2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题18
2019年3月2019届高三第一次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-文数(全解全析)高考资料高考复习资料中考资料
文科数学 第1页（共 9页）2019年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】文科数学·全解全析123456789101112ABACDCBBDBBA1．A 【解析】∵}33|{}3|{2≤≤-=≤=x x x x A ,}20|{<≤=x x B ,∴=B A)2,3[-.故选A.2．B 【解析】由1cos 1α-<<，得0cos 2>+α，又实部0sin <α，故复数z 在复平面内所对应的点在第二象限，故选B.5．D 【解析】由图可知输出的结果2212)12(22222202020192019321-=--=++++= S ．故选D.6．C 【解析】由1212)2)-⊥+ee ，得1212)2)0-⋅+=e e ，即221122220⋅-=e e e ，所以120⋅=e e ，所以向量1e ，2e 的夹角大小为2π，故选C.7．B 【解析】由3sin(2)5θπ+=，得532sin -=θ，即53cos sin 2-=θθ，所以53cos sin cos sin 222-=+θθθθ，即531tan tan 22-=+θθ，解得3tan -=θ或31-，故tan 1tan(241tan θθθπ--==±+．故选B.8．B【解析】由题意，知可取双曲线的一条渐近线为02=--y x m ，又渐近线与圆M ：222)2(ey x =+-相切，e ，又e =，∴2)(222m m m-+=+--，解得2-=m ，故选B.9．D 【解析】由题意，知ABC △的面积241sin 21c C ab S ==，得C ab c sin 22=，再由正弦定理得C B A C sin sin sin 2sin 2=，因为0sin ≠C ，所以B A C sin sin 2sin =，即B A B A sin sin 2)sin(=+，文科数学 第2页（共 9页）所以B A B A B A sin sin 2sin cos cos sin =+,两边同时除以B A sin sin ,得2tan 1tan 1=+BA .故选D.10．B 【解析】∵(,2)4π，7(,2)12π为函数)(x f 图象上两相邻的对称中心，∴2=B ，721243T ππ=π-=（其中T 为函数()f x 的最小正周期），则223T ωππ==，解得3=ω，所以34k ϕπ⨯+=π，k ∈Z ，即34k ϕπ=π-，k ∈Z ，又||2ϕπ<，所以4ϕπ=.因为函数)(x f 的最大值为3，所以1=A ，故()sin(3)24f x x π=++，所以1111()sin(3)236364f ππ=⨯π++23221=+-=．故选B.12．A 【解析】∵函数x y ln 6=的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的λ倍，∴所得图象的对应函数解析式为6lnxy λ=，即6ln 6ln y x λ=-.因为曲线a x y ++-=2)2(关于原点对称的曲线为a x y -+-=2)2(，所以当曲线λln 6ln 6-=x y 与曲线a x y -+-=2)2(有交点时，满足题意，故方程0)2(ln 6ln 62=+---a x x λ有解，即λln 6ln 6)2(2+--=x x a 有解，令λln 6ln 6)2()(2+--=x x x f （0>x ），可知直线a y =与)(x f 的图象有交点.又26246()24x x f 'x x x x --=--=x x x )3)(1(2-+=，令()0f 'x =，可得3=x ，1-=x （舍去），故当30<<x 时，()0f 'x <，)(x f 单调递减；当3>x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增，故λln 63ln 61)3()(min +-==f x f ，故λln 63ln 61+-≥a ，所以a 的最小值为λln 63ln 61+-，又a 的最小值为3ln 31-，∴3ln 31ln 63ln 61-=+-λ，解得3=λ，故选A.文科数学 第3页（共 9页）13．254π【解析】由题意作出区域Ω，如图中阴影部分所示，易知432121212tan =⨯+-=∠MON ，故=∠MON sin 53，又3=MN ，设OMN △的外接圆的半径为R ，则由正弦定理得R MON MN 2sin =∠，即25=R ，故所求外接圆的面积为2525(24π⨯=π.故填254π.15．8223+【解析】由题意，得2()3f x x m '=-+，得(2)12f m '=-+，又()4g'x x n =-，得(1)4g'n =-.由已知可得n m -=+-412，即16=+n m ，故2424113()1688448m n n m m n m nm n ++=+⨯=+++≥+3228+=，当且仅当n m m n 48=，即22(162-==m n 时取等号，故填8223+．16．193π【解析】作出图形如图（1）所示，由图可知MA AD ⊥，MA AC ⊥，AC AD A = ，故MA ⊥平面ACD .将图形旋转得到如图（2）所示的三棱锥M ACD -，其中ACD △为等边三角形，过ACD △的中心1O 作平面ACD 的垂线1l ，过线段MC 的中点2O 作平面MAC 的垂线2l ，易得直线1l 与2l 相交，记12l l O = ，则O 即为三棱锥M ACD -外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC 、1O C ，可文科数学 第4页（共 9页）得1112O C OO ==,在1Rt OO C △中，2222111912OC OO O C R =+==，故外接球的表面积21943S R π=π=，故填193π.图（1）图（2）17．（本小题满分12分）（2）由（1）可得n n a b n n 222log 24log |26|log +==-=，40240102210=+⨯-=S ，（8分）∴102222log 12log 22log 10T =++++++ )10321(log 202⨯⨯⨯⨯+= ，（10分）易知20123102⨯⨯⨯⨯> ，所以)10321(log 2⨯⨯⨯⨯ 202log 220>=，故1010T S >．（12分）18．（本小题满分12分）【解析】（1）如图，过点C 作CE AB ⊥,E 为垂足，连接PE ，由已知得2=AB，PC =，文科数学 第5页（共 9页）易得CE AD //，且1==CE AD ，1AE BE ==，又⊥AD 平面PAB ，∴⊥CE 平面PAB ，∴⊥CE PE ，故122=-=CE PC PE ，可知在PAB △中，1===PE EB EA ，∴PB PA ⊥，（4分）∵⊥AD 平面PAB ，∴PB AD ⊥，又A AD PA = ，∴⊥PB 平面PAD ，又⊂PB 平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC .（6分）又1122BCD S AD DC =⨯⨯=△，1sin 6022PBC S == △，1PE =，∴3323121=⨯=h ，即点D 到平面PBC 的距离为33．（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（1）由统计表可得11(74.3141.0838.3730.5526.46)42.1545x =⨯++++=，21(41.8239.0823.4318.9918.36)28.3365x =⨯++++=．文科数学 第6页（共 9页）从而可知21x x >．（4分）（2）由定义，知男性中肺癌为高发率癌种，记抽取的男性肺癌患者为A ，女性中乳腺癌、肺癌为高发病率癌种，记抽取的女性乳腺癌患者为1B ，女性肺癌患者为2B ，抽取的其余7人分别为g f e d c b a ,,,,,,，（6分）则从10人中随机抽取2人，所有的可能事件为：121211*********,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,AB AB Aa Ab Ac Ad Ae Af Ag B B B a B b B c B d B e B f B g B a B b B c B d 222,,,,,,,,,,,,,,,,,B e B f B g ab ac ad ae af ag bc bd be bf bg cd ce cf fg eg ef dg df de cg ,,,,,,，共45种结果，（10分）其中2人都是高发病率癌种患者的有：2121,,B B AB AB ，共3种结果，故2人都是高发病率癌种患者的概率为151453=．（12分）（2）显然过点2F 的直线l 不与x 轴重合，可设直线l 的方程为1+=ty x ，且),(11y x A ，),(22y x B ，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==+11222ty x y x ，消去x 得012)2(22=-++ty y t ，∴根据根与系数的关系，得22221+-=+t t y y ，21221+-=t y y ，（8分）联立直线m 与直线PB 的方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==)23(23221x x y y y y ，得23(21221--=x ty y y ，文科数学 第7页（共 9页）解得12121322ty y y x y -=+①，将21221+-=t y y ，22221+--=t t y y 代入①，得223)22(2122222=+++++-=y t ty t t x ，与t 无关，故直线PB 与直线m 的交点恒在一条定直线上，且定直线的方程为2=x ．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且2121()2x ax f 'x x a x x+-=+-=，（2分）由已知得(1)0f '=，∴012=-+a ，解得1-=a ．（4分）令2ln )(3+-+-=x x x x x h ，]2,1[∈x ，则22()31(ln 1)3ln h'x x x x x =-+-+=--.当]2,1[∈x 时，()0h'x <恒成立，∴)(x h 在区间]2,1[上单调递减，∴)1()()2(h x h h ≤≤，即2)(2ln 24≤≤--x h ，（8分）∴存在]2,1[0∈x ，使得0)(0=x h ，当),1[0x x ∈时，0)(>x h ，()0g'x >，函数)(x g 单调递增，当]2,(0x x ∈时，0)(<x h ，()0g'x <，函数)(x g 单调递减，文科数学 第8页（共 9页）又∵1)1(-=g ，122ln 45)2(->+-=g ，∴当]2,1[∈x 时，1)(min -=x g ，∴1-<a ．故实数a 的取值范围是(,1)-∞-.（12分）（2）（法一）由（1）知曲线C 是以)1,3(为圆心，2为半径的圆，当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时，此时圆心到直线l 的距离不大于1，（5分）设直线l 的直角坐标方程为kx y =，即0=-y kx ，其中αtan =k ，∴圆心)1,3(到直线l 的距离为11|13|2≤+-=k k d ，解得30≤≤k，即0tan α≤≤（8分）∵[0,)α∈π，∴[0,]3απ∈．（10分）（法二）由题意及（1）知曲线C 是以)1,3(为圆心，2为半径的圆，直线l 与圆C 相交于原点，当曲线C 上至少有3个点到直线l 的距离为1时，直线l 与圆C 相交的弦长不小于32.将αθ=代入曲线C 的极坐标方程4sin()3ρθπ=+，得4sin()3απ+≥，即3sin(32απ+≥.（8分）又[0,)α∈π，∴4[,333απππ+∈，故2[,333απππ+∈，即α的取值范围是[0,]3π．（10分）23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲3文科数学第9页（共9页）。
2019年新课标全国卷高考文科数学试卷及答案(word版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25 D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. AD B.21 C. 21D. BC （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( ) A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3（C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
2019年普通高等学校招全国生统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)(含答案)
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保持平常心，顺其自然绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sincos x xxx++在[-π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．B ．C ．D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题40
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(23) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及应用一、选择题1．函数y ＝cos x (x ∈R )的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图像，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析：由图像的平移得g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .答案：A2．将函数y ＝cos2x 的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图像，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin2x D ．f (x )＝22(sin2x ＋cos2x )解析：平移后的函数解析式是y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .答案：B3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图像向右平移π4个单位长度，得到的图像对应的函数解析式为f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ4.又∵函数图像过点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫3ωπ4－ωπ4＝sin ωπ2＝0，∴ωπ2＝k π，即ω＝2k (k∈Z )，∵ω>0，∴ω的最小值为2.答案：D4．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图像如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32 C ．－1 D ．－ 3解析：由图可知，A ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，∴f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1. 答案：C5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 解析：由函数的图像可得14T ＝2π3－5π12，∴T ＝π，则ω＝2，又图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.答案：D6．[2018·福建]将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2的图像向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6解析：∵f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴sin θ＝32.又∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由题知g (x )＝f (x －φ)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3，又图像经过点⎝⎛⎭⎪⎫0，32，∴g (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.当φ＝5π6时满足g (0)＝32，故选B. 答案：B 二、填空题7．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图像向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像重合，则ω的最小值为__________．解析：依题意，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω＞0)的图像向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6－π3ω(ω＞0)，它的图像与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图像重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝74.答案：748．