专题2 指数、对数及幂的大小比较问题(精讲深剖)-从课本到高考之2019年高考数学高频考点全突破含解析
幂、指、对数的大小比较-高考数学复习
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<b<a
lg5
lg7
lg5lg9-lg2 7
解析 因为 log75-log97=lg7 − lg9 = lg7lg9 ,lg 7lg 9>0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<c<b
B.a<b<c
C.b<a<c
D.c<b<a
1
1
1
解析 依题意 ln a=2ln 2,ln b=eln e,ln c=3ln 3,
1
1
1
因此只需比较 ln 2, ln e, ln 3 的大小.
2
e
3ln==源自32 ∈(5,6),n=b所以 n>m>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
∈(1,2),
(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a
指、对、幂的大小比较-高考数学复习
命题点2 找中间值
例2
1
(2023·昆明模拟)设a＝e ，b＝ln
2－13ln
1
3 ，c＝e
，则a，b，c的大
小关系是
A.a>c>b
√B.c>a>b
C.c>b>a
D.a>b>c
8
因为 b＝ln
2－13ln
3＝ln22－ln33＝3ln
2－2ln 6
3＝ln69<ln61＝0，
1
1
而a＝e >0，c＝e >0，所以b最小.
(2)已知x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则
√A.3y<2x<5z
C.3y<5z<2x
B.2x<3y<5z D.5z<2x<3y
令2x＝3y＝5z＝k(k>1)， 则x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， 所以23xy＝32lloogg32kk＝2llgg2k·3llgg3k＝llgg 89>1，则 2x>3y， 25xz＝25lloogg25kk＝2lglg2k·5llgg5k＝llgg 3225<1，则 2x<5z. 所以3y<2x<5z.
23－llnn
34＝ln
2×ln 4－ln ln 3×ln 4
32，
因为 ln 2>0，ln 4>0，则 ln 2＋ln 4>2 ln 2×ln 4⇒ln 2×ln 4<14×
(ln 8)2<14×(ln 9)2＝(ln 3)2.
故a<b，综上，b>a>c.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
指数,对数,幂函数值的大小比较
在比较指数、对数、幂函数值的大小时，我们需要根据函数的特性来进行分析。
首先，指数函数的值随着自变量的增加而增加，对数函数的值随着自变量的增加而增加，幂函数的值则取决于幂的符号和自变量的值。
其次，对于两个自变量相同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么指数函数值最大，对数函数次之，幂函数最小；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。
此外，对于两个自变量不同的函数值比较，一般来说，如果底数相同，那么自变量较大的函数值较大；如果底数不同，则需要通过计算来进行比较。
最后，需要注意的是，对于一些特殊的函数值，例如0或负数，需要根据具体情况来进行判断。
综上所述，在比较指数、对数、幂函数值的大小时，需要根据函数的特性、自变量的值以及底数等因素来进行综合考虑。
指数函数 幂函数 对数函数比较大小
指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。
在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。
通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。
1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。
指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。
指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。
在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。
幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。
当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。
幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。
3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。
对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。
对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。
对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。
指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。
在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。
高考数学二轮复习专题14 指、对、幂形数的大小比较问题(精讲精练)(解析版)
专题14指、对、幂形数的大小比较问题【命题规律】指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．【核心考点目录】核心考点一：直接利用单调性核心考点二：引入媒介值核心考点三：含变量问题核心考点四：构造函数核心考点五：数形结合核心考点六：特殊值法、估算法核心考点七：放缩法核心考点八：不定方程【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg 8lg10lg 80lg 8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -=，由9log 10(1,1.5)m =∈知0(0,1)x ∈.()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】C【解析】方法一：构造法设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以10ln 099<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<-时，()0h x <，所以当01x <<-时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.方法二：比较法0.10.1a e =，0.110.1b =-，ln(10.1)c =--，①ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+-，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则1()1011x f x x x-'=-=<--，故()f x 在(0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即ln ln 0a b -<，所以a b <；②0.10.1ln(10.1)a c e -=+-，令()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=--，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2()(12)0x k x x x e '=-->，所以()k x 在(0,0.1]上单调递增，可得()(0)0k x k >>，即()0g x '>，所以()g x 在(0,0.1]上单调递增，可得(0.1)(0)0g g >=，即0a c ->，所以.a c >故.c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b<<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<= ，<0a ∴，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>= ，1b ∴>，0.3000.40.41<<= ，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a>1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ=当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ=1cos sin 4ϕ=故1cos411sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+，241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【核心考点】核心考点一：直接利用单调性【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =，∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331(log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<，∴c b a >>.故选：D.例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知111m n>>，n a n =，m b n =，n c m =，则a ，b ，c 的大小关系正确的为（）A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞b ＞c【答案】B 【解析】由题意111m n>>，故01m n <<<，由指数函数的单调性，x y n =单调递减，故b a >，由幂函数的单调性，n y x =在(0,)+∞单调递增，故a c >，综上：b a c >>.故选：B例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设21log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log bb =，154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】B【解析】构造函数()21log 3x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数2log y x =、13xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，且()1103f =-<，()8209f =>，因为()0f a =，由零点存在定理可知12a <<；构造函数()132log xg x x =-，因为函数2x y =、13log y x =-在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()g x 为()0,∞+上的增函数，且1912209g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1312103g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()0g b =，由零点存在定理可知1193b <<.因为154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1144log 5log 10c =<=，因此，c b a <<.故选：B.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（）A ．p m n >>B ．m n p>>C ．m p n>>D ．p n m>>【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭m n >>，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>.故选：A核心考点二：引入媒介值【典型例题】例5．（2023·全国·高三专题练习）已知3110π,53,log 2a bc ===-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】D【解析】由3110,53,log 2a bc π===-可得，lg πa =，5log 3b =，123c -=，由于1213,12c -⎛⎫==⎪⎝⎭，1lg 2a ==，551log 3log 2b =>=，而35c =<，3553<，所以35553log 3log 55b =>=，所以ac b <<．故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习）设0.124log 3,log 5,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>【答案】A【解析】依题意，24ln 3log 3ln 32ln 22ln 3ln 9ln 21,ln 5log 5ln 2ln 5ln 5ln 5ln 4a a b b ===⨯==>∴>，0.14404121log 5log ,2b c ->==<==，所以1a b c >>>故选：A例7．（2023·全国·高三专题练习）已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b<c<a【答案】C【解析】()sin4sin 40π==--<a ，ln 4ln e 1=>=b，14124210--==<=<c ，所以a c b <<．故选：C ．例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c>>C ．b c a>>D ．c b a>>【答案】B【解析】 103e e 1=>=a ，ln ln e 1b ==，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lg e lg3lg e lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >，∴a b c >>，故选：B例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】A【解析】因为0.20.20.21log 0.5log log 2a ==<=，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <.又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1，∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0，∵20.6＞20＝1，∴c ＞1，∴b ＜a ＜c ，故选：C ．核心考点三：含变量问题【典型例题】例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数,,x y z 满足e ,x y =且,,x y z 成等比数列，则,,x y z 的大小关系为（）A ．x y z >>B ．y x z >>C ．x z y >>D ．z y x>>【答案】D【解析】令()e ,0x f x y x x x =-=->，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()e 10x f x '=->，()f x 单调递增，所以()0=e >e =1x f x x -，所以e x x >，故y x >，因为正数,,x y z 成等比数列，所以2y xz =即2e x xz =，故2e x z x=，所以2e e 1e x xx z y x x==>，故z y >，综上所述，z y x >>，故选：D例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数,,a b c ，满足ln c a b b e c a =⋅=⋅，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a<<D ．c b a<<【答案】D【解析】,,a b c 均为正数，因为ln a b c a =⋅，所以ln c b =，设()ln 0ca b b e c a t t =⋅=⋅=>，则,=,ln ln e c t t ta b c b b b===，令()()ln 0f x x x x =->，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，所以ln b b <，可得a b >，又ln c b =得c b <，综上，c b a <<.故选：D.例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知,,a b c 均为不等于1的正实数，且ln ln ,ln ln c a b a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b>>【答案】D【解析】ln ln ,ln ln c a b a b c == 且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号.