2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第二章第二节函数的单调性与最大(小)值
课堂新坐标2014高考数学(理)二轮专题复习第1部分-专题4-第2讲
本 讲 命 题 视 角
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
热
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
点
课
探 究
④若m∥α，α∩β＝n，则m∥n.
突
时 作 业
破
其中正确的命题是________．(只填序号)
菜单
二轮专题复习 ·数学（理）
【解析】 本题考查空间直线与平面间的位置关系的判
主 干 考 点 回 扣
断等知识，根据线面垂直的判定和面面平行的判定可知①② 正确；类似①得n⊥α，n⊂β，由面面垂直的判定定理得α⊥
点
回 扣
PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与
本 讲 命 题 视 角
PN所成的角，故④正确．对于命题③，当AC≠BD时，截面
PQMN也可能是正方形，故命题③错误．
热
点 探
【答案】 ①②④
课 时
究 突
作 业
破
菜单
二轮专题复习 ·数学（理）
主 干 考 点 回 扣
本 讲 命 题 视 角
(1)(2013·潍坊模拟)已知m，n是两条不同直线，
α，β是两个不同平面，给出四个命题：
热 点
①α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β
课
探 究
②m⊥α，m⊥β，则α∥β
突 破
③m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
时 作 业
④m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
其中正确的命题是( )
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
主 干
合的平面，给出下列命题：
考
点 回
①α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；
扣
本 讲 命 题 视 角
2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第八章第四节直线、圆的位置关系
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
k)， ∴直线l的方程为y＝kx＋1. |2k－3＋1| 4－ 7 4＋ 7 由 ＜1，得 ＜k＜ . 2 3 3 k ＋1
课 后 作 业
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【解析】
∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，又点(0，
课 后 作 业
1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交． 【答案】 B
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－
(2)设M(x1，y1)、N(x2，y2)， 将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1， 得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0， 4（1＋k） 7 ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 1＋k2 1＋k2 → → ∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1.
＝2R＝2. 【答案】 D
菜
单
新课标 ·理科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
4．(2013·肇庆质检)若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－
2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的最小值为________．
【解析】 设直线l的方程为y＝k(x－4)， 即kx－y－4k＝0， 当直线l与圆相切时，k有最大值或最小值． |2k－4k| 1 2 由 2 ＝1得k ＝ ， 3 k ＋1 3 ∴k＝± . 3
2014届高三一轮复习课堂新坐标理科数学人教A版选修4-4第二节参数方程
明 考
基 础
【解析】 由题意知，直线l的参数方程是
情
典 例
xy＝＝51＋＋ttscionsππ33 ，，即yx＝＝51＋＋2t2，3t.
探 究
代入直线x－y－2 3＝0，得
课 后 作
·
提 知 能
1＋2t －(5＋ 23t)－2 3＝0，∴t＝－10－6 3.
业
由t的几何意义，知|MM0|＝|t|＝10＋6 3.
高
自
主
1．(人教A版教材习题改编)将参数方程
考 体
落
验
实 · 固 基
xy＝＝s2i＋n2θsin2θ，(θ为参数)化为普通方程为________．
· 明 考 情
础
【解析】 将sin2θ＝y代入x＝2＋sin2θ得y＝x－2，
又0≤sin2θ≤1，得2≤x≤3.
典
例 探
【答案】 y＝x－2(2≤x≤3)
典
∵
x＝－1－t， y＝2＋3t，
消t后，得3x＋y＋1＝0，表示直
例 探
线．
课 后
究
作
· 提
【答案】 圆与直线
业
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
3．(2013·汕头质检)在平面直角坐标系xOy中，直
高
自
主 落 实 ·
线l的参数方程为 xy＝＝tt＋，1 (参数t∈R)，圆C的参数方程
考 体 验 · 明
自 主
【尝试解答】
由xy＝＝ba＋＋ttscions
θ， θ. ②
①
高 考 体
落 实
(1)当t为非零常数时，
验 ·
·
固 基 础
原方程组为xy－－tt ba＝＝scions
【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示教学案理新人教A版
4． B 解析： 由 x＋ 1>0， 4－ x2≥０
x≠0，
得 x>－1，
－2≤ x≤2，
所以定义域为 ( － 1 ,0) ∪(0,2] ．
5． A
解析：
当
x≤１时，
x
3＝
2，
∴ x＝log 32；
当 x＞1 时，－ x＝ 2，∴ x＝－ 2( 舍去 ) ．
∴ x＝log 32.
