导数的运算(理科)
3-1导数的概念及运算
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
【解析】 (1)f′(x)＝2 017＋ln x＋1x·x＝2 018＋ln x.
由 f′(x0)＝2 018，得 ln x0＝0，则 x0＝1.
(2)f′(x)＝aln
x＋x·1x＝a(1＋ln
x)．
由于 f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又 f′(1)＝3，所以 a＝3.
(2)∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0)．
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝ ＋x10＝ln（x01，＋ln x0）x0， 解得 x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1，0)， ∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0.故选 B. 【答案】 (1)2x＋y＋1＝0 (2)B
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
角度二 求切点坐标 【例 3】 (2018·西安调研)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与 曲线 y＝1x(x>0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________．
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第三章 导数及其应用
【解析】 由 y′＝ex，知曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线斜率 k1＝e0＝1.
第三章 导数及其应用
(3)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由
y1＝f（x1），
求解即可．
y0－y1＝f′（x1）（x0－x1）
高考总复习·数学理科（RJ）
第三章 导数及其应用
跟踪训练2 (1)(2018·开封模拟)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P
导数的概念及运算
导数的概念及运算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的概念在数学和物理学中都有广泛的应用，是解决问题和研究现象的重要工具。
导数的定义可以通过极限来进行解释。
对于函数f(x)，如果存在一个常数a，使得当x趋近于a时，函数f(x)与直线L的斜率趋近于一个确定的值，那么这个确定的值就是函数f(x)在点a处的导数。
导数通常用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)来表示。
导数的运算规则是微积分中的重要内容之一，它可以帮助我们求解复杂函数的导数。
常见的导数运算规则包括常数法则、幂法则、和法则、差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
常数法则指出，对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
这是因为常数不随x的变化而变化，所以其变化率为0。
幂法则指出，对于任意正整数n和常数c，有d/dx(x^n) =nx^(n-1)。
这是因为幂函数的导数与幂指数有关，且指数减1。
和法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)+g(x)) = d/dx(f(x)) + d/dx(g(x))。
这是因为求导是一个线性运算，可以对每一项分别求导。
差法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)-g(x)) = d/dx(f(x)) - d/dx(g(x))。
这也是因为求导是一个线性运算。
乘法法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
这是因为乘法的导数可以通过对每一项分别求导得到。
除法法则指出，对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)/g(x)) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
这是因为除法的导数可以通过乘法和差法则得到。
复合函数法则指出，对于复合函数y = f(g(x))，其导数可以通过链式法则求得。
导数基本运算
导数基本运算导数基本运算是高中数学中的重要内容，它是微积分的基础，有着广泛的应用。
本文将介绍导数的基本运算，包括导数的定义、导数的四则运算、导数的链式法则、导数的反函数法则和导数的隐函数法则。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，是刻画函数变化的重要工具。
设函数y=f(x)，在点x0处有切线，斜率为k，则函数在点x0处的导数为f'(x0)=k。
导数的定义可以表示为：f'(x0)=lim(h→0){f(x0+h)-f(x0)}/h其中，h是一个无限接近于0的数。
导数的定义可以用来求函数在某一点处的导数，但计算过程较为繁琐，通常使用导数的四则运算、导数的链式法则、导数的反函数法则和导数的隐函数法则来简化计算。
二、导数的四则运算导数的四则运算包括加、减、乘、除四种运算。
具体而言，如下：1.和差法则：设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则(f(x)+g(x))'和(f(x)-g(x))'分别等于f'(x0)+g'(x0)和f'(x0)-g'(x0)。
2.积法则：设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则(f(x)g(x))'等于f'(x0)g(x0)+f(x0)g'(x0)。
3.商法则：设函数f(x)和g(x)在点x0处可导，且g(x0)≠0，则(f(x)/g(x))'等于[f'(x0)g(x0)-f(x0)g'(x0)]/[g(x0)]^2。
三、导数的链式法则导数的链式法则适用于由多个函数组合而成的函数的导数。
设函数y=f(u)和u=g(x)是可导函数，则复合函数y=f(g(x))在x0处的导数为y'(x0)=f'(g(x0))g'(x0)。
四、导数的反函数法则导数的反函数法则是指，如果函数y=f(x)在点x0处可导且导数f'(x0)≠0，则函数x=f^-1(y)在点y0=f(x0)处可导，且它的导数为(x^-1)'(y0)=1/f'(x0)。
导数的运算及几何意义
三、导数的几何意义及应用
类型1、求曲线在某点处的切线方程
例3、已知曲线C： y 程
1 3 4 x 3 3
看到此题你又 想到什么？
， 求曲线C在横坐标为2的切线方
分析：想到了:1、求导 2、写出切线方程
【归纳总结】利用导数的几何意义求曲线在某点的切 线方程的步骤 1、求函数f(x)的导数，将 x0 代入导函数得 f , x0
1 【解析】(1)y＝ 和 y＝x2 联立解得两曲线的交点 x 1 1 坐标为(1，1).y＝ 的导函数为 y′＝－ 2，所以它在交 x x 点处的切线的斜率为－1，切线方程为 y－1＝－(x－ 1)，它与 x 轴的交点坐标为(2，0).y＝x2 的导函数为 y′ ＝2x，所以它在交点处的切线的斜率为 2，切线方程 1 为 y－1＝2(x－1)，它与 x 轴的交点坐标为2，0.所以 1 1 两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积为 × 2－2 2 3 ×1＝ . 4
【解析】 (1)设曲线 y＝f(x)与 x 轴相切于点(x0， 0)， 1 3 x0＋ax0＋ ＝0， 4 则 f(x0) ＝ 0 ， f ′ (x0) ＝ 0 ， 即 解得 2 3x 0＋a＝0， 1 x0＝2， a＝－3. 4 3 因此，当 a＝－ 时，x 轴为曲线 y＝f(x)的切线. 4
(2)由题意知，y′＝ln x＋1，直线斜率为2. 由导数的几何意义知，令ln x＋1＝2，得x＝e， 所以y＝eln e＝e，所以P(e，e). 当函数中含有 b 参数时，可用 (3)易知y′＝2ax－ 2. x 参数表示出斜 b 率和切线方程 － 5 ＝ 4a ＋ ， 2 a＝－1， ，再据条件求 根据题意有 解得 参数. b 7 b＝－2， 4a－ ＝－ ， 4 2 故a＋b＝－3.
