湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟卷二文(含解析)
【水印已去除】2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(文科)
2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M∩N＝{x|x＜1}B．M∪N＝{x|x＞0}C．M⊆N D．N⊆M2．（5分）i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，则|z|＝（）A．B．C．1D．3．（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r14．（5分）已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（）A．2B．1C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．（5分）要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝5x﹣2B．y＝x+2C．y＝﹣5x+8D．y＝﹣x+49．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在下列三个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A．BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C．.BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣3））＝14．（5分）已知x，y满足不等式，则z＝x+2y最大值为．15．（5分）已知直线l：y＝kx+1与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝．16．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b＝1，则a+c的取值范围为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n﹣3．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，点C在以AB为直径的上运动，P A⊥平面ABC，且P A＝AC，点D、E 分别是PC、PB的中点．（1）求证：PC⊥AE；（2）若AB＝2BC＝2，求点D到平面P AB的距离．19．（12分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8，20]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在[14，16）内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．（1）求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，记直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）求曲线C和l的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．2019年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：N＝{x|0＜x＜1}；∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，M∪N＝{x|x＜1}，N⊊M．故选：D．2．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，，故选：B．3．【解答】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故r1＞0，r3＞0；r2＜0，r4＜0；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，因此，r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：C．4．【解答】解：＝（1+λ，2），∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得λ＝．故选：C．5．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，即为ax﹣by＝0，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心（2，1），半径为1，由直线和圆相切可得，＝1，化为a2+b2＝4a2﹣4ab+b2，可得3a＝4b，∴＝．故选：B．6．【解答】解：2πr＝πR，所以r＝，则h＝，所以V＝故选：A．7．【解答】解：要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣＝•+sin2x﹣＝sin （2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．8．【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，可得a＝2，∴函数f（x）＝x3+2x，可得f′（x）＝3x2+2，又f（1）＝3；∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为：5，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方程为：y﹣3＝5（x﹣1）．即y＝5x﹣2．故选：A．9．【解答】解：由图可知：S△＝＝24，S白＝π×32＝，记事件A为“该点落在阴影部分”，由几何概型中的面积型得：P（A）＝1﹣＝1﹣＝1﹣，故选：B．10．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．11．【解答】解：①中利用GE∥BD，EF∥BB1，可证得平面EFG∥平面BB1D1D，从而确定BD1∥平面EFG；②中利用EF⊥A1B则EF⊥BD1；EG⊥AD1，则EG⊥BD1，可得BD1⊥平面EFG；③设棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，0），F（2，1，2），G（0，2，1），∴，，，∴＝﹣2﹣2+4＝0，＝2﹣4+2＝0，∴BD1⊥EF，BD1⊥EG，∴BD1⊥平面EFG，故选：A．12．【解答】解：f（f（x））＝，画出函数图象，因为关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，x1，x2，所以x1＜0，x2＞2，∴0≤m＜1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣3）＝2﹣（﹣3）＝5，则f（f（﹣3））＝f（5）＝（﹣5）2＝25；故答案为：2514．【解答】解：先根据x，y满足不等式，画出可行域，目标函数z＝x+2y，经过点B时z取得最大值，B（1，5），可得z max＝1+2×5＝11，故最大值为：11，故答案为：11．15．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆心为C（1，1），半径为1，则圆心到直线的距离为d＝，即＝，解得：k＝±1．故答案为：±1．16．【解答】解：∵，∴cos B（cos C﹣sin C）＝cos（B+C）＝cos B cos C﹣sin B sin C，可得：sin B sin C＝sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得：tan B＝，∴由B为锐角，可得B＝，∵由正弦定理＝，b＝1，∴a+c＝（sin A+sin C）＝[sin A+sin（﹣A）]＝（cos A+sin A）＝2sin（A+），∵，可得：A∈（，），∴A+∈（，），可得：sin（A+）∈（，1]，∴a+c＝2sin（A+）∈（，2]．故答案为：（，2]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．【解答】解：（1）因为2S n＝3a n﹣3．所以2s n﹣1＝3a n﹣1﹣3（n≥2）所以2a n＝3a n﹣3a n﹣1（n≥2），∴＝3（m≥2），∵2s1＝3a1﹣3，∴a1＝3数列{a n}是以首项为3，公比为3的等比数列，故a n＝3n （2）因为b n＝＝＝所以∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝1﹣＝18．【解答】（1）证明：∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，又AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC．∴BC⊥PC，∵DE是△PBC的中位线，∴DE∥BC，∴PC⊥DE，∵P A＝AC，D是PC的中点，∴AD⊥PC，又AD∩DE＝D，∴PC⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，∴PC⊥AE．（2）解：取AC中点F，过F作FM⊥AB于M，∵D，F分别是PC，AC的中点，∴DF∥P A，又DF⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴DF∥平面P AB，∴D到平面P AB的距离等于F到平面P AB的距离．∵P A⊥平面ABC，FM⊂平面ABC，∴FM⊥P A，又FM⊥AB，P A∩AB＝A，∴FM⊥平面P AB，∴F到平面P AB的距离为线段FM的长．在Rt△ABC中，∵AB＝2AC＝2，∴AC＝，∴C到AB的距离为＝，又F为AC的中点，∴FM＝．∴点D到平面P AB的距离为．19．【解答】解：（1）样本中图书的销售单价在[14，16）内的图书数是x•2×100＝200x，样本中图书的销售单价在[18，20）内的图书数是y•2×100＝200y，依据题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①根据频率分布直方图可知（0.1×2+0.025+x+0.05+y）×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0.075．（3分）根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为×0.025×2+×0.05×2+×0.1×2+×0.15×2+×0.1×2+×0.075×2＝0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85＝14.9（元）（6分）（2）因为销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]的图书的分层抽样比为1：2：4：6：4：3，故在抽取的40本图书中，销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]内的图书分别为40×＝2，40×＝4，40×＝8，40×＝12，40×＝8，40×＝6 （本）（8分）（3）这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于10元的2本，记这2本为A1，A2，另外4本记为B1，B2，B3，B4，从中抽取2本的基本事件有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：这2本书价格都不低于10元的概率P＝＝．（12分）20．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝4y的焦点（0，1）与椭圆C的一个焦点重合，∴c＝1，又∵椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，则a2＝b2+c2＝2．故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，△＝4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）＝4（2k2﹣2m2+4）＞0，即k2﹣m2+2＞0．，，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝．由条件OA⊥OB，得3m2﹣2k2﹣2＝0，原点O到直线l的距离是d＝，由3m2﹣2k2﹣2＝0，得d＝为定值．又圆心到直线l的距离为，∴直线l与圆由公共点P，满足条件．由△＞0，即k2﹣m2+2＞0，∴＞0，即m2+2＞0．又，即3m2≥2，∴，即m或m．综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，∴，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故f（x）在x＝a取得极小值0，∴f（a）＝a﹣alna﹣1＝0，令p（a）＝a﹣alna﹣1，p'（a）＝﹣lna，所以p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故p（a）≤p（1）＝0，∴f（a）＝0的解为a＝1，故a＝1．证明：（2）证法1：由，∵a≤1，所以只需证当t＞0时，恒成立，令，由（1）可知x﹣lnx﹣1≥0，令x＝e t得e t﹣t﹣1≥0，∴g（t）在（0，+∞）上递增，故g（t）＞g（0）＝0，故．证法2：，设（t＞0），则g'（t）＝e t﹣at﹣a，则g''（t）＝e t﹣a，又e t＞e0＝1，a≤1，得g''（t）＞0，∴g'（t）单调递增，得g'（t）＞g（0）＝1﹣a≥0，∴g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）＝0，故．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2cosθ，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x，由消去参数t得直线l得普通方程为y＝x﹣2．（2）证明，将直线l的参数方程代入y2＝2x中，t2﹣10t+40，设M，N对应的参数为t1，t2，则有t1+t2＝10，t1t2＝40．所以|MN|2＝|t1﹣t2|2＝（t1+t2）2﹣4t1t2＝40，因为|PM|×|PN|＝|t1t2|＝40＝|MN|2，∴|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）由f（x）＜|x﹣1|，可得|x+3|﹣2＜|x﹣1|，当x≥1时，x+3﹣2＜x﹣1不成立，当﹣3＜x＜1时，x+3﹣2＜1﹣x，∴﹣3＜x＜0，当x≤﹣3时，﹣x﹣3﹣2＜1﹣x，﹣5＜1成立，∴不等式f（x）＜|x﹣1|的解集为{x|x＜0}．（2）依题意，|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2≥b，令g（x）＝|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2＝，易知g（x）max＝g（）＝，则有≥b，即实数b的取值范围是（﹣∞，]．。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(二)
已知向量 ， 满足： ， ， ，则向量 ， 的夹角为________．
甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________．
① ；
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ ， ， 是两两互斥的事件．
十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列 满足以下关系： ＝ ， ＝ ， ＝ ，记其前 项和为 ．
（1） ＝________ ．
（2）设 ＝ ， ＝ （ ， 为常数）， ＝________．
1.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
交集根助运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
复三的刺算
命题的真三判断州应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
进行简根的合情亮理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
此题暂无答案
请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 为参数， ，以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ＝ ．
