2021年高二下学期期初考试数学试题含答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题 含答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题含答案第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.用样本估计总体，下列说法正确的个数是2.①样本的概率与实验次数有关；3.②样本容量越大，估计就越精确；4.③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；5.④数据的方差越大，说明数据越不稳定．6.A．1 B．2 C．3 D．47.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是8.A．至少有一个黑球与都是黑球B．至多有一个黑球与都是黑球9.C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球10.在直角坐标系中，直线的倾斜角是11.A．B．C．D．12.已知随机变量服从正态分布，且，则13.A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.214.学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如右表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为15.A．24 B．18 C．16 D．1216.在的展开式中，常数项是17.A．－28 B．－7 C．7 D．2818.在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为19.A．B．C．D．20.直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是21.A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心22.C．直线与圆相离D．直线过圆心23.小明在玩“开心农场”游戏的时候，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)．若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有24.A．36种B．48种C．60种D．64种25.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有26.A．9条B．10条C．11条D．12条27.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是28.A．B．C．D．29.在圆内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为30.A．126 B．86 C．77 D．50第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）31.若随机变量Ｘ服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D(X) =_________32.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_________33. 已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N ．则_________34. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如右表．请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了数学期望的正确答案为_________三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案一、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟；二、本试卷为文、理合卷，注明理科的只理科考生做，注明文科的只文科考生做，其它的文理考生皆做三、填空题答案答在第Ⅱ卷相应横线上，否则不给分。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )2.A、1 B、2 C、3 D、43.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )4.A、开口向上，焦点为(0，1) B、开口向上，焦点为(0，)5.C、开口向右，焦点为(1，0) D、开口向右，焦点为(0，)6.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是：( )7.A、B、8.C、D、9.在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( )10.A、一解B、两解C、一解或两解D、无解11.已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝( )12.A、-4 B、-6 C、-8 D、-1013.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是，则不等式bx2-5x+a＞0的解是( )14.A、x＜-3或x＞-2 B、x＜或x＞C、D、-3＜x＜-215.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么( )16.A、甲是乙成立的充分不必要条件B、甲是乙成立的必要不充分条件17.C、甲是乙成立的充要条件D、甲是乙成立的非充分必要条件18.已知数列的前n项和S n＝n2-9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝( )19.A、9 B、8 C、7 D、620.设X∈R，[X]表示不大于X的最大整数，如：[π]＝3，[-1，2]＝-2，[0，5]＝0，则使[X2-1]＝3的X的取值范围( )21.A、B、C、 D、22.设a，b是非零实数，则方程bx2+ay2＝ab及ax+by＝0所表示的图形可能是( )23.24.已知三个不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＞0；③2x2-8x+m≤0。
2021年高二数学下学期期中试题Ⅰ 理(含解析)
2021年高二数学下学期期中试题Ⅰ理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知函数，则（）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】因为2. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面( )A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点【答案】C【解析】四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，所以由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面各正三角形的中心。
3.设（其中为自然对数的底数），则的值为( )A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以。
4．曲线上的点到直线的最短距离是( )A． B． C． D． 0【答案】B【解析】设为曲线上的任意一点，则由，所以，所以点（1,0）到直线的距离最短，最短距离为。
5．若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，因为函数在区间内是增函数，所以在区间内恒成立且不恒为零，即在区间内恒成立且不恒为零，又时，，所以实数的取值范围是。
6．函数y ＝f （x ）在定义域（－，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为（ ） A ．[－，1]∪[2，3） B ．[－1，]∪[，] C ．[－，]∪[1，2）D ．（－，－ ]∪[，]∪[，3） 【答案】A【解析】因为函数y ＝f （x ）在区间[－，1]和[2，3）内单调递减，所以不等式f '（x ）≤0的解集为[－，1]∪[2，3）。
7. 设,函数的导函数是奇函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标是（ ） A ． B ． C. D ． 【答案】C【解析】，因为导函数是奇函数，所以，所以由，解得。
2021年高二数学下学期期初考试试卷(含解析)
2021年高二数学下学期期初考试试卷（含解析）一、选择题1．某单位有职工52人，现将所有职工随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号，32号，45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是( )A．19 B．20 C．18 D．21考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，∴6+45=x+32，x=6+45﹣32=19因此，另一学生编号为19．故选A．点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．2．双曲线=1的渐近线方程为( )A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．解答：解：∵双曲线方程为=1，∴渐近线方程为=0，即y=±x，故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程．3．如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于( )A．720 B．360 C．240 D．120考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的k，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k ＜m，输出p的值为360．解答：解：执行程序框图，有n=6，m=4k=1，ρ=1第一次执行循环体，ρ=3满足条件k＜m，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12满足条件k＜m，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60满足条件k＜m，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360不满足条件k＜m，输出p的值为360．故选：B．点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是( ) A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，共有=6种方法；其中恰有一个红球的方法为=4．因此恰有一个红球的概率P==．故选C．点评：熟练掌握组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式是解题的关键．5．已知直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0行，则它们之间的距离是( ) A．B．C．8 D．2考点：两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出 m，利用两平行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离．解答：解：∵直线3x+4y﹣3=0与直线6x+my+14=0平行，∴=≠，∴m=8，故直线6x+my+14=0 即3x+4y+7=0，故两平行直线间的距离为 =2，故选 D．点评：本题考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式的应用．6．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．解答：解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．点评：本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题．7．已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且||=||，其中O为原点，则实数a的值为( )A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣考点：直线和圆的方程的应用；向量的模；向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．解答：解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．点评：若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．8．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．9．已知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=1，则圆C内任意一点到直线的距离小于的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，满足条件的事件是圆内到直线l 的距离小于，如图中夹在两平行线之间圆内的部分，根据几何概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆内随机的取一个点，满足条件的事件是圆内到直线l的距离小于，如图中夹在两平行线之间圆内的部分．直线x+y=0与x+y﹣2=0与直线l：x+y=1的距离为，且∠AOB=90°，根据几何概型的概率公式得到P=2．故选D．点评：本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键．10．椭圆（a＞b＞0）的离心率，A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0），设AB的中点为C（x0，y0），则x0的值为( ) A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质；中点坐标公式．专题：计算题．分析：本题涉及到垂直平分线，与斜率和中点有关，所以先由A、B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点得到：①②两式作差得到斜率与中点的关系，再由线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0），转化斜率转化为：求解．解答：解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点∴①②由①﹣②得：=﹣∵线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（1，0），∴∴解得：故选B．点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系及方程的应用，这里主要涉及了线段的垂直平分线，用点差法寻求斜率与中点的关系的问题．二、填空题11．甲，乙两人下棋，甲获胜的概率是60%，甲不输的概率是80%，甲、乙和棋的概率是20%．考点：互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：甲不输的概率为80%，其中包括甲获胜和甲乙两人下成平局两种情况，两数相减即可．解答：解：甲不输，即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋，设甲、乙二人下成和棋的概率为P，则由题意可得 80%=60%+p，∴p=20%．故答案为：20%．点评：本题考查的是互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题．12．过点P（6，12）且被圆x2+y2=100截得的弦长为16的直线方程为3x﹣4y+30=0或x+6=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：算出圆心为O（0，0）、半径r=10，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于6．当直线斜率存在时设直线方程为y﹣12=k（x﹣6），由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，可得此时直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+6=0，到圆心的距离也等于6，符合题意．由此即可得出所求的直线方程．解答：解：圆x2+y2=100的圆心为O（0，0），半径r=10．设圆心到直线的距离为d，①当过点P（6，12）的直线斜率存在时，设直线方程为y﹣12=k（x﹣6），即kx﹣y﹣6k+12=0，∵直线圆x2+y2=100截得弦长为16，∴根据垂径定理，得d=6．根据点到直线的距离公式，得=6，解之得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+30=0；②当过点P（6，12）的直线斜率不存在时，直线方程为x=﹣6．由圆心到直线的距离d=6，可得直线被圆截得的弦长也等于16，符合题意．综上所述，可得所求的直线方程为3x﹣4y+30=0或x+6=0．故答案为：3x﹣4y+30=0或x+6=0．点评：本题给出经过定点的直线被圆截得的弦长，求直线的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．13．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90．考点：频率分布直方图．专题：计算题．分析：根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是36可求样本容量，进而得出样本中净重在[98，104）的产品个数．解答：解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，∴样本容量=，∴样本中净重在[98，104）的产品个数=（0.1+0.15+0.125）×2×120=90．故答案为90．点评：本题是对频率、频数运用的简单考查，频率、频数的关系：频率=．14．过双曲线的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若，则双曲线的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b的关系，根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），∵A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵，∴﹣=，∴b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故答案为：．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．15．已知AC、BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为5．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：设圆心到AC、BD的距离分别为d1、d2，则 d12+d22 =3，代入面积公式s=AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．解答：解：如图连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA=OC=2 OM=，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22=OM2=3．四边形ABCD的面积为：s=•|AC|（|BM|+|MD|），从而：，当且仅当d12 =d22时取等号，故答案为：5．点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．三、解答题16．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=，=，=．（1）用、、表示；（2）求||．考点：空间向量的加减法；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）如图所示，∵，=，利用向量的多边形法则可得=+．（2）利用向量数量积运算性质可得：==++++，代入即可得出．解答：解：（1）如图所示，∵，=，∴=+=．（2）∵==++++=+0++=43．∴．点评：本题考查了向量的多边形法则、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力．17．（1）设集合M={1，2，3}N={﹣1，1，2，3，4，5}从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，求所取得两个数中能使2b≤a时的概率．（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求能使2b≤a时的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）属于古典概型，只要求出从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b的所有可能结果，以及取得两个数中能使2b≤a时的结果，利用公式解答即可；（2）画出平面区域以及取得两个数中能使2b≤a时的区域，利用面积比求概率．解答：解：（1）集合M={1，2，3}N={﹣1，1，2，3，4，5}从集合M中随机取一个数作为a，从N中随机取一个数作为b，共有3×6=18种结果，而使2b≤a，若a=1，若b=﹣1；若a=2，b=﹣1或1；若a=3，则b=﹣1，1共有5种结果，由古典概型公式得到所取得两个数中能使2b≤a时的概率为．（2）点（a，b）是区域内的随机点，对应的平面区域如图，面积为=18，A（6，0），解得到B（4，2），所以区域面积为=6，所以由几何概型概率公式得到能使2b≤a时的概率为．点评：本题主要考查古典概型和几何概型的概率公式的计算，古典概型求出事件的所有结果m，以及某事件的结果n，由古典概型公式可得概率；几何概型要明确事件的测度，利用测度比求概率．18．已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点．（1）求证：B1D1⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）（文）求三棱锥A﹣BDE的体积．（理）求三棱锥A﹣B1DE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：证明题；综合题．分析：（1）先证BD⊥面ACE，从而证得：B1D1⊥AE；（2）作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．由E、F是CC1、BB1的中点，易得AF∥ED，CF∥B1E，从而平面ACF∥面B1DE．证得AC∥平面B1DE；（3）易知底为面ABD，高为EC，由体积公式求得三棱锥A﹣BDE的体积．解答：解：（1）证明：连接BD，则BD∥B1D1，∵AB CD是正方形，∴AC⊥BD．∵CE⊥面ABCD，∴CE⊥BD．又AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．（2）证明：作BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵E、F是CC1、BB1的中点，∴CEB1F，∴四边形B1FCE是平行四边形，∴CF∥B1E．∵E，F是CC1、BB1的中点，∴，又，∴．∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF∥ED，∵AF∩CF=F，B1E∩ED=E，∴平面ACF∥面B1DE．又AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．（3）（文）．．（理）∵AC∥面B1DE∴A 到面B1DE 的距离=C到面B1DE 的距离∴点评：本题主要考查线面垂直和面面平行的判定定理，特别要注意作辅助线．19．圆C过点（0，﹣1），圆心在y轴的正半轴上，且与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2=9外切．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（0，2）交圆C于A、B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l的倾斜角α的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（Ⅰ）设出圆的方程，利用圆C过点（0，﹣1），圆与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2=9外切，建立方程，即可求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l的方程为，求出以AB为直径的圆半径R，原点与l的距离d'，利用原点O 在以AB为直径的圆内，可得d'＜R，从而可求直线l的倾斜角α的取值范围．解答：解：（Ⅰ）圆C的圆心在y轴的正半轴上，故可设方程为x2+（y﹣b）2=r2，b＞0，r＞0由条件知（﹣1﹣b）2=r2（1）∵圆与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2=9外切，∴两个圆心间的距离等于两个半径之和，∴（0﹣4）2+（b﹣4）2=（r+3）2（2）由（1）（2）解得b=1，r=2从而圆C的方程为x2+（y﹣1）2=4；（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0∵C与l的距离d=，∴以AB为直径的圆半径R==∵原点O在以AB为直径的圆内，原点与l的距离d'=∴d'＜R，即＜∴k＜﹣或k＞．斜率不存在时也成立∴直线l的倾斜角α的取值范围为（arctan，π﹣arctan）．点评：本题考查圆的标准方程，考查点与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC⊥平面PBD；（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为，平面PAB的法向量为，根据二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，可求t的值，从而可得P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角．解答：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴PD⊥AC又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD∴AC⊥DE…（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则由（I）知：平面PBD的法向量为，令平面PAB的法向量为，则根据得∴因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，则，即，∴…∴设EC与平面PAB所成的角为θ，∵，∴…点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用空间向量解决线面角问题，属于中档题．21．已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，．（1）求椭圆的方程；（2）如果直线x=t（t∈R）与椭圆相交于A，B，若C（﹣3，0），D（3，0），证明直线CA 与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；（3）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R，若，，证明：λ+μ为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的定义；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．专题：综合题．分析：（1）根据椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为，，建立方程，结合b2=a2﹣c2，即可求得椭圆方程；（2）设出A（t，y0），B（t，﹣y0），K（x，y），利用A在椭圆上有，求出CA，DB的方程，相乘，即可得到结论；（3）设直线l的方程为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理及，，求出λ，μ的值，即可得出结论．解答：解：（1）由已知得，解得∴b2=a2﹣c2=1…∴椭圆方程为．…（2）依题意可设A（t，y0），B（t，﹣y0），K（x，y），且有又，∴，将代入即得所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上．…（3）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x﹣1），…设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），则M、N两点坐标满足方程组消去y并整理，得（1+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣9=0，所以，①，②…因为，所以（x3，y3）﹣（0，y5）=λ[（1，0）﹣（x3，y3）]，即，所以x3=λ（1﹣x3），又l与x轴不垂直，所以x3≠1，所以，同理．…所以=．将①②代入上式可得．…（16分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查方程与曲线的关系，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，利用韦达定理是关键．21802 552A 唪30816 7860 硠35197 897D 襽37067 90CB 郋.^ v25905 6531 攱27244 6A6C 橬39300 9984 馄33495 82D7 苗_25458 6372 捲23226 5ABA 媺。
