L-模糊双拓扑空间的一组弱分离性
L-fuzzy闭包空间的T1与T2分离性
１ ｒ Ｏ ）一 ｒ １ ）一 １ ） （ｘ （ｘ ；
当 口 ｂＶｃ ≤ 有ａ≤ ｂ 或ａ≤ ｃＬ中余素元的全体 ， 记 为 Ｃ ｐ（ ． Ｌ是一个 完 备格 ， ｏ ｒＬ）设 Ａ Ｌ， 若对 任
意 的 ｚ Ｅ Ｌ， 在 Ｂ 存 Ａ， 使得 ｚ— Ｖ Ｂ ， 则称 Ａ
Ａ（ （ ． Ｂ ） ＶＹＥ ｙ）用 表示 Ｂ在 Ｘ 上 的 扩张 ， 即
Ｂ （ ｚ）一 Ｂ（ （ ｙ） Ｂ （ ｚ） Ｖｚ Ｅ ， ）一 ０ Ｖ ｚ∈ Ｘ— （
ｙ） ．
是 Ｌ—ｕｚ 拓扑空间的推广， ｆｚｙ 文献 ［］ ５ 中给出了Ｌ—
ｆｚｙ闭包空 间 的概念 ， ｕｚ 并讨论 了具 有 Ｔ Ｔ 与次 ｎ， ０
基金 资助： 陕西省教育厅专项科研计划项 目（１Ｋ０ ８ ） 西安工业大学校长基金 （ １Ｊ ４４ ； ＸＡＧ Ｊ ０ ９ １２）
作者 简 介 ： 文 清 （９ ３）女 ， 安 工 业 大 学 讲 师 ， 伏 １ ８ 一， 西 主要 研 究 方 向为 格 上 拓 扑 学 ． － ｉ ｐ ｌｃ＿ ０ ０ １３ Ｃ１ Ｅｍａ ：ａａｅ ２０ ＠ ６ ．ＯＴ ｌ Ｌ
分 离性 具有 遗传性 ， 可乘性．
关键 词 ： Ｌ— ｕ ｚ ｆｚｙ闭 包空间 ； 分 离性 ； 分 离性 ； Ｔ１ Ｔ２ 遗传 性 ； 可乘性
近年来 ， Ｌ— ｕｚ 对 ｆｚｙ拓 扑空 间的研 究 非 常 活 跃， 取得 了丰 富的研 究成 果『 ］Ｌ— ｕ ｚ 包空 间 ｕ ． ｆｚｙ闭 １ ４
ｆｚｙ闭包 空 间中 ， 讨论 了它们 的遗 传性 ， 乘性 ｕｚ 并 可
等性质 ．
并 ， 保任意并和任意交 ， 并且有 （ ） Ｖ ｛ Ｂ 一 Ａ
模糊拓扑学
模糊拓扑学什么是模糊拓扑学？模糊拓扑学是拓扑学的一个分支，它是研究模糊空间的结构和性质的数学学科。
拓扑学是数学中研究空间连续性和变形性质的学科，而模糊拓扑学则考虑了模糊性质并将其应用到拓扑学的研究中。
模糊拓扑学的概念最早由美国数学家L.A. Zaichenko于1969年提出。
它是模糊数学在拓扑学领域的应用，模糊数学是一个研究不确定性和模糊性的数学学科。
在传统的拓扑学中，空间的元素或者说点要么包含于一个集合中，要么不包含于该集合中。
然而，在实际应用中，一些概念的边界是模糊的，即某些元素可能同时属于集合和不属于集合。
模糊拓扑学旨在研究这种模糊性质的空间以及它们的拓扑性质。
模糊集合与模糊拓扑空间在模糊拓扑学中，一个模糊集合是一个将元素和他们的隶属度联系起来的数学概念。
隶属度表示了元素属于集合的程度，取值范围在0到1之间。
例如，考虑一个包含年龄概念的模糊集合“年轻人”，它的隶属函数可以根据不同年龄段来表示一个人属于“年轻人”的程度。
模糊拓扑空间是一个由元素和它们的隶属度以及一组模糊拓扑概念组成的空间。
模糊拓扑空间中的元素可以同时属于多个集合，而集合之间的关系也是模糊的。
模糊拓扑学的目标是研究这些模糊拓扑空间的性质。
模糊拓扑学的基本概念模糊拓扑学中有一些基本概念，这些概念用于描述模糊拓扑空间的性质。
1.第一邻域：对于一个模糊拓扑空间中的元素，它的第一邻域是包含隶属度大于0的元素的集合。
2.内部和外部：一个模糊集合的内部是指其隶属度大于0的点的集合，而外部是指隶属度为0的点的集合。
3.成闭集：一个模糊集合的成闭集是指它的内部包含于它自身。
4.连通性：一个模糊拓扑空间是连通的，如果每个模糊集合的内部要么是空集，要么是整个空间。
这些基本概念用于描述模糊拓扑空间的性质和关系。
通过研究这些性质，可以得到关于模糊拓扑空间的一些结论。
模糊拓扑学的应用模糊拓扑学有广泛的应用领域。
它在模糊控制、模糊逻辑、人工智能等领域中都得到了应用。
Ⅰ-fuzzy拓扑中的几乎分离公理
ＶＯ ． １ ｏ １ １４ ．
Ｊｎ ０ ２ ａ ．２ １
／ｆｚｙ拓 扑 中的 几乎 分 离公 理 －ｕ ｚ
王瑞 英 ，刘 万 霞。
（ ． 蒙 古师 范大 学 数 学科 学 学 院 。 １内 内蒙 古 呼 和 浩 特 ０ ０ ２ ； １０ ２ ２ 内蒙 古财 经 学 院 统 计 与数 学 学 院 ， 蒙 古 呼 和 浩特 ０ ０ ５ ） ． 内 １ ０ １
摘
要 ：运用 连 续 值 逻 辑 Ｌ 。 赋 值 格 为 Ｌ ｋ ｓ ｗｉ （ ｕ ａｉ ｃ ｅ ｚ单 位 区 间 ） 义 的方 法 ， ／ｆｚｙ拓 扑 中引 入 语 在 － ｚ ｕ
Ｉ－ 。 、ＦＡＴ － Ｉ － 、ＦＡＴ ・ Ｉ － 分 离 公 理 ， 出 它 们 的 一 些 等 价命 题 以 及 它 们之 间 的关 系． ＦＡＴ 一 Ｉ－ 、ＦＡＴ 一 Ｉ－ 。 、ＦＡＴ 一 给 关 键 词 ： 续 值 逻辑 ；Ｉ ｕｚ 扑 ； 乎 分离 性 连 － ｚｙ拓 ｆ 几
