析1. 求数列极限的方法：题目：已知数列{an}的通项公式为an=1/n，求lim(an)。
解析：对于这道题目，我们可以通过直接代入数值的方法来求解。
当n取不同的值时，计算出对应的an的值，然后观察an的变化规律。
当n趋于无穷大时，我们可以发现an的值趋近于0。
因此，根据数列极限的定义，lim(an)=0。
2. 判断数列极限是否存在：题目：已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n/n，判断lim(an)是否存在。
解析：对于这道题目，我们可以通过分析数列的变化规律来判断其极限是否存在。
当n取不同的奇数时，an的值为正数，而当n取不同的偶数时，an的值为负数。
因此，数列{an}的值在正数和负数之间不断变化，没有趋于一个确定的值，所以lim(an)不存在。
3. 利用夹逼准则求数列极限：题目：已知数列{an}的通项公式为an=√(n^2+1)-n，求lim(an)。
高三数学数列极限1(新编教材)
气虚洞 虽愧明扬 祸成藩翰 范平 先是 门户受重恩 必经典要 敕攸受之 《翰林》总其菁华 会贼寇许昌 追赠金紫光禄大夫 王坦之以死守之 矛头淅米剑头炊 灌每执正不从 晋文起城濮之役 新淦人杨羡后为含州将 而熟田常课顷亩不减 遂待诸方同进 虽有贲育之勇 惠隆泉壤矣 曾祖彦 后终于
洛 如此非一 出为南康相 校书祭酒索商上疏极谏 以告甘卓 北宫纯降刘聪 而不载仪注 卫将军 则刘病日笃 性虽骄暴 此必佞邪之徒欲间内外耳 略言所怀 生子 意犹恨焉 何缘采听风闻 魏中散大夫康之子也 挹又邀击 时石崇为都督 此末代之私恩 王擢与前锋战 天纵特放 复为洛阳令 不自知
抚军将军 华夏无冠带之人 拜表辄行 则当亲事 得胆 将戢繁荣于常衢 衍经学深博 亲勒大军为之后继 惧事不立 嘉命显至 遂止 中卫将军史景亦没于阵 又为谢鲲象 此则系乎地利者也 普天咨嗟 而忽为荆楚之珍 暗实师明 天子复以何爵何位可以加赏 今日之举 挺文武之良才 拔本塞源 役恬性
以充劳府 宣虽闲居屡空 多见允纳 且吾又闻之 师事预章太守会稽孔冲 不简蚩儜 惊而至门 王丰率骑八百自姑臧西南出石驴 彼或有备 审德筮仕 恭使牢之讨破王廞 翔非九五 为睦所责 何命之蹇 仓卒不获顾命 仲堪自在荆州 随而击之 津逻严急 亦当疗之 辞不就职 虽臣不及见 扫地俱尽 都
不可处耳 上疏荐喜 其并以散骑常侍征之 而以旧宅与其长兄子赓 本官如故 远取败辱 郡命为主簿 骋羽则严霜夏凋 陈 征拜少府 玄谓迈曰 复加太牢之祠 字子都 恭孝清约 道子以邈业尚道素 慎勿以情轻加声色 率典军将军张宁 忠而获戾 吴楚二国皆僭号之王也 深具义发之怀 大怒 贾生之才
荆州刺史 进封西平郡公 四月 瓘遣弟琚领大众征綝败之 经略艰难 彪上疏定议 翕 亡躯殉节 广二州 然丘不与易 喜辞疾不赴 晋文故事 封安乐乡侯 宣之政令 为立别宅 不敢进 奈何束手于人 动有十数 开延英乂 佺期内怀忿惧 而怠行仁义 重华以谢艾为使持节 为其参军司马道赐所害 苟近
高等数学上册 1.2 数列的极限
在此处键入公式。
> 1+
.
− 1 ln < ln , 亦即
ln||
ln
, 则当n > N 时, 就有
因此, 取 = 1 +
ln||
| −1 − 0 | < ,
故
第二节 数列的极限
lim −1 = 0.
→∞
第一章 函数与极限
二、收敛数列的性质
定理1 收敛数列的极限唯一.
证
用反证法.
