人教a版数学选修 第二章 推理与证明 2.2.1综合法与分析法含答案
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学案(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A
2．2.1 综合法和分析法[目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法的思考过程、特点.2.会用综合法和分析法证明数学问题．[重点] 综合法与分析法的逻辑思维过程与逻辑思维方法．[难点] 综合法与分析法的应用．知识点一综合法[填一填]一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：[答一答]1．综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？提示：是必要条件，由综合法的特点，它的每一步推证都是由“已知”推出“新结论”，直至要证的结论．其实质是命题“p⇒q”中已知p寻找q，即是寻找必要条件．2．综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．知识点二分析法[填一填]1．分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：[答一答]3．(1)分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？(2)分析法中每一步寻找的是充分条件还是必要条件？为什么？提示：(1)分析法的推理过程属于演绎推理，这是因为在分析法的推理过程中，每一步推理都是严密的逻辑推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．(2)分析法每一步寻找的都是充分条件而不是必要条件，分析法的证明过程常采用“欲证Q只需证P”的形式表示，亦即只要P成立，就一定有Q成立，因此P是Q的充分条件，当然P是Q的充分必要条件时也可以．综合法和分析法的关系分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析，有时分析找思路，综合写解答．类型一 综合法的应用【例1】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求证：A 的大小为60°；(2)若sin B ＋sin C ＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形． 【证明】 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， ∴2a 22R ＝(2b －c )·b 2R ＋(2c －b )·c2R， 即2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理推证：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，∴B ＝120°－C ， ∵sin B ＋sin C ＝3，∴sin(120°－C )＋sin C ＝3，即sin120°cos C －cos120°sin C ＋sin C ＝3， 可得32cos C ＋32sin C ＝ 3.从而得3sin(30°＋C )＝3， ∴sin(30°＋C )＝1，又0°<C <120°，则30°<30°＋C <150°. ∴30°＋C ＝90°，∴C ＝60°. ∴B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．综合法从正确地选择已知或真实的命题出发，依次推出一系列的真实命题，最后达到我们所需要证明的结论.在运用综合法证明命题的时候，必须首先找到正确的出发点，也就是想到能从哪里起步.一般地，要广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层递进，步步为营，由已知逐渐地引导到结论.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( B )A．a1a8>a4a5B．a1a8<a4a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a5解析：设等差数列的公差为d，则a1a8＝a1(a1＋7d)＝a21＋7a1d，a4a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a21＋7a1d＋12d2，∵d≠0，∴a4a5>a1a8.类型二分析法的应用【例2】已知a>5，求证：a－5－a－3<a－2－a.【证明】要证a－5－a－3<a－2－a，只需证a－5＋a<a－3＋a－2，只需证(a－5＋a)2<(a－3＋a－2)2，只需证2a－5＋2a2－5a<2a－5＋2a2－5a＋6，只需证a2－5a<a2－5a＋6，只需证a2－5a<a2－5a＋6，只需证0<6.因为0<6恒成立，所以a－5－a－3<a－2－a成立．对于含有多个根号的证明题易采用分析法，在证明时应先保证式子两边为正，才能进行平方，即要保证等价变形.求证：3＋22<2＋7. 证明：要证明3＋22<2＋7， 由于3＋22>0,2＋7>0， 只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，需要证明6<7， 只需证明6<7，显然6<7成立， ∴3＋22<2＋7成立．类型三 综合法与分析法的综合应用【例3】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .【思路分析】 本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．【证明】 要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg(a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2)>lg(a ·b ·c )，即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc .因为a ，b ，c 为不全相等的正数， 所以a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ac >0，且上述三式中等号不能同时成立． 所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，所以lg a ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立．对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用.设x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.证明：证法1：(综合法) 左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋xy) ＝4＋2(y x ＋x y)＋1≥5＋4＝9＝右边． 证法2：(分析法)∵x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，只需证明(1＋1x )(1＋11－x )≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )，即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0， 即证(2x －1)2≥0，此式显然成立，所以原不等式成立．综合法与分析法的综合应用【例4】 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. 【思路分析】 求导→根据切线过点P 及切线斜率列方程组→求出a ，b→构造辅助函数→利用导数求最值证明结论【解】 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0f ′1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝01＋2a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3.(2)证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －12x ＋3x.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 因此，函数g (x )在x ＝1处取得最大值，而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.【解后反思】 本题第(2)问欲证f (x )≤2x －2，只需构造函数g (x )＝f (x )－(2x －2)，证明g (x )≤0即可．这种证明的方法就是用分析法寻找证题的思路，用综合法的形式书写，阐述解题过程．这种证明问题的方法就是一种综合法与分析法的有机结合．设a 为实数，函数f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln2－1且x >0时，e x>x 2－2ax ＋1.解：(1)由f (x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x－2，x ∈R . 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，ln2)ln2 (ln2，＋∞)f ′(x )－＋f (x ) 单调递减 2(1－ln2＋a ) 单调递增故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f (x )在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f (ln2)＝2(1－ln2＋a )，无极大值．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x－2x ＋2a ，x ∈R . 由(1)知，当a >ln2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g (x )>0，即e x－x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.1．下面叙述正确的是( A ) A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 解析：直接证明包括综合法和分析法．2．欲证不等式3－5<6－8成立，只需证( C ) A ．