深圳乐而思中心高考数学专题复习练习卷：平面向量的数量积及向量的应用(无答案)
高三数学 平面向量的数量积及应用习题及答案
总复习： 平面向量的数量积及应用一、选择题1.已知向量1331(,),(,)2222BA BC →→== , 则()ABC ∠=.(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)12002.如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OA OB ⋅，I 2=OB OC ⋅，I 3=OC OD ⋅，则（ ）A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 33. 平面向量a 与b 的夹角为60°，a =（2，0），1=b ，则2+=a b （ ）A ．3B ．23C ．4D ．124. 已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1B ．2C ．2D ．45. 在△OAB 中，已知OA=4，OB=2，点P 是AB 的垂直平分线l 上的任一点，则OP AB ⋅=（ ）A ．6B ．―6C ．12D ．―126. 对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：*sin θ=⋅⋅m n m n ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a 、b 、c ，下列结论正确的是（ ）A ．若**=a b a c ，则=b cB ．*()*=-a b a bC ．(*)(*)=a b c a b cD ．()***+=+a b c a c b c7.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 二、填空题8.已知向量a ，b 的夹角为60°，a =2，b =1，则2a b += ．9．如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA 的取值范围是 .10.已知1，2是平面单位向量，且1•2=，若平面向量满足•1=•=1，则||= ．11. 若平面上三点A 、B 、C 满足||3AB =，||4BC =，||5CA =，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于________三、解答题12. 已知向量()()sin ,cos ,3cos ,cos a x x b x x ==且0b ≠,若a b ⊥，求x 的最小正值.13. 已知1e ，2e 是夹角为23π的两个单位向量，122=-a e e ，12k =+b e e ，若0⋅=a b ，求实数k 的值.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sin x ，cos x ），x ∈（0，）． （1）若⊥，求tan x 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值． 15．设向量(4cos ,sin )αα=a ，(sin ,4cos )ββ=b ，(cos ,4sin )ββ=-c .（1）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（2）求+b c 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .【参考答案与解析】1. 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒.故答案为300.2.【答案】C【解析】∵AB ⊥BC ，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=，∴∠AOB=∠COD ＞90°，由图象知OA ＜OC ，OB ＜OD ，∴0＞OA OB ⋅＞OC OD ⋅，OB OC ⋅＞0，即I 3＜I 1＜I 2，故选：C ． 3.【答案】B【解析】∵2=a ，∴22222+=+⋅+a b a a b b =4+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴223+=a b .4.【答案】C【解析】2(3,n)-a b =，若2-a b 与b 垂直，则2(2)3+n 0-⋅=a b b =-，即2n 3=，2n 12=+a5.【答案】B【解析】B 设AB 的中点为M ，则1()()()2OP AB OM M P AB OM AB OA OB OB OA ⋅=+⋅=⋅=+⋅-221()62OB OA =-=-. 故选B. 6.【答案】B 【解析】根据定义，由**=a b a c 得12sin sin θθ⋅⋅=⋅⋅a b a c ，显然得不到=b c ；对于B ，()*sin ,sin()sin *πθθ-=-⋅⋅<->=⋅⋅-=⋅⋅=a b a b a b a b a b a b ，B 正确，容易验证C 、D 不正确. 故选B.7.【答案】A【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A （0，0），B （，0），C （0，t ）， ∵，∴P （1，4）， ∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t ﹣4）， ∴=﹣（﹣1）﹣4（t ﹣4）=17﹣（+4t ）， 由基本不等式可得+4t ≥2=4， ∴17﹣（+4t ）≤17﹣4=13， 当且仅当=4t 即t=时取等号， ∴的最大值为13，故选：A ．8.【答案】23 【解析】∵向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，∴()2222=+4+4a b a a b b +⋅=22+4×2×1×cos60°+4×12=12， ∴2=23a b +．故答案为：23．9. 【答案】[1,2]-【解析】由题意，设(cos ,sin ),[0,]P αααπ∈,，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2sin()[1,2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-. 10.【答案】【解析】∵1，2是平面单位向量，且1•2=， ∴1，2夹角为60°，∵平衡向量满足•1=•=1 ∴与1，2夹角相等，且为锐角， ∴应该在1，2夹角的平分线上， 即＜，1＞=＜，2＞=30°， ||×1×cos30°=1，∴||=11.【答案】―25【解析】由0AB BC CA ++=可得2()0AB BC CA ++=，∴916252()0AB BC BC CA CA AB +++⋅+⋅+⋅=，即25AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=-12.【解析】03sin 21cos20a b a b x x ⊥⇒⋅=⇒++=12sin 21sin 2,0cos 0662x x b x ππ⎛⎫⎛⎫⇒+=-⇒+=-≠⇒≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 72662x x πππ+=⇒=（舍），1152666x x πππ+=⇒= 13. 【解析】由题意0⋅=a b 即有1212(2)()0k -⋅+=e e e e ， ∴221122(12)20k k +-⋅-=e e e e ，又121==e e ，122,3π〈〉=e e ， ∴22(12)cos 03k k π-+-⋅=，∴1222k k --=，∴54k =. 14.【解析】（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx ，cosx ）=sinx ﹣cosx=0，即sin x =co sx sin x =cos x ，即tan x =1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sin x ，cos x ）=sin x ﹣cos x ， ∴若与的夹角为， 则•=||•||cos =， 即sin x ﹣cos x =，则sin （x ﹣）=，∵x ∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）． 则x ﹣=即x =+=． 15. 【解析】（1）∵a 与2-b c 垂直，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ， 即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=. （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ， 22222sin 2sin cos cos 16cos 32cos sin 16sin b βββββββ+=+++-+b c 1730sin cos 1715sin 2βββ=-=-，∴2+b c 最大值为32，∴+b c 的最大值为42（3）证明：由tan tan 16αβ=，得sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=，故a ∥b .。
平面向量的数量积练习题(含答案)(K12教育文档)
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平面向量的数量积A组专项基础训练一、选择题(每小题5分,共20分)1．(2012·辽宁)已知向量a＝（1，－1）,b＝（2,x）,若a·b＝1，则x等于（)A．－1 B．－错误! C.错误!D．1 2．（2012·重庆）设x，y∈R，向量a＝(x，1），b＝（1，y)，c＝(2,－4），且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于（)A。
5 B.错误! C．2错误! D．103．已知向量a＝（1,2）,b＝(2，－3)．若向量c满足（c＋a）∥b,c⊥(a＋b)，则c等于( )A。
错误! B.错误! C。
错误! D。
错误!4．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝错误!，则错误!·错误!等于（）A．－错误!B．－错误! C.错误!D。
错误!二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知向量a，b夹角为45°，且｜a|＝1，｜2a－b|＝错误!，则｜b｜＝________。
6．在△ABC中,M是BC的中点,AM＝3，BC＝10,则错误!·错误!＝________。
7．已知a＝（2，－1),b＝（λ，3），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分）8． (10分)已知a＝(1,2），b＝(－2,n) (n>1)，a与b的夹角是45°.(1)求b；（2）若c与b同向，且a与c－a垂直，求c。
高中数学高考考点专项复习及答案32 平面向量的数量积与平面向量的应用
考点规范练32 平面向量的数量积与平面向量的应用1.已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a -b )·b 等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案B解析由已知得|a |=|b |=1,a 与b 的夹角θ=60°,则(2a -b )·b =2a ·b -b 2=2|a ||b |cos θ-|b |2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B .2.已知向量p =(2,-3),q =(x ,6),且p ∥q ,则|p +q |的值为( ) A.√5 B.√13 C.5 D.13 答案B解析由题意,得2×6+3x=0,解得x=-4.因为p +q =(2,-3)+(-4,6)=(-2,3),所以|p +q |=√13. 3.对任意平面向量a ,b ,下列关系式不恒成立的是 ( ) A.|a ·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b )2=|a+b|2D.(a+b )·(a-b )=a 2-b 2答案B解析A 项,设向量a 与b 的夹角为θ,则a ·b =|a ||b |cos θ≤|a ||b |,所以不等式恒成立; B 项,当a 与b 同向时,|a -b |=||a |-|b ||;当a 与b 非零且反向时,|a -b |=|a |+|b |>||a |-|b ||. 故不等式不恒成立;C 项,(a+b )2=|a+b|2恒成立;D 项,(a+b )·(a-b )=a 2-a ·b+b ·a-b 2=a 2-b 2,故等式恒成立. 故选B .4.在四边形ABCD 中,AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A.√5 B.2√5 C.5 D.10 答案C解析依题意得,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-4)+2×2=0,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .即四边形ABCD 的面积为12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√5×√20=5.5.(2021山东烟台二模)若向量a ,b 满足|a |=2,|b |=√3,且(a -b )⊥(2a +3b ),则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.√112B.√336C.√215D.√36答案D解析由题意得(a -b )·(2a +3b )=2a 2+a ·b -3b 2=0,而|a |=2,|b |=√3, 所以2√3cos <a ,b >-1=0,故cos <a ,b >=√36.6.(2021福建南平一中高三月考)一条河流某流域内南北两岸平行,如图所示.已知游船在静水中的航行速度v 1的大小|v 1|=10 km/h,水流的速度v 2的大小|v 2|=4 km/h,设v 1和v 2所成角为θ(0<θ<π),若游船要从南岸A 码头航行到正北方向上位于北岸的B 码头处,则cos θ等于( )A.-√215B.-25C.-35D.-45答案B解析由题意知(v 1+v 2)·v 2=0,有|v 1||v 2|cos θ+v 22=0,即10×4cos θ+42=0,所以cos θ=-25.7.设m ,n 为非零向量,则“存在负数λ,使得m =λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案A解析m ,n 为非零向量,若存在λ<0,使m =λn ,即两向量反向,夹角θ是180°,则m ·n =|m ||n |cos180°=-|m ||n |<0.反过来,若m ·n <0,则两向量的夹角θ∈(π2,π],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m =λn ,所以是充分不必要条件. 故选A .8.(多选)已知向量a =(√3,1),b =(cos α,sin α)α∈0,π2,则下列说法正确的有( )A.|b |=1B.若a ∥b ,则tan α=√3C.a ·b 的最大值为2D.|a -b |的最大值为3 答案AC解析对于A,|b |=√cos 2α+sin 2α=1,A 正确;对于B,若a ∥b ,则√3sin α-cos α=0,则tan α=√33,B 错误;对于C,a ·b =√3cos α+sin α=2sin (α+π3),因为α∈[0,π2],所以α+π3∈[π3,5π6], 所以当α+π3=π2时,最大值为2,C 正确;对于D,|a -b |=√(√3-cosα)2+(1-sinα)2=√5-2sinα-2√3cosα=√5-4sin (α+π3),因为α∈[0,π2],所以α+π3∈[π3,5π6],则sin (α+π3)∈[12,1],即|a -b |max =√5-4×12=√3,D 错误.9.