2021届新中考数学必考精点考点专题 专题04 实数和二次根式的运算 原卷版
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
二次根式知识点总结及其应用
二次根式知识点总结及其应用二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
在学习二次根式的过程中，我们需要掌握以下几个重要的知识点。
1.二次根式的定义和性质二次根式是数学中的一种运算符号，表示一个非负实数的算术平方根。
如果a≥0，则√a是一个实数；如果a<0，则√a是一个虚数。
二次根式的性质有以下几点：（1）非负数的非负平方根是一个实数，记作√a，其中a≥0；（2）非负实数a的平方根必须满足：如果x是a的平方根，则-x也是a的平方根；（3）二次根式的运算规律：√ab=√a·√b，√(a/b)=√a/√b。
2.简化二次根式简化二次根式是指将一个二次根式写成最简形式。
其中的关键是将根号下的数分解成若干个因数的平方。
一般地，对于一个非负实数a，我们可以将其分解为质因数的乘积，然后将其中的每个质因数的平方提取出来写成一个二次根式。
例如，对于√12，我们可以将12分解为2×2×3，然后将2和3的平方根提取出来，得到√12=2√33.二次根式的四则运算对于二次根式的加、减、乘、除，我们需要根据运算规律来进行计算。
（1）加减：对于两个二次根式的加减，可以先化简，然后将其中的同类项合并。
例如，计算√3+2√3，可以化简得到3√3，再将3√3与2√3相加，得到5√3（2）乘法：对于两个二次根式的乘法，使用运算法则√ab=√a·√b，将根号下的数分解后相乘。
例如，计算(√2+√3)(√2-√3)，可以用分配律展开，得到2-3=-1（3）除法：对于两个二次根式的除法，也使用运算法则√(a/b)=√a/√b，将根号下的数分解后相除。
例如，计算(√8)/(√2)，可以化简得到√2，即(√8)/(√2)=√24.二次根式的应用二次根式在数学和实际生活中有广泛的应用。
（1）几何应用：二次根式常用于计算几何图形的面积和边长。
例如，计算正方形的对角线长度、矩形的对角线长度等。
（2）物理应用：二次根式常用于计算一些物理问题。
专题01 实数与二次根式【考点精讲】(解析版)
【考点1】实数的概念与正负数的意义1．实数：有理数与无理数统称为实数。
实数与数轴上的点一一对应。
实数的分类如下：① 按定义分：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数② 按大小分：实数可分为正实数、零、负实数.2．正负数的意义：表示具有相反意义的量【例1】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是（ ）专题01 实数与二次根式A．1月6日21时B．1月7日21时C．1月6日19时D．1月6日20时【分析】纽约与北京的时差为﹣13小时，表示纽约的时间比北京时间晚13个小时，比得北京时间1月7日8时晚13个小时的时间为1月6日19时，从而得出答案．【解答】解：24﹣[8+（﹣13）]＝19故选：C．【例2】下列实数中是无理数的是（）A．3.14BCD．17【分析】根据算术平方根、无理数的定义即可得．【解答】A、3.14是有限小数，属于有理数，此项不符题意；B3=，是有理数，此项不符题意；C是无理数，此项符合题意；D、17是分数，属于有理数，此项不符题意；故选：C．1．（2021·山东济宁市）若盈余2万元记作2+万元，则2-万元表示（）A．盈余2万元B．亏损2万元C．亏损2-万元D．不盈余也不亏损【分析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．【解答】解：∵盈余2万元记作+2 万元，∴-2万元表示亏损2万元，故选：B．2．（2021·广西来宾市）下列各数是有理数的是（）A．p BCD．0【分析】利用有理数和无理数的定义判断即可．【解答】解：四个选项的数中：p 0是有理数，故选项D 符合题意．故选：D ．【考点2】相反数、倒数1．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数.（1）若a,b 互为相反数,则a +b =0;（2）0的相反数是0;（3）在数轴上,互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等. 2．倒数：乘积为1的两个数互为倒数.（1）ab =1⇔a,b 互为倒数;（2）0没有倒数;（3）倒数等于它本身的数是1和-1.【例3】-2021的相反数是（ ）A ．2021B ．-2021C ．12020D ．12020-【分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解答】解：-2021的相反数是：2021．故选：A ．【例4】﹣211的相反数是，倒数是 ．【分析】根据相反数与倒数的概念解答即可．【解答】解：∵﹣211的相反数是 211，∵﹣1＝﹣，∴﹣1倒数是﹣． 故答案为：1，﹣．【考点3】数轴【例5】（2021·青海）若123a =-，则实数a 在数轴上对应的点的位置是（ ）．A ．B ．C ．D ．【分析】首先根据a 的值确定a 的范围，再根据a 的范围确定a 在数轴上的位置．【解答】解：∵123a =-∴ 2.3a »，∴ 2.52a -<<-，∴点A 在数轴上的可能位置是：，故选：A ．【例6】（2021·湖南）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A ．a b>B ．||||a b >C ．0ab >D ．0a b +>【分析】由数轴易得21,01a b -<<-<<，然后问题可求解．【解答】解：由数轴可得：21,01a b -<<-<<，∴,,0,0a b a b ab a b <><+<，∴正确的是B 选项；故选B．注:实数与数轴上的点是一一对应的.1．（2021·北京）实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．2a >-B ．a b >C ．0a b +>D ．0b a -<【分析】由数轴及题意可得32,01a b -<<-<<，依此可排除选项．【解答】解：由数轴及题意可得：32,01a b -<<-<<，∴,0,0a b a b b a >+<->，∴只有B 选项正确，故选B ．2．如图，数轴上点A ，B ，C 对应的有理数分别为a ，b ，c ，则下列结论中，正确的有（ ）①a +b +c ＞0 ②a •b •c ＞0 ③a +b ﹣c ＜0 ④10<<ab A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据数轴可知a ＜﹣1，0＜b ＜1，从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题．【解答】解：∵由数轴可知，a ＜﹣1，0＜b ＜1，∴ab ＜0，a ﹣b ＜0，a +b ＜0，|a |﹣|b |＞0，故①②③错误，④正确．故选：A ．3．有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，把a 、b 、﹣a 、﹣b 、0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A ．﹣a ＜a ＜0＜﹣b ＜bB ．a ＜﹣a ＜0＜﹣b ＜bC ．﹣b ＜a ＜0＜﹣a ＜bD ．a ＜0＜﹣a ＜b ＜﹣b【分析】根据正数大于负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：根据数轴可得：a ＜0＜b ，|a |＜|b |，则﹣b ＜a ＜0＜﹣a ＜b ．故选：C ．【考点4】绝对值1．绝对值：在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值，记为|a |.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.2．绝对值具有非负性：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 【例7】已知（x ﹣3）2+|2x ﹣3y ﹣3|＝0，则y ＝ ．【分析】根据非负数的性质列出二元一次方程组，求解得到x 、y 的值，再代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x ―3=0①2x ―3y ―3=0②，由①得，x ＝3，把x ＝3代入②得，6﹣3y ﹣3＝0，解得y ＝1．故答案为：1．【例8】9-的绝对值是（ ）A ．9B ．9-C ．19D ．19-【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可【解答】解：9-的绝对值是：9故选:A1．（2021·四川雅安市）-2021的绝对值等于（ ）A ．2021B ．-2021C ．12021D ．12021-【分析】根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数即可求出答案．【解答】解：﹣2021的绝对值即为：|﹣2021|＝2021．故选：A ．2．已知|x ﹣y +3|与（x ﹣2）2互为相反数，则yx yx -+2= ．【分析】根据绝对值非负数，偶次方非负数的性质列出二元一次方程组，然后再利用加减消元法求出y 的值，再代入其中一方程求出x 的值，进一步计算即可．