2021学年高中数学第一章计数原理课时作业51.5二项式定理含解析北师大版选修2_3.doc
高中数学 第1章 5二项式定理 北师大版选修2-3
1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展 开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通 项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展 开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；
2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.5第11课时二项式定理的应用作业课件北师大版选修2
11．数11100－1的末尾连续的零的个数是 3 .
解析：11100－1＝(10＋1)100－1 ＝C100010100＋C11001099＋…＋C91900·10＋C110000－1 ＝10100＋C11001099＋…＋C91090·10 ＝1 000(1097＋C11001096＋…＋1)． 又1097＋C11001096＋…＋1为整数，且末尾不为0， ∴末尾连续的零的个数是3.
7．若二项式(x＋2)n的展开式的第4项是
5 2
，而第3项的二项式系数
是15，则x的值为( B )
11 A.2 B.4
21 C. 8 D.8
解析：因为二项式(x＋2)n的展开式的第4项为23C
3 n
xn－3，第3项的二
项式系数是Cn2，所以C2n＝15，解得n＝6,23C36x3＝52，解得x＝14，故选B.
——基础巩固——
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( A )
A．120
B．－120
C．60
D．30
解析：(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第r＋1项为C
r 5
(x＋y)5－
r(－2z)r，而(x＋y)3的展开式的第m＋1项为C
8．若9n＋C
1 n＋1
9n－1＋…＋C
n－1 n＋1
9＋C
n n＋1
是11的倍数，则自然数n为
2021学年高中数学第一章计数原理单元质量评估二课时作业含解析北师大版选修2_3.doc
第一章单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．(x3＋x2＋x＋1)(y2＋y＋1)(z＋1)展开后的不同项数为(D)A．9 B．12C．18 D．24解析：分三步：第一步，从(x3＋x2＋x＋1)中任取一项，有4种方法；第二步，从(y2＋y ＋1)中任取一项，有3种方法；第三步，从(z＋1)中任取一项有2种方法．根据分步乘法计数原理共有4×3×2＝24(项)．故选D.2．某单位拟安排6名职工在今年5月1日至3日值班，每天安排2人，每人值班1天，若6名职工中的甲不在5月1日值班，乙不在5月3日值班，则不同的安排方法共有(C) A．30种B．36种C．42种D．48种解析：甲在5月3日值班，有C14C24＝24种安排方法；甲在5月2日值班，乙在5月2日值班，有C24＝6种安排方法；甲在5月2日值班，乙在5月1日值班，有C14C13＝12种安排方法．所以共有24＋6＋12＝42种不同的安排方法，故选C.3．七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的排法有(B)A．240种B．192种C．120种D．96种解析：分三步：先排甲，有1种排法；再排乙、丙，其排在甲的左边或右边各有4种排法；最后排其余4人，有A44种排法，故共有2×4×A44＝192种排法．故选B.4．关于(a－b)10的说法，错误的是(C)A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．故选C.5．若y＝f(x)是定义域为A＝{x|1≤x≤7，x∈N＋}，值域为B＝{0,1}的函数，则这样的函数共有( B )A ．128个B ．126个C ．72个D ．64个解析：A 中的7个元素的象均有2种选择，由分步计数原理可得共有27＝128种情况，再去掉象全是1，或全是0的情况(这两种情况不满足值域条件)共2种．故这样的函数共有128－2＝126个．故选B.6．用数字1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是( D )A ．A 66B ．A 55C ．5A 55D.12A 66解析：用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，共有A 66种，而个位数小于十位数的占其中的12，故选D.7．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是( D ) A ．－297 B ．－252 C ．297D ．207解析：(1－x 3)(1＋x )10＝(1＋x )10－x 3(1＋x )10展开式中含x 5的项的系数为C 510－C 210＝207，故选D.8．已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点(含x ，y 正半轴上的整点)上运动，其运动规律为(m ，n )→(m ＋1，n ＋1)或(m ，n )→(m ＋1，n －1)．若该动点从原点出发，经过6步运动到点(6,2)，则不同的运动轨迹有( C )A ．15种B ．14种C ．9种D ．103种解析：由运动规律，可知每一步的横坐标都增加1，只需考虑纵坐标的变化，而纵坐标每一步增加1或减少1，经过6步变化后，结果由0变到2，因此这6步中有2步是按照(m ，n )→(m ＋1，n －1)运动的，有4步是按照(m ，n )→(m ＋1，n ＋1)运动的，因此，共有C 26＝15种情况．而此动点只能在第一象限的整点(含x ，y 正半轴上的整点)上运动，当第一步按照(m ，n )→(m ＋1，n －1)运动时不符合要求，有C 15种情况；当第一步按照(m ，n )→(m ＋1，n ＋1)运动，但第二、三两步按照(m ，n )→(m ＋1，n －1)运动时也不符合要求，有1种情况．