2.3-2.3.4 平面向量共线的坐标表示秋学期高中数学必修4(人教A版)学案

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人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

高中数学必修4(人教A版)教案—2.3.4平面向量共线的坐标表示

2. 3.4平面向量共线的坐标表示【教学目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件； 2．能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3．通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解．教学难点：定比分点的理解和应用．【教学过程】一、〖创设情境〗前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。

这就为解决问题提供了方便。

我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。

二、〖新知探究〗思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（ b 0）其中b a由a=λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) 2121y y x x 消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0结论：a ∥b (b0) x 1y 2-x 2y 1=0注意：1 消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0. 2 充要条件不能写成2211x y x y ∵x 1, x 2有可能为0. 3 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221y x y x三、〖典型例题〗例1. 已知(4,2)a r ，(6,)b y r，且//a b r r ，求y ．解：∵//a b r r，∴4260y ．∴3y ．点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解.变式训练1：已知平面向量)2,1( ，),2(m ，且b a //，则32 等于_________.例2: 已知(1,1)A ，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB u u u r ，(2(1),5(1))(3,6)AC u u u r，又26340 ，∴//AB AC u u u r u u u r.∵直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线。

人教A版高中数学必修四课件：第二章2-3-2-3-4平面向量共线的坐标表示

(1)解析：因为 a＝(m，4)，b＝(3，－2)，a∥b，所以－2m－4×3＝0.所以 m＝－6. 答案：－6 (2)解：法一：k a＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3， 2k＋2)， a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，
当 k a＋b 与 a－3b 平行时，存在唯一实数 λ，使 k a ＋b＝λ(a－3b)．由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)， k－3＝10λ， 1 所以解得 k＝λ＝－ . 3 2 k ＋ 2 ＝－ 4 λ ， 1 当 k＝－时，k a＋b 与 a－3b (m，－3)，且 a∥b，则 m ＝( ) A．－9 B．9 C．3 D．－3
解析：因为 a＝(－6，2)，b＝(m，－3) 若 a∥b 则－6×(－3)－2m＝0，解得 m＝9. 答案：B
→ 4．已知 A(2，－1)，B(3，1)，则与AB平行且方向相反的向量 a 是( A．(2，1) C．(－1，2) ) B．(－6，－3) D．(－4，－8)
→ 解析：AB＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)，(－1， 2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．答案：D
→ → 5. 已知 A(1，2)，B(4，5)．若AP＝2PB，则点 P 的坐标为________． → → 解析：设 P(x，y)，所以AP＝(x－1，y－2)，PB＝(4 → → －x，5－y)，又AP＝2PB，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5 －y)，
类型 2 三点共线问题 [典例 2]
1 (1)若点 A(1，－3)，B8，2，C(x，1)共线，
则 x＝________． → ＝(k，12)，OB → ＝(4，5)，OC → ＝(10，k)， (2)设向量OA 当 k 为何值时，A、B、C 三点共线？

人教A版高中数学必修四课件1人教版第二章平面向量第3节《平面向量共线的坐标表示》参考(共13张PPT).ppt

D. x1 y2 x2 y1 0
C 2.设 ar (3 ,sin) 2
,
r b
(cos
,
1)，且
3
rr
a / /b ，则锐角
为（
）
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 75°
3.已知 A(2, 3), B(2,1),C(1, 4), D(7, 4)，试问 uAuBur与 CuuDur是否共线？
3.平面向量的共线定理
r
r
向量a与非零向量b共线，当且仅当有唯一
rr
一个实数,使得a b.
二、新课
（一）情景引入:
1.请说出下列各组中两向量的位置关系 (共线或不共
线), r并指出它们r 的特点. (1) a (1, 2),b (2, 4)
r
r
(2) a (0,0),b (2, 4)
r
.
四、课堂小结
（1）根据向量的坐标，判断向量是否共线（2）能用平面向量共线解决平面几何问题.
五、作业
D 1.若
ar
(
x1,
y1
),
r b
(
x2
,
y2
)，且
r a
/
/br ,则坐标满足的条件为（
）
A. x1x2 y1y2 0
B. x1 y1 x2 y2 0
C. x1 y2 x2 y1 0
三、高考实战
r
r
rr
已知平面向量 a (1, 2),b (2, m) ，且 a / /b ，则
rr
2a 3b （）
Ａ．(5, 10) Ｂ．(4, 8) Ｃ．(3, 6) Ｄ．(2, 4)
r