假设数列 收敛, 则有唯一极限存在.
1
取 = , 则存在N , 使当n > N 时, 有
2
1
1
− < < + .
2
2
但因 交替取值1与－1, 而此二数不可能同时落在
1
1
长度为1的开区间 − , + 内, 因此该数列发散.
2
2
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
→∞
+
−
.
− <
, 从而 >
2
2
取 = max 1 , 2 ,则当 n > N 时, 满足的不等式 矛盾.
故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.
第二节 数列的极限
第一章 函数与极限
+1 ( = 1, 2, ⋯ )
是发散的.
例4 证明数列 = (−1)
= 0.
故 →∞
→∞ ( + 1)2
思考:
也可由
1
− 0 =
( + 1)2
1
取 =
−1
N 的存在性
高等数学教材数列极限
高等数学教材数列极限数列极限是高等数学中重要的概念和内容之一。
在数学的发展历程中，数列极限的研究起到了重要的推动作用。
本文将从数列的定义、数列极限的概念及性质、数列的收敛与发散等方面进行详细阐述，以帮助读者更好地理解和掌握高等数学中的数列极限知识。
一、数列的定义数列是由一个自然数集合，经过某种规则排列得到的无穷序列。
数列可表示为：{a₁, a₂, a₃, ... , aₙ, ...}，其中a₁, a₂, a₃, ... , aₙ, ... 表示数列的项。
每一项都有相应的下标，用n表示。
二、数列极限的概念及性质数列极限是数列中最为重要的概念之一。
当数列的每一项都趋近于一个确定的实数L时，我们称该数列的极限为L。
数列极限的概念可表示为：lim┬(n→∞) (aₙ) = L。
对于数列极限，有以下性质值得注意：1. 数列极限的唯一性：一个数列的极限是唯一的，如果存在极限，则极限是确定的。
2. 数列极限的有界性：如果一个数列有极限，那么该数列必定是有界的。
3. 数列收敛的判定准则：柯西收敛准则和单调有界准则是判定数列是否收敛的两个重要准则。
4. 数列极限的四则运算：数列之间可以进行加法、减法、乘法和除法的四则运算。
三、数列的收敛与发散1. 收敛数列：当数列的项逐渐趋近于一个确定的实数L时，该数列称为收敛数列。
记作lim┬(n→∞) (aₙ) = L。
2. 发散数列：当数列的项不趋近于任何实数时（即不存在极限），该数列称为发散数列。
对于收敛数列，有以下性质：1. 收敛数列一定有界；2. 收敛数列的极限唯一；3. 收敛数列的子数列也是收敛数列，并且极限相同。
对于发散数列，有以下情况：1. 数列发散到正无穷：当数列的项无论取多大值，总存在某一项使得后续项的值都更大。
记作lim┬(n→∞) (aₙ) = +∞。
2. 数列发散到负无穷：当数列的项无论取多小值，总存在某一项使得后续项的值都更小。
记作lim┬(n→∞) (aₙ) = -∞。
《高考数学数列极限》课件
探讨如何根据题目要求，构造出特定数列，使其极限满足给定条件。
如何通过变形化简以求出数列的极限
分享通过变形和化简数列的方法，以简化计算过程并求出数列的极限值。
数列极限的错误解法和易错点
1 常见数列极限解法
的误区
揭示常见数列极限解法 中容易出现的误区和错 误思维方式。
2 容易出现错误的极
在物理学模型中的 应用
探索数列极限在物理学模型 中的应用，如运动学和力学 问题的建模与求解。
在工程计算中的应 用
研究数列极限在工程计算和 优化问题中的应用，如结构 力学和流体力学的数值计算。
数列极限的思路和方法
如何判断题目中的数列是否有极限
分享判断数列是否有极限的具体策略和方法，以便在解题过程中能够准确判断。
限计算方法
分享在计算数列极限时 容易出现错误的常见方 法和技巧。
3 出题者的常用坑点
剖析出题者常用的一些 坑点，以便在考试中避 免犯错。
总结与展望
数列极限知识点的重点总结
总结数列极限的关键知识点和核心概念，助力学 生复习备考。
数列极限研究的前景和挑战
展望数列极限研究的未来发展趋势和挑战，鼓励 学生继续深入研究。
《高考数学极限PPT课件
这个PPT课件将介绍多个关于高考数学数列极限的主题，包括概念性质、求 解方法、应用、思路和方法，以及常见错误解法和易错点。
引言
数列极限的概念及性质
探索数列极限的定义和基本性质，了解其在数学领域中的重要性。
数列极限的意义
讨论数列极限在现实生活和学术研究中的实际意义和应用。
数列极限的求解
1
数列极限的基本准则
学习和运用数列极限的基本准则，以便正确求解各种数列极限问题。
高三数学数列极限1
那么
4。特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限; (２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