①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>.综上所述，a c b >>.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．c<a<b【答案】C【解析】由题意知0,0,0a b c >>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增，因1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，故(01)a e a a ><<，又ln 0a <，所以ln ln a a ae a >，故ln ln b a b a>，∴()()f b f a >，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<.故选:C ．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1e xx a +=，cos cos 1e xx b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．a c b <<D ．c<a<b【答案】C【解析】构造函数()()10e x x f x x +=>，则()2222sin 2sin 12sin e x x a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e xx c f x +==．因为()()()2e 1e 0ee x xx x x xf x -+'==-<在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.又因为,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．例16．（2023·四川绵阳·()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a【答案】A【解析】因为()1e ,1x -∈，所以()()ln ln 1ln 1,0,,e 211,2,1e ⎛⎫=∈-== ⎪⎛⎫∈∈ ⎝⎝⎭⎪⎭xx a x b c ，所以a c b <<，故选：A核心考点四：构造函数【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知0.03e 1a =-，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c>>【答案】B【解析】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+.因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+.所以c b >.综上所述：a c b >>.故选：B例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【解析】令()e x f x x =-，则()e 1xf x '=-，当0x >，()0f x >′，此时()f x 单调递增，当0x <，()0f x <′，此时()f x 单调递减，所以()()00e 01f x f >=-=，所以()0.020.02e 0.021f =->，即0.02e 1.02>，所以0.0250.02e e 1.02b a =>>=；又设()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤恒成立，∴当0x >，()g x 单调递减，()sin (0)0g x x x g =-<=当0x >时，有sin x x <，则sin 0.060.06<，所以0.92sin 0.060.920.06 1.02c a =+<+⨯==，综上可得c a b <<．故选：D ．例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设0.1a =，sin0.1b =， 1.1ln1.1c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．b c a <<B ．b a c<<C ．a b c<<D ．a c b<<【答案】B【解析】令函数()sin f x x x =-，[0,)2x π∈，当02x π<<时，()cos 10f x x '=-<，即()f x 在(0,)2π上递减，则当02x π<<时，()(0)<f x f ，即sin x x <，因此sin 0.10.1<，即b a <；令函数()(1)ln(1)g x x x x =++-，01x ≤<，当01x <<时，()ln(1)0g x x '=+>，则()g x 在(0,1)上单调递增，则当01x <<时，()(0)0g x g >=，即(1)ln(1)x x x ++>，因此0.1 1.1ln1.1<，即a c <，所以,,a b c 的大小关系正确的是b a c <<.故选：B例20．（2023·全国·高三专题练习）设150a =，()ln 1sin 0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【解析】设()sin ,0,2f x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递减，所以()()00f x f <=，即sin x x <，设()()ln 1,0,1g x x x x =-+∈，则()110g x x'=->，()g x 递增，则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，所以()ln 1sin 0.02sin 0.020.02b a =+<<=，令()()2e 1x h x x =-+，则()()e 21x h x x '=-+，()e 2x h x ''=-，当ln 2x <时，()0h x ''<，则()h x '递减，又()()ln 22ln 20,010h h ''=-<=-<，所以当()0,ln 2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减，则()()00h x h <=，即()2e 1x x <+，因为()0.020,ln 2∈，则()0.020h <，所以512ln 0.02250e 1.02e <=，即150a =<5121n 50c =，故b a c <<，故选：D例21．（2023·全国·高三专题练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________.【答案】.b a c<<【解析】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->，所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++，所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c <<故答案为：.b a c <<.例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．b a c<<【答案】D【解析】因为10.0250ln eln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在(0,)+∞上递增，所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+，所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+-因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<，所以当0x >时，()0g x ''<，所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>，所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->，所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>，所以c a b >>，故选：D例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知πln ,2,2tan 13a b c ⎫==-=⎪⎪⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b>>【答案】A【解析】设()ln (1)f x x x =--，则1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以1x =时，max ()(1)0f x f ==，所以()0f x <，即ln 1x x <-，所以πln213a b ⎫==<-=⎪⎪⎭，又(2tan 121tan c b x x ⎫⎛⎫=>=>⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立).因此c b a >>，故选：A .例24．（2023·全国·高三专题练习）设23a =，ln 2)3b =-，3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．b<c<aB ．c b a<<C ．b a c<<D ．a b c<<【答案】A【解析】①先比较,a c：2332a ==，e 3c =，设函数2e ()x f x x =，则'3e (2)()0x x f x x -=<，得函数()f x 在(0,2)单调递减，'3e (2)()0xx f x x-=>得函数()f x 在(2,)+∞单调递增所以f f <即c a <；②再比较,b c：由①知2min e()(2)4f x f f c ==<=，而1(2ln 2)32b =-=，设2(ln 2)3()x h x x +=，'22(ln 1)3()x h x x +=-当10e x <<，'()0h x >，()h x 单调递增，当1ex >，'()0h x <，()h x 单调递减，所以max 12()()e e 3b h h x h =<==，而22e e e .e 344f c <=<=，所以b c <，故选：A核心考点五：数形结合【典型例题】例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =-，由()0g x =得2log x x =-.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =-的图象，由图象知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a<<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c c f c -=-，()e e a a f a -=-．易知1eexx y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数．∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+=>，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知eππee ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c a b<<【答案】A 【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0xf x x x -'=>，由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以e ln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；eeππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又ey x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπeπeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()ln g x x =，()31h x x =-的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=，由题意可得：1ln aα=，令()1ln G x x x=-，则α为()G x 的零点，可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->，∴()1,e α∈；又∵()31h x x =-，则()23h x x '=，由题意可得：3213ββ-=，令()3231H x x x =--，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=-=-，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞-，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈-∞时，()()010H x H ≤=-<，则()H x 在(),2-∞内无零点，当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =-<=>，则()3,4β∈，综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.核心考点六：特殊值法、估算法【典型例题】例29．（2022·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a bcd ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c >>>B ．b c a d>>>C ．b a c d>>>D ．a b d c>>>【答案】C 【解析】依题意，31422a ==，函数y =[0,)+∞上单调递增，而934<，于是得112232)32<<，即32b a >>，函数4log y x =在(0,)+∞单调递增，并且有44log 30,log 50>>，则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>，于是得44log 3log 51⨯<，即4341log 5log 4log 3<=，则c d >，又函数3log y x =在(0,)+∞单调递增，且4<333log 4log 2<=，所以32b acd >>>>.故选：C例30．（2022·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】B 【解析】由49a =，42b =，可知1a b >>，又由2e 8<，从而32e 2<，可得23log e 2c a =<<，因为4461296()205625b -=-<，所以615b <<；因为565e 2 2.7640->->，从而56e 2>，即65e 2>，由对数函数单调性可知，65226log e >log 25c ==，综上所述，a c b >>.故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（）A ．m n p >>B ．n p m >>C ．n m p >>D ．m p n>>【答案】C【解析】因为e b a >>>所以取52,2a b ==，则()5225,6bm a ====，2525 6.2524an b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，()25log log 1,22a pb ==∈，所以n m p >>.故选：C.核心考点七：放缩法【典型例题】例32．（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c>>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅．由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg22lg20lg230-⋅>，即0a b ->，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>.故选：D ．例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（）A ．b a c>>B ．a b c>>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，所以()()0.4200f f >=，即0.42e 0.421>+，又21.42 2.01642=>，所以0.420.5e 0.4212>+>，所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>，54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444---===>，所以0.5452log 54>>，所以a b c >>.故选：B.