2024届湖南省长沙市长郡中学高三下学期二模数学试题及答案
长郡中学2024届高考适应性考试（二）数学命题人：__________审题人__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,2,1xA xx x B y y x =--<==<∣∣，则A B ⋂=（ ）A.(),3∞-B.()0,2C.()1,2-D.()2,32.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2023a =（ ）A.2B.-2C.-1D.123.已知样本数据12100,,,x x x L 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------L 的平均数与方差分别为（ ）A.5,4-B.5,16-C.4,16D.4,44.蒙古包（Mongolianyurts ）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐､毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为64π平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）A.(112π+平方米B.(80π+平方米C.(112π+平方米D.(80π+平方米5.儿童玩具纸风车（图1）体现了数学的对称美.取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，纸风车的主体部分就完成了（图2）.则（）A.OC OE =u u u r u u u rB.0OA OB ⋅>u u u r u u u rC.2OA OD OE +=u u u r u u u r u u u rD.0OA OC OD ++=u u u r u u u ru u u r r6.已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（ ）A.()π5π2π,2π66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z B.()5π2π2π,2π33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦Z C.()4ππ2π,2π33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦Z D.()π2π2π,2π33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦Z 7.已知1sin cos ,0π5ααα-=≤≤，则πsin 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A. C.8.已知复数12,z z 满足112881i 1i z z z p p p p ⎛⎫+-+-+==+++ ⎪⎝⎭，（其中0,i p >是虚数单位），则12z z -的最小值为（ ）A.2B.6C.2-D.2+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中最小值为2的是（）A.223y x x =++ B.1sin sin y x x=+C.122x x y -=+D.1ln ln y x x=+10.若,x y 满足28()23x y xy +-=，则（ ）A.y x -≥B.2y x -<C.32xy >D.34xy ≥-11.在正方体1111ABCD A B C D -中，1,AB E =为11A D 的中点，F 是正方形11BB C C 内部一点（不含边界），则（）A.平面1FBD ⊥平面11AC DB.平面11BB C C 内存在一条直线与直线EF 成30o 角C.若F 到BC 边距离为d ，且221EF d -=，则点F 的轨迹为抛物线的一部分D.以11AA D V 的边1AD 所在直线为旋转轴将11AA D V 旋转一周，则在旋转过程中，1A 到平面1AB C 的距离的取值范围是三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知6m x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20，则实数m 的值为__________.13.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()()1212f x f x f x x =，且当0x >时，()0f x >.若()()33f f a ='，则()f x 在点11,33f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为__________.（用含a 的表达式表示）14.已知双曲线22:13y C x -=的左､右焦点分别为12,F F ，右顶点为E ，过2F 的直线交双曲线C 的右支于,A B 两点（其中点A 在第一象限内），设,M N 分别为1212,AF F BF F V V 的内心，则当1F A AB ⊥时，1AF =__________；1ABF V 内切圆的半径为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中4,sin a C c A ==-.（1）求A ；（2）已知直线AM 为BAC ∠的平分线，且与BC 交于点M ，若AM =ABC V 的周长.16.（本小题满分15分）如图，已知ABCD 为等腰梯形，点E 为以BC 为直径的半圆弧上一点，平面ABCD ⊥平面,BCE M 为CE 的中点，2,4BE AB AD DC BC =====.（1）求证：DM ∥平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面DCE 所成角的余弦值.17.（本小题满分15分）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率.（1）从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为1n +个的概率为n a ，求{}n a 的前n 项和;n S （3）从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为n b ，当n b 取最大值时，求n 的值.18.（本小题满分17分）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的蒙日圆的面积为13π，该椭圆的上顶点和下顶点分别为12P P ､，且122PP =，设过点10,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭的直线1l 与椭圆E 交于,A B 两点（不与12,PP 两点重合）且直线2:260l x y +-=.（1）证明：12,AP BP 的交点P 在直线2y =上；（2）求直线122,,AP BP l 围成的三角形面积的最小值.19.（本小题满分17分）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,m n ，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德近似定义为：()0111m m nn a a x a x R x b x b x +++=+++L L ，且满足：()()()()()()()()()()00,00,00,,00m n m n f R f R f R f R ++''''='='==L L .（注：()()()()()()()()()()()()()''''454,,,,;n f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''''⎦'''''⎡⎤====⋯⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎣⎦⎦'⎣为()()1n f x -的导数）已知()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1axR x bx=+.（1）求实数,a b 的值；（2）比较()f x 与()R x 的大小；（3）若()()()()12f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,∞+上存在极值，求m 的取值范围.长郡中学2024届高考适应性考试（二）数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(二)
（1）求购买该商品的 位顾客中，恰有 位选择分 期付款的概率；
设函数 在 内可导，且 ＝ ，则 ＝________．
已知向量 ， 满足： ， ， ，则向量 ， 的夹角为________．
甲罐中有 个红球， 个白球和 个黑球，乙罐中有 个红球， 个白球和 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
在 中，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，若满足 ＝ ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且 ，求边长 ．
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，试判断棱 上是否存在与点 ， 不重合的点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ．若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
① ；
② ；
③事件 与事件 相互独立；
④ ， ， 是两两互斥的事件．
十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列 满足以下关系： ＝ ， ＝ ， ＝ ，记其前 项和为 ．
（1） ＝________ ．
（2）设 ＝ ， ＝ （ ， 为常数）， ＝________．
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期高考模拟卷(二)数学(文)试题【解析版】.docx
2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期高考模拟卷(二)数学(文)试题一、单选题1.已知A = {xeN*|x<3}, 3 = {x| 亍一4x<o},则A B =()A. (1,2,3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]【答案】A【解析】先求解集合A,3,然后求解A B.【详解】因为A = {xeN*|xV3}={l,2,3} , B = |x|x2-4x<0j = {%|0<%<4},所以A 3 = {1,2,3}.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单题, 侧重考查数学运算的核心素养.2.若复数Z],Z2在复平面内对应点的坐标分别为(2,1), (0,-1),则Z『Z2=()A. 2 + zB. 1 — 2zC. —1 — 2z D, —i【答案】B【解析】根据复数的几何意义可得Z] =2 + z',Z2 =T,再利用复数相乘，即可得到答案;【详解】Z] = 2 + z, = —z,Zj • z2 = (2 + z) - (―z) = 1 — 2z',故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的乘法运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.已知命题p'.^x^R, _?+2》+ 3<0，则命题P的否定是( )A. HxeR, x2 + 2x + 3>0B. \/xeR, x2 + 2% + 3<0C. X/xeR, X1 +2x + 3>0D. X/xeR, x2 +2x + 3>0【答案】C【解析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题。
的否定.【详解】命题P为特称命题，其否定为f NxwR, %2 + 2x + 3>0 -故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.4.已知a = f b — log2—, c = 2‘，则（）A.aVbVcB. b<c<aC. c<b<aD. b<a<c【答案】D] 。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(二) (含解析)
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(理科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={y|y =x 2+2,x ∈R}，B ={y|y =4−x,x ∈R}，则A ∩B =( )A. {3,6}B. {−2,1}C. {y|y ≥2}D. R2. 下面是关于复数z =2−1+i 的四个命题：其中的真命题为( )，p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，p 3：z 的共轭复数为1+i ， p 4：z 的虚部为−1．A. p 2，p 3B. p 1，p 2C. p 2，p 4D. p 3，p 43. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是( )A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率 4. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( )A. 56B. −56C. 112D. −1126. 已知a =(12)0.3,b =log 120.3,c =a b，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <a <bC. a <c <bD. b <c <a7. 已知，则sin2α=( )A. 12B. √32C. −12D. −√328. 2019年4月25日−27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为( )A. 198B. 268C. 306D. 3789. 在不等式组{x +y −2⩾0,x −y −2⩽0,y ⩽2,，所确定的三角形域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是( )A. π8B. 4−π2C. 1−π8D. 1−π410. 已知圆x 2+y 2=r 2(r >0)与抛物线y 2=2x 交于A,B 两点，与抛物线的准线交于C,D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于( )A. √22B. √2C. √52D. √511. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，AA 1=4，M 是BB 1的中点，点P 在长方体内部或表面上，且平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是( )A. 6B. 4√2C. 4√6D. 912. 已知圆C 1：x 2+2cx +y 2=0，圆C 2：x 2−2cx +y 2=0，椭圆C ：x 2a +y 2b=1(a >b >0)，若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( )A. [12,1)B. (0,12]C. [√22,1) D. (0,√22] 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)在(0,+∞)内可导，且f(e x )=x +e x ，则f′(1)=________． 14. 已知|a ⃗ |=1，b ⃗ =(1,√3)，(b ⃗ −a ⃗ )⊥a ⃗ ，则向量a ⃗ 与向量b ⃗ 的夹角为______．15. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示事件从甲罐取出的球是红球，白球和黑球;再从乙罐中随机取出1个球，以B表示事件从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号)． ①P(B)=25; ②P(B|A1)=511; ③事件B与事件A1相互独立; ④A1，A2，A3是两两互斥的事件．16.已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=a n+n，则a2013=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c.