yl第8章投影变换(+第7章复习)
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投影变换
V X H
ax
a2
a ax1
H X1 P 1
.
ax2 .
a1
P2 P1 X 2
四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1
V
A
b
●
n
d b
d1
.
●
D
a1≡b1≡m1
●
c1
n1
d1
n1
H P1 X1
圆半径=MN
c1
●
求交叉两直线AB、CD间的距离。
b
m
d k a k d m a d 1 c c b c 1 k 1 m2 a2 b2 c2 k2 d2
V XH
b1
m1
a1
Why？
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
H X1 P 1
.
求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB垂直 于投影面时，CD平行于投 影面，其投影反映实长。所 以，需要把直线AB变换成 投影面垂直线。
AD C B abd P c
X
V H
直线CD在P1 / P2两投 影体系中，平行于新 投影面P2。则CD直线 在P1平面中的投影有 什么特点?
c d a1 d1 .
距离
b b1 . a2 2d2
P1 P2
c2
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
X2
求C点到AB直线的距离。
a1
a k1 b1 c k' b c1
投影变换概述
机械制图
谢谢观看！
（2）旋转法
原投影面保持不变，将空间几何元素绕着某条选定的轴线 旋转到有利于解题的位置，这种投影变换方法称为旋转法。
如图2-57所示，以△ABC上垂直于H面的直角边AB为轴， 使△ABC旋转到与V面平行的位置△ ABC1 ，此时在V面上的投 影△ a'b'c换面法
图2-57 旋转法
2．投影变换的分类
投影变换的方法一般有换面法和旋转法两种。
（1）换面法 保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影
体系中的某一个投影面，组成一个新的投影体系，使几何元素 在新投影面上的投影直接反映所需要的几何关系，这种方法称 为换面法。
如图2-56所示，△ABC在原投影体系H面和V面上的投影 均不反映实形。现设置一个新投影面V1 ，使 V1面垂直于H面 并与△ABC平行，这就组成了一个新投影体系V1 /H， V1面 与H面的交线 O1X1称为新投影轴。在这个新投影体系中， △ABC在V1面上的投影△a1'b1'c1'反映实形。
机械制图
投影变换概 述
投影变换概述
1．投影变换的概念
当直线或平面相对投影面处于一般位置或不利于解题的 位置时，在投影图中不能较简便地解决它们之间的一些度量 问题或某些空间几何问题。
若能改变直线或平面对投影面的相对位置，使其由一般 位置变换为特殊位置，就能达到有利于解题的目的。这种变 换空间几何元素（点、线、面）对投影面相对位置的方法， 称为投影变换。
投 影 变 换
的.根据投影方向与投影平面之间的关系，平行投 影又可以分为正投影与斜投影
透视投影
平行投影
1.1透视
在坐标系 oxyz 中来讨论投影，假定投影平面是z 0 , 设视点为
C (xc , yc , zc ) ，空间中任一点 Q (x, y, z) 在 z 0 平面上的投影为
P(xp , yp , 0) 。设 P，Q ，C 在 oxz 平面上的正投影分别为
x0 xr d xn
xn2
y
2 n
z
2 n
y0 yr d yn
xn2
y n2
z
2 n
(4.19)
z0 zr d zn
xn2
y
2 n
z
2 n
oz 轴和N方向一致，故有
(a31, a32 , a33 ) (xn , yn , zn )
xn2
yn2
z
2 n
(4.20)
计算x0, y0, z0和aij(i, j =1, 2, 3)的方法
P，Q ， C 则
xp xc x xc
zc
zc z
图示
透视投影的计算公式
整理后便有
同理可得
xp
xc
(x
xc )
zc zc
z
(4.13)
yp
yc
(y
yc )
zc zc
z
(4.14)
这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点 (x, y, z)
的坐标代入式（4.13）和式（4.14）便可求出在平面 z 0
ox 轴和向量U×N方向一致，设
i jk
U N x y z bi bj b k
u
u
u
透视投影
平行投影
1.1透视
在坐标系 oxyz 中来讨论投影，假定投影平面是z 0 , 设视点为
C (xc , yc , zc ) ，空间中任一点 Q (x, y, z) 在 z 0 平面上的投影为
P(xp , yp , 0) 。设 P，Q ，C 在 oxz 平面上的正投影分别为
x0 xr d xn
xn2
y
2 n
z
2 n
y0 yr d yn
xn2
y n2
z
2 n
(4.19)
z0 zr d zn
xn2
y
2 n
z
2 n
oz 轴和N方向一致，故有
(a31, a32 , a33 ) (xn , yn , zn )
xn2
yn2
z
2 n
(4.20)
计算x0, y0, z0和aij(i, j =1, 2, 3)的方法
P，Q ， C 则
xp xc x xc
zc
zc z
图示
透视投影的计算公式
整理后便有
同理可得
xp
xc
(x
xc )
zc zc
z
(4.13)
yp
yc
(y
yc )
zc zc
z
(4.14)
这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点 (x, y, z)
的坐标代入式（4.13）和式（4.14）便可求出在平面 z 0
ox 轴和向量U×N方向一致，设
i jk
U N x y z bi bj b k
u
u
u
投影映射知识点梳理汇总
投影概念：投影指的是在两个点集之间建立一一映射关系。