3．若两个函数的定义域与值域相同， 它们不一定是同一函数， 如函数 y＝ x 与 y＝ x＋ 1，
其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如
y＝sin x 与 y＝ cos x，其定义域都为
R，值域都为 [ － 1,1] ，显然不是同一个函数． 定义域和解析式相同的两个函数是同一个函数．
4．分段函数的定义域、 值域为各段上的定义域、 值域的并集； 最大 ( 小 ) 值是各段最大 ( 小 )
－x， x>1，
A． log 32 C． log 32 或－ 2
B．－ 2 D． 2
一、求简单函数的定义域、值域
【例 1－ 1】 (2012 江苏高考 ) 函数 f ( x) ＝ 1－ 2log 6x的定义域为 __________ ．
【例 1－ 2】已知函数 f (3 － 2x) 的定义域为 [ － 1,2] ，求 f ( x) 的定义域．
考点探究突破
【 例 1 － 1 】 (0 ， 6 ] 解 析 ： 要 使 函 数 f ( x) ＝ 1－ 2log 6x 有 意 义 ， 则 需
1－ 2log 6x≥0， x>0，
解得 0＜ x≤ 6，故 f ( x) 的定义域为 (0 ， 6] ．
【课堂新坐标】2014版高考地理一轮复习 第二章第一讲 冷热不均引起大气运动配套课件 新人教版必修1
1 . 形 成 风 的 直 接 原 因 是 ： 水平气压梯度力 __________________。 2．高空风与近地面风的比较
类型 受力情况 风向 图示(北半球)
高空 风
水平气压 梯度力和 地转偏向 力
与等压线 平行 ________
水平气
压梯度
近地 力、地
与等压线
之间 面风 转偏向 成一夹角 _________ 力和摩
1．近地面大气的主要的直接热源是 ( C ) A．a B．b C．c D．d 2．图中反映二氧化碳增多，加强大气 “温室效应”的箭头是( B ) A．a B．b C．c D．d 【解析】 图中a、b、c、d箭头的含义 依次是射向地面的太阳辐射、大气吸收的地 面辐射、地面辐射、大气逆辐射。地面是近 地面大气的主要的直接热源。二氧化碳增 多，能强烈吸收地面辐射使大气增温。
(1)此时，甲、乙、丙三地的大气垂直状 况相比较( D ) A．甲地比乙地稳定 B．乙地对流最旺盛 C．乙地比丙地稳定 D．丙地最稳定 (2)正午前后( B ) A．甲地气温回升快 B．乙地可能出现 强对流天气 C．丙地刮起东北风 D．甲地出现强 劲的偏南风
【信息提取】
以下有效信息：
结合图文材料，可以获得
(2012·吉林模拟)读图，回答3～4题。
3．下列叙述正确的是( B ) A．一天中最高气温出现在山谷 B．山顶气温日变化最小 C．山顶冬季日温差大于夏季日温差 D．山谷冬季日温差远大于夏季日温差
4．导致一天中最低温出现在山谷的主 要原因是( C ) A．山谷地形闭塞，降温快 B．夜间吹谷风，谷地散热快 C．夜间吹山风，冷空气沿山坡下沉积 聚在谷地 D．谷地多夜雨，降温快
①一般情况下，空气的密度与气温、空气 中的水汽含量呈负相关。 ②甲、乙、丙三地垂直方向上相比，甲地
课堂新坐标2014高考数学(理)二轮专题复习第1部分-专题4-第2讲
课 时 作 业
菜
单
二轮专题复习 ·数学（理）
【解析】 本题考查空间直线与平面间的位置关系的判
主 干 考 点 回 扣
断等知识，根据线面垂直的判定和面面平行的判定可知①② 正确；类似①得n⊥α，n⊂β，由面面垂直的判定定理得α⊥ β，故③正确；④中m与n的位置关系不确定，④错误．
本 讲 命 题 视 角
课 时 作 业
菜
单
二轮专题复习 ·数学（理）
2 ( ) 因为E，F分别为PB，AB的中点，
主 干 考 点 回 扣
所以EF∥PA. 又AB⊥PA，所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面E F G ，
本 讲 命 题 视 角
热 点 探 究 突 破
因此AB⊥平面EFG. 又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC. 又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG. 又MN⊂平面E M N ，所以平面EFG⊥平面E M N .