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( ) A.2116B.32C.2516D.3答案A解析如图,取AB 的中点F ,连接EF ,AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2-(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )24=(2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2-AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 24=|FE ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-14. 当EF ⊥CD 时,|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值. 过点A 作AH ⊥EF 于点H ,由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°. 因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°. 在Rt △AFH 中,易知AF=12,HF=14, 所以EF=EH+HF=1+14=54.即(AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =(54)2−14=2116. 10.在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G ,作用在行李包上的两个拉力分别为F 1,F 2,且|F 1|=|F 2|,F 1与F 2的夹角为θ.给出以下结论:①θ越大越费力,θ越小越省力; ②θ的范围为[0,π];③当θ=π2时,|F 1|=|G |; ④当θ=2π3时,|F 1|=|G |.其中正确的结论是 .(填序号) 答案①④解析对于①,因为|G |=|F 1+F 2|为定值,所以|G |2=|F 1|2+|F 2|2+2|F 1||F 2|cos θ=2|F 1|2(1+cos θ),解得|F 1|2=|G |22(1+cosθ);由题意知,当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F 1|2单调递增, 即θ越大越费力,θ越小越省力;①正确;对于②,当θ=π时,F 1+F 2=0,行李包不会处于平衡状态,所以θ≠π,②错误; 对于③,当θ=π2时,|F 1|2=|G |22, 所以|F 1|=√22|G |,③错误; 对于④,当θ=2π3时,|F 1|2=|G |2,所以|F 1|=|G |,④正确.综上可知,正确结论的序号是①④.。
高考数学平面向量的数量积及应用举例专题练习
平面向量的数量积及应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为( )A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为|a|cos<a,b>=4,|b|=3,所以a·b=|a||b|·cos<a,b>=3×4=12.2.如图,在圆C中,点A,B在圆上,则·的值()A.只与圆C的半径有关B.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关C.只与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【解析】选C.如图,过圆心C作CD⊥AB,垂足为D,则·=||||·cos∠CAB=||2.所以·的值只与弦AB的长度有关.3.在△ABC中,若||2=·+·+·,则△ABC是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【解析】选 D.依题意得||2=·(+)+·=||2+·,所以·=0,⊥,△ABC是直角三角形.【变式备选】已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b与c垂直,则k= ( )A.-3B.-2C.1D.-1【解析】选A.因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0,所以k++2=0,解得k=-3.4.已知△ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R,若·=-,则λ= ( )A. B.C. D.【解析】选A.因为·=-,所以-=·=·=-||2-λ||2+·=-4-4λ+2=-2λ2+2λ-2,解得λ=.【一题多解】选A.如图,建立平面直角坐标系,设A(-1,0),B(1,0),C(0,),另设P(x1,0),Q(x2,y2),由=λ,得x1=2λ-1,由=(1-λ),得x2=-λ;y2=(1-λ),于是=(-λ-1,(1-λ)),=(2λ-1,-),由·=-得:(-λ-1)(2λ-1)-3(1-λ)=-,解得λ=.【变式备选】已知非零向量a,b的夹角为,且|b|=1,|b-2a|=1,则|a|= ( )A. B.1 C. D.2【解析】选A.依题意得(b-2a)2=1,即b2+4a2-4a·b=1,1+4|a|2-2|a|=1, 4|a|2-2|a|=0(|a|≠0),因此|a|=.5.(2017·全国卷Ⅲ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是( )A.-2B.-C.-D.-1【解析】选B.取BC的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(-y)=2x2+2-≥-,当P时,·(+)取得最小值,最小值为-.【变式备选】已知平面向量a,b的夹角为120°,且a·b=-1,则|a-b|的最小值为( ) A. B. C. D.1【解析】选 A.由题意可知-1=a·b=|a|·|b|cos 120°,所以2=|a|·|b|≤,即|a|2+|b|2≥4,当且仅当|a|=|b|时等号成立,|a-b|2=a2-2a·b+b2=a2+b2+2≥4+2=6,所以|a-b|≥,所以|a-b|的最小值为.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为________.【解析】因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),所以由(m+n)⊥(m-n)得(m+n)·(m-n)=0,即(2λ+3)×(-1)+3×(-1)=0,解得λ=-3,则m=(-2,1),n=(-1,2),所以cos<m,n>==.答案:7.(2019·济南模拟)已知A(-1,cos θ),B(sinθ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角θ=________.【解析】利用几何意义求解:由已知可得,+是以OA,OB为邻边所作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,由对角线相等的平行四边形为矩形.知OA⊥OB.因此·=0,所以锐角θ=.答案:【一题多解】坐标法:+=(sin θ-1,cos θ+1),-=(-sin θ-1,cos θ-1),由|+|=|-|可得(sin θ-1)2+(cos θ+1)2=(-sin θ-1)2+(cos θ-1)2,整理得sin θ=cos θ,于是锐角θ=.答案:8.如图,菱形ABCD的边长为2,∠BAD=60°,M为DC的中点,若N为菱形内任意一点(含边界),则·的最大值为________.【解析】由平面向量的数量积的几何意义知,·等于||与在方向上的投影之积,所以(·)m a x=·=·(+)=||2+||2+·=9.答案:9三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知向量a=,b=(cos x,-1).(1)当a∥b时,求2cos2x-sin 2x的值.(2)求f(x)=(a+b)·b在上的值域.【解析】(1)因为a∥b,所以cos x+sin x=0,所以tan x=-,2cos2x-sin 2x===.(2)因为a+b=.f(x)=(a+b)·b=sin.因为-≤x≤0,所以-≤2x+≤,所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤,所以函数f(x)的值域为.10.已知向量a1=(1,-7),d=(1,1),对任意n∈N*都有a n+1=a n+d.(1)求|a n|的最小值.(2)求正整数m,n,使a m⊥a n.【解析】(1)设a n=(x n,y n),由a n+1=a n+d得所以{x n},{y n}都是公差为1的等差数列.因为a1=(1,-7),所以x n=n,y n=n-8,a n=(n,n-8),|a n|==≥4,|a n|的最小值为4.(2)由(1)可知a n=(n,n-8),a m=(m,m-8),由已知a m⊥a n得:a m·a n=0,mn+(m-8)(n-8)=0,(m-4)(n-4)=-16因为m,n∈N+,所以或或或【变式备选】一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10 km/h,水流速度|v2|=2 km/h.要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:当船逆流行驶,与水流成钝角时;当船顺流行驶,与水流成锐角时;当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况,并判断是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时,所用时间最短【解析】设v1与v2的夹角为θ,合速度为v,v2与v的夹角为α,行驶距离为d,则sin α=所以当θ=90°,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.(20分钟40分)1.(5分)已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,则λ的值为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选B.依题意得=+=-,=+,因此·=·=-+·,于是有×62+×62×cos 60°=-9,由此解得λ=3.2.(5分)(2018·宜春模拟)已知向量与的夹角为θ,||=2,||=1,=t,=(1-t),||在t0时取最小值,当0<t0<时,cos θ的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:A(2,0),B(cos θ,si n θ),由向量关系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=((1-t)cos θ,(1-t)sin θ), 则:||=|-|=,整理可得:||=,满足题意时:t0=-=-,据此可得三角不等式:0<-<,解得:-<cos θ<,即cos θ的取值范围是.3.(5分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=·,I2=·,I3=·,则 ( )A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3【解析】选C.根据题意,I1-I2=·-·=·(-)=·=||·||·cos∠AOB<0,所以I1<I2,同理得,I2>I3,作AG⊥BD于G,又因为AB=AD,所以OB<BG=GD<OD,同理作BF⊥AC于F,而OA<AF=FC<OC,所以||·||<||·||,而cos∠AOB=cos∠COD<0,所以·>·,即I1>I3,所以I3<I1<I2.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法选C.如图,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,2),C(2,0).设D(m,n),由AD=2和CD=3,得从而有n-m=>0,所以n>m.从而∠DBC>45°,又因为∠BCO=45°,所以∠BOC为锐角.从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0.又因为OA<OC,OB<OD,故可设=-λ1(λ1>1),=-λ2(λ2>1),从而I3=·=λ1λ2·=λ1λ2I1,又因为λ1λ2>1,I1<0,I3<0,所以I3<I1,所以I3<I1<I2.【变式备选】已知圆O的半径为1,A,B是圆上的两点,且∠AOB=,MN是圆O的任意一条直径,若点C满足=λ+(1-λ)(λ∈R),则·的最小值为________.【解析】由题意可得·=(+)·(+)=+·(+)+ ·,因为MN是圆O的任意一条直径,所以+=0,·=-1,所以·=+0-1=-1.要求·的最小值问题就是求的最小值,因为=λ+(1-λ)(λ∈R), 所以点C在直线AB上,则当C在AB中点时,OC⊥AB,OC最小为等边三角形AOB的高线为,此时=,故·的最小值为-1=-.答案:-4.(12分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)若x∈,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求m·n的最小值及对应的x值. 【解析】(1)设D(t,0)(0≤t≤1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0≤t≤1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m==(cos x+1,sin x),则m·n=1-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x∈,所以≤2x+≤.所以当2x+=,即x=时,m·n=1-sin取得最小值1-,所以m·n的最小值为1-,此时x=.5.(13分)已知向量a=(cos α,sinα),b=(cos β,sinβ),c=(-1,0).(1)求向量b+c的模的最大值.(2)设α=,且a⊥(b+c),求cos β的值.【解析】(1)b+c=(cos β-1,sin β),则|b+c|2=(cos β-1)2+sin2β=2(1-cos β).因为-1≤cos β≤1,所以0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cos β=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为2.(2)若α=,则a=.又由b=(cos β,sin β),c=(-1,0)得a·(b+c)=·(cos β-1,sin β)=cos β+sin β-.因为a⊥(b+c),所以a·(b+c)=0,即cos β+sin β=1,所以sin β=1-cos β,平方后化简得cos β(cos β-1)=0,解得cos β=0或cos β=1.经检验cos β=0或cos β=1即为所求.【方法技巧】涉及三角问题求解方法:去除向量的包装外衣,转化为形如:y=Asin(ωx+φ)+k,但一定要关注自变量x的取值范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式,处理的结果之一就是转化为形如:y=Asin(ωx+φ),这一点很重要.。
2021年学年高二数学《平面向量的数量积》练习题及答案题型归纳
2021年学年高二数学《平面向量的数量积》练习题及答案题
型归纳
数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果。
下文就为平面向量的数量积练习题及答案，希望大家认真对待。
一、选择题
1.已知向量
，且
与
B.