给出下列六种图像变换方法：(1)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12； (2)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图像向右平移π3个单位； (4)图像向左平移π3个单位； (5)图像向右平移2π3个单位； (6)图像向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图像变换到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的图像，那么这两种变换正确的标号是__________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3――→(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，或y ＝sin x ――→(2)y ＝sin 12x ――→(6)y ＝sin 12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.答案：(4)(2)(或((2)(6)))9．将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图像关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为__________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像向右平移φ(φ＞0)个单位后变为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，再将图像上每一点的横坐标缩短到原来的12倍后，得到f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4－2φ，其图像关于直线x ＝π4对称，则4×π4＋π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3π8－k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，φ的最小正值为38π. 答案：38π10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6取得最大值2，且函数f (x )的最小正周期为2π.现将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，再把函数图像向右平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，则g (x )＝__________.解析：由函数f (x )的最小正周期为2π且ω＞0，可得2π＝2πω，∴ω＝1.又函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)在x ＝π6取得最大值2，则A ＝2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，∴π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，又把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3，∴g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 三、解答题11．[2018·石家庄质检一]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4. (1)求函数f (x )的最大值；(2)若直线x ＝m 是函数f (x )的对称轴，求实数m 的值． 解析：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－4x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4. ∴f (x )的最大值为2.(2)令4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π4＋π16(k ∈Z )． ∵x ＝m 是函数f (x )的对称轴， ∴m ＝k π4＋π16(k ∈Z )．答案：(1)2；(2)m ＝k π4＋π16(k ∈Z )．12．[2018·吉林五校联考二]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图像向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．解析：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得 cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0， 又|φ|＜π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4依题意，T 2＝π3， 又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图像向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(x ＋m )＋π4. g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.答案：(1)π4 (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 π12创新试题教师备选教学积累资源共享教师用书独具1．[2018·浙江]把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是()ABC D解析：把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝cos x ＋1的图像；然后向左平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1的图像；再向下平移1个单位长度得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1－1＝cos(x ＋1)的图像；结合各选项中的图像可知其图像为选项A 中的图像，故应选A.答案：A2．[2018·信阳调研]先将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图像向右平移π6个单位，则所得函数图像的解析式为( )A ．f (x )＝2sin xB ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin4xD ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3 解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的周期变为原来的2倍，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，再向右平移π6个单位，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.答案：B3．[2018·潍坊三县检测]已知简谐振动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的振幅为32，图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，且过点⎝⎛⎭⎪⎫0，34，则该简谐振动的频率与初相分别为( )A.16，π6B.18，π6C.π4，π6D.16，π3解析：由题意知A ＝32，∵图像上相邻最高点与最低点之间的距离为5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋32＝5，解得T ＝8，∴f ＝18，ω＝π4，由图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34且|φ|＜π2，得φ＝π6，故选B.答案：B4．[2018·蚌埠质检]以下关于函数f (x )＝sin2x －cos2x 的命题，正确的是( )A ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π上单调递增 B ．直线x ＝π8是函数y ＝f (x )图像的一条对称轴C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是函数y ＝f (x )图像的一个对称中心 D ．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π8个单位，可得到y ＝2sin2x的图像解析：f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，将f (x )的图像向左平移π8个单位为y ＝2sin2x ，故选D.答案：D5．[2018·眉山诊断]若把函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1的图像向右平移m (m ＞0)个单位长度，使点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心，则m 的最小值是( )A.π2B.π6C.π3 D ．π解析：y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋1的图像向右平移m (m ＞0)个单位长度得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－m ＋1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1为其对称中心， ∴π3＋π3－m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m 的最小值是π6.答案：B6．[2018·西安调研]已知平面向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin θ，－cos θ)，其中0＜θ＜π，且函数f (x )＝(a·b )cos x ＋(b·c )sin x的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1. (1)求θ的值；(2)将函数y ＝f (x )图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解析：(1)a·b ＝cos θcos x ＋sin θsin x ＝cos(θ－x )，b·c ＝cos x sin θ－sin x cos θ＝sin(θ－x )，∴f (x )＝(a·b )cos x ＋(b·c )sin x＝cos(θ－x )cos x ＋sin(θ－x )sin x＝cos(θ－x －x )＝cos(2x －θ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1，而0＜θ＜π，∴θ＝π3.(2)由(1)得，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， ∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×12x －π3， 即g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π3≤x －π3≤π6， ∴12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3≤1， ∴当x ＝0时，g (x )取得最小值12，当x ＝π3时，g (x )取得最大值1.。
2019年全国高中高考1卷文科数学试卷试题及答案官方word版本
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2019年一般高等学校招生全国一致考试文科数学 注意事项：1．答卷前，考生务必然自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定地址上．2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共 12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．）1．已知会集A 0，2 ，B2， 1，0，1，2，则A B （ ）A ．0，2B ．1，2C ．0D ．2，1，0，1，21 i，则z（）2．设z2i1 iA ．0B ．1C ．1D ．223．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地认识该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比率．获取以下饼图：则下面结论中不正确的选项是（ ） ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和高出了经济收入的一半x2y22,0，则C的离心率（）4．已知椭圆C：1的一个焦点为a24A．1B．1C．2D．22 32231/12个人精心创作，质量一流的，希望能获取您的必定。
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5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．122B．12C．8 2D．106．设函数 f x x3 a 1x2ax．若f x为奇函数，则曲线y f x在点0，0处的切线方程为（）A．y2x B．y x C．y 2x D．y x7．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB（）A．3AB1AC B．1AB3AC 4444C．3AB1AC D．1AB3AC 44448．已知函数fx2cos2x sin2x2，则（）A．f x的最小正周期为，最大值为3B．f x的最小正周期为，最大值为4C．f x的最小正周期为2，最大值为3D．f x的最小正周期为2，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图以下列图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．217B．2 5C．3D．210．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC 2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为（）A．8B．62C．82D．832/12个人精心创作，质量一流的，希望能获取您的必定。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国I卷文科) 数学试题及答案(学生版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷文科）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设z =3−i1+2i ，则|z |=（ ）A ．2B ．√3C ．√2D ．12．已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7}，A ={2,3,4,5}，B ={2,3,6,7}，则（ ）A ．{1,6}B ．{1,7}C ．{6,7}D ．{1,6,7}3．已知a =log20.2,b=20.2,c =0.20.3，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12（√5−12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是（ ）A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=sin x+xcos x+x 2在[-π，π]的图像大致为（ ）A ．B ．a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°=（ ）A ．-2-√3B ．-2+√3C ．2-√3D ．2+√38．已知非零向量a ，b 满足|a |=2|b |，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求12+12+12的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A ．A=12+AB ．A=2+1A C ．A=11+2AD ．A=1+12A10．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ）A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50°D ．1cos50°11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为F 1(−1,0),F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|，|AB|=|BF 1|，则C 的方程为（ ）A ．x 22+y 2=1B ．x 23+y 22=1 C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考文科数学全国卷Ⅰ文数(附参考答案和详解)(可编辑修改word版)
A. a b c
B. a c b
C. c a b
D. b c a
第 1 页（共 12 页）
【解析】由对数函数的单调性可得 a log2 0.2 log21 0 ，
由指数函数的单调性可得 b 20.2 20 1， 0 c 0.20.3 0.20 1 ，所以 a c b .故选 B.