故不同的运动轨迹有15－C 15－1＝9种．9．宿舍走廊装有编号1,2,3，…，8的8盏照明灯，既照明又省电，要熄灭其中3盏灯，但编号相邻的不能同时熄灭，共有不同的熄灯方法有( A )A ．20种B ．120种C ．1 120种D ．56种解析：将熄灭的3盏灯插入5盏灯的6个空档，故有C 36＝20种．10．由0,1,2,3,4中的若干数字组成的比4 000大且无重复数字的自然数共有( C ) A ．24个 B ．96个 C ．120个D ．144个解析：若为四位数需首位为4，其他的三位数从其他的4个数中选3个排在3个不同位置上共有A 34＝24个．若为五位数均满足共有4A 44＝96个．故共有24＋96＝120(个)自然数．11．已知n ∈N ＋，若对任意实数x ，都有x n ＝a 0＋a 1(x －n )＋a 2(x －n )2＋…＋a n (x －n )n ，则a n －1的值为( A )A ．n 2B ．n n C.(n －1)n 32D.(n －1)n n －12解析：x n ＝[n ＋(x －n )]n ，根据二项展开式通项公式得a n －1＝C n －1n n ＝n 2.正确选项为A.12．已知三角形三边长均为正整数，且最大边长为11，则能满足上述条件的三角形的个数为( C )A ．25B ．26C ．36D ．37 解析：不妨设两边长为x ，y ，且y ≥x ，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >11，0<x ≤11，0<y ≤11，y ≥x .画线性区域如图．则当x ＝1时，y ＝11；当x ＝2时，y ＝11,10；…；当x ＝11时，y ＝11，则根据分类加法计数原理知满足条件的三角形个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 展开式的第5项是常数项，则该常数项＝240. 解析：本题考查二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r n a n －r b r的应用，由通项公式知T r ＋1＝C r nx 2n －2r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C rn ·(－2)r x 2n －3r 是常数项时r ＝4，则2n －3×4＝0，即n ＝6，所以T 5＝C 46(－2)4＝240.。
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理学案 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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§5 二项式定理3．会用二项式定理找等量关系1．二项式定理(a ＋b ）n ＝C 错误!a n ＋C 错误!a n －1b ＋…＋C 错误!a n －r b r ＋…＋C 错误!b n。
这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a ＋b ）n 的二项展开式．(a ＋b )n的二项展开式共有n ＋1项，其中各项的系数C 错误!(r ＝0,1,2，…，n )称为二项式系数,C 错误!a n －r b r称为二项展开式的第r ＋1项，又称为二项式通项．在二项式定理中,如果设a ＝1，b ＝x ，则得到公式：（1＋x )n＝1＋C 错误!x＋C 错误!x 2＋…＋C 错误!x r ＋…＋x n.预习交流1如何记忆二项式定理？提示：记忆二项式定理的关键是记住二项式的通项，T r ＋1＝C 错误!a n －r b r，其中T r ＋1为二项展开式的第r ＋1项，a ，b 的指数和为n 。
2．二项式系数的性质 C r n ＋1＝C 错误!＋C 错误!；C 错误!＝C 错误!；C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!＋…＋C 错误!＝2n . 预习交流2如何证明C 错误!－C错误!＋C 错误!－C 错误!＋…＋(－1）n ＋1C 错误!＝0。
提示:令二项展开式中的a ＝1，b ＝－1，即可得到要证明的结论．1．二项式定理求错误!4的展开式．思路分析：直接利用二项式定理，注意每一项都符合二项展开式的通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：方法1：错误!4＝C 错误!（3错误!）4·错误!0＋C 错误!(3错误!）3·错误!1＋C 错误!（3错误!）2错误!2＋C 错误!(3错误!）·错误!3＋C 错误!（3错误!)0·错误!4＝81x 2＋108x ＋54＋错误!＋错误!。
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件北师大版选修2_3
3. 二项式展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 + C 3 + CC 4 +…=2n-1 . 式系数和, 即C������ ������ ������ ������ ������ ������
一
二
【做一做 3】 设 n∈N+, 则
0 2n - C 1 2n-1 +…+(-1)kC ������ 2n-k+…+(-1)n C ������ = C������ ������ ������ ������ 0 2n -C 1 2n-1 +…+( -1)kC ������ 2n-k+…+( -1)n C ������ = 解析:C������ ������ ������ ������ 0 n 1 n-1 ������ n-k ������ 0 C������ 2· (-1)0 +C������ 2 · (-1)1+…+C������ 2 · (-1)k+…+C������ 2 (-1)n =(2-1)n =1.
