归纳第八章_玻色分布和费米分布.ppt
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玻色分布和费米分布
相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
al
el l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
2001年诺贝尔物理学奖
Carl E. Wieman 卡尔·维曼
以表彰他们根据玻色－爱因斯 坦理论发现了一种新的物质状态— —“碱金属原子稀薄气体的玻色－ 爱因斯坦凝聚（BEC）”。
2020年8月11日星期二
第八章 玻色统计和费米统计
§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2001年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。
玻色统计和费米统计讲义
y
d ( ln Z ) d ln Z d[ ln Z ] d ( ln Z )
因为 N ln Z
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ] d N
∴ (dU Ydy d N ) d[ln Z ln Z ln Z ]
6
对于闭系： d N 0
y
y
由 Z [1 el ]l 知， Z 是 、 和 y的函数，ln Z 也是 、
l
和 y 的函数
∴ d ln Z ln Z d ln Z d ln Z dy
y
5
∴ (dU Ydy) d ( ln Z ) ln Z dy
y
d ( ln Z ) ln Z d ln Z dy d ( ln Z ) d ln Z ln Z d
∴ (dU Ydy) d[ln Z ln Z ln Z ]
是 dU Ydy的积分因子， dU Ydy同样有积分因子 1
T
∴ 1
kT
∴ dS 1 (dU Ydy) kd[ln Z ln Z ln Z ]
T
积分得：
S k[ln Z ln Z ln Z ] k[ln Z N U ]
度升高时，由于热激发电子有可能跃迁到较高的未被占据的状
态去。但处在低能级的电子要跃迁到未被占据的状态，必须吸
取很大的热运动能量，这是极小可能的，所以绝大多数状态的
1
fd
4V
3
(2m) 2
h3
2 d
e kT 1
10
在给定电子数 N ，温度 T 和体积 V 时，总粒子数为：
1
N
4V
h3
3
(2m) 2
0
2 d
e kT 1
∴化学势 是温度 T 和粒子数密度 n N 的函数。
第八章 玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计§8.1 热力学量的统计表达式本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。
玻色系统：系统的平均总粒子数为 1lll llN a e αβεω+==-∑∑引入巨配分函数Ξ，定义为()1lll lleωαβε---Ξ=Ξ=-∏∏()()ln ln 1ln(1)ln 1llllll llleeeωωαβεαβεαβεω--------Ξ=-=-=--∏∑∑()ln 1sse αβε--=--∑系统的平均总粒子数N 可表为 1ln 11lsllsN e e αβεαβεωα++∂===-Ξ--∂∑∑内能是系统中粒子无规运动总能量的统计平均值 ln 1ll ll l llU a e αβεωεεβ+∂===-Ξ-∂∑∑外界对系统的广义力i Y 是l iy ε∂∂的统计平均值1ln 1ll lli l llii iY a y y ey αβεεεωβ+∂∂∂==⋅=-⋅Ξ∂∂-∂∑∑物态方程特例：对于(,)P V 系统 ,Y P y V =-=1ln P Vβ∂=⋅Ξ∂下面推导玻色系统熵的统计表达式 ln ln i i i i iidU Y dy d dy y βββ⎛⎫∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∑∑（﹡）Ξ和ln Ξ是,αβ与()1,2,i y i = 的函数（l ε 是i y 的函数）， ln Ξ的全微分为ln ln ln ln i iid d d dy y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂ΞΞ=++∂∂∂∑，ln ln ln ln i iidy d d d y αβαβ∂Ξ∂Ξ∂Ξ∴=Ξ--∂∂∂∑。
代入（﹡），得 ln ln ln ln i i i dU Y dy d d d d ββαββαβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫-=-+Ξ-- ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭∑ ln ln ln d d d βαβα⎛⎫∂Ξ∂Ξ=-+Ξ- ⎪∂∂⎝⎭ ln ln ln ln d d d d βααβαα⎛⎫∂Ξ∂Ξ∂Ξ⎛⎫⎛⎫=-+Ξ-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ln ln ln d d N αβααβ⎛⎫∂Ξ∂Ξ=Ξ--- ⎪∂∂⎝⎭对于粒子数恒定的闭系（与外界有能量交换，但无物质交换），则0d N =。
玻色统计和费米统计+ppt
f (ε) =
称为费米函数。在固体物理学中，化学势称为费 称为费 称为费米函数。在固体物理学中， 费米函数 米能级， 表示。 米能级，用ε F表示。 ），此时 当T→0 K时（费米能级ε F(0)），此时 → 时 ），此时1/kT→∞ ， →∞ 由上式得到
ωl
al
=
1 e
(ε -) kT
+1
f (ε ) = 1 , 当 ε ≤ ε F (0) 时; f (ε ) = 0 , 当 ε > ε F (0) 时.