在 ｘ 中一点 ｘ处 的值 不 为 ０ 则 称 ｅ ， 为模糊 点． 时模 糊点 ｅ 这 记作 ． 这里 ｅｚ ＝ ＞ ０ 所有 模糊点 的集记 （） ．
作 Ｐｔ ） 模糊 点 ｚ 包含 在模糊 集 Ａ 中 当且 仅 当 Ａ（ （ ． ）≥ ， 将此记 作 Ｘ ∈ Ａ．
定义 ２１ 设 ｚ ∈Ｐ （ｘ， Ｅ 。 ｔｉ）且Ａ， Ｂ∈Ｊ， 而重于Ａ， 称 如果Ａ ｚ ＋ （） ＞ ｌ记作Ｘ０ 称Ａ在Ｘ ， ＡＡ； 点
定义 ４ ］ 设 （ ｒ 是 Ｉｆｚｙ拓扑空 间 ， ｆ ｚｙ正则 开集族 记作 ＲＯ， ［ ｘ，） ＿ｕｚ ／ ｕｚ － 定义 为 Ａ ∈ ＲＯ： ＝Ａ 三 Ａ＿， 。即 。
［ ∈ Ｒｏ］— Ｒ０（ ］一ｍｉ （ ｎ 。ｚ ） ｉ ｆ １ Ａ ［ Ａ） ｎ ｉｆ Ａ＿（ ＾ ，ｎ （ 一Ａ （ ） ． ｚ ））
拓扑空间的初步知识
定义 （紧致性）一个拓扑空间称为是紧致的，如果任意开覆盖都有有限子覆盖。这就是 说，如果 ⊂ 是拓扑空间 的一族开集，且它们的并集是 ，则其中存在有限多个， ,⋯, ∈ ，且它们的并集是 。 命题 有限维实空间中的子空间是紧致的当且仅当它是有界且闭的。
证明 首先，紧致蕴含有界：对于给定的紧致点集 ，我们用中心在整数各点、边长是 2 的方块开集覆盖 ，紧致性表明有限多个这样的方块就已经足够。于是 包含在一个边长充 分大的方块内部，所以是有界集。其次，紧致蕴含闭：只要对于给定的紧致点集 ，说明任 何不在 中的点 都具有与 不交的开邻域。对任何 ∈ 取半径为 ( , )⁄3的开球，由于 所有这些开球覆盖紧致集 ，存在有限多个这样的开球覆盖 。将这有限多个开球的半径最 大值记作 ，容易验证以点 为中心、长度 为半径的开球与 不相交。由点 的任意性，可见 在ℝ 中的补集是开集，即 是闭集。于是，ℝ 中的紧致子集都是有界闭集。 反过来，ℝ 中有界闭集的紧致性的论证必须归结到实数空间ℝ的完备性。我们对维数 作归纳法。 当 = 1时，我们需要说明ℝ的有界闭集 都是紧致的。假设有 的一族开集覆盖，由子 空间拓扑的定义， 这相当于是说有一族ℝ的开集 ， 使得它们的并集包含 ， 而我们要说明 的 某个有限子族也具有这样性质。首先来说明 的某个可数子族 ′也具有这样的性质。我们发 现 连同开集 = ℝ ∖ 构成ℝ的开集覆盖，但以每个有理点为中心都可以取定一个半径是 有理数的开区间包含于至少一个 ∪ { }中的成员。由于ℚ ⊂ ℝ稠密，这样取定的可数多个 有理开区间已经覆盖ℝ，对其每个抽取一个 ∪ { }的成员，就构成ℝ的一个可数子覆盖，而 其中来自 的成员构成 的可数子覆盖 ′。接下来说明对 的可数开集覆盖 = { ⊂ ℝ} ∈ℕ
定义 （分离性）一个拓扑空间称为是 Hausdorff 分离的， （或T 空间） ，如果对于任何互 异的两点，存在两个分别包含各点的互不相交的开集。 如果我们把空间中一列点{ ∈ } ∈ℕ 之收敛到一点 ∈ 理解为对任何包含 的开集 ，对应于所有充分大的 的那些 都落在 中，那么 Hausdorff 条件就可以保证收敛点列的 极限点必须唯一。 练习 证明度量空间关于度量拓扑都是 Hausdorff 空间。
拓扑关系的概念
拓扑关系的概念
拓扑关系是数学中描述空间中元素之间的位置和连接方式的概念。
它研究的是在不考虑度量和距离的情况下，元素之间存在的相对位置关系。
在拓扑学中，通常使用拓扑空间来描述元素的集合以及元素之间的关系。
拓扑空间由一组开集构成，并满足一些基本的公理，如空集和全集都是开集，开集的有限交集和任意并集仍然是开集等。
拓扑关系主要包括以下几个概念：
1. 邻域：一个元素的邻域是包含该元素的一个开集。
2. 连通性：两个元素之间存在一条路径连接它们，即使路径上的元素不同，也称它们是连通的。
3. 分离性：两个元素之间存在一些开集，将它们分开，即这些开集分别包含一个元素而不包含另一个元素。
4. 紧致性：对于一个拓扑空间，如果它的每个开覆盖都存在有限子覆盖，即可以用有限个开集覆盖整个空间，那么该空间被称为紧致的。
5. 同胚：如果存在一个双射函数，将一个拓扑空间中的元素映射到另一个拓扑空间中的元素，并且该函数及其逆函数都是连续的，那么这两个拓扑空间是同胚的。
拓扑关系的研究对于理解空间结构、形状和变形等具有重要意义，广泛应用于不同领域，如几何学、物理学、计算
机科学等。
L-fuzzy拓扑空间的相对乘积与WTi分离公理(i=0,1,2)
Ｎ ． ．０７ ｏ ３ ２ ０ 年
Ｇｅ ｅａ ． ７ ｎ ｒｌ Ｎｏ ５