+
(2)每一行中, 与首末两端“等距离”的两个数相等. 这就是说, 二项展开式中, 与首末两端“等距离”的两项的二项式
������ 系数相等, 实际上反映了组合数的性质C������ = C������ ������ -������
.
一
二
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并 且最大. 0 1 2 ������ 2. 二项式系数的和等于 2n, 即C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n.
高中数学 第一章 计数原理 5 第一课时 二项式定理课件 北师大版选修2-3.pptx
问题 1：(a＋b)n 展开式中共有多少项？ 提示：n＋1 项． 问题 2：(a＋b)n 展开式中系数有什么特点？ 提示：依次为组合数 C0n，C1n，C2n，…，Cnn. 问题 3：(a＋b)n 展开式中每项的次数有什么特点？项的 排列有什么规律？ 提示：每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且是按 a 的降幂排列，b 的升幂排列．
二项展开式 式中__C__rna_n_－_r_b_r _叫作二项展开式的通项 的通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2
＋…＋Cnr xr＋…＋xn.
5
(1)(a＋b)n 的展开式中共有 n＋1 项，字母 a 的幂指数按降 幂排列，字母 b 的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为 n.
第 §5 一
课 第二时 一项 章式二
定项 理式
定 理
理解教材新知
知识点
把握热点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1
§5
二项式定理
第一课时 二项式定理
2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并 思考下列问题．
15
3．(湖南高考)12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是
A．－20
B．－5
()
C．5
D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2(－2y)3
＝－20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理1.5.1二项式定理
������)3·
1 ������
3
+ C64(
������)2·
1 ������
4 + C65
������ ·
1 ������
5 + C66
16 ������
=x3+6x2+15x+20+151������
+
6 ������2
+
���1���3.
(2)原式=C���0��� (x+1)n+C���1��� (x+1)n-1(-1)+C���2��� (x+1)n-2(-
1)2+…+C������������ (x+1)n-k(-1)k+…+C������������(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规 律是:
(1)各项的次数都等于n; (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按 升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理,可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分 析已知多项式的特点,向二项展开式的特点靠拢.
k+…+(-1)nC������������ .
分析对于(1)直接利用二项式定理展开;对于(2)可根据式子的特
点,逆用二项式定理求解.