已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=72sinAsinB．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若a=1，求△ABC面积．18.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，∠PAD=45°，点E在线段AB上，PE⊥AD且AB=3，AD=PE=AE=2．(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD．(2)求直线PA与平面PDE所成角的正弦值．19.设椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；(Ⅱ)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为√62，求直线AP的方程．20.已知函数f(x)=m(x2−1)x−2lnx．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若m=12，证明f(x)有且只有三个零点．21. [某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料統计，顾客购买该商品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0<a <1，0<b <1(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；(2)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X(单位：元) ①求X 的分布列；②若P(X ≤500)≥0.8，求X 的数学期望EX 的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1−√22ty =2+√22t，(t 为参数)，以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=sinθ． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，P(−1,2)，求|PA|⋅|PB|．23.已知函数f(x)=|x+1|．(I)求不等式f(x)<|2x+1|−1的解集M；(Ⅱ)设a，b∈M，证明：f(ab)>f(a)−f(−b)．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：根据集合的基本运算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．解：A={y|y=x2+2,x∈R}={y|y≥2}，B={y|y=4−x,x∈R}=R，则A∩B={y|y≥2}，故选：C2.答案：C解析：解：∵z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，∴p1：|z|=√2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为−1+i，p4：z的虚部为−1，故选：C．由z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，知p1：|z|=√2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为−1+i，p4：z的虚部为−1，由此能求出结果．本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解析：本题主要考查学生的数据分析能力和图形阅读理解能力，属于基础题．根据图表中包含的信息对照选项分析即可判断真假．解：对于A，1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例．所以西安所占比例为3287>13，故A 正确，对于B ，由曲线图可知.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B 正确，对于C ，2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213−116−97例，故C 正确， 对于D ，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了98−8888=544，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了88−7474=737，显然737>544，故D 错误．故选：D ．4.答案：B解析：解：设等差数列{2a n+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，∴2a 1+1=1，2a 3+1=3，∴3=1+2d ，解得d =1． ∴2a n +1=1+n −1=n ，∴a n =2n−1．那么a 2020=22020−1=−10091010． 故选：B ． 设等差数列{2an+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，可得2a 1+1=1，2a 3+1=3，3=1+2d ，解得d.可得通项公式，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C 8r⋅x8−r3⋅(−2)r ⋅x −r =(−2)r ⋅C 8r⋅x8−4r3，令8−4r 3=0，求得r =2，可得展开式的常数项为4C 82=112，故选C ．6.答案：B解析：解：b =log 120.3>log 1212=1>a =(12)0.3，c =a b <a ．∴c <a <b ． 故选：B ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：A解析：本题考查二倍角公式以及诱导公式，属于基础题． 由，得，再运用二倍角公式以及诱导公式计算，即可得到答案．解：由，得，=−[1−2sin 2(π4+α)]=−(1−2×34)=12． 故选A ．8.答案：A解析：由排列组合及计数问题分类讨论：①若选两个国内媒体一个国外媒体，②若选两个外国媒体一个国内媒体，可得解．本题考查了排列组合及计数问题，属中档题．。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(二) (解析版)
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|2x −1>0}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1，2}B. {0,1，2}C. {0,1}D. {1,2}2. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数z 1+2z 2=( )A. −2+iB. −2+3iC. 1+2iD. −13. 已知命题p:∃x 0∈R ，sinx 0≤1，则命题p 的否定是( )A. ∀x ∈R,sinx >1B. ∃x ∈R,sinx ≥1C. ∃x ∈R,sinx ≥1D. ∀x ∈R,sinx >14. 设a =214,b =(15)0.2,c =log 136，则( )A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <a <c5. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是( )A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值6.执行如图所示的程序框图，程序所输出的结果是()A. 4B. 10C. 46D. 227.已知sinα=35,α∈(0,π2)，则tan(7π4+α)=()A. 17B. −17C. −15D. 158.直线4x−3y=0被圆(x−1)2+(y−3)2=10所截得弦长为()A. 3B. 3√2C. 6D. 6√29.已知数列{a n}中，a2=32，a5=98，且{1an−1}是等差数列，则a7=()A. 109B. 1110C. 1211D. 131210.如图，边长为1正方形ABCD，射线BP从BA出发，绕着点B顺时针方向旋转至BC，在旋转的过程中，记∠ABP=x(x∈[0,π2])，BP所经过的在正方形ABCD内的区域(阴影部分)的面积为y=f(x)，则函数f(x)的图象是()A. B.C. D.11. 已知长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，AA 1=4，M 是BB 1的中点，点P 在长方体内部或表面上，且平面AB 1D 1，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是( )A. 6B. 4√2C. 4√6D. 912. 过双曲线C ：x 2a 2−y2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 且斜率为12的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，若2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率等于( )A. √10B. √13C. √102 D. √132二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 同时抛掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为8的概率是______ ． 14. 设函数f(x)={(12)x ,x ≤0log 2x,x >0，则f(−2)= ______ ；使f(a)<0的实数a 的取值范围是______ ．15. 已知数列{a n }满足a 1=0，a n+1=a n +n ，则a 2013= ______ ．16. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是______ (写出所有正确命题的编号)． ①当0<CQ <12时，S 为四边形 ②当CQ =12时，S 为等腰梯形③当CQ =34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R 1=14④当34<CQ <1时，S 为六边形⑤当CQ =1时，S 的面积为√62．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cosA =35，B =π4，b =√2(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及△ABC 的面积．18. 在四棱锥P −ABCD 中，△PAD 为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB =2AD =4．(Ⅰ)求证：平面PCD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥P −ABC 的体积；(Ⅲ)在棱PC 上是否存在点E ，使得BE//平面PAD ？若存在，请确定点E 的位置并证明；若不存在，说明理由．19. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下： 零件的个数x(个) 23 4 5 加工的时间y(小时)2.5 344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出y 关于x 的线性回归方程；(3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y ̂−b ̂x −)20. 已知函数f(x)=(2x −4)e x +a(x +2)2(x >0,a ∈R,e 是自然对数的底数)．(1)若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈(0,12)时，证明：函数f(x)有最小值，并求函数f(x)最小值的取值范围．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率等于√22，经过其左焦点F(−1,0)且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于两点M ，N 两点． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)O 为坐标原点，在x 轴上是否存在定点Q ，使得点F 到直线QM ，QN 的距离总相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=2sinθ，C 3：ρ=2√3cosθ． (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．23. 已知f(x)=|x +a|+|x −1a |．(1)当a =1时，求不等式f(x)≥6的解集M ；(2)若a∈M，求证：f(x)≥10．3。
湖南省长沙市长郡中学2016届高考模拟卷二数学(文)试题 含答案
数学（文科）第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1。
设集合{}{}22|20,|2,,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈则A B ⋃=（）A ．[]0,2B ．[]1,2-C ．(],2-∞D ．[)0,+∞2. 如果复数()32bi z b R i-=∈+的实部和虚部相等，则z 等于（ ）A ．32B ．22C ．3D ．23。
下列函数既是偶函数，又在()0,+∞上单调递增的是( ）A ．2y x =- B ．3y x = C ．3xy -=-D ．2logy x =4. 已知公差不为0的等差数列{}na 满足134,,a a a 成等比数列,nS 为数列{}na 的前n 项和，则3253S S S S --的值为( )A ．2-B ．3-C ．2D ．35。
已知平面向量()()1,2,2,a b k ==-,若a 与b 共线，则3a b +=（ ） A 5 B ．25 C ．52D ．6. 函数()()sin 20,0y x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π,且函数图像关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,则此函数的解析式为( )A ．2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7。
如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ） A ．()()130020a x ax a a x +++的值B ．()()0010230ax a x a a x +++的值C ．()()3020100ax a x a a x +++的值D ．()()2000310ax a x a a x +++的值8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器_____商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸),若π取3其体积为12.6（立方寸）,则图中的x 为（ ）9. 如图,圆C 内切于扇形,3AOB AOB π∠=若向扇形AOB 内随机投掷600个点,则落入圆内的点的个数估计值为（ ） A ．100 B ．200 C ．400D ．45010。
湖南省长沙市长郡中学2019届高考模拟卷(二)数学(文科)