比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm ，则其身高可能是（ ）
A.165cm
B.175cm
C.185cm
D.190cm
【解析】设某人身高为 m cm，脖子下端至肚脐的长度为 n cm，
则由腿长为 105 cm，可得 m 105 5 1 0.618 ，解得 m 169.890 .
所以 |
AB
|
3 2
|
AF2
|
，所以 |
AF1
|
3 |
AF2
|
4a
.
又因为 | AF1 | | AF2 | 2a ，所以 | AF2 | a . 所以 A 为椭圆的短轴端点.
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如图，不妨设 A(0,b) ，
又
F2
(1,
0)，AF2来自2F2 B，所以
B
3 2
,
b 2
.
【答案】A
12.（2019 全国卷Ⅰ·文）已知椭圆 C 的焦点为 F1 1, 0， F2 1, 0，过 F2 的直线与 C 交于 A ， B 两
点．若 | AF2 | 2 | F2B | ， | AB || BF1 | ，则 C 的方程为（ ）
A. x2 y2 1 2
B. x2 y2 1 32
105
2
由头顶至脖子下端的长度为 26 cm，可得 26 5 1 0.618 ，解得 n 42.071 . n2
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题19
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(49) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、选择题1．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －2y －4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0与y 轴交点为A (0，－2)，所求直线过A 且斜率为－12，故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0 .答案：D2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.答案：D3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：由题意得a ＋2＝a ＋2a ，∴a ＝－2或a ＝1. 答案：D4．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B.32 C ．3 D ．－3 解析：过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1) ，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．答案：A5．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.答案：C6．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．答案：A7．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab ＞0，bc ＜0B ．ab ＞0，bc ＞0C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.答案：A8．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C.答案：C9．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－(－2)－2－0＝－52，k MB ＝2－(－2)3－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案：B10．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B . ∵1B ＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3， ∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3， ∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－ 3. 答案：B 二、填空题11．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是__________．解析：设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0， ∴m ＝－2，∴P (－2,1)，∴k ＝1＋1－2－1＝－23.答案：－2312．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是__________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.答案：313．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________．解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a ) ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)14. 若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为__________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：16 三、解答题15．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解析：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(0，3]，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.答案：(1)m ＝－1时，x ＝－1；m ≠－1时，y －2＝1m ＋1(x ＋1)；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 16．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋xB 2＝3，y ＋y B2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎨⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 答案：8x －y －24＝0.创新试题 教师备选教学积累 资源共享1．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________．解析：①当过原点时，直线方程为y ＝－43x ； ②当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a .代入点(3，－4)，得a ＝7. 即直线方程为x －y －7＝0. 答案：y ＝－43x 或x －y －7＝02．[2018·盐城检测]已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为__________．解析：直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案：123．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为__________．解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝04．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解析：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为xa ＋yb ＝1，∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b ＝1. ∴1＝3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时， △ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为x 6＋y4＝1.即2x＋3y－12＝0.答案：2x＋3y－12＝0。
2019年高考文数全国卷1含答案解析
徐老师第 1 页2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷文科数学本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.设3i12iz -=+，则z = ( ) A .2B .3C .2D .12.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则=u B C A ⋂ ( ) A .{}1,6B .{}1,7C .{}6,7D .{}1,6,7 3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则( )A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 ( ) A .165 cm B .175 cmC .185 cmD .190 cm 5.函数()2sin cos x xf x x x+=+在[,]-ππ的图像大致为( )A .B .C .D .第 2 页6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A .8号学生B .200号学生C .616号学生D .815号学生 7.255tan ︒=( ) A.2-B.-C.2D.8.已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为 ( ) A .π6B .π3C .2π3D .5π69.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入( )A .12A A =+ B .12A A =+ C .112A A=+D .112A A=+10.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A .240sin ︒B .240cos ︒C .1sin50︒D .1cos50︒11.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4asinA bsinB csinC -=，14cosA =-，徐老师则=bc( )A .6B .5C .4D .312.已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为( )A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为 .14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4= . 15.函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为 . 16.已知90ACB ∠=︒，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边AC ，BC ，那么P 到平面ABC 的距离为 .三、解答题：共70分。
2019年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案( 文)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题共65页）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的(1) 设全集I ={1，2，3，4，5，6，7}，集合A ={1，3，5，7}，B ={3，5}．则 ( ) (A) I =A ∪B(B) I =A ∪B(C) I = A ∪B (D) A ∪B(2) 当a >1时，在同坐标系中．函数y =a －x 与y =log a x 的图像是( )(3) 若sin 2x >cos 2x ，则x 的取值范围是( )(A) {x |2k π－43π<x <2k π＋4π，k ∈Z } (B) {x |2k π＋4π<x <2k π＋45π，k ∈Z }(C) {x |k π－4π<x <k π＋4π，k ∈Z }(D) {x |k π＋π41<x <k π＋43π，k ∈Z }(4) 复数54)31()22i i -+（等于( )(A) 1+3i (B) －1+3i (C) 1－3i (D) －1－3i(5) 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 ( )(A) 720种(B) 360种(C) 240种(D) 120种(6) 已知α是第三象限角sin α=－2524，则tg 2α= ( )(A)34(B)43 (C) －43 (D) －34 (7) 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l =β∩γ，l ∥α，m =α，m ⊥γ，那么必有( )(A)α⊥γ且l ⊥m (B)α⊥γ且m ∥β (C) m ∥β且l ⊥m (D)α∥β且α⊥γ(8) 当－2π≤x ≤2π时，函数f (x )=sin x ＋3cos x 的 ( )(A) 最大值是1，最小值是－1 (B) 最大值是1，最小值是－21(C) 最大值是2，最小值是－2(D) 最大值是2，最小值－1(9) 中心在原点，准线方程为x =±4，离心为21的椭圆方程是 ( )(A) 3422y x +=1 (B) 4322y x +=1 (C) 42x ＋y 2=1(D) x 2＋42y =1(10) 圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240º，该圆锥的体积( )(A) 8122π(B)818π (C) 8154π(D)8110π(11) 椭圆25x 2－150x ＋9y 2＋18y ＋9=0的两个焦点坐标是 ( )(A) (－3，5)，(－3，－3) (B) (3，3)，(3，－5) (C) (1，1)，(－7，1)(D) (7，－1)，(－1，－1)(12) 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD =a ，则三棱锥的D －ABC 体积为( )(A) 63a(B) 123a(C)3123a(D)3122a(13) 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 ( ) (A) 130(B) 170(C) 210(D) 260(14) 设双曲线2222by a x -=1(0<a <b)的半焦距为c ，直线过l （a ，0），（0，b ）两点．已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ( )(A) 2 (B)3(C)2 (D)332 (15) 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)=－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则f (7，5)等于( )(A) 0.5(B) －0.5(C) 1.5(D) －1.5第Ⅱ卷(非选择题共85分)注意事项：1．第Ⅱ项共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16)已知点(－2，3)与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点的距离是5，则p =________(17)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有__________个（用数字作答）(18) ︒︒+︒+︒40tg 20tg 340tg 20tg 的值是________(19)如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60º的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(20)(本小题满分11分) 解不等式log a (x ＋1－a )>1． (21)(本小题满分12分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 3＋S 6=2S 9，求数列的公比q ． (22)(本小题满分11分)已知三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C =2B ，CA cos 1cos 1+=－B cos 2，求cos2)(C A -的值．(23)(本小题满分12分)【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成(Ⅰ)证明的全过程；并解答(Ⅱ)．】如图：在正三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1中，AB =31AA =a ，E ，F 分别是BB 1，CC 1上的点且BE =a ，CF =2a ．(Ⅰ)求证：面AEF ⊥面ACF ； (Ⅱ)求三棱锥A 1－AEF 的体积． (Ⅰ)证明：①∵ BE =a ，CF =2a ，BE ∥CF ，延长FE 与CB 延长线交于D ，连结AD ． ∴ △DBE ∽△DCF∴CFBEDE DB =②_____________________ ∴ DB =AB ．③______________________ ∴ DA ⊥AC④_______________________ ∴ F A ⊥AD⑤_________________________ ∴ 面AEF ⊥面ACF ． (24)(本小题满分10分)某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．结果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?(粮食单产=总产量/耕地面积，人均粮食占有量=总产量/(总人口数))(25)(本小题满分12分)已知l 1、l 2是过点P ()02，-的两条互相垂直的直线，且l 1、l 2与双曲线y 2－x 2=1各有两个交点，分别为A 1、B 1和A 2、B 2．(Ⅰ)求l 1的斜率k 1的取值范围；(Ⅱ)若A 1恰是双曲线的一个顶点，求| A 2 B 2|的值．1996年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：一．答指出了每题要考查主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准相应的评分细则．二．对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答较错误，就不再给分．三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加数． 四．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1)C (2)A (3)D (4)B (5)C (6)D (7)A (8)D (9)A (10)C (11)B (12)D (13)C (14)A (15)B二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)4 (17)32 (18)3 (19)42三．解答题(20)本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．解：（Ⅰ）当a >1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧>-+>-+.1,01a a x a x解得 x >2a －1．