主 干 考 点 回 扣
P，则点P在直线________ 上．
【解析】 如图，∵EG∩FH＝P， ∴P∈EG，P∈FH，
热 点 探 究 突 破
又EG⊂平面ABC，FH⊂平面A D C ， ∴P∈平面ABC，P∈平面A D C . ∴点P在平面ABC与平面A D C 的交线上，即AC上．
【答案】
菜 单
课 时 作 业
PN所成的角，故④正确．对于命题③，当AC≠BD时，截面
热 点 探 究 突 破
P Q M N
也可能是正方形，故命题③错误．
【 答 案 】 ① ② ④
课 时 作 业
菜
单
二轮专题复习 ·数学（理）
主 干 考 点 回 扣
2014高考数学一轮复习第二章函数及其表示训练理新人教A版
【创新设计】2014高考数学一轮复习第二章函数及其表示训练理新人教A版第一节函数及其表示[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．函数与映射的概念[探究] 1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 {f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域都为R ，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有( ) ①函数是定义域到值域的对应关系； ②函数f (x )＝x －4＋1－x ；③f (x )＝5，因这个函数的值不随x 的变化而变化，所以f (t 2＋1)也等于5； ④y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ⑤f (x )＝1与g (x )＝x 0表示同一个函数． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 由函数的定义知①正确；②错误；由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，1－x ≥0，得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f (x )＝5为常数函数，所以f (t 2＋1)＝5，故③正确；因为x ∈N ，所以函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f (x )＝1的定义域为R ，函数g (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A 到B 的映射的有( )①集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A 到集合B 的映射．3．(2012·江西高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0解析：选B f (10)＝lg 10＝1，故f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. 4．(教材习题改编)已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (4))＝________；若f (a )＝2，则a ＝________.解析：∵f (x )＝x ＋2x －6，∴f (4)＝4＋24－6＝－3. ∴f (f (4))＝f (－3)＝－3＋2－3－6＝19.∵f (a )＝2，即a ＋2a －6＝2， 解得a ＝14. 答案：19145．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：∵cos 60°＝12，∴与A 中元素60°相对应的B 中的元素是12.又∵cos 30°＝ 32，∴与B 中元素32相对应的A 中的元素是30°. 答案：12 30°[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x －1，x 表示同一个函数．(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个． (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________． [自主解答] 对于(1)，函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－x的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，若x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数的定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )与g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3) ———————————————————1．判断两个变量之间是否存在函数关系的方法要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否为同一个函数的方法判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．1．(1)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ ①f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.②f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2；f 2：③f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．解：①不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R .②同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． ③同一函数．理由同②.(2)已知映射f ：A →B .其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1解析：选A 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． 所以Δ＝4(1－k )<0，解得k >1时满足题意.[例2] (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9.求f (x )． [自主解答] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1， 即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.法二：(配凑法)∵f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1＝(x ＋1)2＋2(x ＋1)－2，∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.(2)(待定系数法)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9.由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，解得a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3.若将本例(1)中“f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1”改为“f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ”，如何求解？解：令2x＋1＝t ，∵x >0，∴t >1且x ＝2t －1. ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．———————————————————求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．2．给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2. 试分别求出f (x )的解析式．解：(1)令t ＝ x ＋1， ∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，又∵f (0)＝c ＝3. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋3.[例3] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f x ＋，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16 D.13[解析] ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124.[答案] A ———————————————————解决分段函数求值问题的方法(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( ) A.12B.45C ．2D ．9解析：选C ∵x <1，f (x )＝2x＋1，∴f (0)＝2.由f (f (0))＝4a ，得f (2)＝4a ，∵x ≥1，f (x )＝x 2＋ax ， ∴4a ＝4＋2a ，解得a ＝2.4种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法·规律]．2两个易误点——映射的概念及分段函数求值问题中的易误点(1)判断对应是否为映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”．但要注意：①A 中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B 中元素可无原象，即B 中元素可有剩余．(2)求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域是其定义域内不同子集上对应的各关系式的值域的并集.