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。
导数公式和导数的运算法则是使用导数进行计算和推导的基本工具。
下面将介绍导数的定义、导数公式以及导数的运算法则。
一、导数的定义对于给定的函数y=f(x)，在其中一点x=a处的导数定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，lim表示极限，h为x在a点的增量。
该定义表明导数表示函数在其中一点处的斜率或变化率。
二、导数的主要公式1.常数的导数公式如果f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数的导数公式如果f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式如果f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
指数函数e^x的导数仍然是e^x。
4.对数函数的导数公式如果f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，则f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数公式- sin函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- cos函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- tan函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)，其中sec^2表示secant的平方。
6.反三角函数的导数公式- arcsin函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- arccos函数的导数：f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- arctan函数的导数：f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
导数具有一些基本的运算法则，可以用于计算复杂函数的导数。
1.常数乘以函数的导数法则如果f(x)的导数是f'(x)，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
《导数的概念及运算》知识点
一、导数的概念1、定义如果函数y ＝f (x )的自变量x 在x 0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx .如果当Δx →0时，Δy Δx有极限，我们就说函数y ＝f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2、导函数当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)．y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx . 3、用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处导数的方法（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；（2）求平均变化率Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx； （3）取极限，得导数f ′(x 0)＝Δy Δx . 二、导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0)．相应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．三、基本初等函数的导数公式1、c ′＝0 (c 为常数)， (x α)′＝αx α－1 (α∈Q *)．2、(sin x )′＝cos x ， (cos x )′＝－sin x.3、(ln x )′＝1x ， (log a x )′＝1x ln a． 4、(e x )′＝e x ， (a x )′＝a x ln a.四、导数运算法则1、[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x ).2、f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝cf ′(x ).3、⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 五、复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y ′u ·u ′x ．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．。
导数的计算(一)
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
4.y f (x) x3
5.y f (x) 1 x
6.y f (x) x
1.函数 y = f (x) =c 的导数
因 y f x x f x c c 0，
x
x
x
y y=c
所以 y' lim y lim 0 0. x0 x x0
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
5.函数 y = f (x) = x 的导数
因为 y f x x f x x x x
x
x
x
x x x x x x x x x x
1
，
x x x
所以 y' lim y lim
O
x
从几何的角度理解：
y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.
导数的概念及运算
x0 x x0
x
存在，则称f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数
y＝f(x)在点x0处的导数，记为f (x)或y |x=x0.
说明：
1．导数是一个特殊的极限；
2． f (x)为函数所表示的曲线在相应点M(x0, f(x0))处的切线
斜率， 其切线方程为：y- f(x0)= f (x0)(x-x0)；
v2
3．复合函数的导数:
设函数 u=(x) 在点 x 处有导数 ux=(x)，函数 y=f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 yu=f (u)，则复合函数y=f((x)) 在点 x 处有导数, 且 yx=yu·ux 或写作 fx((x))=f(u)(x)。
即复合函数对自变量的导数, 等于已知函数对中间变 量的导数, 乘以中间变量对自变量的导数.
导数的概念及运算
麻城一中 彭稳章
一、基本内容
（一）导数的概念：
y
y=f(x)
Q
y 就是割线PQ的斜率
△y
x
P △x
0
M x
lim y 就是过P点切线的斜率 x0 x
概念：
如果函数y＝f(x)在x0处增量△y与自变量的增
量△x的比值 y ，当△x→0时的极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0)
切线的方程为y 11x 18或y 17 (x 3) 15 4
即为：11x y 18 0或17x 4 y 8 0.
说明：
求切线方程应注意： ①判断点A是否在函数图象上； ②审题:在A(x0,f(x0))处切线
y-f(x0)=f(x0)(x-x0)过A(x0,f(x0)),先设切 点，再按上述方法求解。
导数的加减乘除运算公式
导数的加减乘除运算公式一、导数的加法与减法运算公式。
1. 公式内容。
- 若u(x)，v(x)都可导，则(u(x)± v(x))^′ = u^′(x)± v^′(x)。
2. 证明（以加法为例）- 根据导数的定义，函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)=limlimits_Δx→0(f(x_0 + Δ x)-f(x_0))/(Δ x)。
- 设y = u(x)+v(x)，则y^′=limlimits_Δ x→0([u(x+Δ x)+v(x + Δ x)]-[u(x)+v(x)])/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)-u(x))/(Δ x)+limlimits_Δ x→0(v(x+Δ x)-v(x))/(Δ x)=u^′(x)+v^′(x)。
- 减法同理可证。
3. 例题。
- 求y = x^2+sin x的导数。
- 解：设u(x)=x^2，v(x)=sin x。
- 因为u^′(x) = 2x，v^′(x)=cos x。
