华师大二附中高三数学周测.docx

高中数学学习材料唐玲出品华师大二附中2013届高三数学周测一、填空题（每题5分，共60分）：1. 已知集合lg {1 2 }xU x =-，，，{1 2}A =-，，且{10}U A =ð，则x = .2. 已知ABC △的三内角满足222sin sin sin 3sin sin A C B C B =++， 则角A 的大小为 .3. 已知11mni i=-+，其中m n ，是实数，i 是虚数单位，则||m ni += . 4. 在等比数列{}n a 中，若371127a a a ⋅⋅=，则2911a a = .5. 曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=112t y t x (t 为参数)的对称中心坐标是 .6. 如果将函数sin(2)4y x π=+的图像向右平移8π个 单位得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x = 的解析式为 .7. 已知向量11{}a x y =，和向量22{}b x y =，， 将a 和b 的数量积用行列式的形式表示 是 .8. 右上图是用二分法求方程41610x x -+= 在[2,2]-的近似解的程序框图，要求解的精确度为0.0001，则( * )处应填的内容是_________________.开始22a b =-=，2a b m +=||0.0001?a b -<4()161f x x x =-+()0?f m =( * )b m=a m=m打印结束否是 是是否否9. 已知(1)nax +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则a = ． 10. 某人参加某电视台举办的答题游戏，从8道备选题中任抽取4道作答.已知他答对 题目的个数ξ的分布律如下表所示，则ξ的数学期望()E ξ= .ξ 0 1 2 3 4P181 881 827 3281 168111. 给出下列5个命题：①函数m ax x x x f ++=||)(是奇函数的充要条件是0m =；②若函数)1lg()(+=ax x f 的定义域是}1|{<x x ，则1-<a ；③若2log 2log b a <，则1lim =+-∞→n n n n n ba b a （其中n N ∈*）；④圆：0541022=-+-+y x y x 上任意一点M 关于直线25=--a y ax 的对称点M '也在该圆上；⑤函数cos ||y x =是周期函数. 其中正确结论的序号是 .（填写你认为正确的所有结论序号） 12. 已知1()|1|1f x x =--，且关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有*()k k N ∈个根，则这k 个根的和可能是 .（请写出所有可能值）13. 在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+，由此得112(123012)3123(234123)31(1)[(1)(2)(1)(1)]3n n n n n n n n ⎧⨯=⨯⨯-⨯⨯⎪⎪⎪⨯=⨯⨯-⨯⨯⎨⎪⎪+=++--+⎪⎩，两边分别相加，得 11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果是 ．14. 设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是 .二、选择题（每题4分，共16分）：15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意*n N ∈，点()n n P n S ，都在直线32y x =+上，则数列{}n a （ ）A.是等差数列不是等比数列B.是等比数列不是等差数列C.是常数列D.既不是等差数列也不是等比数列16. m n 、是不重合的两直线，αβ、是不重合的两平面，则下列命题正确的是 （ ） A.若//m n αα⊂，，则//m n ； B.若////m m αβ，，则//αβ； C.若m m αβ⊥⊥，，则//αβ； D.若//n m n αβ=，，则//m α且//m β17. 已知M 是ABC ∆内一点，且2330AB AC BAC ⋅=∠=，，若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积分别为12、x y 、， 则14x y +的最小值是（ ）A ．9 B. 16 C. 18 D. 2018. 在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*()n n N ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数．有下列函数：①()sin 2f x x =； ②3()g x x =； ③1()()3xh x =； ④()ln x x ϕ=.其中是一阶整点函数的是 ( )A ．①②③④ B．①③④ C．①④ D．④三、解答题（共74分）：19. （本题满分12分）如图，ABCD 是底面半径为1的圆柱1OO 的轴截面，P 是下底面圆周上一点（异于A B 、），（1）判断A B D P 、、、是否在同一个球面上，说明理由；（2）若DP 与底面所成的角是45，圆柱的体积为3π，求二面角B AD P --的大小.ABCDPO 1O20. （本题满分14分）已知cos sin ()sin cos a c x b c xf x b c x a c x--=+++，其中a b c 、、为正实数， [0 ]2x π∈，.（1）若()0f x =，求常数a b c 、、所满足的条件； （2）当0a b c ==≠时，求函数()y f x =的值域.21. （本题满分14分）函数)(x f 和)(x g 的图象关于原点对称，且x x x f 2)(2+=. （1）求函数)(x g 的解析式； （2）解不等式()()|1|g x f x x >--；（3）若()()() 1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围22. （本小题满分16分）已知函数311223()log ()()1xf x M x y N x y x=-，，，，是()f x 图像上的两点，横坐标为21的点P 满足ON OM OP +=2（O 为坐标原点）. （1）求证：12y y +为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中*n N ∈，2n ≥令()()111612411n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩， ，，其中*n n N T ∈，为数列{}n a 的前n 项和，若()11n n T m S +<+对一切*n N ∈都成立，试求m 的取值范围.（3）对于给定的实数(1)a a >是否存在这样的数列{}n a ，使得31()log (3)n n f a a +=，且111a a =-？