数学思想——分类讨论思想在分段函数中的应用当数学问题不宜用统一的方法处理时，我们常常根据研究对象的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为“全而不重，广而不漏”的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题答案的思想，这就是主要考查了分类讨论的数学思想，由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[解析] ①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意，所以综上所述，a ＝－34.[答案] －34[题后悟道]1．在解决本题时，由于a 的取值不同限制了1－a 及1＋a 的取值，从而应对a 进行分类讨论．2．运用分类讨论的思想解题的基本步骤 (1)确定讨论对象和确定研究的区域；(2)对所讨论的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)； (3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； (4)归纳总结，整合得出结论． [变式训练]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12－x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C ①当a >0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 2a >log 12a ＝log 2 1a.∴a >1a，得a >1.②当a <0时，∵f (a )>f (－a )， ∴log 12(－a )>log 2(－a )＝log 121－a. ∴－a <1－a得－1<a <0，故C 项为正确选项． 2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，，x 2，x ∈[1，＋，若f (x )>4，则x 的取值范围是________________．解析：当x <1时，由f (x )>4得2－x>4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2，但由于x ≥1，所以x >2. 综上，x 的取值范围是x <－2或x >2. 答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列各组函数中，表示相等函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2B ．y ＝ln e x与y ＝e ln xC ．y ＝x －x ＋x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x解析：选D y ＝5x 5＝x ，y ＝x 2＝|x |，故y ＝5x 5与y ＝x 2不表示相等函数；B 、C 选项中的两函数定义域不同；D 选项中的两函数是同一个函数．2．设A ＝{0,1,2,4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，0，1，2，6，8，则下列对应关系能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →x 3－1 B ．f ：x →(x －1)2C ．f ：x →2x －1D ．f ：x →2x解析：选C 对于A ，由于集合A 中x ＝0时，x 3－1＝－1∉B ，即A 中元素0在集合B 中没有元素与之对应，所以选项A 不符合；同理可知B 、D 两选项均不能构成A 到B 的映射，C 符合．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，－x ，x <0，则f (f (－10))＝( )A.12 B.14 C ．1D ．－14解析：选A 依题意可知f (－10)＝lg 10＝1，f (1)＝21－2＝12.4．(2013·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1解析：选D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝ 1＝1， ∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝ a ＝1，∴a ＝1； 当a <0时，f (a )＝ －a ＝1，∴a ＝－1.5．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3解析：选B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6. 6．(2013·泰安模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．只有①解析：选B ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )满足．②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )不满足． ③0<x <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－x ＝－f (x )，x ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0＝－f (x )， x >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＝－f (x )满足．二、填空题7．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：118．若f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝1，则ff＋f f＋…＋f f＝________.解析：令b ＝1，∵f a ＋f a＝f (1)＝1，∴f f＋f f＋…＋f f＝2 011.答案：2 0119．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，如图．由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎨⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋ 2.得x ∈(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式． 解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， 因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.(2)当x >0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0， 故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2；当－1<x <1时，f (x )<0， 故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.11．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4或x <－1}．12．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 解：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12.1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…，用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )解析：选B 根据故事的描述，乌龟是先于兔子到达终点，到达终点的最后时刻乌龟的路程大于兔子的路程，并且兔子中间有一段路程为零，分析知B图象与事实相吻合．2．下列对应关系是集合P上的函数的是________．(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；(2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系：f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；(3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应．解析：对于(1)，集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，故(1)不是函数；对于(3)集合P不是数集，故(3)不是函数；(2)正确．答案：(2)3．试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(2)y＝x，y＝3t3；(3)y＝|x|，y＝(x)2.解：∵y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}，y＝x2－4的定义域为{x|x≥2或x≤－2}，∴它们不是同一函数．(2)∵它们的定义域相同，且y＝3t3＝t，∴y＝x与y＝3t3是同一函数．(3)∵y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，∴它们不是同一函数．4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1<a <2时，f (a )＝2a ， 由2a ＝3，得a ＝32，满足－1<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6， 又a ≥2，故a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.