文 章 编 号 ：０ ８７ ２ （０ ７０ ・０ １０ １０ －８ ６２ ０ ）３０ ０ ・４
Ｌ ｆｚｙ拓 扑空 间的相对乘积 与 分离公理 （＝ ， ） ． ｚ ｕ ｉ ０， １ ２
林 培 榕
（ 漳州师范学 院 计算 机科学与工程 系，福建 漳州 ３ ３ ０ ） ６ ０ ０
收稿 卜期：０ ７０ ．２ ｌ ２ ０ ．３ １ 基金项 目：漳州师院科研 项 目（ｋ ５ １） ｓ０ ０ ３． 作者简介：林培榕（９ ６） １６ 一 ，男，福建省平和县人，副教授
维普资讯
２
漳州师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２０ Ｅ ０ ７圭
记为Ｘ ， 这里ｘ ｓｐＡ ｌ ∈ ｕｐ ￣ ＝Ａ ． ｌ （） 我们记 （ｘ ＝｛ Ｉ ∈Ｘ， （），易证 （ｘ Ｌ Ｌ） Ｘ ∈ Ｌ｝ Ｌ ） ｘ的
所有分子的集合． 我们用 ： （ 简记为 ） 表示在ｘ 上取恒值 ∈Ｌ的Ｌ 集． Ｆ
ｘ的Ｌ 拓扑是 Ｌ Ｆ ｘ的子集 ，它包括 ０ 和 １ ，而且关于任意并和有 限交封 闭【 ． ４ 序偶 （ ｘ， 】 Ｌ ５）称为
２ 预备知识
本文中， （ ， ， ） （ Ｌ 简记为Ｌ）代表一个模糊格 （ 格），也就是 ，一个带有逆合对应 － 的 Ｆ － － ＞ 完全分配格 ， 它的最小元与最大元分别为０ ． 和１ 设 ∈Ｌ且 ≠０， 称 为 Ｌ的分子 ， 若对任意 ， ∈Ｌ，
当 ≤ ｖ 时有 或 （ １ 】 Ｌ的所有 分 子所 组成 的集合 记 为Ｍ （） 见【， ）． ３ Ｌ ．设ｘ是 非空集 合 ，
定义２６２ ．【】设 （ ， 是 一个 Ｌ ｆ ，那 么 ） －ｓ ｔ
L-拓扑空间中一套新的分离性公理
定义 １４ 设 ｛ Ｌ ８） ｉ 为一族互不相交的 ＴＬ一拓扑空间， ． （ ，； ｝ Ｊ ０ 则其直和 （ ；ｘ （ ８） Ｌ ： 壬 也为 ＴＬ一 鲁 ，ｊ ０ 拓扑
对 Ｉ 拓扑空间也给出一系列分离性公理 ， 一 得到了一些很好 的结果。所有以上 的讨论均是针对特殊 Ｌ一 子集 （ Ｌ一点 和 Ｌ一闭子集 ） 开 的。 即 展 本文针地一般 的 Ｌ一 子集提出了一套分离公理并展开研究 （ 中 Ｌ为 Ｄ ｍ ｒ ｎ代数 ， 其 ｅｏ ａ ｇ 即有逆合对应 的 完备格 ）可对 Ｌ 拓扑空间已有的分离性理论起到一种补充作用。同时， ， 一 这套分离公理 自 身也比较协调 ， 例 如 ， ４ Ｔ Ｔ ｊ Ｔ Ｔ 。 Ｔ ３ ２ １ ０
空 间。 证明 设 ｘ＝ Ｕ ｉ ＝ ｊ Ｔ ， ＠８， Ｌ 上任意两个不可比较的Ｌ 子集Ａ Ｂ ｘ ８ 考虑 一 ， 则必然存在 ｉ Ｊ 。 ， Ａｘ ∈ 使得 Ｉ
：
与 ＢＩｉ ０ 不可比较。ＩＹ（ ，ｉ 为 ＴＬ 拓扑空间， ｘ ￣ Ｌ ８） ０ 一 ｔ ０ 故存在开集 Ｐ ∈ ｉ ｉ ￥ 使得 ＡＩ ｉ 且 ＢＩ ｉ Ｐ ， ０ ｏ ０ 菩 Ｘ 。 ｉ 或 ０ Ｘ 存在开集 Ｑ０Ｅｉ ｉ ￥ 使得 Ａ ｘ０ Ｑ 且 Ｂ 菩Ｑ０ ｏ Ｅ ｌｉ ｉ ｉ ｉ ０ ０ 。令
收稿 日期 ： ０ ０ 一 ８ ２ ７— ２ ｏ ０ 作者简介 ： 陆志军 （９ ９一 ， ， １ ６ ） 男 讲师 ， 硕士 ， 江苏如皋人 ， 研究方 向： 模糊拓扑学与模 糊系统分析。
维普资讯 学 院 学 报
２０ ０７年第 ４ （ 期 总第 ６ ６期 ）
L-fuzzy层次拓扑空间中的Dα-强分离性
Ｖ口∈Ｌ ， （ ）＝Ｖ｛ ｌ ｆ ＣＡ ｝ ， Ａ Ｇ∈ ， （ ， Ｇ １
其 中 Ａ ＝｛ ∈ Ａ ） ． ，为层 次 内部算子 。 ㈩ ＸＩ（ ｝ 称
ＶＡ∈Ｌ 称 为 （ ， 为 中 的 ， 一开 集 ，若 （ｒ ） Ｉ
层 次拓 扑空 间 和 远 域 等 概 念 ， 献 ［ ］ 用这 种 文 ５利 层 次 闭集 和层次 开集 讨论 了 Ｌ—ｕｚ 层 次拓 扑空 间 ｆｚｙ 的。 一分 离性 。在 此基 础 上 ， 文 在 Ｌ—ｆｚｙ层 次 本 ｕｚ 拓扑 空 间 中讨论 了 Ｄ 一强 分离 性 的概念 及 其性 质 ，
以及与 已有 的 Ｄ 分离性 的关 系。 一
文 中未加 说 明的符号 和概 念均 合于 ［ —３ 。 １ ］
上的一 个拓扑 ， （ ，（ ） 为 ， 一层 次拓扑 空间 。 称 Ｌ ，，６ ） 为 Ｌ—ｆｚ ｕｚ ｙ层次 拓扑空 间 。
定义 １ ３４ 设 （ ６ 是 一 ． １ Ｅ Ｌ ，）
．
ｌ 层 次 拓 扑 空 间
定义 １ １ ． 子 Ｄ： 设 （ ， 是 Ｌ一 ， （ ） ｓ ∈ ￡ ．算
ｓ， ∈ Ｌ ∈ ， Ａ ，
Ｏ∈ Ｌ ，４ ｔ Ｍ（ ） 贝 ：
定义 为 ：