(Ⅱ)当0<a <1时，原不等式等价于不等式组：⎩⎨⎧<-+>-+.101a a x a x 解得 a －1<x <2a －1综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >2a －1};当0<a <1时，不等式的解集为{x |a －1<x <2a －1}．(21)本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分． 解：若q =1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1．但a 1≠0，即得S 3＋S 6≠2S 9，与题设矛盾，q ≠1．又依题意S 3＋S 6=2S 9可得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131整理得q 3(2q 6－q 3－1)=0． 由q ≠0得方程 2q 6－q 3－1=0． (2q 3＋1)(q 3－1)=0， ∵ q ≠1，q 3－1≠0， ∴ 2q 3＋1=0∴ q =－243(22)本小题考查三角函数基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算能力．满分12分．解法一：由题设条件知B =60º，A ＋C =120º． ∵ －︒60cos 2=－22∴CA cos 1cos 1+=－22 将上式化为 cos A ＋cos C =－22 cos A cos C 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为2cos 2C A +cos 2CA -=－2[cos(A ＋C)＋cos(A －C)] 将cos 2)(C A +=cos60º=21，cos(A +C )= 21代入上式得cos2)(C A -=22－2cos(A －C) cos(A －C)=2cos 22)(C A -－1 代入上式并整理得42cos 22)(C A -＋2cos 2)(C A -－32=0， (2cos 2C A -－2)(22cos 2C A -＋3)=0．∵ 22cos 2CA -＋3≠0，∴ 2cos 2CA -－2=0，∴ cos2C A -=22． 解法二：由题设条件知 B=60º，A ＋C =120º． 设α=2C A - 则2C A -=2α，可得A=60º＋α，C=60º－α 所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1oo αα-++=+C A =ααsin 23cos 211-＋ααsin 23cos 211+=ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-αα依题得Bcos 243cos cos 2-=-α，∵ cos B =21， ∴ 2243cos cos 2-=-αα．整理得42cos 2α＋2cos α－32=0， (2cos α－2)(22cos α＋3)=0， ∵ 22cos α＋3≠0， ∴ 2cos α－2=0 从而得 cos 222=-C A ．。
2019年全国卷Ⅰ文科数学高考试题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅰ卷）文科数学试题一、选择题：1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B 3C 2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．451-51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[-π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生7．tan255°= A ．-23B ．-3C ．23D ．3a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A + C ．A =112A + D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：13．曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 15．函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 3，那么P 到平面ABC 的距离为___________．三、解答题：17．（12分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客40 10女顾客30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．P（K2≥k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818．（12分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5．（1）若a3=4，求{a n}的通项公式；（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．19．（12分）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．20．（12分）已知函数f （x ）=2sin x -x cos x -x ，f ′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2019年全国高考Ⅰ卷文科数学·参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D8．B9．A10．D11．A12．B二、填空题13．y =3x 14．5815．−416三、解答题17．解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6． （2）22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯． 由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.18．解：（1）设{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-． 因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．19．解：（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且112ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以112ND A D =. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ⊄平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE .（2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH.从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离， 由已知可得CE =1，C 1C =4，所以117C E 417CH =. 从而点C 到平面1C DE 的距离为41717.20．解：（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=.当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x . 又当0,[0,π]a x ∈时，ax ≤0，故()f x ax . 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.21．解：（1）因为M 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M 与直线x +2=0相切，所以M 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值.理由如下：设(, )M x y ，由已知得M 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=.当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l.23．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥ =3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题3
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼 开卷速查(01) 坐标系一、填空题1．设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，则直线l 的极坐标方程为__________．解析：∵点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6， ∴点A 的平面直角坐标为(3，1)， 又∵直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3， ∴直线l 的方程为y －1＝(x －3)tan π3， 即3x －y －2＝0，∴直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ－2＝0， 可整理为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－4π3＝1.答案：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1或3ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1或ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－4π3＝1. 2．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是__________．解析：由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 可得，ρcos θ＝1，ρsin θ＝－3，解得ρ＝2，θ＝2k π－π3(k ∈Z )，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π－π3(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，2k π－π3(k ∈Z ) 3．在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点，则|AB |＝__________.解析：注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x ＝1，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，圆心(2,0)到直线x ＝1的距离等于1，因此|AB |＝24－1＝2 3.答案：2 34．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为__________．解析：由曲线C ：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心，以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4.答案：45．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________．解析：将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.答案：ρ＝2cos θ6．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是__________．解析：圆ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ化为直角坐标为x 2＋(y －2)2＝4，直线θ＝π6也就是过原点且斜率为tan θ＝tan π6＝33的直线，方程为y ＝33x ，圆心到直线的距离为d ＝|2|1＋13＝ 3.答案： 37．在极坐标系中，与极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为__________．解析：圆方程为x 2＋y 2＝16，圆心到直线l 的距离为d ＝16－4＝2 3.又直线l 与极轴垂直相交，故直线l 的普通方程为x ＝23，极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案：ρcos θ＝2 38．在极坐标系中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2到曲线l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝322上的点的最短距离为__________．解析：将极坐标系中的点和曲线化为直角坐标为P (0,1)，l ：x －y －3＝0，则所求最短距离为点P 到直线l 的距离，为2 2.答案：2 29．极坐标系下，直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2与圆ρ＝2的公共点个数是__________．解析：直线方程为x ＋y ＝2，圆的方程为x 2＋y 2＝2，圆心到直线的距离d ＝22＝2＝r ，故直线与圆相切，只有一个公共点．答案：110．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π2，半径为5，直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤π2，ρ∈R 被圆截得的弦长为8，则α的值等于__________．解析：圆C 的方程为x 2＋(y －6)2＝25，设直线θ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0≤α≤π2，ρ∈R 为y ＝kx ，则圆心到直线的距离d ＝61＋k2＝3，解得k ＝3，故α＝π3.答案：π311．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为__________．答案：312．在极坐标系下，M 为曲线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12上任意一点，点P的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，2π3，则|PM |的最小值为__________．答案：43＋1213．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点，则MN 的中点的极坐标为__________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6 14．极坐标系中，圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点到直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的距离的最大值是__________．解析：圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0，即(x ＋1)2＋y 2＝4.直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0的直角坐标方程为 x ＋y －7＝0.圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－7|2＝42，所以圆上的动点到直线的距离的最大值为42＋2. 答案：42＋2 二、解答题15．已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．(1)将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解析：(1)圆的极坐标方程化为：ρ2－4ρcosθ－4ρsin θ＋6＝0.直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.(2)由(1)知圆心(2,2)，半径r＝2，圆心到原点O的距离d＝22，|OP|max＝32，|OP|min＝2，所以x2＋y2的最大值为18，最小值为2.16．[2018·唐山市期末]已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；(2)P是l上点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．解析：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cosθ＋sinθ)＝2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22.，又ρ2＝2，p1＝2cosθ＋sinθ所以2ρ＝4，cosθ＋sinθ故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)(ρ≠0)．。
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题50
