备战高考数学二轮复习 专题1.4 数列、不等式教学案 文

专题1.4 数列、不等式一．考场传真1. 【2017课标1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D2．【2017课标II ，文7】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是A.15-B.9-C.1 D 9 【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()6,3B -- 处取得最小值12315z =--=- .故选A.3．【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]【答案】B【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点()0,3A 处取得最小值033z =-=- . 在点()2,0B 处取得最大值202z =-= .所以选B.4．【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 .【答案】45【2017山东，文】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】由直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2）可得121a b +=,所以1242(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=.6．【2017课标3，文17】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和.7．【2017课标II ，文17】已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，11221,1,2a b a b =-=+=(1)若335a b += ，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 【解析】（1）设的公差为d ，的公比为q ，则,.由得，d+q=3.① （1） 由得 ②联立①和②解得（舍去），因此的通项公式（2） 由得.解得，当时，由①得，则.当时，由①得，则. 8．【2017课标1，文17】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．二．高考研究 【考纲解读】 1.考纲要求（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． （2）理解等差数列和等比数列的概念．（3）掌握等差数列和等比数列的通项公式与前n 项和公式．（4）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，在实际情形中运用数列知识解决实际问题.． （5）了解等差数列与一次函数的关系以及等比数列与指数函数的关系. （6）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.（7）认识数列的函数特性，能结合方程、不等式和解析几何等知识解决一些数列综合题． 不等式（1）不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. （2）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. （3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.（4）基本不等式：2a b+≥,0a b ≥掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.①了解基本不等式的证明过程.②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 【命题规律】对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内容，主要考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解，属于低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.对等差数列与等比数列性质的考查是热点，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据n a 与n S 的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点．数列的求和问题，多以考查等差、等比数列的前n 项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.选择、填空、解答题都有出现.数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，以解答题的形式出现. 不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围.常和函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题结合, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 3．学法导航1. 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d (q )的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．2. 解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解．3. 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．4. 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .5．数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．6．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．7．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立的条件)的条件，否则会出现错误．8．对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．一．基础知识整合 基础知识： 一．基础知识整合 1.等差数列知识要点：（1）通项公式要点：1(1)()n n m n ma a n d a a n m d a a d n m ⎧⎪=+-⎪=+-⎨⎪-⎪=-⎩*(,,)m n N m n ∈≤.（2）前n 项和公式要点：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d.（3）通项公式的函数特征：n a 是关于n 的一次函数形式n a An B =+(A 、B 为常数)，其中1d Aa A B =⎧⎨=+⎩；前n 项和公式的函数特征：n S 是关于n 的常数项为0的二次函数形式S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，其中12d Aa A B=⎧⎨=+⎩. （4）判断方法：①定义法：1(*)n n a a d n N +-=∈；（证明方法）；②等差中项法：112(2)n n n a a a n -++=≥；（证明方法）；③通项公式法：n a An B =+；④前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数).（5）常用性质：①如果数列{}n a 是等差数列m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+（,,,m n p q *∈N ），特别地，当n 为奇数时，121=2n n a a a a a -+=+=中…….