D.
，
轴的单位向量，且
等于( ).
A.
C.
，
( ).
A.8
B.4
C.2
D.1
考查目的：考查平面向量加、减法运算的几何意义，以及数形结合思想.
答案：C.
.二、填空题
4.已知
方向相同的单位向量
5.已知：
与
，则
方向上的投影为 .
考查目的：考查平面向量投影的概念与计算.
答案：
的边长为，平面内一点M满足
= .
考查目的：考查平面向量的加、减法运算和平面向量的数量积运算. 答案：-2.
三、解答题
7.已知
，试求实数的值.
考查目的：考查平面向量的数量积运算和平面向量垂直的性质等. 答案：
，
.⑴求
值;
⑵若
共线，求实数。
2022年高考数学核心考点专题训练专题21 平面向量的数量积(含解析)
2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为
2．
2
其中正确结论的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 设向量 a,b,c,满足 a = b = 2,a ⋅ b = 2, a − c ⋅ b − c = 0,则 c 的最小值为
A. 3+1 2
B. 3−1 2
C. 3 − 1
11. 在给出的下列命题中，不正确的是( )
−5 10
=−
10，所以
2
B
错误：
因为a
−
b
=
(5,0)，所以
cos
<
a，a
−
b
>=
a⋅(a−b) |a|×|a−b|
=
10 5×5
=
2 5，所以
5
C
正确;
因为c
=
(
5 5
,
25 5
)，所以a
⋅
c
=2×
5 5
+
1
×
25 5
=
45 5
≠
0，所以a与c不垂直，所以 D
错误．
故选 C．
20.
已知向量m =
⋅
OB
=
OA
⋅
OC,AO
=
λ(
AB |AB|
+
AC |AC|
)则ΔABC
为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足 OA = OB = OC = r(r > 0)，且OA + OB + OC = 0，则△ ABC
是等边三角形
12. 已知不共线向量OA,OB夹角为α, OA = 1, OB = 2,OP = 1 − t OA,OQ = tOB 0 ≤ t ≤ 1), PQ 在 t = t0
必修4《平面向量的数量积》专项练习题及参考答案
必修4《平面向量的数量积》一、填空题1．已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x ＝ 1 .解：由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b . 故sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，故sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1. 2．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为120°，若向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝4e 1，则a ·b ＝ 0 .解：a ·b ＝(e 1＋2e 2)·4e 1＝4e 1⋅e 2＋8 e 1⋅e 2＝4×1×1＋8×1×1×cos120°＝4＋8×(－12)＝0. 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于16 .解：法一：因为cos A ＝AC AB ，故AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ＝|AC |2＝16. 法二：AB 在AC 上的投影为|AB |cos A ＝|AC |，故AB ·AC ＝|AC ||AB |cos A ＝|AC |2＝16.4．在锐角△ABC 中，AB ＝a ，CA ＝b ，S △ABC ＝1，且|a |＝2，|b |＝2，则a·b 等于 -2.解：S △ABC ＝12|AB ||AC |sin A ＝12×2×2sin A ＝1，∴ sin A ＝22，∵ A 为锐角，∴ A ＝π4. ∴ a·b ＝AB ·CA ＝|a ||b |cos(π－A )＝2×2cos 3π4＝－2. 5．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0 < α < β < π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α＝ π2. 解：由|2a ＋b |＝|a －2b |得3|a |2－3|b |2＋8a·b ＝0，而|a |＝|b |＝1，故a·b ＝0，∴ cos αcos β＋sin αsin β＝0，即cos(α－β)＝0，由于0 < α < β < π，故－π < α－β < 0，∴ α－β＝－π2，即β－α＝π2. 6．若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且(AB ＋AC )·BC ＝0，则△ABC 的是等边三角形． 解：由题意可知，在△ABC 中，BC 边上的中线又是BC 边上的高，因此△ABC 是等腰三角形，而三 个内角A ，B ，C 成等差数列，故角B 为60°，所以△ABC 一定是等边三角形．7．力F 的大小为50 N ，与水平方向的夹角为30°(斜向上)，使物体沿水平方向运动了20 m ，则力F 所做的功为 5003J ．解：设木块的位移为s ，则F·s ＝|F |·|s |cos30°＝50×20×32＝5003(J)． 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )， 则向量MN 的模为82．解：∵ a //b ，∴ x ＝4，∴ b ＝(4，－2)，∴ a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )．∵ (a ＋b )⊥(b －c )，∴ (a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3×(－2－y )＝0，∴ y ＝－4，∴ M (4，－4)，N (－4,4)．故向量MN ＝ (－8,8)，|MN |＝8 2.9．给出以下四个命题：①对任意两个向量a ，b 都有|a·b |＝|a ||b |；②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R)，则A 、B 、C 共线 ⇔λ1λ2＝－1；③若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则a ＋b 与a －b 的夹角为90°.④若向量a 、b 满足|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝13，则a ，b 的夹角为60°. 以上命题中，错误命题的序号是 ①②④． 解：①错，∵ |a·b |＝|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |. ②错．∵ A 、B 、C 共线，∴ AB ＝k AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝k ，λ2k ＝1，∴ λ1λ2 ＝1. ④错，∵ |a ＋b |2＝13，∴ |a |2＋|b |2＋2a·b ＝13，即a·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，∴ cos θ＝－12，∴ θ ＝120°.二、解答题13．如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |.(1)试用OA ，OB 表示OP ；(2)若| OA |＝3，| OB |＝2，且∠AOB ＝60°，求OP ·AB 的值．解：(1)∵ P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |，∴ AP ＝2PB ，即有OP －OA ＝2(OB －OP )，∴OP ＝13OA ＋23OB . (2)由(1)知OP ＝13OA ＋23OB ，∴ OP ·AB ＝(13OA ＋23OB )·(OB － OA )＝－13OA 2－13OA ·OB ＋23OB 2＝－13×9－13×3×2×cos60°＋23×4＝－43. 14．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝(－12，32)． (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．解：(1)证明：因为(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34)＝0，故a ＋b 与a －b 垂直． (2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，则(－12)×cos α＋32×sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴ α＋60°＝k ·180°＋90°，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α＜360°，则α＝ 30°或α＝210°.15．。
高考数学一轮复习专题训练—平面向量的数量积及平面向量的应用
平面向量的数量积及平面向量的应用考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．知识梳理1．平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)．(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 4．平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)，不能得出b ＝c ，两边不能约去同一个向量．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π]．(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等．2．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,4)，则(a －b )·a ＝( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D ．14答案 B解析 由题意得a －b ＝(－1，－3)，则(a －b )·a ＝－1－3＝－4. 3．设a ，b 是非零向量，则“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．4．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2,3)＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t＝3，所以BC →＝(1,0)， 所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.5．(2021·江南名校模拟)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B ．π4C ．π3D ．2π3答案 C解析 由(2a －b )·b ＝0，可得a ·b ＝12b 2＝12，设向量a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又θ∈[0，π]，所以向量a 、b 的夹角为π3.6．(2020·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(1，－1)，b ＝(m ＋1,2m －4)，若a ⊥b ，则m ＝________. 答案 5解析 因为a ⊥b ，所以1×(m ＋1)＋(－1)×(2m －4)＝0，解得m ＝5.考点一 平面向量的数量积运算1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3C ．2D ．0答案 B解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.2．(2020·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12()AB →＋AC →，则|PD →|＝__________；PB →·PD →＝__________. 答案5 －1解析 法一 ∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，P (2,1)，∴|PD →|＝2－02＋1－22＝ 5.易得PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)． ∴PB →·PD →＝(0，－1)·(－2,1)＝－1.法二 如图，在正方形ABCD 中，由AP →＝12(AB →＋AC →)得点P 为BC 的中点，∴|PD →|＝12＋22＝ 5.PB →·PD →＝PB →·(PC →＋CD →)＝PB →·PC →＋PB →·CD →＝－PB →2＋0＝－1.3．(2019·天津卷)在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD ＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE →＝________. 答案 －1 解析如图，在等腰△ABE 中，易得∠BAE ＝∠ABE ＝30°，故BE ＝2. 则BD →·AE →＝(AD →－AB →)·(AB →＋BE →) ＝AD →·AB →＋AD →·BE →－AB →2－AB →·BE →＝5×23×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－23×2×cos 150° ＝15－10－12＋6＝－1.4．(2020·新高考山东卷)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2)C ．(－2,4)D ．(－4,6)答案 A解析 法一 如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1＜x ＜3.所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)． 故选A.法二 AP →·AB →＝|AP →|·|AB →|·cos ∠P AB ＝2|AP →|·cos ∠P AB ，又|AP →|cos ∠P AB 表示AP →在AB →方向上的投影．结合几何图形，当点P 与F 重合时投影最小，当P 与点C 重合时，投影最大，又AC →·AB →＝23×2×cos 30°＝6， AF →·AB →＝2×2cos 120°＝－2，故当点P 在正六边形ABCDEF 内时，－2<AP →·AB →<6. 感悟升华 1.计算平面向量的数量积主要方法： (1)利用定义：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)活用平面向量数量积的几何意义．2．解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．考点二 向量数量积的性质及应用角度1 夹角与垂直【例1】 (1)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉＝( )A ．－3135B ．－1935C ．1735D ．1935答案 (1)D (2)D解析 (1)易知a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，则b ·(a ＋2b )＝52≠0，b ·(2a ＋b )＝2≠0，b ·(a －2b )＝a ·b －2b 2＝－32≠0，b ·(2a －b )＝0.因此b ⊥(2a －b )．(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49，∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935.角度2 平面向量的模【例2】 (1)(2021·南昌模拟)设x ，y ∈R ，a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，c ＝(－2,2)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|2a ＋3b －c |＝( ) A ．234B ．26C ．12D ．210(2)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________． 答案 (1)A (2)2＋1解析 (1)因为a ⊥c ，所以a ·c ＝－2x ＋2＝0，解得x ＝1，则a ＝(1,1)， 因为b ∥c ，所以4＋2y ＝0，解得y ＝－2，则b ＝(2，－2)． 所以2a ＋3b －c ＝(10，－6)，则|2a ＋3b －c |＝234. (2)法一 由a ·b ＝0，得a ⊥b .如图所示，分别作OA →＝a ，OB →＝b ，作OC →＝a ＋b ，则四边形OACB 是边长为1的正方形，所以|OC →|＝ 2.作OP →＝c ，则|c －a －b |＝|OP →－OC →|＝|CP →|＝1. 所以点P 在以C 为圆心，1为半径的圆上．由图可知，当点O ，C ，P 三点共线且点P 在点P 1处时，|OP →|取得最大值2＋1.故|c |的最大值是2＋1.法二 由a ·b ＝0，得a ⊥b .建立如图所示的平面直角坐标系，则OA →＝a ＝(1,0)，OB →＝b ＝(0,1)．设c ＝OC →＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以点C 在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上． 所以|c |max ＝2＋1.法三 易知|a ＋b |＝2，|c －a －b |＝|c －(a ＋b )| ≥||c |－|a ＋b ||＝||c |－2|， 由已知得||c |－2|≤1，所以|c |≤1＋2，故|c |max ＝2＋1.感悟升华 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.2．若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解．没有坐标时可用公式cos θ＝a ·b|a ||b |.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π]．3．