(3－5)2<(6－8)2B ．(3－6)2<(5－8)2C ．(3＋8)2<(6＋5)2D ．(3－5－6)2<(－8)2解析：要证3－5<6－8成立，只需证3＋8<6＋5成立，只需证(3＋8)2<(6＋5)2成立．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a 、b 、c 应满足的条件是( C )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，知b 2＋c 2－a 2<0，所以a 2>b 2＋c 2.故选C.4．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0，由于(a －b )2≥0显然成立，因此原不等式成立．解析：用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．5．设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：证法1：(分析法) 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立． 而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证． 证法2：(综合法)a ≠b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2>0⇔a 2－2ab ＋b 2>0⇔a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． 所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.。
高中数学第二章推理与证明2.2.1.1综合法课时素养评价含解析新人教A版选修2_
学习资料课时素养评价十六综合法(20分钟35分)1。
设a，b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a,b，c,d满足ab≥4,c+d≤4,则( )A。
a∧b≥2,c∧d≤2 B。
a∨b≥2,c∧d≤2C。
a∧b≥2,c∨d≥2 D。
a∨b≥2，c∨d≥2【解析】选B.因为a∧b=a∨b=正数a,b，c，d满足ab≥4,c+d ≤4,所以不妨令a=1,b=4,则a∧b≥2错误，故可排除A，C,再令c=1，d=1满足c+d≤4,但不满足c∨d≥2，故可排除D.2。
等差数列{a n｝的首项为1,公差不为0.若a2，a3,a6成等比数列,则｛a n｝前6项的和为（)A.—24 B。
—3 C.3 D。
8【解析】选A。
设等差数列的公差为d，d≠0,=a2·a6⇒(1+2d）2=(1+d)(1+5d），d2=-2d(d ≠0），所以d=-2，所以S6=6×1+×（—2)=-24。
3。
在不等边三角形中,a为最长边,要想得到∠A为钝角的结论,三边a，b,c应满足条件（)A。
a2<b2+c2 B.a2=b2+c2C.a2>b2+c2D。
a2≤b2+c2【解析】选C。
由cos A=〈0知,b2+c2-a2〈0,所以a2>b2+c2.4。
已知p=a+（a>2)，q=（a>2）,则( )A.p>qB.p〈qC.p≥qD.p≤q【解析】选A。
因为a>2,所以a-2〉0，所以p=a+=（a-2）++2≥2+2=4,当且仅当a=3时取“=”。
又-a2+4a-2=-(a-2）2+2<2,所以q=<22=4，所以p>q。
5.设e1,e2是两个不共线向量,则向量e1+λe2(λ∈R)与向量2e1—e2共线的充要条件是________.【解析】依题意得e1+λe2=k（2e1—e2),整理得（2k—1）e1+（-λ—k）e2=0。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法习
解析：由综合法和分析法的定义及推理过程可知A，B，D 正确，C错误．
答案：C
2．证明命题“f(x)＝ex＋
1 ex
在(0，＋∞)上是增函数”，一个
同学给出的证法如下：
∵f(x)＝ex＋e1x，∴f′(x)＝ex－e1x.
∵x＞0，∴ex＞1,0＜e1x＜1.
∴ex－e1x＞0，即f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( )
A．综合法 B．分析法 C．综合法与分析法结合使用 D．以上都不是 解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应 选A.
答案：A
3．某同学证明不等式 7－1＞ 11－ 5的过程如下： 要证 7－1＞ 11－ 5，只需证 7＋ 5＞ 11＋1，即证7＋ 2 7×5 ＋5＞11＋2 11 ＋1，即证 35 ＞ 11 ，即证35＞11.因为 35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是 ()
答案：a＞c＞b
8．已知p＝a＋
1 a－2
(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q
的大小关系是________．
解析：p＝a－2＋a－1 2＋2≥2 a－2·a－1 2＋2＝4， －a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.
答案：p>q
9．若不等式(－1)na<2＋
A．综合法 B．分析法 C．综合法，分析法结合使用 D．其他证法 解析：根据分析法的思维特点可判定出来．
答案：B
4．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a＞b＞
c，且a＋b＋c＝0，求证： b2－ac< 3a索的因应是( )
A．a－b＞0
B．a－c＞0
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学案(含解析)新人教A版选修22
2.2.1 综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． [知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2．必修五中基本不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． [预习导引] 1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.②由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.证明 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b ≥21ab>0，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b . 要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证明： log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log x a ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy＝2.证明 由已知条件得b 2＝ac ， ① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ， 只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y2<y ，故选D. 2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础达标1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sinB ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β.其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ， 故ab <1，a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b22>1>ab .5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法6．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c ＞b .7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明 法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升8．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .9．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab >0 B ．ab <0 C ．a >0，b <0 D ．a >0，b >0答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，b a<0， 即ab <0.又若ab <0，则a b <0，b a<0. ∴a b ＋b a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－2， 综上，ab <0是a b ＋b a ≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋b a≤－2成立的一个充分而不必要条件． 10．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可． 11．已知a ＞0，b ＞0，1b －1a＞1.求证：1＋a ＞11－b.证明 要证1＋a ＞11－b成立，只需证1＋a ＞11－b，只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1， ∴a －b ＞ab ，只需证：a －b ab ＞1，即1b －1a＞1. 由已知a ＞0，1b －1a＞1成立，∴1＋a ＞11－b成立．12．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与创新13．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n①当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n 整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n n＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n2＜1n －n ＝1n －1－1n (n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。