- 根据加法求导公式y^′=(u(x)+v(x))^′ = u^′(x)+v^′(x)，所以y^′ = 2x+cos x。
二、导数的乘法运算公式。
1. 公式内容。
- 若u(x)，v(x)都可导，则(u(x)v(x))^′=u^′(x)v(x)+u(x)v^′(x)。
2. 证明。
- 设y = u(x)v(x)，则y^′=limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)v(x+Δ x)-u(x)v(x))/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0(u(x+Δ x)v(x+Δ x)-u(x)v(x+Δ x)+u(x)v(x+Δ x)-u(x)v(x))/(Δ x)- =limlimits_Δ x→0<=ft[(u(x+Δ x)-u(x))/(Δ x)v(x+Δ x)+u(x)(v(x+Δ x)-v(x))/(ΔDelta x)]- 当Δ x→0时，v(x+Δ x)→ v(x)，所以y^′ = u^′(x)v(x)+u(x)v^′(x)。
5.2导数的运算 (解析版)
5.2导数的运算知识点一.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)知识点二.导数的运算法则（1）［f （x ）±g （x ）］′＝f′（x ）±g′（x ）；（2）［f （x ）·g （x ）］′＝f′（x ）g （x ）＋f （x ）g′（x）；知识点三.复合函数的导数复合函数y ＝f （g （x ））的导数和函数y ＝f （u ），u ＝g （x ）的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.规律：从内到外层层求导，乘法链接【常用结论】（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．（2）函数y ＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．函数导函数函数导函数y ＝c(c 是常数)y′＝0y ＝sin x y′＝cos_x y ＝x α(α为实数)y′＝αx α－1y ＝cos x y′＝－sin_xy ＝a x (a>0，a≠1)y′＝a x lna 特别地(e x )′＝e xy ＝log a x(a>0，a≠1)y′＝1xln a 特别地(ln x)′＝1x【方法总结】（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.（2）对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.（3）要特别注意“1x与Inx”，“a x’与log a x”，“sinx与cosx”的导数区别.【例题1】（2022·湖南·株洲市渌口区第三中学高二期中）求下列函数的导数.(1)y=x12；(2)y=1x4；(3)y=3x；(4)y=ln x；(5)y=cos x.【答案】(1)y′=12x11(2)y′=−4x5(3)y′=3x ln3(4)y′=1x(5)y′=−sin x【分析】根据函数求导公式即可得出答案.【详解】（1）y′=x12′=12x11（2）y′=1x4=x−4′=−4x−5=−4x5（3）y′=3x=3x ln3（4）y′=ln x′=1x（5）y′=cos x′=−sin x【变式1-1】1.（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.(1)y＝x12；(2)y=1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.【答案】(1)y'=12x11(2)y'=−4x5(3)y'=35x−25(4)y'=3x ln3(5)y '=1x ln5【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.(1)y '=(x 12)'=12x 11(2)y '=(1x 4)'=(x −4)'=−4x −5=−4x 5；(3)y '=(5x 3)'==35x −25；(4)y '=(3x )'=3x ln3；(5)y '=(log 5x )'=1x l n 5【变式1-1】2.求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈（4）2()3ln f x x x x=-+-（5）sin y x =（6）11x y x +=-【答案】（1）2()68f x x x=-+（2）2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【解析】（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.【变式1-1】3．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.(1)y =x 3−2x +3；(2)y =ln xx.【答案】(1)y ′=3x 2−2(2)y ′=1−ln xx 2【分析】根据基本初等函数和积的导数的求导公式求导即可.【详解】（1）y =x 3−2x +3，则y ′=3x 2−2.（2）y =ln xx，y ′=1x⋅x −ln x x 2=1−ln xx 2.【变式1-1】4.求下列函数在指定点的导数：（1）4ln(31)y x=++，1x =；（2）2cos 1sin x x y x=+，π2x =．【答案】（1）12x y ='=（2）21ln 2x y π==+'【解析】（1）321231y xx -'=-++，12x y ='=（2）21sin x y x++'=，21ln2x y π==+'【变式1-1】5.给出下列命题：①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由求导公式知②③④正确．题型2复合函数求导【例题2】（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数f x =3x1.6−2x −1的导函数为（）A ．f ′x =4.8×3x 0.6−2B ．f ′x =1.6×3x 0.6−2C ．f ′x =4.8×3x 0.6−3D ．f ′x =1.6×3x0.6−3【答案】A【分析】由复合函数求导法则进行求解.【详解】f ′x =1.6×3×3x 1.6−1−2=4.8×3x0.6−2．故选：A【变式2-1】1．（全国·高考真题（理））设y =x ln 1+x 2，求y ′．【答案】y ′=ln(1+x 2)+2x 21+x 2【分析】根据导数的运算法则和复合函数的求导原则直接计算能够求出y ′.【详解】函数y =ln 1+x 2可以看作函数y =ln u 和u =1+x 2的复合函数，根据复合函数求导法则有y x′=y u′⋅u x′=ln u′⋅1+x 2′=1u⋅2x =2x1+x 2，ln 1+x 2′=2x1+x 2，函数y =x ln 1+x 2，则有y ′=x ′⋅ln 1+x 2+x ⋅ln 1+x 2′=ln 1+x 2+2x 21+x 2.【变式2-1】2．（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））求下列函数的导数．（1）y =e x cos x +x −t 2（t 为常数）；（2）y =ln(2x +5)3+ln xx.【答案】（1）y ′=e x (cos x −sin x )+2）y ′=62x +5+1−ln xx 2【分析】（1;（2）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数【详解】（1）由y =e x cos x +x −t 2可得y ′=e x cos x −e x sin x =e x cos x −sin x +（2）由y =ln(2x +5)3ln xx=3ln(2x +5)+ln xx 可得y ′=3×22x +5+1x ⋅x −ln x x 2=62x +5+1−ln x x 2【变式2-1】3．（福建·高考真题（理））求函数y =e −2x sin 5x +【答案】y ′=−2e −2x sin(5x +π4)+5e −2x cos(5x +π4)【分析】根据导数的运算法则计算．【详解】y ′=(e −2x )′sin(5x +π4)+e −2x [sin(5x +π4)]′=−2e −2x sin(5x +π4)+5e −2x cos(5x +π4)【变式2-1】4．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数(1)y =2x 4−x 2−x +3；(2)y =x 3−1sin x ；(3)y =cos 2x +3−log 2x ；(4)y =x ⋅e 3x +ln x 2+x .