高考文科数学复习学案 第1讲 函数图象与性质

A 级 基础通关
一、选择题
1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1，
若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
解析：由已知得a ＞0，所以a ＋1＞1， 因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2(a ＋1－1)，
解得a ＝1
4，所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.
答案：C
2．(2019·天一大联考)若函数f (x )＝m －1
3x －1
的图象关于原点对称，则函数f (x )在(－∞，0)上的值域( )
A.⎝
⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞ B.⎝
⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞ C ．(1，＋∞)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意，函数f (x )为奇函数，故f (－x )＝－f (x )，解得m ＝－1
2.
故f (x )＝－12－1
3x －1，且f (x )在(－∞，0)上单调递增．
当x →－∞时，f (x )―→1
2
，当x →0－时，f (x )→＋∞.
故函数f (x )在(－∞，0)上的值域是⎝
⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞.
答案：A
3．(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
解析：法1：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．
法2：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.
答案：B
4．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝e x－e－x
x2的图象大致为()
解析：f(x)＝e x－e－x
x2为奇函数，排除A；当x＞0，f(1)＝e－
1
e＞2，排除C、
D，只有B项满足．
答案：B
5．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，且f(1)＝2，则f(2 018)＋f(2 019)的值为()
A．－2 B．0 C．2 D．4
解析：f(x＋2)＝f(－x)，且y＝f(x)是奇函数，
所以f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)．
因此函数y＝f(x)是周期为4的函数．
又f(0)＝0，f(2)＝f(－0)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
所以f(2 018)＋f(2 019)＝f(2)＋f(3)＝－2.
答案：A
二、填空题
6．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝a x(a＞0且a≠1)，且f(log1
2 4)＝－3，则a的值为________．
4)＝－3，
解析：因为奇函数f(x)满足f(log1
2
所以f(－2)＝－3，即f(2)＝3.
又因为当x＞0时，f(x)＝a x(a＞0且a≠1)，又2＞0，
所以f(2)＝a2＝3，解得a＝ 3.
答案： 3
7．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log2 5.1)，b ＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为________．
解析：法1：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，
因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，
所以g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.
法2：(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3＞log25.1＞20.8，
从而可得c＞a＞b.
答案：c＞a＞b
8．(2019·天津卷)设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则（x ＋1）（2y ＋1）
xy 的最
小值为________．
解析：（x ＋1）（2y ＋1）xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy .
因为x ＞0，y ＞0且x ＋2y ＝4，
所以4≥22xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)， 所以2xy ≤4，所以1xy ≥12，所以2＋5xy ≥2＋52＝9
2.
答案：9
2
9.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．
解析：在同一坐标系中画出函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示．
根据图象，当x ∈(－1，1]时，y ＝f (x )的图象在y ＝log 2(x ＋1)图象的上方． 所以不等式的解集为(－1，1]． 答案：(－1，1] 三、解答题
10．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.
(1)求f (0)；
(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；
(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )＜f (2)的x 的范围． 解：(1)f (0)＝a －2
20＋1＝a －1.
(2)因为f (x )的定义域为R ， 所以任取x 1，x 2∈R 且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －
22x 1＋1－a ＋2
2x 2＋1
＝ 2·（2x 1－2x 2）
（1＋2x 1）（1＋2x 2）
.
因为y ＝2x 在R 上单调递增且x 1＜x 2，
所以0＜2x 1＜2x 2，所以2x 1－2x 2＜0，2x 1＋1＞0，2x 2＋1＞0. 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 所以f (x )在R 上单调递增．
(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 即a －
22－x ＋1＝－a ＋2
2x ＋1
， 解得a ＝1(或用f (0)＝0去解)． 所以f (ax )＜f (2)即为f (x )＜f (2)， 又因为f (x )在R 上单调递增，所以x ＜2.
B 级 能力提升
11．已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0＜x ≤4对
任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
解析：作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min
＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为
9.
答案：C
12．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；
(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 令f ′(x )＝2x －2
x
＝0，得x ＝1.
当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值．
(2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)， 所以k ′(x )＝1－2
x ，
令k ′(x )＞0，得x ＞2，
所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值k (2)＝2－2ln 2－a . 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点， 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内有各一个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有⎩⎪⎨⎪
⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0，
解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3.
故实数a 的取值范围是(2－2ln 2，3－2ln 3]．。