例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯-=1=，()()25log 3a c x x x =+-+∈R ，则,,a c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b>>【答案】D【解析】由12330a b +⨯-=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b-∴=>，0a b ∴->，即a b >；1+，c b >；由()()25log 3a c x x x =+-+∈R 得：()25log 3a c x x -=-+，221553222y x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭ ，()25555log 3log log 102x x ∴-+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>.故选：D.例35．（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接）【答案】a b c<<【解析】由544567,117<<得7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<，b c ∴<，又267lg5lg 6lg5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅--=-=-=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅<，lg5lg 7lg35lg36+= <，lg 5lg 7lg 62+∴<，22lg 5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<．故答案为：a b c <<．核心考点八：不定方程【典型例题】例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．a c b>>【答案】C 【解析】解：设e ()x x f x =-，则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)10f x f ==>，故e x x >，所以e a c a =>，又ln b c =，所以e c b c =>，所以b c a >>.故选：C ．例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c<<C ．a c d<<D ．b<c<a【答案】A【解析】22a a -+= ，即220a a -+-=，即22a a -=-，2xy -=与2y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则220x x -+-=在()0,∞+只有一个根a ，令()22xf x x -=+-，()21222204f -=+-=>，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<；33b b += ，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>，12115330222g ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c += ，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b a c∴<<故选：A.【新题速递】一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（）A ．y x z <<B ．z x y<<C ．x z y<<D ．z y x<<【答案】A【解析】要比较0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，等价于比较0.5log x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =中的,,x y z 大小，∵0.5log x x =，由定义域可知0x >，故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减，0.501,0log 1x x ∴<<<<，0.51x ∴<<，∵0.50z >，∴1log 0log x x z >=，∵0.51x <<，∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =，∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<.故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<【答案】D【解析】由251030b b +-=解得1b =-构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x '=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，。
指对数函数专题二 比较大小
指数函数、对数函数专题二 比较大小 例1.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<例3．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+4．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>例5．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<6．（2017天津）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<练习7．(2016全国I) 若1a b >>，01c <<，则A ．c c a b <B ．c c ab ba <C ．log log b a a c b c <D ．log log a b c c <8．(2016全国III) 已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<练习9．（2014安徽）设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<10．（2013新课标）设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c >>。
指数、对数和幂的比较大小问题
ʏ朱 梅指数㊁对数和幂的代数式的比较大小问题,是高考中的常考点,高考主要以选择题的形式出现,考查指数㊁对数㊁幂的基本运算,以及相关的基本初等函数的图像与性质的应用㊂一㊁单调性法例1 已知a =l o g 312,b =l nπ,c =b a,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .b >c >a B .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b分析:根据题设条件,利用对数函数的单调性进行放缩处理,分别确定参数a ,b 的取值范围,在此基础上确定参数c 的取值范围,从而得到a ,b ,c 的大小关系㊂解:因为-1=l o g 313<l o g 312<l o g 31=0,所以-1<a <0㊂因为l n π>l n e =1,所以b >1㊂又0<b a<b 0=1,所以0<c <1㊂综上分析,可得b >c >a ㊂应选A㊂利用指数函数㊁对数函数,以及幂函数的单调性比较代数式的大小,首先要观察代数式形式的异同,底数相同时,可考虑指数函数的单调性,指数相同时,可考虑幂函数的单调性,当都不相同时,可分析代数式的大致范围,进行比较大小㊂比较代数式的大小的两个思路:一是判断出各个数值所在的区间(一般是三个区间(-ɕ,0),(0,1),(1,+ɕ)),二是利用函数的单调性比较大小㊂二㊁媒介法例2 若a =l o g 23,b =l o g 34,c =l o g 45,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .a <b <c B .b <c <aC .b <a <cD .c <b <a分析:根据题设条件,通过对数式的合理放缩处理,引入中间值32,54作为媒介进行过渡处理,合理 串联 起各参数a ,b ,c 所对应的关系式与对应 媒介值 之间的大小关系,进而加以正确分析与判断㊂解:依题意知,a =l o g 23>l o g 222=32,b =l o g 34<l o g 333=32,所以a >b ㊂由44>35,两边同取以3为底的对数可得4l o g 34>5,所以b =l o g 34>54㊂而c =l o g 45<l o g 442=54,所以b >c ㊂综上可知,a >b >c ㊂应选D ㊂指数㊁对数㊁幂的比较大小问题,要注意一些特殊值如0,1,12,e 等的应用,通常可以借助媒介这一特殊的 桥梁 合理构建不等关系,从而实现比较大小的目的㊂三㊁数形结合法例3 已知x ,y ,z 均为大于0的实数,且2x =3y=l o g 5z ,则x ,y ,z 的大小关系正确的是( )㊂A .x >y >z B .x >z >yC .z >x >yD .z >y >x 分析:根据题设条件,将所求问题转化为三个函数与对应直线的交点的横坐标的关系,作出函数的图像,利用数形结合法确定x ,y ,z 的大小关系㊂解:依题意可知x ,y ,z 均为大于0的实数,所以2x =3y=l o g 5z >1㊂图1所求问题可转化为函数y =2x ,y =3x,y =l o g 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系,从而可比较x ,y ,z 的大小㊂作出函数y =2x,y =3x,y =l o g 5x ,以及直线y =t >1的图像,如图1所示㊂结合图像可知,其4知识结构与拓展 高一数学 2023年11月横坐标的关系为z >x >y ㊂应选C㊂利用数形结合法进行代数式的比较大小时,通过观察相应的代数式的结构特征,画出对应的函数图像,观察函数图像的交点位置,从而确定所给指数㊁对数㊁幂的大小关系㊂四㊁特殊值法例4 已知a ,b ,c 满足a =l o g 5(2b+3b),c =l o g 3(5b-2b),则( )㊂A .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |B .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |C .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |D .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |分析:根据题设条件,利用特殊值法,选取特殊值b =2,代入相应的关系式,合理作差比较,从而结合对数运算,排除不满足特殊值的选项,进而得到正确的结果㊂解:令b =2,则a =l o g 5(2b+3b)=l o g 513,c =l o g 3(5b -2b)=l o g 321,此时a <b <c ,即c -a >c -b >0,也即|a -c |>|b -c |,排除C ㊁D ㊂因为b -a =2-l o g 513=l o g 52513,c -b =l o g 321-2=l o g 373,又5>3>1,2513<73,所以c -b >b -a >0,即|a -b |<|b -c |,排除A ㊂应选B㊂特殊值法是 小题小做 的重要策略,利用特殊值法进行合理排除,是一种常见的解题方法,这种方法既可以提高解题速度,又能提高解题的准确性㊂五㊁引入参数法例5 已知l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z >1,则2x ,3y ,5z的大小排序为( )㊂A .2x <3y <5z B .3y <2x <5z C .5z <2x <3yD .5z <3y <2x分析:根据题设条件中的不定方程引入参数,结合对数式与指数式的互化,可得对应代数式的指数幂形式,利用幂函数的单调性即可判断大小关系,从而得到三个代数式的大小排序㊂解:依题意可设l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z =k >1,则2x =22k =21-k ,3y =33k =31-k,5z =55k =51-k ㊂因为1-k <0,所以21-k >31-k>51-k,所以5z <3y <2x㊂应选D㊂当题目条件中出现连等式时,可通过引入参数把连等式设为一个常数,利用指数式与对数式的相互转化,进行大小比较㊂利用此方法解决问题的关键是熟悉指数㊁对数运算公式,以及指数函数与对数函数的图像与性质的应用㊂1.(多选题)已知l o g 3a >l o g 3b ,则下列不等式一定成立的是( )㊂A .0<1b <1a B .l o g 3(a -b )>0C .3a -b>1D .13a<12b提示:由l o g 3a >l o g 3b ,可得a >b >0,所以0<1a <1b,A 错误㊂a -b >1不一定成立,所以l o g 3(a -b )>0不一定成立,B 错误㊂3a -b>30=1,C 正确㊂13a<13b<12b,D 正确㊂应选C D ㊂2.(多选题)已知函数m (x )=2x,h (x )=3x,且m (a )=h (b ),则下列式子可能成立的是( )㊂A .a <0,b >0B .a <b <0C .a =bD .0<b <a提示:在同一坐标系下画出函数m (x )和h (x )的图像(图略)㊂结合图像得,当m (a )=h (b )时,a ,b 的关系可能为a <b <0,a =b =0,0<b <a ㊂应选B C D ㊂作者单位:江苏省高邮第一中学(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2023年11月。
高中数学指数式、对数式比较大小的问题专题训练精讲精练
高中数学指数式、对数式比较大小的问题--------太原市交通学校 郝志隆指数式、对数式这类比较大小的问题，在高考数学中常常可以和函数的单调性、奇偶性、周期性等性质甚至是和函数图像结合在一起来考察，知识点放到一起变成一道综合题时，难度就加大了很多，所以考察方式非常灵活，要顺利完成这样的題目，我们需要会应用函数的单调性，指数式对数式的化简变形，特殊值的变形应用，函数图象的运用，不等式性质的应用等等知识。
一般来说，常见的式子的比较大小有如下几种类型：一、同底数或者同指数的式子，直接应用指数函数、对数函数或是幂函数的单调性来解决。
比如：例1：已知，则三个数a ，b ，c 的大小关系是______A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【解答】解：因为底数3015<<，所以指数函数y=在R 单调递减，而﹣＜0＜3，故a ＞b ＞c ，故选：B ．二、利用特殊值0、1灵活变形进行比较，把数字初步分为小于0，0到1和大于1三大类例2：比较1201020192020120192020log log log2020a b c d ====、的大小【解答】解：102019202020201a =>=；即a>112201920191log (2020)log 20202b ==，所以22019201911log 2019log 201922b << 故得：112b <<；12202020202020111log 2019log 2019log 2020222c ==<=又2020log 10c >=所以，102c <<；1120192019log2020log10d =<= 所以d<0. ，因此a>1>b>1/2>c>0>d ，故a>b>c>d 。
指数函数对数函数比较大小攻略
指数函数、对数函数比较大小
指数函数对数函数的比较大小问题，在教材上有大量的直接考察习题，而且考点层次要求高，因而高考中已经多次直接进行考察，这一点内容可以不合其他知识点发生关联的情况下直接进行命题，足以可见其重要性。
一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：
首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的指数函数或者对数函数，然后根据底数相同情况下的单调性，进行比较大小；
其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，也就是说同取一个x值，看不同指数式或者对数式所对应的函数值的大小，主要依据是：
根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高；
对数函数在第一象限内绕（1，0）点顺时针排序底数增大（水平向右底数增大）；
最后，如果全都不能化成相同的，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。
通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。
微专题2 指数幂、对数间的大小比较
C.a>b>c
B.c>b>a
D.a>c>b
lg64
lg64
,log58=log2564= ,∴log34<log58.
lg27
lg25
3
3
3
2
3
∵8 <5 ,∴8<52 ,∴log58<log552 = .
2
3
又 log23=log49>log48= ,∴log23>log58>log34,即 a>c>b.故选 D.
5
【例 1】(1)(2020 届福建模拟)已知 a= 2,b= 5,c= 7 7,则( A ).
A.a>b>c
B.a>c>b
C.b>a>c
(2)(2020 届西藏模拟)已知 a=0.50.8,b=0.80.5,c=0.80.8,则( D ).
A.c<b<a
B.c<a<b
C.a<b<c
5
D.c>b>a
D.b<a<c
1
3
1=0,c=e >e0=1,∴c>a>b.故选 B.