【答案】(1)y ′3−1(2)y ′(3)y ′=−2sin 2x +3−1xln2(4)y ′=3x +1e 3x+2x +1x 2+x【分析】（1）（2）利用导数运算法则可求得原函数的导数；（3）（4）利用复合函数的求导法则以及导数的运算法则可求得原函数的导数.（1）解：y ′=8x 3−2x −1.（2）解：y ′（3）解：y ′=cos 2x +3′−1x ln2=−2sin 2x +3−1x ln2.（4）解：y ′=x ′e 3x +x ⋅e 3x′+ln x 2+x′=3x +1e 3x +2x +1x 2+x .题型3求导数的值【例题3-1】（2022·江苏·连云港市赣马高级中学）已知f ′x 是函数f x =x cos x 的导函数，则f '=（）A．−π2B．π2C．−1D．1【答案】A【分析】根据函数求导法则，求出导函数，代入可得答案.【详解】由题意f′x=cos x−x⋅sin x，∴f'=0+π2⋅−1=−π2．故选：A.【变式3-1】1．（2022·上海市行知中学高二期末）已知f(x)=6x sin x，则f′=________.【答案】6【分析】利用求导公式求导，从而可得出答案.【详解】解：f′(x)=6sin x+6x cos x，则f′=6.故答案为：6.【变式3-1】2．（2021·宁夏·海原县第一中学）设函数f(x)=x2，f′(x0)=2，则x0=（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】根据幂函数的求导公式求导即可.【详解】∵f′x=2x，∴f′x0=2x0=2，解得x0=1.故选：B.【变式3-1】3．（2022·江苏连云港·高二期末）已知f(x)=ln x x，若f′(x0)=1−ln24，则x0=（）A．12B．2C．1e D．e【答案】B【分析】由f(x)，求出f′(x)，代入f′(x0)求值.【详解】由f(x)=ln x x，有f′(x)==1−ln x x2．=1−ln24，解得x0=2．∴f′(x0)=1−ln x0x02故选：B．【变式3-1】4．（2022·上海·格致中学高三期中）设f x=2x，则方程f′x=ln4的解集为______.【答案】{x|x=1}或{1}【分析】解方程2x ln2=ln4即得解.【详解】解：由题得2x ln2=ln4,∴2x ln2=2ln2,∴2x=2,∴x=1.所以方程的解集为{x|x=1}.故答案为：{x|x=1}【变式3-1】5．（2022·江西省丰城中学高三开学考试（文））设函数f(x)=e x x+a.若f'(1)=e4，则a＝________．【答案】1【分析】求导，得到f′x=f′1=e4列方程，解方程即可得到a.【详解】f′x=f1=e4，解得a=1.故答案为：1.【例题3-2】（2022·江西·萍乡市第二中学高二开学考试（理））若函数f x的导函数为f′x，且满足f x=2f′1ln x+2x，则f e=（）A．0B．−1C．−2D．−4+2e【答案】D【分析】对f x求导，得到f′x=+2，令x=1，得到f′1=−2，即可得到f x=−4ln x+ 2x，然后求f e即可.【详解】由f x=2f′1ln x+2x，得f′x=+2，令x=1，则f′1=+2，解得f′1=−2，所以f x=−4ln x+2x，f e=−4+2e.故选：D.【变式3-2】1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（理））已知函数f x=sin2x+ f′0cos x−1，则f0=（）A．−1B．0C．1D．2【答案】C【分析】求得f'(x)，通过赋值求得f'(0)，再求f(0)即可.【详解】因为f x=sin2x+f′0cos x−1，故可得f'(x)=2cos2x−f'(0)sin x，令x=0，则f'(0)=2，故f x=sin2x+2cos x−1，则f0=1.故选：C.【变式3-2】2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记函数f x的导函数为f′x，且溥足f(x)=3xf′(2)−2ln x，则f1＝______．【答案】32##1.5【分析】首先对函数求导，将x=2代入导函数中，求解f′2的导函数值，进而求得f x= 3x−2ln x，最后代入x=1求解f1即可.2【详解】由题意得，f′(x)=3f′(2)−2x，∴f′(2)=3f′(2)−1，解得f′(2)=12，∴f(x)=32x−2ln x，∴f(1)=32．故答案为：32【变式3-2】3．（2022·重庆八中高三阶段练习）已知函数f x的导数为f′x，且满足f x= e x−2f′0sin x+1，则f=__________.【答案】eπ2+13【分析】求导，令x=0可求得f′(0)，然后可得.【详解】因为f′x=e x−2f′0cos x所以f′0=e0−2f′0cos0，解得f′0=13所以f=eπ2−23sinπ2+1=eπ2+13.故答案为：eπ2+13【变式3-2】4．（2023·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习（理））已知函数f x=sin2x−f'⋅cos x，则f'=__________.【分析】对原函数求导得f'(x)=2cos2x+f'⋅sin x，令x=π6，得到方程，解出即可.【详解】f'(x)=2cos2x+f'⋅sin x，令x=π6，则f'2cosπ3+f'⋅sinπ6，即f'=1+12f'=2.【变式3-2】5．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）若f x=3x2+2x⋅f′1，则f′0=__________.【答案】−12【详解】计算可得f x=3x2+2x⋅f′1，可得f′1=−6，即可得f′x=6x−12，将x=0代入计算可得答案.【解答】解：根据题意，f x=3x2+2x⋅f′1，则f′x=6x+2f′1，可得f′1=6+2f′1，解得f′1=−6，则f′x=6x−12，则f′0=−12，故答案为：−12.【例题4-1】（2022·河南·上蔡县衡水实验中学）函数x x12,0的切线方程为（）A．y=2x−4B．y=2x+1C．y=2x−3D．y=2x−1【答案】A【分析】求出函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线斜率，即可写出切线方程.【详解】对函数f x=x ln x−1求导，得f′x=ln x−1+x x−1，所以f′2=ln1+21=2，即函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线斜率为2，所以函数f x=x ln x−1的图像在点2,0处的切线方程为y=2x−2，即y=2x−4.故选：A【变式4-1】1．（2022·四川泸州·高二期末（理））曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为（）A．−2πB．2πC．−4π2D．1π【答案】B【分析】根据导数的计算公式以及导数的几何意义进行求解.【详解】因为y=sin(2x)x，所以y′=2x cos(2x)−sin(2x)x2，y′|x=π=2πcos(2π)−sin(2π)π2=2π，所以曲线y=sin(2x)x在x=π处的切线的斜率为2π.故A，C，D错误.故选：B.【变式4-1】2．（2022·湖南·长沙外国语学校高三阶段练习）已知曲线y=ax b在点−1,a 处的切线方程为8x−y+6=0，则（）A．a=2，b=4B．a=−2，b=4C．a=−2，b=1D．a=8，b=−1【答案】B【分析】将点−1,a代入切线方程，求出a=−2，再求导，利用导数的几何意义得到b=4.【详解】将−1,a代入8x−y+6=0，得a=−2，易知直线8x−y+6=0的斜率为8．因为y′=abx b−1，所以−2b⋅−1b−1=8，所以b=4．故选：B．【变式4-1】3．（2022·四川省绵阳八一中学模拟预测（文））已知曲线y=2x+a e x在点0,a 处的切线方程为y=x+b,则a+b=（）A．2B．e C．3D．2e【答案】A【分析】根据导数的几何意义,求出导函数y′=−2x+2−ae x,令x=0结合切线的斜率求出a,再将点坐标代入切线方程求出b即可得到结果.【详解】根据导数的运算公式y′==−2x+2−ae x,当x=0时,y′=2−a,∴2−a=1,即a=1.∵0,1满足方程y=x+b,即b=1,∴a+b=2.故选:A.【变式4-1】4．（2022·广东·高三阶段练习）函数f x=x ln x+2的图象在点−1,0处的切线与直线a−2x+y−2=0垂直，则实数a的值为（）A．−2B．−1C．1D．2【答案】C【分析】根据给定条件，求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义结合垂直条件求解作答.【详解】函数f x=x ln x+2，求导得：f′x=ln x+2+x x+2，则f′−1=−1，即函数f x=x ln x+2的图象在点−1,0处的切线斜率为−1，因为切线与直线a−2x+y−2=0垂直，有2−a×−1=−1．所以a=1.