小升初奥数专题练习之数论专题详解

专题测试-------数论
时间：1 小时分数：70 分
1、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组） 将六个自然数
14，20，33，117，143，175 分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将 这些数分成
__________组。

解答：14
2 7 ； 20 2 5； 3
3 311；117 3 13 ；143 1113；
175 5 7； 根据质因数分解可以看到：一共有 2、3、5、7、11、13 六个，而每个
数都有 2 个质因数，所以可能可以分为 2 组，每组 3 个数，必须总共都包含这 6 个质因数。

然后我们做尝试，发现放 14 的组里肯定不能放 20 和 175，那么还有 33、117 和 143 这三 个数，但我们发现这三个数两两都有公因数，所以至少要分三组。

而分三组的话很容易可 以得到（14，33）（20，117）（143，175）这样三组就是一种分法。

评论：难度：★★★
（6 分）
互质及质因数分解
2、（人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的 3 个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙= 丙×135．那么甲最小是____。

2 2 2
解答：135 3 5 ，可以发现（丙 135 ）是一个完全平方数（甲 甲），而且应该是偶
数（乙+乙），所以（丙 135 ）应该最少为 2 3 5 ，所以甲最小是 2 3 5 90
评论：难度★★★★
完全平方数、奇偶性
（5 分）
3、（清华附中考题）有 3 个吉利数 888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得 的余数依次为 a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
解答： 888
5187 377 ； 888 66610 232 ，那么 232 和 377 的公约数有：1
和 29，显然 1 不可能，所以答案是 29，代入检验可知 29 是正确答案。

评论：难度★★★★
余数问题
（6 分）
4、（101 中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是 原来的数的 9 倍，问这个两位数是＿＿。

解答：设这个两位数为 xy ，那么添了一个 0 后变为： x0y ，化简 xy 10x y ， x0y 100x y ，添上 0 后变为原来的 9 倍也就是说： x0y 9xy ，
即：100x y 9 10x y
，100x y 90x 9y ，移项得：10x 8y
所以 5x 4y ，又因为 x 、y 都是一位数，所以 x=4，y=5。

评论：难度：★★
用字母表示数 3 1 2 4 2 1 2 1
（7 分）
5、（重点中学 3 月 9 日下午测试卷）五位数
是某个自然数的平方，则 4x+7y=_____
解答：五位数，万位是 2，因为 200 40000 ，所以这个自然数肯定是 100 多，而且末位
是 1，那么这个自然数的末位就只能是 1 或者 9，那么就可以设这个数是1a1 或者1a9 ，然 后将 a 从 0 到 9 依次代入检验即可，最后可以得到只有 161 =25921，所以 x=5，y=2，那么 4x+7y=34
评论：难度★★★
（9 分） 完全平方数的末位、简单的估算
6、（重点中学 3 月 9 日下午测试卷）p 、q 为质数，m 、n 为正整数，p=m+n,q=mn,则 p q m n
_______
解答：因为 q=mn ，而 q 又是质数，所以 m 、n 里肯定有一个是 1，不妨把 m 看作 1，那么 q=n ，n 也是质数，而 p=m+n ，也就是 p=1+n ，两个相邻的自然数都是质数，只有 2 和 3 这
一组，所以 p=3，q=n=2，m=1， p q 3 2 31 m n 1 2 3
评论：难度★★★
质数与合数的特点
（6 分）
7、（北京市学校五年级 2005 学年度超常儿童素质调查思维素质调查初试（第 1 卷）调查类 2x9y1 2 2 p q n m p q 3 2 n m 2 1
□□÷□＝（）;□×□=（）;□＋□=（）;□－□=（）
将l～9 填入到上面的9个方框中，每个数字用1次，那么4 个算式的计算结果之和最大是多少？
解答：9 个格子中只有除数和减数这两格应该是越小越好的，所以填上1 和2，而且除数如果填2 的话，那么被除数立刻就比填1 的时候少了一半，所以除数填1，减数填2。

接着看被减数，两个加数以及被除数的个位这4个格子起的作用都是等于其数值本身，所以不用填很大的数，把较小的3、4、5、6 填上，而对和影响最大的是被除数的十位部分，它相当于数字值的10 倍，所以填9，那么就可以填出下面结果来：
93193；78=56；5611；422
结果之和为：9356112162
最值问题
评论：难度★★★
（8 分）
8、（第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）黑板上写着1 至2008 共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后
黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是________。

解答：要让和最小，那么应该擦去的数尽量大，最大的就是2008和2006 这两个，擦去后添上2007，两个2007 又能擦去一个，这样就变成了1~2007，一直进行，不难发现最后剩下一个2。

所以有：
最小的：(2008,2006)→（2007，2007）→（2007，2005）→（2006，2004）
→（2005，2003）→（2004，2002）→……（6，4）→（5，3）→（4，2）→（3，1）→2最大的：(1,3)→（2，2）→（2，4）→（3，5）→（4，6）→（5，7）
→……（2003，2005）→（2004，2006）→（2005，2007）→（2006，2008）→2007
这个数的最大值和最小值的差是2007－2＝2005
评议：难度★★★数学游戏题
9、（08实验中学）在黑板上写下数1、2、3…………2004、2005，每次擦去最小的4 个数，再写上这4 个数的和被7 除的余数，直到不足4个数为止，那么最后剩下的数是_________
解答：第一次擦去的是1到4，写下3，第二次擦去新写的3，和余下的5、6、7，写下0，由于以后每次写下的余数肯定比7 小，也就是擦去最小的3 个加上前次写的那个，就这样擦的话第三次擦8、9、10，然后11、12、13…………最后擦去了2003、2004、2005，虽然每次擦去了几个数，但是写下了这些数的和的余数，所以黑板上所有数的和除以7 的余数没有变化。

1+2+3+……+2005=2011015，这个数除以7 余6，所以最后剩下了6。

评议：难度★★★
（8 分）
余数问题
10、（重点中学3 月9 日下午测试卷）有依次排列的三个数：3，9，8。

对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得的差写在这两个数之间，可产生一个新的数串：
3，6，9，-1，8，这称为第一次操作。

做第二次操作后也可以产生一个新的数串：
3，3，6，3，9，-10，-1，9，8。

继续依次操作下去，问从数串3，9，8 开始操作第一百
零一次之后所产生的那个数串的所有数之和是多少？
解答：经过简单的计算不难得到：
没有操作前的和：1 次操作后的和：2 次操作后的和： 3 次操作后的和：
…………………20 25 30 35
每次都是增加5，所以101 次之后应该是20+101X5=525。

其实之中是有原因的，因为每次操作都是把所有的相邻的数之间都做这个减法，那么也就是除了两头的两个数之外，中间的所有数在新添的数里面都是加了一次减了一次，而头上的3 只是被减了一次，尾巴上的8 只是加了一次，所以总和增加了8-3=5。

综合题评论：难度：★★★
（8 分）。