解(1)
������ +
1 ������
6
= C60(
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【精品】高中数学第一章计数原理习题课二项式定理学案北师大版选修2
习题课 二项式定理学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．1．二项式定理及其相关概念2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：________________. (2)性质：C rn ＋1＝________＋________.(3)二项式系数的最大值：_____________________________________________________ ____________________.(4)二项式系数之和C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C nn ＝________，所用方法是__________．类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题例1 (1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．跟踪训练1 (x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40命题角度2 三项展开式问题例2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________．反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．命题角度3 整除和余数问题例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 015＋a 能被13整除，则a ＝________.类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知(12＋2x )n.(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x n展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x .1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．102.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为( )A ．－8B ．－12C ．－20D ．203．当n 为正奇数时，7n＋C 1n ·7n －1＋C 2n ·7n －2＋…＋C n －1n ·7被9除所得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．84．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－65．若(x －m )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，其中a 5＝56，则a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．4．求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入．5．确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质．答案精析知识梳理 1．C 0n a n＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n C r n (r ＝0,1，…，n ) C r n an －r b r(k ＝0,1，…n ) 2．(1)C m n ＝C n －mn (2)C r －1n C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C n n最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即12C n n -＝12Cn n+最大．(4)2n赋值法 题型探究例1 (1)120 (2)－1解析 (1)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5. ∴x 2的系数为C 25＋a C 15， 则10＋5a ＝5，解得a ＝－1. 跟踪训练1 D 例26322跟踪训练 2 解 (x 2＋3x －4)4＝[(x 2＋3x )－4]4＝C 04(x 2＋3x )4－C 14(x 2＋3x )3·4＋C 24(x 2＋3x )2·42－C 34(x 2＋3x )·43＋C 44·44，显然，上式中只有第四项中含x 的项，所以展开式中含x 的项的系数是－C 34·3·43＝－768. 例3 A 跟踪训练3 1例4 解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项， ∵T 4＝C 37(12)4(2x )3＝352x 3，T 5＝C 47(12)3(2x )4＝70x 4，∴第四项的系数是352，第五项的系数是70.当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714(12)7×27＝3 432.(2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2＋n －156＝0.。
【课堂新坐标】2021学年高中数学 第一章 计数原理课时作业5 北师大版选修2-3 (1)
【课堂新坐标】2021-2021学年高中数学 第一章 计数原理课时作业6 北师大版选修2-3一、选择题1．假设n ＝C 26，那么log n 225＝( )A ．2B ．3 C.13 D.12 【解析】 n ＝C 26＝15，log n 225＝log 15152＝2. 【答案】 A2．假设C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n ＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】 ∵C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，∴C 7n ＋1＝C 7n ＋C 8n ＝C 8n ＋1， ∴n ＋1＝7＋8，∴n ＝14.【答案】 C3．给出下面几个问题，其中是组合问题的有( )①某班选10名同窗参加拔河竞赛；②由1,2,3,4选出两个数，均成平面向量a 的坐标；③由1,2,3,4选出两个数别离作为实轴长和虚轴长，组成核心在x 轴上的双曲线方程；④从正方体8个极点中任取两个点组成线段．A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③【解析】 由于①④当选出的元素与顺序无关；而③④选出的元素与顺序有关，由组合的概念可知：①④为组合．【答案】 B4．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝( )A ．C 9799B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100【解析】 C 9798＋2C 9698＋C 9598＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100.【答案】 B5．方程C x 2－x 16＝C 5x －516的解集是( ) A ．{3}B ．{1}C ．{1,3}D ．{1,3,5，－7}【解析】 由题意，得x 2－x ＝5x －5或(x 2－x )＋(5x －5)＝16，解得x ＝1或x ＝5或x ＝－7或x ＝3.别离代入⎩⎪⎨⎪⎧ 16≥x 2－x ，16≥5x －5，得x ＝1或x ＝3，因此选C. 【答案】 C二、填空题6．设A ＝{x |x ＝C n 4，n ∈N }，B ＝{1,2,3,4}，那么A ∩B ＝________.【解析】 当n ＝0时，C 04＝1；当n ＝1时，C 14＝4；当n ＝2时，C 24＝4×32×1＝6； 当n ＝3时，C 34＝C 14＝4；当n ＝4时，C 44＝C 04＝1，∴A ＝{x |x ＝C n 4，n ∈N }＝{1,4,6}．又∵B ＝{1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{1,4}．【答案】 {1,4}7．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积；任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，那么m ∶n ＝________.【解析】 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12. 