（） １ Ｐ∈Ｄ （ 称 为 的 Ｏ一 域 ， ／远 若 的全 体 一 域记作 （ ） 远 ；
L-双拓扑空间的弱分离公理
双 拓 扑 空 间 的弱 分 离公 理
刘红平 ， 孟广 武
（ 聊城 大学 数学科 学学院 ， 山东 聊城 ２ ２ ５ ） ５ ０９
摘
要 ： 三一双拓扑空 间中引入一组新的分 离公理 ， 在 即配
（ ＝２ ３ ４ 分 离公 理 ， ｉ ，，） 并研 究 了它们一 系列性 （ ＝ ， ，） ｉ ２ ３ ４ 分离性
第 ２ 第 ３期 ６卷 ２ １ 年 ３ 月 ００
商 丘 师 范 学 院 学 报 Ｊ Ｕ Ｎ Ｌ Ｏ Ｈ Ｎ Ｑ Ｕ Ｔ Ａ ＨＥ ＳＣ Ｌ Ｅ Ｅ Ｏ Ｒ Ａ ＦＳ Ａ Ｇ Ｉ Ｅ Ｃ Ｒ Ｏ Ｌ Ｇ
Ｖ０ ． ６ Ｉ ２ Ｎｏ ３ ．
Ｍａ ｃ ， ２ １ ｒｈ ００
一
Ａｂｔａ ｔＡ ｓｔ ｆ ｅ ｅ ａａ ｏ ｘｏ ａ ｅ ａｒｉ ｉｉ ２ ３ ４ ｅ ａａ ｏ ｘ ｍ ｒ ｔ ｄ ｃｄｉ ｓｒｃ ： ｅ ｏ ｗ ｓｐｒｔ ｎａｉ ｃｌ ｄｐ ｉ ｓ ＷＴ（ ＝ ， ， ）ｓｐｒｔ ｎａ ｉ ｓａｅｉ ｒ ｕ ｅ Ｌ— ｎ ｉ ｍｓ ｌ பைடு நூலகம்ｅ ｉ ｏ ｎｏ ｎ
（） ２ 对任意 的 ， ∈ （ ） 当 ｘ ， ＃ｙ时 ， 存在其 中一分子 ， 不妨设 为 ， 的 一闭远域 Ｐ∈ 一 ） ８ 一闭远域 Ｑ （ 和 ：
∈７ （ ） 得 ≤ＰＡＱ， １ 使 一 则称 （ ， ， ） 为配 空 间， 简称 Ｐ—Ｔ 空 间． ｏ
有 一 些 好 的性 质 ， 富 了 三一双拓 扑 空 间理 论 ． 丰
１ 预 备 知 识
在本文 中， 表示非空集 ， ￡表示 具有逆合对应的完全分配格 ， Ｆ格． 即 ０和 １ 分别表示 中的最小元和最大元 ， ） （ 表示
中全部的分子之集 ， ’ Ｌ ） （ 表示 中全部分子 之集． Ｌ ，。３ ） （ ６ ， 表示 一双拓扑空 间 ， ２ 简记 为 —ｂｓ记分子 （ Ｆ集 Ａ） ｔ． Ｌ
L-fuzzy拓扑空间中加强的S_i(P_(T_i))分离公理
ｗｏ ｄ ： ｒ ｓ Ｌ－ｆ ｚ ｙ ｔ ｐｏ ｏ ｉ ａ ｐ ｅ ；ｓ ｍｉ ｌ ｓ ｄ ｓ ｔ ；ｐｒ － ｌ ｓ ｄ ｓ ｔ ；Ｌ－ｖ ｌ ｅ －ｌ ｗｅ ｕ ｚ ｏ ｌ ｇ ｃ ｌｓ ａｃ ｓ ｅ －ｃ ｏ ｅ ｅ ｓ ｅ ｃ ｏ ｅ ｅｓ ａｕ ｄＳ ｏ ｒ
ｓ ｍｉ ｏ ｔｎ ｏ ｓｆ ｃ ｉ ｎ ；Ｌ ． ａ ｕ ｄ Ｐ－ ｏ ｒｓ ｍｉ ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｕ ｃ ｉ ｎ ｅ －ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｕｎ ｔｏ ｓ ．ｖ ｌ ｅ ｌ ｗｅ ｅ ． ｏ ｔｎ ｏ ｓ ｆ ｎ ｔｏ ｓ ．
１ 引 言 及 预 备 知 识
文 献 【 】 引 入 了 三 ｆ ｚ ｙ （以 下 简 写 为 Ｌ ｌ中 一ｕ ｚ Ｆ）拓 扑 空 间 的 两 种 分 离 性 ， 即 和 加 强 了 的
（＝ ，，，） ｆ ｌ ３４ 分离 性 ， 中在定 义加 强 了的 （：ｌ ，，） ２ 其 ｆ ， ３４ 分离 性 时 ， ２ 主要 是 用 ∈ ， ） ｌ Ｑ ＝ 尸 ＝ 或 ） ｌ
切 远域 之集 记 作 （ ；分 明拓 扑 空间 （ 中半闭集 的 全体 记作 ｓ （ ，准 闭集 的全 体记 作 Ｐ （ ． ） ，） ｃ ｘ） ＣＸ） 定义 １ 。 设 （ ， 为 Ｌ Ｉ４ 】 Ｆ拓扑 空 间 ， ∈Ｍ’ ） Ｐ Ｃ Ｌ ）Ｐｃｅ （ｘ） （ ，Ｊ∈Ｓ （ｘ （ ｃ Ｌ ）．若 户， 称 Ｐ 则
为 的 半 （ ）闭 远 域 ；设 ９∈ ，若 有半 （ ）闭远域 Ｐ使得 ｇ≤ Ｐ．删 称 ９为 的半 （ ＞ 准 准 准
收稿 日期 ：２ １ － １ ２ ０ ０ Ｉ－ ６
基金 项 目 ： 国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （６ ７ ０； １ ９ ｌ ５） 广 东 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 ｌ ０１ ０ ５ ７１ ； ０ ２
L-双拓扑空间中几类弱连通集及其性质
（ ）＝｛ Ｐ ∈Ｒ （ 己 ）Ｉ 《 Ｐ， ∈Ｃ ｏ ｐ ｒ （ Ｌ ） ｝
是 （ ， （ Ｅ ， ）中 的 ０ 一 连 通集 ， 也是 （ Ｌ “ ， ： ）中 的 ０ 一 连 通集 ， 则 称 Ｄ是 （ Ｌ ， ∞． ， ）中 的 Ｂ Ｏ 一 ０连
定义 １ 设（ Ｌ ， ｏ）为 Ｌ ｔ ． ｔ ｓ， 称 ∈Ｃ ｏ ｐ ｒ （ Ｌ ） 是