故选：C【变式4-1】5．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）函数f(x)=4x−x22的图象在其零点处的切线方程为（）A．3x−y−6=0B．3x+y−6=0C．x−y−2=0D．x+y−2=0【答案】B【分析】求出函数的零点，求出函数在该点处的导数值，根据导数的几何意义即可求得答案.【详解】令f(x)=4x−x22=0，则x3=8,∴x=2，即f(x)=4x−x22的零点为x=2，又f′(x)=−4x2−x,∴f′(2)=−3，而f(2)=0，故函数f(x)=4x−x22的图象在其零点处的切线方程为y−0=−3(x−2)，即3x+y−6=0，故选：B.【变式4-1】6．（2022·陕西渭南·一模（理））已知曲线y=12x2−ln2x在某点处的切线的斜率为−32，则该切线的方程为______.【答案】12x+8y−7=0【分析】对函数求导后，利用导数的几何意义列方程求出切点坐标，从而可求出切线方程.【详解】设切点坐标为(x0,y0)（x0>0），由y=12x2−ln2x，得y′=x−1x（x>0），因为曲线y=12x2−ln2x在(x0,y0)处的切线的斜率为−32，所以x 0−1x 0=−32，解得x 0=−2（舍去），或x 0=12，所以y 0=12×−ln 2=18，所以切线方程为y −18=−12x +8y −7=0，故答案为：12x +8y −7【变式4-1】7．（2022·江苏扬州·高三期中）已知直线y =kx 是曲线y =log 2x 的切线，则实数k =________．【答案】1eln2【分析】设切点坐标x 0,log 2x 0，对函数求导，代入切点横坐标得切线的斜率，又因为直线过原点，由切点和坐标原点可以表示斜率，解方程得k 的值.【详解】设切点坐标x 0,log 2x 0，y ′=1x ln2，则切线斜率k =1x 0ln2，因为直线y =kx 过原点，则切线斜率k =log 2x 0x 0，所以log 2x 0x 0=1x0ln2，解得x 0=e ，k =1eln2.故答案为：1eln2.【变式4-1】8．（2022·全国·高二课时练习）曲线y =e sin x 在点（0，1）处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为2，求直线l 的方程．【答案】x −y −1=0或x −y +3=0．【分析】求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，从而求出切线方程，再设出直线l 的方程x −y +m =0（m ≠1），利用点到直线距离公式列出方程，求出m 的值，得到直线l 的方程.【详解】∵y =e sin x ，∴y ′=e sin x cos x ，∴曲线y =e sin x 在点（0，1）处的切线的斜率为e sin0⋅cos0=1，其方程为y −1=x ，即x −y +1=0．又∵直线l 与x −y +1=0平行，∴直线l 的方程可设为x −y +m =0（m ≠1）．=2得：m =−1或m =3．∴直线l 的方程为x −y −1=0或x −y +3=0．【例题4-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()=−2+ln，过点(0,−2)作曲线=()的切线l，则l的方程为___________.【答案】x−e y−2e=0【分析】根据导数的几何意义设切点坐标(t,−2+ln t)(t>0)，利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表达式，利用切线过点P(0,−2)，解出t，即可求得切线方程.【详解】解：由题意可设切点坐标为(t,−2+ln t)(t>0)，因为f(x)=−2+ln x，所以f′(x)=1x，所以切线l的斜率k=1t，−t，又点P(0,−2)在切线上，所以−2+2−ln t=−t则l的方程为y+2−ln t=解得t=e，所以切线方程为：y+1=故答案为：x−e y−2e=0.【变式4-2】1．（2022·辽宁·抚顺一中高二阶段练习）求与曲线y=f(x)=3x2在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.【答案】3x+y-20=0【分析】先求导数得切线斜率，由垂直关系可得直线斜率，由点斜式可得解.【详解】因为y=3x2，所以y′=(3x2)′=(x23)′=23x−13，所以f′(8)=23×8−13=13，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为13.所以所求直线的斜率为-3，从而所求直线方程为y-8=-3(x-4)，即3x+y-20=0.【变式4-2】2．（2022·山西临汾·高三期中）已知函数f(x)=x3+f′(1)x2−2x，其中f′x 是f x的导函数.(1)求f′1；(2)求曲线y=f x过原点的切线方程.【答案】(1)f'1=−1(2)y=−2x或y=−94x【分析】（1）求出函数的导函数，再令x=1，计算可得；（2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点t,t3−t2−2t，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出t的值，再代入求出切线方程.【详解】（1）解：因为f(x)=x3+f′(1)x2−2x，所以f′x=3x2+2f′1x−2，令x=1，得f′1=2f′1+1，∴f'1=−1.（2）解：由（1）可得f(x)=x3−x2−2x，所以f′(x)=3x2−2x−2，设切点t,t3−t2−2t，则f′t=3t2−2t−2，所以切线方程为y−t3−t2−2t=3t2−2t−2(x−t)，由题−t 3−t 2−2t =3t 2−2t −2(−t )，整理得t 2(2t −1)=0，解得t =0或t =12.当t =0时，切线方程为y =−2x ；当t =12时，切线方程为y =−94x .综上，曲线y =f x 过原点的切线方程为y =−2x 或y =−94x .【变式4-2】3．（2022·江苏南通·高三阶段练习）已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．【答案】（1）x－y－4＝0；（2）x－y－4＝0或y＋2＝0．【分析】（1）求导f′(x)＝3x2－8x＋5，进而得到f′（2）,f（2），写出切线方程；（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，根据过点A(2，－2，)写出切线方程，再将切点坐标代入求解.【详解】（1）∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′（2）＝1，又f（2）＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f（2）)处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．（2）设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．【变式4-2】4.（2022·浙江大学附属中学高三期中）若过a ,b 可做y =x +1x (x >0)的两条切线，则（）A．a <b <a +1a B．a >b C．b <0D．b >a +1a 【答案】A【分析】设切点为x 0,x 0+,x 0>0，利用导数的几何意义可得切线方程为：y −x 0+=1x −x 0，把点(a ,b )代入可得：(b −a )x 02−2x 0+a =0，则此方程有大于0的两个实数根，列出不等式组，求解即可得出结论．【详解】设切点为x 0,x 0+,x 0>0,y ′=1−1x 2，切线的斜率k =1−1x 02，则切线方程为：y −x 0+=1−x −x 0，把点(a ,b )代入可得b −x 0+=1a −x 0，化为：(b −a )x 02−2x 0+a =00的两个实数根．则b −a ≠0Δ=4−4b −a a >02b −a >0a b −a >0，即b >aa >0b −a a <1，则a <b <a +1a ，故选：A．【变式4-2】5．（2022·湖南·武冈市教育科学研究所高三期中）已知f (x )=2x 3+(a −2)x 2−3x 是奇函数，则过点P (−1,2)向曲线y =f (x )可作的切线条数是（）A．1B．2C．3D．不确定【答案】C【分析】根据给定条件，求出a，再求出函数f (x )的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数f (x )是奇函数，则由f (−x )+f (x )=0得2(a −2)x 2=0恒成立，则a =2，即有f (x )=2x 3−3x ，f ′(x )=6x 2−3，设过点P (−1,2)向曲线y =f (x )所作切线与曲线y =f (x )相切的切点为Q (x 0,2x 03−3x 0)，而点P (−1,2)不在曲线y =f (x )上，则6x 02−3=2x 03−3x 0−2x 0+1，整理得4x 03+6x 02−1=0，即(2x 0+1)(2x 02+2x 0−1)=0，解得x 0=−12或x 0=−1±32，即符合条件的切点有3个，所以过点P (−1,2)向曲线y =f (x )可作的切线条数是3.