高中数学必修一 函数的基本性质—奇偶性(第一课时)
第3章-3.2.2-函数的奇偶性高中数学必修第一册湘教版
知识点2 奇、偶函数的单调性
例2-2 已知奇函数 在区间[2,3]上单调递增，求 在区间[−3, −2]上为的单调性.
【解析】任取1 ,2 ∈ [−3, −2]且1 < 2 ，∴ 2 ≤ −2 < −1 ≤ 3，又奇函数 在
[2,3]上单调递增，∴ −2 < −1 ，则− 2 < − 1 ,∴ 1 < 2 ，因
例5 判断函数 =
1 2
+ 1, > 0,
2
൞ 1
的奇偶性.
2
− − 1, < 0
2
【解析】函数的定义域为 −∞, 0 ∪ 0, +∞ ，关于原点对称.
当 > 0时，− < 0， − = −
当 < 0时，− > 0， − =
1
2
综上可知，函数 是奇函数．
1
2
−
−
2
2
1
2
− 1 = −( 2 + 1) = − ；
1
2
1
2
+ 1 = 2 + 1 = −(− 2 − 1) = − .
例6（1） 已知函数 , ∈ ，若∀, ∈ ，都有( + ) = + ，求证：
为奇函数.
【解析】令 = 0，则 = 0 + ,
( D
)
A.ℎ = + 是偶函数
C.ℎ =
⋅
2−
是偶函数
B.ℎ = ⋅ 是奇函数
D.ℎ =
2−
是奇函数
【解析】对于A，ℎ = + = 4 − 2 + − 2 = 4 − 2 + 2 − ,
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
必修1课件1.3.2 奇偶性
用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
知识探究（一）
思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若 存在，这样的函数有何特征？ f(x)=0 思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？ 思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么 f(0)的 值如何？ f(0)=0 思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常数，那 么函数af(x)，f(ax)的奇偶性如何？ 思考5:常数函数
2
思考3:二次函数 f ( x) ax bx c 是偶函数的条
件是什么？
一次函数 f ( x) kx b是奇函数的条件是什么？ b=0
课堂练习
判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) x x (3) f ( x) 5 (5) f ( x) x 1
(2) f ( x) x 1
知识探究（一）
考察下列两个函数：
(1) f ( x) x
y o
2
(2) f ( x) | x |
y o x
x
图（1）
图（2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共 同特征？ 思考2:对于上述两个函数,f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)， f(3)与f(-3)有什么关系？
思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称， 则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？
y
相等
0
x
例3.已知f(x)是奇函数，且当 x 0时，f ( x) x 3x
2
求当 x 0 时f(x)的解析式.
人教版高中数学必修1《奇偶性》PPT课件
• (二)基本知能小试
• 1．判断正误：
•(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是
偶函数．
()
•(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数
y＝f(x)一定是奇函数．
()
•(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函 数就是偶函数．( )
()
•A．－1
B．0
•C．1
D．无法确定
• 解析：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a ＝1.
•答案：C
• 4．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1， 则当x<0时，f(x)＝________.
• 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－ f(x)，所以f(x)＝－x
又 f(0)＝0，所以 f(x)＝x－1x＋x－x，1，x≥x0<，0.