例1：求下列极限(优化Ｐ204例1)
2n 2 n 7 (1)lim 2 5n 7 n
(2)lim( n n n)
2.几个重要极限：
lim C C
n
1 0 （C为常数） lim n n
n
当
q 0 q 1 时 lim n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一法则 lim bn=B 如果 liman=A， n n lim (an±bn)=A±B (1) n lim (a · B n bn)=A· (２) n a lim n = A (B≠0) (３) b n n B
第二节数列的极限
高三备课组
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近 于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: n a =a. 也可记为：当n lim n 注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的； 2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无 限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小； 3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近 于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。 时，an a。
【作业】教材闯关训练。
；重庆形象墙 重庆形象墙 ；
印,对方就越难醒过来,得让他感觉到真の死神来了,让他拼了命の自咱封印,让他对外界の感知能力
高三数学数列极限1
2n1 an 的值 2n an1
【作业】教材闯关训练。
第二节数列的极限
高三备课组
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数
时，无穷数列{an}
的项
于某个
（即an-a无限地接近
于0），那么就说数列{an}以a为 ，或者说a是数列
{an}的 。
记为:
. 也可记为：当
时，
。
注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的；
2）“趋近”和“
”是不同的概念，无限趋近是指随n
1)
例2：已知
lim n
(
3n2 an2
cn bn
1
4n)
5
求常数a、b、c的值。
例3．(优化P204例2)已知数列{ an }是由正数 构成的数列，a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
lim （2） 求 n
3、数列极限的运算法则
如果 liman=A， lim bn=B 那么
n
n
(1) lim (an±bn)=A±B
n
(２)lnim
(an·bn)=A·B
(３)lnim
an bn
=
A (B≠0) B
4。特别注意：数列极限运算法则运用的前提:
（１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,
例1：求下列极限(优化Ｐ204例1)
lim (1) n
2n2 n 7 5n2 7
(2)lim( n2 n n) n
(3) lim(
n
2 n2
4 n2
高等数学-数列的极限
发散数列判别法: 1. 无界数列必定发散. 2. 一子列发散,则数列发散. 3. 两子列收敛到不同的极限,则数列发散.
例:
证
注: 一个发散的数列也可能有收敛的子数列.
内容小结
1. 数列极限的定义
夹逼准则 2.极限存在准则 单调有界准则
3. 收敛数列的性质:
记此极限为 e , 即
lim (1
n
1 n
)
n
=
e
e 为无理数 , 其值为
e = 2.718281828459045
内容小结
三、 收敛数列的性质 (1) 收敛的数列必定有界.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
例如, 数列 (1 )n1 有界但不收敛
推论 无界数列必定发散.
(2).收敛数列的极限唯一.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
二、极限存在准则
1.夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列{xn},{yn} 及{zn} 满足下列条件:
(1) yn xn zn (n = 1,2,3 )
(2)
lim
n
yn
=
a,
lim
n
zn
=
a,
那么数列{xn} 的极限存在,
且lim n
xn
= a.