长郡中学2019届高考模拟卷(二)数学(文科)本试題柱包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页.时羞120分钟.满分150分.第I卷一、JS择n：*H共12/hfi,毎小邇5分*在毎小题给出的四个选项中，只有一项是》?合IS目要求的* 1+已知集合M-(x|x<lhN={jr|^-±<0}则d 财门N={X|JT<1}KMUN={X|X>0}QA&N2-Bfti为曲数单位、复数乞满足工-側叫料MUI-A.y B72J 2n 1乳臬统计部门对四进行蜿计分析百•获得如图所示的锻点图.关丁相关系败的比较•其中正确的是A. nO’VOOiO乂C 唯V>*V(K T*O L4.巳知向Md=(h2)^=(bO)t c=(3M>.若人为实数则入=A. 2 . B, 1 U 丁D・* 5•在平面直角坐标系初中•双曲线C：^-^ = i(a>0,A>0)的一条渐近线与(工一2尸十GTF T相切侧A^T D旦* 16 ⑴⑶a rt<n<(Xri<nEL 口 <巧«Xrj Vrj5 10 15 20 25 30 33225 10 15 20 25 30 35S 10 15 20 25 30 35 相技霍数为心G)5 10 15 20 25 30 35 相養嘉数为匚6.半艮为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为 A •辭B 鬆C.翱/o7.要得到函数y=V3cos 2x+sin xcos 工〜兀的图象•只需将因数y=sin 2x 的图象 A-向左平移卷个单位 B 向右平移卷个单位 C.向左平移■!•个单位D.向右平移青个单位&设函数fS=a?+(a-22+2x,若/'(工)为奇函数,则曲线y=/(x)在点(1,/(1))&的切线方程为 A.y=5x —2 B ，=H +2 Q y=—5X +8 D.y=—H +4 9•如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8,三角形内的空白部分是由三 个半径为3的扇形构成■向该三角形内随机掷一点•则该点落在阴影部分的 概率为 化器K1~l6咗 心10•若 (y >x)，且 3 cos 2a=2、in(于 f) ■则 cos 2a 的值为A _也 R 4>/2 儿9B 万① ② ③A. BDJ/平面EFG 的有且只有①;丄平面EFG 的有且只有②③ BBD 〃平面EFG 的有且只有②;BD 丄平面EFG 的有且只有① C BD ｝ 〃平面EFG 的有且只有①;BD 丄平面EFG 的有且只有② D. BD 】〃平面EFG 的有且只有②丄平面EFG 的有且只有③12•已知函数｛扛；胃)',若关于工的方程只有两个不同的实根，则m 的取值 范围为 A.[l,2] B.[l,2> C.[0,l] D.[0,l)第II 卷本卷包括必考題和选考题两部分.第13〜21题为必考题，毎个试题考生都必殖作答.第22.23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空題:本大题共4小题,毎小题5分.13.巳知函数心=伫:宾1 •那么 ___________________________ ・14•已知工q 满足不等式组则r=x+2y 的最大值为 ______________________ •lr+y —6£0,D-T11•如图•在下列三个正方体ABCD A X B X C.D ｛中,EFG 均为所在棱的中点•过E,F ・G 作正方体 的截面•在各正方体中•直线BD 与平面EFG 的位置关系描述正确的是15•巳知直线hy=kx+l与圆Cd+歹一2乂一2，+1 = 0相交于A,B两点，若| AB| =短,则k =16.在税角厶应中，角A,B,C所对的边为a,b、c,若COS A+COS B（CO5 C-/3sinO=0,且6=1,则a+c的取值范围为_______ .三、解答题:共70分•解答应写岀文字说明、证明过程或演算步鼻.第17〜21题为必考履，毎个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考題:共60分17.（*■小题满分12分）设数列的前"项和为S.,且2S・=3a>-3・⑴求的通项公式；（2）若式皿求数列血｝的削”碘和・18•（左小題満分12分）如图•点C在以AB为直径的圆上运动・PA丄平面ABC^PA-ACAO.E分别是PC.PB的中点.（1）求证:PC±AE,⑵若AB=2BC=2,求点D到平面PAB的距离.19.（X小题满分】2分）某书店为了了解销售单价（单位:元）在[8,20）内的图书销售情况•从2018年上半年巳经销售的图书中随机抽取100本, 获得的所冇样本数据按尿[8,10）,[10,12）,[12,14）,[14,16）.[16,18）,[18,20）分成6组，制成如图所示的頻率分布直方图：巳知样本中销售*价在[14.16）内的图书数是销售单价在[18,20]内的图书数的2倍.（1）求出工与“再根据頻率分布直方图他计这100本图书销儕单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表n（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8,20）内的图书中共抽取40本，分别求出单价在各组样本数据中的图书销售的ftfti（3）从（2〉中价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格郝不低于10元的概率.20.（衣小题満分12分）设椭圆C占+召= l（a>Q0）,定义椭圆C的“相关圆”E的方程为黑%.若抛物线八4y的魚点与楠圆C的一个焦点更合,且椭圆C短釉的一个端点和其两个焦点构成崑角三角形.（】）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程，（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线I:与桶圆C交于A・B两点.O为坐标原点，若OA丄OB, 证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围.21.（$小题満分12分）已知函数fCr） = JT—aln x—1.（1）若函数/（工）的极小值为0■求a的值;（2） V 40 且a<l •求证）> 寮.（二）选考题:共10分•谓才生在第22.23题中任选一题作答•如果參做，则按所做的第一■计分.22.（左小题満分10分）选修4-4：坐标系与參数方程卜一2+炼・在直角坐标系xQy中•过点卩（一2•—4）的直线I的豔数方程为彳厂°为参数几以坐标原点°［尸-4+孕为极点，以工轴正半轴为极轴,建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为刖1?0=283。
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷(文科)
2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M∩N＝{x|x＜1}B．M∪N＝{x|x＞0}C．M⊆N D．N⊆M2．（5分）i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，则|z|＝（）A．B．C．1D．3．（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r14．（5分）已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（）A．2B．1C．D．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，则＝（）A．B．C．D．6．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR37．（5分）要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝5x﹣2B．y＝x+2C．y＝﹣5x+8D．y＝﹣x+49．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在下列三个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A．BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C．.BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣3））＝14．（5分）已知x，y满足不等式，则z＝x+2y最大值为．15．（5分）已知直线l：y＝kx+1与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝．16．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b＝1，则a+c的取值范围为三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝3a n﹣3．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，点C在以AB为直径的上运动，P A⊥平面ABC，且P A＝AC，点D、E分别是PC、PB的中点．（1）求证：PC⊥AE；（2）若AB＝2BC＝2，求点D到平面P AB的距离．19．（12分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8，20]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在[14，16）内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．（1）求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，记直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）求曲线C和l的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．2020年湖南省长沙市长郡中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|x2﹣x＜0}，则（）A．M∩N＝{x|x＜1}B．M∪N＝{x|x＞0}C．M⊆N D．N⊆M【解答】解：N＝{x|0＜x＜1}；∴M∩N＝{x|0＜x＜1}，M∪N＝{x|x＜1}，N⊊M．故选：D．2．（5分）i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，则|z|＝（）A．B．C．1D．【解答】解：i为虚数单位，复数z满足z（1+i）＝i，，故选：B．3．（5分）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（）A．r4＜r2＜0＜r1＜r3B．r2＜r4＜0＜r1＜r3C．r2＜r4＜0＜r3＜r1D．r4＜r2＜0＜r3＜r1【解答】解：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关；故r1＞0，r3＞0；r2＜0，r4＜0；又（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，因此，r2＜r4＜0＜r3＜r1．故选：C．4．（5分）已知向量，，．若λ为实数，，则λ＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：＝（1+λ，2），∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得λ＝．故选：C．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，即为ax﹣by＝0，圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1的圆心（2，1），半径为1，由直线和圆相切可得，＝1，化为a2+b2＝4a2﹣4ab+b2，可得3a＝4b，∴＝．故选：B．6．（5分）半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A．πR3B．πR3C．πR3D．πR3【解答】解：2πr＝πR，所以r＝，则h＝，所以V＝故选：A．7．（5分）要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：要得到函数y＝cos2x+sin x cos x﹣＝•+sin2x﹣＝sin （2x+）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．8．（5分）设函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝5x﹣2B．y＝x+2C．y＝﹣5x+8D．y＝﹣x+4【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣2）x2+2x，若f（x）为奇函数，可得a＝2，∴函数f（x）＝x3+2x，可得f′（x）＝3x2+2，又f（1）＝3；∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为：5，则曲线y＝f（x）在点（1，3）处的切线方程为：y﹣3＝5（x﹣1）．即y＝5x﹣2．故选：A．9．（5分）如图，直角三角形的两直角边长分别为6和8，三角形内的空白部分是由三个半径为3的扇形构成，向该三角形内随机掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由图可知：S△＝＝24，S白＝π×32＝，记事件A为“该点落在阴影部分”，由几何概型中的面积型得：P（A）＝1﹣＝1﹣＝1﹣，故选：B．10．（5分）若，且，则cos2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．11．（5分）如图，在下列三个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面．在各正方体中，直线BD1与平面EFG的位置关系描述正确的是（）A．BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②③B．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有①C．.BD1∥平面EFG的有且只有①；BD1⊥平面EFG的有且只有②D．BD1∥平面EFG的有且只有②；BD1⊥平面EFG的有且只有③【解答】解：①中利用GE∥BD，EF∥BB1，可证得平面EFG∥平面BB1D1D，从而确定BD1∥平面EFG；②中利用EF⊥A1B则EF⊥BD1；EG⊥AD1，则EG⊥BD1，可得BD1⊥平面EFG；③设棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，0），F（2，1，2），G（0，2，1），∴，，，∴＝﹣2﹣2+4＝0，＝2﹣4+2＝0，∴BD1⊥EF，BD1⊥EG，∴BD1⊥平面EFG，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，则m的取值范围为（）A．[1，2]B．[1，2）C．[0，1]D．[0，1）【解答】解：f（f（x））＝，画出函数图象，因为关于x的方程f（f（x））＝m只有两个不同的实根，x1，x2，所以x1＜0，x2＞2，∴0≤m＜1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分.13．（5分）已知函数f（x）＝，那么f（f（﹣3））＝25【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，则f（﹣3）＝2﹣（﹣3）＝5，则f（f（﹣3））＝f（5）＝（﹣5）2＝25；故答案为：2514．（5分）已知x，y满足不等式，则z＝x+2y最大值为11．【解答】解：先根据x，y满足不等式，画出可行域，目标函数z＝x+2y，经过点B时z取得最大值，B（1，5），可得z max＝1+2×5＝11，故最大值为：11，故答案为：11．15．（5分）已知直线l：y＝kx+1与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相交于A，B两点，若|AB|＝，则k＝±1．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，化为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆心为C（1，1），半径为1，则圆心到直线的距离为d＝，即＝，解得：k＝±1．故答案为：±1．16．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若．且b＝1，则a+c的取值范围为（，2]【解答】解：∵，∴cos B（cos C﹣sin C）＝cos（B+C）＝cos B cos C﹣sin B sin C，可得：sin B sin C＝sin C cos B，∵sin C≠0，∴可得：tan B＝，∴由B为锐角，可得B＝，∵由正弦定理＝，b＝1，∴a+c＝（sin A+sin C）＝[sin A+sin（﹣A）]＝（cos A+sin A）＝2sin （A+），∵，可得：A∈（，），∴A+∈（，），可得：sin（A+）∈（，1]，∴a+c＝2sin（A+）∈（，2]．故答案为：（，2]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n ＝，求数列{b n }的前n 项和．【解答】解：（1）因为2S n ＝3a n ﹣3． 