【答案】 128．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，假设天天安排不同的3人，那么不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【解析】 可分步完成此事，第一步选周六的3人共有C 37种方式；第二步选周日的志愿者共有C 34种方式．由分步乘法计数原理可知：不同的安排方案共有C 37·C 34＝140(种)． 【答案】 140三、解答题9．假设C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．【解】 ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ！4！n －4！>n ！6！n －6！，n ≥6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<n <10，n ≥6. 又∵n ∈N *，∴n 的取值集合为{6,7,8,9}．10．(1)设集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，那么集合A 中含有3个元素的子集有多少个？(2)10位同窗聚会，见面后每两人之间要握手彼此问候，共需握多少次手？【解】 (1)从5个元素中掏出3个元素并成一组，确实是集合A 的子集，元素无序，那么共有C 35＝10(个)．(2)每两人握手一次就完成这一件事，那么共有握手次数为C 210＝10×92×1＝45(次)， 11．(1)求C 3n 13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n的值． (2)求知足C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345的n 的值． 【解】 (1)由原式知，n 知足3n ≤13＋n 且17－n ≤2n ，又∵n ∈N ＋，∴n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112＝124. (2)原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，C 5n －1＝145C 3n －3， ∴n －1n －2n －3n －4n －55！＝145×n－3n－4n－53！.∴n2－3n－54＝0.∴n＝9或n＝－6(舍去)．∴n＝9为原方程的解.。
高中数学 第1章 计数原理 1.5.1 二项式定理学案 北师大版选修2-3(2021年整理)
5。
1 二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．(难点)2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．（难点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P23～P24“例1"以上部分,完成下列问题．1．二项式定理：（a＋b）n＝_________________________________________。
【答案】C错误!a n＋C错误!a n－1b＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n2．二项式系数：__________________________________________________.【答案】C错误!(r＝0，1，2,…，n）3．二项式通项：______，即二项展开式的第______项．【答案】C错误!a n－r b r r＋14．在二项式定理中,如果设a＝1,b＝x，则得到公式：（1＋x)n＝________________________.【答案】1＋C1，n x＋C错误!x2＋…＋C错误!x r＋…＋x n判断(正确的打“√”,错误的打“×")（1)（a＋b）n展开式中共有n项．( )(2）在公式中，交换a,b的顺序对各项没有影响．（）（3）C错误!a n－k b k是（a＋b)n展开式中的第k项．（）(4）（a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( ）【解析】（1）×因为(a＋b）n展开式中共有n＋1项．（2）×因为二项式的第k＋1项C错误!a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k，n b n－k a k是不同的,其中的a，b是不能随便交换的．（3）×因为C k，n a n－k b k是(a＋b）n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数都是C错误!。
【答案】（1)×（2）×(3）×（4）√［质疑·手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1）用二项式定理展开错误!5；(2）化简：C错误!（x＋1)n－C错误!(x＋1)n－1＋C错误!（x＋1）n－2－…＋(－1）k C错误!(x＋1)n－k＋…＋(－1）n C错误!.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；（2）可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】（1）错误!5＝C错误!(2x)5＋C错误!（2x)4·错误!＋…＋C错误!错误!5＝32x5－120x2＋180x－135x4＋错误!－错误!.(2）原式＝C错误!（x＋1)n＋C错误!(x＋1)n－1(－1)＋C错误!（x＋1)n－2(－1)2＋…＋C错误!（x＋1）n－k(－1)k＋…＋C n n（－1)n＝［（x＋1）＋(－1）］n＝x n.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1）求错误!4的展开式；（2)化简:1＋2C错误!＋4C错误!＋…＋2n C错误!.【解】（1)法一：错误!4＝C错误!(3错误!）4＋C错误!（3错误!)3·错误!＋C错误!（3错误!)2·错误!2＋C错误!(3错误!)错误!3＋C错误!错误!4＝81x2＋108x＋54＋错误!＋错误!.法二：错误!4＝错误!＝错误!(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1）＝81x2＋108x＋54＋错误!＋错误!.（2)原式＝1＋2C错误!＋22C错误!＋…＋2n C错误!＝(1＋2）n＝3n。
2021_2022学年高中数学第1章计数原理5.1二项式定理学案北师大版选修2_3
5.1 二项式定理学 习 目 标核 心 素 养1.能用计数原理证明二项式定理．(难点) 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(难点)通过对二项式定理的学习，培养“逻辑推理〞、“数学运算〞的数学素养.二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N ＋)叫作二项式定理二项展开式 公式右边的式子叫作(a ＋b )n的二项展开式 二项式系数 各项的系数C rn (r ＝0,1,2，…，n )叫作二项式系数 二项展开式的通项式中C r n an －r b r叫作二项展开式的通项在二项式定理中，假设a ＝1，b ＝x ，那么(1＋x )n＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n x r ＋…＋x n. 思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示] 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数局部，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．思考2：二项式(a ＋b )n与(b ＋a )n展开式中第k ＋1项是否一样？ [提示] 不同．(a ＋b )n展开式中第k ＋1项为C k n a n －k b k，而(b ＋a )n 展开式中第k ＋1项为C k n bn －k a k.1．(x ＋1)n的展开式共有11项，那么n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 B [由二项式定理的公式特征可知n ＝10.]2．(y －2x )8展开式中的第6项的二项式系数为( ) A ．C 68 B ．C 58(－2)5C ．C 58D ．C 68(－2)6C [由题意可知：T k ＋1＝C k 8y8－k(－2x )k ＝C k 8·(－2)k x k y8－k，当k ＝5时，二项式系数为C 58.]3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40C [由题意可知：T r ＋1＝C r5 (x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3r＝(－2)r C r 5x 10－5r，令10－5r ＝0，得r ＝2，即展开式中的常数项为(－2)2C 25＝40.]4．