• 3．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x， 求函数f(x)，g(x)的解析式．
• 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
• ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
• 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，
• [方法技巧]
• 比较大小的求解策略
• (1)若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性 比较大小．
• 3．2.2 奇偶性
明确目标
发展素养
1.理解奇函数、偶函数的定义，了解 1.借助奇(偶)函数的特征，培养直
奇函数、偶函数图象的特征．
观想象素养．
2.掌握判断函数奇偶性的方法，会根 2.借助函数奇偶性的判断方法，
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修 1 函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f( x)定义域内的任意x 都有 f( － x)= －f(x)，则称 f(x) 为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(－ x)=f (x) ，则称 f(x)为偶函数。
如果函数 f (x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则f( x) 既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－ x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2 确定f(－x)与f( x)的关系；○3作出相应结论：若f( － x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数；若f( － x) = －f(x) 或 f(－ x)＋f (x) = 0 ，则 f (x)是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设 f ( x ) ， g ( x ) 的定义域分别是 D 1 , D 2，那么在它们的公共定义域上：奇 +奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1， x2，当 x1 <x2时，都有 f(x1 )<f(x2)（f(x1)>f (x2)），那么就说 f( x) 在区间 D 上是增函数（减函数）；注意：○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x1， x2；当 x1<x2时，总有 f(x1 )<f( x2)（2）如果函数y=f(x) 在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f( x)的单调区间。
函数的奇偶性 高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
导入新课
问题1 下列各图，分别是怎样的对称图形？
第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形．
导入新课
问题2 在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数．
一元二次函数的图象（轴对称）、反比例函数的图象（中心对称）．
y
O
y
y＝x2
x
O
1
=
x
导入新课
问题3 填写相应的函数值表，你发现了什么？
（1）f（x）＝2x4＋3x2；
（2）f（x）＝x3－2x；
4 − 1
（3）f（x）＝
；
2
（4）f（x）＝x2＋｜x｜．
（1）偶函数；
（2）奇函数；
（3）偶函数；
（4）偶函数．
目标检测
3
函数y＝f（x），x∈[－1，a]，（a＞－1）是奇函数，则a等于（
A．－1
B．0
C．1
D．无法确定
解析： ∵奇函数的定义域关于原点对称，
概念深化：根据定义，判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝－2x2；
（2）g（x）＝x4＋2；
1
（3）h（x）＝ 2 ；
1
（4）m（x）＝
．
＋2
1
（4）函数m（x）＝
定义域为｛x｜x≠－2｝，
＋2
定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数．
新知探究
概念深化：根据定义，判断下列函数的奇偶性：
有什么共同特征吗？
不难发现，这两个函数的图象都关于y轴对称．
新知探究
追问1：那么如何使用符号语言精准地描述，函数图象关于y轴对称这一特征？
对于上述两个函数，f（1）与f（－1），f（2）与f（－2），f（3）与f（－3），f（x）与f（－x）有什么关系？
高一数学必修一全套课件 PPT课件 人教课标版15
问题提出
1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物 的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性 反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值.
2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单
调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的
最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什
么性质？
函数的奇偶性
知识探究（一）
考察下列两个函数：
(1) f (x) x2 ;
yo
x
(2) f (x) | x |.
y
o
x
图（1）
图（2）
思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者
有何共同特征？
思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)， f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？
•
52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。
•
53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
人教版高一数学必修一函数的奇偶性课件PPT
总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地 挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个 课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有 一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高 效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。 那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的 状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间 被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知 道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领 先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）
确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相反
思考6:函数
是奇函数吗？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
y
f(x)
O
x
y
g(x)
O
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第16页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
1
1
(3) f ( x) x x
(4)
y f(x)=5
x
(5)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
(6)
(7)
(8)
第15页，共22页。
y f(x)=0 x
(9)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
P85 1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
4
3 2
g(x) 1 x
1
12 345
函数
g(x) 1 x
的定义域为{x|x≠0},
o
x
–1
–2
–3
它关于原点对称,
–4
–5
且 g(x) 1 1 g(x)
即
g
(
x)
1
xx
是奇函数.