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼 开卷速查(13) 对数与对数函数一、选择题1．(log 29)·(log 34)＝( )A.14B.12 C ．2 D ．4 解析：(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4. 答案：D2．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( ) A ．(0,8] B ．(2,8] C ．(－2,8]D ．[8，＋∞)解析：由题意可知，1－lg(x ＋2)≥0，整理得lg(x ＋2)≤lg10，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤10，x ＋2>0，解得－2<x ≤8，故函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为(－2,8]． 答案：C3．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．2x －2解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2. ∴f (x )＝log 2x . 答案：A4．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a ＞c ＞b . 答案：B5．函数y ＝log 2|x |x 的大致图像是( )ABCD解析：由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x 是奇函数，其图像关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图像先增后减，结合选项可知选C 项．答案：C6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32 D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 解析：y ＝ln t 是单调递增函数，则只需研究函数t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间，并注意t >0的限制．t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，当x ≥4时，t ≤0，所以区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4符合题意． 答案：D7．函数y ＝log 0.5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋1(x >1)的值域是( ) A. (－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：∵x ＋1x －1＋1＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4.∴y ≤－2.答案：A8．已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜f (0)＜f (3)B ．f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜f (3)C ．f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜f (0)D ．f (3)＜f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12解析：依题意得f (3)＝log 12 2＝－1<0，log 12 2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 12 32<log 12 1，即－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0，又f (0)＝log 121＝0，因此有f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)．答案：C9．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋1) x ＜4，2x x ≥4，则f (log 23)＝( )A ．－23B ．11C ．19D ．24解析：∵1＜log 23＜2，∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2) ＝f (log 23＋3)＝2log 23＋3 ＝2log 23·23＝3×8＝24. 答案：D10．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12 B.14 C ．2D ．4解析：由题可知函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，整理可得a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)，故a ＝2.答案：C 二、填空题11．若y ＝(log 12 a )x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是__________．解析：由题意得0＜log 12 a ＜1，解得12＜a ＜1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 12．已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋a 2)的图像关于x ＝2对称，则a 的值为__________．解析：由题意f (x )＝f (4－x )，∴x 2－ax ＋a 2＝(4－x )2－a (4－x )＋a 2，整理得a ＝4.答案：413．设f (x )＝11＋2lg x ＋11＋4lg x ＋11＋8lg x ，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝__________. 解析：f (x )＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋2lg x ＋11＋4lg x ＋11＋8lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg x1＋2lg x ＋4lg x1＋4lg x ＋8lg x1＋8lg x ＝3. 答案：314．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＋f (x )＝0，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (log 18125)＝__________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＋f (x )＝0，f (log 18 125)＝f (－log 25)＝－f (log 25)＝f (log 25－2)＝2log 25－2－1＝54－1＝14.答案：14 三、解答题15．若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)． (1)求f (log 2x )的最小值及相应的x 值；(2)x 取何值时，f (log 2x )＞f (1)，且log 2f (x )＜f (1)． 解析：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b . ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ， 由已知(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a (log 2a －1)＝0. ∵a ≠1，∴log 2a ＝1.∴a ＝2. 又log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4. ∴a 2－a ＋b ＝4. ∴b ＝4－a 2＋a ＝2. 故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74. ∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧(log 2x )2－log 2x ＋2＞2，log 2(x 2－x ＋2)＜2⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或0＜x ＜1，－1＜x ＜2⇒0＜x ＜1. 答案：(1)f (log 2x )的最小值为74，此时x ＝2； (2)0＜x ＜1.16．已知f (x )＝lg(a x －b x )(a ＞1＞b ＞0)． (1)求f (x )的定义域；(2)问是否存在实数a 、b ，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )的值域为(0，＋∞)，且f (2)＝lg2？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由．解析：(1)由a x－b x＞0及a ＞1＞b ＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1，故x ＞0.所以，f (x )的定义域为(0，＋∞)．(2)令g (x )＝a x －b x ，由a ＞1＞b ＞0知，g (x )在(0，＋∞)上为增函数．当x ∈(1，＋∞)时，f (x )取到一切正数等价于x ∈(1，＋∞)时，g (x )＞1.故g (1)＝1，得a －b ＝1.① 又f (2)＝lg2，故a 2－b 2＝2.② 由①②解得a ＝32，b ＝12.答案：(1)(0，＋∞)；(2)存在a ＝32，b ＝12.创新试题 教师备选教学积累 资源共享 教师用书独具1．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )A BC D解析：由lg a ＋lg b ＝0(a ＞0，b ＞0，且a ≠1，b ≠1)，得ab ＝1. 若a ＞1，则0＜b ＜1，而y ＝－log b x 的图像与y ＝log b x 的图像关于x 轴对称，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0＜a B ．x 0＞b C ．x 0＜cD ．x 0＞c解析：易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．由0＜a ＜b ＜c ，知f (a )＞f (b )＞f (c )．又f (a )·f (b )·f (c )＜0，故f (c )＜0，从而f (a )·f (b )＞0.又f (x )的图像在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，故x 0＞c 不可能成立．选D.答案：D3．已知函数f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2，若f (x )＝0有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：方法一：f (x )＝log 2(a －2x )＋x －2＝0，得a －2x ＝22－x ，即a －2x ＝42x ，令t ＝2x (t ＞0)，则t 2－at ＋4＝0在t ∈(0，＋∞)上有解，令g (t )＝t 2－at ＋4，g (0)＝4＞0，故满足⎩⎨⎧a 2＞0，Δ＝a 2－16≥0，得a ≥4.方法二：f (x )＝log 2(a －2x)＋x －2＝0，得a －2x＝22－x，a ＝2x＋42x≥4.答案：D4．若实数t 满足f (t )＝－t ，则称t 是函数f (x )的一个次不动点．设函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x (其中e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为m ，则( )A ．m ＜0B ．m ＝0C ．0＜m ＜1D ．m ＞1解析：函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x 互为反函数，则它们的图像关于直线y ＝x 对称，而函数f (x )＝ln x 与函数g (x )＝e x 各自的次不动点均在直线y ＝－x 上，所以m ＝0.答案：B5．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( )A.13B.23 C ．1D ．2解析：令f (x )＝0，得x ＝1；令f (x )＝1，得x ＝13或3.因为函数f (x )在(0,1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故b －a 的最小值为1－13＝23.答案：B6．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －6(a ∈R )的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．解析：①a ≤0，x ＋ax －6∈R ⇒f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －6的值域为R ；②a >0，f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x －6的值域为R ⇒x ＋ax －6可以取到所有的正实数⇒当x >0时，x ＋ax －6的最小值为2a －6≤0⇒0<a ≤9.综上所述，a 的取值范围是(－∞，9]． 答案：(－∞，9]7．已知方程10x ＝10－x ，lg x ＋x ＝10的实数解分别为α和β，则α＋β的值是__________．解析：作函数y ＝f (x )＝10x ，y ＝g (x )＝lg x ，y ＝h (x )＝10－x 的图像如图所示，由于y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，∴它们的图像是关于直线y ＝x 对称的．又直线y ＝h (x )与y ＝x 垂直，∴y ＝f (x )与y ＝h (x )的交点A 和y ＝g (x )与y ＝h (x )的交点B 是关于y ＝x 对称的．而y ＝x 与y ＝h (x )的交点为(5,5)．又方程10x ＝10－x 的解α为A 点横坐标，同理，β为B 点横坐标．∴α＋β2＝5，即α＋β＝10.答案：108．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )为偶函数．(1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝log 4(a ·2x －a )有且仅有一个根，求实数a 的取值范围．解析：(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．即log 4(4－x ＋1)－kx ＝log 4(4x ＋1)＋kx ，∴log 44x ＋14x －log 4(4x ＋1)＝2kx ，∴(2k ＋1)x ＝0，∴k ＝－12.(2)依题意知：log 4(4x＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －a )．(*) ∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋1＝(a ·2x －a )·2x ，a ·2x －a ＞0， 令t ＝2x ，则(*)变为(1－a )t 2＋at ＋1＝0只需其有一正根． ①a ＝1，t ＝－1不合题意；②(*)式有一正一负根，∴⎩⎨⎧ Δ＝a 2－4(1－a )＞0，t 1t 2＝11－a ＜0，经验证满足a ·2x －a ＞0，∴a ＞1.③(*)式有两相等的根，Δ＝0，∴a ＝±22－2，又a ·2x －a ＞0，∴a ＝－2－22，综上所述可知a 的取值范围为 {a |a ＞1或a ＝－2－22}．答案：(1)－12；(2){a |a ＞1或a ＝－2－22}．。
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题36
开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(27)平面向量的概念及线性运算一、选择题1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．其中正确的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：a＋(－a)＝0，故③错，其余等式均正确，故选C.答案：C2．若a＋b＋c＝0，则a，b，c()A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B．一定不可能构成三角形C．都是非零向量时能构成三角形D．一定可构成三角形解析：当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形．答案：A3．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的→＝()一个三等分点(靠近B)，那么EFA.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →解析：在△CEF 中，有EF→＝EC →＋CF →，因为点E 为DC 的中点， 所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →. 所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →. 答案：D4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋CO →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由OA→＋OB →＋CO →＝0得OA →＋OB →＝OC →，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.答案：A5．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＋PC→＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为( ) A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 解析：∵P A →＋PB→＋PC →＝AB →，∴P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →＝2AP→， ∴P 是AC 边的一个三等分点． 答案：D6．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ①AB→＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →； ③AC→－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：①式的等价式是AB→－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA→＋DC →，不一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →成立；③式的等价式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD→成立． 答案：C7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( ) A ．0 B.BE → C.AD→ D.CF→如图，∵在正六边形ABCDEF 中，CD →＝AF →，BF →＝CE →， ∴BA→＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋EF → ＝BF →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 答案：D8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13D ．－23解析：∵CD→＝CA →＋AD →，CD →＝CB →＋BD →， ∴2CD→＝CA →＋CB →＋AD →＋BD →. 又∵AD→＝2DB →， ∴2CD →＝CA →＋CB →＋13AB → ＝CA →＋CB →＋13(CB →－CA →) ＝23CA →＋43CB →.∴CD →＝13CA →＋23CB →，即λ＝23. 答案：A9．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·y x ＋y 的值为( )A ．3 B.13 C ．2D.12解析：(特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，易得x ·y x ＋y＝13.答案：B10．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC→，则△ABM 与△ABC 的面积比为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：设AB 的中点为D ， 由5AM→＝AB →＋3AC →，得3AM→－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM→＝2MD →，如图所示， 故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为35，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.答案：C 二、填空题11．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝______. 解析：由|AB→＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，因此，|AM →|＝12|BC →|＝2.答案：212．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________．