人教A版高中数学选修一第二章推理与证明答案.docx
第二章合情推理与演绎推理答案 2.1.1 合情推理与演绎推理(1)1、d n a a n )1(1-+=2、B3、A4、()nn n n )1(1169411+-++-+-+Λ 5、θθθn cos 23cos 22cos 2 6、V+F —E=2 7、解：9)5(,5)4(,2)3(,0)2(====f f f f可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数 4)4()5(,3)3()4(,2)2()3(=-=-=-∴f f f f f f 猜测得出1)1()(-=--n n f n f 有)1(432)2()(-++++=-n f n f Λ)2)(1(21)(-+=∴n n n f 因此)2)(1(21)(,5)4(-+==n n n f f8、解：4211223⨯=432212233⨯=+44332122333⨯=++4544321223333⨯=+++()414321223333+=+++++n n Λ由此可以有求和的一般公式为()414321223333+=+++++n n Λ2.1.2合情推理与演绎推理(2)1、C2、D3、D4、类比5、（1）圆柱面（2）两个平行平面6、()()()x C x S x S 22= ()()()()()y S x C y C x S y x S +=+7、在等比数列{}n a 中，若q p n m +=+，()*,,,Nq p n m ∈，则q p n ma a a a⋅=⋅8、（1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍，（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍。
人教版高中数学选修2-2习题第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法
第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明综合法与剖析法A 级基础稳固一、选择题1．“ a＞ 0”是“|a＞ 0”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：由于 |a|＞ 0?a＞ 0 或 a＜ 0，且 a＞ 0? |a|＞ 0，但 |a|＞ 0， a＞ 0，因此“a＞ 0”是“|a ＞ 0”的充足不用要条件．答案： A2．剖析法又称执果索因法，若用剖析法证明“设 a＞ b＞ c，且 a＋b＋ c＝ 0，求证2b － ac＜ 3a”索的因应是 ()A． a－ b＞ 0B． a－ c＞ 0C． (a－ b)( a－ c)＞ 0D． (a－ b)(a－ c)＜ 0分析：要证明b2－ ac＜3a，只需证 b2－ ac＜ 3a2，只需证 (a＋ c) 2－ ac＜ 3a2，只需证－ 2a2＋ ac＋ c2＜ 0，即证 2a2－ ac－ c2＞ 0，即证 (a－c)(2a＋ c)＞ 0，即证 (a－b)( a－ c)＞ 0.答案： C3．在△ ABC 中，已知sin Acos A＝ sin Bcos B，则该三角形是 ()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形分析：由 sin Acos A＝ sin Bcos B 得 sin 2A＝ sin 2B，因此 2A＝ 2B 或 2A＝π－ 2B，即 A＝πB 或 A＋ B＝2.因此该三角形是等腰或直角三角形．答案： D4．关于不重合的直线m， l 和平面α，β，要证明α⊥ β，需要具备的条件是()A． m⊥ l， m∥ α， l∥ β B． m⊥ l，α∩β＝ m， l?αC． m∥ l， m⊥ α， l⊥ β D． m∥ l， l⊥ β，m?α分析：关于选项 A ，与两互相垂直的直线平行的平面的地点关系不可以确立；关于选项平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的地点关系不可以确立；关于选项B，C，这两个平面有可能平行或重合；依据面面垂直的判断定理知选项 D 正确．答案： D5．下边的四个不等式：2221① a ＋ b ＋ c ≥ ab＋ bc＋ ca；② a(1－ a) ≤；4③ba＋ab≥ 2；④ (a2＋ b2) ·(c2＋ d2) ≥(ac＋ bd)2.此中恒建立的有()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个分析：由于a2＋ b2＋ c2－ (ab＋ bc＋ ca)＝12≥0； a(1－ a)－14＝－ a2＋ a－14＝12－ a－≤ 0； (a2＋ b2·2＋ d2＝ 2 2＋a22＋b22＋ b2 2≥ a2 2＋ 2abcd＋ b2 2＝ (ac＋ bd)2；2) (c) a c d cdc d而③中，当a·b＞ 0 时，不等式建立．因此①②④正确．答案： C二、填空题6．已知 a≥0，b≥ 0，且 a＋ b＝ 2，则 a2＋ b2≥ __________( 填常数 )．分析：由 a＋ b＝2 可得 ab≤1，又 a2＋ b2＝ 4－ 2ab，因此 a2＋ b2≥ 2.答案： 27．已知函数 f(x)＝ 2x， a， b 为正实数， A＝ f a＋b， B＝ f(ab)， C＝ f2ab，则 A， B，2a＋ bC 的大小关系是 __________．a＋ b2ab≤ ab，分析：由于2≥ ab( a， b 为正实数 )，＋a b且 f(x)＝ 2x是增函数，2ab＋因此 f a＋b≤ f( ab) ≤f a2b，即 C≤B≤A.答案： C≤B≤A1118．设 a＞ 0， b＞ 0， c＞0，若 a＋ b＋ c＝ 1，则a＋b＋c的最小值为 ________．111分析：依据条件可知，欲求＋＋的最小值．1 11只需求 (a＋ b＋ c) a＋b＋c的最小值，111由于 (a ＋b ＋ c) ＋ ＋ ＝b ＋ ac ＋ a c ＋b 3＋ a b ＋a c ＋bc ≥ 3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9(当且仅当 a ＝ b ＝ c 时取 “＝ ”)．答案： 9三、解答题9.如下图， SA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ BC ，过点 A 作 SB 的垂线，垂足为E ，过点 E 作 SC的垂线，垂足为F.求证： AF ⊥ SC.证明：要证 AF ⊥ SC ，而 EF ⊥SC ，故只需证 SC ⊥平面 AEF ，只需证 AE ⊥ SC ，而 AE ⊥ SB ，故只需证 AE ⊥平面 SBC ，只需证 AE ⊥ BC ，而 AB ⊥BC ，故只需证 BC ⊥平面 SAB ，只需证 BC ⊥ SA.由 SA ⊥平面 ABC 可知， SA ⊥ BC ，即上式建立，因此 AF ⊥ SC 建立．sin （ 2α－ β）β10．求证： 2cos (α－ β)－sin α＝ sin .sin α证明：要证原等式，只需证： 2cos (α－ β)sin α－ sin (2α－ β)＝ sin β，①由于①左侧＝ 2cos (α－ β)sin α－ sin ＝2cos (α－ β)sin α－ sin (α－β)cos α－ cos (α－ β)sin α＝cos (α－ β)sin α－ sin (α－ β)cos α＝ sin β.因此①建立，因此原等式建立． 1．若a ＜b ＜c ，则函数f(x)＝ (x －B 级能力提高a)( x － b)＋ (x － b)( x － c)＋ (x －c)(x － a)的两个零点分别位于区间( )A ． (a ， b)和 (b ， c)内C ． (b ， c)和 (c ，＋ ∞)内B ． (－ ∞， a)和 (a ， b)内D ． (－ ∞， a)和 (c ，＋ ∞)内分析：由于 a ＜ b ＜ c ，因此 f(a)＝ (a － b)( a － c)＞ 0， f(b)＝ (b － c)(b － a)＜ 0， f (c)＝ (c － a)(c－ b)＞ 0，由零点存在性定理知，选项A 正确．答案： A2.如下图，四棱柱 ABCD -A 1B 1C 1D 1 的侧棱垂直于底面，知足__________________ 时，BD ⊥ A 1C(写上一个条件即可 )．分析：要证 BD ⊥ A 1C ，只需证 BD ⊥平面 AA 1 C.由于 AA 1⊥ BD ，只需再增添条件AC ⊥ BD ，即可证明 BD ⊥平面 AA 1C ，进而有 BD ⊥ A 1C.答案： AC ⊥ BD (答案不独一 )＋，求证：a 2 ＋b 2 ＋c 2≥a ＋b ＋c 3．已知 a 、 b 、 c ∈ R 33 .证明：要证 a 2＋ b 2＋ c 2 a ＋ b ＋ c3 ≥，3 a 2＋ b 2＋ c22a ＋b ＋ c，只需证3≥3222222只需证 3(a ＋ b ＋ c ) ≥a ＋b ＋ c ＋2ab ＋ 2bc ＋ 2ca ，只需证 (a － b)2＋ (b － c)2＋ (c － a)2≥ 0，而这是明显建立的，a 2＋b 2＋c 2≥a ＋b ＋ c因此建立．33。
人教A版数学选修1-22.2.1
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合
法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使
它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
数
学 选
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只
因为 a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立，
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学
选 修
所以 a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．
人
教 A
综上所述，不等式得证．
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第二章 推理与证明
『规律方法』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不
等式和逻辑推理的基本理论；
典例3 已知 a、b、c 表示△ABC 的三边长，m>0，求证：a＋a m＋b＋b m>c＋c m. [解析] 要证明a＋a m＋b＋b m>c＋c m.