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第12页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
y
4
3
f (x) x
2
–3 –2 –1
1 123
o
高中数学必修1函数的基本性质
高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。
（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
3.4函数的基本性质-奇偶性(第一课时)
3.4函数的基本性质—奇偶性（第一课时）一、教学内容分析本节的重点是偶函数与奇函数的概念.由熟悉的一次函数、反比例函数和二次函数的图像作为研究的起点，抓住图像的特征：关于原点中心对称和关于y轴轴对称，初步形成函数图像具有这种对称的代数特征.从对图像的研究这一角度来理解奇偶性并不困难.“形”的这种特征可以从“数”的角度，即用数量关系来描述函数这一特性，形成对奇偶性概念的认识.从具体到一般情况的研究方法是遵循认识事物的一般规律，用准确的数学语言刻画出偶函数与奇函数的定义.本小节的难点是理解定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件.突破难点的关键一是借助于图象对称的直观性，二是借助于)(x()=-的数量关系的真f-xf)((xff=x-或)实意义.利用数形结合的思想阐述满足条件的函数关系式：)(xfx=f--，这是既简单又直观且是最基本、最x-或)())(f=f(x常见的方法，要注意灵活运用．二、教学目标设计理解偶函数与奇函数的概念; 掌握判断函数奇偶性的一般方法；明确定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件；知道奇函数与偶函数的图象特征.通过对偶函数的学习，促进对奇函数的自我观察、比较、分析、概括等能力.发展运用数学语言进行表达、交流的能力.从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性，强调通过对函数图象的观察来研究函数的性质，是今后学习其他较为复杂的函数的一般方法.三、教学重点及难点偶函数与奇函数的概念及其图象特征，数形结合思想方法在概念理解与解题中的运用；偶函数与奇函数之间的联系与区别；判断函数的奇偶性的一般方法.五、教学过程设计一、复习回顾对称这种结构我们大家很熟悉，在生活中有许多的对称的例子：赵州桥、古代宫殿、寺庙等.对称的设计体现了数学形态的美感.在数学学习中有很多对称，回忆一下在我们所学的内容中，特别是函数中有没有对称问题呢？初中，我们学过哪些函数的图象是关于y轴对称和关于原点对称的呢？（启发学生回忆）【学生回答：正比例函数)0y=kxy关于原点对称，2x(≠=k关于y轴对称.】当时一次函数等简单函数只要结合图象，一眼就观察出来了！那要是较为复杂的函数，我们不知道它的图象呢？怎么判断它的对称性呢？今天，我们从函数“形”的特征中，研究它们在数值上的规律，便于今后绘制函数图象与研究一些比较复杂的函数的性质.【提问：函数图象有哪几种对称？】（学生回答：函数图象的对称性有关于y轴对称和关于原点对称）【提问：有关于x轴对称吗？】（学生根据函数图象的特征回答“没有”）函数图象的对称性，就是今天我们研究的函数的基本性质之一——奇偶性【板书标题《函数的基本性质——奇偶性（第一课时）》】 先来看一组具体的函数，并按要求完成：①x y 3= ②xy 1= ③1+=x y ④2x y =⑤x x y 22+= ⑥32+=x y1） 分别画出函数的大致图像，观察图像的对称性.把它们分成不同的小组.【请学生上黑板演示】y 轴对称——④ ⑥②y 轴对称也不关于原点对称——③ ⑤2） 图像的对称性怎样用数学符号来表示呢？从数值的角度研究图像的对称性呢？.①在A,B 两组中分别计算)1(),1(-f f ；)2(),2(-f f 寻找等量关系.②对定义域内的任意x 的值，都具有这种等量关系吗？有没有D x ∈,)()(x f x f ≠-？ 二、讲授新课关于偶函数1、概念的萌发发现A组函数中，当Dx∈时都有)x=，这组函数叫f-f(x()做偶函数，请学生根据已有的经验，用完整的语言归纳出偶函数的定义.[说明]启发学生观察图象，并发现如下结论：当Dx∈时都有)f-=fx()(x2、概念形成⏹偶函数的定义如果对于函数)y=的定义域(xf．．．．．．x，都有．．．．．D．内的任意实数f=fy=是偶函数.x-，则函数)(x)()f(x对B组中的函数图象关于原点成中心对称，在数值上的特征又是什么？类比偶函数的定义，你可否给出奇函数的定义？（学生回答）⏹奇函数的定义如果对于函数)y=的定义域(xf．．．．．D．内的任意实数．．．．．．x，都有f-=y=是奇函数.xf-，则函数)(x())f(x对函数的奇偶性有了一定的认识，检验学生对概念的理解.请学生判断下列函数的奇偶性：1．Ry=)1((22．x=,)-xxf∈x3．1xy 4.2=x+1-+f-=x)1(x【说明】第1－4题，学生将是否满足)xf=-作为判断的依(x()f据对不是奇函数或者不是偶函数，要求举反例来说明.提问1：)2,2[,)(2-∈=x x x f 是偶函数吗？提问2：)(x f y =是偶函数或者奇函数应该具备的条件是什么？3、概念深化（1）“定义域．．．D ．内的任意实数．．．．．．x ”中“任意”指“所有”，即定义域内的所有x 具有的性质.是函数在整个定义域上的一个属性.把“任意”改为“无穷多个”行吗？（2）都有．．)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-”指数量关系式要恒成立.两要素相互结合，不能只注重第二个等式.函数的研究首先是在定义域内的研究.根据以上两点，偶函数和奇函数的定义域有什么特点？※ 定义域关于原点对称 【解释若D x ∈则D x ∈-】那么，反之成立吗？