【解答】解：∵|x ﹣y +3|与（x ﹣2）2互为相反数，∴|x ﹣y +3|+（x ﹣2）2＝0，∴x ―y +3=0x ―2=0，解得：x ＝2，y ＝5，x 2y x y =21025=―4．故答案为：﹣4．【考点5】科学计数法科学记数法：把一个数写成a ×10n （其中1≤|a |＜10，n 为整数）的形式，这种记数法叫做科学记数法.【例9】（2021·广东）据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ）A ．90.51085810´B ．751.085810´C ．45.1085810´D ．85.1085810´【分析】根据科学记数法的表示形式10n a ´，其中1||10a £<，n 为整数，一定要将题目中的“51085.8万”转化为数字510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来．【解答】51085.8万=51085800085.1085810=´ ，故选：D ．1．（2021·内蒙古）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一．将46.61万用科学记数法表示为4.66110n ´，则n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【分析】把46.61万表示成科学记数法的形式10n a ´，即可确定n ．【解答】46.61万=466100=4.661510´ ，故n =5故选：C ．2．（2021·湖南张家界市）我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（ ）A ．90.710´B ．80.710´C ．8710´D ．9710´【分析】将700000000写成a×10n （1＜|a|＜10，n 为正整数）的形式即可．【详解答】解：700000000=8710´．故选C ．3．（2021·贵州铜仁市）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在京举行，习近平总书记在大会上庄严宣告：“我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．这是中国人民的伟大光荣，是中国共产党的伟大光荣，是中华民族的伟大光荣!”现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．98990000用科学记数法表示为（ ）．A ．69.89910´B ．798.9910´C ．89.89910´D ．79.89910´【分析】根据科学记数法的性质分析，即可得到答案．【解答】98990000用科学记数法表示为：79.89910´ 故选：D ．科学记数法的表示方法：一般形式:a ×10n .1．a 值的确定:1≤|a |<10.2．n 值的确定:① 当原数的绝对值大于或等于10时,n 等于原数的整数位数减1;② 当原数的绝对值小于1时,n 是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示.【考点6】实数的大小比较【例10】（2021·__________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）．12，结果大于0大；结果小于0，则12大．【解答】102-，12＞，故答案为：＞．【例11】若0＜m ＜1，m 、m 2、m1的大小关系是（ ）A ．m ＜m 2m1<B ．m 2＜m m 1<C ．<m1m ＜m 2D ．<m1m 2＜m 【分析】利用特殊值法进行判断．【解答】解：当m =12时，m 2=14，1m =2，所以m 2＜m ＜1m．故选：B ．1．（2021·广西柳州市）在实数3，12，0，2-中，最大的数为（ ）A ．3B ．12C ．0D ．2-【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两个正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可．【解答】根据有理数的比较大小方法，可得：12032-<<< ，因此最大的数是：3,故选：A ．2．（2021·湖北襄阳市）下列各数中最大的是（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【分析】把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．【解答】由于－3<－2<0<1，则最大的数是1故选：D ．比较实数大小的5种方法1．数轴比较法:将两个数表示在同一条数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.2．类别比较法:正数大于零;负数小于零;正数大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.3．差值比较法:若a,b 是任意两个实数,则a -b >0⇔a >b ;a -b =0⇔a =b ;a -b <0⇔a <b .4．倒数比较法:若a 1>b1，ab >0，则a <b .5．平方比较法:由a >b >0,可得b a >,故可以把比较与的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题.【考点7】二次根式的估算【例12】（2021·1+在数轴上的对应点可能是（）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点1+的近似值，再判定它位于哪两个整数之间即可找出其对应点．【解答】解：1.414»，1 2.414+»，∴它表示的点应位于2和3之间，所以对应点是点D ，故选：D ．1．（2021·湖北随州市·中考真题）2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率p 精确到小数点后第七位的人，他给出p 的两个分数形式：227（约率）和355113（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc （即有bd x a c <<，其中a ，b ，c ，d 为正整数），则b d a c++是x 的更为精确的近似值．例如：已知15722507p <<，则利用一次“调日法”后可得到p 的一个更为精确的近似分数为：1572217950757+=+；由于179 3.140457p »<，再由17922577p <<，可以再次使用“调日法”得到p 的更为精确的近似分数……现已知7352<<，则使用两次“调日法”的近似分数为______．【答案】1712【分析】根据“调日法”的定义，第一次结果为：107，所以，根据第二次“调日法”进行计算即可.【详解】解：∵∴第一次“调日法”，结果为： ∵∴ ∴第二次“调日法”，结果为： 故答案为：2．（2020•黔东南州）实数A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间71057<<7352<<7+310=5+2710 1.42867»>71057<<7+1017=5+7121712【分析】首先化简【解析】∵67，∴6＜7．故选：C．求二次根式离哪个整数较近时,先确定这个二次根式在哪两个连续整数之间,再求这两个整数的平均数,用平方法比较这个二次根式和平均数的大小.若二次根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近;若二次根式的平方小于平均数的平方,则离较小的整数近.【考点8】平方根与算术平方根1．平方根与算术平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作a±；如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的算术平方根,记作a.2．平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.【例13】（2020•湖州）数4的算术平方根是（ ）A．2B．﹣2C．±2D【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解析】∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选：A．1．（2020•泰州）9的平方根等于 ．【分析】直接根据平方根的定义进行解答即可．【解析】∵（±3）2＝9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．2．（2021·=________【分析】先算4(2)-，再开根即可．==4=故答案是：4．【考点9】立方根1．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，记作3a .2．立方根的性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根.【例14】（2020•宁波）实数8的立方根是 ．【分析】根据立方根的性质和求法，求出实数8的立方根是多少即可．【解析】实数8的立方根是：2．故答案为：2．【考点10】二次根式1．