向量模的计算主要利用a 2＝|a |2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率．【训练1】 (1)(2021·太原质检)已知平面向量a ＝(4，－2)，b ＝(1，－3)，若a ＋λb 与b 垂直，则λ＝( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)(2020·河南部分重点中学联考)已知单位向量a ，b 的夹角为θ，且tan θ＝12，若向量m ＝5a －3b ，则|m |＝( ) A. 2B ． 3C ．26D ．2或26答案 (1)C (2)A解析 (1)a ＋λb 与b 垂直，∴(a ＋λb )·b ＝a ·b ＋λb 2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1. (2)依题意|a |＝|b |＝1，又θ为a ，b 的夹角，且tan θ＝12，∴θ为锐角，且cos θ＝2sin θ， 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，从而cos θ＝255.由m ＝5a －3b ，∴m 2＝(5a －3b )2＝5a 2＋9b 2－65a ·b ＝2，因此|m |＝ 2. 考点三 平面向量的综合应用【例3】 (1)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为__________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为__________．答案 16 132解析 因为AD →＝λBC →， 所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°， 所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1.因为AD →，BC →同向，且BC ＝6， 所以AD →＝16BC →，即λ＝16.在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332.以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 如图，设M (a,0)，不妨设点N 在点M 右侧， 则N (a ＋1,0)，且－32≤a ≤72.又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN →＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132. 所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132.(2)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . ①求角C 的大小；②若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 ①m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 在△ABC 中，A ＋B ＝π－C,0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12.又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.②由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.感悟升华 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算． (2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决．2．解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题．【训练2】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若AC →·BC →＝1，则点C 的轨迹为( ) A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线(2)(2019·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC →，则AB AC的值是________．答案 (1)A (2) 3解析 (1)以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点A ，B 分别为(－a,0)，(a,0)(a >0)，点C 为(x ，y )，则AC →＝(x ＋a ，y )，BC →＝(x －a ，y )，所以AC →·BC →＝(x －a )(x ＋a )＋y ·y ＝x 2＋y 2－a 2＝1，整理得x 2＋y 2＝a 2＋1.因此点C 的轨迹为圆．故选A. (2)法一 如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点．又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC →－AE →＝AC →－13AB →，所以6AO →·EC →＝32(AB →＋AC →)·⎝⎛⎭⎫AC →－13AB →＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB →·AC →，整理可得AB →2＝3AC →2，所以AB AC＝ 3.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．设E (1,0)，C (a ，b )，则B (3,0)，D ⎝⎛⎭⎫a ＋32，b 2.⎭⎬⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE ：y ＝ba －1x －1⇒O ⎝⎛⎭⎫a ＋34，b4. ∵AB →·AC →＝6AO →·EC →， ∴(3,0)·(a ，b )＝6⎝⎛⎭⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )，即3a ＝6⎣⎡⎦⎤a ＋3a －14＋b 24，∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝ 3.∴AB AC ＝33＝ 3.平面向量与三角形的“四心”向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题效率． 设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 一、平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A ．△ABC 的内心 B ．△ABC 的垂心 C ．△ABC 的重心 D ．AB 边的中点答案 C解析 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝21－λ3OD →＋1＋2λ3OC →， 而21－λ3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 二、平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0,1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B ．1463C ．4 3D ．6 2答案 B解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍．在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.三、平面向量与三角形的“外心”问题【例3】 (2021·长春质检)在△ABC 中，O 为其外心，OA →·OC →＝3，且3OA →＋7OB →＋OC →＝0，则边AC 的长是________． 答案3－1解析 设△ABC 外接圆的半径为R ， ∵O 为△ABC 的外心， ∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝R ， 又3OA →＋7OB →＋OC →＝0，则3OA →＋OC →＝－7OB →，∴3OA →2＋OC →2＋23OA →·OC →＝7OB →2， 从而OA →·OC →＝32R 2，又OA →·OC →＝3，所以R 2＝2，又OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝R 2cos ∠AOC ＝3， ∴cos ∠AOC ＝32，∴∠AOC ＝π6， 在△AOC 中，由余弦定理得 AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOC ＝R 2＋R 2－2R 2×32＝(2－3)R 2＝4－2 3.所以AC ＝3－1.四、平面向量与三角形的“垂心”问题【例4】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．重心 B ．垂心C ．外心D ．内心答案 B解析 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上，即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.A 级 基础巩固一、选择题1．已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92B ．0C ．3D ．152答案 C解析 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C.2．(2021·新乡质检)已知向量a ＝(0,2)，b ＝(23，x )，且a 与b 的夹角为π3，则x ＝( )A ．－2B ．2C ．1D ．－1答案 B解析 由题意得a ·b |a ||b |＝2x 2·12＋x 2＝12，则2x ＝12＋x 2，解之得x ＝2，x ＝－2(舍去)．3．(2021·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE →＝( )A ．11B ．10C ．－10D ．－11答案 D解析 以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图．则A (0,0)，B (4,0)，E (1,4)，F (5,1)，所以AF →＝(5,1)，BE →＝(－3,4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11. 4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3 B ．2π3C ．5π6D ．π6答案 D解析 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3， 设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·a ＋b |a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.5.在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0答案 C解析 连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.6．已知向量OA →，OB →满足|OA →|＝|OB →|＝2，OA →·OB →＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，则|OC →|的最小值为( ) A ．1 B ．52C ． 2D ． 3答案 D解析 |OC →|2＝(λOA →＋μOB →)2＝[λOA →＋(1－λ)OB →]2 ＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)OA →·OB →，因为OA →·OB →＝2，所以|OC →|2＝4λ2＋4(1－λ)2＋2λ(1－λ)·2＝4λ2－4λ＋4＝4⎝⎛⎭⎫λ－122＋3，当λ＝12时，|OC →|取得最小值 3. 二、填空题7．(2019·全国Ⅲ卷)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________. 答案 23解析 由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·2a －5b|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23.8．(2020·全国Ⅰ卷)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，利用平行四边形法则得OC →＝a ＋b ，∵|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，∴△OAC 为正三角形，∴|BA →|＝|a －b |＝2×32×|a |＝ 3.9．(2020·郑州模拟)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋MD →|的最小值为________． 答案 3解析 以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，M (0，b )，且0≤b ≤a ，由于BC ＝2，AD ＝1.∴C (2,0)，D (1，a )．则MC →＝(2，－b )，MD →＝(1，a －b )， ∴MC →＋MD →＝(3，a －2b )． 因此|MC →＋MD →|＝9＋a －2b2，∴当且仅当a ＝2b 时，|MC →＋MD →|取得最小值3. 三、解答题10．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.B 级 能力提升11．(2021·石家庄调研)已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a －b )⊥(3a －b )，则a 与b 的夹角的最大值为( ) A.π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6答案 A解析 设a 与b 的夹角为θ，θ∈[0，π]． 因为(a －b )⊥(3a －b )，所以(a －b )·(3a －b )＝0. 整理可得3a 2－4a ·b ＋b 2＝0， 即3|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0.将|a |＝1代入3|a |2－4a ·b ＋|b |2＝0， 可得3－4|b |cos θ＋|b |2＝0， 整理可得cos θ＝34|b |＋|b |4≥234|b |×|b |4＝32， 当且仅当34|b |＝|b |4，即|b |＝3时取等号，故cos θ≥32，结合θ∈[0，π]， 可知θ的最大值为π6.12．(2020·长沙联考)已知点O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2)，OB →＝(x ，y )，且OA →·OB →＝10，则|OB →|的最小值为________．答案 2 5 解析 由题意知|OB →|＝x 2＋y 2，x ＋2y ＝10，∴点B 在直线x ＋2y －10＝0上，∴|OB →|的最小值为点O 到直线x ＋2y －10＝0的距离．则|OB →|min ＝|0＋0－10|12＋22＝105＝2 5. 13．(2020·浙江卷)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是__________．答案 2829解析 因为单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，所以|2e 1－e 2|2＝5－4e 1·e 2≤2，即e 1·e 2≥34. 因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝a ·b 2|a |2|b |2＝[e 1＋e 2·3e 1＋e 2]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2＝4＋4e 1·e 222＋2e 1·e 210＋6e 1·e 2＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2. 不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t， 又y ＝4＋4t 5＋3t在⎣⎡⎭⎫34，＋∞上单调递增， 所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829， 所以cos 2θ的最小值为2829. 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35， 得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35， 所以cos A ＝－35.因为0<A <π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ， 则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22， 因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4. 由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2·5c ·⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.。
2024年高考数学总复习第五章平面向量真题分类21平面向量的数量积和平面向量的应用
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真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
高考·数学
6．(2021·北京，13，5 分)a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)，则(a＋b)·c＝___0_____； a·b＝____3____．
答案：0 3 ∵a＝(2，1)，b＝(2，－1)，c＝(0，1)， ∴a＋b＝(4，0)，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0， ∴a·b＝2×2＋1×(－1)＝3. 故答案为 0；3.