= ,∴a<c<b.故选 A.
9
微点评：对于多个对数式的大小比较,应先根据每个数的结构特征,以及
它们与“0”和“1”的大小情况进行分组,再比较各组内的数值的大小即可.
答案
解析
【微点练】
1.(2020 届北京模拟)已知 a=log3e,b=ln 3,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是( D ).
可有 c=0.80.8>0.50.8=a,b=0.80.5>c=0.80.8,∴a<c<b,故选 D.
高三数学一轮复习第二章函数培优专题2指数式、对数式、幂式的大小比较课件
A．a>b>c源自√B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
B [a＝log32<log33＝1，log32>log31＝0， ∴0<a<1，b＝20.2>20＝1，c＝log0.22<log0.21＝0，∴b>a>c．故选B．]
链接·2024高考试题
(2024·天津高考数学真题)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c 的大小关系为( )
A．a>b>c C．c>a>b
√ B．b>a>c
D．b>c>a
B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b. 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，所以log4.20.2<log4.21＝0， 即c<0，所以b>a>c.故选B.]
第二章 函数 高考培优2 指数式、对数式、幂式的大小比较
(2)利用函数与方程的思想 ①构造函数，结合函数的单调性(常利用基本初等函数性质、导数等方法判断函 数单调性)、奇偶性比较大小． ②数形结合法． ③作差法、作商法、平方法是构造函数的几种最常用的方法．
√
√
[例3] 已知a＝log32，b＝20.2，c＝log0.22，则( )
指、对、幂数比较大小问题【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)2025年新高考数学一轮复习
指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【题型1 利用函数的性质比较大小】....................................................................................................................2【题型2 中间值法比较大小】................................................................................................................................3【题型3 特殊值法比较大小】................................................................................................................................4【题型4 作差法、作商法比较大小】....................................................................................................................6【题型5 构造函数法比较大小】............................................................................................................................7【题型6 数形结合比较大小】................................................................................................................................9【题型7 含变量问题比较大小】..........................................................................................................................12【题型8 放缩法比较大小】. (14)1、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax 和2ax ，利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1log a x 和2log a x ，利用指数函数log a x 单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1 利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数、对数函数的单调性可得答案.【解答过程】a=30.3>30=1，0<b=0.33<1=0.30，c=log0.33<log0.31=0，∴a>b>c.故选：A.，b=1.20.2，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系是【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213（）A．a<c<b B．c<a<b C．c<b<a D．a<b<c【解题思路】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断.【解答过程】因为y=log2x在x∈(0,+∞)上单调递增，<log21=0即a<0；所以a=log213因为y=1.2x为增函数，故b=1.20.2>1.20=1即b>1；因为y=0.5x为减函数，故0<0.52.1<0.50=1即0<c<1，综上a<c<b.故选：A.【变式1-2】（2024·贵州贵阳·三模）已知a=40.3,b=(log4a)4,c=log4(log4a)，则（）A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】利用指数函数单调性得到a>1，利用指对运算和指数函数单调性得到0<b<1，利用对数函数单调性得到c<0，则比较出大小.【解答过程】因为a=40.3>40=1,b=(log4a)4=0.34<1，且0.34>0，则0<b<1，c=log4(log4a)=log40.3<0，所以a>b>c，故选：A.【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a,b,c的大小关系为（）A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性求得a,b的范围，根据指数函数的单调性得c的范围，即可比较大小.【解答过程】因为y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减，所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2，即0<a<1，因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增，所以ln a<ln1，即b<0，因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1，综上，c>a>b.故选：D.【题型2 中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1―2lg2，c=2―log310，则a，b，c的大小关系是（）A．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值0，1，分析判断即可.【解答过程】由题意可得：a=e0.1>e0=1，b=1―2lg2=1―lg4，且0=lg1<lg4<lg10=1，则0<b<1，因为log310>log39=2，则c=2―log310<0，故选：B.【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a=―12,b=log65,c=log56，则（）A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】取两个中间值1和32，由a =>32，b <log 66=1，1=log 55<c <32即可比较三者大小.【解答过程】a =―12=>=32，b =log 65<log 66=1，1=log 55<log 56=c <log =32，因此b <c <a ．故选：C ．【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a =e ―1，b =lg a ，c =e 0，则（ ）A ．b <a <c B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <b <a【解题思路】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量0和1即可比较大小.【解答过程】a =e ―1∈(0,1)，b =lg a =lge ―1=―lge <0，c =e 0=1，所以b <a <c ，故选：A.【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a =0.53.1，b =log 0.90.3，c =log 1312，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b【解题思路】根据指、对数函数单调性，结合中间值“12,1”分析大小即可.【解答过程】因为y =0.5x 在R 上单调递减，则0.53.1<0.51=12，即a <12；又因为y =log 0.9x 在(0,+∞)上单调递减，则log 0.90.3>log 0.90.9=1，即b >1；可得c =log 1312=log 32，且y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，则12=log <log 32<log 33=1，即12<c <1；综上所述：a <c <b .故选：D.【题型3 特殊值法比较大小】【例3】（2024·陕西商洛·模拟预测）设a =log 0.50.6，b =0.49―0.3，c =0.6―0.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c >b >aB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性，结合特殊值判定即可.【解答过程】因为y =log 0.5x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.51<log 0.50.6<log 0.50.5，即0<a <1.因为y =x 0.6在(0,+∞)上单调递增，又0.49―0.3=0.7―0.6=，0.6―0.6=，又53>107>1>>10.6，故c >b >1，所以c >b >a .故选：A.【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c 满足2a +a =2，2b +b =c =log 163，则（ ）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a【解题思路】由对数函数单调性得c <12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，由函数的单调性得12<a <b 及，即可得出判断．【解答过程】由对数函数单调性得，c =log 163<log 164=log 161612=12，构造函数f(x)=2x +x,x ∈R ，则f(a)=2a +a =2，f(b)=2b +b =因为y =2x 和y =x 单调递增，所以f(x)单调递增，因为2<f(a)<f(b)，所以a <b ，又f(12)=212+12=<2，所以f(a)>f(12)，即a >12，所以c <a <b ，故选：A ．【变式3-2】（2024·宁夏银川·二模）若a =log 1314，b =(13)14，c =log 314，d =14则（ ）A ．a >b >d >cB ．a >b >c >dC ．b >d >a >cD ．a >d >b >c【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.【解答过程】因为a =log 1314=log 34>log 33=1<<⇒13<b <1，log 314<log 31=0⇒c <0，所以a >b >d >c .故选：A ．【变式3-3】（2024·天津和平·=2,b =log 123―log 129,c =―13，则有（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c【解题思路】根据指数函数与对数函数的性质，借助特殊值0，可得a 最小，再利用b 3>c 3得出b,c 大小.=2可得a =log 132<log 131=0，b =log 123―log 129=log 1213=log 23>1，c =―13=213=>0，下面比较b,c ，因为32>=8，所以3>232，所以b =log 23>log 2232=32，而c 3=3=2<=278，故c <32，所以c <b ，综上，b >c >a .故选：B.【题型4 作差法、作商法比较大小】【例4】（2023·四川成都·一模）若a =3―14，b =―13，c =log 1225，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a【解题思路】先根据指对函数的单调性可得0<a <1，0<b <1，c >1，再作商比较a,b 的大小，从而可求解.