二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意被开方数a 只能是非负数.2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.【例15】（2020苏州）使31-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故答案为：x ≥1．【例16】下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．18【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解析】A .6与3的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B .39=，与3不是同类二次根式；C .3212=，与3被开方数相同，故是同类二次根式；D .2312=，与3被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C ．【例17】（2020济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）A ．13B ．12C ．3aD ．35【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【解析】A 、13是最简二次根式，符合题意；B 、2312=，不是最简二次根式，不符合题意；C 、a a a =3，不是最简二次根式，不符合题意；D 、31535=，不是最简二次根式，不符合题意．故选：A ．1．（2021·化为最简二次根式，其结果是（ ）ABCD【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式=，=故选：D ．2．（2021·湖南娄底市）2,5,m 等于（）A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m Q 是三角形的三边，5252m \-<<+，解得：37x <<，374m m =-+-=，故选：D ．3．（2020苏州）使31-x 在实数范围内有意义的x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得，x ﹣1≥0，解得，x ≥1，故答案为：x ≥1．【考点11】实数与二次根式运算1．实数运算：在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算都可以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方.2．二次根式的运算法则：（1）());0(2≥=a a a （2）;)0()0(2⎩⎨⎧£-≥=a a a a a a （3）);0,0(≥≥⋅=b a b a ab（4）);0,0(>≥=b a bb 操作方法示例（1）分段:以加、减号为界,把式子分成几段(有括号的,先算括号内的,再分段);（2）先计算每一小段中每一小项的值(如零次幂、负整数指数幂、开方、绝对值、乘方等);（3）进行每段中的乘除运算;（4）进行段与段之间的加减运算.注意:同级运算按照从左到右的顺序进行.二次根式运算的注意事项1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).2．运算结果要化成最简形式.3．在二次根式的运算中,要注意2a 与次()2a 的区别.①取值不同:前者的a 为任意实数,后者的a 为非负数;② 化简结果不同:2a =|a |,2a =a .【例18】（2021·广西来宾市）计算：．【分析】先分别计算出有理数的乘方及括号内的有理数加减，再计算乘除，即可求得结果．【解答】3121(13)2öæ´-+¸-ç÷èø解：．【例19】下列等式成立的是（ ）A ．27243=+B ．532=´C ．32613=¸D ．()332=-【分析】根据二次根式的加、乘、除法法则及二次根式的性质逐一判断即可得．【解析】A ．3与24不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B ．632=´，此选项计算错误；C ．2363613=´=¸，此选项计算错误；D ．()332=-，此选项计算正确；故选：D ．1．计算533345´¸的结果正确的是（ ）A ．1B ．35C ．5D ．9【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．【解析】原式51593535153353´´=´¸= 11515151535==´´=故选：A ．321(13)2´-+¸-ç÷èø18(2)2=´¸-4(2)=¸-2=-2．（2021·()0130p+-+°．【分析】根据算术平方根的定义、零指数幂的意义、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、实数的运算等知识即可完成本题的计算．【解答】原式212p=++--p=3．（2021·江苏盐城市）计算：．【分析】根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．【解答】．4．（2021·【分析】先运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂以及平方根的知识化简，然后再计算即可．．5．（2021·湖南娄底市）计算：11)2cos452p-æö-+-°ç÷èø．【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：11)2cos452p-æö-+-°ç÷èø111)3-æö+--ç÷èø111)3-æö+-ç÷èø312=+-2=21cos45--+°-+21cos45--+°-112-+32122 =++-112=+-+-=．2。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
实数与二次根式考点归纳总结
二次根式与实数必考点全梳理考点1 平方根与立方根的定义解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方 根有2个；任意一个数的立方根只有1个．例题1 下列说法中，正确的是（ ）A ．﹣5是（﹣5）2的算术平方根B ．16的平方根是±4C ．2是﹣4的算术平方根D ．27的立方根是±3【解析】A 、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意；B 、16的平方根是±4，符合题意；C 、2是4的算术平方根，不符合题意；D 、27的立方根是3，不符合题意．故选：B ．变式1 下列结论中，其中正确的是（ ）A ．√81的平方根是±9B ．√100=±10C ．立方根等于本身的数只有0.1D ．√−63=−√63【解析】A ．∵√81=9，9的平方根为±3，∴√81的平方根为±3，故原说法错误；B .√100=10，故原说法错误；C ．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；D .√−63=−√63，故原说法正确．故选：D ．变式2 下列说法：①±3都是27的立方根；②116的算术平方根是±14；③−√−83=2；④√16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误；②116的算术平方根是14，原来的说法错误； ③−√−83=2是正确的；④√16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误；⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误．故其中正确的有1个．故选：A ．变式3 下列说法正确的是（ ） A ．若√a 2=−a ，则a ＜0B ．若√a 2=a ，则a ＞0C ．√a 4b 8=a 2b 4D ．3的平方根是√3【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、若√a 2=−a ，则a ≤0，故本选项错误；B、若√a2=a，则a≥0，故本选项错误；C、√a4b8=a2b4，故本选项正确；D、3的平方根是±√3，故本选项错误；故选：C．考点2 算术平方根的小数点移动规律解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；例题2由√3≈1.732，得√300≈17.32，则√0.03≈，√30000≈．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．【解析】∵√300≈17.32，∴√0.03≈0.1732，√30000≈173.2，从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；故答案为：0.1732，173.2，两．变式4如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若√a=180，且−√3.24=−1.8，则被开方数a的值为．a…0.0000010.011100100001000000…√a…0.0010.11101001000…【解析】∵√a=180，且−√3.24=−1.8，∴√3.24=1.8，∴√32400=180，∴a＝32400，故答案为：32400．