高二数学(人教A版)必修4精品教案—2.3.4平面向量共线的坐标表示

2. 3.4 平面向量共线的坐标表示教学目标：1．复习巩固平面向量坐标的概念和平面向量的坐标运算；2．能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题；3．弄清向量平行和直线平行的区别．教学重点：向量平行的充要条件的坐标表示．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解教学过程【提出问题】①如何用坐标表示两个共线向量?②已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且向量a、b共线，试证明：x1 y2—x2 y1= 0。

③已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且x1 y2—x2 y1= 0试证明：向量a、b共线。

【得出结论】当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.从而向量共线有两种表述形式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔x1 y2—x2 y1= 0【应用示例】例1、已知a=(4,2), b=(6,y),且a∥b,求y.练习1：已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.例2、设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.练习2：①已知=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标。

②已知A(2,3)，B（4，-3）点P在线段AB的延长线上，,求P点坐标。

例3、在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.练习3、已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+t AB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.【课堂小结】1、复习平面向量的和、差、数乘的坐标运算。

2、学习两个向量共线的坐标表示.3、总结本节学习的数学方法和思想方法。

人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件

人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件（精品课件）
向量共线的判定方法：
（1）利用向量共线定理，由a b(b 0)推出 a // b;
(2)利用向量共达线 x式 1y2 的 x2坐 y1直标接表
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( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
M
y
P
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
O
x
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(1)
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例7.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
1
λ +λ
(
0
P
2
-
0 P1)
P1
=
1 1 +λ
0 P1
+
λ 1 +λ
OP
2
= ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y 2 ) 1+λ 1+λ
∴ 点 P的坐标是 ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y 2 ) 1+λ 1+λ
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y P2
P
O
x
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探究2:
你能根据探究1的结论推导三角形的重心
坐标公式吗？

人教A版高中数学必修4课件：2-3-4平面向量共线的坐标表示

x1＝λx2，即a∥b⇔ y1＝λy2
⇔ x1y2－x2y1＝0.
②设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0时，a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .综上①②，向量共线的坐标表示为a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
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第二＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明b≠0吗？答：在共线向量定理中a∥b⇔a＝λb(λ∈R)必需注明 b≠0，而在“本问”中当b＝0时也成立，故不需注明b≠0.
课时作业
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第二章·2.3·
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学习目标
1.记住两个向量共线的坐标表示. 2.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题.
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第二章·2.3·
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重点难点
重点：向量共线的坐标表示；难点：向量共线的坐标表示的应用.
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平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．a＋kc与2b－a是同向还是反向？
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解：∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3,2) ＋(4k，k)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4) －(3,2)＝(－5,2)， 16 ∴2×(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0.∴k＝－13. 25 10 此时a＋kc＝(－13，13)，2b－a＝(－5,2)． 5 ∴a＋kc＝13(2b－a)． 5 ∵13>0，∴a＋kc与2b－a同向．

人教A版高中数学必修四课件2.3.4平面向量共线的坐标表示.pptx

2x1
x2
,
2 y1
y2
.
3
3
同理，如果，P那1P么点2PPP的2 坐标是
x1 2x2 , y1 2 y2 .
3
3
思考4：一般地，若点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，点P是直线
P1P2上一点，且,P那1P么点PPP的2 坐标有何计算公式？
y
P
P2
P1
O
x
P( x1 x2 , y1 y2 ) 1 1
3.已知A,B,C三点共线,且A(3,－6),B(－5,2),若
点C横坐标为6,则C点的纵坐标为()
C
A．－13B．9
C．－9D．13
4.若三点P(1,1)，A(2,－4)，B(x,－9)共线，则
B （） A．x=－1B．x=3
C．x=D9．51
2
5.设=a(,si23nα)，=(cosbα,)，且，13则锐角αa b 为() C A．30oB．60o C．45oD．75o 6.△ABC的三条边的中点分别为(2,1)和(－3,4),(－1, －1)，则△ABC的重心坐标为__(__23__, 43_).
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2.3.4平面向量共线的坐标表示
1.复习巩固平面向量坐标的概念； 2.掌握共线向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行（共线）的有关问题.
思考：1.平面向量的坐标表示.
如图，i是, j分别与x轴、y轴方向相同的单位向量，若以为i,基j 底，则
r 对于该平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数x、y，可使
r rr a xi +y j
y
D
a
C
A
j