所以2s n ﹣1＝3a n ﹣1﹣3（n ≥2） 所以2a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1（n ≥2）， ∴＝3（m ≥2），∵2s 1＝3a 1﹣3， ∴a 1＝3数列{a n }是以首项为3，公比为3的等比数列，故a n ＝3n （2）因为b n ＝＝＝所以∴T n ＝b 1+b 2+…+b n ＝ ＝1﹣＝18．（12分）如图，点C 在以AB 为直径的上运动，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝AC ，点D 、E 分别是PC 、PB 的中点． （1）求证：PC ⊥AE ；（2）若AB ＝2BC ＝2，求点D 到平面P AB 的距离．【解答】（1）证明：∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB是圆的直径，∴BC⊥AC，又AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC．∴BC⊥PC，∵DE是△PBC的中位线，∴DE∥BC，∴PC⊥DE，∵P A＝AC，D是PC的中点，∴AD⊥PC，又AD∩DE＝D，∴PC⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，∴PC⊥AE．（2）解：取AC中点F，过F作FM⊥AB于M，∵D，F分别是PC，AC的中点，∴DF∥P A，又DF⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴DF∥平面P AB，∴D到平面P AB的距离等于F到平面P AB的距离．∵P A⊥平面ABC，FM⊂平面ABC，∴FM⊥P A，又FM⊥AB，P A∩AB＝A，∴FM⊥平面P AB，∴F到平面P AB的距离为线段FM的长．在Rt△ABC中，∵AB＝2AC＝2，∴AC＝，∴C到AB的距离为＝，又F为AC的中点，∴FM＝．∴点D到平面P AB的距离为．19．（12分）某书店为了了解销售单价（单位：元）在[8，20]内的图书销售情况，从2018年上半年已经销售的图书中随机抽取100本，获得的所有样本数据按照[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：已知样本中销售单价在[14，16）内的图书数是销售单价在[18，20]内的图书数的2倍．（1）求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从销售单价在[8，20]内的图书中共抽取40本，求单价在6组样本数据中的图书销售的数量；（3）从（2）中抽取且价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格都不低于10元的概率．【解答】解：（1）样本中图书的销售单价在[14，16）内的图书数是x•2×100＝200x，样本中图书的销售单价在[18，20）内的图书数是y•2×100＝200y，依据题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①根据频率分布直方图可知（0.1×2+0.025+x+0.05+y）×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0.075．（3分）根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为×0.025×2+×0.05×2+×0.1×2+×0.15×2+×0.1×2+×0.075×2＝0.45+1.1+2.6+4.5+3.4+2.85＝14.9（元）（6分）（2）因为销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]的图书的分层抽样比为1：2：4：6：4：3，故在抽取的40本图书中，销售单价在[8，10），[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]内的图书分别为40×＝2，40×＝4，40×＝8，40×＝12，40×＝8，40×＝6 （本）（8分）（3）这40本书中价格低于12元的共有6本，其中价格低于10元的2本，记这2本为A1，A2，另外4本记为B1，B2，B3，B4，从中抽取2本的基本事件有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4共15个，其中价格不低于10元的有6个，所以：这2本书价格都不低于10元的概率P＝＝．（12分）20．（12分）设椭圆，定义椭圆C的“相关圆”方程为．若抛物线x2＝4y的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形．（1）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（2）过“相关圆”E上任意一点P的直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝4y的焦点（0，1）与椭圆C的一个焦点重合，∴c＝1，又∵椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，则a2＝b2+c2＝2．故椭圆C的方程为，“相关圆”E的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得（2+k2）x2+2kmx+m2﹣2＝0，△＝4k2m2﹣4（2+k2）（m2﹣2）＝4（2k2﹣2m2+4）＞0，即k2﹣m2+2＞0．，，y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝．由条件OA⊥OB，得3m2﹣2k2﹣2＝0，原点O到直线l的距离是d＝，由3m2﹣2k2﹣2＝0，得d＝为定值．又圆心到直线l的距离为，∴直线l与圆由公共点P，满足条件．由△＞0，即k2﹣m2+2＞0，∴＞0，即m2+2＞0．又，即3m2≥2，∴，即m或m．综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx﹣1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝x﹣alnx﹣1，∴，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故f（x）在x＝a取得极小值0，∴f（a）＝a﹣alna﹣1＝0，令p（a）＝a﹣alna﹣1，p'（a）＝﹣lna，所以p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故p（a）≤p（1）＝0，∴f（a）＝0的解为a＝1，故a＝1．证明：（2）证法1：由，∵a≤1，所以只需证当t＞0时，恒成立，令，由（1）可知x﹣lnx﹣1≥0，令x＝e t得e t﹣t﹣1≥0，∴g（t）在（0，+∞）上递增，故g（t）＞g（0）＝0，故．证法2：，设（t＞0），则g'（t）＝e t﹣at﹣a，则g''（t）＝e t﹣a，又e t＞e0＝1，a≤1，得g''（t）＞0，∴g'（t）单调递增，得g'（t）＞g（0）＝1﹣a≥0，∴g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）＝0，故．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，﹣4）的直线l 的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ，记直线l与曲线C分别交于M，N两点．（1）求曲线C和l的直角坐标方程；（2）证明：|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．【解答】解：（1）由ρsin2θ＝2cosθ，得ρ2sin2θ＝2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝2x，由消去参数t得直线l得普通方程为y＝x﹣2．（2）证明，将直线l的参数方程代入y2＝2x中，t2﹣10t+40，设M，N对应的参数为t1，t2，则有t1+t2＝10，t1t2＝40．第21页（共22页）所以|MN|2＝|t1﹣t2|2＝（t1+t2）2﹣4t1t2＝40，因为|PM|×|PN|＝|t1t2|＝40＝|MN|2，∴|PM|、|MN|、|PN|成等比数列．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．（1）解不等式f（x）＜|x﹣1|；（2）若∃x∈R，使得f（x）≥|2x﹣1|+b成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＜|x﹣1|，可得|x+3|﹣2＜|x﹣1|，当x≥1时，x+3﹣2＜x﹣1不成立，当﹣3＜x＜1时，x+3﹣2＜1﹣x，∴﹣3＜x＜0，当x≤﹣3时，﹣x﹣3﹣2＜1﹣x，﹣5＜1成立，∴不等式f（x）＜|x﹣1|的解集为{x|x＜0}．（2）依题意，|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2≥b，令g（x）＝|x+3|﹣|2x﹣1|﹣2＝，易知g（x）max＝g （）＝，则有≥b，即实数b 的取值范围是（﹣∞，]．第22页（共22页）。
湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷二文科数学试卷
炎德∙英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合{}2|60Q x R x x =∈--<,则P Q 等于( )A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[1,3)2.复数z 满足(2)3z i i +=-,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第三象限3.某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( ) A ．13B ．38C ．23D ．584.已知曲线2()ln x f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π,则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12-D ．1-5.已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．16.设{}n a 是公差不为0的等差数列,满足22224567a a a a +=+,则{}n a 的前10项和10S =( )A ．10-B ．5-C ．0D ．57.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,02ϕπ≤≤)在R 上的部分图像如图所示,,则(2018)f 的值为( )A ．25B ．5-C ．52-D ．58.设0a b >>,1a b +=,且1()bx a=,1log aby ab =,1log bz a =,则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．y z x <<B ．z y x <<C ．x y z <<D ．y x z <<9.《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．1110.已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误的是（ ）A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．异面直线OH 和求AE 所成角为60︒D ．四面体A OEF -的外接球表面积为6π12.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与过原点的直线交于A 、B 两点，右焦点为F ，120AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为43，则椭圆E 的焦距的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C ．[23,)+∞D ．[43,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件10,0,240,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．14.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则此双曲线的离心率为 ．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为 ．16.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，其对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4A =，2C A =. （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值.18.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，3CD =.（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X （单位：小时） 3050X <<5070X ≤≤70X >光照控制仪最多可运行台数321若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.附：相关系数公式12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，参考数据0.30.55≈，0.90.95≈.20.已知动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.21.已知函数21()()f x x λ=-，2()ln f x x =（0x >，且1x ≠）.（1）当1λ=时，若对任意(1,)x ∈+∞，12()()f x k f x ≥⋅恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若(0,1)λ∈，设()f x 12()()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，判断'()f x 的零点个数，并证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l ：251,5515x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-，关于x 的不等式()3|21|f x x <-+的解集记为A . （1）求A ；（2）已知a ，b A ∈，求证：()()()f ab f a f b >-.炎德∙英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（文科）答案一、选择题1-5:BDBDA 6-10:CDAAB 11、12：CB二、填空题13.32 14.2 15.643π16.2525 三、解答题17.解：（1）∵由3cos 4A =，得7sin 4A =，∴221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=，∴237sin 1cos 8C C =-=， 又∵A B C π++=，[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，∴57sin sin()sin cos cos sin 16B AC A C A C =+=+=. （2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin 5sin a Bb A ==，∴ABC ∆的面积1157sin 24S ab C ==. 18.（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD ， 因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以AB OC ⊥，3OC =，又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=︒，所以DAB ∆是正三角形，所以AB OD ⊥，3OD =， 而ODOC O =，所以AB ⊥平面DOC ，所以AB CD ⊥.