广深珠三校2020届高三第1次联考--理科数学试卷

绝密★启用前 试卷类型：A广深珠三校2020届高三第一次联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合A ＝{x ｜lg(2)y x =-}，B ＝{2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝.A. {x ｜0＜x ＜2}B. {x ｜0≤x ＜2}C. {x ｜2＜x ＜3}D. {x ｜2＜x ≤3} 2．若复数z 的共轭复数满足()112i Z i -=-+,则||Z =.B.32D.123．下列有关命题的说法错误的是.A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若αβ、是两个不同平面，m α⊥,m β⊂，则 αβ⊥；C. “1sin =2x ”的必要不充分条件是“=6x π”； D. 若命题p ：200,0x R x ∃∈≥，则命题：2:,0P x R x ⌝∀∈<；4．已知某离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =.A ．23B ．1C ．32D ．25．已知向量a 、b 均为非零向量，则a 、b 的夹角为.A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．若1cos =86πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为. A.1718B.1718-C.1819D.1819-7．若直线()m n +2=0m>0n>0x y +、截得圆()()2231=1x y +++的弦长为2，则13m n+的最小值为. A. 4B. 12C. 16D. 68．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=. A ．5B ．6C ．7D ．89．已知定义在R上的偶函数()())cos()(0,),0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为. A.1C.12D.210．在如图直二面角A-BD-C 中，△ABD 、△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是.A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B 11．定义12nnp p p ++⋅⋅⋅+为n 个正数12n p p p ⋅⋅⋅、、、的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a的前n 项的“均倒数”为121n +，又1=4n n a b +，则12231011111=b b b b b b ++⋅⋅⋅+. A.111 B. 112 C. 1011 D. 1112 12．已知函数()2x mf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是. A. (0,)eB. (0,2)eC.(,)e +∞ D. (2,)e +∞第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13．设,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ；14．若3(nx-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为 ；15．已知点P 在双曲线()2222=10x y a b a b->>0,上，PF x ⊥轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为 ；16．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ABC ⊥平面，==2AB AC ， ∠BAC =120。

，若三棱锥P ABC -的体积为3，则球O 的表面积为 ； 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=； （1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且∠ADB =2∠ACD ，3a =，求b 的值．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒∆为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC 、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．19. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>的离心率为2，且经过点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的A B 、两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k +∈N 上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．21. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程 ；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx y ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程 ． （a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,． ②刻画回归效果的相关指数③参考数据： 5.46235e≈， 1.43 4.2e ≈．表中1ln ,10i i i i u y u u ===∑．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值. 23．[选修4-5：不等式选讲](10分） 已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值．广深珠三校2020届高三第一次联考理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只12、已知函数()2xm f x xe mx =-+（e为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ） A. (0,)eB. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞【详解】由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠，则12x xe m x =-， 设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 则()222111'222'()1122x x x xe x xe e x x h x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212x e x x x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵0x >且12x ≠，∴由'()0h x =得1x =， 当1x >时，'()0h x >，函数为增函数， 当01x <<且12x ≠时，'()0h x <，函数为减函数， 则当1x =时函数取得极小值，极小值为(1)2h e =， 当102x <<时，()0h x <，且单调递减，作出函数()h x 的图象如图： 故：要使12xxe m x =-有两个不同的根，则2m e >即可，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13． 19 ； 14． 15 ； 15．3； 16．20π；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=； （1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【详解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb += ………..2分由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=； ………..4分化简得：222b c bc +=,所以()20b c -=即b c =， ………..5分故ABC 为等腰三角形． ………..6分 （2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，1AD CD ∴==， ………..8分又cos cos ADB ADC ∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， ………..10分 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=，由（1）可知b c =，得b = ………..12分18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒∆为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M、分别为PD PC 、的中点． （1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值． 【详解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =； ………..2分在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形， ………..4分//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，//CE ∴平面PAB ． (6)分法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，E 为PD 的中点，所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ， 又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，//OE ∴平面PAB ， (2)分又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， 所以四边形BAOC 是平行四边形，//BC BA ∴，又OC ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，//OC ∴平面PAB ， ………..4分又OE OC O ⋂=，所以平面//OEC 平面PAB ， 又CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ． ………..6分（2）设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥．因平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又由//CO BA ，90BAD ∠=︒，CO AD ∴⊥．即有,,OA OC OP 两两垂直，如图，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系．………..7分已知点()()()()111,0,0,1,0,1,,1,0,0,0,0,1,22A B M D AB AM ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……..8分 设平面ABM 的法向量为：(),,m x y z =．则有01022m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，可得平面ABM 的一个法向量为()3,2,0m =，311,,2DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， ………..10分可得：(1120cos ,7m DM m DM m DM+⨯⋅===⋅， (11)分所以直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值为7． ………..12分 19. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:=10x y C a b a b +>>的离心率为2，且经过点1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的A B 、两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰好关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（Ⅰ）由题意可得，，又a 2﹣b 2＝c 2， ………..2分解得a 2＝4，b 2＝1，． 所以，椭圆的方程为． ………..4分（Ⅱ）存在x 轴上在定点Q ，使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称， 设直线l 的方程为x +my ﹣＝0，与椭圆联立可得．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），假设在x 轴上存在定点Q （t ，0）． y 1+ y 2＝，y 1 y 2＝． ………..6分∵PN 与QN 关于x 轴对称，∴k AQ +k QB ＝0， ………..7分 即⇒y 1（x 2﹣t ）+y 2（x 1﹣t ）＝0，⇒，⇒，⇒⇒t ＝． ………..9分 ∴在x 轴上存在定点Q （，0）．使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称． ………..10分特别地，当直线l 是x 轴时，点Q （，0）．也使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称． …..11分综上，在x 轴上存在定点Q （，0）．使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称． ………..12分20．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k +∈N 上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【详解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为(1)0f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-． -------------2分 （2）令1()10f x x'=-=，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e ef =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->，所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． -------------6分 （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m ∈R ； 当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x xm x +>-， ------------7分 令ln ()1x x xg x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--， 由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ， 此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >． ------------9分当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x-->可化为ln 1x x x m x +<-， 由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <． 综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{1,2,3}． ------------12分 21. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx y ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =． （a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e≈， 1.43 4.2e ≈．表中1ln ,10i i i i u y u u ===∑．解：（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， ……1分 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程。