解析：∵OA→＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA→＝CD →.∴四边形ABCD 为平行四边形．答案：平行四边形13．设向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为____________．解析：由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上．答案：④14．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，则实数k ＝__________.解析：因为8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，所以存在实数λ，使8a ＋k b ＝λ(k a ＋2b )，即(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0.又a ，b 是两个不共线的非零向量，故⎩⎨⎧8－λk ＝0，k －2λ＝0，解得k ＝±4.答案：±4 三、解答题15．如图所示，在△ABC 中，点D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →、AE →、AF →、BE →、BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解析：(1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG 、CG ，得到▱ABGC ，所以AG→＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ， BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)由(1)可知，BE →＝23BF →，所以B ，E ，F 三点共线．答案：(1)AD →＝12(a ＋b )；AE →＝13(a ＋b )，AF →＝12b ，BE →＝13(b －2a )，BF →＝12(b －2a )；(2)证明略．16．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 解析：(1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →， 又∵AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2，且BF →＝3e 1－k e 2， ∵B ，D ，F 三点共线，得BF →＝λBD →， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12，∴k ＝12.答案：(1)证明略；(2)k ＝12.创新试题 教师备选教学积累 资源共享 教师用书独具1．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC→，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 解析：∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∴N 为AM 中点， ∴AN →＝12AM → ＝12xAB →＋12yAC → ＝λAB→＋μAC →. ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12. 答案：A2．已知点O ，N 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB→＋NC →＝0，则点O ，N 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心 B ．重心 内心 C ．外心 重心D ．外心 内心解析：由|OA→|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；NA →＋NB →＋NC →＝0，知，N 为△ABC 的重心．答案：C3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD→＝( )A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b解析：CB→＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →， ∴CD →＝14CB →＝14(a －b )， ∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b . 答案：B4．已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ＞0)，AC →＝μAF →(μ＞0)，则1λ＋4μ的最小值是( )A ．9 B.72 C ．5D.92解析：由题意得，AB →＋AC →＝2AD →＝λAE →＋μAF →⇒AD →＝λ2AE →＋μ2AF →，又D 、E 、F 在同一条直线上，可得λ2＋μ2＝1.所以1λ＋4μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ＋4μ＝52＋2λμ＋μ2λ≥52＋2＝92，当且仅当2λ＝μ时取等号．答案：D5．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)，若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数a ，b 满足a __________0，b __________0(用“＞”，“＜”或“＝”填空)．解析：由于点P 落在第Ⅲ部分，且OP →＝aOP →1＋bOP →2，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a ＞0，b ＜0.答案：＞ ＜6．已知△ABC 中，AB→＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任 意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．解析：依题意，由OP→＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP→－OA →＝λ(a ＋b )，即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则AP→＝λAD→，∴A，P，D三点共线．即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC 边BC的中点．答案：P点的轨迹是AD所在的直线，其轨迹过△ABC边BC的中点．理由略．。
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题16
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(52) 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切解析：圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m2，圆半径为m .因为d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．答案：C2．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )A ．2 5B ．2 3 C. 3D ．1解析：因为圆心(0,0)到直线x ＋3y －2＝0的距离为1，所以AB ＝24－1＝2 3. 答案：B3．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A. 2B. 3C ．2D ．3解析：设圆上的点为(x 0，y 0)，其中x 0>0，y 0>0，则切线方程为x 0x ＋y 0y ＝1.分别令x ＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，1y 0，则|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 02＝1x 0y 0≥1x 20＋y 202＝2.当且仅当x 0＝y 0时，等号成立． 答案：C4．若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围为( )A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1， 2＋1)C ．(0, 2－1)D ．(0，2＋1)解析：计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.答案：A5．两个圆：C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：由题知C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，则圆心C 1(－1，－1)，C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心C 2(2,1)，两圆半径均为2，又|C 1C 2|＝(2＋1)2＋(1＋1)2＝13＜4，则两圆相交⇒只有两条外公切线．答案：B6．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上的一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则yx 等于( )A.33 B.33或－33 C. 3D.3或－ 3解析：∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线． 设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1＝3，得k ＝±3，即yx ＝±3. 答案：D7．直线l ：y ＝k (x －2)＋2与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切，则直线l 的一个方向向量v ＝( )A ．(2，－2)B ．(1,1)C ．(－3,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 解析：由已知得(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心(1,1)，半径2，直线kx －y －2k ＋2＝0. ∵直线与圆相切，∴|1－k |1＋k2＝ 2.∴k ＝－1.∴直线的一个方向向量为(2，－2). 答案：A8．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|O A →＋O B →|＝|O A →－O B →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．±2C ．－2D ．±2解析：如图，作平行四边形OADB ，则O A →＋O B →＝O D →，O A →－O B →＝B A →，∴|O D →|＝|B A →|. 又|O A →|＝|O B →|，∴四边形OADB 为正方形．易知|O A →|为直线在y 轴上的截距的绝对值，∴a ＝±2. 答案：B9．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞) 解析：由题得|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即(m ＋n )2＝(m ＋1)2＋(n＋1)2≥(m ＋n ＋2)22，令t ＝m ＋n ，得t 2－4t －4≥0，解得t ≥2＋22或t ≤2－22，故m ＋n 的取值范围为(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)．答案：D10．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，P A 、PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A 、B 是切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1，圆心C (0,1)，半径为1，∴|PC |2＝|P A |2＋1.又S 四边形P ACB ＝2×12×|P A |×1＝|P A |，∴当|P A |最小时，面积最小，而此时|PC |最小． 又|PC |最小为C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ＝5k 2＋1，∴面积最小为2时，有22＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫5k 2＋12－1，解得k ＝2(k ＞0). 答案：D 二、填空题11．过点P (3,4)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则线段AB 的长为__________．解析：如图所示，|OP |＝32＋42＝5，|OB |＝1，则|PB |＝52－12＝26，从而|BC |＝|OB |·|PB ||OP |＝265，|AB |＝2|BC |＝465.答案：46512．已知AC 、BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为__________．解析：设圆心O 到AC 、BD 的距离为d 1、d 2，垂足分别为E 、F ，则四边形OEMF 为矩形，则有d 21＋d 22＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD | ＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22) ＝8－(d 21＋d 22)＝5，即四边形ABCD 的面积的最大值为5. 答案：513．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则ab 的最大值是__________．解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径r ＝2，若直线被截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1.所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 故(ab )max ＝14. 答案：1414．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为__________；公共弦长为__________．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x ＋y －5＝0 230 三、解答题15．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖．(1)试求圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点A 、B ，满足CA ⊥CB ，求直线l 的方程．解析：(1)由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5. (2)设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，因为CA ⊥CB ，所以圆C 到直线l 的距离是102， 即|2－1＋b |12＋12＝102，解得b ＝－1±5.所以直线l 的方程为y ＝x －1±5.答案：(1)(x －2)2＋(y －1)2＝5；(2)y ＝x －1±5.16．已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．解析：(1)圆心C (1,2)，半径为r ＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0. 故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴⎝⎛⎭⎪⎫|a ＋2|a 2＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫2322＝4， 解得a ＝－34.答案：(1)x ＝3或3x －4y －5＝0；(2)a ＝0或a ＝43；(3)a ＝－34.创新试题 教师备选教学积累 资源共享1．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是__________．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265.答案：5－2652．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知，问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max ＝43.答案：433．[2018·东北三校联考]若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为__________．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 34．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．解析：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·|4t |＝4为定值．(2)∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(1)证明略；(2)(x －2)2＋(y －1)2＝5.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3 )1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)，所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 答案：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0；(2)不存在，理由略．。
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题14