【举反例】※ “定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要非充分条件（概念辨析题）请学生判断下列函数的奇偶性：1．)1,1[,0-∈=x y 2．52x y =3．11)(22-+-=x x x f 4．x x x f -+-=11)(【要求：不是奇函数或偶函数请举反例说明】（3）偶函数、奇函数的图特像征※偶函数的图像关于y轴成轴对称.※奇函数的图像关于原点成中心对称4、例题解析例1：求证：函数243f-=是偶函数（教师板演）x)x2(x小结：证明函数是偶函数的一般步骤.（紧扣定义）证明函数是奇函数的一般步骤.5．概念的外延一、判断函数的奇偶性的方法★紧扣定义来判断1．定义域是否关于原点对称2．在定义域上是否满足)-x+f恒成立(=xf((x)f-＝)(xf或0)★根据图像的对称性来判断【提问1】怎样解释图像的对称性？紧扣定义，由Dx∈恒有)+-x(=ff，由点的x()(x)(f)-或0f=x对称⇒图像的对称.【提问2】由图像的对称性可以判断函数的奇偶性吗？为什么？（抓住定义来解释）小结如下：※“图像关于y轴成轴对称”是函数为偶函数的充要条件※“图像关于原点成中心对称”是函数为奇函数的充要条件二、怎样绘制偶函数和奇函数的图像？结合偶函数和奇函数图像的对称性先描绘y轴一侧的图像，然后做出这部分关于y轴对称或原点对称的图像，就得到整个函数的图像了.（完成课本P66页的绘图练习）三、函数奇偶性的类别（1）偶函数（2）奇函数（3）非奇非偶函数定义域没有关于原点对称；或者定义域关于原点对称，但是)f没有奇、偶函数那样的恒等式.(x(xf-与)（4）既奇又偶函数定义域关于原点对称且满足0x∈；既奇又偶函数f，D(=x)的图像特征——图像在x轴上且关于原点对称.三、巩固练习一、下列说法是否正确？如果错误，请举例说明.1． 奇函数的图像都通过原点.2． 偶函数的图像都和y 轴相交.3． 既奇又偶的函数只能是0)(=x f4． =y )(x f 是定义在R 上的奇函数，一定有0)0(=f5． 图像关于y 轴对称的函数一定是偶函数.二、函数)(),(x g x f 在区间],[a a -上都是奇函数，且0)(≠x g ，则下列函数：①)()(x g x f + ②)()(x g x f - ③)()(x g x f ⋅ ④)()(x g x f 中为奇函数的是 ；为偶函数的是 （填序号）四、课堂小结本节课从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性（1）从“数”的角度：D x x f x f ∈=-),()(是偶函数；)()(x f x f -=-，D x ∈是奇函数.（2）从“形”的角度：图像的对称性来判断奇偶性.五、课后作业1、书面作业：课本部分剩余习题 66P #1，2，62、思考题：请你寻找判断函数奇偶性的一般规律◆偶函数与偶函数的和函数是 ；◆偶函数与奇函数的和函数是 ；◆奇函数与奇函数的和函数是 ；◆偶函数与偶函数的积函数是 ；◆偶函数与奇函数的积函数是 ；◆奇函数与奇函数的积函数是 ；3． 思考题：已知)(x f 是定义在R 上的任意一个函数，请以)(x f 和)(x f -构造)(x F ，使)(x F 为偶函数或者为奇函数.六、教学设计说明1．注重课题引入的自然性.由研究函数图像的对称性导入课题，是对偶函数、奇函数概念的铺垫，由初中的函数知识过渡到研究函数的性质，体现初高中函数知识的衔接.最好不要直接给出它们各自概念的含义，建议结合图形，启发学生从一些常见的例子中，寻找)(x f 与)(x f -之间的联系，学生较为容易接受，理解也较为深刻，为以后进行概念的教学打下基础.2、注意概念的数学语言表示，提高学生的数学语言表达能力.3、运用对比教学的方法，使学生区分偶函数和奇函数的概念，能正确理解函数的奇偶性在图像上的特征.教师在讲解了偶函数的概念后，可以涉及一个表格，让学生填写内容.见下表：小结奇偶性的判断方法与步骤，设计如下流程图：征的理解与掌握.密切联系实际，会以正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数及它们的线性组合为载体，注重从特殊到一般的学习过程，加深对函数奇偶性的本质理解，先对偶函数进行详细地研究，再用类比的方法来要求主动研究奇函数的定义和图像特征.为提高学生对函数性质的研究能力而打下扎实的知识基础.重视数形结合的思想方法.整堂课从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性，强调通过对函数图像的观察来研究函数的性质，是今后学习其他较为复杂的函数的一般方法.在学生体会学习的过程中，感悟知识的习得.。
人教版高中数学B版高中数学必修一《函数的奇偶性》函数的概念与性质(第1课时奇偶性的概念)
14
判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法：
15
(2)图像法：
16
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号) ①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝x12； ④f(x)＝x＋1x；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．
由 y＝f(x)在[0,5]上的图像，可知它在[－5,0]上的图像，如图所示． (2)由图像知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
21
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问 题．
[解] (1)如图所示
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