高中数学人教A版必修4 第2章 2.3.4平面向量共线的坐标表示

2x1＋x2 2y1＋y2 ＝，； 3 3
研一研·问题探究、课堂更高效
2.3.4
→ 2 → → → → → 2 → ②当P1P＝ P1P2时，OP＝OP1＋P1P＝OP1＋ P1P2 3 3
→ 2 → → 本＝OP1＋ (OP2－OP1) 3
课时栏 1→ 2→ 目＝ OP1＋ OP2 3 3 开关
2.3.4
2.3.4
【学习要求】
平面向量共线的坐标表示
1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 2．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
本课 3．掌握三点共线的判断方法．时【学法指导】栏目 1．应用平面向量共线条件的坐标表示来解决向量的共线问题优点开在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且关
答 ∵a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0.
本课时栏目开关
∴x2，y2 不全为 0，不妨假设 x2≠0. ∵a∥b，∴存在实数 λ，使 a＝λb，
x1＝λx2，即(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λy2)，∴ y1＝λy2，
x1 ∵x2≠0.∴λ＝x . 2 x1 x1y2 将 λ＝x 代入 y1＝λy2 得 y1＝ x ，即 x1y2－x2y1＝0. 2 2
x1 x1 ∴(x1，y1)＝x1，x y2＝x (x2，y2) 2 2
x1 令 λ＝x ，则 a＝λb.所以 a∥b. 2
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2.3.4
探究点二
共线向量与中点坐标公式
问题 1 设 P1、P2 的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段 P1P2 的中点 P 的坐标．
∵G 为△ABC 的重心， ∴D 为 BC 的中点，