只需证明a＋a m＋b＋b m－c＋c m>0 即可，
所以a＋a m＋b＋b m－c＋c m＝
数 学 选
ab＋mc＋m＋ba＋mc＋m－ca＋mb＋m
第二章 推理与证明
C 先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由
分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C 先
生很感激．车上的人开始小声议论 C 先生是骗钱的，
就在 C 先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小
伙子大声问：“能不能借一下您的手机？”C 先生递过手机，小伙子拨了个号
数 学
码，说了两三分钟的话，C 先生想这下可以证明我的清白了．下车后 C 先生打
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法和分析法学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2(
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2.2。
1 综合法和分析法学业分层测评（建议用时:45分钟）［学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ＋sin2θ)（cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( ) A．分析法B．综合法C．分析法和综合法综合使用D．间接证法【解析】此证明符合综合法的证明思路．故选B.【答案】B2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0,只需证（)A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－a2＋b22≤0C。
错误!－1－a2b2≤0D．（a2－1)(b2－1)≥0【解析】要证a2＋b2－1－a2b2≤0,只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，只需证（a2－1）（b2－1）≥0,故选D。
【答案】D3．在集合{a，b，c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么,d⊗（a⊕c)等于（)A．a B．bC．c D．d【解析】由⊕运算可知,a⊕c＝c,∴d⊗(a⊕c）＝d⊗c.由⊗运算可知，d⊗c＝a.故选A。
高中数学选修1-2(人教A版)第二章推理与证明2.1知识点总结含同步练习及答案
sin (200 ∘ + α) + cos (200 ∘ + α + 30∘ ) + sin α cos (α + 30∘ ) =
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分别为 S 1 ，S 2 ，EF ∥ AB 且 EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 m : n ，则 △OEF 的面积 S 0 与
S 1 ，S 2 的关系是 (
)．
mS 1 + nS 2 m+n − − − − m√S 1 + n√S 2 − − C．√S 0 = m+n
A．S 0 =
答案： C
nS 1 + mS 2 m+n − − − − n√S 1 + m√S 2 − − D．√S 0 = m+n
B．S 0 =
4. 观察 sin 220 ∘ + cos 250 ∘ + sin 20∘ cos 50∘ = 个与以上两式规律相同的一个等式
答案：
．
3 3 ，sin 215 ∘ + cos 245 ∘ + sin 15∘ cos 45∘ = ，写出一 4 4 3 4
3. 如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥ DC，AB = a，CD = b (a > b) 若 EF ∥ AB，EF 到 CD 与
ma + nb ．试用类比的方法，推想出下述问题的结 m+n 果．在上面的梯形 ABCD 中，延长梯形两腰 AD ，BC 相交于 O 点，设 △OAB，△OCD 的面积 AB 的距离之比为 m : n ，则可推算出：EF =
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1. 下列说确的 B．合情推理必须有前提有结论 C．合情推理不能猜想 D．合情推理得出的结论无法判定正误
高中数学人教A版选修1-2 第二章 推理与证明 2.2.1综合
综合法与分析法1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定B由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形． 2．已知x 、y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x·2lg yD 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y.3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<1<abBab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22<a 2＋b 22(a ≠b )． 4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定C因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x ＜0，所以b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，所以b ＝1＋x >2x ＝a ，所以a <b <c .可用特值法：取x ＝12，则a ＝1，b ＝32，c ＝2.5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y2<yD∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y2<y ，故排除A 、B 、C ，选D.6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AAa ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f (a ＋b2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 7．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( ) A ．3f (ln2)>2f (ln3) B ．3f (ln2)<2f (ln3)C ．3f (ln2)＝2f (ln3)D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确定B 令F (x )＝f ln x x (x >0)，则F ′(x )＝f ′ ln x －f ln xx 2，∵x >0，∴ln x ∈R ，∵对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )，∴f ′(ln x )>f (ln x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )为增函数，∵3>2>0，∴F (3)>f (2)，即f ln3 3>f ln22，∴3f (ln2)<2f (ln3)．8．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应满足的条件是( ) A ．ab <0且a >b B ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <bD 3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ； 当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .9．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)B∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.10．在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论：①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个． ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0A∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A.。
高中数学人教版选修1-2习题第2章 推理与证明2.2.1 Word版含解析
