绵阳市高2014级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准

绵阳市高2014级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADBCB BADAC CA二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．13．114．1315．e16．t ≤-3，或t =0，或t ≥1三、解答题：本大题共6小题，共75分． 17．解 ：(Ⅰ)由图得：2=A ．由213165424=-==ωπT ，解得πω=． ………………………………………3分 由2)3sin(2)31(=+=ϕπf ，可得223ππϕπ+=+k ，解得62ππϕ+=k ，又2πϕ<，可得6πϕ=，∴ )6sin(2)(ππ+=x x f ．………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知34)6sin(2)(=+=παπαf ， ∴ 32)6sin(=+πα， 由α∈(0，3π)，得6πα+∈(6π，2π)，∴ 35)32(1)6cos(2=-=+πα． ……………………………………………9分 ∴ ]6)6cos[(cos ππαα-+==6sin)6sin(6cos)6cos(ππαππα+++=21322335⨯+⨯ =6215+． …………………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ)令111121a a S n =-==，，解得11=a ．……………………………2分由12-=n n a S ，有1211-=--n n a S ， 两式相减得122--=n n n a a a ， 化简得12-=n n a a （n ≥2），∴ 数列}{n a 是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴ 数列}{n a 的通项公式12-=n n a ．……………………………………………6分(Ⅱ)由(1)n k S +≥29n -，整理得k ≥n n 292-， 令n n n b 292-=，则1112211292272+++-=---=-n n n n n nn n b b ， ………………………8分 n =1，2，3，4，5时，0221111>-=-++n n n nb b ，∴ 54321b b b b b <<<<．………………………………………………………10分n =6，7，8，…时，0221111<-=-++n n n nb b ，即⋅⋅⋅>>>876b b b ． ∵ b 5=321<6436=b ， ∴ n b 的最大值是6436=b ．∴ 实数k 的取值范围是)643[∞+，．…………………………………………12分19．解：(Ⅰ)由54cos =A 得53sin =A ，∴ 5214453122821sin 21=⨯⨯⨯==∆A bc S ABC ．……………………………3分 (Ⅱ)由AC AB DA DO 4131+=-，可得AC AB AO 4131+=，于是AO AC AO AB AO AO ⋅+⋅=⋅4131 ， ……………………………………5分即OAC OAB AO ∠∠=2，①又O 为△ABC 的的外接圆圆心，则OAB ∠，OAC ∠=，②…………………………7分将①代入②得到28161AO +=1288114461⨯+⨯=401624=+=，解得102=．……………………………………………………………10分由正弦定理得1042sin ===R B b，可解得552sin =B ．…………………………………………………………12分 20．解：(Ⅰ) x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴ )32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ， ∴ 函数)(x f 在(2，3)上是减函数． …………………………………………2分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ， ……4分∵ 75.04263)43sin(312sin 31211sin33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos3cos -≈+-=--=-=<ππππ， ∴ 03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上只有1个零点．…………………6分 (Ⅱ)由题意等价于x x x cos sin +x kx cos 2+>，整理得xxk sin <． ………………………………………………………………7分 令xxx h sin )(=，则2sin cos )(x x x x x h -='，令x x x x g sin cos )(-=，0sin )(<-='x x x g ，∴ g (x )在)24(ππ，∈x 上单调递减， …………………………………………9分∴ 0)14(22)4()(<-⨯=<ππg x g ，即0sin cos )(<-=x x x x g ， ∴ 0sin cos )(2<-='x x x x x h ，即xx x h sin )(=在)24(ππ，上单调递减， ……11分 ∴ ππππ2242244sin)(==<x h ，即π22<k ． …………………………………………………………………12分 21．解：(Ⅰ) xax ax x x f 1221)(2+=+='，①a ≥0时，0)(>'x f ，)(x f 在)0(∞+，上单调递增．………………………2分②0<a 时，由0)(>'x f 可解得ax 210-<<，由0)(<'x f 可解得a x 21->，综上： a ≥0时，)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；0<a 时，)(x f 的单调递增区间是)210(a-，；单调递减区间是)21(∞+-，a ．…………………………………………………………4分(Ⅱ)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ， 令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x xme x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m =e 3．①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x xme x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴ )(x h <h (1)=0，不满足条件． ……………………………………………6分②当e m 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，．显然xme x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增， ∴ 2131)1()(min =-⨯<-==e eme p x p ．由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ． ∴ min min )()(x q x p <．于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(∞+，单调递减， 又0)1(=h ，故0)(<x h ，不满足条件．若)(x p 的图象与)(x q 的图象在x >1某点处的相交，设第一个交点横坐标为x 0， 当)1(0x x ，∈时，)()(x q x p <，即0)(<'x h ，故)(x h 在)1(0x ，单调递减， 又0)1(=h ，故当)1(0x x ，∈时，0)(<x h ．∴ )(x h 不可能恒大于0，不满足条件． ……………………………………9分 ③当m ≥e 3时，令x x me x x 21)(--=ϕ，则21)(2-+='x me x x ϕ．∵ x ∈)1(∞+，，∴ 21)(2-+='x me x x ϕ>2-xme ≥0123>=-⋅e e ，故x xme x x 21)(--=ϕ在x ∈)1(∞+，上单调递增， 于是033211)1()(=-⨯>--=>e eme x ϕϕ，即0)(>'x h ，∴ )(x h 在)1(∞+，上单调递增， ∴ 0)1()(=>h x h 成立． 综上，实数m 的取值范围为m ≥e3．………………………………………12分 22．解：(Ⅰ)由曲线C 的原极坐标方程可得θρθρcos 4sin 22=，化成直角方程为y 2=4x ．………………………………………………………4分 (Ⅱ)联立直线线l 的参数方程与曲线C 方程可得)521(4)511(2t t +=+，整理得015562=--t t ， ……………………………………………………7分 ∵ 01521<-=⋅t t ，于是点P 在AB 之间，∴ 1544)(2122121=-+=-=+t t t t t t PB PA ．……………………………10分 23．解：(Ⅰ)∵ 1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴ 当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负． 当-1<x <1时，12)(+=x x f ，由)(x f ≥0可解得x ≥21-，于是21-≤x <1． 当x ≥1时，3)(=x f >0恒成立．∴ 不等式)(x f ≥0的解集)21[∞+-，．………………………………………5分(Ⅱ)由方程x x f =)(可变形为11+--+=x x x a令⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=+--+=，，，，，，12111211)(x x x x x x x x x x h作出图象如右． ………………………8分于是由题意可得-1<a <1．…………10分。