若存在，求出a 满足的条件；若不存在，请说明理由.23. (本题满分18分)已知椭圆1C 的方程为2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点． （1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线2l y kx ：=+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的范围．（3）试根据轨迹2C 和直线l ，设计一个与x 轴上某点有关的三角形形状问题，并予以解答（本题将根据所设计的问题思维层次评分）.华师大二附中高三数学周测20答案一、填空题：1.10x =或110x =；2.56π； 3.5； 4.3； 5.(2 1)-，； 6.sin 2y x =； 7.1122x y y x -等； 8.()()0?f a f m ⋅<或()()0?f b f m ⋅>；9.2； 10.8()3E ξ= 11.①④⑤； 12. 2、3、4、5、6、7、8 13.1(1)(2)(3)4n n n n +++ 14. ①②③④ 二、 选择题：15．D ； 16.C ； 17.C ； 18.C 三、解答题： 19．（1）在同一球面上，理由：取线段BD 的中点Q ，易证BAD ∆和BPD ∆都是直角三角形，∴QA QB QP QD ===，所以A B D P 、、、在同一球面上； （2）依题意，显然BAP ∠是二面角B AD P --的平面角， 又DP 与底面所成的角是45，2cos AP AD BAP ==∠，∴12cos 3V BAP ππ=⨯⨯∠=圆柱，∴3cos 2BAP ∠=，∴6BAP π∠=. 20．（1）由222222222cos sin ()0(sin )(sin )(sin )(sin )a c xbc x a b c f x b c x b c x b c x b c x -+-+-===++++， 得2220a b c +-=； （2）当0a b c ==≠时，11sin cos sin cos y x x x x=+++令sin cos x x t+=，21sin cos 2t x x -=，∵[0 ]2x π∈，，∴sin cos [1 2]t x x =+∈，，2121sin cos sin cos (1)y x x x x t ==++++，2(1)t +在[1 2]，上是增函数， ∴2(1)[4 322]t +∈+，，∴函数()y f x =的值域为1[642 ]2-，21．（1）设函数)(x f y =的图象上任意一点),(00y x Q 关于原点的对称点为),(y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+02020y y xx ，即⎩⎨⎧-=-=y y x x 00 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上, ∴,22x x y -=-即x x y 22+-=，故x x x g 2)(2+-=（2）由()()|1|g x f x x >--，可得22|1|0x x --<, 当1x ≥时，2210x x -+≤，此时不等式无解 当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -<<因此，原不等式的解集为1(1 )2-，.（3）()()()21211h x x x λλ=-++-+①()[]1411 1h x x λ=-=+-当时，在，上是增函数， 1λ∴=-②11.1x λλλ-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ）当1-<λ时，111-≤+-λλ，解得1-<λ ⅱ）当1->λ时，111≥+-λλ，解得01≤<-λ综上所述，0≤λ．22．（1）证明：设P 点坐标为1()2P y ，，由已知可得，1()2OP OM ON =+则12121()21()2P x x y y y =++，，，∴121x x +=121212333121212333log log log 111()x x x x y y x x x x x x +=+=---++ 123123log 111x x x x ==-+ （2）由（1）知当121x x +=时，1212()() 1.y y f x f x +=+=121()()(),n n S f f f n n n -=++ ①121()()(),n n S f f f n n n -=+++ ②，∴21n S n =-,故12n n S -=（3）当2n ≥时，111.1212422n a n n n n ==-++++⨯⨯又当1n =时，1111623a ==-，所以11(*)12n a n N n n =-∈++故111111()()()2334122(2)n nT n n n =-+-++-=+++∵1(1)n n T m S +<+对一切*n N ∈都成立.∴21141(2)4nn T n m S n n n+>==++++，而448n n ++≥(当且仅当2n =时等号成立) ∴18m >，即m 的取值范围是1()8+∞，（3）假设存在数列{}n a 满足条件，则3133log (3)log 1nn na a a +=-，即111111n n n n n a a a a a ++=⇒=--，∴1{}na 是以111a a =-为首项，1-为公差的等差数列，于是11(1)(1)n a n a n a =-+-⨯-=-，∴1n a a n =-，注意到1(0 1)n a a n=∈-， ∴当3a >时，存在这样的有穷数列{}n a ；当13a <≤时，不存在这样的数列.23．解：（1）设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，则2413a =-=，再由222a b c +=得21b =，故2C 的方程为2213x y -=（2）将2y kx =+代入2213x y -=得22(13)6290k x kx ---=由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点得：2222130(62)36(13)36(1)0k k k k ∆⎧-≠⎪⎨=+-=->⎪⎩213k ∴≠且21k <①1122()()A x y B x y ，，，，则1212226291313k x x x x k k ，-+==-- 12121212(2)(2)x x y y x x kx kx ∴+=+++221212237(1)2()231k k x x k x x k +=++++=- 又2OA OB ⋅>，得12122x x y y +>，2237231k k +∴>- 即2239031k k -+>-，解得：213,3k <<②，故k 的取值范围为33(1 )( 1)33，，--. （3）参考问题1：若x 轴上存在点( 0)P m ，，使APB ∆是以AB 为底边的等腰三角形，求m 的取值范围.解：显然，当0k =时，P 点坐标为(0 0)，，即0m =； 当0k ≠时，设线段AB 的中点00()M x y ，，由（2）知212002223232222131313x x k k x y k k k ，+===+=--- 于是，线段AB 的中垂线方程为222132()1313ky x k k k -=----，令0y =，得 242421133k m k kk==--，由①知，3333(1 )( 0)(0 )( 1)3333k ，，，，∈---∴13k R k-∈，∴m R ∈，且0m ≠。