选修第二章一、选择题．关于综合法和分析法的说法错误的是( )．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法．分析法又叫逆推证法或执果索因法[答案][解析]综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项错误．．“对任意角θ，都有θ－θ＝θ”的证明过程：“θ－θ＝(θ－θ)(θ＋θ)＝θ－θ＝θ”应用了( )．分析法．综合法．综合法与分析法结合使用．间接证法[答案][解析]证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．．若<<，则下列不等式中成立的是( )．< ．＋>＋．＋>＋．<[答案][解析]∵<<，∴>，又∵>，∴＋>＋.．欲证－<－，只需要证( )．(－)<(－)．(－)<(－)．(＋)<(＋)．(－－)<(－)[答案][解析]将不等式等价转化为＋<＋.由于两边都为正数，所以可平方化简．．＝＋，＝·(、、、、、均为正数)，则、的大小为( )．≥．≤．> ．不确定[答案][解析]＝≥＝＋＝.．已知函数()＝，、∈＋，＝，＝()，＝，则、、的大小关系为( )．≤≤．≤≤．≤≤．≤≤[答案][解析]≥≥，又函数()＝()在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴()≤()≤()．二、填空题．若α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，则(α－β)＝[答案]－[解析]条件变为α＋β＝－γ，α＋β＝－γ，两式平方相加可推得结论(α－β)＝－.．如果＋>＋，则实数、应满足的条件是[答案]≠且≥，≥[解析]＋>＋⇔＋－－>⇔(－)＋(－)>⇔(－)(－)>⇔(＋)(－)>只需≠且、都不小于零即可．．在算式－△＝×□中的△，□内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对(△，□)应为[答案]()[解析]设(△，□)为(，)，则－＝，即＋＝，＋＝(＋)·＝≥＝，当且仅当＝，即＝时等号成立．又有＋＝，可得＝，＝.三、解答题．若、、是不全相等的正数，求证：＋＋>＋＋[解析]解法一(分析法)：要证＋＋>＋＋，即要证(··)>()，只需证··>.∵≥>，≥>，≥>，∴··≥>.(*)又∵、、是不全相等的正数，∴(*)式中等号不成立，∴原不等式成立．解法二(综合法)：∵、、∈*，∴≥>，≥>，·≥>.又∵、、是不全相等的正数，∴··>.∴(··)> ()．。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.2.1.1 含解析
2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法课时过关·能力提升基础巩固1如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列,那么这个等比数列的公比等于()A.1B.2C.3D.4a1,公差为d,等比数列的公比为q,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d.因为a2,a3,a6构成等比数列,所以a32=a2·a6,所以a1=−d2.所以q=a3a2=3.故选C.2对“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a=b中,至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中正确判断的个数为()A.0B.1C.2D.33已知x≥52,则a(a)=x2-4x+52x-4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1(x)=12·(x-2)2+1x-2=12(x-2+1x-2)≥12×2=1,当且仅当(x-2)2=1,即x=3时,等号成立.故选D.4在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定tan A ·tan B>1,∴角A ,角B 只能都是锐角.∴tan A>0,tan B>0,1-tan A ·tan B<0. ∴tan(A+B )=tanA+tanB1-tanA ·tanB <0. ∴A+B 是钝角.∴角C 为锐角.故选A .5设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a+b=2,则必有( )A.1≤ab ≤a 2+b 22B.aa <1<a 2+b 22C.ab <a 2+b 22<1D.a 2+b 22<aa <16在△ABC 中,已知cos A cos B>sin A sin B ,则△ABC 的形状一定是 .cos A cos B>sin A sin B ,所以cos A cos B-sin A sin B=cos(A+B )>0. 故cos C<0,角C 为钝角,即△ABC 为钝角三角形.7若lg x+lg y=2lg(x-2y ),则l og √2xy = .{lg (xy )=lg (x -2y )2,x >0,y >0,x -2y >0,即x 2-5xy+4y 2=0,解得xy =1或x y =4. 因为x>2y ,所以xy =4,即l og √2xy =log √24=4.8函数y=f (x )的图象关于直线x=1对称,若当x ≤1时,f (x )=(x+1)2-1,则当x>1时,f (x )的解析式为 .(x 0,y 0)(x 0≤1)在函数f (x )=(x+1)2-1的图象上,又设点(x 0,y 0)关于x=1的对称点为(x',y'). 由对称可知{x '=2-x 0,y '=y 0,则{x 0=2-x ',y 0=y ',将点(2-x',y')的坐标代入f(x)=(x+1)2-1,得y'=(2-x'+1)2-1,即y'=(x'-3)2-1,所以当x>1时,f(x)的解析式为f(x)=(x-3)2-1.(x)=(x-3)2-19设a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求1a +1b+1c的最小值.=1+ba +ca+1+ab+cb+1+ac+bc≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.故所求最小值为9.10设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证:1a +1b+1c>√a+√b+√c.abc=1代入,再利用基本不等式进行推证.a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,∴1a+1b+1c=aa+aa+aa.又bc+ca≥2√bc·√ca=2√c,ca+ab≥2√ca·√ab=2√a,ab+bc≥2√ab·√bc=2√b,且a,b,c不全相等, ∴上述三个不等式中的“=”不能同时成立.∴2(bc+ca+ab)>2(√c+√a+√b),即bc+ca+ab>√a+√b+√c.故1a+1b+1c>√a+√b+√c.11在锐角三角形ABC中,已知3b=2√3a sin a,且cos a=cos a,求证:△ABC是等边三角形.3b=2√3a sin B,∴由正弦定理,得3sin B=2√3sin A sin B.∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴sin A=√3.∵△ABC是锐角三角形,∴A=π3.∵cos B=cos C,∴B=C.∴A=B=C=π3.∴△ABC是等边三角形.能力提升1设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数,若f (1)>1,f (2)=3a -4a+1,则a 的取值范围是( )A .a <34B.a <34,且a ≠-1 C .a >34或a <−1D.−1<a <34f (x )的周期为3,∴f (2)=f (-1).又f (x )是R 上的奇函数,∴f (-1)=-f (1). 则f (2)=f (-1)=-f (1).再由f (1)>1,可得f (2)<-1,即3a -4a+1<−1, 解得-1<a <34.2《算数书》竹简是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136a 2ℎ.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式a ≈275a 2ℎ相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A .227B.258C.15750D.355113L=2πr ,即r =L 2π,圆锥体积V =13a ℎ=13πa 2ℎ=13π·(L 2π)2ℎ=112πa 2ℎ≈275a 2ℎ,故112π≈275,π≈258,应选B .3若O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|),a ∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A .外心 B .内心C .重心D .垂心OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |),∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =a (AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |).∴AP 平分△ABC 中的∠BAC.∴动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.4已知函数f (x )=2x ,a ,b 为正实数,A=a (a+b2),a =a (√ab),a =a (2aba+b),则a ,a ,a 的大小关系是 .a+b2≥√ab(a ,a 为正实数),2aba+b ≤√ab,且f (x )=2x 在R 上是增函数,∴a (2aba+b )≤f (√ab)≤a (a+b2),即C ≤B ≤A.