第二节 函数的定义域和值域[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ； 当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x是圆满函数；②y＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D 要使函数f (x )＝4－xx －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5]B ．NC ．(0,20]D ．{2,3,4,5}解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0， 即0＜2x ＋1＜1，解得－12<x <0，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4. 又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[例1] (1)(2012·山东高考)函数f (x )＝1x ＋＋ 4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2](2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. (2)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8.∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8]本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f (x )＝ 1－2log 6x 的定义域为________． (2)已知f (x )的定义域是[－2,4]，求f (x 2－3x )的定义域．解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案：(0， 6 ](2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4].[例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x. [自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． 法二：由y ＝x －3x ＋1得yx ＋y ＝x －3. 解得x ＝y ＋31－y，所以y ≠1，即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12.所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.(3)法一：(基本不等式法)当x >0时，x ＋4x≥2x ×4x＝4， 当且仅当x ＝2时“＝”成立；当x <0时，x ＋4x ＝－(－x －4x)≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2.x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减． 故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4；x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y ＝x －4x”，如何求解？解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4x的值域为R .———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋ba的函数可用此法求值域.单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]；(2)y ＝x 2－xx 2－x ＋1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x －1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t－1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3.当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－b a ， 由于此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝b2－a ，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b2－a ， 则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述，a 的值为0或－4. ——————————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＋b ＝________.解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]， ∴a >1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13， ∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6. 答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合．(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例](2013·福州模拟)函数f(x)＝x＋2x＋1－1－x的定义域为________________．[解析] ∵要使函数f(x)＝x＋2x＋1－1－x有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，x≠－1，∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．[答案] (－∞，－1)∪(－1,1][易误辨析]1．本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)＝(x＋1)－1－x后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练]1．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，5C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103解析：选C 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1fx 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________． 解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)． ∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，2x >10－2x ，即52<x <5. 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．4．(2013·南昌模拟)函数y ＝ x x －－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x x －，1x>0，得x ≥1.5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2. 6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，gx －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B. )[0，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x2的定义域是________．解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 答案：(－3,2) 8．设x ≥2，则函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值是______．解析：y ＝x ＋＋x ＋＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t＝t＋4t ＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 答案：2839．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示AB 的长，求函数y ＝xl x的值域． 解：依题意有x ＞0，l (x )＝x －2＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝x l x ＝xx 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4252＋925，所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l x 的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53. 12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x解析：选A 当x >0时，1x有意义，因此函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}．对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}； 对于B ，函数f (x )＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ； 对于D ，函数f (x )＝e x的定义域为R . 所以与函数y ＝1x有相同定义域的是f (x )＝ln x .2．