2021年高二下学期期初考试数学试题含答案

洪泽中学xx学年高二下学期期初考试数学试题

一、填空题

1．过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.

3．已知样本数据,,…的方差为4,则数据,,…的标准差

．．．是

4．已知单位向量,的夹角为，那么

．

5．在一个球内有一个内接长方体（长方体的各顶点均在球面上），且该长方体的长、宽、高分别为4、、，则这个球的表面积为

6．已知函数，对定义域内任意，满足，则正整数的取值个数是

7．一个容量为的样本，已知某组的频率为，则该组的频数为__________。

8．已知实数x，y满足条件，（为虚数单位），则的最小值是．

9．双曲线的渐近线方程是

10．已知点、，若直线与线段有公共点，则斜率的取值范围是．

11．如图所示，水平地面上有一个大球，现作如下方法测量球的大小：用一个锐角为600的三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直，P为三角板与球的切点，如果测得PA＝5，则球的表面积为____________

12．若函数，则= ____________

13．四个函数，，，,,，中，在区间上为减函数的是_________.

14．函数的单调递减区间是．

二、解答题

15．如图，在三棱锥中，底面ABC

，点、分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成角的大小的余弦值；

（Ⅲ）是否存在点，使得二面角为直二面角？并说明理由.

16．在数列中，，；

（1）设．证明：数列是等差数列；（2）求数列的前项和。

17．如图，正方形、的边长都是1，平面平面，点在上移动，点在上移动，若（） A F B

E D C

M

N

（I ）求的长；

（II ）为何值时，的长最小；

（III ）当的长最小时，求面与面所成锐二面角余弦值的大小.

18．

A ．选修4—1 几何证明选讲

在直径是的半圆上有两点,设与的交点是.

求证:

19．化简或求值：

（1）； （2）.

20．大楼共有n 层，现每层指派一人，共n 个人集中到第k 层开会 试问如何确定k ，能使各位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小？（假设相邻两层楼梯长都一样）

2021年高二下学期期初考试数学试题含答案

1．一个

2．-1

3． 4

4．

5．

6．5

7．5

8．

9．

10．

11．300π.

12．

13．，

。 14．（，2）

15．解：（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥BC . 又，∴AC ⊥BC .

又 ∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ， ∴，

又由（Ⅰ）知，B C⊥平面PAC ， ∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E.

∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，

∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AB，又PA=AB ，

∴△ABP 为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC 中，，∴.

∴在Rt△A DE 中，，

∴与平面所成的角的大小的余弦值.

（Ⅲ）∵AE//BC ，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，∴DE⊥平面PAC ，

又∵AE 平面PAC ，PE 平面PAC ，∴DE⊥AE，DE⊥PE ，

∴∠AEP 为二面角的平面角，

∵PA ⊥底面ABC ，∴PA⊥AC，∴.

∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC，这时，

故存在点E 使得二面角是直二面角.

【解法2】如图，以A 为原煤点建立空间直角坐标系，

设，由已知可得 ()()10,0,0,,0,,0,0,0,2A B a C P a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

. （Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP .

又∵，∴BC⊥A C ，∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴E 为PC 的中点，

∴， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC ，

∴DE⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵13131,,,0,,4424

2AD a a a AE a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴.

∴与平面所成的角的大小的余弦值.

16．（1）证明：由 得，∵，∴，

又，∴是首项为1公差为1的等差数列。

（2）由（1）知是首项为1公差为1的等差数列，∴，∴．

∴1221022)1(232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S

n n n n n S 22)1(23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=-

两式相减，得

1222222121210+-⨯=----⨯-⨯=-n n n n n n n S

17．（Ⅰ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，

即MNQP 是平行四边形，∴ MN=PQ.

由已知，CM=BN=a ，CB=AB=BE=1，

∴ AC=BF=，

即

2

222)2()21()1(a

a

BQ CP PQ MN +-=+-==∴

（Ⅱ）由（Ⅰ），所以，当

即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为

（Ⅲ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，

∵ AM=AN ，BM=BN ，G 为MN 的中点

∴ AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∠AGB 即为二面角A-MN-B 的平面角，

又AG=BG=，所以，由余弦定理有

∴所求余弦值为

18．A ．选修4—1 几何证明选讲

证明:作于为直径,

（2分）

四点共圆,四点共圆.

(1)+(2)得（9分）

即（10分）

19．解：（1）

（2）52

20．解：设相邻两层楼梯长为a ，

则问题转化为下列和式S 的最小值的探求：

S = S （k ) = a [1 +2 +3 + ⋅⋅⋅ + (k─1)] + a [1 +2 + ⋅⋅⋅ + （n – k )]

= a [ k 2 – (n +1) k + (n 2 + n ) ]

目标函数S （k )为 k 的二次函数，且a > 0 ，

故当n 为奇数时，取k = ，S 最小；当为n 偶数时，取k = 或 ，S 最小s20686 50CE 僎 40694 9EF6 黶22195 56B3 嚳40863 9F9F 龟20771 5123 儣32295 7E27 縧/sg=w;(