【解答过程】因为0<a =3―14<30=1，0<b =―13<=1，令a b=3―14―13=3―14+13×2―13=3112×―1，而3112×2=3×2=3×2―4=316<1，即3112×2―13<1，所以a <b ，又因为c =log 1225=log 12410>log 12510>log 1212=1，所以c >b >a .故选：D.【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则（ ）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c<a<bD ．a <c <b【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y =ln x 的单调性分别判断a,b 和a,c 的大小关系，即可判断出a,b,c 的大小关系.【解答过程】因为b ―a =ln33―ln22=2ln3―3ln26=ln9―ln86>0，所以b >a ；又因为c ―a =ln55―ln22=2ln5―5ln210=ln25―ln3210<0，所以a >c ；综上所述：c <a <b .故选：C.【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a =ln 26,b =4ln2⋅ln 3,c =(1+ln3)2，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <a <c【解题思路】作差法比较a,b 的大小，利用对数的性质比较a,c 的大小.【解答过程】a =ln 26=(ln2+ln3)2，c =(lne +ln3)2因为ln2+ln3<lne +ln3，所以(ln2+ln3)2<(lne +ln3)2，即a <c ，a =ln 26=(ln2+ln3)2，b =4ln2⋅ln3，则a ―b =(ln2+ln3)2―4ln2⋅ln3=(ln2―ln3)2>0，即b <a ，所以b <a <c .故选：D.【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a =20.4,b =30.25,c =log 0.70.5，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解题思路】利用指数函数的单调性以及对数函数单调性可判断a,c 范围，比较它们的大小；利用作商法比较a,b 的大小，即可得答案.【解答过程】因为函数y =2x 在R 上单调递增，所以a =20.4<20.5=又a b=20.430.25===>1，所以b <a <因为0.52=0.25<0.343，故0.5<=0.732,y =log 0.7x 在(0,+∞)上单调递减，所以log 0.70.5>log 0.70.732=32>a <c ，所以实数a,b,c 的大小关系为b <a <c ，故选：B ．【题型5 构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a =ln 72，b =ln7×ln2，c =ln7ln2，则（ ）A ．b <c <aB ．b <a <cC ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】根据0<ln2<1得到c 的值最大，然后构造函数f (x )=(1―ln2)ln x ―ln2，根据f (x )的单调性和f (8)<0得到a <b .【解答过程】因为0<ln2<1，所以a =ln7―ln2<ln7，b <ln7，c >ln7，故c 的值最大．下面比较a ，b 的大小．构造函数f (x )=ln x ―ln2―ln x ⋅ln2=(1―ln2)ln x ―ln2，显然f (x )在(0,+∞)上单调递增．因为f (8)=ln8―ln2―ln8⋅ln2=ln2(2―ln8)=ln2(lne 2―ln8)<0，所以a ―b =f (7)<f (8)<0，所以a <b ，所以a <b <c ．故选：C ．【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）设a =514，b =54，c =log 45，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【解题思路】利用常见函数的单调性比较大小即可.【解答过程】先比较a 和b ，构造函数y =x 4在上(0,+∞)单调递增，∵5=5>625256=，∴514>54，即a >b ；又∵4b =5，4c =4log 45=log 454，且45=4×256>54=625，∴ 4c =log 454<log 445=5=4b ，∴b >c ，∴a >b >c .故选：A.【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a =log 0.20.3,b =log 0.30.2,c =log 23，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <c <aB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b【解题思路】利用对数函数的单调性结合二次函数的性质即得．【解答过程】∵0<a =log 0.20.3<1，b =log 0.30.2>1，c =log 23>1，又b c=log 0.30.2⋅log 32=lg2―1lg3―1⋅lg2lg3=lg 22―lg2lg 23―lg3，因为函数f (x )=x 2―x =x―14，在0,f (0)=0，又因为12>lg3>lg2>0，所以f (lg3)<f (lg2)<0，所以f (lg2)f (lg3)<1，即lg 22―lg2lg 23―lg3<1，所以bc <1，∴b <c ，即a <b <c ．故选：C ．【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c 满足a 2+log 2a =0,2023―b =log 2023b,c =log 7）A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <c <aD ．c <b <a【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.【解答过程】设f(x)=x 2+log 2x ， f(x)在(0,+∞)上单调递增，又=―34<0,f(1)=1>0，所以12<a <1；设g(x) =―log 2023x ， g(x)在(0,+∞)上单调递减，又g(1)=12023>0,g(2023)=―1<0，所以1< b <2023，因为c =log <log =12，所以c <12.综上可知，c <a <b .故选：B.【题型6 数形结合比较大小】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a =ln π,b =log 3π,c =，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b<c<a【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e <3<π，∴a =log e π>log 3π=b >log 33=1，即a >b >1，∵a =ln π=2, c ==ln2下面比较2与 y =x 2与y =2x ，由指数函数y =2x 与幂函数y =x 2的图像与单调性可知，当x ∈(0,2)时，x 2<2x ；当x ∈(2,4)时，x 2>2x由x =(0,2)，故2 <ln π<a < c ，所以b <a <c ，故选：A.【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log 3x =log 4y =log 5z <―1，则（ ）A ．3x <4y <5zB ．4y <3x <5zC ．4y <5z <3xD ．5z <4y <3x【解题思路】设log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，得到x =3m ,y =4m ,z =5m ，画出图象，数形结合得到答案.【解答过程】令log 3x =log 4y =log 5z =m <―1，则x =3m ,y =4m ,z =5m ，3x =3m +1,4y =4m +1,5z =5m +1，其中m +1<0，在同一坐标系内画出y =3x ,y =4x ,y =5x ，故5z <4y <3x 故选：D.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a ==log a b,a c =log 12c ，则实数a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b【解题思路】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a,b,c ∈(0,1)，得到log a b <1=log a a ，求出b >a ，根据单调性得到c =c<=a ，从而得到答案.【解答过程】令f (x )=―x ，其在R 上单调递减，又f (0)=1>0,f (1)=12―1=―12<0，由零点存在性定理得a ∈(0,1)，则y =log a x 在(0,+∞)上单调递减，画出y 1=与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈(0,1)，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c ∈(0,1)，<=1，故log a b <1=log a a ，故b >a ，因为a,c ∈(0,1)，故a c >a 1=a ，由a c=log 12c 得，c =c<=a ．综上，c <a <b ．故选：D ．【变式6-3】（2024·广东茂名·统考一模）已知x,y,z 均为大于0的实数，且2x =3y =log 5z ，则x,y,z 大小关系正确的是（ ）A ．x >y >zB ．x >z >yC ．z >x >yD ．z >y >x【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，再作出图像，数形结合求解即可.【解答过程】解：因为x,y,z 均为大于0的实数， 所以2x =3y =log 5z =t >1，进而将问题转化为函数y =2x ,y =3x ,y =log 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系，故作出函数图像，如图，由图可知z >x >y 故选：C.【题型7 含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a ､b ､c 都是正数，且4a =6b =9c ，则下列结论错误的是（ ）A ．c <b <aB ．ab +bc =acC ．4b ⋅9b =4a ⋅9cD ．1c =2b ―1a【解题思路】首先根据指对运算，利用对数表示a,b,c ，再利用换底公式和对数运算，判断选项.【解答过程】设4a =6b =9c =k >1，所以a =log 4k =1log k 4，b =log 6k =1log k 6，c =log 9k =1log k 9，A.由对数函数的单调性可知，0<log k 4<log k 6<log k 9，可知c <b <a ，故A 正确；B.b (a +c )==1log k6⋅log k 36logk 4⋅log k 9=1log k6⋅2log k 6logk 4⋅log k 9=2logk 4⋅log k 9=2ac ，故B 错误；C.4a ⋅9c =(6b )2=36b =(4⋅9)b =4b ⋅9b ，故C 正确.D.1a +1c =log k 4+log k 9=log k 36=2log k 6=2b ，则1c =2b ―1a ，故D 正确.故选：B.【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若a e a =b ln b (a >0)，则（ ）A ．a <bB ．a =bC ．a >bD ．无法确定【解题思路】令a e a =b ln b =k ，k >0，构造函数，作出函数图象，即可比大小.【解答过程】因为a >0，所以a e a >a >0，因为a e a=b ln b，所以b ln b>0，可得b>1，令a e a=b ln b=k，k>0，所以e a=ka ,ln b=kb，设f(x)=e x，g(x)=ln x，ℎ(x)=kx，作出它们的图象如图：由图可知a<b.故选项A正确.故选：A.【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且ln c=a ln b,ln a=b ln c，则a,b,c的大小关系是（）A．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解题思路】分析可知，ln a、ln b、ln c同号，分a、b、c∈(0,1)和a、b、c∈(1,+∞)两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】∵ln c=a ln b,ln a=b ln c且a、b、c均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈(0,1)，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈(1,+∞)，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足e c+e―2a=e a+e―c，b=log23+log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据e c+e―2a=e a+e―c可得e c―e―c=e a―e―2a，由此可构造函数f(x)=e x―e―x，根据f(x)的单调性即可判断a和c的大小；根据对数的计算法则和对数的性质可得b与2的大小关系；c+log2c=2变形为log2c=2―c，利用函数y=log2x与函数y=2―x的图象可判断两个函数的交点的横坐标c的范围，从而判断b与c的大小.