故选：C【变式4-2】6．（2020·全国·高二课时练习）已知函数f (x )=13x 3−x 2+3ax (a ∈R ).（1）若f (x )在x =−1时有极值，求a 的值；（2）在直线x =1上是否存在点P，使得过点P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）−1；（2）不存在；答案见解析.【解析】（1）对函数进行求导，根据极值的定义进行求解即可；（2）设点P 坐标，切点坐标，利用导数的意义求出切线方程，通过构造函数，利用导数进行求解即可.【详解】解析（1）由f (x )=13x 3−x 2+3ax ，得f ′(x )=x 2−2x +3a ，由f (x )在x =−1时有极值，可得f ′(−1)=1+2+3a =0，解得a =−1.f ′(x )=x 2−2x −3=(x −3)(x +1)，当x <−1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当−1<x <3时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因此当a =−1时，f (x )有极值.所以a 的值为−1.（2）不妨设在直线x =1上存在一点P (1,b )，使得过点P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切.设过点P 且与y =f (x )相切的直线为l，切点坐标为x 0,y 0，则切线l 的方程为y −13x 03+x 02−3ax 0=x 02−2x 0+3a x −x 0，又直线l 过点P (1,b )，所以b −13x 03+x 02−3ax 0=x 02−2x 0+3a 1−x 0，即23x 03−2x 02+2x 0−3a +b =0，设g (x )=23x 3−2x 2+2x −3a +b ，则g ′(x )=2x 2−4x +2=2(x −1)2≥0，所以g (x )在区间(−∞,+∞)上单调递增，所以g (x )=0至多有一个解，即过点P 且与y =f (x )相切的直线至多有一条，故在直线x =1上不存在点P，使得过P 至少有两条直线与曲线y =f (x )相切.题型5公切线问题【例题5】（2022·四川绵阳·一模（理））已知直线l ：x +my +n =0既是曲线y =ln x 的切线，又是曲线y =e x −2的切线，则m +n =（）A．0B．−2C．0或eD．−2或−e【答案】D【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为x +my +n =0，通过等量关系可得到m ,n 的取值.【详解】f (x )=ln x ,g (x )=e x −2,∴f '(x )=1x ,g '(x )=e x −2，设切点分别为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则曲线f (x )=ln x 的切线方程为：y −ln x 1=1x 1(x −x 1)，化简得，∴y =ln x 1+1x 1(x −x 1)=1x 1⋅x +ln x 1−1，曲线g (x )=e x −2的切线方程为：y −e x 2−2=e x 2−2(x −x 2)，化简得，y =e x 2−2⋅x +(1−x 2)ex 2−2，∴e x 2−2=1x 1(1−x 2)e x 2−2=ln x 1−1，故(1x 1−1)(ln x 1−1)=0，解得x 1=e 或x 1=1.当x 1=e，切线方程为x −e y =0，故m =−e,n =0,故m +n =−e .当x 1=1，切线方程为y =x −1，故m =n =−1，则m +n =−2.故m +n 的取值为−e 或−2.故选：D【变式5-1】1．（2022·吉林·辽源市第五中学校高三期中）已知曲线y =x 2−ln x 在点1，1处的切线与曲线y =ax 2+a +2x +1也相切.则a =______．【答案】1【分析】由导数的几何意义求解，【详解】令f (x )=x 2−ln x ，g (x )=ax 2+a +2x +1，则f ′(x )=2x −1x ，f ′(1)=1，f (1)=1，则f (x )点1，1处的切线方程为y =x 令ax 2+a +2x +1=x ，ax 2+a +1x +1=0，由题意得Δ=(a +1)2−4a =0，解得a =1，故答案为：1【变式5-1】2．（2022·山东省青岛第一中学高三期中）若曲线C 1:f x =x 2+a 和曲线C 2:g x =4ln x −2x 存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为__________.【答案】y =2x −4【分析】先分别求出f (x )和g (x )的导数，然后设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，根据题意有f ′(x 0)=g ′(x 0)，f (x 0)=g (x 0)，代入相应表达式列出方程组，解出x 0与a 的值，计算出切线斜率和公切线的切点坐标，即可得到切线的方程．【详解】f x =x 2+a ，g x =4ln x −2x ，则有f ′(x )=2x ，g ′(x )=4x −2．设公共切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)=2x 0，g ′(x 0)=4x 0−2，f (x 0)=x 02+a ，g (x 0)=4ln x 0−2x 0．根据题意，有2x 0=4x 0−2x 02+a =4ln x 0−2x 0x 0>0，解得x 0=1a =−3．∴公切线的切点坐标为(1,−2)，切线斜率为2．∴公切线的方程为y +2=2(x −1)，即y =2x −4．故答案为：y =2x −4【变式5-1】3.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f （1）)，则m 等于()A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2【答案】D 【解析】∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率k ＝f ′（1）＝1.又f （1）＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D.【变式5-1】4.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为()A.14 B.12C ．1D ．4【答案】A 【解析】由题意可知121(),2f x x -'=g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×121(4-＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．【变式5-1】5.若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．【解析】易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．（1）当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l的方程为y ＝2x .＝2x ，＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.（2）当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，0|x x k y ＝＝＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .＝－14x ，＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.【变式5-1】6.已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′（1）＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′（1）＝－a .所以f ′（1）＝g ′（1），即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f （1）＝3(x －1)，又f （1）＝－1，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g （1）＝3(x －1)，又g （1）＝－6，得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以两条切线不是同一条直线．