变式5若√25.36=5.036，√253.6=15.906，则√253600=（）A．50.36B．503.6C．159.06D．1.5906【解析】∵√25.36=5.036，∴√253600=√25.36×√10000=5.036×100＝503.6，故选：B．变式6设√5=m，√7=n，则√0.056可以表示为（）A．mn25B．mn20C．mn15D．mn10【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．【解析】√0.056=√561000=√56010000=√560100=√16×5×7100=4×√5×√7100=mn25；故选：A．考点3 算术平方根的非负性解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.例题3 若实数x ，y 满足|x ﹣3|+√y −1=0，则（x +y ）3的平方根为（ ）A ．4B ．8C ．±4D ．±8【解析】∵|x ﹣3|+√y −1=0，∴x ﹣3＝0，y ﹣1＝0，∴x ＝3，y ＝1，则（x +y ）3＝（3+1）3＝64，64的平方根是：±8．故选：D ．变式7 已知实数x 和y 满足√x 2−4+（y 3+8）2＝0，则x +y 的值为（ ）A ．0B ．﹣4C ．0或﹣4D ．±4【解析】由题意可知：x 2﹣4＝0，y 3+8＝0，∴x ＝±2，y ＝﹣2，∴x +y ＝0或﹣4，故选：C ． 变式8 已知（2a +b ）2与√3b +12互为相反数，则b a ＝ ．【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a 、b 的值，计算即可．【解析】由题意得，（2a +b ）2+√3b +12=0，则2a +b ＝0，3b +12＝0，解得，a ＝2，b ＝﹣4，则b a ＝（﹣4）2＝16，故答案为：16．变式9 已知：实数a 、b 满足关系式（a ﹣2）2+|b +√3|+√2009−c =0，求：b a +c +8的值．【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a ，b ，c 的值，再代入计算即可求解．【解析】由题意得a −2=0，b +√3=0，2009−c =0，解得a ＝2，b =−√3，c ＝2009，∴b a +c +8=(−√3)2+2009+8＝2020．考点4 利用平方根与立方根性质解方程解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．例题4 计算下列各式的x 的值：（1）12x 2=8； （2）13（x +1）3＝﹣9． 【解析】（1）方程变形得：x 2＝16，开方得：x ＝±4；（2）方程变形得：（x +1）3＝﹣27，开立方得：x +1＝﹣3，解得：x ＝﹣4．变式10 求下列各式中x 的值（1）25x 2＝4；（2）（x +1）3＝﹣27．【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案；（2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案．【解析】（1）方程两边都除以25，得x 2=425，开方得，x =±25； （2）开立方得，x +1＝﹣3，移项得，x ＝﹣4．变式11 求下列各式中的x ：（1）4（x +2）2﹣16＝0； （2）（2x ﹣1）3+2627=1． 【解析】（1）由题意得，4（x +2）2＝16，∴（x +2）2＝4，∴x +2＝±2，解得x ＝0或﹣4；（2）由题意得，（2x ﹣1）3=127，∴2x ﹣1=13，∴x =23． 变式12 解方程： （1）（x ﹣4）2＝6； （2）13(x +3)3−9＝0． 【解析】（1）（x ﹣4）2＝6，x −4=±√6，∴x ＝4+√6或x ＝4−√6；（2）13(x +3)3−9＝0，13(x +3)3=9，（x +3）3＝27，x +3=√273，x +3＝3，∴x ＝0． 考点5 平方根与立方根性质的运用解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．例题5 已知4a +1的平方根是±3，b ﹣1的算术平方根为2．（1）求a 与b 的值；（2）求2a +b ﹣1的立方根．【分析】（1）首先根据4a +1的平方根是±3，可得：4a +1＝9，据此求出a 的值是多少；然后根据b ﹣1的算术平方根为2，可得：b ﹣1＝4，据此求出b 的值是多少即可．（2）把（1）中求出a 与b 的值代入2a +b ﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．【解析】（1）∵4a +1的平方根是±3，∴4a +1＝9，解得a ＝2；∵b ﹣1的算术平方根为2，∴b ﹣1＝4，解得b ＝5．（2）∵a ＝2，b ＝5，∴2a +b ﹣1＝2×2+5﹣1＝8，∴2a +b ﹣1的立方根是：√83=2．变式13 已知4a +7的立方根是3，2a +2b +2的算术平方根是4． （1）求a ，b 的值； （2）求6a +3b 的平方根．【解析】（1）∵4a +7的立方根是3，2a +2b +2的算术平方根是4，∴4a +7＝27，2a +2b +2＝16，∴a ＝5，b ＝2；（2）由（1）知a ＝5，b ＝2，∴6a +3b ＝6×5+3×2＝36，∴6a +3b 的平方根为±6．变式14 已知2a +1的平方根是±3，3a +2b ﹣4的立方根是﹣2，求4a ﹣5b +8的立方根．【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a ﹣5b +8的值，然后根据立方根的定义求解．【解析】∵2a +1的平方根是±3，3a +2b ﹣4的立方根是﹣2，∴2a +1＝9，3a +2b ﹣4＝﹣8，解得a ＝4，b ＝﹣8，∴4a ﹣5b +8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，∴4a ﹣5b +8的立方根是4．变式15 已知3a +4a +5a +6a +7a +8a ＝165，且a +11的算术平方根是m ，5a +2的立方根是n ．求n m 的平方根．【解析】∵3a +4a +5a +6a +7a +8a ＝165，即33a ＝165，∴a ＝5，又a +11的算术平方根是m ，即16的算术平方根是m ，∴m ＝4，∵5a +2的立方根是n ，即27的立方根是n ，∴n ＝3，则n m ＝34＝81的平方根为±9．考点6 无理数的概念解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．例题6 在以下实数227，3.14159265，√93，√36，π3中，无理数的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解析】227是分数，属于有理数；3.14159265是有限小数，属于有理数； √36=6，是整数，属于有理数；无理数有：√93，π3共2个． 故选：B ．变式16 在√16，−π2，﹣5.1⋅8⋅，−√93，47，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】√16=4，是整数，属于有理数；−5.1．8．是循环小数，属于无理数；47是分数，属于有理数；无理数有：−π2，−√93，0.317311731117…共3个．故选：C ． 考点7 估算无理数的大小解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．例题7 下列整数中，与6−√11最接近的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∵3.52＝12.25＞11，∴3＜√11＜3.5∴2.5＜6−√11＜3．∴与6−√11最接近的是3．故选：B ．变式17 若a ＜√28−√7＜a +1，其中a 为整数，则a 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】√28−√7=2√7−√7=√7，∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a ＜√28−√7＜a +1，其中a 为整数，∴a ＝2．故选：B ．变式18 阅读下面的文字，解答问题，例如：∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．请解答：（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ．（2）5−√17小数部分是m ，6+√17小数部分是n ，且（x +1）2＝m +n ，请求出满足条件的x 的值．【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；（2）直接利用（1）中所求即可得出m ，n 的值，进而得出x 的值．【解析】（1）∵√16＜√17＜√25，∴4＜√17＜5，∴√17的整数部分是：4，小数部分是：√17−4； 故答案为：4，√17−4；（2）∵5−√17小数部分是m ，6+√17小数部分是n ，∴m ＝5−√17，n ＝6+√17−10=√17−4， ∴m +n ＝1，∴（x +1）2＝1，解得：x ＝0或﹣2．变式19阅读下面的文字，解答问题．