高中数学必修四 (2.3.4 平面向量共线的坐标表示)教案新人教A版必修4

2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学过程导入新课思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y 的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a,过定点O作向量=a,则点A的位置被向量a的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A的位置可通过其坐标来反映,从而向量a也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐标表示吗?②如图1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示AB的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论?活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:图1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: ||=||=221221)()(y y x x -+-.教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能. ②AB =OB -OA =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1).结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件? 活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.我们知道,a 、b 共线,当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示,可写为(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2),即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x 1y 2-x 2y 1=0. 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、b (b ≠0)共线.又我们知道x 1y 2-x 2y 1=0与x 1y 2=x 2y 1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x 2=0时,x 1y 2-x 2y 1=0成立,但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:①x 1y 2-x 2y 1=0时,向量a 、b (b ≠0)共线.②充分不必要条件.提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠a ,由a =λb ,(x 1,y 1)=λ(x 2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ,得x 1y 2-x 2y 1=0. 讨论结果:a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1°消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而b ≠0,∴x 2、y 2中至少有一个不为0. 2°充要条件不能写成2211x y x y =(∵x 1、x 2有可能为0).3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a ∥b (b ≠0)⎩⎨⎧===⇔.01221y x y x b a λ应用示例思路1例1 已知a =(2,1),b =(-3,4),求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a +b =(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a -b =(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a +4b =3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练1.(2007海南高考,4) 已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量21a 23-b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.(2007全国高考,3) 已知向量a =(-5,6),b =(6,5),则a 与b …( )A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A图2 例2 如图2,已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D 的坐标.活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD 的坐标,进而得到点D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图2,设顶点D 的坐标为(x,y). ∵AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y).由AB =DC ,得(1,2)=(3-x,4-y).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x∴⎩⎨⎧==.2,2y x∴顶点D 的坐标为(2,2).方法二:如图2,由向量加法的平行四边形法则,可知+=+==(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴顶点D 的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练图3如图3,已知平面上三点的坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解:当平行四边形为ABCD 时,仿例二得:D 1=(2,2);当平行四边形为ACDB 时,仿例二得:D 2=(4,6);当平行四边形为DACB 时,仿上得:D 3=(-6,0).例3 已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点,观察图形,我们猜想A 、B 、C 三点共线.下面给出证明. ∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), AC =(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线AC 有公共点A,∴A、B 、C 三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a =(4,2),b =(6,y),且a ∥b ,求解:∵a ∥b ,∴4y -2×6=0.∴y=3.思路2例2 设点P 是线段P 1P 2上的一点,P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1)、(x 2,y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标;(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能提出如下推理方法: 由P P 1=λ2PP ,知(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索.图4解:(1)如图4,由向量的线性运算可知=21 (1+2)=(.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2)如图5,当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况,即21PP P P =21或21PP P P =2. 如果21PP P P =21,那么图5=1+P P 1=1+3121P P =1OP +31(2OP -1OP ) =321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理,如果21PP P P =2,那么点P 的坐标是.32,322121y y x x ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在△A BC 中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC 、BC 的中点都在坐标轴上,求点C 的坐标.解:(1)若AC 的中点在y 轴上,则BC 的中点在x 轴上,设点C 的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得,025,023=+=+y x ∴x=-3,y=-5,即C 点坐标为(-3,-5).(2)若AC 的中点在x 轴上,则BC 的中点在y 轴上,则同理可得C 点坐标为(2,-7). 综合(1)(2),知C 点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 已知点A(1,2),B(4,5),O 为坐标原点,=+t .若点P 在第二象限,求实数t 的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴OP =(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点P 在第二象限,则3132023013-<<-⇒⎩⎨⎧>+<+t t t 故t 的取值范围是(32-,31-). 点评:此题通过向量的坐标运算,将点P 的坐标用t 表示,由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组,这个不等式组的解集就是t 的取值范围.变式训练已知=(cos θ,sin θ),=(1+sin θ,1+cos θ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.解:∵=-=(1+sin θ,1+cos θ)-(cos θ,sin θ)=(1+sin θ-cos θ,1+cos θ-sin θ). ∴|AB |2=(1+sin θ-cos θ)2+(1+cos θ-sin θ)2=［1+(sin θ-cos θ)］2+［1-(sin θ-cos θ)］2=2+2(sin θ-cos θ)2=2+2(1-2sin θcos θ)=4-4sin θcos θ=4-2sin2θ.∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.从而-1≤sin2θ≤1.∴4-2sin2θ∈［2,6］.故||的取值范围是［2,6］.知能训练课本本节练习.解答:1.(1)a +b =(3,6),a -b =(-7,2);(2)a +b =(1,11),a -b =(7,-5);(3)a +b =(0,0),a -b =(4,6);(4)a +b =(3,4),a -b =(3,-4).2.-2a +4b =(-6,-8),4a +3b =(12,5).3.(1)=(3,4),=(-3,-4);(2)=(9,-1),=(-9,1); (3)=(0,2),=(0,-2);(4)=(5,0),=(-5,0).4.AB ∥CD .证明:=(1,-1),=(1,-1),所以=.所以AB ∥CD.点评:本题有两个要求:一是判断,二是证明.通过作图发现规律,提出猜想,然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程.5.(1)(3,2);(2)(1,4);(3)(4,-5).6.(310,1)或(314,-1). 7.解:设P(x,y),由点P 在线段AB 的延长线上,且|AP |=23|PB |,得 (x-2,y-3)=23(x-4,y+3), 即⎩⎨⎧+=--=-.9362.12342y y x x 解之,得⎩⎨⎧-==.15,8y x 所以点P 的坐标为(8,-15).。