）为 Ｂ Ｏ 一 连 通空 间 。
定义 ５ 设 （ Ｌ ， ０ ３ ， ， ２ ）是 一 ， Ａ， Ｂ ∈∥ ， 若
Ａ
．
八Ｂ≤ Ｃ ， Ａ八 ， ≤Ｃ 或Ａ ， ＾Ｂ≤ Ｃ ， Ａ八
１ 预 备 知 识
设 是 Ｆ格 ， 即具有 逆序对 合对 应 的完全 分配 格， 为非空分 明集 ， ∥ 表 示 上 的全体 ￡一 集， 中的最大元与最 小元分别记作 １ 和０ ， 设ｔ ｏ 为 ∥ 上
．
∈Ｌ ， Ａ， Ｂ称为 ０ 一 隔离 的 ， 如果 Ａ ｉ＾Ｂ≤ Ｃ 且
中图分类 号 ： ０１ ８ ９ ． １ ３
文献 标识码 ： Ａ
闭包 ， 如 果 ０ 一 例
文［ １ ］ 提 出 了双 拓 扑空 间 的概 念 ， 并 对其 性 质
进 行 了研 究 ， 文［ ２ ， ３ ］ 引入 了 一 双拓 扑空 间并对 其 分 离性 和连 通 性 进 行 了分 析 和 研 究 ， 本文在文 ［ １
是正则闭集 ， 显然 正则 开集一定是 开集 ， 正则 闭集一
定是闭集 ， 且令
２
． 双 拓 扑 空 间 的几 类 弱 连 通 集 及
， 若 Ｄ既
其性 质
定义 ４ 设 （ Ｌ ， ０ ９ ｌ ， ｏ ｔ ２ ）是 ￡ 一 『 Ｊ ￡ ｓ， Ｄ∈
L-fuzzy层次拓扑空间中的Dα-分离性
第 ３ ７卷 第 ２ 期 ２０ ０ ８年 ３月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｅ ｏ ｇ ｌ ｒ ｌ ｏ ｒ ａ ｆＩ ｎ ｒ Ｍ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉ ｏ ） ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ Ｓ ｉ
Ｊ 一 次拓扑 空间 和 一 次 拓扑空 间 ， ，层 层 统称 为
Ｌ— ｕ ｚ ｆ ｚｙ层 次 拓 扑 空 间 ． 定 理 ３。 设 （ 是 Ｌ— ｔ ， ∈ Ｌ ， ． １ Ｌ ，） ｆｓＡ Ｖ，∈
Ｐ（ ， ４Ａ ∈ Ｊ （ Ｌ） 贝 ， ）铮 Ａ ∈ Ｄ。 ） （ ．
Ａ ［ 口 ］ Ｐ．
Ｉ ［ ＝Ａ［ ｝其 中 Ｇ 口 ＝ ｛ ＝ 口 ， Ｇ ） ］ ［ ］ ｚ∈ Ｘ Ｇ（ ） 口 ． ｌ ｚ≥ ｝
称 Ａ ∈Ｌ 为 （ ，） Ｌ 中的 Ｄ。 闭集 ， （ 。Ａ） ［ 一 若 Ｄ（ ） 一 Ａｃ ． Ｌ ，）中 的全 体 Ｄ 一 ． （ ３ 。 闭集 ， 记作 Ｄ。 ） （ ． 定 理 １ 设 （ Ｌ ，）是 Ｌ— ｔ， ∈ Ｌ ． Ａ ∈ ｆｓ Ａ 若
性 质 ． ．Ｔ （－ 一１ ０ １ ２ 分 离 性 在 更 广 泛 的 Ｌ Ｄ一 ｉ ， ． ，） Ｆ层 次 拓 扑 空 间 中 保 持 了 Ｌ Ｆ拓 扑 空 间 中 的 （： 一 １０ １ ２ ￡ ，，．）
分离性．
关 键 词 ：Ｌ Ｆ层 次 拓 扑 空 间 ； 一 闭集 ； 一 （一 一 １０ １ ２ 分 离性 ｆ ， ，，） 中 图分 类 号 ： ５ Ｏ１９ 文 献 标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：１０ － ７ ５ ２ Ｏ ） ２ Ｏ ７一 ３ ０ １ ８ ３ （Ｏ ８ Ｏ 一 １３ Ｏ
拓扑学中的空间理论
拓扑学中的空间理论拓扑学是数学的一个分支领域，研究的是空间中的性质和结构。
在拓扑学中，空间理论是一项重要的研究内容，它涉及到空间的各种性质和拓扑结构的定义、分类和描述。
本文将介绍拓扑学中的空间理论，探讨其基本概念和应用。
一、拓扑学基本概念拓扑学研究的是空间，而空间则是指一组对象及其之间的关系。
在拓扑学中，我们不考虑空间的度量和几何性质，而只关注其内部结构和连通性。
以下是一些拓扑学中常用的基本概念：1. 拓扑空间：拓扑空间是指一个非空集合，以及定义在该集合上的一组特定的拓扑结构。
拓扑结构由开集族组成，满足三个条件：空集和整个集合都是开集，有限个开集的交集仍然是开集，任意多个开集的并集也是开集。
2. 连通性：一个空间被称为连通的，如果在该空间中不存在将其划分为两个或多个非空、不相交且开的子集的方法。
连通性是空间的基本性质之一，它描述了空间内部的连通程度。
3. 紧致性：一个空间被称为紧致的，如果它的每个开覆盖都有有限子覆盖。
紧致性是一种有限性质，它与空间的局部性质和有限性有关。
4. 同胚：两个拓扑空间被称为同胚的，如果它们之间存在一个双射映射，并且这个映射及其逆映射都是连续的。
同胚关系保持了空间的基本拓扑性质，它能够说明两个空间在拓扑上是完全相同的。
