第二个重要极限

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第二个重要极限
公共基础课
知识目标
掌握并运 用第二个 重要极限
能力目标
数学思维 能力、理 解并应用 第二个重 要极限
素质目标
主动探索勇 于发现的科 学精神、严 谨科学的学 习习惯、体 会数学的美
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一 公式
公共基础课
lim
x
1

1 x
x

e
或
1
lim1 xx e
x0
公式的特征为：
（1）"1 " 型极限；
（2）1
1 x
x或 1
1
xx
中括号内的常数必须是1，
中间的连接符号必须是" "号．
（3）1

1 x
x或
1

x

1 x
中
1, x
x 是倒数关系．
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x x

5 2
2

x
.

x2 2 6
解

lim
x

x

5
2

x
x 2
x2

lim
x
1


2
6

x
3
2
2x


lim
x
1

1 x2
3



3
3

lim
x
1

t
rn


A0
ltim
1


1 t r
r



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三 解决问题
公共基础课
解 设Ai(i=1,2,3)为第i家银行5年后的本利和,则
第一家银行(按年计息)
A1 A0 1 rn 1000(1 8%)5 =1469.33 (元).
二 例题
公共基础课
例1 求 lim(1 2)x.
x
x
解 lim(1 2)x
x
x
lim x
x
2
1
1
x
2
2
x 2


lim
x
1


1 x 2
2


ຫໍສະໝຸດ Baidu
e2
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二 例题
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二 例题
公共基础课
lim
x
1

1



x


x


e
1
lim
x0
1



x



x

e
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三 解决问题
公共基础课
有三家银行按不同方式(年、半年、连续)计算本利和， 假设在每个银行存入1000元,年利率为8％,试问5年后本利和 各为多少?哪种计息方式本利和最大?


1
x

2

3
3
1


1
x

2

3
3

lxim
1


1 x2
3
x2
3
lim 1 x
1 x2
3



2 3

6
e16 e6.
数学就在你我身边
公共基础课
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数学就在你我身边
公共基础课
有三家银行按不同方式(年、半年、连续)计算本利和， 假设在每个银行存入1000元,年利率为8％,试问5年后本利和 各为多少?哪种计息方式本利和最大?
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课题
公共基础课
第二个重要极限
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三 解决问题
公共基础课
假设数额A0以利率r投资了n年.如果利息按
每一年计一次复利，则上述投资的终值为：
A0 1 rn
以年为期的复利公式
如果每年计t次复利，则终值为：A0
1

r t
nt

当t趋于无穷大时,r就称为连续复利.
此时的终值为:
连续复利公式
公共基础课
例2
1
lim(1 3x)2x .
x0
1
解 lim(1 3x)2x
x0
1
3 2
lim 1 3x 3x
x0


lim x0
1

3x
1
3 2
3x

e
3 2

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二 例题
公共基础课
例3
求 lim x
第二家银行(按半年计息)
A2

A0
1
r t
nt 1000(1
0.08)52 2
=1480.24 (元).
第三家银行(按连续计息)
A3 A0er n 1000e0.085 =1491.82 (元).
结论:连续计息本利和最大.
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内容小结
公共基础课
第二个重要极限
▲
lim
x
1

1 x
x

e
或
1
lim1 xx e
x0

1 x
lim
x
1



x


e
1
或
lim
x0
1


x x e
★ 公式的特征 （1）"1 " （2） 1， " "
（3） 倒数
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练习和作业
公共基础课
填空题 ( 1～4 )
1.lim1 tan x cot x __e__ ; x0
3.lim x sin 1 __0__ ;
x0
x
作业 课后第2题
2.lim x sin 1 __1__ ;
x
x
4.lim(1 1)n _e___1 ;
n
n
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