精选2021年最新2021年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
高二数学下学期期中试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.复数31ii++等于 ( ) A. 12i B. 12i C. 2i + D. 2i -【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到结果.【详解】()()()()313+i 421112i i ii i i +--==++-＝2－i. 故选D.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数常考的还有几何意义，z ＝a ＋bi(a ，b∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ 都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ．2.曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为（ ） A. 21y x =--B. 21y x =-C. 21y x =-+D.21y x =+【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，利用点斜式可得切线的方程，得到结果. 【详解】由11x y x +=-可得221(1)2'(1)(1)x x y x x --+==---，所以0'|2x y ==-，所以曲线11x y x +=-在点(0,1)-处的切线方程为：21y x =--， 故选A.【点睛】该题考查的是有关求曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线的方程，属于简单题目.3.函数()(3)xf x x e =-的单调递增区间是( ) A. (,2)-∞ B. (0,3) C. (1,4) D. (2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得()()'2x f x ex =-，求解不等式()'0f x >即可确定函数的单调递增区间.【详解】由函数的解析式可得：()()()'32xxxf x e x e e x =+-=-,求解不等式()'0f x >可得：2x >，故函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+∞.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数求解函数单调性的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4.计算()122x x dx -⎰的结果为（ ）A. 0B. 1C.23D.53【答案】C 【解析】 【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】122312300112(2)()|11333x x dx x x -=-=-⨯=⎰， 故选C.【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.5.用数学归纳法证明不等式111131224n n n n +++>+++的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式左边的变化情况为（ ） A. 增加()121k +B. 增加 ()112121k k +++ C. 增加()112121k k +++，减少11k + D. 增加12(1)k +，减少11k +【答案】C 【解析】 【分析】 首先观察不等式111131224n n n n +++>+++左边的各项，它们以11n +开始，到12n 结束，共n 项，当由n k =到1n k =+时，项数也由k 项变到1k +项，前边少了一项，后面多了两项，分析四个选项，即可得出结果. 【详解】当n k =时，左边11112k k k k=++++++， 当1n k =+时，左边111(1)1(1)2(1)(1)k k k k =++++++++++，111111()1212122k k k k k k k =+++-++++++++， 故选C.【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，涉及到的知识点有应用数学归纳法证明问题时，将n k =向1n k =+推导过程中，式子的变化情况，属于易错题目.6.若i 是虚数单位，复数z 满足()11i z -=，则23z -=（ ） 3 567【答案】B 【解析】试题分析：由已知，1112i z i +==-，()222313215z i -=+-=-+=.故选B.考点： 1、复数的运算；2、复数的摸的求法.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D 【解析】 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案 【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了 故选：D ．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．8.设函数()f x 在R 上可导，导函数为(),(1)()f x y x f x ''=-图像如图所示，则 ( )A. ()f x 有极大值(2)f ，极小值(1)fB. ()f x 有极大值(2)f -，极小值(1)fC. ()f x 有极大值(2)f ，极小值(2)f -D. ()f x 有极大值(2)f -，极小值(2)f【答案】C 【解析】 【分析】通过图象判断导函数的正负情况对应的x 的范围，利用导数符号与单调性的关系及函数极值的定义可得结论.【详解】当1x <时，10x -<，当1x >时，10x ->， 由图可知：当2x <-时，0,10y x >-<，'()0f x <，函数()f x 是减函数， 当21x -<<时，0,10y x <-<，'()0f x >，函数()f x 是增函数， 当12x <<时，0,10y x >->，'()0f x >，函数()f x 是增函数， 当2x >时，0,10y x <->，'()0f x <，函数()f x 是减函数， 并且有当2x =或2-时，有'()0f x =，所以2-是函数()f x 的极小值点，2是函数()f x 的极大值点， 所以()f x 有极大值(2)f ，极小值(2)f -，故选C. 【点睛】该题考查的是有关根据图象判断函数的极大值与极小值的问题，涉及到的知识点有函数的极值与导数的关系，属于简单题目.9.若1()nx x+展开式中只有第6项的系数最大，则常数项是（） A. 第5项 B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】 【分析】由条件求得10n =，在其展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求得r 的值，可得常数项，求得结果.【详解】若1()nx x+展开式中只有第6项的系数最大，则10n =，它的展开式的通项公式为：102110r rr T C x -+=，令1020r -=，解得=5r ， 所以常数项是第6项， 故选B.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项展开式中二项式系数最大项，二项展开式的通项，属于简单题目.10.从6人中选派4人承担甲，乙，丙三项工作，每项工作至少有一人承担，则不同的选派方法的个数为（ ） A. 1080 B. 540 C. 180 D. 90【答案】B 【解析】 【分析】先从6人中选派4人，再将选取的4人分成三组，分别从事甲、乙、丙三项工作，进而可得不同的选派方法的种数.【详解】先从6人中选派4人，共有46C 种方法，再将选取的4个人分成三组共有11221422C C C A ⨯⨯种方法， 再将三组分配从事甲、乙、丙三项工作共有33A 种方法，所以不同的选派方法共有11423216435402C C C C A ⨯⨯⨯⨯=种，故选B.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，对应的解题思路是先选后排，属于中档题目.11.若不等式22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],4-∞B. [)4,+∞ C. (),4-∞-D.()4,-+∞【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件推导出32ln a x x x ≤++，令32ln y x x x=++利用导数性质求出1x =时，y 取得最小值4，由此能求出实数a 的取值范围.【详解】因为22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞恒成立， 所以32ln a x x x≤++，0x >， 令32ln y x x x=++， 则22222323(3)(1)'1x x x x y x x x x +-+-=+-==， 所以当(0,1)x ∈时，'0y <，函数单调减， 当(1,)x ∈+∞时，'0y >，函数单调增， 所以当1x =时，min 1034y =++=， 所以实数a 的取值范围是(],4-∞， 故选A.【点睛】该题考查的是有关不等式恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有恒成立问题向最值靠拢，利用导数研究函数的最值，属于简单题目.12.设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A. (,1)(0,1)-∞- B. (1,0)(1,)-⋃+∞C. (,1)(1,0)-∞-⋃-D. (0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】 构造新函数()()f x g x x=,()()()()2'f x xf x f x g x xx-=='，当0x >时()'0g x <.所以在()0,+∞上()()f x g x x=单减，又()10f =，即()10g =.所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为偶函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()()1,00,1⋃.故选B.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x +'，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e =，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2xg x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e=，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()()21f x x x=-在[]0,1上极值为________________。
2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案
一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1．复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列求导运算正确的是 ( )A ．2(1)12x x '-=-B ．(cos30)sin 30'=-C ．2(cos )2sin x x x x '=-D ．1(ln )1x x x'+=+3. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( ) A.10种 B.52种 C. 25种 D. 42种4．已知函数()y f x =的图象在点()()1,1f --处的切线方程是30x y +-=，则()()11f f -+'-的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．用数学归纳法证明不等式111131214n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ）A ．增加了一项()121k + B ．增加了两项121k +，()121k +C ．增加了一项()121k +，但又减少了另一项11k +D ．增加了两项121k +，()121k +，但又减少了另一项11k +6．某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为（ ） A ．72B ．36C ．24D ．127．已知函数32()f x ax bx cx d =+++，若函数()f x 的图象如图所示，则一定有（ ）A ．0,0b c <>B ．0,0b c >>C ．0,0b c <<D ．0,0b c ><8．某学习小组中男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为() A ．男2人，女6人 B ．男3人，女5人 C ．男5人，女3人D ．男6人，女2人9．已知直线(0)x t t =>分别与函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象交于,M N 两点，则当MN 长度达到最小时，t 的值为( ) A ．1B. 2C.123510．已知可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 的大小关系为（ ）A ．()(0)a f a e f >B ．()(0)a f a e f <C ．()(0)a f a e f =D ．()(0)a f a e f ≤ 二、填空题（共7个小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11．复数2(34)z i =+的虚部为，z 的共轭复数z =．12．函数1ln ()xf x x+=的增区间是_____________ ， 曲线()f x 在点(1,1)处的切线方程是_________.13．用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字, 可以组成_______个无重复数字的三位数,也可以组成_______个能被5整除且无重复数字的五位数. 14．已知函数1()sin ,[0,],2f x x x x π=-∈则()f x 的最小值为________，最大值为_______.15．已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-处极值为0，则()_____.f x = 16．市内某公共汽车站有5个候车位（成一排），现有甲，乙，丙 3名同学随机坐在某个座位上候车，则2位同学相邻，但3位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为________.(用数字作答)17．已知不等式3ln 1ln x x m x n -++（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为____________.三、解答题（共5个小题，共74分）18．（14分）已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.19．（15分）已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品．（1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？（2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？20．（15分）已知数列{}n a 满足112n na a +=-，10a =. （1）计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.21．（15分）定义在R 上的函数31()33f x x ax =++.（1）若()f x 在0x =处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()f x 的解析式； （2）设()4ln ()g x b x f x '=-，讨论()g x 的单调性.22．（15分）已知函数()ln(1)f x x ax =+-在12x =-处的切线的斜率为1． （1）求()f x 的最大值； （2）证明：1111ln(1)()23n n N n*++++>+∈； （3）设()()xg x b e x =-，若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围．参考答案一、选择题1.C ；2.D ；3.D ；4.C ；5.D ；6.B ；7.A ；8.B ；9.C ； 10.A. 二、填空题11.24,724i --； 12.(0,1],1y =； 13.100,216； 14.62ππ； 15.32()694f x x x x =+++； 16.36； 17.ln 2-. 三、解答题 18.解：（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++， ...................4分∴z = ...................7分（2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+， ...................10分∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． ...................14分19.解：（1）．若在第五次检测出最后一件次品，则前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品.则不同的检测方法共有232435720C A A =种. ...................6分（2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有336A =种， ...................8分检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有13253390C A A =种； ...................11分检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不同的测试方法共有52353245840C A A A +=种．所以共有936种测试方法. ...................15分 20.解：（1）由112n na a +=-和10a =，得 211202a ==-，3121322a ==-，4132423a ==-，5143524a ==-. ...................6分 （2）由以上结果猜测：1n n a n -=...................8分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时 ，左边10a ==，右边1101-==，等式成立.（Ⅱ）假设当(1)n k k =≥时,命题成立，即1k k a k -=成立.那么，当1n k =+时，111(1)112112k k k k a k a k k k++-====--++-这就是说，当1n k =+时等式成立.由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测1n n a n-=对于任意正整数n 都成立 (15)分21.解：（1）由题意得(0)1f '=-，解得1a =-，31()33f x x x ∴=-+....................6分（2）2()4ln 1g x b x x =-+，242(2)()2b x b g x x x x--'=-= ...................8分①若0b ≤，()0g x '≤恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递减. ...................11分 ②若0b >，即由()0g x '>解得0x <<∴()g x 在上单调递增；()g x 在)+∞上单调递减；∴0b ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递减；0b >时，()g x 在上单调递增，在)+∞上单调递减....................15分22.解：（1）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．求导数，得1()1f x a x'=-+． 由已知，∵函数()f x 在12x =- 处的切线的斜率为1 ∴1()12f '-=，∴1a =． ...................2分此时()ln(1),()1xf x x x f x x'=+-=-+， 当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<． ∴当0x =时，()f x 取得极大值，该极大值即为最大值， ∴max ()(0)0f x f ==． ...................4分（2）证明：由（Ⅰ），得ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时，等号成立． 令1x k=，则111ln(1)ln ln(1)ln k k k k k k+>+==+-. ..................6分 111++(ln 2ln1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]ln(1)2n n n n∴+>-+-+++-=+． (9)分（3）解：(0)0,(0)f g b ==，若()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥． ...................11分由（1），知max ()(0)0f x f ==．①当0b =时，()0g x =，此时()()f x g x ≤恒成立； ...................12分 ②当0b >时，()(1)x g x b e '=-，当(1,0)x ∈-时，()0,()g x g x '<单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增． ∴()g x 在0x =处取得极小值，即为最小值， ∴min ()(0)0()g x g b f x ==>≥，即()()f x g x ≤恒成立．综合（1）（2）可知，实数b 的取值范围为[0，+∞）． ...................15分。
2021年高二下学期期中数学试卷(理科) 含解析
【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，
故选A．
4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
A．k2+1B．（k+1）2
C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
7．由曲线y=x2﹣2x与直A．B．C．D．
8．复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）
A．6n﹣2B．8n﹣2C．6n+2D．8n+2
2021年高二下学期期中数学试卷（理科） 含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.