U (ν , T ) 8πhν dν ρ ν ( T ) dν = dν = V c 3 e hν / kT 1
3
6
利用λν = c 和 dν = 上式化为
cdλ
λ
2
并考虑 ρν dν = ρλ dλ
ρ λ (T ) =
8 πhc
λ
5
(
1 e
hc / λ kT
1
)
将上式代入单色辐出度Mλ (T ) ，将Mλ (T) 改为 将上式代入单色辐出度 Mλ 0 (T)，得到 ，
f 1 1／2 ／
o
2
εF(0)
3 5π kT 2 U(T) = Nε F (0)[1 + ( ) ] 5 12 ε F (0)
19
N是系统内自由电子总数。 是系统内自由电子总数。 是系统内自由电子总数
18
处于ε F(0) 附近能态的电子和低能态的电子情 附近、 况不同 ，只有在εF(0)附近、数量级为 能量范 附近 数量级为kT 围内的能态占据情况才会发生变化 ， 其余绝大 多数能态的占据实际上并不改变，如图所示。 多数能态的占据实际上并不改变，如图所示。 对自由电子热容有贡献 的也是处于εF(0)附近能态 附近能态 的电子。 的电子。 自由电子气体系统的内 能用εF (0)可表示为 可表示为
第八章_玻色分布和费米分布 ppt课件
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
8
⑷ 熵:
Sk(lnΞ lnΞ lnΞ )(8.1.14)
⑸ 巨热力势:
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
3
Ug
2V
h3
(2m)3/2
0
2d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
Ng2h3V(2mkT)3/2 0ex1/x2dx1
3
Ug2h3V(2mkT)3/2 0 ex2xdx1
2020/9/10
第八章 玻色统计和费米统计
13
将被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
ZNl VN2hm2kT3/2
1 g
代入前面的公式中，得：
U3 2NkT121 3/2g 1V N2hm 2kT3/2
玻色分布和费米分布
但遗憾的是，众多的实验物理 学家将自旋极化的氢原子气体降温， 并未观察到BEC现象。于是 Wieman和Cornell开始将兴趣转向 碱金属原 子气体，1995年，他们 将铷原子限制在磁阱中进行激光冷 却首次成功 的观察到原子气的 BEC现象。同年，MIT的Ketterle 也在钠原子气中实 现了BEC。 BEC的实现不仅在基础研究方面具 有重大意义，还可能在 “原子芯 片”和量子计算机等方面有广泛的 应用前景。因此2001年的诺 贝尔 物理学奖授予Wieman、Cornell和 Ketterle以表彰他们在BEC实验 方 面的开创性工作。
第八章 玻色统计和费米统计
在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
al
l
e l
1
（8.1.1)
1 g
N V
h2
2 mkT
3/
2
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
Hale Waihona Puke U3 2NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；
2020年6月11日星期四
第八章 玻色统计和费米统计
玻色统计和费米统计
s
第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
第八章 玻色统计和费米统计
复习. Boltzmann 统计，玻色统计和费米统计。
玻耳兹曼系统：粒子可以分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒 子数不受限制。 玻色系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态能够容纳的粒子数 不受限制。 费米系统：粒子不可分辨，每一个个体量子态最多能够容纳一个 粒子。