大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：（1）若√13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−√13的值．（2）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【解析】（1）∵3＜√13＜4，∴a＝3，b=√13−3，∴a2+b−√13=32+√13−3−√13=6；（2）∵1＜√3＜2，又∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y=√3−1，∴x﹣y＝11﹣（√3−1）＝12−√3．考点8 实数与数轴的对应关系例题8如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是√3和﹣1，则点C对应的实数是（）A．2√3B．2√3−2C．√3+1D．2√3+1【解析】AB=√3−（﹣1）=√3+1，∵AB＝AC，A所表示的实数为√3，点C在点A的右侧，∴点C所表示的数为：√3+（√3+1）＝2√3+1，故选：D．变式20如图，3，√11在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．−√11B．3−√11C．√11−3D．6−√11【解析】设点A表示的数是x，∵数轴上表示3、√11的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，∴√11+x2=3，解得x＝6−√11．故选：D．变式21在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心，2+√5的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C 表示的实数是（）A．5+√5B．1−√5C．√5−1或5+√5D．1−√5或5+√5【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C表示的实数．【解析】根据题意得：3+2+√5=5+√5，3﹣（2+√5）＝1−√5，则点C 表示的实数是5+√5或1−√5，故选：D ．变式22 如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B ，点A 表示−√2，设点B 所表示的数为m ．（1）求m 的值．（2）求|m ﹣1|+m +6的值．【解析】（1）由题意A 点和B 点的距离为2，A 点的坐标为−√2，因此B 点坐标m ＝2−√2．（2）把m 的值代入得：|m ﹣1|+m +6＝|2−√2−1|+2−√2+6＝|1−√2|+8−√2，=√2−1+8−√2＝7． 考点9 实数大小比较例题9 比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．①π 3.14159；②√503 4；③√22 √33． 【解析】①π＞3.14159；②∵4=√643 ∴√503＜4；③（√22）2=12，（√33）2=13， ∵12＞13， ∴√22＞√33．故答案为：＞；＜；＞． 变式23 5−√2，2+√52，2+√2的大小关系是（ ） A ．2+√2＞2+√52＞5−√2 B ．5−√2＞2+√52＞2+√2 C ．2+√52＞5−√2＞2+√2 D ．5−√2＞2+√2＞2+√52【解析】∵5＜8，∴√5＜√8，∴√52＜√2，∴2+√52＜2+√2， ∵（5−√2）﹣（2+√2）＝3﹣2√2＞0，∴5−√2＞2+√2＞2+√52；故选：D ． 变式24 已知0＜x ＜1，则√x 、1x、x 2、x 的大小关系是（ ） A ．√x ＜x 2＜x ＜1x B ．x ＜x 2＜1x ＜√x C ．x 2＜x ＜√x ＜1x D ．1x＜√x ＜x 2＜x 【解析】∵0＜x ＜1，∴0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x＞1， ∴x 2＜x ＜√x ＜1x ．故选：C ．【小结】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．变式25 已知min {√x ，x 2，x }表示取三个数中最小的那个数，例如：当x ＝9，min {√x ，x 2，x }＝min {√9，92，9}＝3﹒当min {√x ，x 2，x }=116时，则x 的值为（ ） A ．116 B ．18 C ．14 D ．12【解析】当√x =116时，x =1256，x ＜√x ，不合题意；当x 2=116时，x ＝±14，当x =−14时，x ＜x 2，不合题意；当x =14时，√x =12，x 2＜x ＜√x ，符合题意；当x =116时，x 2=1256，x 2＜x ，不合题意， 故选：C ．考点10 实数的混合运算在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．例题10 计算﹣12﹣（﹣2）3×18+√−273×|−13|+|1−√3| 【解析】原式＝﹣1+8×18−3×13+√3−1＝﹣1+1﹣1+√3−1=√3−2． 变式26 计算：3×(√4−√3)×√1−19273−|√3−2| 【解析】原式＝3×（2−√3）×23−（2−√3）＝4﹣2√3−2+√3 ＝2−√3．变式27 计算：（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）． 【解析】（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）＝1+（﹣8）×18−（﹣3）×（−13）＝﹣1． 变式28 计算：√−83−√1−1625+|2−√5|+√(−4)2 【解析】原式＝﹣2−35+√5−2+4=−35+√5． 考点11 实数中的定义新运算例题11 对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b =√a+b a−b ，如：3⊕2=√3+23−2=√5，那么12⊕4＝ ．【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可．【解析】12⊕4=√12+4√12−4=√2．故答案为：√2．考点12 实数的性质综合例题12如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为．【解析】（1）设魔方的棱长为x，则x3＝8，解得：x＝2；（2）∵棱长为2，∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为：√2，∴S正方形ABCD=(√2)2=2；（3）∵正方形ABCD的边长为√2，点A与﹣1重合，∴点D在数轴上表示的数为：﹣1−√2，故答案为：﹣1−√2．变式29如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数√8．【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数√8的位置．【解析】（1）正方形的边长是：√5，面积为：√5×√5=5．（2）见图：在数轴上表示实数√8，【小结】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．变式30如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．（1）这个魔方的棱长为cm；（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为．【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．【解析】（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得a3＝64∴a＝4故答案为4．（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得8b3＝64∴b＝2∴所以根据勾股定理得CD2＝22+22∴CD＝√8答：这个正方形的边长是√8cm．（3）由（2）知，AD＝√8∴点D对应的数的绝对值是√8-1，∵点D对应的数是负数∴点D对应的数是1﹣√8故答案为1﹣√8．【小结】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．变式31如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的边长为．（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是．（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．【解析】（1）设拼成的正方形的边长为a，则a2＝5，a=√5，即拼成的正方形的边长为√5，故答案为：√5；（2）由（1）得点A表示的数为√5−1，故答案为：√5−1；（3）根据图形得：S阴影＝2×2×2×12+2×2×12=4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为√6．。
中考复习实数的运算、整式 、因式分解、分式、二次根式与运算
，那么称 为分式，对于任意一 ． B≠0