由此即可得到答案．【解答过程】e c+e―2a=e a+e―c⇒e c―e―c=e a―e―2a，故令f(x)=e x―e―x，则f(c)=e c―e―c，f(a)=e a―e―a．和y=e x均为(0,+∞)上的增函数，故f(x)在(0,+∞)为增函数．易知y=―e―x=―1e x∵e―2a<e―a，故由题可知，e c―e―c=e a―e―2a>e a―e―a，即f(c)>f(a)，则c>a>0．易知b=log23+log=log2>2，log2c=2―c，作出函数y=log2x与函数y=2―x的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在(1,2)内，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故选：B．【题型8 放缩法比较大小】【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）若a=0.311.5,b=log312,c=log26,d=）A．a>b>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【解题思路】由题意首先得0<a<1,d=<0，进一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2，从而我们只需要比较log34,log23的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.【解答过程】a =0.311.5<0.310=1，所以0<a <1,d =<0，b =log 312=1+log 34>2,c =log 26=1+log 23>2，又因为log 34log 23=ln4⋅ln2ln3⋅ln3<=<1，所以b <c ，即d <a <b <c .故选：B.【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知a =log 35，b =c =3log 72+log 87，则（ ）A ．a >b >cB ．c >b >aC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】根据指数函数、对数函数的性质及基本不等式判断即可.【解答过程】因为a =log 35=12log 325<12log 327=32，34=<=b =>32且b <2，c =3log 72+log 87=log 78+log 87>=2，所以c >b >a .故选：B.【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a ==6―34,c =log 53―29log 35，则（ ）A ．a <b <cB ．b<c<aC ．b <a <cD ．c<a<b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a <b <c .【解答过程】因为a ==<=14，b =6―34=>=<=13，故b ∈c =log 53―29log 35=13log 527―19log 325>13log 525―19log 327=23―13=13，所以a <b <c .故选：A.【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知a =log 8.14，b =log 3.1e ，c =ln2.1,，则（ ）A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c<a<bD ．b<c<a【解题思路】先证明b >0,c >0，利用比商法结合基本不等式证明c <b ，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明a <c 即可得结论.【解答过程】因为b =log 3.1e >0，c =ln2.1>0，所以c b=ln2.1log 3.1e=ln2.1×ln3.1<==，又e 2≈7.389<e ，所以<lne =1，所以cb <1，故c <b ，因为a =log8.14=ln4ln8.1=2ln2ln8.1=又e 2≈7.389，所以8.1>e 2，所以>1，所以a <ln2，又ln2<ln2.1=c ，所以a <c ，所以a <c <b ，故选：A.一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）设a =log 62，b =log 123，c =log 405，则（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】取到数计算得1b =1+2lg2lg3，1c=1+3lg2lg5，作差法比较1b ,1c的大小，即可得到b,c 大小，利用中间值25即可比较a,c 大小.【解答过程】∵1b =log 312=1+log 34=1+lg4lg3=1+2lg2lg3，1c=log 540=1+log 58=1+lg8lg5=1+3lg2lg5，∴1b ―1c =2lg2lg3―3lg2lg5=2lg2×lg5―3lg2×lg3lg3×lg5=lg2(2lg5―3lg3)lg3×lg5=lg2(lg25―lg27)lg3×lg5<0，∴1b <1c ，又b >0，c >0，∴b >c .∵1c =1+log 58<1+log =1+log 5532=52，∴c >25；∵1a =log 26=1+log 23>1+log =1+log 2232=52，∴a <25，∴a <c .∴a <c <b .故选：D.2．（2024·安徽宿州·一模）已知3m =4，a =2m ―3，b =4m ―5，则（ ）A ．a >0>bB ．b >0>aC ．a >b >0D ．b >a >0【解题思路】由作差法，结合对数换底公式、对数运算性质、基本不等式比较得log 23>log 34>log 45，即可判断大小.【解答过程】由3m =4⇒m =log 34，log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=lg 23―lg2⋅lg4lg2⋅lg3>=4lg 23―lg 284lg2⋅lg3=lg 29―lg 284lg2⋅lg3>0，log 34―log 45=lg4lg3―lg5lg4=lg 24―lg3⋅lg5lg3⋅lg4>=4lg 24―lg 2154lg3⋅lg4=lg 216―lg 2154lg3⋅lg4>0，∴log 23>log 34>log 45，∴b =4m ―5>4log 45―5=0，a =2m ―3<2log 23―3=0，∴b >0>a .故选：B.3．（2024·贵州毕节·一模）已知a =3log 83，b =―12log 1316，c =log 43，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >ca,b,c ，并判断范围，采用作差法结合基本不等式可判断a >b ，即可得答案.【解答过程】由题意可得a =3log 83=3×log 23log 223=log 23>1，b =―12log 1316=―12×log 316log 313=log 34>1，0<c =log 43<1，又log 23―log 34=lg3lg2―lg4lg3=(lg3)2―lg2lg4lg2lg3，由于lg2>0,lg4>0，lg2≠lg4,∴lg2lg4<(lg2+lg42)2=2<(lg3)2，故log 23―log 34>0,∴a >b ，综合可得a >b >c ，故选：A.4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a =，b =，c =log 34(log 34)，则（ ）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值0,1，让其和a,b,c 进行比较，从而得出结果.【解答过程】由指数函数的单调性和值域，y =在R 上单调递增，故a =>=1；由y =的值域，且在R 上单调递增可知，0<b =<=1；根据对数函数的单调性，y =log 3x 在(0,+∞)上单调递增，故log 34>log 33=1，由y =log 34x 在(0,+∞)上单调递减，故c =log 34(log 34)<log 341=0.结合上述分析可知：c <0<b <1<a .故选：A.5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知a =e 13，b =ln2，c =log 32，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >c >aD ．c >b >a【解题思路】引入中间变量1，再利用作差法比较b,c 的大小，即可得答案；【解答过程】∵ a =e 13>e 0=1，b =ln2<lne =1，c =log 32<log 33=1∴ a 最大，∵ b ―c =ln2―log 32=lg2lge―lg2lg3=lg2⋅>0，∴ b >c ，∴ a >b >c ，故选：B.6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c 满足e 2a 2=e 3b 3=e 5c 5=2，则（ ）A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b >a >cD ．c >a >b【解题思路】先应用指对数转换求出a,b,c ,再转化成整数幂比较即可.【解答过程】因为e 2a2=e 3b 3=e 5c 5=2,所以e 2a =4,e 3b =6,e 5c =10,即得2a =ln 4,3b =ln 6,5c =ln10得a =ln 2,b ==因为y =ln x 是(0,+∞)上的增函数,比较a,b,c ,的大小关系 ,15次幂,因为幂函数y =x 15在(0,+∞)上是单调递增的，比较215,65,103即可,因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65即2>>a >b >c .故选：A.7．（2023·湖南永州·一模）已知a =log 3π,b =1log 3π―1,c =12―log 3π，则（ ）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．a <c <b【解题思路】先利用对数函数单调性求出a ∈(1,1.5)，从而确定b >2，c ∈(1,2)，作差法判断出a <c ，从而求出答案.【解答过程】a =log 3π>log 33=1，因为332=>π，所以a =log 3π<log 3332=1.5，所以a ∈(1,1.5)，log 3π―1∈(0,0.5)，故b =1log3π―1>2，2―log 3π∈(0.5,1)，故c =12―log 3π∈(1,2)，令a ―c =log 3π―12―log 3π=2log 3π―(log 3π)2―12―log 3π=―(log 3π―1)22―log 3π<0所以a <c <b .故选：D.8．（2023·陕西西安·一模）已知函数f(x)=―2x ，若2a =log 2b =c ，则（ ）A ．f(b)<f(c)<f(a)B ．f(a)<f(b)<f(c)C ．f(a)<f(c)<f(b)D ．f(c)<f(b)<f(a)【解题思路】在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像,得到a <c <b ，借助f(x)=―2x 的单调性进行判断即可.【解答过程】f(x)=―2x 在R 上单调递减，在同一坐标系中作y =c,y =2x ,y =log 2x,y =x 的图像，如图：所以a <c <b ，故f(b)<f(c)<f(a)，故选：A.二、多选题9．（2024·河南洛阳·模拟预测）下列正确的是（ ）A．2―0.01>2―0.001B．log>log2π―1C．log1.85<log1.75D．log33.01>e―0.01【解题思路】利用指数函数的性质判断A；由对数函数的性质判断B，C；由对数函数的性质可得log3 3.01>1，由指数函数的性质可得e―0.01<1，即可判断．【解答过程】解：对于A，因为―0.01<―0.001，所以2―0.01<2―0.001，所以A错误；对于B，因为log>log2π2=log2π―1，所以B正确；对于C，因为log1.85>0,log1.75>0，所以log1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log1.75，所以C正确；对于D，因为log33.01>log33=1,e―0.01<e0=1，所以log33.01>e―0.01，所以D正确.故选：BCD．10．（2024·重庆·模拟预测）若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是（）A．b a<c a B．log b a>log c aC．cb a<bc a D．b log c a>c log b a【解题思路】由已知可得，由幂函数性质可判断A; 由对数函数性质可判断B; 由幂函数性质可判断C;由不等式的性质可判断D.