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真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
高考·数学
4．(2022·全国甲卷(理)，13，5 分)设向量 a，b 的夹角的余弦值为13 ，且|a|＝1，|b|＝ 3，则(2a＋b)·b＝__1_1_____．
答案：11 因为 cos 〈a，b〉＝13 ，|a|＝1，|b|＝3， 所以 a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝1×3×13 ＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11.
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真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
高考·数学
Ⅱ.求向量的数量积的最值(范围)问题
7．(2020·新高考全国Ⅰ，7，5 分)已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，
则A→P ·A→B 的取值范围是( ) A．(－2，6) B．(－6，2)
C．(－2，4)
真题分类21 平面向量的数量积和平面向量的应用
C1.平面向量的数量积及其运算律
高考·数学
命题者说：掌握数量积、投影等概念，能利用定义进行运算求值，解决含参、求最值等问题.
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题
(完整版)平面向量的数量积练习题
平面向量的数量积•选择题1.已知 a (2,3),b ( 1, 1),则a?b 等于( ) A.1 B.-1 C.5 D.-52.向量 a ， b 满足 …b 4,且 a b 2 ,则a 与b 的夹角为（ ）A. — B C . — D •6 4 3 23.已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为 600，那么 ；3b ( )A. . 7 B • 10 C • .13 D • 44 .若平面向量与向量' 的夹角是1舸,且1询=了厉，则3=（5.卜面 4个有关向量的数量积的关系式① 0?0 =0 ② (a ?b ) ?c = a ? ( b ?c ) —*> —» —!■> —» —» -*■ ——*■ —» f —B- —③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | w a ?b ⑤ | a ?b | | a |? b | 其中正确的是（）A . ①②B 。
①③C 。
③④D 。
③ ⑤6.已知|a |=8，e 为单位向量，当它们的夹角为 一时，a 在e 方向上的投影为（ ） 3A. 30° B C.--： D.8.已知 a =(2,3) , b =(4 ,7), 则a 在b 上的投影值为（ )A 、 13B 、13 、C 底C 、D 1655 5—*■ —¥■ ―► 一► —*■9.已知 a (1,2),b (3,2),ka b 与a 3b 垂直时k 值为 ( )7.设a 、b 是夹角为；：：：的单位向量，贝U2a )A 、17B 、18C 19D 、20 A . 4,3 B.4 C.4 D.8+b 和3a 2b 的夹角为（C .10.若向量a=(cos ,sin b=(cos ,sin a与b 一定满足a与b的夹角等于+、(a + b)丄(a—b)a II b11.设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP3cos i 3sin j ,mur(Q/OQ i。
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。
高中数学一轮复习 第3讲 平面向量的数量积及应用 试题(共9页)
第3讲平面(píngmiàn)向量的数量积及应用随堂演练稳固a、b满足|a|=1,|b|=4,且a b=2,那么a与b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】 cos<a,b>.π.∵<a,b>],∴a与b的夹角为3a、b、c和实数以下命题中真命题是… ( )a⋅b=0,那么a=0或者b=0a=0,那么或者a=0a b那么a=b或者a=-ba⋅b=a⋅c,那么b=c【答案】 Ba⋅b=0,还可能有a b;C中a2=b a b a+b a-b)=0,此时假设a与b的模相等或者a+b与a-b互相垂直即可;D中a⋅b=a⋅c a b-c)=0,a=0或者b=c或者a b-c).a=(-2,2),b=(5,k),假设|a+b|不超过5,那么k的取值范围是( )A.[-4,6]B.[-6,4]C.[-6,2]D.[-2,6]【答案】 C【解析】a=(-2,2),b=(5,k),故a+b=(3,2+k).∵|a+b|∴|a+b|a+b.∴.a=(cos sin b那么(nà me)|2a-b|的最大值.最小值分别是( ) A.4,0 B.16,0 C.2,0 D.16,4 【答案】 A【解析】∵|2a-b|a a⋅b+b|a||b|cos<a,b>cos <a,b>,∈,π],又∵<a,b>[0∴cos<a,b>∴8-8cos<a,b>即|2a-b|∴|2a-b|.⊥b-c)〞的( )a与b-c都是非零向量,那么“a⋅b=a⋅c〞是“a(B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】由a⋅b=a⋅c得a(⋅b-c)=0,即|a||b-c|cos∵a,b-c均为非零向量,θ=,即a与(b-c)的夹角为90.∴cos0⊥b-c).∴a(⊥b-c),那么a(⋅b-c)=0,反之,假设a(即a⋅b-a⋅c=0,∴a⋅b=a⋅c.⊥b-c)〞的充要条件.故“a⋅b=a⋅c〞是“a(课后作业夯基1.a =(1,0),b =(1,1),(abb ,那么(nà me)λ等于 …( )C.D.【答案】 D 【解析】 由(a λ+b b =0,得a ⋅b λ+|b |得.∴应选D.2.(2021春招,15)假设向量a =(2,0),b =(1,1),那么以下结论正确的选项是( ) A.a ⋅b =1 B.|a |=|b | C.(a -b )⊥b D.a ∥b【答案】 C【解析】 a ⋅b =2,选项A 错误; |a |=2,|b |选项B 错误;(a -b )⋅b =选项C 正确,故选C.a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=5,那么|3a -b |等于( )D.4【答案】 A 【解析】 |3a -b |.应选A.4.△ABC 中,AB =a , =b ,a ⋅b |a |=3,|b |=5,那么等于( )° °°°或者150°【答案】 C 【解析】|a ||b |sin∴sin.又a ⋅b <0,∴BAC ∠为钝角(dùnjiǎo).∴°,选C.在x 轴上存在一点P 使有最小值,那么P 点的坐标是( )A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)【答案】 C【解析】 设P 点坐标为(x,0),那么.4).当x=3时有最小值1.∴点P 的坐标为(3,0).应选C.a =(2cossin b =(3cos sin 假设a 与b 的夹角为60,那么直线xcossin与圆(x-cos (y+sin的位置关系是( )B.相交且过圆心 D.相离 【答案】 D【解析】 ∵a =(2cos 2α,sin )α,b =(3cos 3β,sin )β, ∴|a |=2,|b |=3. ∴a ⋅b =6coscossin αsincos.而a ⋅b =|a ||b |cos60°=3, ∴6coscos.那么圆心(cos sin到直线xcos y α-sin 102α+=的间隔d=|cos αcos sin αsin|=|cos |=1>∴直线(zhíxiàn)与圆相离.a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的〞向量积〞:ab 是一个向量,它的模|a ⨯b |=|a |⋅|b |⋅sin θ,假设a b那么|a ⨯b |等于( )A.C.D.4【答案】 B【解析】 ∵|a |=|b |=2,a ⋅b∴cos .又π],∴sin.∴|a ⨯b |.应选B.a =(4,3),b =(sincos )α,且a ⊥b ,那么tan等于 .【答案】【解析】 由a ⊥b 得4sin cos所以tantan.9.假设平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,||=4,||=5,那么的值等于 .【答案】 -25 【解析】 由0可得∴9.a,b,c,有以下三个命题:①假设a⋅b=a⋅c,那么b=c.②假设a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,那么k=-3.③非零向量(xiàngliàng)a和b满足|a|=|b|=|a-b|,那么a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法那么可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误. 11.=(2,5), =(3,1), =(6,3),在OC上是否存在点M,使⊥,假设存在,求出点M的坐标;假设不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λOC=(6λ,3λ),∴MA= OA－OM=(2－6λ,5－3λ),MB=OB－OM=(3－6λ,1－3λ),∵MA⊥MB,∴即解得或者.∴OM=(2,1)或者OM.∴存在M(2,1)或者满足题意.12.a=(sin b=(1,cos)θ,c=(0.(1)假设(4a-c)∥b,求;(2)求|a+b|的取值范围.θ,,【解】 (1)4a-c=(4sin4sin1)∵(4a-c)∥b,∴4sinθcos.∴sin.∵∴π,π).∴或者(huòzhě)即或者.(2)a+b=(sin cos)θ,|a+b|∵∴.∴sin.∴sin.∴|a+b|.13.(2021模拟)向量m sin n=(cos cos.(1)假设m⋅n=1,求cos的值;(2)记f(x)=m⋅n,在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数f(A)的取值范围.【解】 (1)∵m⋅n=1,即3sin cos cos即sin cos∴sin .∴cos cos cos=-[1-2sin .(2)∵(2a-c)cosB=bcosC,由正弦(zhèngxián)定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC. ∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且sin .∴cos.∴.∴sin .又∵f(x)=m ⋅n =sin∴f(A)=sin .故函数f(A)的取值范围是.14.a (3=sin b =(cos 其中又函数f(x)=b (⋅a -b )+k 是以2π为最小正周期的周期函数,当时,函数f(x)的最小值为-2.(1)求f(x)的解析式;(2)写出函数f(x)的单调递增区间.=sin cos【解】 (1)a-b(3ω,,(3=sin cos1)xω-cos∴f(x)=(cos sin x=sin.∴.∵那么(nà me).∴f(x)的最小值为f =k-1=-2.∴k=-1.∴f(x)=sin.(2)当ππZ),即Z)时,函数f(x)是增函数.∴函数的单调递增区间为Z).内容总结（1）第3讲平面向量的数量积及应用随堂演练稳固a、b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,那么a与b的夹角为( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】 cos<a,b>.∵<a,b>],∴a与b的夹角为.a、b、c和实数以下命题中真命题是。
高考数学专题复习五-5.2平面向量的数量积及其应用-模拟练习题(附答案)
5.2 平面向量的数量积及其应用基础篇考点 平面向量的数量积及其应用考向一 求平面向量的数量积1.(2022全国乙,3,5分)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=√3,|a-2b |=3,则a ·b =( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 C2.(2019课标Ⅱ,3,5分)已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t ),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-3B.-2C.2D.3 答案 C3.(2022陕西汉中第二次质检,4)已知向量a =(−12,√32),b =(√32,−12),则下列关系正确的是( )A.(a +b )∥(a -b )B.(a +b )⊥bC.(a +b )⊥(a -b )D.(a +b )⊥a 答案 C4.(2022河南焦作二模,5)在边长为2的正六边形ABCDEF 中,AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-6B.-2√3C.2√3D.6 答案 A5.(2023届南京溧水期中,5)已知菱形ABCD 中,AB =2,∠ABC =120°,M 为BC 中点,DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =19,则λ= ( )A.1B.3C.5D.7 答案 B6.(2022全国甲,13,5分)设向量a ,b 的夹角的余弦值为13,且|a |=1,|b |=3,则(2a+b )·b = . 答案 117.(2020课标Ⅱ,13,5分)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,ka-b 与a 垂直,则k = . 答案√228.(2021全国乙,14,5分)已知向量a =(1,3),b =(3,4),若(a -λb )⊥b ,则λ= . 答案 359.(2022皖北协作体4月联考,14)已知非零向量a ,b 满足|a +b |=4a ·b ,|a -b |=2a ·b ,则a ·b = . 答案 13考向二 向量的投影问题1.(2023届西安西工大附中适应性测试二,4)已知向量a 在向量b 方向上的投影为-1,向量b 在向量a 方向上的投影为-12,且|b |=1,则|a +2b |= ( )A.12B.4C.2√3D.2 答案 D2.(2022江西赣州3月联考,13)已知向量a =(-1,t ),b =(2,4).若向量a 在向量b 方向上的射影为√5,则t = . 答案 33.(2022南昌一模,14)e 1,e 2是互相垂直的单位向量,a =e 1+e 2,b =3e 1+4e 2,则a 在b 上的投影为 . 答案 754.(2023届昆明五华开学考,14)已知△ABC 的外接圆圆心为O ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 34考向三平面向量的模长的计算1.(2021成都二模,6)在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且BC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BO⃗⃗⃗⃗⃗ =3,则BC边的长度为() A.√6 B.2√3 C.2√6 D.6答案A2.(2020课标Ⅰ,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.答案√33.(2022安徽安庆示范高中4月联考,13)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,b⊥(a+b),则|a-2b|=.答案2√34.(2023届河南名校联考诊断一,13)已知向量a=(2,2),b=(3,3m-2),c=(-2,2-2m).若a∥(b+c),则|b|=.答案√10考向四平面向量夹角的简单计算1.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t=()A.-6B.-5C.5D.6答案C2.