基本初等函数(解答题)

基本初等函数（解答题）1. 为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y x =上”这个课题，我们可以分三步进行研究：(Ⅰ)首先选取如下函数： y x =+21，y x x =+21，y x =-+1求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标： y x =+21与其反函数y x =-12的交点坐标为（－1，－1） y x x =+21与其反函数y x x=-2的交点坐标为（0，0），（1，1）y x =-+1与其反函数y x x =-≤210，()的交点坐标为（152152--，），（－1，0），（0，－1）（II ）观察分析上述结果得到研究结论； （III ）对得到的结论进行证明。

现在，请你完成（II ）和（III ）。

2. 对于在区间[m ，n]上有意义的两个函数f (x)与g (x)，如果对任意x ∈[m ，n]均有| f (x) – g (x) |≤1，则称f (x)与g (x)在[m ，n]上是接近的，否则称f (x)与g (x)在[m ，n]上是非接近的，现有两个函数f 1(x) = log a (x – 3a)与f 2 (x) = log aax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]．（1）若f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论f 1(x)与f 2 (x)在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？3. min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论： min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．4. 判断函数f (x )=(a +1)x 2-2a(a+1)x +1 的单调递增区间,并用定义证明。

5. 设函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m,n ，恒有f (m+n)=f (m)f (n)，且当x >0时，0<f (x )<1。

⑴求证：f (0)=1，且当x <0时，有f (x )>1； ⑵判断f (x )在R 上的单调性；⑶设集合A ＝{(x ,y )|f (x 2)f (y 2)>f (1)}，集合B ＝{(x ,y )|f (ax －y +2)=1,a ∈R}，若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围。

6. 设y =f (x )是定义在区间[－1,1]上的函数，且满足条件： （i ）f (－1)=f (1)=0；（ii ）对任意的u,v ∈[－1,1]，都有|f (u)－f (v)|≤|u －v|。

(1)证明：对任意的x ∈[－1,1]，都有x －1≤f (x )≤1－x ； (2)证明：对任意的u,v ∈[－1,1]，都有|f (u)－f (v)|≤1；(3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y =f (x )，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由. 7. ).(1)( ,1)1()(x f ,x 0x x xx f x f 求且已知≠≠+=-+8. 设定义在R 上的函数 f(x),满足当x >0时, f(x)>1,且对任意x,y ∈R ,有 f (x+y )=f (x ) f (y ), f (1)=2.1)2()3(21)]( [ )2(;4)3()1(22+=++>-f x f x f x x f 解方程解不等式9. )1()()(),1,1(,)1(:)()1,1(xyy x f y f x f y x x f ++=+-∈-都有对任意满足上的函数定义在(2)当x ∈(-1,0)时,有f(x)>0.求证:(Ⅰ)f(x)是奇函数；).31()551()191()111()(2f n n f f f >+++++∏ 10. 定义域为R 的函数f(x)满足：对于任意的实数x ，y 都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x ＞0时f (x )＜0恒成立.(1)判断函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明 f (x )为减函数；若函数 f (x )在[-3，3）上总有f (x )≤6成立，试确定f (1)应满足的条件；)0,(),()(1)()(1)3(22<->-a n a f x a f nx f ax f nx 是一个给定的自然数的不等式解关于11. 已知f (x )是定义在R 上的函数，f (1)=1,且对任意x ∈R 都有f (x +5)≥f (x )+5, f (x +1)≤f (x )+1.若g (x )=f (x )+1-x ,求g(2002).12. 定义在［－1，1］上的奇函数()f x 满足()11f =，且当[],1,1a b ∈-，0a b +≠时,有()()0f a f b a b+>+．（1）求证：()f x 是［－1，1］上的增函数． （2）证明：当113x ≤≤时，()3fx x ≤．（3）若()221f x m am ≤++对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，求m 的取值范围． 13. 已知函数22()4422()f x x m x m m m R =-+-+∈在区间[0,2]上的最小值是5，求 m 的值．14. 已知,αβ是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数22()1x t f x x -=+的定义域为[],αβ。

(1)求()max ()min ()g t f x f x =-； (2)证明：对于(0,)(1,2,3)2i u i π∈=，若123sin sin sin 1,u u u ++=123111(tan )(tan )(tan )g u g u g u ++<则。