二、空间理论的应用空间理论在拓扑学的研究中有着广泛的应用。
它不仅是基础理论，也在实际问题中发挥着重要作用。
以下是一些空间理论的应用场景：1. 空间分类：空间理论可以帮助我们对不同空间进行分类和描述。
通过研究空间的拓扑结构和性质，可以将不同的空间进行归类，形成分类学体系。
2. 连续映射：空间理论研究了连续映射的定义和性质。
连续映射是指两个拓扑空间之间的映射，在实际问题中常常需要通过连续映射来描述和分析空间间的关系。
3. 紧致性和分离性：空间理论中的紧致性和分离性概念可以用于研究空间的局部性质和有限性质。
它们在分析、几何和拓扑优化等领域中都有重要应用。
4. 拓扑群和拓扑环：空间理论研究了拓扑空间上的运算和代数结构，从而建立了拓扑群和拓扑环的理论。
双模糊拓扑中的分离性
取得较好的成果 ， 本文也在此基础上研究 了双 拓扑 中的分离性 ．
本 文 的符 号 和 记号 可 参考 文 献［－４。 １ １
１ 预 备知 识
定义 １ 设 为非空集合 ，若 Ｊ （ （ ） ［ 】 Ｅ Ｆ Ｘ）满足： Ｆ
１ 卜１ ，０∈． ） ， ；
２ ）任意 Ａ、曰 卜（ Ｊ ＾（ ） ＾ ， Ａ∈ ） Ｂ∈ Ｂ∈ ； ３ ）任意｛＾ Ａ ， ｌ Ａ Ａ∈ Ａ ｌ Ａ∈ Ｊ （ 卜 Ｖ ＾ ） ＶＡ ∈ ， ∈ ＾ Ｊ
ＶｌＩ ２ Ｎｏ２ ０． ． ２
文章编号 ：１０ — ２７２ ０ ）２ ０ ２ — ４ ０ １ ４ １（０ ７ — ０ ４ ０ ０
双模糊 拓扑 中的分离性
赵 美香 ，刘 京凤
（．临沂师范学院数学系 ，山东 １ 临沂 ２ ６ ０ ；２ ７ ０ １ ．临沂二 中，山东 临沂 ２ ６０ ） ７０ ５
ｆ
引理 １ ｌ ） ｆ １ （ ／ ） ｃ Ａ ＝ （ 一 Ａ ） ． （ ｘ
证明
∈ｚ ］ ｃ ）＝卜 Ｂ ， ＝ｌ Ｂ） ＝１ （ ） （ ３ｇ ） － Ｂ （ ｕ，（ ／ ／ ＾ ‘ ， ） 一 Ａ ・ ＾
．
‘＾
利用邻域系和闭包定义双 分离．为了方便起见，采用以下记号 ，其中 Ａ ／∈（，） ，ｘ ０ １ ．
Ｂ‘＾．Ｂ ） ＾ ‘
定义 ４ Ａ 的 闭包 ｃ（ 定 义 为 ∈ｃ（ ： ＶＢ（ ≥ ＾（ －￣ ｌＡ） ｌＡ）＝ （ ） Ｂ∈ － ∈Ｂ） ＇ Ｘ ，即
ｃ（ ＝ Ｊ ｌ Ａ）
பைடு நூலகம்
ｆ
ｉ （ 一ＦＢ ） ｎ １ （ ）／ ｆ ．
ｘ ｜ ｔ８・８ ＾
下面给出邻域 系和闭包之间的关系．
拓扑学中的连通性与分离性-教案
拓扑学中的连通性与分离性-教案一、引言1.1拓扑学的定义和重要性1.1.1拓扑学是数学的一个分支，研究空间的性质在连续变换下的不变性。
1.1.2连通性与分离性是拓扑学中的基本概念，对于理解复杂的空间结构至关重要。
1.1.3拓扑学的应用广泛，包括物理学、计算机科学和经济学等领域。
1.1.4连通性与分离性的研究有助于深入理解这些领域的空间特性。
1.2教学目标和预期效果1.2.1学生能够理解连通性和分离性的定义，并能够应用这些概念解决实际问题。
1.2.2学生能够掌握连通性和分离性的基本性质，并能够证明一些简单的定理。
1.2.3学生能够通过学习连通性和分离性，培养逻辑思维和空间想象力。
1.2.4学生能够将连通性和分离性的知识应用到其他数学分支和相关领域中。
1.3教学方法和策略1.3.1采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，引导学生主动参与学习过程。
1.3.2利用直观的图形和实例，帮助学生理解和掌握抽象的概念。
1.3.3通过小组合作和问题解决，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
1.3.4设计丰富的练习题和实际应用案例，巩固学生的知识和技能。
二、知识点讲解2.1连通性的定义和性质2.1.1连通性是指一个空间中任意两点都可以通过连续路径相连的性质。
2.1.2一个空间是连通的，当且仅当它不能被分解为两个非空的开集的并集。
2.1.3连通性具有传递性，即如果两个空间都是连通的，那么它们的积空间也是连通的。
2.1.4连通性可以推广到多个点的连通性，如路径连通性和弧连通性。
2.2分离性的定义和性质2.2.1分离性是指一个空间中任意两点都可以被分开的性质，即存在两个不相交的开集分别包含这两个点。
2.2.2一个空间是分离的，当且仅当它不能被分解为两个非空的开集的交集。
2.2.3分离性具有对称性，即如果两个点可以被分开，那么它们也可以被分开。
2.2.4分离性可以推广到多个点的分离性，如T0、T1和T2等不同的分离性。
2.3连通性与分离性的关系2.3.1一个空间是连通的，当且仅当它不是分离的。