函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．[－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4>0x ＋1>0得－1<x <1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：选B 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )的解析式；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1,1]，知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，令t ＝f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有： ①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a3，②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ， ③当13<a <3时，g (x )的最小值h (a )＝3－a 2综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ≤13，3－a 2，13<a <3，12－6a ，a ≥3，(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．由题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧hm ＝n 2，h n ＝m 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋12＝n 2，－6n ＋12＝m 2，，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m ＋n ＝6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值.第三节 函数的单调性与最值[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．函数的单调性 (1)单调函数的定义：(2)如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 具有(严格的)单调性，这一区间叫做y ＝f (x )的单调区间．[探究] 1.函数y ＝1x的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，这种表示法对吗？提示：首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．函数f (x )在区间[a ，b ]上单调递增与函数f (x )的单调递增区间为[a ，b ]含义相同吗？ 提示：含义不同．f (x )在区间[a ，b ]上单调递增并不能排除f (x )在其他区间上单调递增，而f (x )的单调递增区间为[a ，b ]意味着f (x )在其他区间上不可能单调递增．2．函数的最值 [探究] 3.函数的单调性、最大(小)值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则下列说法正确的有( ) ①函数f (x )为减函数；②函数f (x )为增函数；③函数f (x )的最大值为2；④函数f (x )的最小值为25.A ．①③B ．①③④C ．②③④D ．②④解析：选B 易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )min ＝f (6)＝25，f (x )max＝f (2)＝2.2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－12解析：选D 使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.3．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ∵函数f (x )为R 上的减函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，即|x |<1且|x |≠0. ∴x ∈(－1,0)∪(0,1)．4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为________；f (x )max ＝________.解析：∵函数f (x )＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1.∴函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调递增区间为[1,4]，单调递减区间为[－2,1)． 又f (－2)＝4＋4＝8，f (4)＝16－8＝8. ∴f (x )max ＝8. 答案：[1,4] 85．(教材习题改编)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x 2－kx －8的对称轴为x ＝k8，又函数f (x )在[5,20]上为增函数， ∴k8≤5，即k ≤40. 答案：(－∞，40][例1] 已知函数f (x )＝ x 2＋1－ax ，其中a >0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为单调减函数． [自主解答] (1)由2f (1)＝f (－1)， 可得22－2a ＝ 2＋a ，得a ＝23. (2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ x 21＋1－ax 1－ x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－ x 22＋1－a (x 1－x 2) ＝x 21－x 22x 21＋1＋ x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋ x 22＋1－a . ∵0≤x 1< x 21＋1，0<x 2< x 22＋1， ∴0<x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1<1.又∵a ≥1，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x )在[0，＋∞)上单调递减． ——————————————————— 判断或证明函数的单调性的两种方法(1)利用定义的基本步骤是：。
2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A版)第五章第二节等差数列
考 体 验 ·
· 固 基 础
【提示】
充要条件．若A＝
a＋b 2
⇔2A＝a＋b⇔A－a
明 考 情
＝b－A⇔a，A，b成等差数列．
2．三个数成等差数列且知其和时，一般设为a－d，a，
典 例
a＋d，四个数成等差数列且知其和时，怎样设好呢？
课
探
后
究 ·
【提示】 可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.
作 业
情
又S2m－1＝
（2m－1）（a1＋a2m－ 2
1）
＝(2m－1)am＝2(2m
－1)＝38.解之得m＝10.
典
例
课
探
后
究 ·
【答案】 10
作 业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹 高
自
考
主 落
子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3
例 探
解得a1＝20.
课 后
究
作
·
业
提
知 能
【答案】 B
菜单
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自
2．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，a4＋a8＝16，则
高 考
主 落 实
a2＋a10＝(
)
体 验 ·
· 固
A．12
B．16 C．20 D．24
明 考
基
情
础
【解析】 ∵{an}是等差数列，∴a2＋a10＝a4＋a8＝16.
明 考
基 础
(2)通项公式：_a_n_＝__a_1＋__(_n_－__1_)_d__，an＝am＋_(_n_－__m__)d__．
2014届高三一轮复习《课堂新坐标》理科数学(人教A.
新课标 ·理科数学（广东专用）自主落实 ·固基础附表：P(K2≥k k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 高考体验 ·明考情参照附表，得到的正确结论是( A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好典例探究 ·提知能该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 课后作业菜单
新课标 ·理科数学（广东专用） C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有自主落实 ·固基础关” D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 高考体验 ·明考情【解析】由相关系数K2的意义，附表所对应的概率为“爱好该运动与性别有关”，典例探究 ·提知能∴有 99% 以上的把握认为“ 爱好该项运动与性别有关”．【答案】 C 课后作业菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）自主落实 ·固基础课后作业（六十三）高考体验 ·明考情典例探究 ·提知能课后作业菜单。
高三一轮复习课堂新坐标理科数学人教A平面向量应用举例PPT课件
第26页/共41页
∴P→Q2－4P→C2＝0，∴|P→Q|2＝4|P→C|2.······2分
∴(－4－x)2＝4[(－1－x)2＋(－y)2]， 整理得：x42＋y32＝1，即为点P的轨迹方程.····4分 (2)①当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x＝－1.