31
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋ a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4. 法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函 数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4. 法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶 函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]
都不具有奇偶性．]
7
3．函数 y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则 a 等于( )
A．－1
B．0 C．1
D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即 a＝1.]
8
4．若 f(x)为 R 上的偶函数，且 f(2)＝3，则 f(－2)＝________. 3 [∵f(x)为 R 上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3.]
高中数学(必修1)第1章13函数的奇偶性
高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。
这一节我们继续学习函数的另一个性质。
请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？ 把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。
图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。
大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。
教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。
即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。
（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。
3.2.2函数的奇偶性(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
. ( ， + ∞)
2
答案：.
1
. (−∞， )
2
).
1
. ( ，2)
2
1
. [−2， )
2
课堂小结&作业
小结：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
3.各题型的注意事项.
作业：
1.课本P83的1、2、3题；
2.课本P84的习题3.2的4、5、6、7、11、12、13题.
2
3
. (2) < (− ) < (−1)
2
3
. (2) < (−1) < (− )
2
3
. (−1) < (− ) < (2)
2
解：据题意得： () 为偶函数，且在区间 （ − ∞， − 1] 上是增函数.
∴(2) = (−2) .
3
又∵−2 < − < −1
2
∴(−2) <
∵()为上的偶函数
∴当 > 0时，() = (−) = ( + 1).
练习
方法技巧：
利用函数奇偶性求分段函数的解析式
(1)定义域：根据已知定义域(正或负)的解析式，写出另一边的解析式.
(2)写成分段函数的形式，通常不会出现 = 0，如果出现也需要特殊说明.
练习
变3.已知函数()是上的奇函数，且当 ∈ （0， + ∞）时，() =
同理可证：奇函数就是满足条件(−) = −()的函数.
上面的讨论概括如下：
(1)如果对一切使 () 有定义的 ， (−) 也有定义，并且 (−) = ()成立，
则称()为偶函数；
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函数的基本性质—奇偶性
（第一课时）
3.4函数的基本性质—奇偶性
【教材分析】
本节的重点是偶函数与奇函数的概念.由熟悉的一次函数、反比例函数和二次函数的图像作为研究的起点，抓住图像的特征：关于原点中心对称和关于y 轴轴对称，初步形成函数图像具有这种对称的代数特征.从对图像的研究这一角度来理解奇偶性并不困难.“形”的这种特征可以从“数”的角度，即用数量关系来描述函数这一特性，形成对奇偶性概念的认识.从具体到一般情况的研究方法是遵循认识事物的一般规律，用准确的数学语言刻画出偶函数与奇函数的定义.
本小节的难点是理解定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件.突破难点的关键一是借助于图象对称的直观性，二是借助于)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-的数量关系的真实意义.利用数形结合的思想阐述满足条件的函数关系式：)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-，这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法，要注意灵活运用．
【教学目标】
1、理解偶函数与奇函数的概念; 掌握判断函数奇偶性的一般方法；明确定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要非充分条件；知道奇函数与偶函数的图象特征.
2、通过对偶函数的学习，促进对奇函数的自我观察、比较、分析、概括等能力.发展运用数学语言进行表达、交流的能力.