(2023届豫东名校联考,3)已知平面向量a,b满足a=(√3,1),|b|=√2,|a+b|=√2,则a与b的夹角为()A.2π3B.π4C.3π4D.5π6答案C3.(2021豫北名校联盟5月联考,6)已知单位向量a,b满足|2a+b|=|a-2b|,若向量c=√3a-b,则向量b与c的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C4.(2020课标Ⅲ,6,5分)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos<a ,a +b >=( ) A.-3135 B.−1935 C.1735 D.1935 答案 D5.(2019课标Ⅲ,13,5分)已知a ,b 为单位向量,且a ·b =0,若c =2a -√5b ,则cos<a ,c >= . 答案 236.(2022贵阳五校联考,13)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a -b =(√3,√2),则a 与b 的夹角为 . 答案 π2(或90°)综合篇考法一 平面向量的数量积运算1.(2022陕西省西安中学五模,7)在直角三角形ABC 中,∠ABC =90°,AB =6,BC =2√3,点M 、N是线段AC 上的动点,且|MN |=2,则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ( )A.12B.8C.6√3D.6 答案 B2.(2022郑州二模,9)在△ABC 中,AB =2,AC =3,∠BAC =60°,M 是线段AC 上任意一点,则MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是 ( )A.-12 B.-1 C.-2 D.-4 答案 B3.(2023届湖南岳阳适应性测试,7)已知面积为6的直角△ABC 中,P ,Q 为斜边BC 上的两个三等分点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.89B.163C.8D.83答案 B4.(2023届贵阳一中适应性测试一,8)△ABC 是边长为6的等边三角形,点D ,E 分别在边AC ,BC 上,且DE ⊥BC ,则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.274B.278C.−278D.−274答案 D5.(2021江西上饶二模,10)如图,AB 是圆O 的一条直径且AB =2,EF 是圆O 的一条弦,且EF =1,点P 在线段EF 上,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是 ( )A.12 B.−14 C.−12 D.−34 答案 B6.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c =0,|a |=1,|b |=|c |=2,a ·b +b ·c +c ·a = . 答案 -927. (2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD 中,∠B =60°,AB =3,BC =6,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32,则实数λ的值为 ,若M ,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .答案 16;132考法二 向量模的最值问题1.(2021河南三门峡一模,7)已知点G 是△ABC 的重心,AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),若∠BAC =120°,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,则|AG⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ( )A.√33 B.√22C.12D.23答案 D2.(2018浙江,9,4分)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b +3=0,则|a -b |的最小值是 ( )A.√3−1B.√3+1C.2D.2-√3 答案 A3.(2022哈尔滨九中二模,11)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分,在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法,将民族文化与哲理融入其中,营造出广阔的审美意境.从窗的外形看,常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已知圆O 是某窗的平面图,O为圆心,点A 在圆O 的圆周上,点P 是圆O 内部一点,若|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是( )A.3B.4C.9D.16 答案 A4.(2021青海西宁重点中学3月模拟,9)已知单位向量a ,b 满足|a -b |+2√3a ·b =0,则|ta +b |(t ∈R )的最小值为 ( )A.√23 B.√32C.2√23D.√22答案 B考法三 平面向量夹角的计算方法1.(2023届山西临汾期中,3)已知平面向量a =(−1,12),b =(1,λ),a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是( )A.(-∞,2]B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(−∞,−12)∪(−12,2) 答案 D2.(2023届河南安阳联考,3)已知非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 答案 D3.(2022贵州黔东南一模,9)在四边形ABCD 中,AB =√3AD ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D4.(2022吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy 中,x 轴的正方向与y 轴的正方向成60°角,向量e 1是与x 轴正方向同向的单位向量,向量e 2是与y 轴正方向同向的单位向量,若向量OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xe 1+ye 2,则称有序数对<x ,y >为向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标,记作OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =<x ,y >.在此斜坐标系xOy 中,已知向量a =<1,2>,b =<5,-4>,则向量a 与b 夹角的大小为 ( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 C5.(2022四川南充三模,15)在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =2,AC =3,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN 与BM 交于点P ,则cos ∠BPN 的值为 . 答案2√55专题综合检测一、选择题1.(2017课标Ⅱ,4,5分)设非零向量a ,b 满足|a+b |=|a-b |,则 ( )A.a ⊥bB.|a |=|b |C.a ∥bD.|a |>|b | 答案 A2.(2023届贵州黔东南月考,8)已知向量a =(2x ,-4),b =(1,y ),a =-2b ,则向量b 在a 上的投影为( )A.-2√2B.−2√3C.−√5D.−√10 答案 C3.(2018课标Ⅰ,6,5分)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A4.(2022黑龙江八校期中,7)在△ABC 中,若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 答案 C5.(2021江西三校3月联考,6)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,AC 与BD 相交于点O ,过点A作AE ⊥BD ,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·EC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.1225 B.2425 C.125D.45答案 D6.(2023届河南洛阳六市联考,8)圆是中华民族传统文化的形态象征,象征着“圆满”和“饱满”,是自古“以和为贵”的中国人所崇尚的图腾.如图,AB 是圆O 的一条直径,且|AB |=4,C ,D是圆O 上的任意两点,|CD |=2,点P 在线段CD 上,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A.[√3,2]B.[-1,0]C.[3,4]D.[1,2] 答案 B7.(2022四川攀枝花二模,9)平面四边形ABCD 中,BC =1,CD =2,∠BCD =60°,且△ABD 为正三角形,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-3B.-32 C.32 D.3 答案 C8.(2021河南3月适应性测试,10)若△ABC 的外心为O ,且∠BAC =60°,AB =2,AC =3,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.5B.8C.10D.13 答案 C9.(2022云南第一次质检,12)在△ABC 中,D 是直线AB 上的点.若2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,记△ACB 的面积为S 1,△ACD 的面积为S 2,则S1S 2=( )A.λ6B.λ2C.13D.23 答案 D10.(2022山西怀仁期中,9)下列说法中正确的是( )A.已知a =(1,2),b =(1,1),且a 与a +λb 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(−53,+∞) B.向量e 1=(2,-3),e 2=(12,−34),可以作为平面内所有向量的一组基底 C.非零向量a 和b ,满足|a |>|b |,且两个向量同向,则a >b D.非零向量a 和b ,满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为30°答案 D11.(2022河南段考三)已知△ABC 的三个内角分别为A ,B ,C ,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ·(AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC),λ∈(0,+∞),则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的 ( )A.重心B.垂心C.内心D.外心 答案 A12.(2017课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD 中,AB =1,AD =2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 ( )A.3B.2√2C.√5D.2 答案 A 二、填空题13.(2022中学生标准学术能力测试,14)平面向量a ,b 满足:|a |=1,|a +2b |=-3a ·b ,设向量a ,b 的夹角为θ,则sin θ的最大值为 答案3√131314.(2022山西晋中二模,15)在平行四边形ABCD 中,已知AB =6,AD =4,∠BAD =π3,DE⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 答案 3415.(2022新疆克拉玛依三模,16)设a ,b 是两个非零向量,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线的垂线,垂足分别为A 1,B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如图,已知扇形AOB 的半径为1,以O 为坐标原点建立平面直角坐标系,OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),则弧AB 的中点C 的坐标为 ;向量CO ⃗⃗⃗⃗⃗ 在OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量为 .答案 (√32,12);(−√34,−34) 16.(2022吉林梅河口五中月考,16)①若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5-m ,-3-m ),∠ABC 为锐角,则实数m 的取值范围是m >-34.②点O 在△ABC 所在的平面内,若OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点O 为△ABC 的垂心. ③点O 在△ABC 所在的平面内,若2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC ,△ABC 的面积,则S △AOC ∶S △ABC =1∶6.④点O 在△ABC 所在的平面内,若满足AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点O 是△ABC 的外心.以上命题为假命题的序号是 . 答案 ①④。
2018年深圳乐而思中心高考数学专题复习练习卷：平面向量的数量积及向量的应用(无答案)