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 3A [(x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3.]二项式定理的正用和逆用【例1】 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式；(2)化简(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)． [解] (1)法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.法二：⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55(x －1)0－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.二项式定理的双向功能(1)正用：将二项式(a ＋b )n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.(2)逆用：将展开式合并成二项式(a ＋b )n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.1．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋16C 4n ＋…＋(－2)n C nn 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．(－1)n D ．3nC [1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋16C 4n ＋…＋(－2)n C n n ＝[1＋(－2)]n ＝(1－2)n ＝(－1)n.]2．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23的展开式．[解] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6＝1x6(x 2－1)6＝1x 6[C 06(x 2)6－C 16(x 2)5＋C 26(x 2)4－C 36(x 2)3＋C 46(x 2)2－C 56x 2＋C 66]＝1x6(x 12－6x 10＋15x 8－20x 6＋15x 4－6x 2＋1) ＝x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x6.二项式系数与项的系数【例2】 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项．[解] ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是T k ＋1＝C k 10(3x )10－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k· x 10－3k 2 (k ＝0,1,2，…，10)． (1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120.(2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760.(3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .区分二项式系数与某一项系数(1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0，1，2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数〞与二项式展开式中“项的系数〞这两个概念.(2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.3．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162. (1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．[解] (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n x n －62，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n x n －32， 依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81， 所以n 2＝81，n ∈N ＋，故n ＝9. (2)设第k ＋1项含x 3项，那么T k ＋1＝C k 9(x )9－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9x 9－3k2，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.求展开式中的特定项1．如何求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．[提示] 利用二项展开式的通项C r 4x4－r·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，那么r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6. 2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项为哪一项如何得到的？[提示] (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？[提示] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x(2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x . 【例3】 在(3x －33x)n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.思路探究：写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →(1)求出n 值→修正通项公式→(2)求x 2项的系数 →考察x 指数为整数→分析求出k 值 →(3)写出有理项[解] 通项公式为T r ＋1＝C r nx n －r3(－3)rx －r 3＝C r n (－3)rx n －2r 3.(1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )， 那么10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.即405x 2，－61 236,295 245x －2.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.4．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)假设⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，那么常数a 的值为________．(1)207 (2)4 [(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k＝C k 6x6－3k(－a )k，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据得C 26a ＝60，解得a ＝4.]1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k 是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.1.化简(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1得( ) A ．x 4B ．(x －1)4C ．(x ＋1)4D ．x 5A [原式＝ (x －1＋1)4＝x 4.]2．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式的第4项等于5，那么x 等于( ) A ．17 B ．－17C ．7D ．－7B [T 4＝C 37x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝5，∴x ＝－17.] 3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，那么n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6D [展开式的通项为T k ＋1＝C kn(x 2)n －k·(－1)k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N ＋)，假设k ＝2，那么n ＝3不符合题意，假设k ＝4，那么n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.]4．在⎝⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝________.5 [T r ＋1＝C r 4a4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，那么4ab 3＝20，∴ab 3＝5.]5．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项． [解] T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.。