≤B ≤A5已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为 .sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,∴{sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.以上两式两边平方相加,得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,∴cos(α-β)=−12.12 ★6正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在正方体的表面上与点A 距离为2√33的点形成一条曲线,这条曲线的长度为 .ADD 1A 1上的一段是以A 为圆心,2√3为半径,π为圆心角的一段圆弧,在平面A 1B 1C 1D 1上的一段是以A 1为圆心,√3为半径,π为圆心角的一段圆弧,由正方体的对称性知,这条曲线的长度为3(π6×2√33+π2×√33)=5√36π.7数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n (n+1),n ∈N *. (1)证明:数列{a n n}是等差数列;(2)设b n =3n ·√a n ,求数列{aa }的前a 项和aa .a n+1n+1=a n n +1,即a n+1n+1−an n =1.所以数列{a nn }是以a11=1为首项,1为公差的等差数列.(1)得a n =1+(a −1)·1=n ,所以a n =n 2.从而b n =n ·3n .S n =1·31+2·32+3·33+…+n ·3n , ① 3S n =1·32+2·33+…+(n-1)·3n +n ·3n+1. ②①-②,得-2S n =31+32+…+3n -n ·3n+1 =3·(1-3n )1-3−a ·3n+1=(1-2n )·3n+1-32, 所以S n =(2n -1)·3n+1+3.★8如图所示,设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,证明:直线AC 经过原点O.,解决本题应先画出图形,将文字语言转化为图形语言,借助图形的直观性,帮助分析证题思路.抛物线的方程为y 2=2px (p>0),∴焦点为a (p2,0).∴设过点F 的直线AB 的方程为x=my +p. 由{x =my +p2,y 2=2px得y 2-2pmy-p 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是上述方程的两个根,∴y 1y 2=-p 2. ∵BC ∥x 轴,且点C 在准线x=−p2上, ∴点C 的坐标为(-p 2,y 2), ∴直线CO 的斜率k =y 2-p 2=2p y 1=y1x 1, 即k 也是直线OA 的斜率, ∴点A ,O ,C 在同一条直线上, ∴直线AC 经过原点O.。
数学新设计人教A选修1-2精练：第二章推理与证明2.2.1Word版含答案
2.2.1综合法和分析法 课后训练案巩固提升1.下列函数f(x)中,满足 对任意X 1,X 2€ (0, + 8),当X i <X 2时，都有f(X i )>f(X 2)"的是( )2B. f(X)= (X -1)D.f(x)=l n(x+ 1)(0,+ 8)内为减函数，其余选项均不符合 答案1A 2. 分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明设a>b>c ,且a+b+c= 0,求证: -a,则证明解析"必M £ 的a? b 2-ac< 3a 2? (a+c)2-ac< 3a 2? (a-c)(2a+c)> 0? (a-c)(a-b)>0.3.命题如果数列｛a n ｝的前n 项和S n =2n 2-3n,那么数列｛a n ｝一定是等差数列”是否成立( )A. 不成立B.成立C.不能断定 D .与n 取值有关解析:当 n 》2 时,a n =S n -S n-i = 4n-5,又 a i =S i =2X 12-3 x i=-1 适合上式，所以 a n =4n-5(n € N ),则 a n -a n-1 =n 4. 已知函数f(x)= cos(3x+ 4 0)是奇函数，则B 等于( )■TTB.k n +-(k € Z )tnD. —(k € Z )解析：因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f (x)对x € R 恒成立,即cos(-3x+ 4 0=-cos(3x+4 0),亦即cos(3x-4 0+cos(3x+4 0)=0,所以 2cos 3xcos 4 0=0,因此 cos 4 0=0,4 0=k n +t(k € Z ),解得 0= + S(k € Z ). 答案］ A 5.要证 a 2+b 2-1-a 2b 2w 0,只需证明( )$4■泸2 2 2 2 -----------------------------------------A. 2ab-1-a b < 0B.a+b -1- - w 0 3^---------- 2 2 2 2A. f(x)=XC.f(x)=e 解析：本题就是判断哪一个函数在 (0, + 8)内是减函数,A 项中,f(x)=-’=-一<0,所以f(x)=_在的依据应是( A .a-b>0 C. (a-b)(a-c)>0)B.a-c> 0D. (a-b)(a-c)< 0A.— I(k € Z ) C.k M k € Z )C. - -1-a b w 0D.(a-i)(b-1) >0 解析：•••a2+b2-1-a2b2w 0? (a2-l)(b2-1) >0,二由分析法知选D.答案:D6•已知a,b,c为正实数，且a+b+c= 1,求证匕llh ［8•证明过程如下因为a,b,c为正实数，且a+b+c= 1,1 fr+i 1 a+i 1 fl+6所以_-1= . >0, .-1= 目> 0, . -1= . > 0,所以fl_ b+匚a+tf 口+b、2“说-2斗五-2“£i占■- ■ . ■- .■ ■ 3: 一 . 一 . 一=8.当且仅当a=b=c时取等号，所以不等式成立•这种证法是___________ .解析］本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法• 答案综合法7•平面内有四边形ABCD和点O,且满足「.：二二二，则四边形ABCD为_________________ •解析:|因为0A + 0C = 0§ +丽所以顶一屈二而-0?,即亦二祁，故四边形ABCD为平行四边形•答案］平行四边形8•在锐角三角形ABC中，求证:tan Atan B>1.证明：要证tan Atan B> 1,只需证©訥> 1,因为A,B均为锐角，所以cos A>0,cos B> 0.因此只需证明sin As in B> cos Acos B,即cos Acos B-si n As in B<0,只需证cos(A+B)<0.而A ABC为锐角三角形，所以90° <A+B< 180 ° ,所以cos(A+B)<0显然成立，因此tan Atan B> 1.9. 如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA丄底面ABCD ,AB 丄AD,AC丄CD,/ABC= 60° ,PA=AB=BC，点E 是PC的中点•2 证明PD丄平面ABE.证明:|(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA丄底面ABCD,CD?平面ABCD, 所以PA丄CD.因为AC丄CD,PA H AC=A ,所以CD丄平面PAC. 又因为AE?平面PAC,所以CD丄AE.3 证明CD丄AE.(2)由 PA=AB=BC ，/ABC=60° ,可得 AC=PA. 因为点E 是PC 的中点，所以AE 丄PC. 由⑴知,AE 丄CD 又PC Q CD=C, 所以AE 丄平面PCD.又因为PD?平面PCD,所以AE 丄PD. 因为PA 丄底面 ABCD ,AB?平面 ABCD, 所以平面PA 丄AB. 又 AB 丄AD,PA A AD=A , 所以AB 丄平面PAD.因为PD?平面PAD,所以AB 丄PD. 又因为 AB A AE=A ,所以PD 丄平面 ABE. 10.已知A ABC 的三边a,b,c 的倒数成等差数列•试分别用分析法和综合法证明 B 为锐角•思路分析』在△ABC 中,要证B 为锐角，只需证cos B>0,结合余弦定理可解决问题. 证明:|分析法:要证明B 为锐角，只需证cos B> 0.•「COS B=上：巧,•••只需证明 a 2+c 2-b 2>0,即 a 2+c 2>b 2 又「a 2+c 2> 2ac, •只需证明 2ac>b 2..•.只需证明b(a+c)>b 2,即只需证明a+c>b. 而a+c>b 显然成立 故B 为锐角.2• a+c>b , • b(a+c)= 2ac>b .1.若 P=■-,Q=7(a > 0),则 P,Q 的大小关系是( )解析 当a=1时,P=1+2S 2Q =2+‡5P <Q ,故猜想当a >0时,P<Q.证明如下：要证 P<Q,只需证 P 2<Q 2,只需证 2a+7+2：<2a+7+2 一 -'':：,即证2 2a +7a<a +7a+12,只需证 0<12,v 0<12 成立,• P<Q 成立. 答案：| C‡ cos B=由已知2=1 + 1.，得 2ac=b综合法:由题意，得 则b=2acg“，「.b(a+c)=2ac.又「0<B< n ,. 0<B< 一，故B 为锐角.A. P>Q C. P<QB.P=Q D.由a 的取值决定•••A,B,C €2•在△ABC 中 “ ■■->0”是 △ABC 为锐角三角形”的（ ）C. 充要条件D.既不充分也不必要条件解析：|若A ABC 为锐角三角形，则A 必为锐角，因此一定有AB-A C >0,但当看/C >0时,只能得到A 为锐角，这时A ABC 不一定为锐角三角形 答案：B■ ----------------------------- + ---3.