长度变形：地球仪上，纬线长度不等；同一纬线上，经差相同，纬线长度相同；同一经线上，纬差相同而经线长度不同；所有经线长度相等。
面积变形：地球仪上，同一纬度带内，经差相同的网格面积相等；同一经度带内，纬度越高，面积越小。
角度变形：地球仪上，经线与纬线处处呈直角相交。
按变形性质分类：等角投影：角度变形为零。
等积投影：面积变形为零。
任意投影：长度、角度和面积都存在变形地图投影的选择中国分省（区）地图正轴等角割圆锥投影、正轴等面积割圆锥投影、正轴等角圆柱投影、高斯一克吕格投影（宽带）大比例尺地图多面体投影（北洋时期）等角割圆锥投影（兰勃特投影）（解放前）高斯一克吕格投影（解放以后）高斯一克吕格投影是横轴椭圆柱等角投影，它的中央经线和赤道为互相垂直的直线，其他经线均为凹向并对称于中央经线的曲线，其他纬线均为以赤道为对称轴的向两极弯曲的曲线，经纬线成直角相交。
角度没有变形，长度和面积均有变形，且距离中央经线愈远变形愈大。
高斯投影特征：中央经线和赤道投影为互相垂直的直线，且为投影的对称轴投影后无角度变形，即保角投影中央经线无长度变形，同一条经线上，纬度越低，变形越大，赤道处最大同一条纬线上，离中央经线越远，变形越大；为了保证地图的精度，采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度,这样把许多带结合起来，可成为整个区域的投影。
地图投影的选择主要考虑以下因素：制图区域的范围、形状和地理位置；地图的用途、出版方式及其他要求等。
高斯投影减少误差的基本思想是什么？由于高斯一克吕格投影采用了分带方法，各带的投影完全相同，分带投影可以限制变形的程度，但也给投影带来了连续的问题。
因为两相邻投影带的公共边缘子午线在两带投影平面上的投影的弯曲方向，使得位于该边缘子午线附近，分别居于两带的地形图不能拼接。
拓扑关系：是不考虑度量（距离）和方向的空间物体之间的关系。
第7讲 投影变换
a1
V X H
a
（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 （2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投 影轴的距离。
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（2）变换H面时点的投影作图
a1
V 工 程 图 学 基 础 a H a
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a a1 X A XV H a
2. 点的两次变换
上一页下一页返回目录两平面夹角几何元素处于一般位置和有利于解题的位置的对照上一页下一页返回目录保持几何元素的位置不动而建立新的直角投影面体系旋转法保持原直角投影面体系不动将空间几何元素绕某个选定的轴旋转上一页下一页返回目录321更换投影面的原则322点的投影变换规律323四个基本问题324换面法应用举例上一页下一页返回目录321更换投影面的原则体系变换为v1h体系新投影体系的建立上一页下一页返回目录新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的特殊位置
将迹线平面P变换成正垂面
工 程 图 学 基 础 为求作平面P在V1面上的正面迹线PV1，先作出PH与X1轴的 交点Px1，在平面P内任选一点A，作出点A的新投影a1′，连 接PX1与a1′的直线即为平面P在新投影面V1上的迹线PV1。
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4. 将一般位置平面变为投影面平行面 a 2
将一般位置直线变为投影面垂直线 b 工 程 图 学 基 础 a XV H b a2 b2 a
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思考题 如何求点C到直线AB的距离？
b
工 程 图 学 基 础 a c b X a c
b a V H b a a2 b2 提示
X
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3. 将一般位置平面变为投影面垂直面
三维投影基本原理
平行正投影三视图
1.投影规律:
左 上
主xoy
下
右
高平齐
上
yoz
后 左 前 下
主、俯视图 “长对正” 主、左视图 “高平齐” 俯、左视图 “宽相等”
左
长对正
后
俯zox
右
宽相等
前
主视图 上下、左右； 2.各视图中的方位： 俯视图 前后、左右； 左视图 前后、上下。
例三棱柱及表面上各点的三视图。
两种三维直角坐标系统 (a)右手系统 (b)左手系统
平面几何投影分类
F为投影平面；p1p2 为三维直线；p’1p′2 是p1p2 在F上的投影； 虚线显示投影线；o是投影中心。
•由平行投影方法表现三维对象的图，称为正视图和轴测图；
•由透视投影方法表现三维对象的图，称为透视图。
平行投影
按照标准线与投影面的交角不同，平行投影分 为两类：正交平行投影和斜交平行投影。 1、正交平行投影(orthographic P.P.)的投影 线与投影平面成90°角。将一个三维点(x,y,z)用 正交平行投影法投影平面xoy上，得到一个二维 点(xp,yp)。这种变换，可以由正交平行交换公式 来计算，它为 xp＝x； yp＝y； zp＝0
同样，也可以将三维物体正交平行投影 于xoz和yoz平面上，分别获平视与侧视图。 设计中常用正交平行投影来产生三视图称 为正视图。它们具有x,y方向易于测量的 特点，因此作为主要的工程施工图纸。
的方向一致。 分类（组成）：主视图X、侧视图Y、俯视图Z 注意：此处， X指前， Y指右，Z指上
1平行投影(parallel projection)。它使用一组 平行投影线将三维对象投影到投影平面上去(图 3.21(a))。 2透视投影(perspective projection)。它使用 一组由投影中心产生的放射投影线，将三维对象 投影到投影平面上去。
第七章 投影变换
a
V
A
作图：
b a
V H
V1
a1
b1
X
b
B
b a
H
V1
.