13．若实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y=．
14．设，则=．
15．已知数列{an}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=an2+1（n=1，2…），试归纳成数列{an}的一个通项公式为．
2021年数学高二下期中测试卷(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13582]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为40√3m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15B ．16C ．17D ．182．(0分)[ID ：13577]设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x=的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ） A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真3．(0分)[ID ：13576]若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．124．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．610B ．610+ C ．510- D ．5105．(0分)[ID ：13556]已知2sin()4πα+=sin 2α=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ． 6．(0分)[ID ：13550]函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0>ω， 2πϕ<）的一部分图象如图所示，将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）A ．()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7．(0分)[ID ：13622]函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位8．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） A 32B 315C ．32D ．3159．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43D ．3210．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．011．(0分)[ID ：13590]在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2B ．2-C ．12D ．12-12．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89 C ．79D ．79-13．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．514．(0分)[ID ：13542]以下命题①||||a b -||a b =+是,a b 共线的充要条件；②若{,,}a b c 是空间的一组基底，则{,,}a b b c c a +++是空间的另一组基底； ③|()|||||||a b c a b c ⋅=⋅⋅． 其中正确的命题有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个15．(0分)[ID ：13537]已知()3,4a =，()2,1b =-且()()a xb a b +⊥-，则x 等于 （ ） A ．23B ．232C ．233D ．234二、填空题16．(0分)[ID ：13725]如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．17．(0分)[ID ：13718]如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，23OC =(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则(x ,y )=___________.18．(0分)[ID ：13707]已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP x AB y AC =+，x 、y ∈R ，则2y x +的取值范围是______.19．(0分)[ID ：13699]向量||8a =，b 12=，则b a +的最大值和最小值的和是________.20．(0分)[ID ：13681]在ABC ∆中，M 是BC 的中点，120A ∠=︒，12AB AC ⋅=-，则线段AM 长的最小值为___________21．(0分)[ID ：13669]已知(3,1)OA =-,(0,5)OB =，且//,AC OB BC AB ⊥，则点C 的坐标为_________．22．(0分)[ID ：13668]若对n 个向量12,,,n a a a 存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k ，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12,,,n a a a 为“线性相关”，以此规定，能说明123(1,0),(1,1),(2,2)a a a ==-=线性相关”的实数123,,k k k 依次可取的一组值是____________（只要写出一组答案即可） 23．(0分)[ID ：13665]已知5cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 24．(0分)[ID ：13658]ABC ∆的三个顶点坐标分别为()1,2A -，()3,1B -，()5,3C -，D 是BC 上一点，若14ABD ABC S S ∆∆=，则D 的坐标为________. 25．(0分)[ID ：13640]已知12(1,1),(2,3)P P =-=，若P 在12PP 的长线上，且1222PP P P =，则点P 的坐标为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13799]在平面直角坐标系内，已知点()()()2,4,4,1,1,5A B C --. （1）求线段AB 的中垂线方程：（最后的结果写成0ax by c 的形式）（2）若点D 在直线AB 上，且34ACD ABC S S =△△，求直线CD 的方程.（最后的结果写成0ax by c 的形式）27．(0分)[ID ：13797]已知向量OA ，OB 的夹角是α，1OA =，2OB =.又有向量()1OP t OA =-，向量OQ tOB =，其中01t ≤≤.（1）求PQ （用含有t ，α的表达式）（2）若PQ 在t t =0处取得最小值，当0105t <<，求角α的范围. 28．(0分)[ID ：13770]已知函数()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程； （2）讨论函数()f x 在44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性．29．(0分)[ID ：13768]已知2,1a b ==，且a 与b 的夹角为3π （1）求32a b +；（2）若()()32a b ka b +⊥-，求实数k 的值.30．(0分)[ID ：13786]已知1,2a b ==，a 与b 的夹角为120°，当k 为何值时. （1）ka b +与a b -垂直；（2）2ka b -取得最小值？并求出最小值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．A 7．B 8．A9．C10．B11．D12．C13．B14．B15．C二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际17．(42)【解析】【分析】以OC为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别19．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键20．【解析】【分析】由平方得：再由可得进而利用基本不等式可得最小值【详解】由平方得：又所以所以当且仅当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算考查了利用基本不等式求最小值属21．【解析】【分析】设则由利用向量共线定理向量垂直与数量积的关系即可得出【详解】解：设则解得则点的坐标：故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理向量垂直与数量积的关系考查了推理能力与计算能力属于中档题22．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公24．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐25．【解析】【分析】首先利用线段的比值求出λ进一步利用分点坐标公式即可求出结果【详解】由题意因为点P在的延长线上且所以可得又由设可得所以点的坐标为故答案为：【点睛】本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.详解：因为圆心角为2π3，弦长为40√3m，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40√3×20+20×20)=400√3+200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402−12×20×40√3=1600π3−400√3，因此两者之差为1600π3−400√3−(400√3+200)≈16，选B.点睛：扇形面积公式12lr =12αr 2，扇形中弦长公式2rsin α2，扇形弧长公式l =αr.2．C解析：C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.3．A解析：A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4．A解析：A 【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==，而()6sin2cos 2sin cos cos 210101010απαααα+-=-=⨯-=. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.5．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.6．A解析：A 【解析】由图象可知A=1，周期T π=，所以2ω=，又过点(,0)6π-，所以3πϕ=，即()sin(2)3f x x π=+，每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到()sin()3f x x π=+，故选A.7．B解析：B 【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ． 考点：三角函数图象. 8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ． 9．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆ ∴23ωπππ+≤，403ω∴<≤， 综上可知403ω<≤. 故选C 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.10．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅11．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=，所以12λμ+=-. 本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.13．B解析：B 【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.14．B解析：B 【解析】①||||||a b a b -=+共线，反之不成立，即可判断出结论； ②利用基底的定义即可判断出真假；③|()||||||||cos ,|a b c a b c a b =<>，即可判断出真假． 【详解】①||||||a b a b a -=+⇒，b 共线，反之不成立，||||||a b a b -=+是a ，b 共线的充分不必要条件，因此不正确；②若{a ，b ，}c 是空间的一组基底，假设,,a b b c c a +++共面， 则存在唯一一组实数,x y ，使=()()a b x b c y c a ++++成立， 即()a b xb x y c ya +=+++， 所以1,1,0x y x y ==+=，显然无解， 假设不成立，即,,a b b c c a +++不共面，则{a b +，b c +，}c a +是空间的另一组基底，正确； ③|()|||||||cos ,a b c a b c a b =<>，而cos ,a b <>不一定等于1， 因此不正确．其中正确的命题有一个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了向量共线、共面定理、数量积运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．C解析：C 【解析】()()()()3,4,2,1,32,4,1,5a b a xb x x a b ==-∴+=+--=，又()()()(),0a xb a b a xb a b +⊥-∴+⋅-=，即322050x x ++-=，解得233x =，故选C.二、填空题16．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析：14【解析】 【分析】在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值． 【详解】在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=， 由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=， 所以207BC =海里, 由正弦定理可得21sin sin 7AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=， 因为120BAC ∠=，可知ACB ∠为锐角，所以27cos 7ACB ∠=， 所以21cos cos(30)cos cos30sin sin 3014ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=． 【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．17．(42)【解析】【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO解析：(4,2) 【解析】 【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形，由题中角度关系可得出||4||4,||2||2ON OA OM OB ====；然后由向量加法的平行四边形法则得出OC ON OM xOA yOB =+=+，则可得出4,2x y ==，进而得出答案()(),4,2x y =.【详解】如图所示，以OC 为对角线作平行四边形，则有MON 120∠︒=，MOC 90∠︒=，MCO NOC 30∠∠︒==，所以在Rt △MOC 中，由||23OC =OM OC tan 302︒==， ON MC 2OM 4===；由向量加法的平行四边形法则可得OC ON OM =+，又因OC xOA yOB =+，得出ON xOA =，OM yOB =，0,0x y >>，则有||||ON x OA =，||||OM y OB =，则由以上等式可解的4,2x y ==，所以()(),4,2x y =.故答案为：()4,2. 【点睛】本题考查了向量平行四边加法法则的应用，考查了特殊直角三角形边长的求解，属于一般难度的题.18．【解析】【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案可讨论当点在上时特别地当点与点重合时有；当点与点重合时有；又利用点在三角形内部可得答案【详解】三角形内一点且向量当点在上时特别 解析：()0,2【解析】 【分析】本题可以利用极限的思想以及由特殊到一般的逻辑推理得到答案，可讨论当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =；当点P 与点C 重合时有0x =，1y =；又利用点P 在三角形内部可得答案． 【详解】三角形ABC 内一点，且向量AP xAB y AC =+， 当P 点在BC 上时，1x y +=，特别地，当点P 与点B 重合时有1x =，0y =； 当点P 与点C 重合时有0x =，1y =． 但是因为P 在三角形ABC 内，01x y ∴<+<，01x <<，01y <<, 02x x y ∴<++<,即2y x +的取值范围是(0,2). 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查向量的加法运算以及三角形法则，平面向量基本定理的应用，有限与无限的数学思想，考查向量与不等式等知识的综合处理能力．19．24【解析】【分析】计算得到取得到最大最小值得到答案【详解】当时有最大值为；当时有最大值为；故答案为：【点睛】本题考查了向量模的最值计算是解题的关键解析：24 【解析】 【分析】计算得到2||208192cos a b θ+=+，取cos 1θ=，cos 1θ=-得到最大最小值得到答案. 【详解】222||2208192cos a b a b a b θ+=++⋅=+当cos 1θ=时，||a b +有最大值为20；当cos 1θ=-时，||a b +有最大值为4； 故答案为：24 【点睛】本题考查了向量模的最值，计算2||208192cos a b θ+=+是解题的关键.20．【解析】【分析】由平方得：再由可得进而利用基本不等式可得最小值【详解】由平方得：又所以所以当且仅当时取最小值故答案为：【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算考查了利用基本不等式求最小值属解析：12【解析】 【分析】由1()2AM AB AC =+平方得：2221(1)4AM AB AC =+-，再由AB AC ⋅可得||||1AB AC ⋅=，进而利用基本不等式可得最小值.【详解】 由1()2AM AB AC =+平方得：2222211(2)(1)44AB A AM AB AC AB AC C =++=+-⋅. 又11||||cos120||||22AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=-⋅=-，所以||||1AB AC ⋅=.所以222221111(2)(1)(2||||1)4444AB AC AM AB AC AB AC AB AC ⋅=++=+-≥⋅-=. 当且仅当||||1AB AC ==时，AM 取最小值12.故答案为：12. 【点睛】本题主要考查了中线的向量表示及数量积的运算，考查了利用基本不等式求最小值，属于中档题.21．【解析】【分析】设则由利用向量共线定理向量垂直与数量积的关系即可得出【详解】解：设则解得则点的坐标：故答案为：【点睛】本题考查了向量共线定理向量垂直与数量积的关系考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：29(3,)4- 【解析】 【分析】设(,)C x y ，则(3,1)AC x y =+-，(,5)BC x y =-，(3,4)AB =，由//AC OB ，BC AB ⊥，利用向量共线定理、向量垂直与数量积的关系即可得出．【详解】解：设(,)C x y ，则(3,1)AC x y =+-，(,5)BC x y =-，(3,4)AB =，//AC OB ，BC AB ⊥，5(3)0x ∴+=，34(5)0BC AB x y =+-=，解得3x =-，294y =． 则点C 的坐标：29(3,)4-． 故答案为：29(3,)4-． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．