第15页/共41页
一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的
作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的
大小分别为2和4，则F3的大小为( )
A．2 7
B．2 5
C．2
D．6
【解析】 如图所示，由已
知得F1＋F2＋F3＝0， ∴F3＝－(F1＋F2)． F23＝F12＋F22＋2F1·F2 ＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos 60°＝28. ∴|F3|＝2 7.
解得A(－1，－32)，B(－1，32)．
此时O→A·O→B＝－54，············5分
②当过点C的直线斜率存在时，设斜率为k，
则直线AB的方程为y＝k(x＋1)．
代入方程
x2 4
＋
y2 3
＝1，整理得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12
＝0.
第27页/共41页
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122.············8 分 ∴y1y2＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－3＋9k42k2. ∴O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－54kk22＋＋132 ＝－54－4（4k323＋3）.······················10 分
2014届高三数学一轮复习导学案(新部编)：坐标系与参数方程
备注
课堂检测——坐标系与参数方程姓名：
1、在极坐标系中,圆C是以点C(2,- )为圆心、2为半径的圆则圆C的极坐标方程为__________________.
2、在平面直角坐标系 中,圆 的参数方程为 为参数, ,以 为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 若圆 上的点到直线 的最大距离为 ,则 =_______.
4、已知曲线 的参数方程是 ( 为参数, ),直线 的参数方程是 ( 为参数),曲线 与直线 有一个公共点在 轴上,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立坐标系.
(Ⅰ)求曲线 普通方程;
(Ⅱ)若点 在曲线 上,ห้องสมุดไป่ตู้ 的值.
教师学科教案
[20 – 20学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
课题：坐标系与参数方程班级姓名：
一：学习目标
1、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
三：课堂研讨
1、求圆 被直线 (t是参数)截得的弦长.
2、已知曲线 的参数方程为 （其中 为参数）， 是曲线 上的动点，且 是线段 的中点，（其中 点为坐标原点）， 点的轨迹为曲线 ，直线的方程为 ，直线与曲线 交于 两点。
(1)求曲线 的普通方程；
(2)求线段 的长。
3、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合.曲线C的极坐标方程为 ,直线l的参数方程为 (t为参数,t∈R).试在曲线C上求一点M,使它到直线l的距离最大.
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高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
当x1，x2∈[1，＋∞)时，x1＋x2＞0， 则f(x1)－f(x2)＜0， 故函数在[1，＋∞)上是增函数.
课 后 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
课 后 作 业
菜
单
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【尝试解答】
自 主 落 实 · 固 基 础
如图所示，
高 考 体 验 · 明 考 情
在同一坐标系中作出y＝x＋2，y ＝2x，y＝10－x(x≥0)的图象． 根 据 f(x) 定 义 知 ， f(x) ＝ min{2x ，x＋2，10－x}(x≥0)的图
象(如图实线部分)．
典 例 探 究 · 提 知 能
2x，0≤x≤2， ∴f(x)＝x＋2，2＜x＜4， 10－x，x≥4. 令x＋2＝10－x，得x＝4. 当x＝4时，f(x)取最大值f(4)＝6.