玻耳兹曼统计是假设系统由大量全同近独立的粒子组成， 具有确 定的粒子数 N ，能量 E ，体积 V . 能级： 简并度: 离子数:
al
ωl
<< 1 ，
又叫做非
简并条件）都遵从玻耳兹曼分布。不满足上述条件的系统遵从玻 色统计分布或者费米统计分布。
玻色统计分布满足
al =
ωl
e
α + β El
−1
， 费米统计分布满足。 al
= E 确定。
=
ωl
e
α + β El
+1
系数 α 与 β 由 ∑ al = N 与
l
∑a E
l l
l
8.1 热力学量的统计表达式
U=
V π 2c3
∞
∫
0
ηω 3 dω e
ηω kT
=
π 2k 4
15c η
3 3
VT 4 。
−1
和热力学结果一致，区别在于热力学中比例系数由实验确定。而 统计物理可以直接求出比例系数。 2．由普朗克公式看出，辐射场的内能密度 U (ω , T ) 随频率 ω 的分布 有一个极大值 ω m ， 用数值计算方法可以求得 出 ω m 与温度成正比，这就是维恩位移定理。
S = k (ln Ζ + βU ) =
U
平衡辐射的通量密度 J u 与内能
第八章 玻色统计与费米统计
讨论：
3 ε 2 dε 2πV 2 ( 2m ) ε l n 0 h3 e kTc－ 1 1
ε 2π 令：x , 可得： 3 ( 2mkTC ) kTc h
3
2
0
x 2 dx n x e－ 1
2π h2 2 3 n mk
1
x 2 dx π 积分： ＝ 2.612 0 e x－ 1 2
8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1、弱简并气体： 但不可忽略的玻色气体和费米气体。 e α 或nλ3虽小，
1 2 2 2 ε ＝ ( p p p x y z) 以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度： 2m
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
3 1 2πV 2 D(ε )dε g 3 ( 2m ) ε 2 dε h
l
l
前面得到的热力学量的表达式完全适用：
N ln α
U ln β
Y
1 ln β y
S k ln
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退 出
8.1
五、巨热力学势
热力学量的统计表达式
ln 是α、β、y的函数,即T、V、μ的函数
J U TS N ln ln ln ln kT (ln ) kT ln
2πV 系统的总分子数：N g 3 ( 2m ) h
3
2
0
ε 2 dε e α βε 1
3
1
3 ε 2 dε 2πV 2 U g 3 ( 2m ) α βε 0 e h 1
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退 出
3 ε 2 dε 2πV 2 ( 2m ) ε l n 0 h3 e kTc－ 1 1
ε 2π 令：x , 可得： 3 ( 2mkTC ) kTc h
3
2
0
x 2 dx n x e－ 1
2π h2 2 3 n mk
1
x 2 dx π 积分： ＝ 2.612 0 e x－ 1 2
8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
1、弱简并气体： 但不可忽略的玻色气体和费米气体。 e α 或nλ3虽小，
1 2 2 2 ε ＝ ( p p p x y z) 以玻色气体为例，假设分子只有平动自由度： 2m
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
3 1 2πV 2 D(ε )dε g 3 ( 2m ) ε 2 dε h
l
l
前面得到的热力学量的表达式完全适用：
N ln α
U ln β
Y
1 ln β y
S k ln
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退 出
8.1
五、巨热力学势
热力学量的统计表达式
ln 是α、β、y的函数,即T、V、μ的函数
J U TS N ln ln ln ln kT (ln ) kT ln