【解析】【分析】利用题中的定义设出方程利用向量的坐标运算得到方程组给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解【详解】设k1+k2+k3则依次可取的一组值是故答案为【点睛】本题考查理解题中给的新定义向量的 解析：4,2,1--【解析】 【分析】利用题中的定义设出方程，利用向量的坐标运算得到方程组，给其中一个未知数赋值求出方程组的一个解． 【详解】设k 11a +k 22a +k 330a =，则123232020k k k k k ++=⎧⎨-+=⎩123,,k k k 依次可取的一组值是4,2,1--故答案为4,2,1-- 【点睛】本题考查理解题中给的新定义、向量的坐标运算、平面向量的基本定理．23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公解析：13【解析】 【分析】本题首先可根据cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．【详解】因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 45πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题．24．【解析】【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比可得再得到设出的坐标代入可解得【详解】因为又因为所以所以所以所以设所以所以所以且解得且所以的坐标为故答案为:【点睛】本题考查了向量共线的坐 解析：()1,0【解析】 【分析】根据等高的两个三角形的面积之比等于底边长之比,可得||1||3BD DC =,再得到13BD DC =,设出D 的坐标,代入13BD DC =可解得. 【详解】因为||||ABD ABCS BD SBC =,又因为14ABD ABC S S ∆∆=,所以14ABD ABCS S =, 所以||1||4BD BC =,所以||1||3BD DC =, 所以13BD DC =, 设(,)D a b ,所以(3,1)BD a b =-+,(5,3)DC a b =---, 所以1(3,1)(5,3)3a b a b -+=---, 所以13(5)3a a -=--且11(3)3b b +=-, 解得1a =,且0b =, 所以D 的坐标为(1,0). 故答案为:(1,0). 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示,平面向量基本定理,属于基础题.25．【解析】【分析】首先利用线段的比值求出λ进一步利用分点坐标公式即可求出结果【详解】由题意因为点P 在的延长线上且所以可得又由设可得所以点的坐标为故答案为：【点睛】本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用解析：7,42⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】首先利用线段的比值求出λ，进一步利用分点坐标公式，即可求出结果． 【详解】由题意，因为点P 在12PP 的延长线上，且122||2||PP P P =， 所以213PP PP =-，可得3λ=-， 又由121123P P =-=（，）、（，）， 设P x y （，），可得121(3)271132x x x λλ+-+-⨯===+-，121(3)34113y y y λλ++-⨯===+-所以点P 的坐标为7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了定比分点的坐标公式的应用，以及向量的共线条件的应用，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．．三、解答题26．（1）4210x y +-= （2）136430x y -+=或6310x y -+=【解析】【分析】（1）求出AB 的中点和斜率后可求AB 的中垂线方程.（2）利用34AD AB =求出D 的坐标后可求直线CD 的方程. 【详解】（1）AB 的中点为51,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，斜率为411242-=+，故AB 中垂线的斜率为2- 所以中垂线的方程为()5212y x -=-+即4210x y +-=. （2）因为34ACD ABC S S =△△，所以34AD AB =. 若34AD AB =，则()()32,46,34D D x y --=，故132254D D x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故2551413612CD k -==+，故直线()1:516CD y x -=+即6310x y -+=. 若34AD AB =-，则()()32,46,34D D x y --=-，故5274D D x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故751345612CD k -==-+，故直线()13:516CD y x -=+即136430x y -+=.故直线CD 的方程为：136430x y -+=或6310x y -+=.【点睛】本题考查直线方程的求法，一般地，直线有斜率（或倾斜角）、所过之点、截距等，我们只要两个几何要素就可以求直线方程，本题属于基础题.27．（1）(5PQ =[]0,1t ∈，[]0,απ∈（2）2,23ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先求得PQ ，然后求模（利用模的性质计算）（2）求出PQ ，由二次函数性质知012cos 54cos t αα+=+．根据0105t <<可求得α的范围． 【详解】（1）由题意2cos OA OB α⋅=，(1)PQ OQ O P OA B O t t =-=--，∴22222((1))2(1)(1)PQ tOB t OA t OB t t OA OB t OA =--=--⋅+- (54cos =+∴(5PQ =[]0,1t ∈，[]0,απ∈．（2）因为[0,1]t ∈，而PQ 在0t （0105t <<）处取得最小值， ∴012cos 54cos t αα+=+，所以12cos 1054cos 5αα+<<+，解得1cos 02α-<<， 又[]0,απ∈，∴2(,)23ππα∈．【点睛】 本题考查平面向量的模，考查模与数量积的关系．掌握数量积的性质是解题基础．本题同时了二次函数的性质与余弦函数的性质．属于中档题． 28．（1）最小正周期π，对称轴方程为62k x ππ=+，k Z ∈；（2）()f x 在区间46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增；在区间64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 【解析】分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解．详解：（1）()22cos cos 213f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭1cos2cos2sin 226x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， 因为2ω=，所以最小正周期2T ππω==， 令2=62x k πππ++，所以对称轴方程为62k x ππ=+，k Z ∈． （2）令222262k x k πππππ-+≤+≤+，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 设44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，，36B x k x k k Z ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，， 易知46A B ππ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦，， 所以，当44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()f x 在区间46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调递增；在区间64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减． 【名师点睛】本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查学生的转化能力和基本计算能力．29．（1 （2）514 【解析】【分析】（1）根据向量的模的计算公式2a a =即可求出； （2）由()()32a b ka b +⊥-可得，()()320a b ka b +⋅-=，由此计算即可求出k 的值．【详解】（1）()2223232912494a b a b a a b b +=+=+⋅+=⨯（2）因为()()32a b ka b +⊥-，所以()()320a b ka b +⋅-=，即()2232320ka k a b b +-⋅-=，亦即122320k k +--=，解得514k =． 【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用以及利用向量数量积解决垂直问题． 30．（1）52； （2）2k =-时，min 223ka b -=【解析】 【分析】 （1）根据条件先求出1a b ⋅=-，再ka b +与a b -垂直时，进行数量积的运算即可求出k ；（2）先得出22(2)416ka b k k -=++，配方即可求出2416k k ++的取最时k 值，进而得出|2|ka b -的最小值．【详解】（1）1,2a b ==，a 与b 的夹角为120°，∴1a b ⋅=-，∵ka b +与a b -垂直，∴22()()(1)(1)40ka b a b ka k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=，∴52k =. （2）222(2)416(2)12ka b k k k -=++=++，∴2k =-时，|2|ka b -取得最小值【点睛】本题考查向量数量积的运算、模的计算、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想和运算求解能力，属于基础题．。
2021年高二下学期期初数学试题
2021年高二下学期期初数学试题一、填空题1．（3分）过平面α的一条平行线可作一个个平面与平面α垂直．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：常规题型；规律型．分析：在已知直线上取一点作出平面的垂线，即可得到平面的垂面．解答：解：因为直线与已知平面垂直，所以在一个已知直线上取一点作出平面的垂线，因为两条相交直线只能确定一个平面，所以与已知平面垂直的平面有且只有一个．故答案为：一个．点评：本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直关系的应用，基本知识的考查．2．（3分）已知样本数据x1，x2，…x n的方差为4，则数据2x1+3，2x2+3，…2x n+3的标准差是4．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：首先设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2+3，然后利用方差的公式计算得出答案，求出标准差即可．解答：解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2 +3，则其方差为[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=4，则新数据的方差为：[（2x1+3﹣2 ﹣3）2+（2x2+3﹣2 ﹣3）2+…+（2x n+3﹣2 ﹣3）2]=4×[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]=16．故数据2x1+3，2x2+3，…2x n+3的标准差是：4．故答案为：4．点评：本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．3．（3分）已知单位向量，的夹角为，那么||=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：先将所求向量的模平方，转化为向量数量积运算，再利用已知两向量的模和夹角，利用数量积运算性质计算即可，最后别忘了开平方解答：解：∵单位向量，的夹角为，∴||2=﹣4+4=1﹣4×1×1×cos+4=1﹣2+4=3∴||=故答案为点评：本题主要考查了单位向量、向量夹角的概念，向量数量积运算及其性质的应用，求向量的模的一般方法4．（3分）在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），该长方体的长、宽、高分别为4、、，则这个球的表面积为36π．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积．解答：解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r==6，所以这个球的表面积：4πr2=36π．故答案为：36π点评：本题是基础题，考查长方体的外接球的应用，球的表面积的求法，考查计算能力．5．（3分）（2011•广东模拟）已知函数f（x）=+（a∈N*），对定义域内任意x1，x2，满足|f （x1）﹣f（x2）|＜1，则正整数a的取值个数是5．考点：函数恒成立问题．专题：综合题．分析：对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）﹣f（x2）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可．解答：解：∵a﹣x≥0，x≥0，∴0≤x≤a，∴定义域为[0，a]对定义域内任意x1，x2，满足|f（x1）﹣f（x2）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可∵f（x）=+≥0∴[f（x）]2=a+2≥a，当x=0或a时，f（x）取最小值又x（a﹣x）≤[]2=，当x=a﹣x即x=时取等号即[f（x）]2≤a+a=2a，f（x）≤，当x=时取最大值∴（﹣1）＜1∴＜=1+∴a＜3+2∵a∈N*，∴a=1、2、3、4、5∴正整数a的取值个数是5个．故答案为：5点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是转化为值域区间的长度小于1．6．（3分）一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为5．考点：频率分布表．专题：概率与统计．分析：由样本容量是20，某组的频率为0.25，由此直接计算能求出该组的频数．解答：解：由题设知该组的频数：20×0.25=5．故答案为：5．点评：本题考查频数的性质和应用，解题时要注意样本容量、频数和频率之间相互关系的灵活运用．7．（3分）已知实数x，y满足条件，z=x+yi（i为虚数单位），则|z﹣1+2i|的最小值是．考点：简单线性规划的应用；复数求模．专题：计算题；数形结合．分析：先作出不等式组对应的区域，再利用复数的几何意义将|z﹣1+2i|的最小值转化成定点与区域中的点的距离的最小的问题求解即可．解答：解：如图，作出对应的区域，由于z=x+yi（i为虚数单位），所以|z﹣1+2i|表示点（x，y）与（1，﹣2）两点之间的距离，如图知点（x，y）是（1，﹣2）在直线y=﹣x上的垂足时，|z﹣1+2i|值最小为d==．故答案为：．点评：本题考查一定点与区域中的一动点距离最值的问题，一般是先作图，再由图作判断、考查数形结合思想，计算能力．8．（3分）（xx•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想9．（3分）已知点A（﹣2，﹣3）、B（3，2），若直线l：y=kx+1与线段AB有公共点，则斜率k的取值范围是．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：意直线l：y=kx+1过定点（0，1），作出图象，求出边界直线的斜率，且直线由m 开始，逆时针旋转时斜率增大，进而可得要求的范围．解答：解：由题意可得直线l：y=kx+1过定点（0，1），如图当直线介于m，n之间时，满足题意，k m==2，k n==，且直线由m开始，逆时针旋转时斜率增大，故斜率的取值范围为：故答案为：点评：本题考查直线的斜率，数形结合是解决问题的关键，属基础题．10．（3分）如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为60°的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA=5，则球的表面积为300π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：连接OA，由AP与AD为圆O的切线，根据切线性质得到∠OPA与∠ODA都为直角，由∠BAC=60°，根据平角定义得到∠PAD为120°，再根据切线长定理得到∠OAP等于∠PAD的一半，得出∠OAP=60°，在直角三角形OAP中，根据锐角三角函数定义得出OP=APtan60°，进而求出OP的长，即为半径R，代入球的表面积公式即可求出．解答：解：连接OA，∵AB与AD都为圆O的切线，∴∠OPA=90°，∠ODA=90°，∵∠BAC=60°，∴∠PAD=120°，∵PA、AD都是⊙O的切线，∴∠OAP=∠PAD=60°，在Rt△OPA中，PA=1cm，tan60°=，则OP=APtan60°=5cm，即⊙O的半径R为5cm．则球的表面积S=4πR2=4π•（5）2=300π．故答案为：300π．点评：本题考查了球的体积和表面积，圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．11．（3分）若函数，则f（f（0））=3π2﹣4．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据分段函数的解析式，把x=0代入求得f（0）的值，再把f（0）当成x继续代入f （x）的解析式，从而求解；解答：解：∵函数，∴f（0）=π，∴f（f（0））=f（π）=3×π2﹣4=3π2﹣4，故答案为3π2﹣4．点评：此题考查分段函数的解析式的性质，不同的定义域对应不同的函数解析式，是一道比较基础的题．12．（3分）四个函数y=x﹣1，，y=x2，y=x3，y=lnx，中，在区间（0，+∞）上为减函数的是y=x﹣1，．．考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质逐项判断即可找出符合条件的答案．解答：解：对幂函数y=x a，当a＜0时在（0，+∞）上为减函数，a＞0时在（0，+∞）上为增函数所以y=x﹣1在（0，+∞）上为减函数，，y=x2，y=x3在（0，+∞）上为增函数；对指数函数y=a x（a＞0，且a≠1），当a＞1时在R上为增函数，当0＜a＜1时在R 上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数，对对数函数y=log a x（a＞0，且a≠1），当a＞1时在（0，+∞）上为增函数，当0＜a ＜1时在（0，+∞）上为减函数，所以y=lnx（0，+∞）上为增函数，故答案为：y=x﹣1，．点本题考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性，属基础题．评：13．（3分）函数y=2的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先把函数y=分解为y=2t与t=x2+4x+1，因为y=2t单调递增，所以要求函数y=的单调递减区间只需求函数t=x2+4x+1的单调减区间即可．解答：解：令t=x2+4x+1，则函数y=可看作由y=2t与t=x2+4x+1复合而成的．由t=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，得函数t=x2+4x+1的单调减区间是（﹣∞，﹣2），又y=2t单调递增，所以函数y=的单调递减区间是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．点评：本题考查指数函数的单调性、二次函数的单调性以及复合函数单调性的判定方法，该类问题一要考虑函数定义域，二要遵循“同增异减”的规律．二、解答题14．