【答案】
菜 单
课 后 作 业
C
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菜 单
课 后 作 业
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1 【答案】 (－ ，＋∞) 2 (2)函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 设x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝ x2－1－ x2－1 1 2 ＝
2 x1－x2 2 2 x1－1＋ x2－1 2
高 考 体 验 · 明 考 情
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自 主 落 实 · 固 基 础
∵－1＜x1＜x2＜1， 2 ∴x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0. 2 －1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0. （x2－x1）（x2x1＋1） ∴ ＞0. 2 2 （x1－1）（x2－1） 因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1，1)上为减函数； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， ∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1，1)上为增函数． 法二 (导数法)f′(x)＝ a（x －1）－2ax （x2－1）2
(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法． 3．函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内 层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
课 后 作 业
菜
单
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(1)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． (2)用定义法判断函数y＝ 性． x2－1 在定义域上的单调
由f′(x)＞0，得x＞2，故f(x)的增区间是(2，＋∞)．
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【答案】
(2，＋∞)
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
菜
单
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1 4．(2013· 湛江质检)函数f(x)＝ 的最大值 1－x（1－x） 是________．
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【解析】
1 (1)函数f(x)的定义域为(－ ，＋∞)，令t＝ 2
典 例 探 究 · 提 知 能
2x＋1， 因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上是增函数，t＝2x＋1在 1 x∈(－ ，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)＝log5(2x＋1)的 2 1 单调递增区间为(－ ，＋∞)． 2
12 3 3 【解析】 ∵1－x(1－x)＝x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ， 2 4 4 1 4 4 ∴0＜ ≤ ，故f(x)max＝ . 3 1－x（1－x） 3
2
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4 【答案】 3
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菜
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1．解答本题(1)时，应先求定义域，在定义域内求单调
高 考 体 验 · 明 考 情
区间．
2．函数单调性的判定方法有：(1)定义法；(2)图象法；
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典 例 探 究 · 提 知 能
因此f(x)在x∈D上是增函数．
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1．(人教A版教材习题改编)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a
－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( A．a＝－2 B．a＝2 C．a≤－2 ) D．a≥2
(2013·惠州调研)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数
中的最小值，设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)
最大值为( A．4 ) B．5 C．6 D．7
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
【思路点拨】 大值．
明确f(x)的意义，数形结合求f(x)的最
自 主 落 实 · 固 基 础
1．如图2－2－1所示函数f(x)的
图象，则函数f(x)的单调增区间是(－
∞，0]∪(0，＋∞)吗？
高 考 体 验 · 明 考 情
【提示】
典 例 探 究 · 提 知 能
不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．
课 后 作 业
菜
单
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(2)用定义法或导数法求解．
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菜
单
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【尝试解答】
(1)由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数． t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数， 所以函数f(x)的递减区间为(－∞，－1)．
f(x)≤M f(x)≥M ____________；②存在x0∈I， ___________； f(x0)＝M 使得___________. ②存在x0∈I，使 f(x0)＝M 得____________.
课 后 作 业
结论
M是y＝f(x)的最大值
M是y＝f(x)的最 小值
菜
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(1)(2013· 佛山模拟)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区 间为________． ax (2)试讨论函数f(x)＝ 2 ，x∈(－1，1)的单调性(其中 x －1 a≠0)．
【审题视点】 (1)根据复合函数的单调性求解．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
求函数最值(值域)的常用方法 1．利用单调性是求函数最值的最主要方法，函数图象 是单调性的最直观体现，函数的最大(小)值是图象的最高
高 考 体 验 · 明 考 情
(低)点的纵坐标，本题借助图象的直观性求得最大值．
2．配方法：若函数是二次函数，常用配方法．
典 例 探 究 · 提 知 能
3．基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不 同次时常用此法． 4．导数法：当函数较复杂时，一般采用此法．
典 例 探 究 · 提 知 能
（x1－x2）（x1＋x2） ＝ . 2 2 x1－1＋ x2－1 ∵x1－x2＜0,
2 x1－1＞0, 2 x2－1＞0，
课 后 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
∴当x1，x2∈(－∞，－1]时，x1＋x2＜0，
则f(x1)－f(x2)＞0，
高 考 体 验 · 明 考 情
【解析】
结合函数的图象易知选D.
【答案】
典 例 探 究 · 提 知 能
D
课 后 作 业
菜
单
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自 主 落 实 · 固 基 础
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．
【解析】
由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝(x－2)ex，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 后 作 业
菜
单
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3．函数的最值
自 主 落 实 · 固 基 础
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意的 ①对于任意的x∈I，都有 x∈I，都有
高 考 体 验 · 明 考 情
条件
典 例 探 究 · 提 知 能
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
a－1 【解析】 二次函数的对称轴方程为x＝－ ， 3 a－1 由题意知－ ≥1，即a≤－2. 3
【答案】
C
课 科数学（广东专用）
自 主 落 实 · 固 基 础
2．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( ) 1 A．y＝3－x B．y＝x C．y＝－x2＋4 D．y＝|x|
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
f(x1)＞f(x2) (2)f(x)在区间D上是减函数⇔________________．
课 后 作 业
菜
单
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