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼 开卷速查(49) 双曲线一、选择题1．[2018·福建]双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25 B.45 C.255D.455解析：双曲线x 24－y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.故其顶点到渐近线的距离d ＝|±2|1＋4＝25＝255.答案：C2．[2018·北京]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x解析：由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，故选B 项． 答案：B3．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( ) A.45 B.74 C.54D.7解析：在△ABP 中，由正弦定理得 |sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝a c ＝45. 答案：A4．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F (c,0)，B (0，b )，则k BF ＝－bc ，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，∴－b c ·b a ＝－1，即b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ， ∴e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52. 又e ＞1，∴e ＝5＋12. 答案：D5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m . 又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.故选C. 答案：C6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1解析：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±ba x 上，得a ＝2b .结合c ＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1.答案：A7．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A.2 B ．22 C ．4 D ．8解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±32x C ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析：由题意可得，抛物线的焦点坐标为(4,0)，即c ＝4. 又∵e ＝ca ＝2，得a ＝2， ∴b ＝c 2－a 2＝16－4＝2 3.∴b a ＝3，则双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x . 答案：D9．[2018·石家庄质检一]若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右顶点为A ，过其左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，且MA →·NA→＞0，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(2，＋∞)B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫1，32解析：由题意，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，A (a,0)，所以MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ，－b 2a ，NA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ，b 2a . ∵MA →·NA →＞0，∴(a ＋c )2－b 4a 2＞0，∴a ＋c －b 2a ＞0，∴2a 2＋ac －c 2＞0，∴e 2－e －2＜0，解得1＜e ＜2，故选B. 答案：B10．[2018·重庆]设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞解析：不妨令双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由|A 1B 1|＝|A 2B 2|及双曲线的对称性知A 1，A 2，B 1，B 2关于x 轴对称，如图．又∵满足条件的直线只有一对， ∴tan30°＜b a ≤tan60°，即33＜ba ≤ 3. ∴13＜b 2a 2≤3.∵b 2＝c 2－a 2，∴13＜c 2－a 2a 2≤3，即43＜e 2≤4.∴233＜e ≤2，即e ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2.故选A 项．答案：A 二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______．解析：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4m＝5，所以m ＝2.答案：212．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝__________，b ＝__________.解析：双曲线x 24－y 216＝1的渐近线为y ＝±2x ，则ba ＝2，即b ＝2a ，又因为c＝5，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2. 答案：1 213．P为双曲线x2－y215＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为__________．解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－y215＝1的两焦点．当|PM|最大，|PN|最小时，|PM|－|PN|最大，|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和，同样|PN|最小＝|PF2|－1，从而|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2a＋3＝5.答案：514．如图，双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e ＝__________.(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝__________.解析：(1)由图可知，点O 到直线F 1B 2的距离d 与圆O 的半径OA 1相等，又直线F 1B 2的方程为x －c＋yb ＝1， 即bx －cy ＋bc ＝0. 所以d ＝bcb 2＋c 2＝a ，整理得b 2(c 2－a 2)＝a 2c 2，即(c 2－a 2)2＝a 2c 2，得c 2－a 2＝ac .所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)．(2)连接OB (图略)，设BC 与x 轴的交点为E ，由勾股定理得|BF 1|＝c 2－a 2＝b .由等面积法得|BE |＝|F 1B ||OB ||F 1O |＝abc ，则|OE |＝|OB |2－|BE |2＝a2c .进一步得到S 2＝2|OE |·2|EB |＝4a 3bc 2. 又因为S 1＝12|F 1F 2||B 1B 2|＝2bc ， 所以S 1S 2＝c 32a 3＝12e 3＝5＋22.答案：(1)5＋12；(2)5＋22 三、解答题15．已知点M 是圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝12上的动点，点A (2,0)，线段AM 的中垂线交直线MB 于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C 交于R ，S 两点，D (0，－1)，且有|RD |＝|SD |，求m 的取值范围．解析：(1)由题意得|PM |＝|P A |，结合图形得||P A |－|PB ||＝|BM |＝23，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线，且2a ＝23，a ＝3，c ＝2，于是b ＝1，故P 点的轨迹C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R ，S 两点，显然1－3k 2≠0，Δ＝(6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，设x 1，x 2为方程(*)的两根，则x 1＋x 2＝6km1－3k 2， 设RS 的中点为M (x 0，y 0)，则 x 0＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2， 故线段RS 的中垂线方程为y －m 1－3k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －3km 1－3k 2. 将D (0，－1)代入化简得4m ＝3k 2－1，故m ，k 满足⎩⎨⎧m 2＋1－3k 2＞0，4m ＝3k 2－1.消去k 2即得m 2－4m ＞0，即得m ＜0或m ＞4， 又4m ＝3k 2－1≥－1，且3k 2－1≠0， ∴m ≥－14，且m ≠0，∴m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．答案：(1)x 23－y 2＝1；(2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．16．直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解析：(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0.①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2k k 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2－k2，x 1·x 2＝2k 2－2.②假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0)．则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0. 即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0. 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0.③ 把②式及c ＝62代入③式化简得 5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．答案：(1)－2<k <－2；(2)存在，k ＝－6＋65.创新试题 教师备选教学积累 资源共享1．已知m 是两个正数2,8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的离心率为( )A.32或52 B.32 C. 5D.32或 5解析：∵m 2＝16，∴m ＝±4，故该曲线为椭圆或双曲线． 当m ＝4时，e ＝c a ＝a 2－b 2a＝32. 当m ＝－4时，e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 5. 答案：D2．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由PF 1→·PF 2→＝0得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m ＞n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝5，∴b ＝3，∴a ＋b ＝7.答案：C3．设e 1、e 2分别为具有公共焦点F 1、F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足|PF 1→＋PF 2→|＝|F 1F 2→|，则e 1e 2e 21＋e 22的值为( )A.22 B ．2 C. 2D ．1解析：依题意，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，|F 1F 2|＝2c ，不妨设m ＞n .则由|PF 1→＋PF 2→|＝|F 1F 2→|得|PF 1→＋PF 2→|＝|PF 2→－PF 1→|＝|PF 1→－PF 2→|，即|PF 1→＋PF 2→|2＝|PF 1→－PF 2→|2，所以PF 1→·PF 2→＝0，所以m 2＋n 2＝4c 2.又e 1＝2c m ＋n ，e 2＝2cm －n，所以1e 21＋1e 22＝2(m 2＋n 2)4c 2＝2，所以e 1e 2e 21＋e 22＝11e 22＋1e 21＝22.答案：A4．[2018·济南模拟]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为__________．解析：设双曲线的右焦点为F ′.由于E 为PF 的中点，坐标原点O 为FF ′的中点，所以EO ∥PF ′，又EO ⊥PF ，所以PF ′⊥PF ，且|PF ′|＝2×a2＝a ，故|PF |＝3a ，根据勾股定理得|FF ′|＝10a .所以双曲线的离心率为10a 2a ＝102.答案：1025．[2018·岳阳模拟]直线x ＝2与双曲线C ：x 24－y 2＝1的渐近线交于E 1，E 2两点，记OE 1→＝e 1，OE 2→＝e 2，任取双曲线C 上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2，则实数a 和b 满足的一个等式是__________．解析：可求出e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧2a ＋2b ＝x 0，a －b ＝y 0，则(a ＋b )2－(a －b )2＝1，得ab ＝14.答案：ab ＝14。
2019届高考文科数学第一轮开卷速查检测题26
开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(37) 直接证明与间接证明一、选择题1．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定解析：∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．∴a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列． 答案：B2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 答案：D3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”．答案：B4．设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立，其中正确判断的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a ＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．答案：C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a ＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是()A．a－b＞0 B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0 ⇔2a 2－ac －c 2>0 ⇔(a －c )(2a ＋c )>0 ⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C6．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x 2b ，c ＝y 2b .代入①，得x 2b ＋y 2b ＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列． 答案：B7．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定 解析：∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2， 只要证：2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2·(a ＋3)(a ＋4)，只要证：a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12， 只要证：0＜12， ∵0＜12成立， ∴P ＜Q 成立. 答案：C8．设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2 解析：a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ≥6， 因此a ，b ，c 至少有一个不小于2. 答案：C9．要使3a －3b ＜3a －b 成立，则a ，b 应满足( ) A ．ab ＜0且a ＞b B ．ab ＞0且a ＞b C ．ab ＜0且a ＜bD ．ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b解析：要使3a －3b ＜3a －b 成立，只要(3a －3b )3＜(3a －b )3成立，即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b 成立，只要3ab 2＜3a 2b 成立，只要ab 2＜a 2b 成立， 即要ab (b －a )＜0成立，只要ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 成立. 答案：D10．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，p ＝log c a 2＋b 22，q ＝log c ⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，则p 、q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ＝q D ．p ≥q 解析：∵a 2＋b 22＞ab ＝1， ∴p ＝log c a 2＋b 22＜0.又q ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋b 2＝log c 1a ＋b ＋2ab＞log c 14ab ＝log c 14＞0，∴q ＞p . 答案：B 二、填空题11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为__________． 解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b . 答案：a ＜b12．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足__________．解析：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＜0， 所以b 2＋c 2－a 2＜0，即a 2＞b 2＋c 2. 答案：a 2＞b 2＋c 213．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n 的增大而减小． ∴c n ＋1<c n .答案：c n ＋1<c n14．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是__________．(填序号)解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1， 但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③ 三、解答题15．设f (x )＝e x －1.当a ＞ln2－1且x ＞0时，证明：f (x )＞x 2－2ax . 证明：欲证f (x ) ＞x 2－2ax ，即e x －1 ＞x 2－2ax ， 也就是e x －x 2＋2ax －1＞0.可令u (x )＝e x －x 2＋2ax －1，则u ′(x )＝e x －2x ＋2a . 令h (x )＝e x －2x ＋2a ，则h ′(x )＝e x －2.当x ∈(－∞，ln2)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在(－∞，ln2]上单调递减，当x ∈(ln2，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在[ln2，＋∞)上单调递增．所以h (x )的最小值为h (ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2－2ln2＋2a . ∵a ＞ln2－1，∴h (ln2) ＞2－2ln2＋2(ln2－1)＝0，即h (ln2)＞0. ∴u ′(x )＝h (x )＞0，即u (x )在R 上为增函数． 