②等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列.③等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为A n ，B n ，则2121n n n n a A b B --=.④等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列{}n S n 仍是等差数列.（6）等差数列的单调性：设等差数列{}n a 的公差为d ，当0d >时，数列{}n a 为递增数列；当0d <时，数列{}n a 为递减数列；若0d =，则数列{}n a 为常数数列.（7）等差数列的最值：若{}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时，①若10a >，0d <，且满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，则前n 项和n S 最大;②若10a <，0d >，且满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩，则前n 项和n S 最小.2.等比数列知识要点：（1）通项公式要点：11n n n mn m n m nm a a q a a qa q a ---⎧⎪=⋅⎪⎪=⋅⎨⎪⎪=⎪⎩*(,,)m n N m n ∈<. （2）前n 项和公式要点：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨≠⎪--⎩或. （3）通项公式的函数特征：n a 是关于n 的函数nn a c q =⋅（c ，q 都是不为0的常数n *∈N ，）； 前n 项和公式的函数特征：前n 项和n S 是关于n 的函数nn S kq k =-（k 为常数且0k ≠，0,1q ≠）. （4）判断方法：①定义法：1n na q a +=（n *∈N ）；（证明方法）；②等比中项法：21111(1,0)n n n n n n a a a n n a a a *-+-+⋅=>∈⋅⋅≠N 且；（证明方法）；③通项公式法：(0,0)n n a A B A B =⋅≠≠；④前n 项和公式法：(0,0,1)nn S A B A A B =⋅-≠≠或(0)n S An A =≠.（5）常用性质：①如果数列{}n a 是等比数列m n p q m n p q a a a a +=+⇒⋅=⋅（,,,m n p q *∈N ），特别地，当n 为奇数时，2121=n n a a a a a -⋅=⋅=中…….②等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23243,,,,n n n n n n n S S S S S S S ---成等比数列（其中232,,,n n n n n S S S S S --均不为0）.（6）等比数列的单调性：设等比数列{}n a 的公差为d ，当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 为递增数列；当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩. （7）等差与等比数列的转化：①若{}n a 为正项等比数列，则{log }(0,1)c n a c c >≠为等差数列；②若{}n a 为等差数列，则{}(0,0)n ac c c >≠为等比数列；③若{}n a 为等差数列又等比数列{}n a ⇔是非零常数列. 3.数列常见通项公式的求法：（1）累加法：1()n n a a f n +-=；（2）累乘法：1()n na f n a +=；（3）1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令nn n q a b =，得：qb q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，，解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令1(1)n a x n y ++++()n p a xn y =++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列.（7）n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q+=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解. （8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rnn pa a =+1)0,0(>>n a p 解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（10）已知n S 求n a (或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解.（11） hra qpa a n n n ++=+1解法：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra q pa a n n n ++=+1（其中,,,p q r h 均为常数，且r ha r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程h rx qpx x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,则01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，则12n n a x a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列.4.数列求和的主要方法：（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分1q =或1q ≠.（2）倒序相加法：如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．（3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式如下：①分式型1111111()(1)1(21)(21)22121n n n n n n n n =-=-++-+-+，;11111111()(2)22(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n ⎡⎤=-=-⎢⎥+++++++⎣⎦，， ②乘式型()()()()1(1)1112,3n n n n n n n n +=--+-++⎡⎤⎣⎦()()()()()()()1(1)21121234n n n n n n n n n n n ++=--++-+++⎡⎤⎣⎦；阶乘型 ()()()()111111111,,1!1!!1!n n n k k m m m n n n nC C C kC nC n n n n -----+-==-=-=+++,；④三角函数型()111tan tan tan tan 1tan n nn n n n a a a a a a +++-⋅=--,()111cot cot 1,sin sin sin n n n n n n a a a a a a +++-=⋅-()()21sin 1sin cos ,22sin2k n k n kn k ++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()()21cos 1cos sin 22sin 2k n k n kn k ++-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦-=（6）并项求和法：在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 5.