题型6导数的运算技巧【例题6】若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′（1）＝2，则f ′(－1)等于()A ．－1B ．－2C ．2D ．0【解析】f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且f ′（1）＝2，∴f ′(－1)＝－2.【变式6-1】1.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2015(x )的值是()A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x【答案】D 【解析】依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f 2015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.【变式6-1】2.已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝________.【答案】－(1×2×3×…×2015)【解析】依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)，故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数基本公式及运算法则
导数基本公式及运算法则好的，以下是为您生成的文章：导数这玩意儿，在咱们的数学学习里那可是个相当重要的角色！今天咱们就来好好聊聊导数的基本公式和运算法则。
咱先从最简单的说起，比如说常数的导数。
嘿，您知道吗？常数的导数那可简单得就像喝凉水一样，直接就是0 ！就像咱们平时坐电梯，那电梯的速度一直不变，它的变化率就是 0 。
这就好比你有一笔固定的存款放在银行，利息不变，那这笔钱增值的速度就是 0 。
再来说说幂函数的导数公式。
假设咱们有个函数 y = x^n ，那它的导数就是 n * x^(n - 1) 。
这就好比你跑步，速度不是一成不变的，跑的距离和时间的关系就像这个幂函数。
比如说你一开始跑得慢，后来越跑越快，这个变化的快慢就能用导数来表示。
还有指数函数的导数，像 y = e^x ，它的导数还是它自己，e^x 。
这就神奇了，就像有个超级稳定的小马达，不管啥时候，动力都不变。
说到运算法则，加法和减法的法则就挺直观的。
如果有两个函数f(x) 和 g(x) ，那么 (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x) 。
这就好比你有两袋水果，一袋苹果一袋梨，分别算它们重量增加的速度，加起来或者减一减就是总的变化速度。
乘法的法则稍微复杂点，(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) 。
这就像两个人合作干活，一个人的效率变化和另一个人的效率变化都对总的成果变化有影响。
除法的法则呢，(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2 。
这就好比分蛋糕，每个人能分到的大小的变化跟蛋糕大小的变化和人数的变化都有关系。
我记得之前有一次给学生讲这部分内容的时候，有个小家伙怎么都理解不了为啥导数会有这些公式和法则。
我就给他举了个例子，说咱们去爬山，山的高度就相当于函数，咱们爬山的速度就是导数。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化率的工具。
它在求解函数的最值、判断函数的增减性和曲线的弧长等方面有广泛的应用。
在微积分中，导数的基本公式和运算法则是必须掌握的基本内容。
本文将就导数的基本公式和运算法则进行详细介绍。
1.基本函数的导数公式(1)常数函数的导数：f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
(2) 幂函数的导数：f(x) = x^n，其中n为整数，则f'(x) =nx^(n-1)。
(3) 指数函数的导数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x) =ln(a) * a^x。
(4) 对数函数的导数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
(5)三角函数的导数：① f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
② f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
③ f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数的导数：① f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / √(1-x^2)。
② f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / √(1-x^2)。
③ f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1+x^2)。
2.导数的四则运算公式设函数f(x)和g(x)可导，常数k为实数，则有以下四则运算法则：(1)和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
(2)乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
(3)除法法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)(其中g(x)≠0)。
高中导数公式及导数的运算法则
高中导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
在高中阶段的数学学习中，学生们一般会接触到导数的基本概念和求导的基本方法。
下面将详细介绍高中阶段导数的公式和运算法则。
一、导数的基本概念：导数表示了函数在其中一点上的变化率。
对于函数f(x)，在x=a处的导数表示为f'(a)，它的几何意义是函数图像在该点处的切线斜率。
导数的定义如下：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，lim代表极限，h代表自变量的微小增量，也可以理解成取极限时的无穷小增量。
导数表示了函数在无穷小范围内的平均变化率，当h 趋于0时，导数表示了函数在该点上的瞬时变化率。
二、导数的公式：导数的计算根据函数的不同形式有不同的公式。
在高中阶段，最常见的导数公式有以下几种：1.常数函数的导数对于常数函数f(x)=C，它的导数为f'(x)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，它在任何点上的斜率都为0。
2.幂函数的导数对于幂函数 f(x) = x^n，其中n为常数，它的导数为 f'(x) =nx^(n-1)。
例如，f(x) = x^2 的导数为 f'(x) = 2x。
3.指数函数的导数对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，它的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
其中ln(a)表示以自然对数e为底的对数，它是一个常数。
4.对数函数的导数对于对数函数 f(x) = logₐx，其中a为常数且a>0且不等于1，它的导数为 f'(x) = 1/(x * ln(a))。
其中ln(a)表示以自然对数e为底的对数，它是一个常数。
5.三角函数的导数对于三角函数 f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x)，它们的导数分别为 f'(x) = cos(x) 和 f'(x) = -sin(x)。
导数的四则运算法则
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求 的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)， 切 线 方 程 为 : y 6 15( x 2)， 即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
高中数学导数的四则运算法则
2
( x)2
x
x sin x 1 cos x
2x
2x sin x cos x
x
2x x
cos x 2x sin x 2x x
例6．求y= 1 x 的导数.