【解答过程】对于A：∵0<a<1，幂函数y=x a在(0,+∞)上单调递增，且b>c>1，∴b a>c a，故选项A错误；对于B：∵0<a<1，∴函数y=log x在(0,+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴log a b<log a c<log a1=0，∴0>1log b c >1log c a，即0>log b a>log c a，故B正确；对于选项C：∵0<a<1，则a―1<0，∵幂函数y=x a―1在(0,+∞)上单调递减，且b>c>1，∴b a―1<c a―1，∴cb a<bc a，故选项C正确；对于选项D：由选项B可知：0>log b a>log c a，∴0<―log b a<―log c a，∵b>c>1，∴c(―log b a)<b(―log c a)，∴b log c a<c log b a，故D错误.故选：BC.11．（2024·重庆·一模）已知3a=5b=15，则下列结论正确的是（）A．lg a>lg b B．a+b=abC>D．a+b>4【解题思路】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC，利用基本不等式即可判断D.【解答过程】由题意得a=log315>log31>0，b=log515>log51=0，0<1a =log153，0<1b=log155，则0<1a<1b，则a>b>0，对A，根据对数函数y=lg x在(0,+∞)上单调递增，则lg a>lg b，故A正确；对B，因为1a +1b=log153+log155=1，即a+bab=1，则a+b=ab，故B正确；对C，因为a>b>0，根据指数函数y=在R<，故C错误；对D，因为a>b>0，1a +1b=1，a+b=(a+b=2+ba +ab≥2+=4，当且仅当a=b时等号成立，而显然a≠b，则a+b>4，故D正确；故选：ABD.三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3―2,213,log25三个数中最大的数是log25.【解题思路】利用特殊值1和2作为“桥梁”比较大小即可.【解答过程】∵1<213=<23―2==19<1，log25>log24=2，∴log25>213>3―2，即三个数中最大的数是log25.故答案为：log25.13．（2024·北京通州·三模）已知a=2―1.1，b=log1413，c=log23，则三者大小关系为a<b<c（按从小到大顺序）【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出a,b,c的范围，即可求解.【解答过程】因为a=2―1.1<2―1=12，b=log1413=log43>log42=12，且b=log1413=log43<1，c=log23>log22=1，故a<b<c，故答案为：a <b <c .14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a =b =，c =a ，b ，c 的大小关系为c <a <b ．【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到a ∈(0,1)，b >1，c =―12，从而得到大小关系.【解答过程】因为y =在(0,+∞)上单调递减，1>>故a =<=1且a =>=0，所以a ∈(0,1)，因为y =在R 上单调递减，<0，所以b =>=1，c ==lne―12=―12，故c <a <b .故答案为：c <a <b .四、解答题15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知x =lnπ，y =log 52，z =e ―12．(1)比较x ，y 的大小；(2)比较y ，z 的大小．【解题思路】（1）利用对数函数的单调性，x,y 和中间值1比较大小，即可判断；（2）利用对数函数的单调性，以及对数式的运算，y,z 和中间值12比较大小，即可判断.【解答过程】（1）因为π>e ，所以lnπ>lne =1，即x =lnπ∈(1,+∞)因为1<2<5，所以0=log 51<log 52<log 55=1，即log 52∈(0,1)，所以x >y ；（2）y =log 52<log =12，且log 52>0，所以log 52∈0,z =e ―12=>=12，所以e ―12∈+∞，所以y <z .16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；（2）已知a >2，比较log (a―1)a 与log a (a +1)大小【解题思路】（1）利用作商法，分类讨论即可；（2）利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【解答过程】（1）因为a>0,b>0，所以a a b bb a a b=，所以①当a=b>0时，a a b bb a a b==1，所以a a b b=b a a b，②当a>b>0时，ab>1,a―b>0，>1，所以a a b b>b a a b，③当b>a>0时，0<ab<1,a―b<0，>1，所以a a b b>b a a b，综上所述：当a>0,b>0，a a b b≥b a a b.（2）log(a―1)a―log a(a+1)=lg alg(a―1)―lg(a+1)lg a=lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)，因为a>2，所以lg(a+1)>0,lg(a―1)>0,lg a>0，所以lg a lg(a―1)>0，由lg(a+1)lg(a―1)<=<=lg2a，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)>0，所以lg2a―lg(a+1)lg(a―1)lg a lg(a―1)>0，即log(a―1)a―log a(a+1)>0，故log(a―1)a>log a(a+1).17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=(log2x)2，b=log2x2，c=log2(log2x)；(2)已知a=log36，b=log510，c=log714．【解题思路】(1)根据1<x<2，求出log2x的范围，由此判断c＜0，0＜a＜b；(2)a=1+log32，b=1+log52，c=1+log72，由换底公式比较log32,log52,log72大小即可.【解答过程】（1）∵1<x<2，∴0=log21<log2x<log22=1，即log2x∈(0,1)，∴c=log2(log2x)<log21=0，a=(log2x)2<(log2x)1=log2x，∴0＜a<log2x，∴b=log2x2=2log2x>log2x>a，∴c＜0＜a＜b，∴c<a<b；（2）∵a=log36=log3(3×2)=1+log32，b=log510=log5(5×2)=1+log52，c=log714=log7(7×2)=1+log72，又∵0<lg3<lg5<lg7，∴lg2lg3>lg2lg5>lg2lg7，∴log32>log52>log72，∴1+log32>1+log52>1+log72，即a＞b＞c﹒18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．（1）求证：1z ―1x=12y；（2）比较3x,4y,6z的大小．【解题思路】（1）令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化求出x,y,z，再利用对数的运算即可的证得结果；（2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系.【解答过程】（1）证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x =log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z ―1x =log m 6―log m 3=log m 2=12y .（2）3x <4y <6z证明：因为正实数x ，y ，z ，∴3x >0, 4y >0, 6z >0，∴3x 4y =3log 3m 4log 4m =3lg m lg34lg m lg4=34×lg4lg3=34log 34=log<3，∴log <1，∴3x <4y∴4y 6z =4log 4m 6log 6m =4lg m lg46lg m lg6=23×lg6lg4=23log 46=log<2，∴log <1，∴4y <6z ∴3x <4y <6z ．19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=x 2x 2+1(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)已知a =f (20.5),b =f (log 25),c =f (0.25)，试比较三个数a ，b ，c 的大小，并说明理由．【解题思路】（1）根据函数单调性的定义判断和证明即可；（2）先比较20.5,log 25,0.25三个数的大小，再利用函数f (x )的单调性即可比较a ，b ，c 的大小.【解答过程】（1）函数f(x)=x 2x 2+1=1―1x 2+1，任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2则f(x1)―f(x 2)=1―1x 21+1―1―=1x 22+1―1x 21+1 =22=因为x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，所以x 22+1>0,x 21+1>0，x 1―x 2<0，x 1+x 2>0所以f(x 1)―f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数.（2）因为20.5>20=1，2=log 24<log 25<log 28=3，0<0.25<0.20=1，所以0<0.25<20.5<log 25，由（1）可知函数f (x )在区间(0,+∞)上是增函数，所以f (0.25)<f (20.5)<f (log 25)，即c <a <b .。
2025版高考数学全程一轮复习第二章函数专题培优课指数对数幂的大小比较课件
1 1
1
1
>2， < <1，logmn>logm ＝－1，lognm<logn ＝－1，即logmn>lognm，D错误．
m
2 n
m
n
)
ln 2
1
ln 9
5．[2024·河北唐山模拟]已知a＝ ，b＝ ，c＝ (其中e为自然对
2
e
9
数的底数)，则(
)
A．b>c>a
B．b>a>c
C．c>b>a
D．a>b>c
即b＞a＞1；因为函数g(x)＝0.6x是减函数，且0.5＞0，所以0.60.5＜0.60＝1，即c＜
1.综上，b＞a＞c.故选D.
(2)[2024·吉林通化模拟]已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，则下列
结论正确的是(
)
A．a<b<c
B．b<a<c
C．a<c<b
D．b<c<a
答案：A
公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
巩固训练2
(1)[2023·天津卷]若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大
小关系为(
)
A．c>a>b
B．c>b>a
C．a>b>c
D．b>a>c
答案：D
解析：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，所以1.010.6＞1.010.5＞1，
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幂、指、对数的大小比较-高考数学总复习
由 a－2＝ln a2＝ln a－ln 2，可得 a－ln a＝2－ln 2，即 f(a)＝f(2)，同理可得 f(b)＝f(3)， f(c)＝f(4). 因为函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且a≠2，b≠3，c≠4，则 a，b，c∈(0，1)，由f(2)＜f(3)＜f(4)，可得f(a)＜f(b)＜f(c)，故c＜b＜a. 【答案】A
A．c＜a＜b C．a＜c＜b
B．c＜b＜a D．a＜b＜c
(A )
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【解析】因为 a＝55＝2510＜259＝b，c＝4.55＜55＝a，所以 c＜a＜b.
点击对应数字即可跳转到对应题目
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配套精练
2
4．已知 a＝23，b＝log32，c＝cos 3，则 a，b，c 的大小关系为
配套精练
配套精练
一、 单项选择题
1．(2023·安阳三模)已知 a＝212，b＝45－12，c＝log76，则 a，b，c 的大小关系为
A．c＜a＜b C．a＜b＜c
B．c＜b＜a D．b＜a＜c
(B )
【解析】a＝212，b＝45－12＝5412，因为 1＝540＜5412＜212，所以 a＞b＞1.因为 c＝log76＜ log77＝1，所以 c＜b＜a.
当 x≥e 时，f′(x)≤0，故 f(x)在[e，＋∞)上单调递减，则 f(e)＞f(4)＞f(5)，所以 a＞b＞
c.
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指、对、幂的大小比较-高考数学复习
6. 已知 a ＞1， x 1， x 2， x 3为函数 f ( x )＝ ax － x 2的零点， x 1＜ x 2＜ x 3.若
x 1＋ x 3＝2 x 2，则(
C )
易知 x 1＜0＜ x 2＜ x 3， x 1， x 2， x 3为函数 f ( x )＝ ax － x 2的零点，
1 ＝12 ，
4
ln4+ln6 2
2
(ln5) −
ln5
ln6
(ln5)2 −ln4×ln6
2
因为 a － c ＝log45－log56＝
ln4
(ln 25)2 −(ln 24)2
＞0，
ln4×ln5
所以 a ＞ c ，综上， c ＜ a ＜ b .