（2）解：取OD 的中点H ，连接CH ，由（1）知OC CD =，所以CH OD ⊥，AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD ，而平面DOC平面ABD OD =，所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是C 在平面ABD 内的正投影， 设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 的距离我2d ， 因为在BCD ∆中，2BC BD ==，3CD =，得22131133932()322224BCD S ∆=⋅⋅-=⋅⋅=， 在OCD ∆中，3OC OD CD ===，得13333sin 6024OCD S ∆=⋅⋅⋅︒=， 所以由O BCD B OCD V V --=，得11133BCD OCD S h S OB ∆∆⋅=⋅，即139133213334d ⋅⋅=⋅⋅， 解得31326d =，所以H 到平面BCD 的距离为31326. 19.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，52222221()(3)(1)01325ii x x =-=-+-+++=∑，52222221()(1)00012ii y y =-=-++++=∑，所以相关系数12211()()690.9510252()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--===≈⋅--∑∑∑，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=元， 当5070X ≤≤时，共有55周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=元， 当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=元. 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，因为动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2，所以4x >-且22(2)|4|2x y x -+=+-， 化简得28y x =，所以轨迹C 的方程为28y x =.（2）假设存在满足条件的点(,0)M m （0m >），直线l ：x ty m =+，有2,8,x ty m y x =+⎧⎨=⎩2880y ty m --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，有128y y t +=，128y y m =-，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222222121111||||(1)(1)AM BM t y t y +=+++222122222212114114y y t mt y y t m++=⋅=⋅++， 据题意，2211||||AM BM +为定值，则2221414t m t m λ+⋅=+，于是2222444m t m m t λλ+=+，则有224,1,m m m λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得4m =，故当4m =时，2211||||AM BM +为定值116，所以(4,0)M . 21.解：（1）当1λ=时，对任意(1,)x ∈+∞，2(1)ln 0x k x --⋅≥恒成立，令2()(1)ln g x x k x =--⋅，求导222'()x x kg x x--=，由1x >，则2222(1)0x x x x -=->，若0k ≤，则'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g >=，符合题意，当0k >时，令'()0g x =，解得111202k x -+=<，211212kx ++=>， 则()g x 在2(1,)x 上是减函数，当2(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不符合题意， 综上可知k 的取值范围为(,0]-∞.（2）证明：由题意：2()(2ln 1)'()ln x x xf x xλλ-+-=，由此可得1x λ=为一个零点，令()2ln 1h x x xλ=+-（0x >），则22'()x h x x λ-=， ()h x 的减区间为(0,)2λ，单调增区间为(,)2λ+∞，其中01λ<<，则min ()()2ln11ln 4022h x h λλ==+<-<，()2ln 0h λλ=<，(1)10h λ=-<，当2x e λ=>时，()110h e eλ=+->，由零点存在定理及单调性可知在(,)2λ+∞上存在唯一的零点2x ，取2222()2x ee λλλ=<，则222()4ln 5e h e λλλ=+-，令2()4ln 5e g λλλ=+-，知()g λ在(0,1)上是减函数，故当(0,1)λ∈时，2()(1)50g g e λ>=->，即22()0h e λ>，由零点存在定理及单调性可知在22(,)2e λλ上存在唯一232(,)2x e λλ∈，3()0h x =，由()h x 的单调递减区间是(0,)2λ，则在(0,)2λ上()h x 仅存在唯一的零点3x ， 综上可知'()f x 共有三个零点.22.解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=. （2）点(22,)4P π的直角坐标为(2,2)，(2cos ,sin )Q αα，1(1cos ,1sin )2M αα++， M 到l 的距离|1cos 2sin 3|10|sin()|545d ααπα+++-==+，从而最大值为105. 23.解：（1）由()3|21|f x x <-+，得|1||21|3x x -++<，即1,21213,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或11,21213,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或1,1213,x x x ≥⎧⎨-++<⎩ 解得112x -<≤-或112x -<<， 所以，集合{}|11A x R x =∈-<<. （2）证明：∵a ，b A ∈，∴11ab -<<，∴()|1|1f ab ab ab =-=-，()|1|1f a a a =-=-，()|1|1f b b b =-=-， ∵()(()())111(1)(1)0f ab f a f b ab a b a b --=--++-=+->， ∴()()()f ab f a f b >-.。
湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷(二)文科数学试题(精编含解析)
炎德英才大联考长郡中学2018届高考模拟卷（二）数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,集合,则等于( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先化简集合P，Q，进而求交集即可.详解: P={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q=（﹣2，3）；∴P∩Q={1，2}．故选：B．点睛：本题考查描述法、列举法表示集合的概念，一元二次不等式的解法及交集的运算，属于基础题．2. 复数满足,则复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第三象限【答案】D【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，即可得到结果．详解: ：由z（2+i）=3﹣i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．3. 某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】设小明到达时间为，当在7:50至8:00，或8:15至8:30时，小明等车时间不超过15分钟，故，选D.4. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a 的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．5. 已知平面向量,满足,,与的夹角为,若,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由，可得（+m）•=0，再利用数量积的运算和定义展开即可得出．详解: ∵||=3，||=2，与的夹角为120°，∴=cos120°==﹣3．∵（+mb）⊥，∴（+m）•==32﹣3m=0，解得m=3．故选：D．点睛：本题考查了数量积的运算和定义、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．6. 设是公差不为0的等差数列,满足,则的前项和( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据题意变形可得：，整理可得a5+a6=0，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．详解: ：a42+a52=a62+a72，化简可得：，即2d（a6+a4）+2d（a7+a5）=0，d≠0．∴a6+a4+a7+a5=0，∵a5+a6=a4+a7，∴a5+a6=0，∴S10==5（a5+a6）=0，故选：C．点睛：在处理等差数列问题时，记住以下性质，可减少运算量、提高解题速度：若等差数列的前项和为，且，则①若，则；②、、、成等差数列．7. 函数(,,)在上的部分图像如图所示,,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得函数的解析式，然后求解函数值即可求得最终结果．详解: 由函数的图象可得A=5，周期，∴．再由五点法作图可得，∴，故函数．故．故选：D．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.8. 设,,且,,,则、、的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由已知得到a，b的具体范围，进一步得到ab，，的范围，结合指数函数与对数函数的性质得结果．详解：由a＞b＞0，a+b=1，得0，，且0＜ab＜1，则，，a＜，∴x=（）b＞0，y=log ab=﹣1，0=＞z=log a＞=﹣1，∴y＜z＜x．故选：A．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比9. 《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的的值为35，则输入的的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】起始阶段有，，第一次循环后，，；第二次循环后，，；第三次循环后，，；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A.10. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据奇偶函数的性质求出b，再根据f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，结合x∈[﹣2，2]，求出x的范围．详解：∵f（x）是定义在[﹣2b，1+b]上的偶函数，∴﹣2b+1+b=0，∴b=1，∵函数f（x）在[﹣2b，0]上为增函数，∴函数f（x）在[﹣2，0]上为增函数，故函数f（x）在[0，2]上为则由f（x﹣1）≤f（2x），可得|x﹣1|≥|2x|，即（x﹣1）2≥4x，求得﹣1≤x≤，再结合x∈[﹣2，2]，故f（x﹣1）≤f（2x）的解集为[﹣1，]，故选：B．点睛：处理抽象不等式的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．11. 如图，在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，为的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（）A. 平面B. 直线与平面所成角的正切值为C. 异面直线和求所成角为D. 四面体的外接球表面积为【答案】C【解析】分析：根据折叠前后垂直关系不变，易得OA⊥平面EOF，利用空间角定义逐一判断B，C,D 的正确性.详解：翻折前，AB⊥BE，AD⊥DF，故翻折后，OA⊥OE，OA⊥OF，又OE∩OF=O，∴OA⊥平面EOF．故A正确；连接OH，AH，则∠OHA为AH与平面EOF所成的角，∵OE=OF=1，H是EF的中点，OE⊥OF，∴OH=EF=．又OA=2，∴tan∠OHA==2，故B正确；取AF的中点P，连接OP，HP，则PH∥AE，∴∠OHP为异面直线OH和求AE所成角，∵OE=OF=1，OA=2，∴OP=AF=，PH=AE=，OH=EF=，∴cos∠OHP==，故C错误．由OA，OE，OF两两垂直可得棱锥的外接球也是棱长为1，1，2的长方体的外接球，∴外接球的半径r==，故外接球的表面积为S=4πr2=6π，故D正确．故选：C．点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．12. 已知椭圆：与过原点的直线交于、两点，右焦点为，，若的面积为，则椭圆的焦距的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用三角形的面积公式和椭圆的性质得出a≥4，再根据三角形的面积公式得出当A与短轴端点重合时，c取得最小值，利用椭圆的性质求出2c的最小值即可．详解: 取椭圆的左焦点F1，连接AF1，BF1，则AB与FF1互相平分，∴四边形AFBF1是平行四边形，∴AF1=BF，∵AF+AF1=2a，∴AF+BF=2a，∵S△ABF=AF•BF•sin120°=AF•BF=4，∴AF•BF=16，∵2a=AF+BF≥2=8，∴a≥4，又S△ABF==c•|y A|=4，∴c=，∴当|y A|=b=时，c取得最小值，此时b=c，∴a2=3c2+c2=4c2，∴2c=a，∴2c≥4．故选：B．点睛：：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量，满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．详解: 满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，由可得C（，﹣），由：，可得A（﹣4，4），由可得B（2，1），当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．故选：D．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 双曲线(,)的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】因为双曲线的渐近线是，所以圆心到渐近线的距离，即，解之得，应填答案。
2025届湖南长郡中学高考考前提分数学仿真卷含解析
2025届湖南长郡中学高考考前提分数学仿真卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====若CP C 12,Q ⋅=则ADC ∠=( ) A ．56π B ．34π C ．23π D ．2π 2．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．231,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ C ．)3,⎡+∞⎣ D ．(1,3⎤⎦ 3．已知集合2{|23}A x y x x ==-++，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．A B A = B ．A B B ⋃= C ．()U A B =∅ D ．U B A ⊆4．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）A ．764B ．1132C ．5764D ．11165．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥6．设双曲线22221x y a b -=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于22a a b ++，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A ．(1,0)(0,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(2,0)(0,2)- D ．(,2)(2,)-∞-+∞7．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．MN N = B ．()U M N =∅ C ．M N U = D ．()U M N ⊆8．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A ．29B ．2932-C ．1923-D ．5 9．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )A ．16B ．17C ．18D ．1910．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件 11．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞ B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学下学期二模考试试题 文含解析 试题