高中数学必修四2.3.4平面向量共线的坐标表示素材2新人教A版必修4

2. 3.4平面向量共线的坐标表示命题方向 1 三点共线问题例1. O 是坐标原点，OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k)．当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？[分析] 由A 、B 、C 三点共线可知，AB →、AC →、BC →中任两个共线，由坐标表示的共线条件解方程可求得k 值．[解析] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,5)－(k,12)＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(10，k)－(4,5)＝(6，k －5)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与BC →共线，∴(4－k)(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝11，或k ＝－2.命题方向 2 根据点的位置求参数例2. 已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．[分析] (1)将OP →用坐标表示，根据坐标系性质可得．(2)只需由OA →＝PB →求出t 或无解即可．[解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t)，若点P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，即t ＝－23；若点P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，即t ＝－13；若点P 在第二象限，则需1＋3t<0，2＋3t>0，解得－23<t<－13.(2)不能．理由：OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP 为平行四边形，需OA →＝PB →，于是3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形．命题方向 3 向量法解几何问题例3. 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC 与OB 交点P 的坐标．[分析] 由直线AC 与OB 的交点为P 知A 、C 、P 三点共线，B 、O 、P 三点共线．利用向量共线的坐标运算进行求解．[解析] 设点P(x ，y)，则OP →＝(x ，y)，OB →＝(4,4)，∵P 、B 、O 三点共线，∴OP →∥OB →.∴4x －4y ＝0.又AP →＝OP →－OA →＝(x ，y)－(4,0)＝(x －4，y)，AC →＝OC →－OA →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，∵P 、A 、C 三点共线，∴AP →∥AC →.∴6(x －4)＋2y ＝0.由4x －4y ＝0，6x －4＋2y ＝0，得x ＝3，y ＝3.∴点P 的坐标为(3,3)．。

数学人教A版必修4： 2.3.4平面向量共线的坐标表示含

备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使P P 1=λ2PP 的实数λ的值.例1 已知点A(-2,-3),点B(4,1),延长AB 到P,使||=3||,求点P 的坐标.解：因为点在AB 的延长线上,P 为的外分点,所以=λ,λ<0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=,1,12121λλλλ++=++y y y x x 结合已知条件求解λ. 例2 已知两点P 1(3,2),P 2(-8,3),求点P(21,y)分21P P 所成的比λ及y 的值. 解：由线段的定比分点坐标公式,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=.2249,175,132,1)8(321y y λλλλλ解得二、备用习题1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 等于（）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)2.已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D 点的坐标是（）A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)3.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（）A.1B.-2C.0D.24.设a =(23,sinα),b =(cosα,31),且a ∥b ,则α的值是（） A.α=2kπ+4π(k ∈Z ) B.α=2kπ-4π(k ∈Z ) C.α=kπ+4π(k ∈Z ) D.α=kπ-4π(k ∈Z ) 5.已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（）A.-2B.9C.-9D.136.若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________.7.已知ABCD 中,AD =(3,7), AB =(-2,1),则CO 的坐标(O 为对角线的交点)为_________.8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?9.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP =AB +λAC (λ∈R ),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?10.如图6所示,已知△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=41,=21,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.图611.已知四边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.参考答案:1.B2.B3.D4.C5.C6.427 7.(-21,-4) 8.∵OA =(k,12), OB =(4,5),OC =(10,k)， ∴=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5). ∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.∴k 2-9k-22=0.解得k=11或k=-2.9.∵=(3,1), =(5,7), ∴+λ=(3+5λ,1+7λ),而=+λ(已知), ∴=+=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ⇒λ=21; (2)若点P 在第三象限内,则)1,(074055--∞∈⇒⎩⎨⎧<+<+λλλ 10.∵=41=41(0,5)=(0,45),∴C(0,45). ∵=21=21(4,3)=(2,23),∴D(2,23). 设M(x,y),则AM =(x,y-5),AD =(2-0,23-5)=(2,27-).∵AM ∥AD ,∴27-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 又=(x,y-45),=(4,47), ∵∥,∴47x-4(y 45-)=0,即7x-16y=-20.② 联立①②,解得x=712,y=2，故点M 的坐标为(712,2). 11.证明:建立如图7所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形ABCD 的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y>0,于是AC =(1,1),BE=(x-1,y).图7 ∵AC ∥BE ,∴1×y-(x--1.①∵AC=OC=CE(已知),∴CE 2=OC 2⇒(x-1)2+(y-1)2=2.②由y>0,联立①②,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,231,233y x 即E(231,233++). AE=OE=13)231()233(22+=+++ 设F(t,0),则=(1-t,1),=().231,231(+-+). ∵F 、C 、E 三点共线,∴∥.∴(1-t)×231231+-+-×1=0,即t=-1-3. ∴AF=OF=1+3.∴AF=AE.(设计者：房增凤)。