个分式，分母都 不能为零 (2)分式 中，①若分式 有意义 ②若分式 无意义 B＝ 0 ③若分式
A＝0且B≠0
2．分式的基本性质 (1)分式的基本性质： (2)分式的变号法则：
M
-a -b M -a
3．分式的运算 (1)加减运算： ①同分母分式相加减法则： ② 异 分 母 分 式 相 加 减 法 则 （ 先 通 分 ）： (2)乘除运算： ①乘法法则： ②除法法则： ③乘方运算： (3)分式的混合运算顺序： 先算乘方， 再算乘除． 最 后算加减，若有括号，先算括号里面的．
注
意：（1）只有同类项才能合并；
(2)在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母 的指数不变.
整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就 先去括号，然 后再 合并同类项 . 去 括 号：(1)括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去 掉后，括号里的各项的符号都不变号. (2)括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉 后，括号里的各项的符号都要改变符号.
平方根、算术平方根与立方 根
举例
数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二次根式 形如 a(________) a≥0 的式子，叫做二次根式. a中的 的概念 a 是非负数，其结果也是非负数. 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次 最简二次 根式： 根式 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
4.单项式与多项式 (1)由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式，单独的一个 数或一个字母也是单项式. (2)一个单项式中， 所有字母的 指数和叫做这个单项式的次数. (3)几个单项式的和叫做多项式. (4) 一个多项式中， 的次数，叫做这个多项式的次 次数最高的项 数. 5.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫同类 项. 6.整式加减的一般步骤 (1)如果有括号先去括号； (2)合并同类项： 只把系数 相加减 ， 所含字母及字母的指数不变.
2021年中考必考数学知识点归纳
中考数学知识点总结第一章 实数考点一、实数概念及分类 （3分）1、实数分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽数，如32,7等；（2）有特定意义数，如圆周率π，或化简后具有π数，如3π+8等； （3）有特定构造数，如0.…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它相反数时一对数（只有符号不同两个数叫做互为相反数，零相反数是零），从数轴上看，互为相反数两个数所相应点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一种数绝对值就是表达这个数点与原点距离，|a|≥0。
零绝对值时它自身，也可当作它相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数不不大于零，负数不大于零，正数不不大于一切负数，两个负数，绝对值大反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于自身数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一种数平方等于a ，那么这个数就叫做a 平方根（或二次方跟）。
一种数有两个平方根，她们互为相反数；零平方根是零；负数没有平方根。
正数a 平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 正平方根叫做a 算术平方根，记作“a ”。
正数和零算术平方根都只有一种，零算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一种数立方等于a ，那么这个数就叫做a 立方根（或a 三次方根）。
一种正数有一种正立方根；一种负数有一种负立方根；零立方根是零。
注意：33a a -=-，这阐明三次根号内负号可以移到根号外面。
初中数学二次根式的知识点汇总
初中数学二次根式的知识点汇总二次根式是代数中的一个重要概念，它是一个含有平方根的表达式。
在初中数学中，学生将会学习有关二次根式的一些基本知识，以及如何进行运算和简化。
以下是一些关于初中数学二次根式的知识点的汇总。
一、二次根式的定义和表示方法1.二次根式是一个非负实数的平方根或一组二次根目标。
它可以表示为√a或±√a。
2.在二次根式中，a被称为根式的被开方数，表示所求的数；√a被称为二次根号，表示开方操作。
3.如果a是一个非负实数，那么二次根式√a表示的是非负的实数。
如果a是一个负实数，那么二次根式√a没有实数解。
4.二次根式的定义域是非负实数集合[0,∞)。
二、二次根式的比较大小1.二次根式的大小比较可以通过比较根式的被开方数来进行。
2.如果a和b是两个非负实数，且a>b，则有√a>√b。
3.如果a和b是两个非负实数，且a=b，则有√a=√b。
4.如果a和b是两个非负实数，且a<b，则有√a<√b。
三、二次根式的加减法运算1.只有具有相同的被开方数的二次根式才能进行加减法运算。
2.二次根式的加减法运算可以通过合并同类项的方式进行。
3.合并同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
四、二次根式的乘法运算1.二次根式的乘法运算可以通过乘法分配律进行。
2.二次根式的乘法运算可以通过提取同类项的方式进行。
3.提取同类项时，需要注意二次根式的正负号是否一致。
五、二次根式的除法运算1.二次根式的除法运算可以通过乘以倒数的方式进行。
2.二次根式的除法运算可以通过有理化的方式进行，即将分母有理化为无二次根式的形式。
六、二次根式的化简1.将一个二次根式化简为最简形式时，需要将其内部的二次根式去除。
2.二次根式化简的基本原则是尽量将被开方数的因式分解为平方数的积。
3.化简二次根式时，需要注意遵循二次根式的定义域，确保结果是有意义的。
七、二次根式的应用1.二次根式广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。
2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。
3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。
4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。
5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。
6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。
三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。
2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。
3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。
4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。
四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。
2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。
3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。
4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。
五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。
2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。
3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。
六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。
考点04 二次根式(精讲)(原卷版)
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
中考重点二次根式与应用
中考重点二次根式与应用中考重点：二次根式与应用一、什么是二次根式二次根式是指形如√a的数。
其中，a是一个非负实数。
我们可以将二次根式进一步分类为简单二次根式和复杂二次根式。
1. 简单二次根式简单二次根式是指分母没有根式时的二次根式。
例如，√4、√9等都是简单二次根式。
2. 复杂二次根式复杂二次根式是指分母存在根式的二次根式。
例如，√3/√2、√5/√7等都是复杂二次根式。