（10分）如图在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，（1）求证：BC⊥平面PAC（2）当D为PB中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；（3）是否存在点E，使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角，并说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．专题：证明题．分析：（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC 内两相交直线垂直，而PA⊥BC，BC⊥AC，满足定理所需条件；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角，利用向量的夹角的公式求出此角即可；（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A﹣DE﹣P为直二面角时，PE⊥AE，利用垂直，向量的数量积为零建立等式关系，解之即可．解答：解：（1）⇒BC⊥平面PAC（2）建立空间直角坐标系如图，各点坐标分别为：P（0，0，1），B（0，1，0），C∴，由DE⊥平面PAC可知，∠DAE即是所求的二面角的平面角．∴，故所求二面角的余弦值为（3）设D点的y轴坐标为a，DE⊥AE，DE⊥PE，当A﹣DE﹣P为直二面角时，PE⊥AE∴，所以符合题意的E存在．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角的度量，直二面角的运用，同时考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题．15．（10分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+2n．（Ⅰ）设b n=．证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：计算题；证明题．分析：（1）由a n+1=2a n+2n构造可得即数列{b n}为等差数列（2）由（1）可求=n，从而可得a n=n•2n﹣1利用错位相减求数列{a n}的和解答：解：由a n+1=2a n+2n．两边同除以2n得∴，即b n+1﹣b n=1∴{b n}以1为首项，1为公差的等差数列（2）由（1）得∴a n=n•2n﹣1S n=20+2×21+3×22+…+n•2n﹣12S n=21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n ∴﹣S n=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n=∴S n=（n﹣1）•2n+1点评：本题考查利用构造法构造特殊的等差等比数列及错位相减求数列的和，构造法求数列的通项及错位相减求数列的和是数列部分的重点及热点，要注意该方法的掌握．16．（10分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）（1）求MN的长；（2）a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据即可求出MN的长；（2）根据（1）将MN 关于a的函数进行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值时a的取值；（3）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，结合图形可二面角与之互补．解答：解（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形．∴MN=PQ由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1∴，===（2）由（1）===所以，当时，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为（3）取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为的中点∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α又，所以，由余弦定理有故所求二面角为：点评：本题主要考查了与二面角有关的立体几何综合题，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．17．（10分）在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB2．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：作PE⊥AB于E，先证明P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆，得到两对乘积式，后相加即可得到结论．解答：证明：作PE⊥AB于E∵AB为直径，∴∠ANB=∠AMB=90°∴P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．AE•AB=AP•AN（1）BE•AB=BP•BM（2）（1）+（2）得AB（AE+BE）=AP•AN+BP•BM即AP•AN+BP•BM=AB2点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段，特别是证明四点共圆的方法，属于基础题．18．（10分）化简或求值：（1）；（2）．考点：有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质．精品文档实用文档 专题：计算题． 分析：（1）由第一项得到a 的取值范围，然后根据开方与乘方的互逆性得到值即可；（2）根据对数的运算性质化简可得值． 解答： 解：（1）由题知a ﹣1＞0即a ＞1，所以=a ﹣1+|1﹣a|+1﹣a=a ﹣1；（2）=lg （5×102）+lg8﹣lg5﹣lg+50[lg （2×5）]2=lg5+2+lg8﹣lg5﹣lg8+50=52．点评： 此题为基础题，要求学生灵活运用有理数指数幂的运算性质及对数的运算性质．做第一问时注意a 的取值范围．19．（11分）大楼共有n 层，现每层指派一人，共n 个人集中到第k 层开会 试问如何确定k ，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析： 设相邻两层楼梯长为a ，则问题转化为下列和式S 的最小值的探求：S=S （k ）=a[1+2+3+⋅⋅⋅+（k ﹣1）]+a[1+2+⋅⋅⋅+（n ﹣k ）]，分类讨论，即可得到结论． 解答： 解：设相邻两层楼梯长为a ，则问题转化为下列和式S 的最小值的探求：S=S （k ）=a[1+2+3+⋅⋅⋅+（k ﹣1）]+a[1+2+⋅⋅⋅+（n ﹣k ）]=a[k 2﹣（n+1）k+（n 2+n ）]目标函数S （k ）为k 的二次函数，且a ＞0，故当n 为奇数时，取k=，S 最小；当n 为偶数时，取k=或 ，S 最小．点评：本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确建模是关键． 29519 734F 獏30858 788A 碊mJ21120 5280 劀29072 7190 熐 27648 6C00 氀39173 9905 餅 31667 7BB3 箳"@25500 639C 掜7。
2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数1(,2biz b R i i+=∈+是虚数单位）是纯虚数，则复数z 是( ) A ．35i B ．35i - C ．-i D ．i2.一质点做直线运动，由始点经过s t 后的距离为3216323s t t t =-+，则速度为0的时刻是（ ）A ．4s t =B ．8s t =C ．4s t =与8s t =D ．0s t =与4s t = 3. 函数32()23f x x x a =-+的极大值为6，那么a 的值是（ ） A ．5B ．0 C ．6 D ．14. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为 A ．1- B ．e C ．ln 2D ．15．由直线1,2x x ==，曲线2y x =及x 轴所围图形的面积为 （ ）A ．3B ．7C ．73D ． 136.设111()1,23n f n n =+++⋅⋅⋅+为正整数，经计算得,25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f 27)32(,3)16(>>f f ，观察上述结果，可推测出一般结论 ( )A 21(2)2n f n +> B.22()2n f n +≥ C.2(2)2n n f +> D.2(2)2nn f +≥ 7.用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是( ) A.12+kB.)12(2+kC.112++k k D.122++k k8．函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是（ ） A ．),1(e e B ． )1,0(e C ．)1,(e -∞D ． ),1(+∞e9. 设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是( )10.已知数列{}n a 满足10a =，13()31n n n a a n a +-=∈+*N ，则20a =（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．3211．已知函数,sin )(x x x f -=R x ∈，则)4(π-f 、)1(f 、)3(πf 的大小关系（ ）A ．)3(πf >)4(π-f >)1(f B ．)4(π-f >)1(f >)3(πf C ．)1(f >)3(πf >)4(π-f D ．)3(πf >)1(f >)4(π-f12. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为'()f x ，当(,0]x ∈-∞时，恒有'()()xf x f x <-，令()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x的取值范围是（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,1-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．若2i i a b +=，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则=+b a ___________． 14．221cos x dx xdx π--=⎰⎰__ __．15．对于函数2()(2)x f x x x e =- （1）(2,2)是()f x 的单调递减区间；（2）(2)f 是()f x 的极小值，2)f 是()f x 的极大值；（3）()f x 有最大值，没有最小值； （4）()f x 没有最大值，也没有最小值． 其中判断正确的是________________.16．函数()ln(1)f x x ax =+-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是.三、解答题（17题10分，18—22题每题12分） 17.已知复数()()262211mz i m i i=+----.当实数m 取什么值时，复数z 是： （1）虚数； （2）纯虚数；（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.18．已知函数3()395f x xx =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[2,2]-上的最大值和最小值. 19. 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.20. 数列{}n a 中，11a =，*12()2nn n a a n a +=∈+N . （Ⅰ）求234,,a a a 的值；（Ⅱ）归纳{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21. 把边长为a 的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,形容器(不计接缝)，设容器的高为x ，容积为()V x （Ⅰ）写出函数()V x （Ⅱ）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.22.已知函数()ln f x x x =. (Ⅰ）求()f x 的最小值；(Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5CCCDC 6-10DBBCB 11 B12A 二、填空题 13.1- 14.4π15. (2)(3) 16.1(,]3-∞三、解答题17.(1)1m ≠，2m ≠；(2)12m =-；(3)0m =或2m =.解析：()2223232z m m m m i =--+-+.（1）z 为虚数，则2320m m -+≠，则1m ≠，2m ≠.（2）z 为纯虚数，则222320{ 320m m m m --=-+≠，则12m =-.（3）()22232320m m m m --+-+=，则0m =或2m =. 18.(本小题共12分)解：(1)2'()99f x x =-.------------------------------------------------- 2分令2990x ->,------------------------------------------------4分解此不等式，得11x x <->或.因此，函数()f x 的单调增区间为(,1)(1,)-∞-+∞和.------------------6分(2)令2990x -=,得1x =或1x =-.----------------------------------------8分当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：-------------------------------------------10分从表中可以看出，当21x x =-=或时，函数()f x 取得最小值1-. 当12x x =-=或时，函数()f x 取得最大值11.-----------------------------12分 19.解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+++,故()21322a f x x x '=-+ 由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=,从而13022a -+=,解得1a =-(2)由(1)知()()13ln 1022f x x x x x =-+++>, ()222113321222x x f x x x x--'=--+= ()2(31)(1)2x x f x x+-'∴=令()0f x '=,解得1211,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去),当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =. 20. 解：（Ⅰ）计算得2342122,,3245a a a ====. （Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 21n a n =+. 当1n =时，12111a ==+，与已知相符，归纳出的公式成立. 假设当n k =（*k ∈N ）时，公式成立，即21k a k =+， 那么，12224212224(1)121k k k a k a a k k k +⨯+====++++++.所以，当1n k =+时公式也成立.综上，21n a n =+对于任何*n ∈N 都成立.21.解：（Ⅰ）因为容器的高为x ，则做成的正三棱柱形容器的底边长为()a -----1分.则2())V x a x =- . -------------------------3分函数的定义域为(0,)6a . ------------------------- 4分（Ⅱ）实际问题归结为求函数()V x 在区间)上的最大值点. 先求()V x 的极值点.在开区间)内，22'()64V x ax =-+--------------------6分令'()0V x =，即令2260ax -=，解得12,( x x ==舍去).因为1x =在区间)内，1x 可能是极值点. 当10x x <<时，'()0V x >；当1x x <<时，'()0V x <.---------------------8分因此1x 是极大值点，且在区间)内，1x 是唯一的极值点，所以1x x ==是()V x 的最大值点，并且最大值 31)54f a =即当正三棱柱形容器高为时，容器的容积最大为3154a .-----------------10分22.(Ⅰ）解：()f x 的定义域为0∞(，+)，()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>，解得1ex >；令()0f x '<，解得10ex <<.从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增.所以，当1ex =时，()f x 取得最小值1e-. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分(Ⅱ）依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[1)x ∈+∞，恒成立.令1()ln g x x x=+，则21111()1g x xx x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭. 当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，故()g x 是(1)+∞，上的增函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，从而a 的取值范围是(1]-∞，. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分。