故u (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以u (x )＞u (0)． 而u (0)＝0，∴u (x )＝e x －x 2＋2ax －1＞0. 即当a ＞ln2－1且x ＞0时，f (x )＞x 2－2ax . 答案：证明略．16．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点； (2)试比较1a 与c 的大小．解析：(1)证明：∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根．又x 1x 2＝ca ， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根． 即1a 是函数f (x )的一个零点． (2)假设1a ＜c ， ∵1a ＞0，∴由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c . 又∵1a ≠c ，∴1a ＞c . 答案：(1)证明略；(2)1a ＞c .创新试题 教师备选教学积累 资源共享教师用书独具1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系是( ) A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A D ．C ≤B ≤A解析：a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ab a ＋b . 答案：A2．若a ，b ，c 为Rt △ABC 的三边，其中c 为斜边，那么a n ＋b n与c n (其中n ∈N *且n ＞2)的大小关系是__________．解析：方法一：△ABC 为直角三角形，且c 为斜边， 则c 2＝a 2＋b 2，∴c ＞a ＞0，c ＞b ＞0，即0＜a c ＜1,0＜b c ＜1. 当n ＞2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝1，即a n ＋b n ＜c n .方法二：特值法，令c ＝2，a ＝b ＝1.答案：a n ＋b n ＜c n3．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．4．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0，求证：a ＞0且－2＜b a ＜－1.证明：∵f (0)＞0，∴c ＞0，又∵f (1)＞0，即3a ＋2b ＋c ＞0①而a ＋b ＋c ＝0即b ＝－a －c 代入①式，∴3a －2a －2c ＋c ＞0，即a －c ＞0，∴a ＞c .∴a ＞c ＞0.又∵a ＋b ＝－c ＜0，a ＋b ＜0.∴1＋b a ＜0.∴b a ＜－1.又c ＝－a －b ，代入①式得，3a ＋2b －a －b ＞0，∴2a ＋b ＞0.∴2＋b a ＞0.∴b a ＞－2.故－2＜b a ＜－1.综上，a ＞0且－2＜b a ＜－1.5．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 证明：要证明12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22， 即证明12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证明12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>tan x 1＋x 22， 只需证明sin (x 1＋x 2)2cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2). 由于x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故x 1＋x 2∈(0，π)． ∴cos x 1cos x 2>0，sin(x 1＋x 2)>0，1＋cos(x 1＋x 2)>0，故只需证明1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证1＋cos x 1cos x 2－sin x 1sin x 2>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.由x 1、x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 1≠x 2知上式是显然成立的． 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22. 6．已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1. (1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围；(2)设m ，n ∈R ＋，且m >n ，求证：m －n ln m －ln n <m ＋n 2. 解析：(1)f ′(x )＝1x －a (x ＋1)－a (x －1)(x ＋1)2＝(x ＋1)2－2ax x (x ＋1)2＝x 2＋(2－2a )x ＋1x (x ＋1)2. 因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．即x 2＋(2－2a )x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．当x ∈(0，＋∞)时，由x 2＋(2－2a )x ＋1≥0，得2a －2≤x ＋1x .设g (x )＝x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．g (x )＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2， 所以当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，即g (x )的最小值为2.则2a－2≤2，即a≤2.故a的取值范围是(－∞，2]．(2)证明：要证m－nln m－ln n<m＋n2，只需证mn－1lnmn<mn＋12，即证ln mn>2⎝⎛⎭⎪⎫mn－1mn＋1，则只需证ln mn－2⎝⎛⎭⎪⎫mn－1mn＋1>0.设h(x)＝ln x－2(x－1)x＋1.由(1)，知h(x)在(1，＋∞)上是单调递增函数，又mn>1，所以h⎝⎛⎭⎪⎫mn>h(1)＝0.即lnmn－2⎝⎛⎭⎪⎫mn－1mn＋1>0成立．所以m－nln m－ln n<m＋n2.。
2019年高考全国Ⅰ卷文科数学真题(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[-π，π]的图像大致为a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．B．C．D．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°=A．-2-3B．-2+3C．2-3D．2+38．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a-b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+10．双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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开卷速查 规范特训课时作业 实效精炼开卷速查(50) 两条直线的位置关系、距离公式一、选择题1．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．－6D ．2或－6解析：由题意 ，点A (1,0)不在直线x ＋2y －3＝0上，则－12＝－a4，∴a ＝2，又点A 到两直线的距离相等，∴|b ＋2|＝4，∴b ＝－6或b ＝2，又∵点A 不在直线上，两直线不重合，∴b ＝2.答案：A2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．答案：A3．设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：由a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0. ∴两直线垂直． 答案：C4．过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( )A ．y ＝1B ．2x ＋y －1＝0C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0解析：①当过点P 的直线无斜率时，其方程为x ＝0，不满足条件．②设过点P 的直线方程为y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0， 由条件得|3k －3＋1|k 2＋1＝|5k －(－1)＋1|k 2＋1.即|3k －2|＝|5k ＋2|，解得k ＝0 或k ＝－2. 故所求直线方程为y ＝1或2x ＋y －1＝0. 答案：C5．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1,1)对称的直线方程为( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －3解析：设直线y ＝2x ＋1上任意一点．(x 0，y 0)关于点(1,1)对称点为 (x ，y )，则⎩⎨⎧x 0＝2－x ，y 0＝2－y .又y 0＝2x 0＋1，故2－y ＝2(2－x )＋1，化简得y ＝2x －3，选D.答案：D6．已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)、B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 解析：l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，－2b ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2. 答案：B7．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：由⎩⎨⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0，得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，∴|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0. 答案：C8．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )A.79B ．－13C ．－79或－13D.79或13解析：由题意知|6a ＋3＋1|a 2＋1＝|－3a －4＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或a ＝－79. 答案：C9．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．2 3B ．3 3C ．3 2D ．4 2解析：由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1、l 2且到l 1、l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴点M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2.答案：C10．点(1，cos θ)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14(0°≤θ≤180°)，那么θ＝( )A ．150°B ．30°或150°C ．30°D ．30°或210°解析：由题意知14＝|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝|sin θ－sin 2θ|，又0≤sin θ≤1，∴sin 2θ－sin θ＋14＝0，⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－122＝0. ∴sin θ＝12.又0°≤θ≤180°，∴θ＝30°或150°. 答案：B 二、填空题11．过点A (2，－3)，且与向量m ＝(4，－3)垂直的直线方程是__________．解析：与向量平行的直线斜率为－34，则与其垂直的直线斜率为43， ∴直线方程 为y ＋3＝43(x －2)，即4x －3y －17＝0. 答案：4x －3y －17＝012．已知A (3,1)、B (－1,2)，若∠ACB 的平分线在y ＝x ＋1上，则AC 所在直线方程是__________．解析：方法一：设点A 关于直线y ＝x ＋1对称的点A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－3＝－1，y 0＋12＝x 0＋32＋1，解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝4，即A ′(0,4)．∴直线A ′B 的方程为2x －y ＋4＝0.由⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，y ＝x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－2，即C (－3，－2)．∴直线AC 的方程为x －2y －1＝0.方法二：设点B 关于直线y ＝x ＋1的对称点B ′(x 0，y 0)，则x 0＝2－1＝1，y 0＝－1＋1＝0，即B ′(1,0)故AC 方程为(3－1)(y －0)＝(1－0)(x －1)， 即x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝013．函数y ＝a 2x －2(a ＞0，a ≠1)的图像恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为__________．解析：方法一：由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2 (a ＞0，a ≠1)的图像恒过点A (1,1)，而A ∈l ，∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1. 由基本不等式可得m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12.O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n2≤122＝2，故O 到直线l 的距离的最大值为 2.方法二：∵直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A (1,1)，∴坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为|OA |＝ 2.答案： 214．若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75° 其中正确答案的序号是__________．解析：两直线x －y ＋1＝0与x －y ＋3＝0之间的距离为|3－1|2＝2，又动直线l 1与l 2所截得的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．答案：①⑤ 三、解答题15．已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程．(1)l ′与l 平行且过点(－1,3)；(2)l ′与l 垂直且l ′与两坐标轴围成的三角形面积为4； (3)l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线.解析：(1)直线l ：3x ＋4y －12＝0，k l ＝－34. 又∵l ′∥l ，∴k l ′＝k l ＝－34.∴直线l ′为y ＝－34(x ＋1)＋3，即3x ＋4y －9＝0. (2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43.设l ′与x 轴截距为b ，则l ′与y 轴截距为－43b ， 由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43b ＝4，∴b ＝±6. ∴直线l ′为y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)． (3)∵l ′是l 绕原点旋转180°而得到的直线， ∴l ′与l 关于原点对称．任取点(x 0，y 0)在l 上，则在l ′上对称点为(x ，y )． x ＝－x 0，y ＝－y 0，则－3x －4y －12＝0. ∴直线l ′为3x ＋4y ＋12＝0. 答案：(1)3x ＋4y －9＝0； (2)y ＝43(x ＋6)或y ＝43(x －6)； (3)3x ＋4y ＋12＝0.16．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．解析：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0， 即a 2－a －b ＝0.①又点(－3，－1)在l 1上，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a 1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为 (a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0， (a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0.又原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a .∴a ＝2或a ＝23. ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.答案：(1)a ＝2，b ＝2；(2)a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.创新试题 教师备选教学积累 资源共享1．[2018·福建模拟]若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．2 3解析：设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.答案：C2．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为__________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,23．[2018·临沂模拟]已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是__________．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]4．[2018·舟山模拟]已知1a ＋1b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．解析：点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a 2＝2b 2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．所以点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105. 答案：35＋2105。