二、二次根式的运算1. 二次根式的加减（1）当根号内的数相同，但正负号不同时，可以进行相加或相减。
例如，√2 + √2 = 2√2；√3 - √3 = 0。
（2）当根号内的数不相同时，无法进行相加或相减。
例如，√2 + √3 是无法进行简化的。
2. 二次根式的乘除（1）二次根式的乘法将二次根式的根号内的数相乘，并合并同类项。
例如，√2 * √3 = √6。
（2）二次根式的除法将二次根式的根号内的数相除，并合并同类项。
例如，√6 / √2 = √3。
三、二次根式的应用二次根式在我们的生活中有广泛的应用。
下面，我们来看一些常见的应用场景。
1. 面积计算二次根式可以用于计算一些特殊形状的面积，如三角形、圆等。
例如，计算一个边长为a的正方形的面积为A = a²；计算一个半径为r的圆的面积为A = πr²。
2. 物理问题二次根式在物理学中有重要的应用，尤其是在求解运动问题中。
例如，计算自由落体下落的距离时，使用公式s = 1/2gt²，其中g为重力加速度，t为时间。
3. 金融计算二次根式在金融计算中也有应用，例如计算利息等。
例如，计算复利的本利和公式为S = P(1 + r/n)^(nt)，其中P为本金，r为年利率，n为复利次数，t为时间。
四、总结二次根式作为中考的重点内容之一，需要我们熟练掌握其基本概念、运算方法以及应用场景。
通过对二次根式的学习和理解，我们不仅能够解决数学问题，还能将其应用于实际生活中的各个领域，提高我们的数学素养和问题解决能力。
2021年实数和二次根式知识点
《实数和二次根式》知识点1.平方根：普通地，如果一种数x平方等于a，那么这个数x就叫做a平2=，则x叫做a平方根。
方根，也就是若x a2.开平方：求一种数平方根运算叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
3.平方根性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零平方根是零；负数没有平方根。
4.平方根表达：当a≥0时，a平方根记为±a。
5.算术平方根：正数a正平方根，叫做a算术平方根，零算术平方根是零。
注：（1）非负数才有算术平方根（2）非负数算术平方根仍为非负数6.算术平方根表达：当a≥0时，a算术平方根记作a7.立方根：（1）定义：普通地，如果一种数x立方等于a，那么这个数x就叫a立3=，则x叫做a立方根。
方根，也就是若x a3（2）立方根表达：a（3）开立方：求一种数立方根运算叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算，开立方成果是立方根。
（4）性质：一种正数有一种正立方根；0立方根是0；一种负数有一种负立方根。
8.平方根和立方根区别（1）被开方数取值范畴不同（2）正数平方根有两个，而它立方根只有一种，负数没有平方根，而它有一种立方根。
9.实数：有理数和无理数统称为实数。
实数与数轴上点一一相应。
分类：实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪10.实数相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则应用类似于有理数中。
11.二次根式：普通地，式子a a ()≥0叫做二次根式。
注：（1）具有二次根号“”（2）被开方数a 是代数式且a 必要是非负数（3）二次根式a a ()≥0是a 算术平方根，因而a a ≥≥00()12.二次根式基本性质：()()a a a 20=≥ 非负数a 可以写成一种数平方形式a a a =≥()()20 13.二次根式性质：a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注：（1）在应用性质时，注意规范书写格式，绝对值这一步要写，然后再依照绝对值符号内式子进行进一步化简。
专题复习_实数和二次根式
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数专题复习 实数与二次根式知识点归纳：一．实数：1. 数的分类：.有理数：1凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.请判断下列题的对错,并解释.1.近似数25.0的精确度与近似数25一样.2.近似数4千万与近似数4000万的精确度一样.3.近似数660万,它精确到万位.有三个有效数字.4.用四舍五入法得近似数6.40和6.4是相等的.5.近似数3.7x10的二次与近似数370的精确度一样.1、错。
专题复习-实数和二次根式
专题复习 二次根式知识点归纳：一．实数：1. 数的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理数分数整数有理数实数（定义分） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数负无理数正有理数正实数实数（大小分）0 2. 平方根的性质：（1） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（2） 算术平方根a 具有双重非负性，即：0,0≥≥a a .（3）⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a )0()(2≥=a a a 3. 立方根的性质：（1） 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）a a =33 a a =33)(二．二次根式：1.二次根式的概念：式子a ),0(≥a 叫做二次根式，具有双重非负性。
2.最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不含开的尽方的整数和整式。
3.同类二次根式：化为最简二次根式后，被开方数相同。
4.分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。
5.二次根式运算法则： 加减法：合并同类二次根式； 乘法：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a除法：)0,0(>≥=b a baba 6.常见化简：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=)0()0(22a b a a ba b a )0(1>==a a a a a a a 或典型例题讲解及变式练习：例1 若一个数的平方根是2a-1和-a+2，求这个正数的平方。
练习：1. 已知某数有两个平方根，分别为a+3和2a-15，求这个数平方的倒数。
2. 已知13-+=m n m A 为m+3n 的算术平方根，121+-=n m B 为21m -的立方根，求A+B的值。
3．已知12-a 的平方根是3±，3a+b-1的立方根是4，求a+2b 的值。
练习：1.0)2(132=-++++c b a ，求12-+cb a 的算术平方根。
2.若12-++-b a b a 与互为相反数，求3222b a +的值。
实数与二次根式的运算精讲精练
实数与二次根式的运算精讲精练一、实数的基本概念1．无理数的概念：（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.（2）解读：1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.2）无理数的常见类型：①具有特定意义的数。
如π等；②121122112221.......（每相邻两个1之间依次多一个2）等；.3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.例1、下列实数227、sin60°、3π、0、3.14159、(2-、中无理数有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．实数的概念及分类：（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）分类：①按定义分：⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩整数有理数实数分数---有限小数或无限循环小数无理数-------无限不循环小数②按性质分：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 （3）实数的性质：①相反数：a 与b 互为相反数0a b ⇔+=. ②绝对值：,00,0,0a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,0,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,0,0a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ （4）实数和数轴上的点是一一对应的.π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。