15. )]()([21)2(:)(21212,1x f x f x x f R x x x f R +≤+∈都有对任意满足上的函数定义在，则称函数f (x )是R 上的凹函数.已知二次函数f (x )=ax 2+x (a ∈R ,a ≠0). (1)求证：当a ＞0时，函数f (x )是凹函数；(2)如果x ∈［0，1］时，|f (x )|≤1，试求实数a 的取值范围.16. 对任意实数x,y ，均满足f (x+y 2)=f (x )+2[f (y )]2且f (1)≠0,求f (2001). 17. .)92()(,0,2||,,222的最小值求且vuv u v u R v u --+->≤∈18. 已知函数a a x f x 3)(+=（0>a ，1≠a ）的反函数是)(1x f y -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x f y -=的图象关于点)0,(a 对称． （Ⅰ）求函数)(x g y =的解析式； （Ⅱ）若函数)()()(1x g x fx F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，a 求的取值范围．19. ;)20041()20041((1) 11log- )(的值求已知函数-++-+=f f xx x x f .（2）当x ∈(-a ，a ）（其中a ∈（-1，1），且a 为常数）时，f （x ）是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请你说明理由.20. 已知函数f (x )=log 3(2x-a ),当点P(x',y')是函数f (x )的图象上的点时，点Q(2x ',0.5y ') 是函数y =g (x )的图象上的点. (1)求函数y =g (x )的解析式；(2)当-1＜a ＜0时，不等式4g (x )≤f (x )的解区间的长度记为h (a ),已知a 1≠a 2，且a 1,.2)()()2().0,1(21212的大小并说明理由与试比较a h a h a a h a ++-∈21. 已知定义域为[0 , 1]的函数f (x)同时满足以下三条：①对任意的x ∈[0 , 1]，总有f (x)≥0；②f (1) =1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1 + x 2≤1，则有f (x 1 + x 2) ≥ f (x 1) + f (x 2)成立。

解答下列各题：（1）求f (0)的值；（2）函数g (x ) = 2x – 1在区间[0 , 1]上是否同时满足①②③？并予以证明； （3）【理科】假定存在x 0∈[0 , 1]，使得f (x 0)∈[0 , 1]且f [f (x 0)] = x 0， 求证：f (x 0) = x 0.22. 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c 使?)1(21)(2都成立对一切不等式R x x x f x ∈+≤≤23. 3222)(a b x a ax x f -++=已知函数.b a x f x x f x 、，求时，，；当时，，当0)( )6()2(0)( )62()1(<∞+--∞∈>-∈的值及f(x)的表达式.?)()16(2)1(4)(4)(2(的值恒为负取何值时，函数，）设x F k k x k x f k x F -+++-=24. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a,b 为常数且a ≠0),满足条件：f (-x +5)=f (x -3)， 且方程f (x )= x 有等根. （I ）求f (x )的解析式；（II ）是否存在实数m 、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别是[m ，n ]和 [3m ，3n ],如果存在，求出m 、n 的值；若不存在，说明理由.25. 17)(, 0,)(2++-=≥x x x x f x R x f 时当上的偶函数是定义在已知函数(1)求当x <0时，f(x)的解析式；(2)试确定函数y=f(x)（x ≥0）的单调区间，并证明你的结论； (3)若x 1≥2,且x 2≥2证明：|f(x 1)-f(x 2)|<2.26. 设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x >0时f(x)<0,且f (1)= -2,求f(x) 在[-3，3]上的最大值和最小值.27. 已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数. 当a, b ∈[－1，1]，且a +b ≠0时，有.0)()(>++ba b f a f（Ⅰ）（文、理）判断函f (x )的的单调性，并给以证明；（Ⅱ）（理）若f (1)=1，且f (x )≤m 2－2bm +1对所有x ∈[－1，1]，b ∈[－1，1] 恒成立，求实数m 的取值范围. 28. .,1)(2的取值范围求实数的定义域是一切实数若函数a aax ax x f +-=29. 已知函数：)(1)(a x R a x a a x x f ≠∈--+=且⑴证明：f (x )+2+f (2a －x )=0对定义域内的所有x 都成立. ⑵当f (x )的定义域为[a +21,a +1]时，求证：f (x )的值域为[－3，－2]；⑶设函数g(x )=x 2+|(x －a )f (x )| ,求g(x ) 的最小值 .30. 已知偶函数)(x f ，对任意∈21,x x R ，恒有：12)()()(212121+++=+x x x f x f x x f ， 求：（1）)2(),1(),0(f f f 的值； （2）)(x f 的表达式； （3）),0()10()()(2)]([2+∞≠>=-在且a a ax F x f x f 上的最值.31. 设f (x )是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数. (1)判断f (x )在(-∞,0)内的单调性能,并用函数单性的定义证明;(2)设f (1)=0,解关于x 的方程式f [log a (1-x 2)+1]=0 (常数a >0);(3)设m >0,n >0, f (mn )= f (m )+ f (n ),且f (-2)= -1.求不等式log 0.5|f (x )+1|>0中t 的取值范围. 32. )5,2(),2,1()3(1)(A b ax f x的图象过点已知函数-=（1）求函数f -1(x )的解析式；≥+++∈=-)11()11)(11(,*,),(3)2(211nn a a a k N n n fa 使得是否存在正数记., ,* 12若不存在说明理由的最大值若存在求出均成立对一切k N n n k ∈+33. 设x ，y ，z ∈R +，且3x = 4y = 6z 。