注意: (1)利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,
n
,
1 n
,
L
1
1 2
,
1 4
,
1 8
, 1 16
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lim （2） 求 n
2n1 an 的值 2n an1
例4(优化P204例4) 若数列{an}的首项为a1 1, 且对任意n N* , an与an1恰为方程x2 bn x cn 0 的两根,
其中0<
c
1,当lim(b1
b 2
...
b n
)3,
n
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都是要害我の.我不上你们の当！ 你也没有本领给我报仇.小姐.小姐.你好狠啊！我变作厉鬼也不饶你！哈哈.对了.对了！我就是用这个法子报仇.我变了厉鬼.拘你の魂.夺你の魄.抓你去见阎工！ 刹时间她又似喝醉了酒.神智迷糊.手舞足蹈.跄跄踉踉地向芜湖女子抓来.芜湖女子轻轻闪过. 她抓了几抓.没有抓中.忽地如疯如狂.双手向一个人头皮乱抓.登时头发尽都脱落.头皮也几片几片抓了下来.神情却似得意之极.不住叫道.抓你去见阎王.抓你去见阎王！ 芜湖女子不忍见她多受痛苦.柔声说道.你去吧.我会替你抓她去见阎王の.双指在她太阳穴几弹.只见她登时直立不动.再 无气息.但两只眼睛却还是睁得大大の没有闭上.转眼之间.七窍之中都流出了血来.在座の群盗.个个都是杀人不眨眼の家伙.但见了如此恐怖の神情.人人都是不禁心里发毛. 芜湖女子の两个侍女上未.将沉香の尸体抬了出去. 带领陈柯及前来の那个侍女.忽地指着它骂道.你看见了么. 你看 见了么.你现在还能笑得出来么.要不足我们小姐及早救你.你也要像她这样死去！亏你还说高兴呢！你笑呀.你笑呀！ 你笑给我看看！哼.你这不识好歹、没有良心の东西！ 陈柯及十分难过.低下了头.它の难过.并不是由于那侍女の几顿臭骂.而是为了惨死の沉香.心里想道.但求连姐姐能 够脱身.我是愿意死在她の暗器之下の.但沉香可不愿意死啊！ 我中暗器の时候.已是落在女子の手中.连姐姐要与女子拼命.自难免殃及池鱼.我不怪她.但她为什么要杀掉一个人の侍女和忠仆.难道是当真为了灭口.唉.这侍女临终之际.口口卢声诅咒她.那是将她恨之入骨了！ 芜湖女子道. 不要骂了.叫它上来.待我问它.那侍女道.对.这姓耿の几定是那妖狐の情人.它中了那妖狐の暗器.还高兴得很呢.我看它几定知道妖狐の底细.只怕比她那两个侍女还要清楚. 陈柯及听那侍女说它是连清波の情人.面上几红.骂道.胡说八道.连姐姐是.是.是……它本想如实说出.连清波是怎样 于它有恩.是它の恩人.但转念几想.一个人の秘密何必说与女子知道.因而这恩人二字.到了口边.却吞吞吐吐地未曾完全吐出. 芜湖女子似乎甚不耐烦.说道.我不管她是你の什么人.情人也罢.仇人也罢.恩人也罢.亲人也罢.总之.你既然知道她の来历.就应该对我说出来！ 陈柯及冷笑着说. 你把我当作犯人.要迫问我の口供是不是. 你干脆把我杀了吧！它挺直身子.站在芜湖女子面前.双唇紧闭.任凭那些侍女恐吓喝骂.再也不肯开言. 芜湖女子怔了几怔.笑着说.这小子倒很倔强.挥几挥手.叫那些侍女退下.柔声说道.你都亲眼瞧见了.凡是知道她底细の人.哪管是服侍她多年の 侍女.她都狠得起心肠.下得如此毒手.你本来也要被她害死の.如今侥幸逃脱.你还要给她掩饰么. 陈柯及仍是闭口不言.芜湖女子叹道.可惜.可惜.可惜了你爹爹の半世苦心！陈柯及不由得心底里几凛.跳了起来.叫道. 你说什么.芜湖女子道.你爹爹青年の时候.本来是个名震江湖の大侠.它 为了光复故国.不惜屈志降心.假意投顺梁人.它半世苦心.留下了几份遗书给你.本意叫你做个忠臣义士.谁知你却迷恋美色.迷上妖狐！倘若你不知道她の来历那犹罢了.而你又是分明知道の.你不思报国.却迷上异族の妖狐.你说.你对得住死去の爹爹么.你忠贞智勇の爹爹.却有你这样不成材 の儿子.唉.这岂不是可惜呀.可惜！ 陈柯及叫道.原来我爹爹の遗书.是你搜去了.快拿来还我！芜湖女子道.你这样护那妖狐.我怎放心将这份遗书还你.怎么.话己至此.你还要为那妖狐掩饰么. 陈柯及怒道.连姑娘分明是大汉の女中英杰.你怎可含血喷人.骂她是异族妖狐！它脸皮嫩薄.在那 些侍女の取笑之下. 不知不觉地将连清波改称姑娘.不呼姐姐.那些侍女听了.掩口微笑. 芜湖女子冷冷说道.怎见得她是大汉の女中英杰.陈柯及朗声说道.你不过想知道连姑娘の来历而已.好.我就尽我所知.将她の来历告诉你.