（6）实数中非负数的四种形式及其性质： 形式：①0a ≥；②20a ≥0≥（0a ≥）0a ≥.性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.（7）实数中无理数的常见类型： ①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：21π+等； ③121122112221…….例2、在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数? 例3、计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0 例4、|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【变式】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯。
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2021届新中考数学必考精点考点专题
专题04 实数和二次根式的运算
一、实数
1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2．有理数：有限小数或无限循环小数叫做有理数。
3．无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等。
4.．算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a≥0时,a才有算术平方根。
5．平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
即若x2=a，则x叫做a的平方根。
6．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，；负数没有平方根。
7．一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a 的三次方根）。
8．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
二、二次根式
1．二次根式的定义：形如式子（≥0）叫做二次根式。
（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）。
2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0
3.二次根式的性质
（1）是非负数；
（2）（）2=（≥0）；
（3）
（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，
即= ·（a≥0,b≥0）。
（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。
反之，
三、分母有理化
1．最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
2．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
3．分母有理化：分母有理化就是通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的。
4．分母有理化的方法：分子分母同乘以分母的有理化因式。
5．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
6．找有理化因式的方法：
（1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分。
如：①的有理化因式为，②的有理化因式为。
（2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分。
即
的有理化因式为，的有理化因式为，的有理化因式为
四、二次根式的运算
1．二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式分别合并。
一般地，二次根式的加减法可分以下三个步骤进行：
（1）将每一个二次根式都化简成最简二次根式
（2）判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类二次根式结合成一组
（3）合并同类二次根式
2．二次根式的乘法
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即
（≥0，≥0）。
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
（≥0，＞0）。
【例题1】（2020•湖州）数4的算术平方根是（）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【对点练习】（2020•泰州）9的平方根等于．
【例题2】（2020•台州）无理数在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【对点练习】（2019•甘肃庆阳）下列整数中，与最接近的整数是（）A．3 B．4 C．5 D．6
【例题3】（2020•达州）计算：﹣22+（）﹣2+（π）0．
【对点练习】（2020嘉兴模拟）计算：
【例题4】（2020•哈尔滨）计算6的结果是．
【对点练习】（2019•山东省聊城市）下列各式不成立的是（）
A．﹣＝B．＝2
C．＝+＝5 D．＝﹣
【例题5】（2020•滨州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为．【对点练习】（2019•甘肃）使得式子有意义的x的取值范围是（）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
【例题6】（2020•凉山州）下列等式成立的是（）
A．±9 B．|2| 2
C．（）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1
【对点练习】(2019•湖南益阳)观察下列等式：
①3－＝(－1)2，
②5－＝(－)2，
③7－＝(－)2，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式．
【例题7】（2019•山东威海）计算（﹣3）0+﹣（﹣）﹣1的结果是（）
A．1+B．1+2C．D．1+4
【对点练习】（2019•广东）先化简，再求值：，其中x=．
一、选择题
1．（2020•达州）下列各数中，比3大比4小的无理数是（）
A．3.14 B．C．D．
2.（2019•四川省达州市）下列判断正确的是（）
A．＜0.5 B．若ab＝0，则a＝b＝0
C．＝ D．3a可以表示边长为a的等边三角形的周长
3.（2019湖南常德）下列运算正确的是（）
A．+＝B．＝3C．＝﹣2 D．＝
4.（2019•山东省济宁市）下列计算正确的是（）
A．＝﹣3 B．＝C．＝±6 D．﹣＝﹣0.6
5.（2019湖南益阳）下列运算正确的是（）
A．＝﹣2 B．（2）2＝6 C．+＝D．×＝
6.（2019•湖北省荆门市）﹣的倒数的平方是（）
A．2 B．C．﹣2 D．﹣
二、填空题
7．（2020•河南）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是．
8．（2020•南充）计算：|1|+20＝．
9．（2020•自贡）与2最接近的自然数是．
10．（2020•重庆）计算：（）﹣1．
11．（2020•遂宁）下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数
有个．
12．（2020•宁波）实数8的立方根是．
13．（2020•凤山县一模）计算：1＝．
14．（2020•泰州）9的平方根等于．
15．（2020•河南）请写出一个大于1且小于2的无理数．
16．（2020•遵义）计算：的结果是．
17.（2019•山东省滨州市）计算：（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝．
18.（2019•江苏扬州）计算：（﹣2）2018（+2）2019的结果是．
19.(2019•四川绵阳)单项式x-|a-1|y与2x y是同类项，则a b=______．
20.（2019贵州遵义）计算的结果是
21.（2019•南京）计算﹣的结果是．
22.（2019宁夏）计算：．
23.（2019•广东广州）代数式有意义时，x应满足的条件是．24．（2019•山东临沂）一般地，如果x4＝a（a≥0），则称x为a的四次方根，一个正数a的四次方根有两个．它们互为相反数，记为±，若＝10，则m＝________．
25.（2019山东枣庄）观察下列各式：
＝1+＝1+（1﹣），
＝1+＝1+（﹣），
＝1+＝1+（﹣），
…
请利用你发现的规律，计算：
+++…+，
其结果为．
三、解答题
26．（2020•泸州）计算：|﹣5|﹣（π﹣2020）0+2cos60°+（）﹣1．
27．（2020•连云港）计算（﹣1）2020+（）﹣1．
28．（2020•苏州）计算：（﹣2）2﹣（π﹣3）0．
29．（2020•河南）先化简，再求值：（1），其中a1．
30．（2020•成都）先化简，再求值：（1），其中x＝3．
31．（2020•哈尔滨）先化简，再求代数式（1）的值，其中x＝4cos30°﹣1．
32.（2019贵州遵义）计算2sin60°+
33.（2019年陕西省）计算：．
34.（2019湖北荆州）已知：a＝（1）（1）+|1|，b2sin45°+（）﹣1，求b﹣a的算术平方根．。