2021学年高二下学期期中考数学试题含答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的. 1．若集合}{2<=x x M ，{}10|≤≤=x x N ，则=⋂N M （ ）.A ]1,0[.B ]2,0[.C )2,1[.D ]2,(-∞2．复数i i--232等于（ ） .A i 5754-.B i 5457-.C i 5457+.D i 5754+ 3.在[]25,15内的所有实数中随机抽取一个实数a ，则这个实数满足2017<<a 的概率是（ ） .A 31.B 103.C 21.D 107 4.函数⎩⎨⎧=,log ,32x y x ),1[)1,(+∞∈-∞∈x x 的值域是( ).A )3,0(.B ]3,0[.C ]3,(-∞.D ),0[+∞5.按如图所示的程序框图运算,若输入200=x ,则输出k 的值 是( ).A 2.B 3.C 4.D 56.已知命题:p 1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）.A 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p .B 1sin ,:>∈∃⌝x R x p .C 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p .D 1sin ,:>∈∀⌝x R x p7.已知圆0882:221=-+++y x y x C ，圆0244:222=---+y x y x C ，则两圆的位置关系是（ ）.A 内含 .B 内切 .C 外切 .D 相交（第5题）8.2=3=,1)(-=-⋅a b a ,则向量a 与b 的夹角是 ( ).A 6π.B 4π.C 3π.D 2π 9.曲线x e y =在点()2,2e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ).A 22e .B 22e .C 2e .D 249e 10.已知函数x x x x f 2sin 2)2cos 2(sin )(22-+=的图象向左平移8π个单位后得到函数)(x g y =的图象,以下关于函数)(x g 的判断正确的是 ( ).A 点)0,163(π为函数)(x g 图象的一个对称中心 .B 16π=x 为函数)(x g 图象的一条对称轴.C 函数)(x g 在区间)163,0(π上单调递减 .D 函数)(x g 在区间)0,8(π-上单调递减11.设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,已知01>x ,02<x 且)()(21x f x f <,那么一定有 ( ).A 021<+x x .B 0)()(21<-⋅-x f x f .C )()(21x f x f ->-.D 021>+x x12.已知抛物线()220x py p =>的焦点F 恰好是双曲线122=-by a x 的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为（ ）.A .B 1+.C 1.D 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()x f y =的图像与函数()0log 21>=x x y 的图像关于直线x y =对称，则()=x f .14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-100y y x y x ，则目标函数y x z 3+=的最大值为.15.一个几何体的三视图如右图，则这个几何体的体积为.16.下列各命题中，p 是q 的充要条件的是 ________． （1）()()1:=-x f x f p ； ()x f y q =:是偶函数； （2）A B A p = :； A C B C q U U ⊆:；（3）2:-<m p 或6>m ； 3:2+++=m mx x y q 有两个不同的零点； （4）βαcos cos :=p ； βαtan tan :=q ；三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)侧视图已知等差数列}{n a 满足，22=a ，85=a . （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11=b ，432a b b =+，求{}n b 的前n 项和n T .18．(本小题满分12分)在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且)cos(2C B -=1sin sin 4-C B .（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若3=a ，312sin =B ，求b .19．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥ABC S -中，BC AB ⊥，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，SC SB SA ==. （Ⅰ）求证：⊥BC 平面SDE ；（Ⅱ）若2==BC AB ，4=SB ，求三棱锥ABC S -的体积.20．(本小题满分12分)盒子里装有4张卡片,上面分别写着数字1，1，2，2，每张卡片被取到的概率相等.先从盒子中任取1张卡片，记下上面的数字x ，然后放回盒子内搅匀，再从盒子中随机任取1张卡片，记下它上面的数字y .（Ⅰ）求2=+y x 的概率P ； （Ⅱ）设“函数()()518532++-=t y x t t f 在区间()4,2内有且只有一个零点”为事件A ，求A 的概率()A P .21．(本小题满分12分)已知函数()c bx ax x x f +++=23在2,1-==x x 时都取得极值. （Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）若[]2,3-∈x 都有()2102->c x f 恒成立，求c 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的右顶点A )0,2(,离心率为23,O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知P (异于点A )为椭圆C 上一个动点,过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点D E ,,求APDE 的取值范围.数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）1 A2 B3 B4 D5 C6 B7 D8 A9 A 10 C 11 D 12 B二、填空题（每小题5分，共20分）13 . xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 14 .4 15 .2 16 . ()()32三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. (本小题满分10分)（Ⅰ）解：设等差数列}{n a 的公差为d ， 则由已知得⎩⎨⎧=+=+,84,211d a d a 所以1=a ，2=d .………………………………………(3分)所以 ()2211-=-+=n d n a a n .………………………………………………………(6分)（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ，则由已知得42a q q =+， 因为64=a ，所以 62=+q q ，解得2=q 或3-=q . ………………………………(8分)又因为等比数列{}n b 的各项均为正数，所以2=q .……………………………………(9分)所以等比数列{}n b 的前n项和()()1221211111-=--⨯=--=n nn n q q b T .………………(12分)18．(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）因为1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ， …………………………………(1分)所以 1sin sin 4sin sin 2cos cos 2-=+C B C B C B ， ……………………………(2分)即 1)sin sin cos (cos 2-=-C B C B ， ……………………………………………(3分)得 21)cos(-=+C B ， ………………………………………………………………(4分) 因为π<+<C B 0，所以32π=+C B . ………………………………………(5分)所以 3π=A . …………………………………………………………………………(6分)（Ⅱ） 因为π<<B 0，所以3222cos 312sin=⇒=B B ，……………………(8分) 所以9242cos 2sin 2sin ==B BB ，……………………………………………………(10分) 由AaB b sin sin =， …………………………………………………………………(11分) 得 968sin sin ==A B a b . ………………………………………………………………(12分)19. (本小题满分12分)（Ⅰ）证明: D ，E 分别为AC ，BC 的中点∴AB DE //，又 BC AB ⊥，∴BC DE ⊥，又 SC SB =，∴BC SE ⊥，且E DE SE = ，故 ⊥BC 平面SDE .……………………………………………………………………(6分)（Ⅱ）解： SA SC =，D 为AC 的中点， ∴AC SD ⊥， 由（Ⅰ）知⊥BC 平面SDE ，∴BC SD ⊥，C AC BC = ，∴⊥SD 平面ABC . 由2==BC AB ，221==AC AD ， 得 1421622=-=-=AD SD SD . 又 2222121=⨯⨯=⋅=∆AC AB S ABC ，故31421423131=⨯⨯=⋅=∆-SD S V ABC ABC S . ……………………………………(12分)20. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）先后两次取到卡片的情况如下表：共有16种情况. …………………………………………………………………………(3分) 满足2=+y x 的共有4种情况.∴2=+y x 的概率41164==P .……………………………………………………(6分)（Ⅱ） y x +的值只能取2，3，4，当2=+y x 时，()()y x t t f +-=253t 5182535182+-=+t t ， 它没有零点，不符合要求.当3=+y x 时，()()y x t t f +-=253t 5183535182+-=+t t ，它的零点分别为2，3，在区间()4,2内只有3这个零点，符合要求. 当4=+y x 时，()()y x t t f +-=253t 5184535182+-=+t t ，它的零点分别为34610-，34610+，都不在区间()4,2内，不符合要求.…………………………(9分)∴事件A 相当于3=+y x ，由（Ⅰ）知：2=+y x 的率为41，同理可得:4=+y x 的概率也为41.y x +的值只能取2，3，4，∴()()()()21414114213=--==+-=+-==+=y x P y x P y x P A P . 即函数函数()()y x t t f +-=253t 518+在区间()4,2内有且只有一个零点的概率等于21.……………………………………………………………………………………(12分)21. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）()'232f x x ax b =++.…………………………………………………………(2分)因为函数在1x =，2x =-时都取得极值， 所以1，2-是2320x ax b ++=的两个根. ………………………………………………(4分) 则有 2123a -=-，23b -=， 所以，32a =，6b =-. ……………………………………………………………………(6分)（Ⅱ）()()()()'2233632321f x x x x x x x =+-=+-=+-. ………………………(7分)令 ()'0f x =，解得2x =-，或1x =.所以()'f x ，()f x 随x 的变化情况如下表:所以()32f c -=+，()210f c -=+，()12f c =-，()22f c =+， 所以()f x 在[]3,2-的最小值为()712f c =-. ………………………………………(10分)所以要使()2102c f x ->恒成立，只要271022c c -->.即2230c c --<，解得13c -<<. ……………………………………………………(12分)22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）因为()2,0A 是椭圆C 的右顶点，所以2a =.又ca=c =所以222431b a c =-=-=. 所以椭圆C的方程为2214x y +=.…………………………………………………………(5分) （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则2DE =.所以12DE AP =.………………………………………………………………………………(6分)当直线AP 的斜率不为0时，设直线DE 的方程为()2y k x =-，()00,P x y ， 则直线AP的方程为1y x k=-.…………………………………………………………(7分) 由 ()222,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()224240x k x +--=⎡⎤⎣⎦， 即 ()222214161640k x k x k +-+-=，所以 20216241k x k +=+，所以2028241k x k -=+. ……………………………………………………………………(8分)所以AP ==即AP =.同理可得DE =所以2241DE AP k ==+. …………………………………………………(10分)设 t =，则224k t =-，2t >.()22441415154t DE t t APtt t-+-===-()2t >.令 ()()1542g t t t t=->，所以()g t 是一个增函数， 所以 24154415122DE t AP t -⨯-=>=.综上，DE AP的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……………………………………………………(12分)请注意：以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考，其他答案请参考评分标准酌情给分.。
2021学年高二下学期期中考试数学试题附答案
一．选择题（每题5分,共60分） 1．复数()21i -的虚部为（ ）A ．i 2-B ．i 2C ．2D ．2-2、已知x,y 之间的一组数据如下表所示,则y 对x 的回归直线必经过( )A.(0,1) B ．(2,5)C ．(1.5,0) D ．(1.5,4)3、用反证法证明命题：“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，正确的假设是（ ）A ．三角形中至少有两个内角是钝角B ．三角形中有三个内角是钝角C ．三角形中有两个内角是钝角D ．三角形中没有一个内角是钝角 4.已知i 是虚数单位，则复数ii2110-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 5、已知点P 的极坐标为()1,π，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）A. 1ρ=B. cos ρθ=C. 1cos ρθ=-D. 1cos ρθ= 6、点()1,1P -在极坐标系中的坐标为（ ）A. 34π⎫⎪⎭B. 34π⎫-⎪⎭C. 32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 32,4π⎛⎫- ⎪⎝⎭7、在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心的极坐标是（ ）A. 1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. ()1,0D. ()1,π 8、若直线的参数方程为()12{ 23x tt y t=+=-为参数，则直线的斜率为（ ）．A.23 B. 23- C. 32 D. 32- 9、点(与圆13{3x cos y sin θθ=-+=（θ为参数）的位置关系是 ( )A. 内部B. 外部C. 圆上D. 与θ的位置有关10、在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程224x y +=变换为椭圆方程2214y x ''+=，此伸缩变换公式是（ ） A. 1{2x x x y '='=B. 2{x x y y '=='C. 4{y x y y '=='D. 2{4x x y y '=='11、淮北一中艺术节对摄影类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）.A. A 作品B. B 作品C. C 作品D. D 作品 12、给出以下数对序列： (1,1)； (1,2)(2,1)； (1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；记第i 行的第j 个数对为aij ，如a43＝(3,2)，则anm ＝( )A. (m ，n －m ＋1)B. (m －1，n －m)C. (m －1，n －m ＋1)D. (m ，n －m)二.填空题:(每题5分,满分20分)13、复数()()123,z i i =+-其中i 为虚数单位，则z 的模是. 14．点)1,3(-到直线4)3sin(=-πθρ的距离为_________________15.设P(x,y)为圆4)1(22=-+y x 上的动点，求2x+y 的最大值_________________16、平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆的半径为1r ，外接圆的半为2r ，则1212r r =.推广到空间，可以得到类似结论：若正四面体P ABC -（所有棱长都相等的四面体叫正四面体）的内切球的半径为1R ，外接球的半径为2R ，则12R R =__________ 三.解答题:(满分70分) 17、（本小题满分12分）求实数m 的值，使复数z=（m2-5m+6）+（m2-3m ）i 分别是 （1）实数；（2）纯虚数；（3）零。
2021年高二下学期期中数学试卷含解析
2021年高二下学期期中数学试卷含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上.1．函数f（x）=x﹣2lnx的极值点为．2．“x+y=0”是“|x|=|y|”的条件．3．若函数f（x）=x•e x+f′（﹣1）•x2，则f′（﹣1）= ．4．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分条件，则实数a的取值范围是．5．命题“∃x∈R，x2+6ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是．6．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p∨（￢q）是假命题④命题p∧（￢q）是真命题．7．若曲线y=sinx（0＜x＜π）在点（x0，sinx）处的切线与直线y=x+1平行，则x的值为．8．若等比数列{a n}的前n项之积为T n，则有；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n 项之和为S n，则有．9．如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以72πcm3/s的速度向该容器注水，则水深10cm时水面上升的速度为cm/s．10．如图：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点（0，1），而后接着按图所示在与x轴y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么416秒后，这个质点所处的位置的坐标是．11．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（1）=1，则不等式f（x）＜e x﹣1的解集为．12．若函数f（x）=x3﹣x在（2m，1﹣m）上有最大值，则实数m的取值范围是．13．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）在区间（，e）上有两个极值，则实数a的取值范围为．14．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答．15．（1）求证： +＞1+；（2）已知x，y∈R+，且x+y＞1，求证：与中至少有一个小于3．16．已知函数f（x）=x3﹣ax2（其中a是实数），且f′（1）=﹣3．（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值．17．设命题p：曲线y=x2+2x+2t﹣4与x轴没有交点；命题q：方程+=1所表示的曲线是焦点在x轴的椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数t的取值范围；（2）如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数t的取值范围．18．烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距3km，其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是连接两烟囱的线段AB上的点（不包括端点），设AC=xkm，C点的烟尘浓度记为y．（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．19．（1）函数f（x）=lnx﹣（x＞0，a∈R）．当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（2）求证：不等式﹣＜对于x∈（1，2）恒成立．20．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．xx学年江苏省南通市海门实验学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上.1．函数f（x）=x﹣2lnx的极值点为2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1﹣==0⇒x=2，又∵x＞0，∴0＜x＜2时，f′（x）＞0⇒f（x）为增函数，x＞2时，f′（x）＜0，的f（x）为减函数，故x=2是函数的极值点，故答案为：2．2．“x+y=0”是“|x|=|y|”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由|x|=|y|，解得x±y=0，即可判断出结论．