平面向量的数量积及向量的应用1．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-2．设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB=u u u r u u u r ，2·I OB OC =u u u r u u u r ，3·I OC OD =u u u r u u u r ，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<4．已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．85．已知向量1(2BA =uu r ,1),2BC =uu u r 则ABC ∠= A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°6．设向量()(),2,1,1x ==-a b ，且()-⊥a b b ，则x 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知向量,a b 的夹角为π3,且|a|=1,|a +b|=√7,则|b|等于A ．2B ．3C ．√3D ．48．已知共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s =(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W 为A ．lg 2B ．lg 59．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ，()2,1AD =u u u r ，则AD AC ⋅=u u u r u u u rA ．2B ．3C ．4D ．510．已知向量a ，b 的夹角为，则2-a b 在a 方向上的投影为 A ．2B ．4C ．6D ．811．若向量,a b 满足||||1==a b ,且1()2⋅-=a a b ,则向量a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 12．在ABC △中,若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则该三角形是 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 13．已知a,b,c,d 为非零向量,且a +b =c,a −b =d ,则下列命题正确的个数为(1)若|a|=|b|,则c ⋅d =0(2)若c ⋅d =0,则|a|=|b| (3)若|c|=|d|,则a ⋅b =0(4)若a ⋅b =0,则|c|=|d| A ．1B ．2C ．3D ．414．已知向量a =(1,2)，b =(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足A ．λ<−53B ．λ>−53C ．λ>−53且λ≠0D ．λ<−53且λ≠−5 15．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =π3，AB =2，AD =1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM BC =NC DC =λ，其中λ∈[0,1]，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 A ．[]0,3B ．[1,4]C ．[2,5]D ．[1,7]16．设F 为抛物线x y 22=的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为ABC △的重心，则FC u u u r 的值为A ．1B ．217．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．18．在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC λ=-u u u r u u u r()AB λ∈R u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________．学科*网19．已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60︒，则实数的值是___________．20．已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．21．设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =___________．22．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若∥a b ，则|3|+a b 等于 .23．如图,在边长为3的正方形ABCD 中,AC 与BD 交于点F,AE =13AD,则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 24．设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0παβ<<<，若|2||2|+=-a b a b ，则βα-= .25．已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 的最大值为 .。
(完整word版)高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解
高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解、选择题 1.（文）（2010东北师大附中）已知|a|= 6, |b|= 3, a •=- 12，则向量a 在向量b 方向上 的投影是（ ）A . - 4B . 4C .- 2D . 2［答案］A［解析］a 在b 方向上的投影为a b |b| - —12 =-4. 3（理）（2010浙江绍兴调研）设a b = 4,若a 在b 方向上的投影为 2,且b 在a 方向上的投影为1,则a 与b 的夹角等于（ ）nA.6 2 n C.亍 ［答案］B［解析］由条件知，晋=2,晋=1, ab = 4, •- |a|= 4, |b|= 2, a b _ 4 _ 1|a| |b| 4X 2 22.（文）（2010云南省统考）设e 1, e 2是相互垂直的单位向量，并且向量 a = 3e 1+ 2e 2, b=xe 1 + 3e 2,如果a 丄b ,那么实数x 等于（）9 9A . - 2C .- 2D . 2［答案］C［解析］由条件知 |e 1|= |e 2|= 1, e 1 e 2= 0, • a b = 3x + 6= 0, • x =- 2.（理）（2010 四川广元市质检）已知向量 a = （2,1）, b = （- 1, 2），且 m = ta + b , n = a -kb （t 、k € R ）,贝U m 丄n 的充要条件是（）A . t + k = 1B . t - k = 1C . t k = 1D . t - k =0••• cos 〈 a , b >〈a , b >n3.7t［答案］D［解析］ m = ta + b = (2t — 1, t + 2), n = a — kb = (2+ k,1 — 2k), v m 丄 n ,「.m n = (2t - 1)(2 + k) + (t + 2)(1 — 2k)= 5t — 5k = 0, /• t — k = 0.3.(文)(2010湖南理)在 Rt △ ABC 中，/ C = 90 ° AC = 4,则 AB AC 等于()A . — 16B .— 8C . 8D . 16［答案］D［解析］因为/ C = 90° 所以 AC C B = 0,所以 A B AC = (A C + CB )A C = |AC|2+ AC C B = AC 2= 16.._ ■ ~I — ~> —> —> —>(理)(2010 天津文)如图，在厶 ABC 中，AD 丄AB , BC = 3BD , |AD|= 1,则 AC AD =(C 逅 C. 3 ［答案］D［解析］■/ AC = AB + BC = AB + 3BD ,—— —— —— ——— —— —— —— ——— —— • - AC AD = (AB + 3BD) AD = AB AD + . 3BD AD , 又 v AB 丄 AD , • AB AD = 0,——— ——— ——•- AC AD = ,3BD AD = . 3|BD| |AD| cos Z ADB=.3|BD| cos Z ADB = .3 |AD |=34. (2010湖南省湘潭市)设非零向量 ［答案］B［解析］v a + b = c , |a|=|b|=|c|z 0, • |a + b p = |cF = |a|2,「. |b|2 + 2a b = 0, •• |b|2+ 2|a| |b| c os 〈 a , b >= 0,A . 150°B . 120 °C . 60°D .30 °a 、b 、c 满足 |a|= |b|= |c|, a + b = c,则〈a, b > =( B^1• cos〈 a, b > =—2,•••〈a, b〉€ ［0 ° 180° ,•••〈a, b>= 120°5. （2010四川双流县质检）已知点P在直线AB上，点0不在直线AB上，且存在实数满足OP= 2tPA+ tOB,贝U |f A|=(|PB|1A.11 B.1 C .2 D . 3［答［解•/ OP = 2t(0A — OP)+ tOB ,2t•屆 希OA+2171OB ， 2t + 12t t•••p 在直线AB 上」乔+2ZT 1，-t= 1，f 2 f 1 f•- OP = 30A + 3OB ,f f f 1 f 1 f••• PA = OA — 0P = 3OA — 3OB ,f f f 2 f 2 f fPB = OB — OP = 3OB — §OA =— 2PA ,.圏_1 • f — 2|PB|6.(文)平面上的向量M I A 、MB 满足|MAf + |MI B|2— 4,且M IA MB — 0,若向量|M I B ，则|MC|的最大值是()1A .|B . 14 C . 2 D.3 ［答案］D［解析］•/ M I A M I B — o ,「・ M IA 丄 M I B ，又•/ |M IA ||+ |M I B | — 4, • |AB|— 2,且M 在以AB 为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点 B(1,0)，设点 M(x , y)，则 x 2 + y 2— 1,A( — 1,0),点MA — (— 1— x ,—y), MB — (1••• Me —£MA + |MB—3—x,—y ,2 1- x 2+ x IO -2x ，•••— 1< x w 1 ,••• x =- 1 时，|M C|2取得最大值为 16,4 3.（理）（2010山东日照）点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的 中点，贝U AN AM 的最大值为（）A . 8B . 6C . 5D . 4［答案］B［解析］建立直角坐标系如图，•••正方形ABCD 边长为2,• A(0,0), N(2, — 1), AN = (2, — 1)，设 M 坐标为(x , y), AM = (x , y)由坐标系可知• AN A M 的最大值为6,故选B. 7.如图，△ ABC 的外接圆的圆心为 O , AB = 2, AC = 3, BC =「7,则A O B C 等于（ ）［答案］Ca h［解析］根据向量夹角公式“cos 〈a , b 〉=丽求解”5 B.5D . 3 nA.6nB.4nC.3nD.2T AN AM = 2x — y ,设 2x — y = z ,易知，当x = 2, y =— 2时，z 取最大值6,1n2所以a= 3....A B BC =警=詁。
2021年深圳乐而思中心高考数学专题复习练习卷：平面向量的基本定理及坐标表示(无答案)
平面向量的基本定理及坐标表示1．已知向量a =(2,1),b =(−3,4),则a +b =A ．(6,−3)B ．(8,−3)C ．(5,−1)D ．(−1,5)2．已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,5),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,6),且AC⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 A ．α+β=−1B ．α+β=0C ．α+β=1D ．α+β=23．已知向量a =(2cosθ,2sinθ)，b =(3,√3)，且a 与b 共线，θ∈[0,2π)，则θ=A ．π3 B ．π6 C ．π3或2π3D ．π6或7π6 4．如图,平面内有三个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°, 且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，3,232OB OC ==若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ), 则 A ．λ=4，μ=2B ．8332，λμ==C ．423，λμ==D ．3423，λμ== 5．设OA =（1，－2），OB =（a ，－1），OC =（－b ，0），a > 0，b > 0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12+a b的最小值是 A ．2B ．4C ．6D ．8 6．已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =A ．−8B ．−6C ．6D ．87．在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．2C 5D ．28．已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若(9,8)m n +=-a b (,m n ∈R ), 则n m -的值为______.9．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，12，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ． 10．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点.若()()4,3,1,5PA PQ ==，则BC =__________．（用坐标表示）11．如图,在6×6的方格中,已知向量a,b,c 的起点和终点均在格点,且满足向量c =xa +yb(x,y ∈R),那么x +y =_______.12．已知向量a =(2,0),b =(1,4).（1）求2a +3b ,a −2b ;（2）若向量k a +b 与a +2b 平行,求k 的值.13．已知向量(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，0πβα<<<.（1）若||2-=a b ，求,a b 的夹角θ的值；（2）设(0,1)=c ，若+=a b c ，求,αβ的值.。
高考数学总复习检测(三十) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
课时跟踪检测（三十） 平面向量的数量积与平面向量应用举例一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B ．10 C ． 5D ．10解析：选D ∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ， ∴－4－2x ＝0，x ＝－2， ∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D.2．(2018·浙江名校联考)已知向量a ＝(1＋m,1－m )，b ＝(m －1，2m ＋1)，m ∈R ，则“m ＝0”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A a ⊥b ⇔(1＋m )(m －1)＋(1－m )(2m ＋1)＝0⇔m (m －1)＝0⇔m ＝0或m ＝1，所以“m ＝0”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．3．(2019·长春模拟)向量a ，b 均为非零向量，若(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B 因为(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以(a －2b )·a ＝0，(b －2a )·b ＝0，即a 2－2a ·b ＝0，b 2－2a ·b ＝0，所以b 2＝a 2，a ·b ＝a 22，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝12.因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π3.4．已知a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，且(a ＋b )⊥(a －b )，则m 的值是________；|a |＝________.解析：a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－2－m )， ∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴m (m ＋2)－(m －4)(m ＋2)＝0， ∴m ＝－2.∴a ＝(－1，－3)，|a |＝(－1)2＋(－3)2＝10. 答案：－2105．△ABC 中，∠BAC ＝2π3，AB ＝2，AC ＝1，DC ―→＝2BD ―→，则AD ―→·BC ―→＝________. 解析：由DC ―→＝2BD ―→，得AD ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)．∴AD ―→·BC ―→＝13(AC ―→＋2AB ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝13(AC ―→2＋AC ―→·AB ―→－2AB ―→2) ＝13⎣⎡⎦⎤12＋1×2×⎝⎛⎭⎫－12－2×22＝－83. 答案：－83二保高考，全练题型做到高考达标1．已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A. 2 B ． 3 C ．2D ．