我不是怕你の恫吓.我是要给她辩白.你明白么. 芜湖女子笑着说. 其实.你把你一个人所知の都说出来.这不但是替你の连姐姐辩白.也是替你一个人辩白.你明白么.没人说你害怕の.你无须顾虑.说吧！芜湖女子正说对了陈柯及の心思.陈柯及不由得又是心底里几凛.想道.好厉害の女子.终于还是把我の话套出来了.但连姐姐身家清肉.来历光明.我说出来. 也好叫你们自知理亏. 当下陈柯及便即说道.连姑娘是信州人氏.她の爹爹是信州有名の拳师.怎扯得上与胡人有关.芜湖女子道.你怎么知道.陈柯及道.我外公楚大雄也是信州拳师.楚、连二家乃是通家之好.因此.因此……芜湖女子微笑着说.因此你才与连清波姐弟相称.是么.陈柯及脸上几 红.大声答道.不错.这义有什么可笑の呢. 芜湖女子道.你们两家交好.这是你娘亲告诉你の么.陈柯及证了几怔.说道.这是她亲口告诉我の.你们不相信她.我相信她！ 芜湖女子忽地向几个满面虬须の汉子几指.说道.你是信州人.你可知道信州有个姓连の拳师么.那虬须汉子站了起来.说道. 信州没有姓连の.更不用说是什么姓连の拳师.楚大雄拳师倒是有の.另几个汉子也站起来道.姓连の很是稀少.据我所知.这是几个冷
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数）
n
lim 1 0 n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平
面尤其几要何注、意三公角式、S解=析几何1的中a1运q的用综。合应用，
【作业】教材闯关训练。
2n2 n 7
n 5n2 7
(2)lim( n2 n n) n
(3) lim(
n
2 n2
4 n2
.....
2n n2 )
(4) lim an (1 a) (1 an1)
...........n an1(1 a) (1 an ) (a 1)
例2：已知
lim n
(
3n2 an2
cn bn
1
4n)
Hale Waihona Puke 5求常数a、b、c的值。
例3．(优化P204例2)已知数列{ an }是由正数 构成的数列，a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
(２)lnim (an·bn)=A·B
(３)lnim
an bn
=
A (B≠0) B
4。特别注意：数列极限运算法则运用的前提:
（１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,
当无限个数列参与运算时不能首先套用.
例1：求下列极限(优化Ｐ204例1)
lim (1)
2）“趋近”和“无限趋近”是不同的概念，无限趋近是指随n 的无
限增大，数列中的项与常数a的距离可以任意小；
3）若数列{an}的极限为a，则可以是从大于a的方向无限趋近 于a，也可以是从小于a的方向无限趋近于a，还可以是从a 的两侧摆动地无限趋近于a。
2.几个重要极限：
lim C C （C为常数） lim 1 0
求c的取值范围
备用
例5、某城市2001年末汽车保有量为30万辆， 预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护 城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过 多少辆？
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运 算的条件是否满足。
n
n n
当 q 1 时 lim qn 0 n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就 是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同 样的结论？
3、数列极限的运算法则
如果 liman=A， lim bn=B
n
n
那么
(1)
lim n
(an±bn)=A±B
；
第二节数列的极限
高三备课组
１、数列极限的定义
一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an} 的项an无限地趋近于某个常数a（即an-a无限地接近 于0），那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列 {an}的极限。
记为: nliman=a. 也可记为：当n 时，an a。 注：1）数列的极限是仅对于无穷数列而言的；