3、从“数”和“形”两个角度来检验函数的奇偶性，强调通过对函数图象的观察来研究函数的性质，是今后学习其他较为复杂的函数的一般方法.在引导学生发现问题、研究问题和解决问题的过程中，激发学生自主学习的兴趣。
【教学重点】
奇函数与偶函数的概念、函数奇偶性的判定
【教学难点】
奇函数与偶函数的概念的理解
【教学过程】
一、情景引入
对称这种结构我们大家很熟悉，在生活中有许多对称的例子：如蝴蝶、脸谱,雪花等.对称的设计体现了数学形态的美感.数学中也存在着对称图形，如轴对称图形，中心对称图形。
函数图象的对称性，就是今天我们研究的函数的基本性质之一——奇偶性 二、概念学习 （一）从形的角度引入偶函数与奇函数的概念 偶函数：图象关于y 轴对称的函数
奇函数：图象关于原点对称的函数 引例1：下面是一些函数的图像，判断相应函数的奇偶性.
y 1 -1 1 -1 x O y 1 -1 1 -1 x O y
1 -1 1 -1 x O x 1 -1 x O y -1 2
（二）从数的角度给出偶函数与奇函数的定义
引例2：已知函数()2x x f =，请计算下面函数的值,并找出其中的规律。
自变量x 取一对相反数时，对应的函数值相等，即对任意D x ∈,都有D x ∈-，且
)()()(22x f x x x f ==-=-，
思考：对于任意一个图象关于y 轴对称的函数，上述规律还成立吗？
归纳给出偶函数的定义：一般地，如果对于函数)(x f y =的定义域．．．D ．内的任意实数．．．．．．x ， 都有．．)()(x f x f =-，则函数)(x f y =是偶函数.
引例3：已知函数()x
x f 1=，请计算下面函数的值,并找出其中的规律。
自变量x 取一对相反数时，对应的函数值相反，即对任意D x ∈,都有D x ∈-， 且)(1)(x f x
x f -=-=-. 思考：对于任意一个图象关于原点对称的函数，上述规律还成立吗？
归纳给出偶函数的定义：一般地，如果对于函数)(x f y =的定义域．．．D ．内的任意实数．．．．．．x ， 都有．．)()(x f x f -=-，则函数)(x f y =是奇函数。
如果一个函数是偶函数或奇函数，就说该函数具有奇偶性。
（三）偶函数与奇函数的概念辨析
判断下列说法的正误
(1)若函数R x f y 的定义域为)(=，满足),2()2(-=f f 则该函数是偶函数
(2)若函数R x f y 的定义域为)(=，且满足),2()2(f f -≠-则该函数不是奇函数
(3)函数]2,1[,)(-∈=x x x f 是奇函数
（4）若函数()],3,3[1)(2-∈-=x x x f ，为偶函数
概念深化：
（1）“定义域．．．D ．内的任意实数．．．．．．x ”中“任意”指“所有”
，即定义域内的所有x 具有的性质是函数在整个定义域上的一个属性.
（2）“定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必要非充分条件。
凡是定义域不关于原点
对称的函数一定是非奇非偶的函数.
（3）偶函数的图像关于y 轴成轴对称，奇函数的图像关于原点成中心对称,反之亦真。
即
函数为偶函数⇔图像关于y 轴成轴对称⇔)()(x f x f =-
函数为奇函数⇔图像关于原点成中心对称⇔)()(x f x f -=-
三、例题分析：
例1、（1）求证：函数2432)(x x x f -=是偶函数；
（2）求证：函数3)(x x f =是奇函数。
例2、判断下列函数的奇偶性
（1）()x
x x f -+=11； （2）()R x x x g ∈+=,2。
四、巩固练习：判断下列函数的奇偶性：
（1）x x f =)( ； （2）x
x x f --+=1111)( ； （3）[)3,3,2)(2-∈-=x x x f ； （4）[]1,1,0)(--∈=x x f
五、课堂小结： 奇偶性
偶函数 奇函数 定义 设函数)(x f y =的定义域为D ，任意D x ∈，都有
)(_____)(x f x f -
)(_____)(x f x f -- 图像特征
关于_________对称
关于__________对称 证明（或判断）步骤
判断方法
六、课后反思：。