不等式的常用变形如下(1)根式形式：a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)当且仅当a ＝b 时，等号成立；(2)整式形式：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )，以上不等式当且仅当a＝b 时，等号成立；(3)分式形式：b a ＋a b≥2(ab ＞0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立；(4)倒数形式：a ＋1a≥2(a＞0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a ＜0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立．6.基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x ＞0，y ＞0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．7. 不等式恒成立问题：若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ；若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B .8．确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值． 二．高频考点突破考点1 等差数列、等比数列的通项及基本量的求解【例1】【2018河北衡水中学二调】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（ ）A. 63或120B. 256C. 120D. 63 【答案】C【规律方法】等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【举一反三】【西藏拉萨市2018届第一次模拟】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38a =， 654S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 92【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 3128a a d =+=， 6161554S a d =+=，解方程组得：14,2a d ==，选A .考点2 等差数列、等比数列的性质【例2】已知各项均不为0的等差数列{}n a 满足2731102a a a -+=，数列{}nb 为等比数列，且77b a =，则113b b =（ ）A ．25B ．16C ．8D ．4 【答案】B【规律方法】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别．等差数列（或等比数列）中若出现的是通项与数列和的关系，则优先考虑等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+（,,,m n p q *∈N ）（m n p q m n p q a a a a +=+⇒⋅=⋅（,,,m n p q *∈N ）），以及1()2n n n a a S +=. 【举一反三】在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .【答案】13【解析】22242911111(3)()(8)3,03a a a a d a d a d d a d d d a =⇒+=++⇒=≠⇒=，而1318228a a a d +=⇒+=，所以151,3,14313.a d a ===+⨯=考点3 判断和证明等差数列、等比数列【例3】【2018河南漯河中学三模】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数都有()10,1n n a S λλ-=≠.（1）求证： {}n a 为等比数列； （2）若12λ=，且4411log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .试题分析：（1）1n n n a S S -=-公式在常规数列题型中的应用，解得递推关系；（2）通过整理，得到11141n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则求和为裂项相消求和，解得1111144122311n nT n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭.【规律方法】(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a n ＋1a n＝q (q 是非零常数)⇒{a n }是等比数列；(2)等差(比)中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇒{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)⇒{a n }是等比数列；(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇒{a n }是等差数列；a n ＝a 1·qn －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇒{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇒{a n }是等差数列；S n ＝Aq n－A (A 为非零常数，q ≠0,1)⇒{a n }是等比数列.【举一反三】【江苏省兴化市2018届12月联考】已知数列{}n a 的满足11a =，前n 项的和为n S ，且()*11241n n n n n a a n N a a S ++-=∈-.（1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，证明：数列{}n b 是等差数列；（3）设2n bn n c a =⋅，若1λ≤≤，求对所有的正整数n都有22n k c λλ-+<成立的k 的取值范围.（3）由（2）知，因为112112a b a a ==-，所以数列{}n b 的通项公式为12n b n =-.因为112n n n a a a +=-，所以122112121n n a n a n n ++=+=--，所以()121121n n a a n n +=+--，所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列. 由11211a =⨯-，所以21n a n =-.所以()()122221221nn b nn n c a n n -=⋅=⋅-=⋅-.因为()()()11221221223022n n n n n c c n n n ++⎡⎤-=⋅+-⋅-=⋅⋅+>⎣⎦，所以数列{}n c 为单调递增数列 当1n ≥时，1n c c ≥=n c，由2222n k k λλλλ-+⇒+max2k λλ⎛>+ ⎝⎭，而当1λ≤≤时，λλ+在⎡⎣递减，递增，所以max1λλ⎛+= ⎝⎭1λ=()2k ∈++∞. 考点4 等差数列与等比数列的综合应用【例4】【2018陕西西安五中联考】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++ 的最小值为（ ）A. 3B. 4C. 2D.92分析：求解数列中的最大项或最小项的一般方法，先研究数列的单调性，可以用11n n n n a a a a +-≥⎧⎨≥⎩或11n n n n a a a a +-≤⎧⎨≤⎩也可以转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 本题解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值． 【答案】B【规律方法】等差数列、等比数列的综合问题的解题关键仍然是“基本量”方法，其通过方程或者方程组求出数列的基本量，然后再解决后续问题．【举一反三】【山东省枣庄市2018届一调】已知数列{}{},n n a b 分别是等差数列与等比数列，满足11a =，公差0d >，且2263224,,a b a b a b ===. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 对任意正整数n 均有12112nn nc c c a b b b ++++=成立，设{}n c 的前n 项和为n S ， 求证： 20182018(S ee ≥是自然对数的底数） 【解析】（1）由题意可知()()()2232415112b b b d d d =∴+=++，，结合0d >，解得3d =，所以132,4n n n a n b -=-=.（2）证明：因为12112n n n c c c a b b b ++++=，所以()1121212n n n c c c a n b b b --+++=≥，两式作差可得： 13n n n nc a a b +=-=，所以()13342n n n c b n -==⋅≥，当1n =时， 1124c b a ==，所以14,1{ 34,2n n n c n -==⋅≥，于是()()20172201712201720182018201841443434344344443414S e -=+⋅+⋅++⋅=++++=+⨯=≥-.考点5 一般数列的性质【例5】设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n =1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 分析：根据b 1＋c 1＝2a 1，b 1＞c 1，可以设111142,33a ab c ==，再利用海伦秦九韶公式表示出123S S S ，，，比较它们之间的大小，即可判断出{S n }为递增数列.【规律方法】（1）在处理数列单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列{}n a 是递增数列⇔11,n n n a a +∀≥≥恒成立”；（2）数列()n a f n =的单调性与(),[1,)y f x x =∈+∞的单调性不完全一致；（3）当数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.【举一反三】已知数列{}n a 是递增数列，且对*n N ∈，都有2=+n a n n λ，则实数λ的取值范围是（ ） 7A.(,)B.[0,)C.[2,)D.(3,)2-+∞+∞-+∞-+∞【答案】D考点6 一般数列的通项及求和【例6】对于数列{}n a ，定义1122...2n na a a Hn n-+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”12n Hn +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围是_________.分析：本题考查数列的通项公式、数列的前n 项和，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.先由1111112222222(1)222n n n n n n n n n Hn a a a n a n n a n +-+-+=⇒+++=⇒=--⇒=+⇒(2)2n a kn k -=-+，再利用数形结合思想和特殊与一般思想将5n S S ≤对任意的n 恒成立转化为：5(2)206(2)20k k k -+≥⎧⇒∈⎨-+≤⎩712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【答案】712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由1111112222222(1)222n n n n n n n n n Hn a a a n a n n a n +-+-+=⇒+++=⇒=--⇒=+⇒(2)2n a kn k -=-+，又5n S S ≤对任意的n 恒成立5(2)206(2)20k k k -+≥⎧⇒⇒∈⎨-+≤⎩712,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦．考点：1、数列的通项公式；2、数列的前n 项和．【规律方法】（1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中11种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解.【举一反三】在数列{}n a 及{}n b 中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=+=+==．设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为_____________．【答案】224n +-考点7 存在探索与证明性问题 【例7】已知数列{}n a 满足10a =，218a =，且对任意m ，*n ∈N 都有()221211324m n m n a a a m n --+-+=+-． （1）求3a ，5a ；（2）设2121n n n b a a +-=-（*n ∈N ）．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，是否存在正整数p ，q ，且1p q <<，使得1S ，p S ，q S 成等比数列？若存在，求出p ，q 的值，若不存在，请说明理由．分析：（Ⅰ）赋值法求项：由213m -=令2m =，1n =，则()231232214a a a +=+-，解得31a =．由215m -=令3m =，1n =，则()251332314a a a +=+-，解得55a =．（Ⅱ）①由于()()()()()121212121211211211211[]n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ++--++++-+++-⎡⎤⎡⎤-=---=+-+⎣⎦⎣⎦，所以利用赋值法构造递推关系：令2m n =+，得23212123n n n a a a +-++=+，即得 13n n b b +-=，再根据等差数列定义得通项公式②因为1111133231n n b b n n +⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以先根据裂项相消法求和：11133131n nS n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，再根据1S ，p S ，q S 成等比数列，得2131431p q p q ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，取倒数分离得261433p p q +=+>⇒ 3333p -+<<，再由p 为大于1的正整数得2p =，代入解得16q =【规律方法】解决探索性问题的一般解题思路：先假设结论存在，若推理无矛盾，则结论确定存在；若推理有矛盾，则结论不存在．解决探索性问题应具备较高的数学思维能力，即观察、分析、归纳、猜想问题的能力，这正是“以能力立意”的生动体现．【举一反三】【江苏省常熟市2018届期中】已知数列{}n a 各项均为正数， 11a =， 22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*N n ∈恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S .（1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ， {}221n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列.若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由.