高中数学人教A版必修4课件：2-3-4平面向量共线的坐标表示

=
2 2 , 3 3
,
�� = �� = - ,1 ,
,
∴�� ∥ ��.
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思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),且 a 与 b
分析首先根据点的坐标求出向量��, ��的坐标,然后利用向量共线的条件判断证明.
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平面向量共线的坐标表示【问题思考】 1.共线向量定理:若a是非零向量,则a与b共线,当且仅当存在唯一实数λ,使得b=λa.如果向量a与b都用坐标表示,即a=(x1,y1),b=(x2,y2), 那么根据数乘向量的坐标运算法则,你能发现a与b的坐标之间的关系吗? 提示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则x1y2=x2y1. 2.填空:平面向量共线的坐标表示

高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示课件新人教A版必修4

()
A.a－c与b共线
B.b+c与a共线
C.a与b－c共线
D.a+b与c共线
【解析】选C. A.因为a－c=(6，6)－(2，4)=(4，2)，b=(5，7), 所以4×7-2×5≠0，所以a－c与b不共线. B.因为b+c=(5，7)＋(2，4)=(7，11)，a=(6，6), 所以7×6-11×6≠0，所以b+c与a不共线. C.因为b－c=(5，7)－(2，4)=(3，3)，所以a=(6，6)=2(b－c)，所以a与b－c共线. D.因为a+b =(6，6)＋(5，7)=(11，13)，c=(2，4), 所以11×4-13×2≠0，所以a+b与c不共线.
且(－4)×1.5－(－6)×1=0，所以
uuur uuur AB P AC.
又 Auu与Bur Au有uCur 公共点A，所以A，B，C三点共线.
【规范解答】利用向量共线的坐标表示求值问题
【典例】
【条件分析】
【规范解答】因为a=(1，0)，b=(2，1)，
所以ka-b=(k，0)-(2，1)=(k-2，-1)，…………………2分
2
2
【解析】选C.因为向量a=(n,1)与b=(4,n)共线,
所以1×4-n2=0，解得n=±2,
当n=-2时，a=(－2,1),b=(4,－2)，a与b方向相反.
当n=2时，a=(2,1),b=(4,2)，a与b方向相同.
所以n=2.
3.若a=(6，6)，b=(5，7)，c=(2，4)，则下列结论成立的是
【解析】1.选B.对于A，因为e1是零向量，所以e1∥e2,
所以e1=(0,0)与e2=(1,-2)不能作为平面内所有向量的基底.

人教A版高中数学必修四课件2.3.4《平面向量共线的坐标表示》

)
解得 x = 2x1 + x2 , y = 2y1 + y2
3
3
∴点P的坐标是( 2x1 + x2 , 2y1 + y2 )
3
3
②若点P靠近P2点时
则有：P1 P = 2 P P2 ,
∴点P 的坐标是 ( x1 + 2x2 , y1 + 2y2 ) P1
3
3
y P2
P
O
x
1.向量平行(共线)等价条件的两种形式:
2
y2
)
O
x
(1)
例3.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
。 (x1, y1), (x2 , y2 )
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。
（2）解法一：
若点P靠近P1点n有：P1P
=
1 2
PP
2
,
OP
=

a

b

问题:如果向量，a共线b（其中≠），b那么0，满足什么a关系b ？
a b
思考:设=a(x1，y1),=(xb2，y2)，若向量，共a线b（其中≠），b则这0
两个向量的坐标应满足什么关系？
结论:设=a(x1，y1),=(x2b，y2),（其中）, b 0
当且仅当
x1 y 2 -x2 y1 = 0
向a 量与向量b 共线。即：a / /b(b 0) x1 y2 x2 y1 0
两个非零向量平行（共线）的充要条件
设a x1, y1 ,b x2, y2 (b 0)