4解析：选C 由已知得2a －b ＝(3，x )， 而(2a －b )·b ＝0⇒－3＋x 2＝0⇒x 2＝3， 所以|a |＝1＋x 2＝4＝2.2．(2018·慈溪中学适应)若正三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ―→＝13CB―→＋23CA ―→，则MA ―→·MB ―→的值为( ) A ．2 B ．－2 3 C ．－2 D ．－83解析：选D 因为CM ―→＝13CB ―→＋23CA ―→，所以CA ―→＋AM ―→＝13CB ―→＋23CA ―→，即AM ―→＝13CB ―→－13CA ―→，同理可得BM ―→＝－23CB ―→＋23CA ―→.所以MA ―→·MB ―→＝AM ―→·BM ―→＝⎝⎛⎭⎫13CB ―→－13CA ―→⎝⎛⎭⎫－23CB ―→＋23CA ―→ ＝－29(CB ―→－CA ―→)2＝－29AB ―→2＝－29×12＝－83.3．平面四边形ABCD 中，AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．正方形 C ．菱形D ．梯形 解析：选C 因为AB ―→＋CD ―→＝0，所以AB ―→＝－CD ―→＝DC ―→，所以四边形ABCD 是平行四边形．又(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝DB ―→·AC ―→＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形．4．在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ―→·PC ―→≥P 0B ―→·P 0C ―→，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC解析：选D 设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (－2,0)，B (2，0)，P 0(1,0)，设C (a ，b )，P (x,0)，∴PB ―→＝(2－x,0)，PC ―→＝(a －x ，b )，P 0B ―→＝(1,0)，P 0C ―→＝(a －1，b )． 则PB ―→·PC ―→≥P 0B ―→·P 0C ―→⇒(2－x )·(a －x )≥a －1恒成立， 即x 2－(2＋a )x ＋a ＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0. 即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .5．(2019·宝鸡质检)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N (不与A ，C 重合)为AC 边上的两个动点，且满足|MN ―→|＝2，则BM ―→·BN ―→的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤32，2 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎣⎡⎭⎫32，2D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则B (0,0)，直线AC 的方程为x ＋y ＝2.设M (a,2－a )，则0＜a ＜1，N (a ＋1，1－a )，∴BM ―→＝(a,2－a )，BN ―→＝(a ＋1,1－a )，∴BM ―→·BN ―→＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2，∵0＜a ＜1，∴当a ＝12时，BM ―→·BN ―→取得最小值32.又BM ―→·BN ―→＜2，故BM ―→·BN ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫32，2. 6．(2018·浙江考前热身联考)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，且|c －3a |＋|c ＋2b |＝19，则|c ＋a |的取值范围为________．解析：如图，记OA ―→＝3a ，则点A 的坐标为(3,0)，记OB ―→＝－2b ，则点B 的坐标为(－1，－3)，因为∠AOB ＝120°，所以|AB |＝32＋22－2×3×2×cos 120°＝19，记OC ―→＝c ，则点C 的轨迹为线段AB .|c ＋a |的几何意义是点P (－1,0)到线段AB 上的点的距离，其中点P 到直线AB 的距离d 最小，|PA |最大，又直线AB 的方程为3x －4y －33＝0，所以d ＝433＋16＝45719，|PA |＝4，所以|c ＋a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤45719，4.答案：⎣⎡⎦⎤45719，47．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则实数λ的值为________；向量m ，n 的夹角的余弦值为________．解析：因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)， 所以由(m ＋n )⊥(m －n )得(m ＋n )·(m －n )＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m ＝(－2,1)，n ＝(－1,2)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－2×(－1)＋25×5＝45.答案：－3458．(2018·浙江考前冲刺)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．解析：设AB 的中点为M ，则PA ―→·PB ―→＝⎣⎡⎦⎤12(PA ―→＋PB ―→)2－⎣⎡⎦⎤12(PA ―→－PB ―→)2＝PM ―→2－MA―→2＝PM ―→2－9，所以要求PA ―→·PB ―→的最小值，只需求|PM ―→|的最小值，显然当点P 为线段MC与圆的交点时，|PM ―→|取得最小值，最小值为|MC |－2.在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC |＝7，所以|PM ―→|的最小值为5，则PA ―→·PB ―→的最小值为16.答案：169．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2，sin 3A2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A2，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；(2)若|AC ―→|＋|AB ―→|＝3|BC ―→|，试判断△ABC 的形状． 解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3， 即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A2＝3， ∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵|AC ―→|＋|AB ―→|＝3|BC ―→|， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32， 即32sin B ＋12cos B ＝32， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32. ∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2.当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.故△ABC 是直角三角形．10．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·浙江名校联考)已知单位向量a ，b 满足|2a －b |＝2，若存在向量c ，使得(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤62，62＋1B ．⎣⎡⎦⎤62－1，62C ．⎣⎡⎦⎤62－1，62＋1 D ．[6－1，6＋1]解析：选C 法一：因为|a |＝|b |＝1，且|2a －b |＝2，所以可知2a 在b 上的投影为12.不妨设b ＝(1,0)，2a ＝⎝⎛⎭⎫12，152，即a ＝⎝⎛⎭⎫14，154.设c ＝(x ，y )，因为(c －2a )·(c －b )＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －12(x －1)＋⎝⎛⎭⎫y －152y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋⎝⎛⎭⎫y －1542＝1，它表示一个以⎝⎛⎭⎫34，154为圆心，1为半径的圆．而|c |＝x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点的距离，所以其最大值为 916＋1516＋1＝62＋1，其最小值为 916＋1516－1＝62－1，所以|c |∈⎣⎡⎦⎤62－1，62＋1.法二：如图，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OA ′―→＝2a ，因为|2a －b |＝2，所以△OA ′B 是等腰三角形．因为(c －2a )·(c －b )＝0，所以(c －2a )⊥(c －b )，即A ′C ⊥BC ，所以△A ′BC 是直角三角形，所以C 在以A ′B 为直径，1为半径的圆上．取A ′B 的中点M ，因为cos ∠A ′BO ＝14，所以OM 2＝1＋1－2×1×1×14＝32，即OM＝62，所以|c |∈⎣⎡⎦⎤62－1，62＋1.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA ―→·BC ―→＝c CB ―→·CA ―→. (1)求角B 的大小；(2)若|BA ―→－BC ―→|＝6，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA ―→－BC ―→|＝6，所以|CA ―→|＝6，即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋2)，故△ABC的面积S＝12ac sin B≤3(2＋1)2，即△ABC的面积的最大值为32＋32.。
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平面向量的数量积及向量的应用
1．已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是
A ．2-
B ．32-
C ．43-
D ．1-
2．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，记1·I OAOB =，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则
A ．123I I I <<
B ．132I I I <<
C ．312I I I <<
D ．213I I I <<
4．已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m =
A ．−8
B ．−6
C ．6
D ．8
5．已知向量1(2BA =，31(),2
BC = 则ABC ∠= A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 6．设向量()(),2,1,1x ==-a b ，且()-⊥a b b ，则x 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．已知向量,a b 的夹角为π3，且|a |=1，|a +a |=√7，则|a |等于
A ．2
B ．3
C ．√3
D ．4
8．已知共点力F 1=(lg 2，lg 2)，F 2=(lg 5，lg 2)作用在物体M 上，产生位移s =(2lg 5，1)，则共点力对物体做的功W 为
A ．lg 2
B ．lg 5
C ．1
D ．2
9．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =，则AD AC ⋅= A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．已知向量a ，b 的夹角为
，则2-a b 在a 方向上的投影为 A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．若向量,a b 满足
||||1==a b ，且1()2⋅-=a a b ，则向量a 与a 的夹角为 A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6 12．在ABC △中，若AA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该三角形是 A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 13．已知a ，a ，a ，a 为非零向量，且a +a =a ，a −a =a ，则下列命题正确的个数为
(1)若|a |=|a |，则a ⋅a =0
(2)若a ⋅a =0，则|a |=|a | (3)若|a |=|a |，则a ⋅a =0
(4)若a ⋅a =0，则|a |=|a | A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
14．已知向量a =(1，2)，b =(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ满足
A ．λ<−53
B ．λ>−53
C ．λ>−53且λ≠0
D ．λ<−53且λ≠−5 15．如图，在平行四边形AAAA 中，AAAA =π3，AA =2，AA =1，若A 、A 分别是边AA 、AA 上的点，且满足
AA AA
=AA AA =A ，其中A ∈[0，1]，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 A ．[]0,3
B ．[1，4]
C ．[2，5]
D ．[1，7] 16．设F 为抛物线x y 22=的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为ABC △的重心，则FA FB ++FC 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
17．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．
18．在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-
()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．学科*网
19．已知12,e e 是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60︒，则实数的值是___________．
20．已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．
21．设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =___________．
22．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若∥a b ，则|3|+a b 等于 .
23．如图，在边长为3的正方形AAAA 中，AA 与AA 交于点A ，AA =13
AA ，则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 24．设向量(cos ,sin ),(cos ,sin )ααββ==a b ，其中0παβ<<<，若|2||2|+=-a b a b ，则βα-= .
25．已知点A ，B ，C 在圆22
1x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大
值为 .。