2πV 系统的总分子数：N g 3 ( 2m ) h
3
2
0
ε 2 dε e α βε 1
3
1
3 ε 2 dε 2πV 2 U g 3 ( 2m ) α βε 0 e h 1
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退 出
第八章 玻色统计与费米统计
b)、若n很小时，T0较低 n小，r大（粒子间距离）与粒子相联系的德布罗意波
并不重叠，粒子可以分辨，这时相当于定域系，可过渡到玻耳兹曼统计。
c)、若m大，则T0较低，量子效应不显著 。
N h ， m大时，小， 2m kT V
1 3
V h 1 2mkT N
V
2mkT
2mkT
或满足 T T0 的条件时，气体称为非简并气体。 实质；温度远高于简并温度时，系统的量子效应不显著。非定域的量子分布 可以过度到玻耳兹曼分布。这时气体性质和经典气体相差不大，称为非简并 气体。 a)、T T0 KT 能级可视为连续，量子效应不显著。可过渡到经典
1 2 2 ε＝ ( p x p2 y pz ) 2m
在体积V内，在ε到ε+dε范围内可能的微观状态数：
3 1 2πV D(ε )dε g 3 ( 2m ) 2 ε 2 dε h 1 3 2 d 2V 系统的总分子数： N f s D d g 3 (2m) 2
设： al 1, ωl 1
则ln m! mln m 1
由al
ωl e
α βεl
1
可得：
1 1 - e α βεl
1
al ; ωl
ωl α βε l ln 1 al
代入S k (ln αN βU )可得：
3、完全简并性气体：T=0K时的气体称为完全简并气体或完全退化气体。 4、弱简并气体：
al
满足 e 1 ，但处理问题的过程中，分布 e 1 中分母的1不忽略，做 近似展开时，一共保留两项，即考虑量子效应的微弱影响，这就是弱简并的本质。
热力学与统计物理学第八章__玻色统计和费米统计
第八章 玻色统计和费米统计
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
§8.1 热力学的统计表达式 §8.2 弱简并玻色气体和费米气体 §8.3 玻色—爱因斯坦凝聚 §8.4 光子气体 §8.5 金属中的自由电子气体
1
§8.1 热力学的统计表达式
经典极限条件
e 1
e
Z1 N
V N
2m h2
3
2
1
V
1 3
h
1
1 2
N
2mkT
n3 1
又 d ln ln d ln d ln dy
y
dU
Ydy
dN
d
ln
ln y
dy
d
ln
d
ln
d
ln
ln
d
d
ln
ln
d
d
ln
ln
ln
6
dS
kd
ln
ln
ln
积分
S
k
ln
ln
ln
S kln N U k ln
S k ln
ln
ln
如果求得巨配分 函数，据此可以 求得系统内能、 物态方程和熵。 从而确定系统的 全部平衡性质。
巨配分函数是以 , , y 为自然变量的特性函数。
对简单系统就是 T ,V ,
热力学中巨热力学势是以 T ,V , 为自然变量的
特性函数：
J U TS N kT ln 9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
存在 n 个能量为 的光子
31
玻色分布给出在温度为 T 的平衡状态下 n
的平均值： n 1 e kT 1
从粒子观点看， n 是平均光子数；
第八章玻色统计和费米统计ppt课件
2dx 1
TC
2
(2.612 )2/3
2 mk
n2/3
T<TC时，仍然要有-0，积分的结果将明显小于n，
此时必须考虑n0的贡献：n= n0 +n>
n
2
h3
(2m)3/ 2
1/ 2d
0 ekT 1
2
h3
(2mkT )3/ 2
x1/ 2dx 0 ex 1
n
n(
T TC
)3/ 2
3、B-E凝聚：
H KH B
KH
1 ne
量子结果:
三、解释
•朗道能级:
在垂直外磁场中,由于洛伦兹力的作用，电子将作圆周运动
Bev mv2 / r mrc2
mr2c i
r2
i mc
m
B
1 2
ecr 2B
i
1 2
mv2
1 2
ecr 2B
i ic 量子力学结果 i (i 1)c i 0,1,2...