一般拓扑的基本知识
一般拓扑的基本知识拓扑学是数学中的一个分支，研究的是空间中的形状和结构。
在拓扑学中，拓扑空间是一个基本概念，它是一种用来描述空间结构的数学对象。
拓扑空间的定义基于一组特定的开集，而开集则是满足一些特定性质的子集。
1. 拓扑空间的定义拓扑空间是一个非空集合，其中的元素被称为点，同时还有一组满足以下性质的子集，称为开集：- 空集和整个集合都是开集。
- 任意多个开集的交集仍然是开集。
- 有限多个开集的并集仍然是开集。
2. 拓扑基础概念在拓扑学中，还有一些基础概念需要了解：- 连通性：一个拓扑空间中的点可以通过路径相连，即任意两点之间存在一条连续的曲线。
如果一个空间中的任意两点都可以通过路径相连，则称该空间是连通的。
- 紧致性：一个拓扑空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖，即可以用有限个开集覆盖整个空间。
- 同胚：如果两个拓扑空间存在一一对应的映射，并且这个映射及其逆映射都是连续的，那么这两个空间是同胚的。
3. 拓扑基本性质- 基数：拓扑空间中的元素个数被称为基数。
一个空间的基数可以是有限的，也可以是无限的。
例如，欧几里得空间中的基数是无限的。
- 维数：拓扑空间的维数是指该空间中的最大独立坐标数。
例如，欧几里得空间是三维的，而平面是二维的。
- 连通性：一个空间的连通性可以分为强连通性和弱连通性。
强连通性表示空间中的任意两点都可以通过路径相连，而弱连通性则表示空间中的任意两点都可以通过连续的曲线相连。
- 分离性：拓扑空间中的分离性是指空间中的点和集合之间的关系。
常见的分离性有：T0分离性、T1分离性、T2分离性等。
4. 拓扑空间的构造在拓扑学中，可以通过以下方法来构造拓扑空间：- 子空间拓扑：给定一个拓扑空间，可以选取其中的一个子集，然后将该子集和一组开集构成一个新的拓扑空间，这个过程叫做子空间拓扑。
- 乘积拓扑：给定两个拓扑空间，可以通过将两个空间中的开集进行乘积运算，构成一个新的拓扑空间，这个过程叫做乘积拓扑。
模糊拓扑空间的分离性
模糊拓扑空间的分离性
张弢
【期刊名称】《沈阳理工大学学报》
【年(卷),期】2001(20)3
【摘要】给出了模糊拓扑空间分离性的概念及其等价刻划 ,并且分析了模糊拓扑空间的各种分离性之间的关系。
【总页数】4页(P75-78)
【作者】张弢
【作者单位】沈阳大学基础部
【正文语种】中文
【中图分类】O189.13
【相关文献】
1.L-模糊双拓扑空间的一组弱分离性 [J], 徐国华
2.关于L-半拓扑空间中连续性和分离性的探究 [J], 李飞;朱培勇
3.关于L-半拓扑空间中连续性和分离性的探究 [J], 李飞;朱培勇
4.T_(5/2)LF拓扑空间和S_(5/2)LF拓扑空间的分离性 [J], 尤飞
5.关于“T_2(1/2)LF拓扑空间和ST_2(1/2)LF拓扑空间的分离性”的一点注记 [J], 郝俊玲
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．
模 糊 双 拓 扑 空 问 的一 组 弱 分 离 性
徐 国华
（ 京 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 ， 苏 ， 京 ，１０ ７） 南 江 南 ２０９
［ 摘要】
一
，一 Ｅ模糊拓扑空间 中， 对各 种分离性 及弱分离性 已经进行 了深人 的研 究 ， 给出 了 一 还 模糊 拓扑空 间的
Ｔ ， Ｐ 一 ÷， Ｐ 一 ， Ｐ 一 ， Ｐ 一 分离 性 ， 讨论 了它们 之 间的相互 关 系和 一些性 质． Ｗ Ｗ Ｗ Ｗ 并
１ 预备知识
在 本文 中 ， 是 非空集 合 ， 表示 具 有逆 合对应 的完 全分 配格 ， 即模 糊 格 ， １ ０和 分别 表示 的最小元 和
ｓｕ ｉ ｄ Ｓ ｅ ｉｌｙ， ｅ ｆｍｏ ｅ ｗｅ ｋ ｓ ｐａ ａｉｎ ｐｒ ｐ ｒｉ ｓｈ ｖ ｅ ｎ ｇｖ ｎ． Ｂｙ ｔ ｓｂａ ｉ ｔ ｄ ｅ ． ｐ ｃ ａｌ ａ ｓ ｔｏ ｒ ａ ｅ ｒ ｔ ｏ ｅ ｔｅ ａ ｅ ｂ ｅ ｉｅ ｏ ｈｉ ｓｓ，ｗｅｄｅ ｎｅ ａｓ ｔｏ ａ ｅ ｆ ｅ ｆｗｅ ｋ ｓ ｐ— ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｓ ｖ ｒ ｌｄ ｆ ｒｎ ｅ ａ ａｉ ｎ ｐ ｏ ｅｔ ｓ ａ ｄ ｗｅ ｋ ｓ ｐ ｒｔ ｎ ａ ｉｍｓ ｉ － ｚ ｙ ｔ ｐ ｌｇｃ ｌ ｓ ａ ｅ ａ ｅ ｂ ｅ ｓｒ ｃ ： ｅ ｅ ａ ｉ ｅ ｅ ｔｓ ｐ ｒ ｔ ｒ ｐ ｒｉ ｎ ａ ｅ ａ ａｉ ｘ ｏ ｎ Ｌ ｆ ｚ ｏ ｏｏ ｉａ ｐ ｃ ｓ ｈ ｖ ｅ ｎ ｆ ｏ ｅ ｏ ｕ