【解答】解：由|x|=|y|，解得x±y=0，∴“x+y=0”是“|x|=|y|”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．3．若函数f（x）=x•e x+f′（﹣1）•x2，则f′（﹣1）=0．【考点】导数的运算．【分析】先求f（x）的导数，再求导数值．【解答】解：f′（x）=（x+1）•e x+f′（﹣1）•2x，∴f′（﹣1）=（﹣1+1）•e﹣1+f′（﹣1）•2×（﹣1），∴f′（﹣1）=0，故答案为：0．4．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若￢p是￢q的充分条件，则实数a的取值范围是[﹣2，5] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合q是p的必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由﹣4＜x﹣a＜4得，a﹣4＜x＜a+4，即p：a﹣4＜x＜a+4．∵（x﹣1）（2﹣x）＞0，∴1＜x＜2，即q：1＜x＜2，若¬p是¬q的充分条件，则q是p的充分条件，则，解得﹣2≤a≤5，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤5，故答案为：[﹣2，5]．5．命题“∃x∈R，x2+6ax+1＜0”为假命题，则a的取值范围是．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由命题间的逻辑关系可知，原命题为假命题，则命题的否定为真，只需判断命题的否定即可．【解答】解：由命题“∃x∈R，x2+6ax+1＜0”为假命题，∴命题的否定为“∀x∈R，x2+6ax+1≥0”为真命题，∴△=36a2﹣4≤0，∴a的范围为，故答案为．6．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，命题q：∀x∈R，＞x，则下列说法中正确的是④．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p∨（￢q）是假命题④命题p∧（￢q）是真命题．【考点】复合命题的真假．【分析】先判定命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：∃x∈R，x﹣2＞0，是真命题，例如取x=3．命题q：∀x∈R，＞x，是假命题，例如取x=4．可得：p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，命题p∨（￢q）是真命题，命题p∧（￢q）是真命题．因此只有④正确．故答案为：④．7．若曲线y=sinx（0＜x＜π）在点（x0，sinx0）处的切线与直线y=x+1平行，则x0的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得．【解答】解：∵y=sinx，∴y′=cosx，∵曲线y=sinx（0＜x＜π）在点（x0，sinx0）处的切线与直线y=x+1平行，∴cosx0=，∵0＜x0＜π∴x0=．故答案为：．8．若等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，则有；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前n 项之和为S n ，则有 S 3n =3（S 2n ﹣S n ） ．【考点】类比推理．【分析】本小题主要考查类比推理，由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．【解答】解：在等差数列中S 3n =S n +（S 2n ﹣S n ）+（S 3n ﹣S 2n ）=（a 1+a 2+…+a n ）++（S 2n ﹣S n ）+（a 2n +1+a 2n +2+…+a 3n ）因为a 1+a 3n =a 2+a 3n ﹣1=…=a n +a 2n +1=a n +1+a 2n所以S n +（S 3n ﹣S 2n ）=2（S 2n ﹣S n ），所以S 3n =3（S 2n ﹣S n ）．故答案为：S 3n =3（S 2n ﹣S n ）．9．如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以72πcm 3/s 的速度向该容器注水，则水深10cm 时水面上升的速度为 cm/s ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】先求高度与时间的函数关系式h=6•，再利用导数的方法求解，由高度可知时间，从而得解．【解答】解：设经过t s 水深为h ，∴72πt=πh 3．∴h=6•．∴h ′=2令h=10，t=（）3．∴h ′=．即水面上升的速度为．故答案为：．10．如图：一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点（0，1），而后接着按图所示在与x 轴y 轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么416秒后，这个质点所处的位置的坐标是 （20，16） ．【考点】归纳推理．【分析】归纳走到（n ，n ）处时，移动的长度单位及方向．【解答】解：质点到达（1，1）处，走过的长度单位是2，方向向右；质点到达（2，2）处，走过的长度单位是6=2+4，方向向上；质点到达（3，3）处，走过的长度单位是12=2+4+6，方向向右；质点到达（4，4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8，方向向上；…猜想：质点到达（n，n）处，走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n（n+1），且n为偶数时运动方向与y轴相同，n为奇数时运动方向与x轴相同．当质点到达（20，20）后需要420秒，则416秒时质点位置是（20，16）．故答案为：（20，16）11．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），f（1）=1，则不等式f（x）＜e x﹣1的解集为（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．【解答】解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减，∵f（x）＜e x﹣1，f（1）=1，∴g（x）＜g（1）∴x＞1，∴不等式f（x）＜e x﹣1的解集为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．12．若函数f（x）=x3﹣x在（2m，1﹣m）上有最大值，则实数m的取值范围是[﹣1，﹣）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（2m，1﹣m）内，依此构造不等式．即可求解实数m的值【解答】解：由题f'（x）=x2﹣1，令f'（x）＜0解得﹣1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜﹣1或x＞1由此得函数在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故x=﹣1是函数f（x）的极大值点，f（﹣1）=，x3﹣x=，解得x=2，故函数在x=﹣1处取到极大值2，判断知此极大值必是区间（2m，1﹣m）上的最大值，∴，解得﹣1≤m＜﹣，故实数m的取值范围是[﹣1，﹣），故答案为：[﹣1，﹣）13．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）在区间（，e）上有两个极值，则实数a的取值范围为（0，）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，问题等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，求出a的临界值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，如图示：，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点．则实数a的取值范围是（0，）故答案为：．14．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）．g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），则a的取值范围是a＞ln2﹣1．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知，在（0，2]上有f max（x）＜g max（x），从而求导确定函数的最值，从而由最值确定a的取值范围．【解答】解：由已知，在（0，2]上有f max（x）＜g max（x）．由已知，g max（x）=0，f′（x）=，（x＞0）；当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2]上，f′（x）＞0；f（x）在（0，2]上单调递增，①当a≤时，＞2，f（x）在（0，2]上单调递增，故f max（x）=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故ln2﹣1＜a≤．②当a＞时，0＜＜2，f（x）在（0，]上单调递增，在[，2]上单调递减，故f max（x）=f（）=﹣2﹣﹣2lna．由a＞可知lna＞ln＞ln=﹣1，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f max（x）＜0，综上所述a＞ln2﹣1．故答案为：a＞ln2﹣1．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答．15．（1）求证： +＞1+；（2）已知x，y∈R+，且x+y＞1，求证：与中至少有一个小于3．【考点】反证法与放缩法．【分析】（1）两边平方，使用分析法逐步找出使不等式成立的条件；（2）结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．【解答】证明：（1）（分析法）要证明+＞1+，只要证（+）2＞（1+）2，即证＞2+，即证35＞17+4，即证9＞2，即证81＞52，显然81＞52恒成立，∴求证： +＞1+；（2）（反证法）：假设均不小于2，即≥2，≥2，∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y＞2矛盾，故中至少有一个小于2．16．已知函数f（x）=x3﹣ax2（其中a是实数），且f′（1）=﹣3．（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导函数，利用f′（1）=3，确定a的值，从而可得切点坐标，即可求得切线的方程；（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数在区间[0，2]上的最大值．【解答】解：（1）由于函数f（x）=x3﹣ax2，则可得f′（x）=3x2﹣2ax，∵f′（1）=﹣3，∴3﹣2a=﹣3，∴a=3又当a=3时，f（x）=x3﹣3x2，∴f（1）=﹣2，∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+2=﹣3（x﹣1），即3x+y﹣1=0．（2）由于f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），x∈[﹣1，3]令f′（x）=0，解得x=0或x=2，当f′（x）＞0时，即﹣1≤x＜0，或2＜x≤3，函数单调递增，当f′（x）＜0时，即0＜x＜2，函数单调递减，当x=2时，函数有极小值，极小值为f（2）=﹣4，∵f（﹣1）=﹣4，∴f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为﹣4．17．设命题p：曲线y=x2+2x+2t﹣4与x轴没有交点；命题q：方程+=1所表示的曲线是焦点在x轴的椭圆．（1）若命题p为真命题，求实数t的取值范围；（2）如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数t的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】（1）根据二次函数的性质，得到关于t的不等式，解出即可；（2）求出q为真时t的范围，根据“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，得到p，q一真一假，从而求出t的范围即可．【解答】解：（1）若p为真命题，则△=22﹣4（2t﹣4）＜0，…，解得；…（2）若命题q：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆为真，则有4﹣t＞t﹣2＞0，…解得2＜t＜3．…又由题意“p∨q”为真，“p∧q”为假，知命题p与q有且只有一个是正确的，…故有：①若p真q假时，则有t≥3；②若p假q真时，则有．综上所述，t的取值范围是或t≥3．…18．烟囱向其周围地区散落烟尘而造成环境污染．已知A、B两座烟囱相距3km，其中A烟囱喷出的烟尘量是B烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比．（比例系数为k）．若C是连接两烟囱的线段AB上的点（不包括端点），设AC=xkm，C点的烟尘浓度记为y．（Ⅰ）写出y关于x的函数表达式；（Ⅱ）是否存在这样的点C，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用．【分析】（1）设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，根据烟尘浓度与到烟囱距离的关系可求得A、B在C处的烟尘浓度，然后两者相加可得y关于x的函数．（2）对（1）中函数进行求导，然后令导函数等于0求x的值，然后判断原函数的单调性进而可求得最小值．【解答】解：（1）设B处烟尘量为1，则A处烟尘量为8，∴A在C处的烟尘浓度为B在C处的烟尘浓度为．其中0＜x＜3．从而处总的烟尘浓度为．（0＜x＜3）；（2）由=，解得x=2．故当0＜x＜2时，y′＜0，原函数单调递减．当2＜x＜3时y′＞0，原函数单调递增．∴x=2时，y取得极小值，且是最小值．答：在连接西烟囱的线段AB上，距烟囱A处2km处的烟尘浓度最低．19．（1）函数f（x）=lnx﹣（x＞0，a∈R）．当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；（2）求证：不等式﹣＜对于x∈（1，2）恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）充分性：a=1时，f′（x）=（x＞0）．利用导数研究函数的单调性极值最值可得：x=1时，函数f（x）取得极小值也是最小值．即可证明．必要性：f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解，且a＞0，由导数的性质可得：在x=a处有极小值也是最小值f（a），f（a）=lna﹣a+1再利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．（2）1＜x＜2，可得，令F（x）=（2x+1）lnx﹣3（x﹣1），又F（1）=0，利用导数只要证明F′（x）＞0即可．【解答】证明：（1）充分性：f′（x）=﹣a=（x＞0），a=1时，f′（x）=（x＞0）．在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，函数f（x）取得极小值也是最小值．即f min（x）=f（1）=0．∴a=1时，函数f（x）的图象在（0，+∞）上有唯一的一个零点x=1．必要性：f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解，且a＞0，当a＞0时，单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．在x=a处有极小值也是最小值f（a），f（a）=lna﹣a+1．令g（a）=lna﹣a+1，g′（a）=﹣1=．当0＜a＜1时，g′（a）＞0，在（0，1）上单调递增；当a＞1时，g′（a）＜0，在（1，+∞）上单调递减．∴g max（a）=g（1）=0，g（a）=0只有唯一解a=1．f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解时必有a=1．综上：在a＞0时，f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解的充要条件是a=1．（2）证明：∵1＜x＜2，∴，令F（x）=（2x+1）lnx﹣3（x﹣1），∴F′（x）=2lnx+﹣1，令，则p′（x）=．∵1＜x＜2，∴p′（x）＞0，∴∴F′（x）在（1，2）上单调递增，∴F′（x）＞F′（1）=0，∴F（x）在（1，2）上单调递增．∴F（x）＞F（1）=0，（2x+1）lnx﹣3（x﹣1）＞0，即不等式对于x∈（1，2）恒成立．20．已知函数f（x）=m（x﹣1）2﹣2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，即得f（x）的单调增区间；（2）先求切线方程为y=﹣x+2，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．【解答】解：（1）当m=0时，函数f（x）=﹣2x+3+lnx由题意知x＞0，f′（x）=﹣2+=，令f′（x）＞0，得0＜x＜时，所以f（x）的增区间为（0，）．（2）由f′（x）=mx﹣m﹣2+，得f′（1）=﹣1，知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=﹣x+2，于是方程：﹣x+2=f（x）即方程m（x﹣1）2﹣x+1+lnx=0有且只有一个实数根；设g（x）=m（x﹣1）2﹣x+1+lnx，（x＞0）．则g′（x）==，①当m=1时，g′（x）=≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞1，由g′（x）=＜0得＜x＜1，故g（x）在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→﹣∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；③当0＜m＜1时，由g′（x）=＞0得0＜x＜1或x＞，由g′（x）＜0得1＜x＜，故g（x）在区间（0，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）区间单调递减，又g（1）=0，且当x→+∞时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m ＜1不合题意；∴由上述知：m=1．xx年10月17日420099 4E83 亃28583 6FA7 澧28221 6E3D 渽*40023 9C57 鱗24033 5DE1 巡26435 6743 权C25011 61B3 憳36535 8EB7 躷Y29029 7165 煥`。
2021年高二下学期期中调研测试数学试题含答案
2021年高二下学期期中调研测试数学试题含答案本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 请把答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．.1.设集合，，则2.复数的实部是 23.函数的定义域为4.设幂函数的图像经过点，则幂函数的解析式为5. 已知函数，则 116. 计算 127. 用反证法证明命题“设是实数，则方程至少有一个实根”时，要做的反设是（4）（填序号）（1）．方程恰好有两个实根（2）．方程至多有一个实根（3）．方程至多有两个实根（4）．方程没有实根8.已知函数的零点在区间，则 29.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则10.已知，函数，若正实数满足，则的大小关系是11.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为12. 已知函数，且，则13.将全体正整数排成一个三角形数阵：51 41 31 21 1101 9 8 765 4321按照以上的排列规律，第20行第2个数是 19214.已知函数，若存在实数，使得，则的取值范围是二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15设集合，．（1）若，求集合在中的补集；（2）若，求实数的取值范围．（1）………………2分………………4分集合在中的补集为………………7分（2）………………10分又，实数的取值范围是………………14分16.已知复数，（其中为虚数单位）（1）求复数；（2）若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围。