长郡中学2021届高三数学下学期二模考试试题文〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分.在每一小题给出的四个选项里面.只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求解不等式可得，据此结合交集、并集、子集的定义考察所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式可得，那么：，选项A错误；，选项B错误；，选项C错误，选项D正确；应选：D.【点睛】此题主要考察集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.2.i为虚数单位，复数z满足z〔1+i〕=i，那么|z|=〔〕A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】试题分析：由得，所以，故答案为B．考点：复数的运算．3.某统计部门对四组数据进展统计分析后，获得如下图的散点图，关于相关系数的比拟，其中正确的选项是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的特点，可知〔1〕〔3〕为正相关，〔2〕〔4〕为负相关，再由相关性的强弱可比拟出大小关系。
【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：〔1〕〔3〕为正相关，〔2〕〔4〕为负相关；故，；，；又〔1〕与〔2〕中散点图更接近于一条直线，故，，因此，．应选：C．【点睛】相关系数：当r＞0时，说明两个变量正相关；当r＜0时，说明两个变量负相关；r的绝对值越接近于1，说明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0时，说明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
，假设为实数，，那么〔〕A. 2B. 1C.D.【答案】C【解析】和平行，故，解得.中，双曲线的一条渐近线与圆相切，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】符合条件的渐近线方程为，与圆相切，即d=r，代入公式，即可求解【详解】双曲线C的渐近线方程为，与圆相切的只可能是，所以圆心到直线的间隔 d=，得，所以，应选B。
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考高考数学二模试卷 文(含解析)
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3} 2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6．（5分）下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=sin2x B．f（x）=xe x C．f（x）=x3﹣x D．f（x）=﹣x+lnx7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9 B．18+9C．18+3D．9+188．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f （x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞﹣3} D．{x|﹣3＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接由并集运算求解．解答：解：由集合A={x|x＞﹣2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|x＞﹣2}∪{x|﹣3＜x＜3}={x|x＞﹣3}．故选：C．点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．（5分）不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先根据x的范围，判定（x﹣1）tanx的符号，然后取x=4时，（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，），从而说明若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．解答：解：∵1＜x＜∴（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0而当x=4时，（x﹣1）＞0，tanx＞0则（x﹣1）tanx＞0，但4∉（1，）∴不等式1＜x＜成立是不等式（x﹣1）tanx＞0成立的充分不必要条件故选A．点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3．（5分）为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．9 B．18+9C．18+3D．9+18考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC的三棱锥，结合图形，求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面是等腰三角形，侧棱PB⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；且AC=6，PB=3；取AC的中点D，连接PD，BD，∴BD⊥AC，BD=3；∴S△ABC=AC•BD=×6×3=9，S△PAB=S△PBC=AB•PB=××3=，S△PAC=AC•PD=×6×=9，∴该几何体的表面积为S=S△ABC+S△PAD+S△PBC+S△PAC=9+++9=9+18．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（）A．6 B．3 C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线的焦点坐标和准线方程，设出P，Q的坐标，得到向量PF，FQ的坐标，由向量共线的坐标关系，以及抛物线的定义，即可求得．解答：解：抛物线C：x2=8y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2，设P（a，﹣2），B（m，），则=（﹣a，4），=（m，﹣2），∵，∴2m=﹣a，4=﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=+2=4+2=6．故选A．点评：本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．9．（5分）称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．10．（5分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4a|（a＞0），若对∀x∈R，都有f（2x）﹣1≤f （x），则实数a的最大值为（）A．B．C．D．1考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得，|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，分类讨论求得实数a的最大值．解答：解：f（2x）﹣1≤f（x）恒成立，即|2x﹣a|﹣|2x﹣4a|﹣1≤|x﹣a|﹣|x﹣4a|恒成立，即|2x﹣a|+|x﹣4a|≤|x﹣a|+|2x﹣4a|+1恒成立．此不等式中，绝对值的“根”共有4个：，a，2a，4a，当x＜时，不等式即 a﹣2x+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即0≤1．当≤x＜a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤a﹣x+4a﹣2x+1，即2x﹣≤a，故有2a﹣≤a，即a≤．当a≤x＜2a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+4a﹣2x+1，即x≤．当2a≤x＜4a时，不等式即 2x﹣a+4a﹣x≤x﹣a+2x﹣4a+1，即8a≤2x+1，故8a≤4a+1，可得a≤．当x≥4a时，不等式即 2x﹣a+x﹣4a≤a﹣x+2x﹣4a+1，即0≤1．综上可得，a≤，故a的最大值为，故选：B．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上．11．（5分）已知复数z=1+i（其中i是虚数单位），则z2+z=1+3i．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．解答：解：由z=1+i，得z2+z=（1+i）2+（1+i）=1+2i+i2+1+i=1+3i．故答案为：1+3i．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题．12．（5分）若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为﹣．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把直线的参数方程化为直角坐标方程，即可求出直线的斜率．解答：解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程为 3x+2y ﹣7=0，故直线的斜率为﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，求直线的斜率，属于基础题．13．（5分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线⇔方程f′（x）=在区间x∈（0，+∞）上有解，并且去掉直线2x﹣y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可．解答：解：，（x＞0）．∵函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，∴方程在区间x∈（0，+∞）上有解．即在区间x∈（0，+∞）上有解．∴a＜2．若直线2x﹣y=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）．则，解得x0=e．此时．综上可知：实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣）∪．故答案为：（﹣∞，2﹣）∪．点评：本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题．14．（5分）在区间和分别取一个数，记为a，b，则方程表示离心率大于的双曲线的概率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；概率与统计．分析：当方程表示离心率大于的双曲线，表示焦点在x轴上且离心率大于的双曲线时，计算出（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间和分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解即可．解答：解：∵方程表示离心率大于的双曲线，∴＞，∴b＞2a，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程表示离心率大于的双曲线的概率为：P===，故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查几何概型的概率的求法，属于中档题．15．（5分）在锐角△ABC中，AC=6，B=2A，则边BC的取值范围是．．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据三角形为锐角三角形，解不等式得＜A＜．再由正弦定理，得BC=，结合余弦函数的单调性加以计算，即可得到BC的取值范围．解答：解：∵锐角△ABC中，B=2A，∴，解之得＜A＜，∵AC=1，且=，∴BC==6•=，∵＜A＜，得＜cosA＜，∴2＜3，得BC=∈（2，3），故答案为：．点评：本题给出锐角三角形的一个角是另一角的二倍，求边BC的取值范围，着重考查了三角形内角和定理和利用正、余弦定理解三角形等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）编号为A1，A2，…A16的16名蓝球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分15 35 21 28 25 36 18 34运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分17 26 25 33 22 12 31 38（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间人数（2）从得分在区间人数 4 6 6（2）从得分在区间即（A3，A4）、（A3，A5）、（A3，A10）、（A3，A11）、（A3，A13）、（（A4，A5）、（A4，A10）、（A4，A11）、（A4，A13）、（A5，A10）、（A5，A11）、（A5，A13）、（A10，A11）、（A10，A13）、（ A11，A13）．而满足2人得分之和大于50分的有5个，故这2人得分之和大于50分的概率为=．点评：本题考查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，频率分布表的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于中档题．17．（12分）如图，已知四棱锥的侧棱PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M在侧棱上．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若侧棱PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为侧棱PC的中点，求异面直线BM与PA所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明BD⊥BC，PD⊥BC，即可证明BC⊥平面BDP；（2）取PD中点为N，并连结AN，MN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角，在△PAN中，利用余弦定理，即可求出异面直线BM与PA所成角的余弦值．解答：（1）证明：由已知可算得，∴BD2+BC2=16=DC2，故BD⊥BC，又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，故PD⊥BC，又BD∩PD=D，所以BC⊥平面BDP；…6分（2）解：如图，取PD中点为N，并连结AN，MN，BM∥AN，则∠PAN即异面直线BM与PA所成角；又PA⊥底面ABCD，∴∠PCD即为PC与底面ABCD所成角，即，∴，即，又，，则在△PAN中，，即异面直线BM与PA所成角的余弦值为．…12分．点评：本题考查线面垂直，考查异面直线BM与PA所成角的余弦值，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足（n≥2）．（Ⅰ）求证：{}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，若对任意的n∈N*，不等式4T n＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由已知可得，，结合等差数列的通项公式可求s n，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和可求T n，求出T n的范围可求a的范围解答：解：（I）∵∴∴∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列∴=n∴∴=n+n﹣1=2n﹣1（n≥2）当n=1时，a1=1也适合∴a n=2n﹣1（II）∵==∴==∴T n∵4T n＜a2﹣a恒成立∴2≤a2﹣a，解得a≥2或a≤﹣1点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求数列的通项公式，及数列的裂项求和方法的应用及恒成立与最值求解的应用．