Ａ ｅ ｆＷ ｅ ｋ Ｓ ｐａ ａ ｉ ｎ Ｐｒ ｐｅ ｔ ｎ Ｌ－ｕ ｚ ｔ ｐ ｌ ｇｃ ｌＳ ｃ ｓ Ｓ ｔｏ ａ ｅ ｒ ｔｏ ｏ ｒ ｙ ｉ ｆ ｚ ｙ Ｂｉｏ ｏ ｏ ｉａ ｐａ ｅ
Ｘｕ Ｇｕ ｈ ａ ｏｕ
（ ｃ ｏｌ ｆ ｔｅ ａｉ ｌ ｃｅｃｓ ａｊ ｇＮ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｔ，Ｎ ｍｉｇ２ ０ ９ Ｃ ｉａ Ｓｈｏ ｏ ｈ ｍ ｔａ ｉｎｅ，Ｎ ｎｉ ｏｍ ｌ ｎｖ ｓｙ ａ ｎ １ ０７， ｈｎ ） Ｍａ ｃ Ｓ ｎ ｅｉ
最 大元 ， （ ）表示 ￡中全体分 子 之集 ， （ Ｌ ）表示 ∥ 中全 体 分子 之集 ， ６ 分 别为 中两个 ． ６ ， 模糊 拓
扑 ， Ｌ ， ， ）为 ， 模 糊双 拓 扑空 间 ， ， 分别 表示 （ ６ ，： （ Ｊ 一 ６： Ｌ ， ６ ）中的 一闭集 族 ， 一闭集族 ， 即 ＝
第３ ３卷第 ４期
２１ ０ ０年 １ ２月
南京师 大学报 （ 自然科学版 ） Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ ＪＮ Ｏ ＭＡ Ｎ Ｖ Ｒ ＩＹ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＮ Ｎ Ｉ Ｇ Ｎ Ｒ Ｌ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ （ ａｕａ Ｓｉ ｃ ｄｔｎ ｅ ｉ
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ． １３ ４ Ｄｅ ２ ０ ｃ， ０１
在 一 模糊 拓 扑空 间 中 ， 分离 性是 其重 要 的研究 内容 ， 国内外 已有不 少 有关 的研 究 （ １４ ）特 别 在文 ［－］ ，
［ ］中给 出 了更一 般 的弱分 离性 ， ４ 另外 在文 ［ ］中也给 出 了有关 的模糊 双 拓扑 空 间的一 些 分离 性 概念． ５ 本
文将在文［ ］ ４ 的基础上 ， ， 模糊双拓扑空间（ 。 ： 在 Ｊ 一 Ｌ ， ， ）中给出一组相关的弱分离性 ， Ｗ ６ 即 Ｐ—Ｖ ， Ｐ— ｏＷ
ａｏｍｎ 一（０ １，）Ｌｚ ｉ１ａａ ｃ ａｒｉｈ ｏ ｒｎ ｐｅ ， ， ，ｉ—ｙｔｏ １ｃａｄｕｃｉｌｎｐｍｇ ａ ｅｓ ｔｐ ｉ ｉ ２４ｎｆ ｐｇ ｅｎｉｓｅｎａｓｓ ｎ ３ ｚ ｏ ｉｓ ｓｄｓｓｒ ｔ ｉ ｕ ｂ ｏｃｐ ｔ ｅｏ ａ
ｔ ｍ ｎ ｏ ｏ ｅ ｔｅ ． ｈｅ ａ ｄ ｓ ｍｅ ｐｒ ｐ ｒｉ ｓ
一
组 更 弱 的 分 离 性 ．本 文 在 此 基 础 上 ，在 Ｌ模 糊 双 拓 扑 空 间 中 定 义 一 组 弱 分 离 性 一
（ ， １，） 论 们 间相 关 及 些 质 ０， ， ， 讨 它 之 的互 系一 性 ． ｌ ２４ ３并
［ 关键词］ 三模糊拓扑空间 ，一 一 ，模糊双拓扑空 间 ， 一 Ｊ 分离性 ［ 中图分类号 ］０１７ ９ ［ ７ ．９ 文献标识码 ］Ａ ［ 文章编号 ］０ １ ６ ６ ２ １ ）４０ １ －６ １０ － １ （０ ０ ０ －０ ３０ ４
定 义 １ 设 Ａ ∈ ， Ｓ ∈ Ｌ ｛ ｝使得 ａ ｘ 若 Ｉ Ｘ 一０ ， （ ）＞０当且仅 当 （ ）≥ ， ∈Ｘ， Ｖ 则称 ４为准 分 明
（Ｆ Ｌ 集．
定 义 ２ 设 为 中的一个 准分 明集 ， ｐ Ａ 令 （ ）＝Ｖ ｛ ∈Ｌ ｛ Ｉ （ ）＞０当且仅 当 Ａ（ 一０｝ ｘ ａ ）≥ ， Ｖ
Ｋｅ ｒ ｓ Ｌ ｆ ｚ ｙ ｔｐ ｌ ｇｃ ｐ ｃ ．Ｌ ｆ ｚ ｙ ｂ ｔｐ ｌ ｇｃ ｌｓ ａ ｅ Ｐ ｓ ｐ ｒ ｔ ｎ ｐ ｏ ｅ ｉ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ： —ｕ ｚ ｏ ｏ ｏ ｉ ａ ｓ ａ ｅ —ｕ ｚ ｉ ｏ ｏ ｉ ａ ｐ ｃ ． ｌ ｏ —ｅ ａ ａ ｉ ｒ ｐ ｒ ｅ ｏ ｔ
｛ Ａ ＡＩ ∈６｝ ｉ＝ １２ ， 们 将 分子 （ Ｆ Ａ 的一 切 闭远 域 之集 记 为 ｎ ｘ ） ７ Ａ） ， 值 Ｆ集 记 为 （ ，） 我 Ｌ集 ） （ （Ｉ ） 常 （
Ｏ （ｔ ）其余没有定义的符号均来 自于文［ ］ ｌ Ｏ ∈Ｌ ， １．
为 了讨 论方便 ， 们把 ， 模糊 拓 扑空 间 （ 中弱 分 离性 的有关 概 念 简述 如 下 ： 我 Ｊ 一 Ｌ，