（3）在（2）中令1p =，则数列{}221n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴()()22212223k k k k k S a a a a ---=+++++ ()()213,1{ 31,11k k q a a q q q=+=-≠-()12122132,1{ 312,11k kk k k k k q q S S a q qq q----==-=--≠-，且11S =， 23S =， 33S q =+， 433S q =+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴()()()()()()22132324,{ ,S t S t S t S t S t S t +=+++=++即()()()()()()22313,{ 3333,t t q t q t t q t +=+++++=+++即()261,{3,t q t t q +=+=-解得1{4t q ==（3t =-舍去），∴224121k k k S =-=-， 212121k k S --=-， 从而对任意*N n ∈有21n n S =-，此时2nn S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列，当2n ≥时， 111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴()1*2N n n a n -=∈， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时12n n a -=， ()*21N n n S n =-∈.考点8 数列与不等式的综合应用【例8】已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，212n n n S a a =+，n N *∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：11b =，12(2)n n n b b a n --=≥，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，求证：2n T <； （3）若(4)n T n λ≤+对任意n N *∈恒成立，求λ的取值范围. 分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当，得，当时，1n n n a S S -=-，得数列递推关系式，因式分解可得112n n a a --=，根据等差数列定义得数列通项公式12n a n =（Ⅱ）因为，所以利用叠加法求通项公式：(1)2n n n b +=，因此，从而利用裂项相消法求和得，即证得2n T <；（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由得，而有最大值，所以29λ≥（3）由得， 当且仅当时，有最大值，【规律方法】证明数列中的不等式常转化为求数列的前n 项和，一般把数列前n 项和分两部分：一部分是要证明的常数；一部分是关于n 的表达式．注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用.【举一反三】【2018河南林州一中调研】已知数列{a n }是等比数列，首项a 1=1，公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足112n na b n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，T n 为数列{b n }的前n 项和，若T n ≥m 恒成立，求m 的最大值．考点9数列与函数的交汇问题 【例9】已知数列{}n a 中112a =，函数2()1x f x x=+． （1）若正项数列{}n a 满足1()n n a f a +=，试求出2a ，3a ，4a ，由此归纳出通项n a ，并加以证明；（2）若正项数列{}n a 满足1()n n a f a +≤（n ∈N *），数列{}n b 的前项和为T n ，且21n n na b =+，求证：12n T <． 分析：（1）由递推公式依次可求得234,,a a a ，用数学归纳法的要求证明即可；也可把递推公式121nn na a a +=+变形为11111(1)2n n a a +-=-，则数列1{1}na -是等比数列；（2）要与（1）进行联系，首选函数22()211x f x x x ==-++，因此()f x 在(0,)+∞上是增函数，可妨（1）进行归纳，212()3a f a ≤=，3224()()35a f a f ≤≤=，4348()()59a f a f ≤≤=，…，也可把1()n n a f a +≤变形为1111121n n a a +-≥-，由累乘法得：11111121n n a a --≥-，从而得11112n n a --≥，即11212n n n a --≤+，最终有112121212n n n n n n a b --+=≤++ 112(12)(12)n n n --=++1111212n n-=-++，这样n T 可用裂项相消法求出（放缩后），证得结论．（2）∵12()1n n n na a f a a +≤=+（n ∈N *），∴11111(1)2n n a a +-≥-，∴1111121n n a a +-≥-，累乘得：11111121n n a a --≥-，∴11112n n a --≥，即11112n n a -≤+，∴11212n n n a --≤+，∵111112211121212(12)(12)1212n n n n n n n n n n na b -----+=≤==-++++++，∴01121111111121212121212n n n T -≤-+-++-++++++11212n=-+12<． 【规律方法】数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上满足某种关系，或是给出S n 的表达式，S n 与a n 的关系，还有以曲线上的切点为背景的问题，求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应，将条件进行准确的转化即可．【举一反三】【江西省莲塘一中等2018届第一次联考】二次函数()f x 的图象过原点，对x R ∀∈，恒有()222162x f x x x --≤≤++成立，设数列{}n a 满足()()1,0n n n n a a f a a +=≠ .（1）求证：对x R ∀∈，恒有222162x x x --≤++成立； （2）求函数()f x 的表达式；（3）设数列{}n a 前n 项和为n S ，求2018S 的值.所以()()()20181234201720182222018S a a a a a a =++++++=+++=，即20182018S =.考点10 基本不等式及应用【例15】【山东省济宁市2018届期末】已知函数()()cos 02f x x x π=<<，若a b ≠，且()()f a f b =，则14a b +的最小值为( ) A. 92B. 9C. 18D. 36【答案】A【例16】若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞- D ．),212(+∞- 【分析】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 【答案】A【解析】4324410x x ax x ++-+>恒成立，当0x =时，a R ∈，当0x ≠时，432222244141(4)(t 42)(2)2x x x a x x t t x x x +-+>-=-+-+=-++=-++ ，其中1t x R x =-∈，因为2(2)22t -++≤，从而2a >，因此实数a 的取值范围是)(2,+∞，选A.【规律方法】1.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值．即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.2.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对∀x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )；第二关是求最值关，即求函数g (x )在区间D 上的最大值(或最小值)问题．3.应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法. 【举一反三】1.如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则。