（1）………………6分()()()()()()()232222 z 3z m 2m 3m 1i i m 2m 3m 1i m 1m 2m 3i 10()⎡⎤=---+-⎣⎦⎡⎤=--+-⎣⎦=--+--分所对应的点在第四象限………………12分实数的取值范围是………………14分17．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是圆的直径，上底的端点在圆周上，设，梯形的周长为.(1) 求出关于的函数的解析式；(2) 求的最大值，并指出相应的值．解：(1) 作、分别垂直交于，连结.由圆的性质，是中点，设，………………3分又在直角中，AD====所以()242==++=++………………7分y f x AB AD DC x(2) 令，则，且，………………9分所以，………………12分当，即时，的最大值是10. ………………14分18. 已知函数（其中且）.（1）讨论函数的奇偶性；（2）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围.解．（1）的定义域为，定义域关于原点对称，………………………2分 又，，所以函数为奇函数。
2021-2022年高二数学下学期期初考试试题(I)
2021-2022年高二数学下学期期初考试试题(I)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.复数z ＝m －2i 1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在Loop until 后面的“条件”应为A ．i > 10B ．i <8C ．i <=9D ．i<93.某校1000名学生中，O 型血有400人，A 型血有250人， B 型血有250人，AB 型血有100人，为了研究血型与色弱的关 系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O 型血、A 型血、B 型血、AB 型血的人要分别抽的人数为 A.16、10、10、4 B.14、10、10、6 C.13、12、12、3 D.15、8、8、9 4.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是 A. B. C. D.5.“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.“＜0”是“方程至少有一个负数根”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.若双曲线的渐近线方程为,则双曲线焦点F 到渐近线的 距离为 A ．2 B ． C ． D ．28.以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 9.双曲线3mx 2－my 2＝3的一个焦点是(0,2)，则m 的值是A ．－1B ．1C ．－1020 D.10210.设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2b2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积是2，则b 的值为 A. 2 B.52C ．2 2 D.5 11.已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则的取值范围是 A ． 或 B ． 或 C ． D ．12.已知函数对任意的满足0>+x x f x x f sin )(cos )('（其中 是函数的导函数），则下列不等式成立的是A. B.C. D. 二、填空题：（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13.如右图在正方形内有一扇形（见阴影部分）,点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为14.已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________ 15.设，当时，恒成立，则实数的取值范 围为16.已知函数 ,，若对任意的，都有成立，则的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知命题,)0(012:22>≥-+-a a x x q ,若非是的充分不必 要条件，求的取值范围。
2021-2022年高二下学期开学考试数学试题 含答案
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.事件B与C互斥B.事件A与C互斥C.任何两个均不互斥D.任何两个均互斥2.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元.A.45B.46C.D.4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A.7B.8C.9D.105.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选三人作代表，这五人入选的机会均等，则甲或乙被选中的概率是（）A. B. C. D.6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（）A.5B.7C.4D.37.已知实数满足，那么的最小值为（）A. B. C. D.8.F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（）A. B. C. D.9.已知命题，使；命题，都有.给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是真命题；③命题“”是假命题；④命题“”是假命题.其中错误的是（）A.②③B.②④C.③④D.①③10.已知，在上，在上，且，点是内的动点，射线交线段于点，则的概率为（）A. B. C. D.11.已知双曲线，是左焦点，是坐标原点，若双曲线左支上存在点，使，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12.圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.已知样本的平均数是10，方差是4，则14.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则15.设命题；命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是16.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.当曲线与曲线只有一个公共点时，的取值范围为三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分8分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：Array按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在B类轿车中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.18.（本小题满分10分）已知圆及点.（1）若点在圆C上，求直线的斜率；（2）若是圆C上任一点，求的最大值和最小值；（3）若点满足关系式，求的最大值.19.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为.（1）求C的直角坐标方程；（2）直线（为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与轴交于点E ，求的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为. （1）求椭圆的方程；（2）若一条不与轴垂直的直线交椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的下顶点，且，求直线在轴上截距的取值范围.数学试题答案本试卷满分120分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBDADCDCBA13.91 14. 15. 16.三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分8分） 解析：（1）设该厂本月生产轿车为N 辆， 则 ……1分2000100300450400600150z ∴=-----=……2分 （2）设抽取的样本中有辆舒适型轿车， 则 ……4分即抽取了2辆舒适型轿车，6辆标准型轿车，分别记作A 、B 、1、2、3、4、5、6 基本事件为（A ，B ），（A ，1），（A ，2），（A ，3），（A ，4），（A ，5），（A ，6）， （B ，1），（B ，2），（B ，3），（B ，4），（B ，5），（B ，6），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6）共 28个，其中至少有一辆舒适型轿车的有13个. ……6分故至少有一辆舒适型轿车的概率为. ……8分 18、（本小题满分10分） 解析：（1）点在圆上，()()2214141450m m m m ∴++--++=解得 ……2分 （2）圆 则……4分 ……6分（3）设，如图，当过点E 的直线与圆相切时，取最大值. 切线方程为，即的最大值为 ……10分 19、（本小题满分10分） 解析：（1） ……4分（2）设分别为点A ，B 对应的参数 把与C 的方程联立得： ……6分()21212121245EA EB t t t t t t t t ∴+=+=-=+-= ……10分20、（本小题满分12分）解析：（1）故椭圆方程为……2分（2），设直线的方程为，线段MN的中点为由得：……4分则①……8分②……9分把①代入②得：……10分又由②得：综上，……12分。
江苏省2022-2021学年高二数学下学期期初考试试题
第二学期期初考试高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与曲线35y x x =-相切且过原点的直线的斜率为（ ） A ．2B ．-5C ．-1D ．-22．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，则8a 的值是（ ） A ．4B ．16C ．2D ．83．已知复数z 满足+=z ii z，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --4．已知随机变量8ξη+=，若~(10,0.4)ξB ，则()ηE ，()ηD 分别是（ ） A ．4和2.4B ．2和2.4C ．6和2.4D ．4和5.65．已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A ．4 B ．2C ．1D ．86．411(12)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．10B ．24C ．32D ．567．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．28．直线y ＝a 分别与直线y ＝2(x ＋1)，曲线y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足11(2)(2)0n n n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是（ ） A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列10．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为'()f x ，如图是函数'()y xf x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是(2,0),(2,)-+∞B ．函数()f x 的增区间是()(),2,2,-∞-+∞C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点11．设椭圆的方程为22124x y +=，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ） A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则423AB =. 12．下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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洪泽中学xx学年高二下学期期初考试数学试题
一、填空题
1．过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.
3．已知样本数据,,…的方差为4,则数据,,…的标准差
．．．是
4．已知单位向量,的夹角为，那么
．
5．在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），且该长方体的长、宽、高分别为4、、，则这个球的表面积为
6．已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是
7．一个容量为的样本，已知某组的频率为，则该组的频数为__________。
8．已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是．
9．双曲线的渐近线方程是
10．已知点、，若直线与线段有公共点，则斜率的取值范围是．
11．如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为600的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA＝5，则球的表面积为____________
12．若函数，则= ____________
13．四个函数，，，,,，中，在区间上为减函数的是_________.
14．函数的单调递减区间是．
二、解答题
15．如图，在三棱锥中，底面ABC
，点、分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的大小的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点，使得二面角为直二面角？并说明理由.
16．在数列中，，；
（1）设．证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和。
17．如图，正方形、的边长都是1，平面平面，点在上移动，点在上移动，若（） A F B
E D C
M
N
（I ）求的长；
（II ）为何值时，的长最小；
（III ）当的长最小时，求面与面所成锐二面角余弦值的大小.
18．
A ．选修4—1 几何证明选讲
在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.
求证:
19．化简或求值：
（1）； （2）.
20．大楼共有n 层，现每层指派一人，共n 个人集中到第k 层开会 试问如何确定k ，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）
2021年高二下学期期初考试数学试题含答案
1．一个
2．-1
3． 4
4．
5．
6．5
7．5
8．
9．
10．
11．300π.
12．
13．，。
14．（，2）
15．解：（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥BC . 又，∴AC ⊥BC .
又 ∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ， ∴，
又由（Ⅰ）知，B C⊥平面PAC ， ∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E.
∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，
∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AB，又PA=AB ，
∴△ABP 为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC 中，，∴.
∴在Rt△A DE 中，，
∴与平面所成的角的大小的余弦值.
（Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，∴DE⊥平面PAC ，
又∵AE 平面PAC ，PE 平面PAC ，∴DE⊥AE，DE⊥PE ，
∴∠AEP 为二面角的平面角，
∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AC，∴.
∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC，这时，
故存在点E 使得二面角是直二面角.
【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得 ()()10,0,0,,0,,0,0,0,2A B a C P a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP .
又∵，∴BC⊥A C ，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，
∴， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，
∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵13131,,,0,,4424
2AD a a a AE a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴.
∴与平面所成的角的大小的余弦值.
16．（1）证明：由 得，∵，∴，
又，∴是首项为1公差为1的等差数列。
（2）由（1）知是首项为1公差为1的等差数列，∴，∴．
∴1221022)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S
n n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-
两式相减，得
1222222121210+-⨯=----⨯-⨯=-n n n n n n n S
17．（Ⅰ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，
即MNQP 是平行四边形，∴ MN=PQ.
由已知，CM=BN=a ，CB=AB=BE=1，
∴ AC=BF=，
即
2
222)2()21()1(a
a
BQ CP PQ MN +-=+-==∴
（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当
即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为
（Ⅲ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，
∵ AM=AN ，BM=BN ，G 为MN 的中点
∴ AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∠AGB 即为二面角A-MN-B 的平面角，
又AG=BG=，所以，由余弦定理有
∴所求余弦值为
18．A ．选修4—1 几何证明选讲
证明:作于为直径,
（2分）
四点共圆,四点共圆.
(1)+(2)得（9分）
即（10分）
19．解：（1）
（2）52
20．解：设相邻两层楼梯长为a ，
则问题转化为下列和式S 的最小值的探求：
S = S （k ) = a [1 +2 +3 + ⋅⋅⋅ + (k─1)] + a [1 +2 + ⋅⋅⋅ + （n – k )]
= a [ k 2 – (n +1) k + (n 2 + n ) ]
目标函数S （k )为 k 的二次函数，且a > 0 ，
故当n 为奇数时，取k = ，S 最小；当为n 偶数时，取k = 或 ，S 最小s20686 50CE 僎 40694 9EF6 黶22195 56B3 嚳40863 9F9F 龟20771 5123 儣32295 7E27 縧/sg=w;(。