19．（13分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将矩形纸片在右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，设EF=l，∠EFB=θ，那么的l长度取决于角θ的大小．（1）写出用θ表示l的函数关系式，并给出定义域；（2）求l的最小值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，利用直角三角形的边角关系可得：，可得BF=≤16，可得，又显然，即可得出函数定义域．（2）由，，令f（x）=x﹣x3（），利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：（1）由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得，，即所求函数关系式为，由得，，又显然，∴，即函数定义域为．（2）∵，，令f（x）=x﹣x3（），f′（x）=1﹣3x2=≥0，∴函数f（x）在单调递增，∴当时，，∴l的最小值为．点评：本题考查了矩形的对折问题、直角三角形的边角关系、倍角公式、三角函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（13分）如图，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B、F分别为其短轴的一个端点和左焦点，且|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点为A1，A2，过定点N（2，0）的直线与椭圆C交于不同的两点D1，D2，直线A1D1，A2D2交于点K，证明点K在一条定直线上．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知，=，e=，结合a2=b2+c2，可得椭圆C的方程；（2）通过联立直线D1D2与椭圆方程、利用韦达定理，得，，设直线A1D1、A2D2，并联立两直线方程，消去y得，计算即得结论．解答：解：（1）由已知，=，e=，且a2=b2+c2，∴，b=1，因此椭圆C的方程；（2）由题意，设直线D1D2：y=k（x﹣2），D1（x1，y1），D2（x2，y2），联立，得：（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由韦达定理，得，①设直线A1D1：，A2D2：，联立两直线方程，消去y得：②又，，并不妨设D1，D2在x轴上方，则，，代入②中，并整理得：=，将①代入上式，并化简得，解得x=1，因此直线A1D1，A2D2交于点K在定直线x=1上．点评：本题主要考查椭圆的定义和简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21．（13分）设函数f（x）=﹣x+alnx（a∈R）（e=2.71828…是一个无理数）．（1）若函数f（x）在定义域上不单调，求a的取值范围；（2）设函数f（x）的两个极值点分别为x1和x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k，若k≤•a﹣2恒成立，求a的取值集合．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出导数，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．讨论①当﹣2≤a≤2时，②当a＜﹣2时，③当a＞2时，由导数符号确定函数的单调性，即可得到a的范围；（2）运用韦达定理可得a=x1+x2=x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．解答：解：（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣﹣1+=﹣，令g（x）=x2﹣ax+1，其判别式△=a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．②当a＜﹣2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，故在（0，+∞）上，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．③当a＞2时，△＞0，设g（x）=0的两个根x1，x2都大于零，令x1=，x2=，x1x2=1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，综上所述，a的取值范围是（2，+∞）．（2）依题意及（1）知，a=x1+x2=x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）=+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴k==﹣﹣1+a•=﹣2+a•．若k≤•a﹣2，则﹣2+a•≤•a﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1=，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）=﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）=﹣﹣1+•，记x1′=，x2′═，由（1）③知F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）=0，F（e）=0，所以，当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）=x22﹣ax2+1=0，得a=x2+≥e+（∵a=x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，所以a的取值集合是{a|a≥e+}．点评：本题考查导数的运用：求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题．。
湖南省长郡中学2019届高三下学期第二次模拟考试 数学(文)试题【含答案】
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湖南省长沙市长郡中学2016届高考模拟卷二数学（文）一、选择题：共12题1．设集合则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查集合的含义与表示,集合的基本运算.由题意得=;所以=.故选B.2．如果复数的实部和虚部相等,则等于A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查复数的概念与运算.由题意得,其实部和虚部相等,所以,解得,所以,所以=.故选A.3．下列函数既是偶函数,又在上单调递增的是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查函数的性质,指数、对数函数.在上单调递减,排除A;是奇函数,排除B;不具有奇偶性,排除C.故选D.4．已知公差不为的等差数列满足成等比数列,为数列的前项和,则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查等差、等比数列.因为成等比数列,所以,即,整理得,所以.故选C.【备注】等差数列中.5．已知平面向量,若与共线,则A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查平面向量的线性运算与数量积.因为与共线,所以;即,所以.故选A.6．函数的最小正周期为,且函数图象关于点对称,则此函数的解析式为A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质.因为函数的最小正周期为,所以,排除A,B;,所以的图象不关于点对称,排除C;故选D.7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的为A.的值B.的值C.的值D.的值【答案】C【解析】本题主要考查利用算法解决多项式的求值问题.研究程序框图，运行程序可得：k=3,S=a3;k=2,S=a2+a3x0;k=1,S=a1+x0(a2+a3x0);k=0,S=,此时，满足条件，循环结束，输出结果，因此，输出的值为：的值8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前年商鞅督造一种标准量器~商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若取,其体积为(立方寸),则图中的为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查三视图,空间几何体的体积.由三视图可得该几何体的体积,解得.故选B.9．如图,圆内切于扇形;若向扇形内随机投掷个点,则落入圆内的点的个数估计值为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查扇形的面积公式,几何概型.连接并延长交弧于点,过圆心作,令;在中,,所以;由几何概型可得:落入圆内的点的个数估计值n=.故选C.【备注】几何概型:.10．已知双曲线的离心率为,若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为,则抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查距离公式,双曲线的几何性质,抛物线的标准方程.由题意得的离心率的焦点到的渐近线的距离,所以;所以抛物线的方程为.故选D.【备注】双曲线,离心率.11．在四棱锥中,四条侧棱长均为,底面为正方形,为的中点,且,若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查空间几何体的结构特征,空间几何体的表面积.令底面正方形的边长为,如图所示;因为为的中点,且,所以;由三角形与三角形相似可得,即;所以正方形的外接圆半径为,所以四棱锥的高;而四棱锥的外接球的半径,满足,解得,所以四棱锥的外接球的表面积.故选B.12．已知函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“期盼函数”,给出下列函数:①;②;③;④.其中是“期盼函数”的个数为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数、三角函数的性质与最值,新定义问题.若成立,则对一切实数均成立,显然不存在,所以①不是“期盼函数”;若成立,当时,显然不存在,所以②不是“期盼函数”;若成立,则对一切实数均成立,显然存在,所以③是“期盼函数”;若成立,则对一切实数均成立,(而),显然存在,所以④是“期盼函数”.因此其中是“期盼函数”的个数为2.故选B.二、填空题：共4题13．对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图,根据标准,产品长度在区间上为一等品,在区间和上为二等品,在区间和上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取件,则其为二等品的概率是.【答案】【解析】本题主要考查频率分布直方图.对应的频率对应的频率,所以二等品对应的频率;所以现从该批产品中随机抽取件,则其为二等品的概率是.14．若实数满足不等式组,则函数的最大值为.【答案】【解析】本题主要考查线性规划问题.画出可行域(如图所示),;当过点时,函数取得最大值.15．分别为椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,为坐标原点,且,则= .【答案】本题考查椭圆的几何性质,平面向量的线性运算.因为,所以,C为,的中点,而为的中点,所以所以.【解析】无16．已知数列满足,则数列的前项和的最大值为.【答案】【解析】本题主要考查指数、对数运算,数列的通项与求和.由题意得所以的最大值为=127.三、解答题：共8题17．在中,内角的对应边分别为,已知(1)求的值;(2)若的面积为,求的值.【答案】(1)由正弦定理得又所以,即有又即,又故,即.(2)由得①由余弦定理得,得,即,②由①②得或.【解析】本题主要考查正、余弦定理,三角形的面积公式,和角公式.(1)由正弦定理得,再由和角公式展开得即故,即.(2)由得,由余弦定理得,解得或.【备注】正弦定理:,余弦定理:,三角形的面积公式:.18．如图为梯形,点在上,现将沿折起,使得平面平面,如图.(1)求证:平面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)由图及折起过程可知,在图中,面,即;又平面平面面,即面.(2)由(1)知面,又面,侧面面;过作,则面,故即为到平面的距离;又易知面,所以即为到平面的距离.又由已知,所以在中,,因此,点到平面的距离是.【解析】本题主要考查线面平行与垂直,点到面的距离公式.(1)求得面,即;又平面平面面,即面.(2)过作,则面,故即为到平面的距离;在中,,因此,点到平面的距离是.19．某公司年月份的月销售收入(单位:万元)和月累积销售收入(单位:万元)如下表所示:根据上述数据,经过初步处理得到如下数据:为了预测该公司月份的月销售收入,现在对月销售收入与月份,月累计销售收入与月份分别进行线性相关性回归分析,并设相应的回归方程为:和.(1)分别计算两组数据的相关系数,并据此回答选择哪个回归方程进行预测更准确;(2)求出(1)中所确定的回归方程,并根据该回归方程预测该公司月份的销售收入附:对于一组数据,其相关系数:;其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为;.【答案】(1)设月销售收入与月份的相关系数为,月累计销售收入与月份的相关系数为,则; 则,因此选择进行预测更准确.(2)由(1)及已知,,因此,所求回归方程为:,当时,,因此,预测该公司月份的销售收入为万元.【解析】本题主要考查回归直线与回归方程.(1),选择进行预测.(2)求得,即回归方程:,当时,当,因此,预测该公司月份的销售收入为万元.20．已知圆与轴的左右交点分别为直线经过,直线经过为的交点,且的斜率乘积为.(1)求点的轨迹方程;(2)直线交的轨迹于两点,点关于轴的对称点为,直线与轴的交点为,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,说明理由.【答案】(1)设,因为的斜率乘积为,所以,故点的轨迹方程为.(2)将直线与的方程联立,消元整理得:, 设,则,依题意,直线的方程为,令得,所以.,当且仅当时,等号成立;故三角形的面积的最大值为.【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系,椭圆的标准方程.(1)因为的斜率乘积为,所以.可得点的轨迹为.(2)联立方程套用韦达定理得.21．已知函数,其中是常数.(1)求函数过点的切线方程;(2)讨论函数的零点个数.【答案】(1)依题意,所以,过点的切线方程为,即.(2),设.①当即时,,故在上单调递增,又,所以函数有一个零点;②当,即或时,若即时,因为,故在上单调递增,所以函数有一个零点.若即时,的两根为且,则在与上,在上,所以在与上递增,在上递减,,由得,,令,则,显然,,又时, ,所以函数有一个零点,综合得函数有一个零点.【解析】本题主要考查导数的几何意义,导数在研究函数中的应用,函数与方程.(1)依题意,所以切线方程为.(2)求导分类讨论得函数有一个零点.22．如图,圆为的外接圆,为的中点,交于.(1)证明:;(2)若,求圆的半径.【答案】(1)证明:连接是弧的中点,,...(2)是弧的中点,,,,延长交于,交圆于,设,则,解得;设圆半径为,则,解得.圆半径为.【解析】本题主要考查圆周角定理,三角形相似.(1)..(2)由(1)得,解得.23．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆,已知曲线上的点对应的参数,射线与曲线交于点.(1)求曲线的方程;(2)若点在曲线上,求的值.【答案】(1)将及对应的参数,代入,得,即;所以曲线的方程为为参数) ,或.设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或).将点,代入,得,即.(或由,得,代入得),所以曲线的方程为,或.(2)因为点在曲线上,所以;所以.【解析】本题主要考查曲线的参数方程,极坐标方程.(1)削去参数得,即曲线为参数)或.将点代入得曲线或.(2)代入得.24．设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若时,恒有求的取值范围.【答案】(1)当时,不等式.所以不等式的解集为.(2)若时,恒有,,即,或,或;,或.的取值范围是.【解析】本题主要考查绝对值不等式.(1)当时,解得;(2)分类讨论得.。