X
a
X1
H b
X1
a1
●
●
b1
新投影轴的位置？ 应与ab平行。
例2：已知直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′， 试求直线AB的实长和对V面的夹角β。
在变换平行线时，需确定：
确定更换哪一个投影面 选定新投影轴的方向
2、把投影面平行线变换成投影面垂直线
垂直面变换成平行面
A A
Ⅰ
Ⅱ
D
பைடு நூலகம்
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
三、平面的投影变换
把一般位置平面变换为投影面垂直面 把投影面垂直面变换成投影面平行面 把一般位置平面变换为投影面平行面
一、点的投影变换
1、 点的一次变换
点的一次变换（变换V面）
点的变换规律:
1) 新投影与不变投影之间的连线始终垂直于新 投影轴，即a a 1⊥x1轴；
2） 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距 离，即 a 1ax1= a ax轴。
2、 点的二次变换
在变换投影面法中，有时变换一次还不能解决问 题，这时必须变换两次或更多次。
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新投影的求法 和原理与更换一个投影面时完全相同。但必须指出，v面和H 面必须交替变换。 对新、旧投影面（投影轴）的概念要随变换过程而随时 改变。
点 的 二 次 变 换
二、直线的投影变换
将一般位置直线变换成投影面垂直线，只经 过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置 直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投 影面均不垂直，不能构成直角投影体系，所以必 须经过两次换面。 首先将一般位置直线变成投影面平行线，然 后将投影面平行线变成投影面垂直线。
V
A
作图：
b a
V H
V1
a1
b1
X
b
B
b a
H
V1
.
X
a
X1
H b
X1
a1
●
●
b1
新投影轴的位置？ 应与ab平行。
例2：已知直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′， 试求直线AB的实长和对V面的夹角β。
在变换平行线时，需确定：
确定更换哪一个投影面 选定新投影轴的方向
2、把投影面平行线变换成投影面垂直线
垂直面变换成平行面
A A
Ⅰ
Ⅱ
D
பைடு நூலகம்
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
三、平面的投影变换
把一般位置平面变换为投影面垂直面 把投影面垂直面变换成投影面平行面 把一般位置平面变换为投影面平行面
一、点的投影变换
1、 点的一次变换
点的一次变换（变换V面）
点的变换规律:
1) 新投影与不变投影之间的连线始终垂直于新 投影轴，即a a 1⊥x1轴；
2） 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距 离，即 a 1ax1= a ax轴。
2、 点的二次变换
在变换投影面法中，有时变换一次还不能解决问 题，这时必须变换两次或更多次。
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新投影的求法 和原理与更换一个投影面时完全相同。但必须指出，v面和H 面必须交替变换。 对新、旧投影面（投影轴）的概念要随变换过程而随时 改变。
点 的 二 次 变 换
二、直线的投影变换
将一般位置直线变换成投影面垂直线，只经 过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置 直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投 影面均不垂直，不能构成直角投影体系，所以必 须经过两次换面。 首先将一般位置直线变成投影面平行线，然 后将投影面平行线变成投影面垂直线。
投影变换、切变变换(优秀经典公开课比赛课件)
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投
影后的点坐标为(0,y).