在A ABC 中,C= ,a,b,c 分别为 A,B,C 的对边，则汰木-剧卅= ____________解析:因为 C=s,所以a 2+b 2=c 2+ab,所以(a 2+ac)+(b 2+bc)=c 2+ab+ac+bc= (a+c)(b+c),所以 a I b _ (以+占毋枇坯+5勺 fr+r c+fi (b-i-c){c+d) = i答案：14.如图，在直四棱柱 A i B i C i D i -ABCD （侧棱与底面垂直）中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时，有A i C 丄B i D i （注:填上你认为正确的一种条件即可 ，不必考虑所有可能的情形）.A.充分不必要条件B. 必要不充分条件 解析：|要证明A i C 丄B i D 只需证明B i D i 丄平面A i C iC. 因为 CC i ± B i D i ,只要再有条件 B i D i 丄A i C i ,就可证明 从而得答案为B i D i 丄A i C i . 答案：|B i D i 丄A i C i （答案不唯一） 1,B i D i 丄平面 A iC i C,5.设 a,b,c,d 均为正数，求证:"'■-、—「——只需证 血'+ 护 + VC 2 + d z> (a+b )2+ (b+c)2,即证旳学… 沁》ac+bd ,就是证（a 2+b 2）（c 2+d 2） >（ac+bd ）2, 就是证 b 2c 2+a 2d 2> 2abcd, 也就是证（bc-ad ）2> 0,此式显然成立， 故所证不等式成立.6. 在锐角三角形 ABC 中，已知3b=2 asin B 且cos B=cos C,求证：A ABC 是等边三角形 证明：•「△ABC 为锐角三角形 证明要证明 ^2+^ +Vc 2 + d z > Jg + EF + 3+d)：成立由正弦定理及条件，可得3s in B= 2 sin Asin B.T B €厂，.si n B 电• 3=2朋si n A,.•si n A= vl -.T A €,•••A=rr 一.又cos B= cos C,且B,C €-,• B=C.又B+C= 一，.•.A=B=C=从而△ABC是等边三角形.8.求证：当x€ [0,1]时，一 x w sin x<x.,__ I 旳戸证明：i己F(x)=sin x W x,贝U F'(x)=cos x-玄.当x€-时,F'(x) >0,F(x)在 '上是增函数；当x€-时,F'(x)<0,F(x)在：U上是减函数.<2又F(O)=O,F⑴>0,所以当x€ [0,1]时,F(x)>0,即sin x> _ x.记H(x)=sin x-x,则当x€ (0,1)时,H'(x) = cosx-1< 0,所以H(x)在[0,1]上是减函数，则H (x) w H(0) = 0,即卩sin x< x.42综上，_ x w sin x w x,x€ [0,1].工.y J +y1：------------ 导学号40294013是否存在常数C,使不等式C W川H 对任意正数x,y恒成立？若存在，请给出证明；若不存在,请说明理由.2解存在常数C=s使不等式成立•证明如下：T x>0,y> 0,x t y 2二一+」一二.要证' ,只需证3x(x+ 2y)+ 3y(2x+y )< 2(2x+y)(x+ 2y),即证x* 2+y2> 2xy,此式显然成立•x d y 2二一+」一<-- .x d v 2再证，只需证3x(2x+y)+ 3y(x+ 2y) > 2(x+ 2y)(2x+y),即证x2+y2> 2xy,此式显然成立.x d y 2二一+」一>-算+好2x+y - 3.2J ■ X J ■ y 综上所述，存在常数C= 「，使得不等式< C W * ：匚.曲:飞对任意正数x,y恒成立.。
高中数学人教a版选修1-2第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法【练习】(学生版).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作综合法与分析法1．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 2．已知x 、y 为正实数，则( )A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<1<ab 4．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( ) A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A7．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A．3f(ln2)>2f(ln3) B．3f(ln2)<2f(ln3)C．3f(ln2)＝2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定8．要使3a－3b<3a－b成立，a、b应满足的条件是()A．ab<0且a>b B．ab>0且a>bC．ab<0且a<b D．ab>0且a>b或ab<0且a<b9．若两个正实数x、y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4<m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)10．在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m、n都有：(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝2f(m,1)；给出下列三个结论：①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；其中正确的结论个数是()个．()A．3B．2C．1D．0。
2018-2019学年人教A版高三数学选修2-2习题 第二章 推理与证明 2.2.1综合法与分析法
第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法A 级 基础巩固一、选择题1．“a ＞0”是“|a |＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为|a |＞0⇒a ＞0或a ＜0，且a ＞0⇒|a |＞0，但|a |＞0，a ＞0，所以“a ＞0”是“|a |＞0”的充分不必要条件．答案：A2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac ＜ 3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0解析：要证明b 2－ac ＜3a ， 只需证b 2－ac ＜3a 2， 只需证(a ＋c )2－ac ＜3a 2， 只需证－2a 2＋ac ＋c 2＜0， 即证2a 2－ac －c 2＞0， 即证(a －c )(2a ＋c )＞0， 即证(a －b )(a －c )＞0. 答案：C3．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D4．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( ) A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥β B ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂α C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β D ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α解析：对于选项A ，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B ，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C ，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D 正确．答案：D5．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12≥0；a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤0；(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；而③中，当a ·b ＞0时，不等式成立．所以①②④正确．答案：C 二、填空题6．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则a 2＋b 2≥__________(填常数)． 解析：由a ＋b ＝2可得ab ≤1，又a 2＋b 2＝4－2ab ， 所以a 2＋b 2≥2. 答案：27．已知函数f (x )＝2x，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是__________．解析：因为a ＋b2≥ab (a ，b 为正实数)，2aba ＋b≤ab ， 且f (x )＝2x是增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即C ≤B ≤A .答案：C ≤B ≤A8．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．解析：根据条件可知，欲求1a ＋1b ＋1c的最小值．