－
ln5
＝
ln4×ln5
＞
ln4×ln5
＝
考点四
(1)(多选)若2 a ＋log2 a ＝4 b ＋2log4 b ，则下列结论错误的是
当 b ＝2时， f ( a )－ f ( b 2)＝－1＜0，
此时 f ( a )＜ f ( b 2)，有 a ＜ b 2，
所以A，C，D均错误.
2
b 2)＝22 b ＋log
2
2
b －( 2 ＋log
2)
b
2
(2)(2024·山东潍坊模拟)已知 a ＝2 0222 024， b ＝2 0232 023， c ＝2 0242 022，
的大小关系是( D
)
A. a ＜ b ＜ c
B. b ＜ a ＜ c
C. a ＜ c ＜ b
D. b ＜ c ＜ a
根据指数函数 y ＝3 x 在R上递增可得， a ＝30.5＞30＝1；
指数函数幂函数对数函数增长的比较课件高一上学期数学北师大版(2019(完整版)3
探究新知
首先，明确规则： 一看：同一时刻谁跑在前面； 二看：到最后谁跑在前面.
三类函数商量对策，先做组内选拔，再组间PK. 赛跑怎么看输赢？ 一是直观看，观众和裁判一目了然；对函数来讲，就是从 “形”——图象的角度； 二是从“数”，难分伯仲时，计时或录像慢放，微观定胜负. 因此函数之间的PK，我们同样从数、形两个角度看.
在同一坐标系中，观察 y 1000xc 与 y logb 1000x 的图象，
可见：当 x 的值充分大（ x ）时，总有
1000xc logb 1000x. 也即 x0 0,当x x0时，xc logb x.
探究新知 2.指数函数与幂函数的增长情况的比较
方法1：形少数时难入微，从“数”的角度 ——两函数对应值表看
4000
探究新知 3500
方法3020：0 采用取对数转化法比较：（注意这里对数 不 改 变 二2者500大 小 ， 只 是 放 缓 了 增 长 速 度 ）
1002l0n00x 与 x ln 2 的大小
1500
1000
q(x) = x∙ln(2)
500
r(x) = 100∙ln(x)
2000
1000 500
祝你学业有成
2024年5月2日星期பைடு நூலகம்1时44分24秒
2.当底数 a 1时，由于指数函数 y ax 的值增长非常快，
人们称这种现象为“指数爆炸”.
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专题02 指数、对数及幂的大小比较问题(精讲深剖)-从课本到高考之2019年高考数学高频考点全突
----------精讲深剖指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答。
体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。
本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。
希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。
1．【2018年全国卷Ⅲ理12】设，，则A.B.C.D.【答案】B解法二：∵0.2lg 0.3log 0.3lg 5a ==-，2lg 0.3log 0.3lg 2b ==， ∴ 5lg 0.3lglg 0.3lg 0.3lg 0.3(lg 5lg 2)2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+=-==， 310lg 0.3lg lg 0.3lglg 0.3lg 0.3103lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5ab =⋅=-=-， ∵105lglg 32>，lg 0.30lg 2lg 5<，∴0ab a b <+<．故选：B ．【反思回顾】本题为对数的大小比较；解法一从对数式的结构入手，通过换底公式化为同底数的对数，再结合对数运算性质及对数函数的性质，完成比较；解法二将两个对数化为常用对数，再运用对数函数的性质进行比较；体现了函数思想。
1.（人教A 版必修1第57页例7） 比较下列各题中两个数的大小：(1)1.72.5 ,1.73； （2）0.8-0.1 ,0.8-0.2； （3）1.70.3 ,0.93.1；【反思回顾】（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。
（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。
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----------精讲深剖指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答。
体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。
本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。
希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。
1．【2018年全国卷Ⅲ理12】设，，则A. B. C. D.【答案】B解法二：∵0.2lg 0.3log 0.3lg5a ==-，2lg 0.3log 0.3lg 2b ==， ∴ 5lg 0.3lglg 0.3lg 0.3lg 0.3(lg 5lg 2)2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+=-==， 310lg 0.3lg lg 0.3lglg 0.3lg 0.3103lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5ab =⋅=-=-，∵105lglg 32>，lg 0.30lg 2lg5<， ∴0ab a b <+<．故选：B ．【反思回顾】本题为对数的大小比较；解法一从对数式的结构入手，通过换底公式化为同底数的对数，再结合对数运算性质及对数函数的性质，完成比较；解法二将两个对数化为常用对数，再运用对数函数的性质进行比较；体现了函数思想。
1.（人教A 版必修1第57页例7） 比较下列各题中两个数的大小：(1)1.72.5 ,1.73； （2）0.8-0.1 ,0.8-0.2； （3）1.70.3 ,0.93.1；【反思回顾】（1）知识反思：需要熟悉指数与对数函数的单调性。
（2）解题反思：问题为比较两个数值得的大小，常规方法为作差法；而问确从函数思想出发，构造了两个指数函数，利用单调性从而比出数值的大小，而在（3）问中，问题层层推进，进而变式，引入中间量的方法，解决不同底数幂的大小比较问题，体现了数学思维的灵活性。
（3）推而广之：比较两个数值的大小，在后续的对数函数、幂函数及三角函数学习中也有类似的问题出现，其解决问题的基本思想为函数思想，即运用对应函数的函数性质进行大小比较；1.常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN += ； log log log a a a M M N N-=； （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=； 进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =）； log log m n a a n N N m =；2.比较大小的基本思路：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性， 判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可；（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较；（3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔< (在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）；总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。
变式1. 指数式的大小比较例1：（1）已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223,b ＝2－43,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213,则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c 【答案】B（2）设253()5a =，352()5b =，252()5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 【答案】A 【解析】解法一：先比较b 与c ，构造函数2()5xf x 骣琪=琪桫，2015<<Q ，2()5xf x 骣琪\=琪桫为减函数，且3255>Q ，c b \>，再比较a 与c ，2533()()122a c =>=Q ，a c \>，综上a cb >>，故选A ；解法二：先比较a 与c ，构造函数25()f x x =，205<Q ，25()f x x \=为增函数，3255>Q，a c \>，再比较b 与c ，由解法一可得c b >，综上a c b >>，故选A ； 【点评】比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用． 变式2.对数的大小比较例2.（1）设352log 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ）A. a c b >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >> 【答案】D【解析】试题分析：因为352211log 2,log 2log 3log 5a b ====,而222log 3log 21,log 51c =>=>, 所以01,01a b <<<<,又22log 5log 31>>, 所以2211log 5log 3<,即01b a <<<, 所以有c a b >>,选C ． （2）已知a ＝5log 2 3.4,b ＝5log 4 3.6,c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3,则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b法二：3310log log 313>=，且10 3.43<，332log log 3.4log .410<33<， 443.6<log log 41=，43log 3.60log 13∴<， 23410l >3og 3.4log log 3.6∴>， 由于5xy =为增函数，324log 103log 3.4log 3.6>555∴>即324lo 1g log 3.4log 3.036>515()5>，故a c b >> 【点评】比较对数大小，常用公式1log (0,1,0,1,)log a b b a a b b a=>≠>≠把,a b 换成同底对数,利用对数的单调性进行比较大小,并且求出范围,用对数单调性求出c 的范围,再比较出它们的大小来．易错点为：对对数的性质不熟悉,不会用公式转化为同底,利用单调性进行比较大小,比较大小时,注意中间量0,1．变式3.指数、对数及幂的大小比较例3.（1）设30.4a =，0.4log 3b =，0.43c =，则（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．b c a << D ．a b c << 【答案】B【解析】()30.40,1a =∈，0.4log 30b =<，0.431c =>．，∴b a c <<．故选B ．（2）已知)(x f 的定义在()+∞,0的函数,对任意两个不相等的正数21,x x ,都有0)()(212112<--x x x f x x f x ,记5log )5(log ,2.0)2.0(,2)2(22222.02.0f c f b f a ===,则（ ） A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a b c << 【答案】．C（3）已知 2.2 2.1 2.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( )A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b << 【答案】B 【解析】设()ln (0)x f x x x =>，则()21ln xf x x-'=， 可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即ln2.1ln2.22.1 2.2<， 可化为 2.22.12.12.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<，所以c a b <<，故选B.（4）已知定义在R 上的函数()1f x -的图像关于1x =对称，且当0x >时，()f x 单调递减，若()0.5log 3,a f = ()1.30.5,b f -= ()60.7,c f =则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】∵定义在R 上的函数()1f x -的图像关于1x =对称，∴函数()f x 为偶函数， ∵0.50.5log 3log 10<=，∴()()0.52log 3log 3f f =，∴2221log 2log 3log 42=<<=． ∵当0x >时，()f x 单调递减，∴c a b >>，故选A ．【点评】比较大小问题天然的与函数性质产生联想，需综合运用函数的性质及不等式的性质进行比较。