•搀杂与局域态
内能与热容量。
内能： 热容量：
U
4V ( 2
ct
1 )
cl
m
0
e
h
h
1
2
d
CV
3Nk 3( T )3 D
m x4e x dx 0 (e x 1)2
( T kT )
D h m
高温极限——杜隆-柏替定律； 低温极限——温度三次方定律 D是德拜温度——固体材料的特征温度（对照前面爱因 斯坦温度理解）
2、特点： •频率为的辐射：一种光子气体成分； •边界壁的发射与吸收：光子数不恒定， =0，化学势为零； •静止质量为零：=cp； •光的量子性：=h，p=h/；（ =2 ，k= 2/ ）
热力学 统计物理：第八章 玻色统计和费米统计
l
l
l
S k( l ln(1 e l ) lal al )
l
l
l
al
l
e l
, 令f 1
1 e l
1，则，al
l f ;
f
al ，e l
l
1 f
1， l
ln( 1 f
1)
1 e l 1 1 1 f 1
1 1
f 1 f 1
f
S k( l ln(1 e l ) al ( l ))
y
d ( ln ) ln • d ln dy d ( ln ) ln • d
y
d ( ln ) d ( ln ) ln • d ln dy ln • d
y
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy dN ) d ln d ( ln ) d ( ln ) d (ln ln ln )
l
l
对上式取对数为：ln l ln(1 e l )
l
则系统的平均总粒子数N可通过ln 获得：
N ln [
l
l ln(1 e l )]
l
l
e l • 1 1 e l
l
e l l
1 e l
l
l
e l 1
U
l
l al
l
ll
e l 1
U也可通过配分函数求得：
其中第一项为波尔兹曼分布, 第二项体现弱简并差别。
N
g
2V
h3
(2mk T)3/ 2
0
x1/ 2e x (1
e x )dx
U
g
2V
h3
(2mkT)3/2 kT
热力学与统计物理：第八章 玻色统计与费米统计
CV
U T
V
5U 2T
1.925Nk
T Tc
六、理想玻色气体出现凝聚的临界条件：
3
n
3
n
2
h mkTc
2.612
也就是说在德布罗意波长范围内的原子 数必须大于2个。
七、有关实验
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
23
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
24
§8.4辐射的量子统计理论
l
N
e kTc －1
1
令x
kTc
,
2
h3
3
(2mkTC ) 2
x 2dx 0 ex－1 n
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
17
1
而
x 2dx＝ 0 ex－1
2
2.612＝I
Tc
2
3
(2.612) 2
h2 mk
2
n3
当 T TC 时，要保证 N const ，则 0 ，与前面结论
k
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
6
dU TdS pdV dn, pdV Ydy 又 ：（单位摩尔化学势d）n d N (单位粒子数化学势）
dU Ydy d N TdS
1 , S k(ln Z ln Z ln Z )
kT
以及
kT
2021/3/11
矛盾
三、矛盾的原因
2021/3/11
第八章 玻色统计与费米统计
18
关键在于当 时，将 0 上的粒子数忽略了
而 T TC 时，该能级上的粒子数是很大的数值，不可忽略
第八章 玻色统计和费米统计(2014) (2)
这种量子统计关联不仅使得量子气体的性质有别于经典理 论，玻色气体和费米气体的性质也是迥然不同的。
3
§8.1
热力学的统计表达式
近独立粒子的最概然分布：al
e l 1
l
是在孤立系统条件下，并且在一系列假定的基础上推导出的。 系综理论将会在开放系统条件下，避免存在严重缺陷的 假定，推导出表达式相同的近独立粒子的平均分布：
d ln ln ln
8
所以
也是
dQ
的积分因子。
dS kd ln ln ln
积分
S k ln ln ln
N Ae
N Ae
0
e d Ae
12
2
0
e2 1 2 d
Ae
3 2 3 2 2 2 Ae 2 2 注意此时的α不同 3 2 e 1 于玻耳兹曼分布 3 2 2 2
N e Z1
U N ln Z1
1 Y ln y
p 1 ln V
N Y ln Z1 y N p ln Z1 V
S k ln ln ln
l
l
热力学量的统计表达式不变。
N ln
U ln
1 Y ln y
S k ln ln ln
10
四，与玻耳兹曼统计表达式比较
统计物理课件第八章.ppt
E(r )
y
l是y的函数，因此 ln 是，，y的函数 :
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy) d ( ln ) d ln ln d
d ( ln ) d ln d ( ln ) d ( ln )
N ln
dU
Yd y
玻色的这个观念现在被称为玻色-爱因斯坦统计。 这篇论文在开始时未能发表，他把论文直接寄给爱因斯坦。爱因斯坦意 识到这篇论文的重要性，不但亲自把它翻译成德语，还以玻色的名义把论文 递予名望颇高的《德国物理学刊》发表。爱因斯坦也写了一篇支持玻色理论 的论文，递予《德国物理学刊》发表，并要求把这两篇论文一同发表。 爱因斯坦在他的论文中采取了玻色的观念，并把它延伸到原子去。这为 预测玻色-爱因斯坦凝聚的存在铺好了道路。
J U TS N F N
ln
kT ln
ln
ln
ln
J kT ln
七.费米系统
巨配分函数 ：
[1 e l ]l ; ln l ln(1 e l )
l
l
N ln
U ln
Y 1 ;
y
p 1
V
1 ; kT
S
k
ln
ln
1 e l
l
l ln(1 e l )
U ln
三. 广义力和物态方程
Y
l
al
l
y
l
l
l
y
e l 1 e l
1
y
l
l ln(1 e l )
Y 1
y
p 1
V
四.熵， ,的确定
(dU Ydy) (d ln ) ln dy
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式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻 色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
优选
6
由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。
⑴ 平均粒子数:
D( )d g 2V (2m)3/21/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
优选
11
系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
优选
18
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
优选
3
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
1.巨配分函数:
由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配 分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配 分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统 的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。
N ln Ξ
(8.1.10)
优选
7
⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
p 1 ln Ξ
V
优选
(8.1.11) (8.1.12) (8.1.13)
8
⑷ 熵:
S k(ln Ξ ln Ξ ln Ξ ) (8.1.14)
⑸ 巨热力势:
优选
4
将(8.1.2)中的两个式子分别写为；
N
l
al
l
l
e l 1
(8.1.6)
U
l
all
l
ll (8.1.7)
e l 1
式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
引入函数：
Ξ
1 e l l
l
优选
(8.1.8)
5
其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:
ln Ξ l ln(1 el ) (8.1.9) l
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
优选
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
1 2m
(
px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
优选
2
由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
al
e l l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
J kT ln Ξ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
优选
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
N
g
2 mkT
h2
3/ 2
Ve
1
1 23/ 2
e
U
3 2
g
2 mkT
h2
3/
2
VkTe
1
1 25/ 2
e
将上面两式相除，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
e
优选
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
N Zl
N h2
V
2 mkT
3/ 2
1 g
代入前面的公式中，得：
U
3
U
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x 2 dx e x 1
优选
13
将被积函数的分母展开：
1 e x
1
1 e x (1
e x )
在e小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
1 1 ey
1 ey
e2 y
只取头两项，可得：
e
1
x
1
e
x
1
e x
优选
14
利用附录C的积分公式可得：
优选
17
§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2001年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。
第八章 玻色统计和费米统计
在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
优选
1
al
l
e l
1
（8.1.1)
相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
l D( )d
l
0
代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/2 1/2d
优选
12
有
N
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/2d
e 1
3
U
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
N
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x1/ 2dx e x 1
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/
2
优选
16
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
优选
6
由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正 则分布的热力学公式相同，所以，这里先给 出其表达式，详细推导在下一章介绍。
⑴ 平均粒子数:
D( )d g 2V (2m)3/21/2d
h3
其中，g是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度， D(ε)是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋 投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。
优选
11
系统的总粒子数和总能量为:
l
l
e l
1
N
l
ll
e l
1
U
近似用积分来处理，作对应：
优选
18
Eric A. Cornell 埃里克·康奈尔
Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈·克特勒
优选
3
由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。
当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡 到玻耳兹曼分布。