高中数学第一章计数原理二项式定理的应用习题课精练含解析北师大版选修2_30416260.doc
习题课--二项式定理的应用A组1.已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于()A.11B.10C.9D.8解析:∵只有第5项的二项式系数最大,∴+1=5.∴n=8.答案:D2.的展开式中x2y3的系数是()A.-20B.-5C.5D.20解析:由已知,得T r+1=(-2y)r=(-2)r x5-r y r(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.故选A.答案:A3.使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7解析:由二项式的通项公式得T r+1=3n-r,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n最小值为5.答案:B4.设函数f(x)=则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为()A.-20B.20C.-15D.15解析:当x>0时,f(x)=-<0,则f[f(x)]=.T r+1=)6-r·=(-1)r=(-1)r x3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3=-20.答案:A5.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为.解析:根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项式定理展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.答案:96.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)4×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10.答案:107.在(3x-2y)20的展开式中,系数绝对值最大的项为.解析:设系数绝对值最大的项是第r+1项,则所以<r<,所以r=8.所以当r=8时,系数绝对值最大的项为T9=·312·28·x12·y8.答案:T9=·312·28·x12·y88.导学号43944020已知(+3x2)n的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n.又展开式中二项式系数和为2n,∴=2n=32,n=5.(1)∵n=5,展开式共6项,∴二项式系数最大的项为第三、四两项,∴T3=)3(3x2)2=90x6,T4=)2(3x2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大,则由T k+1=)5-k(3x2)k=3k,得∴≤k≤,∴k=4,即展开式中系数最大的项为T5=)(3x2)4=405.9.求证:3n>(n+2)·(n∈N+,n>2).证明因为n∈N+,且n>2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.(2+1)n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+1>2n+n·2n-1=(n+2)·2n-1, 故3n>(n+2)·2n-1(n∈N+,n>2).10.求证:1+2+22+…+(n∈N+)能被31整除.证明∵1+2+22+…+=-1=32n-1=(31+1)n-1=·31n+·31n-1+…+·31+-1=31(·31n-1+·31n-2+…+),显然·31n-1+·31n-2+…+为整数,∴原式能被31整除.B组1.若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是()A. B.C. D.(1,+∞)解析:二项式(x+y)9的展开式的通项是T r+1=·x9-r·y r.依题意,有由此得解之,得x>1,即x的取值范围为(1,+∞).答案:D2.(2016·湖北孝感高中高二上学期期中考试)2 0152 015除以8的余数为()A.1B.3C.5D.7解析:2 0152 015=(2 016-1)2 015=2 0162 015+ 2 0162 014(-1)1+…+(-1)2 015,倒数两项和为2 015×2 016-1,其除以8的余数为7,因此2 0152 015除以8的余数是7.答案:D3.x8=a0+a1(x-1)+…+a8(x-1)8,则a7=.解析:x8=[1+(x-1)]8=(x-1)+…+(x-1)7+(x-1)8,∴a7==8.答案:84.(2x-1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为.解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…+a10,两式相减,可得a1+a3+…+a9=.答案:5.设的展开式的常数项为a,则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为.解析:T r+1=x r-3x2r=x3r-3,令r=1,得a=3,直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9),∴直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积S=(3x-x2)d x=.答案:6.导学号43944021设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=.解析:由题意得a1==3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.答案:37.求证:32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.分析可将32n+2写成(8+1)n+1的形式,然后利用二项式定理展开,整理可得结果.证明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+…+82+8+-8n-9=8n+1+8n+…+82+(n+1)8+1-8n-9=8n+1+8n+…+82=64(8n-1+8n-2+…+),所以32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.8.导学号43944022已知在二项式(ax m+bx n)12中,a>0,b>0,mn≠0且2m+n=0.(1)如果在它的展开式中,系数最大的项是常数项,则它是第几项?(2)在(1)的条件下,求的取值范围.解(1)设T k+1=(ax m)12-k·(bx n)k=a12-k b k x m(12-k)+nk为常数项,则有m(12-k)+nk=0,即m(12-k)-2mk=0.∵m≠0,∴k=4,∴它是第5项.(2)∵第5项是系数最大的项,∴由①得,由②得,∴.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
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课时作业5 二项式定理
时间：45分钟 ——基础巩固类——
一、选择题
1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( A ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3 C ．－35x 4y 3
D ．35x 4y 3
解析：(x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3
.