只需求(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 的最小值，因为(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．答案：9 三、解答题9.如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过点A 作SB 的垂线，垂足为E ，过点E 作SC 的垂线，垂足为F .求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，而EF ⊥SC ，故只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC ， 而AE ⊥SB ，故只需证AE ⊥平面SBC ， 只需证AE ⊥BC ，而AB ⊥BC ，故只需证BC ⊥平面SAB ，只需证BC ⊥SA . 由SA ⊥平面ABC 可知，SA ⊥BC ，即上式成立， 所以AF ⊥SC 成立． 10．求证：2cos (α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α.证明：要证原等式，只需证：2cos (α－β)sin α－sin (2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos (α－β)sin α－sin ＝2cos (α－β)sin α－sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝ cos (α－β)sin α－sin (α－β)cos α＝sin β. 所以①成立，所以原等式成立．B 级 能力提升1．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由零点存在性定理知，选项A 正确．答案：A2.如图所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足__________________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C. 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C. 答案：AC⊥BD(答案不唯一)3．已知a、b、c∈R＋，求证：a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3.证明：要证a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3，只需证a2＋b2＋c23≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b＋c32，只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，所以a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3成立．。
新人教A版高二数学选修1-2第二章 推理与证明 2.2-2.2.1第1课时综合法
第 1 课时 综合法
[学习目标] 1.了解直接证明的基本方法——综合 法，理解综合法的思考过程、特点(重点).2.会用综合法证 明一些数学问题(重点、难点)．
[知识提炼·梳理] 1．综合法的定义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的 结论成立，这种证明方法叫做综合法． 温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用
相关的定义、定理、公理和已知条件
2．综合法框图表示 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)综合法证明的依据是三段论．( ) (3) 综 合 法 的 推 理 过 程 实 际 上 是 寻 找 它 的 必 要 条 件．( )
故四边形 ABCD 为平行四边形． 答案：D
4．已知关于 x 的方程 x2＋(k－3)x＋k2＝0 的一根小 于 1，另一根大于 1，则 k 的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知 f(1)<0， ∴12＋(k－3)×1＋k2<0， 解得－2<k<1. 答案：－2<k<1
又 AB⊂平面 PAB， CM⊄平面 PAB， 所以 CM∥平面 PAB. (2)证明：连接 BM，由已知，PA⊥CD，PA⊥AB， 因为 AD∥BC，BC＝12AD， 所以直线 AB 与 CD 相交， 所以 PA⊥平面 ABCD.
所以 PA⊥BD. 因为 AD∥BC，BC＝12AD， 所以 BC∥MD，且 BC＝MD， 所以四边形 BCDM 是平行四边形， 所以 BM＝CD＝12AD＝MD， 所以四边形 BCDM 是菱形，
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第二章推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法与分析法
A级基础巩固
一、选择题
1．“a＞0”是“|a|＞0”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：因为|a|＞0⇒a＞0或a＜0，且a＞0⇒|a|＞0，但|a|＞0，a＞0，所以“a ＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件．
答案：A
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是( )
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证明b2－ac＜3a，
只需证b2－ac＜3a2，
只需证(a＋c)2－ac＜3a2，
只需证－2a2＋ac＋c2＜0，
即证2a2－ac－c2＞0，
即证(a－c)(2a＋c)＞0，
即证(a －b)(a －c)＞0.
答案：C
3．在△ABC 中，已知sin Acos A ＝sin Bcos B ，则该三角形是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
解析：由sin Acos A ＝sin Bcos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝
π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．
答案：D
4．对于不重合的直线m ，l 和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( )
A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥β
B ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂α
C ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥β
D ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α
解析：对于选项A ，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B ，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C ，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D 正确．
答案：D
5．下面的四个不等式：
①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a(1－a)≤14
； ③b a ＋a b ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：因为a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca)＝
12≥0；a(1－a)－14＝－a 2＋a －14＝ －⎝
⎛⎭⎪⎪⎫a －122≤0；(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd)2；而③中，当a ·b ＞0时，不等式成立．所以①②④正确．
答案：C
二、填空题
6．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则a 2＋b 2≥__________(填常数)． 解析：由a ＋b ＝2可得ab ≤1，又a 2＋b 2＝4－2ab ，
所以a 2＋b 2≥2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝2x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是__________．
解析：因为a ＋b 2≥ab(a ，b 为正实数)，2ab a ＋b ≤ab ，
且f(x)＝2x 是增函数，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2ab a ＋b ≤f(ab)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2，即C ≤B ≤A. 答案：C ≤B ≤A
8．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．。