3 x
解：
y' (1 x )' 3 x
(1 x)(3 x2 ) (1 x)(3 x2 ) (3 x2 )2
3 x2 (1 x)(2x) x2 2x 3
解：f ’(x)= (a0 xn a1xn1 L an1x an ) '
a0nxn1 a1(n 1)xn2 L an1 例2．求y=xsinx的导数。 解：y’=(x·sinx)’
=x’·sinx+x·(sinx)’
=sinx+xcosx.
例3．求y=sin2x的导数。 解：y’=(2sinxcosx)’
x02 3x0
2
又∵ y’=3x2－6x＋2，
∴ k=3x02－6x0＋2， ∴ x02－3x0＋2=3x02－6x0＋2,
∴ 2x02－3x0=0．
∵ x0≠0, ∴ x0=
3 2
k=3x02－6x0＋2=－
1 4
，
综上所述，k=2或k=－ 1
4
1.2.3 导数的四则运算法则
一．函数和（或差）的求导法则
设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))’= f ’(x)±g’(x).
即两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差).
即 (u v)' u'v'
证明：令y=f(x)+g(x)，则
y f (x x) g(x x) [ f (x) g(x)]
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导数的运算（理科）
一、知识与方法
1、基本初等函数的导数公式
'____c =(c 为常数)；()'_______n x =(Q n ∈)；(sin )'____x =；(cos )'____x =；
(ln )_______x '=； (log )______a x '=， ()______x e '= ； ()_______x a '=。
2、导数运算法则
法则1 [()()]()()f x g x f x g x ±'='±'；
法则2 [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '='+' , [()]'()cf x cf x '=
法则3 '
2()'()()()'()
(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭
3、复合函数的导数
设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数
()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或
(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。
4、复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
二、练习题 1. (1)求)11(32
x x x x y ++
=的导数； (2)求)11)(1(-+=x
x y 的导数； (3)求2cos 2sin x x x y -=的导数； (4)求2
sin x y x
=的导数；
(5)求y =; (6)求ln(ln )y x =的导数
(7)求1
1
ln +-=x x y 的导数； (8)求x y 1
sin 22=的导数
解：（1）23
11x x y +
+= ,.233
2
'x x y -=∴ （2）先化简,2
12
1
111-
+-=-+
-⋅
=x
x x
x x
x y
∴.1121212123
21'
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=--=--x x x x y
（3）先使用三角公式进行化简.x x x x x y sin 2
1
2cos 2sin
-=-=， .cos 211)(sin 21sin 21'''
'x x x x x y -=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∴
（4）22222()'sin (sin )'2sin cos sin sin x x x x x x x x
y x x
--'==
（5）312
2
359y x x x -=-+- ，312
2
21
3()59())1y x x x
x
-
'''''∴=-+-=
+- （6）1
ln y x x
'=
（7）[],)1ln()1ln(2
1
11ln +--=+-=x x x x y [].1
1)1111(21)1ln()1ln(21
2-=+--='+--=
'∴x x x x x y （8）
)1
(sin 1sin 22ln 2)1(sin 2ln 2
)2(1
sin 2
1sin 1
sin 22
2
'⋅⋅⋅='⋅='='x
x x y x x
x
x x
x x x x x
2
sin 2ln 21)1()1(cos 1sin 2
2ln 21
sin 21sin 22
⋅⋅-='⋅⋅⋅⋅=
2．已知函数n m mx
x f -=)(的导数为3
8)(x x f ='，则=n
m ________（答：
14
）； 3．函数2
)1)(1(+-=x x y 的导数为_____________（答：2
321y x x '=+-）； 4．若对任意x R ∈，3()4,(1)1f x x f '==-，则)(x f =_________（答：4
2x -）
5．已知2
()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=_____3-______
6. 求函数()()()y x a x b x c =---的导数。
解：展开求导或'
'
'
'
()()()()()()()()()y x a x b x c x a x b x c x a x b x c =---+---+--- ()()()()()()x b x c x a x c x a x b =--+--+--
7．在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3
:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 （-2，15） .
8.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α
B ．cos α
C ．sin cos αα+
D ．2sin α
9. 设0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则2005()f x =____
A ． sin x
B ．sin x -
C ．cos x
D ．cos x - 10.已知函数()()()()12100f x x x x x =--⋅⋅⋅⋅⋅-，则()0f '=___100!___ 11.设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2
(2)f ，处的切线方程为74120x y --=．(1)求()f x 的解析式；(2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与
直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 解：（1）方程74120x y --=可化为734y x =
-．当2x =时，12y =．又2()b
f x a x
'=+，
于是1222744
b a b a ⎧
-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，
解得13.a b =⎧⎨=⎩， 故3()f x x x =-．
（2）设00()P x y ，为曲线上任一点，由2
3
1y x '=+
知曲线在点00()P x y ，处的切线方程为 002031()y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即00200331()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．
令0x =得06y x =-
，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，． 令y x =得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为00(22)x x ，． 所以点00()P x y ，处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形面积为
016
262x x
-=．
故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值，此定值为6．。