2．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( D ) A ．－27C 610
B ．27
C 410 C ．－9C 610
D ．9C 410
解析：T k ＋1＝C k 10·
x 10－k (－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x 6的系数为9C 410.
3．已知⎝⎛⎭⎫2x 3＋1
x n 的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( B ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
解析：⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r ，当r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8. 4．(x －1
3x )10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( B )
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
解析：∵T r ＋1＝C r 10(x )10－r (－13x )r ＝C r 10x 10－r 2 ·(－13)r ·x －r ＝C r 10
(－13)r x 5－3
2r
， 由(5－3
2
r )∈N ＋，知r ＝0或2.
故展开式中第1、第3项x 的指数为正整数． 5．若(3x －
1x
)n
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为( A ) A ．－540 B ．－162 C ．162 D ．540 解析：令x ＝1得2n ＝64，则n ＝6.
T r ＋1＝C r 6(3x )
6－r (－1x
)r
＝(－1)r 36－r C r 6x
3－r ， 令3－r ＝0，得r ＝3. 故常数项为－27C 36＝－540.
6．(2－x )8的展开式中不含x 4的项的系数的和为( B ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
解析：(2－x )8＝C 0828＋C 1827(－x )1＋C 2826(－x )2＋…＋C 8820(－x )8
.
其中含x 4的项为C 8820(－x )8＝x 4，
令上式中的x ＝1，得所有项的系数和为(2－1)8＝1， 故展开式中不含x 4的项的系数和为1－1＝0.
7．设k ＝1,2,3,4,5，则(x ＋2)5的展开式中x k 的系数不可能是( C ) A ．10 B ．40 C ．50 D ．80
解析：x 1的系数为C 45·24＝80，x 2的系数为C 35·
23＝80，x 3的系数为C 25·22＝40，x 4的系数为C 15·21＝10，x 5的系数为C 05·
20＝1，所以系数不可能为50. 8．(x ＋3
x )12的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有( B ) A ．4项 B ．3项 C ．2项 D ．1项
解析：设第(r ＋1)项含x 的正整数次幂，则T r ＋1＝C r 12·(x 12 )12－r ·(x 13 )r ＝C r 12·x 6－16r ，其中0≤r ≤12.
要使6－1
6
r 为正整数，必须使r 为6的倍数，
所以r ＝0,6,12，即第1项、第7项、第13项为符合条件的项． 二、填空题 9.⎝⎛
⎭
⎫x y －y
x 6的展开式中，x 3的系数等于15. 解析：写出二项式通项，依据含x 3项建立等式求对应的r 值，系数易求．
含x 3的项对应的是6－3r 2
＝3，解得r ＝2，因此x 3的系数是C 26(－1)2
＝15. 10．若(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为－2.
解析：令x ＝－1，则原式可化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a 0＋a 1(2－1)＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.
11．若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1
x 2的系数为
56.
解析：本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用．依题意：C 2n ＝C 6
n ，得：n ＝8.
∵(x＋1
x)
8展开式中通项公式为T r＋1＝C r8x8－2r，∴令8－2r＝－2，即r＝5，∴C58＝56，即为所求．本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项．
三、解答题
12．求(2x－1
x
)6的展开式中，
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解：(1)第3项的二项式系数为C26＝15，又T3＝C26(2x)4(－1
x
)2＝24·C26x，
所以第3项的系数为24C26＝240.
(2)T k＋1＝C k6(2x)6－k(－1
x
)k＝(－1)k26－k C k6x3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
13．已知( 41
x＋
3
x2)n的展开式中的倒数第三项的系数为45.求：
(1)含x3的项；
(2)系数最大的项．
解：已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C n－2
n
＝45，
即C2n＝45，n2－n－90＝0.
解得n＝－9(舍去)或n＝10.
——能力提升类——
14．(1－ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为(B)
A．a＝2，b＝－1，n＝5
B．a＝－1，b＝2，n＝5。