二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式
1.巨配分函数:
由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配 分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配 分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统 的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。
N ln Ξ
(8.1.10)
优选
7
⑵ 内能:
U ln Ξ
⑶ 广义力:
Y 1 ln Ξ
y
上式的一个重要特例是压强:
p 1 ln Ξ
V
优选
(8.1.11) (8.1.12) (8.1.13)
8
⑷ 熵:
S k(ln Ξ ln Ξ ln Ξ ) (8.1.14)
⑸ 巨热力势:
优选
4
将(8.1.2)中的两个式子分别写为；
N
l
al
l
l
e l 1
(8.1.6)
U
l
all
l
ll (8.1.7)
e l 1
式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
引入函数：
Ξ
1 e l l
l
优选
(8.1.8)
5
其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:
ln Ξ l ln(1 el ) (8.1.9) l
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
优选
10
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
1 2m
(
px2
p
2 y
pz2 )
在体积V内，能量在ε-ε+dε内的粒子的可能微观状 态数为
e l 1
E
(8.1.2)
其中 表示对粒子的所有能级求和，式中的正号 l
对应于费米分布，负号对应于玻色分布。
优选
2
由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件
e 1
(8.1.3)
则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布
al
e l l
式(8.1.3)满足时，显然有
al 1（对所有l）
l
(8.1.4) (8.1.5)
J kT ln Ξ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
优选
9
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
N
g
2 mkT
h2
3/ 2
Ve
1
1 23/ 2
e
U
3 2
g
2 mkT
h2
3/
2
VkTe
1
1 25/ 2
e
将上面两式相除，得：
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
e
优选
15
考虑到e-α很小，近似用玻耳兹曼分布的结果
e
N Zl
N h2
V
2 mkT
3/ 2
1 g
代入前面的公式中，得：
U
3
U
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x 2 dx e x 1
优选
13
将被积函数的分母展开：
1 e x
1
1 e x (1
e x )
在e小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
1 1 ey
1 ey
e2 y
只取头两项，可得：
e
1
x
1
e
x
1
e x
优选
14
利用附录C的积分公式可得：
优选
17
§8.3 玻色－爱因斯坦凝聚
诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认
的最高荣誉奖项。 在它的六个奖项中，物理学、化学 和医学（或生理学）奖尤为引人注 目。下面我们谈谈 物理学奖的概况。2001年是诺贝尔 奖颁发百年纪念， 因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意 义， Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。 美国麻省理 工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃 尔夫冈·克特勒）和科罗拉多大学JILA（实验天文物理 学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔·维曼）， Eric Cornell（埃里克·康奈尔）因实验上实现玻色－爱 因斯坦凝聚（简称BEC） 现象而分享了本年度诺贝尔 物理学奖。
第八章 玻色统计和费米统计
在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的 统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场 和金属电子气体中的应用。
§8.1 热力学量的统计表达式
一、玻色分布和费米分布
玻色分布和费米分布可写为
优选
1
al
l
e l
1
（8.1.1)
相应的宏观条件可表为:
l
l
e l
1
N
l
l l
l D( )d
l
0
代入自由粒子气体的D(ε)dε的表达式
D( )d
g
2V
h3
(2m)3/2 1/2d
优选
12
有
N
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
1/2d
e 1
3
U
g
2V
h3
(2m)3/ 2
0
d
e 1
引入变量x=βε, 上面两个式子可改写为：
N
g
2V
h3
(2mkT )3/2
0
x1/ 2dx e x 1
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/
2
优选
16
U
3 2
NkT
1
1 23/ 2
1 g
N V
h2
2 mkT
3/ 2
讨论：
➢上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能； 第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微 观粒子的全同性原理有关。
➢费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排 斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表 现出吸引作用；