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A 级基础巩固
一、选择题
1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )
A ．－ 2 B.2 C ．－2或 2 D ．0
解析：由题意知，1×2－m 2＝0，所以m ＝±2.
答案：C
2．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )
A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)
B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)
C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)
D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 解析：若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，即e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；同理排除C ，D ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2
，所以e 1，e 2不共线，根据平面向量基本定理知，e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)可以把向量a ＝(3，2)表示出来．
答案：B
3．已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(m 2，2)．若存在λ∈R ，使得a ＋λb ＝0，则m ＝( )
A ．0
B ．2
C ．0或2
D ．0或－2 解析：法一因为a ＝(m ，1)，b ＝(m 2，2)，a ＋λb ＝0，所以(m ＋λm 2，1＋2λ)＝(0，0)，
即⎩⎨⎧m ＋λm 2＝0，1＋2λ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，m ＝0或2.
法二由a ＋λb ＝0，知a ＝－λb ，故a ∥b ，所以2m ＝m 2，解得m ＝0或m ＝2.
答案：C
4．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →
＝(2m ，m ＋1)，若AB →∥OC →
，则实数m 的值为( )
A.35 B ．－35 C ．3 D ．－3
解析：向量OA →＝(3，－4)，OB →
＝(6，－3)，
所以AB →
＝(3，1)，
因为OC →＝(2m ，m ＋1)，AB →∥OC →
，
所以3m ＋3＝2m ，解得m ＝－3.
答案：D
5．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )
A ．－3
B ．2
C ．4
D ．－6
解析：因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3，1)，a －2b ＝(x －6，
4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.
答案：D
二、填空题
6．已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)．若a ∥b ，则λ＝________．解析：因为a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，a ∥b ，
所以2λ－6×(－1)＝0，所以λ＝－3.
答案：－3
7．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →
与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________．
解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则AB →
＝(4，6)．
又AB →
与a ＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，则λ＝32
. 答案：32
8．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．
答案：12
三、解答题
9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，
3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM →，CN →
的坐标，
并判断AM →，CN →
是否共线．
解：由已知可得M (2.5，2.5)，N (1.5，0.5)，
所以AM →＝(2.5，2.5)，CN →
＝(－2.5，－2.5)，
所以AM →＝－CN →
，
所以AM →，CN →
共线．
10．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．
(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？
(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →
＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．
解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为k a －b 与a ＋2b 共线，
所以2(k －2)－(－1)×5＝0，解得k ＝－12
. (2)因为A ，B ，C 三点共线，
所以AB →＝λBC →
，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，
所以⎩⎨⎧2＝λ，3＝m λ，
解得m ＝32
. B 级能力提升
1．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
解析：因为a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，sin α， b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos α，13，a ∥b ，所以32×13
－sin α·cos α＝0，即sin α·cos α＝12
. 把α＝30°，45°，60°，75°代入验证可知45°能使上式成立．答案：B
2．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若ma ＋nb 与a －3b 共线，则m n
＝________．解析：由向量的坐标运算知，ma ＋nb ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －3b ＝(5，－3)．由两向量共线可得5×(3m ＋2n )＝－3×(2m －n )，化
简得m n ＝－13
. 答案：－13
3．已知四点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )．
(1)求实数x ，使两向量AB →，CD →
共线．
(2)当两向量AB →∥CD →
时，A ，B ，C ，D 四点是否在同一条直线上？
解：(1)AB →＝(x ，1)，CD →
＝(4，x )．
因为AB →，CD →
共线，所以x 2－4＝0，
则当x ＝±2时，两向量AB →，CD →
共线．
(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →
＝(－2，1)，
则AB →∥BC →
，此时A ，B ，C 三点共线，
又AB →∥CD →
，从而，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上．
当x ＝2时，A ，B ，C ，D 四点不共线．。