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y) P/(0, y)
ox
建构数学
像
1 0
0 1 0 1
0 0
这类将平面内图形投影到某条直线
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
当kx<0时，沿y轴负方向移动；
当kx=0时，原地不动，
在此变换作用下，y轴上的点为不动点。
课堂小结
1．投影变换与投影变换的概念。
2.投影变换对应的矩阵。
切变变换与切变变换矩阵的概念。
3．10
k 1
是沿Байду номын сангаас轴方向的切变变换，x轴上
的点是不动点。
4．1k
0 1
是沿y轴方向的切变变换，y轴上的
点是不动点。
2.切变变换
F
F
S
S
F
F
一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平
行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要 发生改变，如图，这种形式的形变叫切变。
问题情境
一副码好的纸牌，现将它的左边与一把直尺对 齐，保持直尺底端右下角和最下面一张纸牌不动， 用直尺轻轻推动纸牌，使得纸牌的形状变换为如图2 所示的模样，问纸牌被推动的前后存在什么变化规 律吗？
当ky>0时，沿x轴正方向移动；
当ky<0时，沿x轴负方向移动；
土木工程制图习题答案
第1章制图基本知识与技能思考题（1）图幅有几种幅面尺寸？A0、A1、A2、A3、A4。
（2）什么是比例？在图样上标注尺寸与图形比例有无关系？比例是指图形与实物相对应的线性尺寸之比。
不论什么比例，在标注尺寸时必须标注对象的真实尺寸。
所以在图样上标注尺寸与图形比例无关系（3）试述粗实线、中实线、细实线、中虚线、细点画线、细双点画线、波浪线、折断线的线型和线宽？各种图线相交时应注意什么问题？线型和线宽各种图线相交时应注意什么问题3（4）试述尺寸线、尺寸界线、尺寸起止符号、尺寸数字的基本规定。
尺寸线：①尺寸线应用细实线绘制，应与被注长度平行。
图样本身的任何图线均不得用作尺寸线。
②互相平行的尺寸线，应从被注写的图样轮廓线由近及远整齐排列，较小尺寸应离轮廓线较近，较大尺寸应离轮廓线较远。
③平行排列的尺寸线的间距宜为7～10 mm。
尺寸界线：尺寸界线应用细实线绘制，并应由图形的轮廓线、轴线或对称中心线引出，并超出尺寸线末端2～3 mm。
也可利用轮廓线、轴线或对称中心线作尺寸界线。
尺寸界线一般应与尺寸线垂直，必要时才允许尺寸界线倾斜。
尺寸起止符号：①尺寸线与尺寸界线相接处为尺寸的起止点。
②尺寸起止符号一般用中粗斜短线绘制，其倾斜方向应与尺寸界线成顺时针45°角，长度宜为2～3 mm。
半径、直径、角度与弧长的尺寸起止符号，宜用箭头表示，如图1-15所示。
③在轴测图中标注尺寸时，其起止符号宜用箭头。
尺寸数字：水平方向线性尺寸数字一般应注写在尺寸线的上方中部大约1 mm的位置，字头向上。
上方注写不下时，也允许注写在尺寸线的下方或中断处，对于铅垂方向的线性尺寸，其尺寸数字一般应注写在尺寸线左侧中部大约1 mm的位置，字头向左。
同一张图样，应尽可能采用相同的标注方法。
尺寸数字字体按国家标准规定书写，数字高度一般为3.5 mm。
尺寸数字不可被任何图线通过，否则必须将该图线断开。
（5）什么是圆弧连接？其作图原理是什么？当连接圆弧半径为已知，圆弧连接作图的关键是什么？圆弧连接：常见的机件中有许多机件具有光滑的轮廓，它们的轮廓图形大都是由曲线与直线或曲线与曲线光滑连接而成的，绘制这类图形的方法称为圆弧连接。
投影变换
1.将一般位置平面变换为
投影面的垂直面
b
a
d
b1
c
V
D
X
d1H1 H
a1
a
b d
c1
c
d
c
一次换面即可
[例题5] 求点S到平面ABC的距离
k1
s1
距离
[例题6]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
e
d e
d
N
有两解
2. 将投影面垂直面变换为投影面的平行面
V
c
c1
1. 新投影体系的建立
V1
a1
c1 b1
c
c1
a
b1
b
X
a1
bc
X1
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系 V1/H 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。
2. 新投影面的选择原则
V1∥ABC V1 H
3.点的两次变换
第一次变换时的旧、 不变、新投影
旧轴 新轴
a2 a2
旧投影 不变投影 新投影
V/H V1/H V1/H2
值得提醒的是:
在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。 如:
V/H V1/H V1/H2 V3/H2 V/H V/H1 V2/H1 V2/H3
6.2.3 直线的换面
1.将一般位置直线变换为投影面的平行线
6. 2 换 面 法
6.2.1 换面法的基本概念 6.2.2 点的投影变换规律 6.2.3 直线的换面 6.2.4 平面的换面
6.2.1 换面法的基本概念
投影变换
以新的投影面置 换某一旧的投影 面，建立起一个 新的二面体系， 使某一直线或平 面由一般位置变 换为特殊位置。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
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2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
投影变换法
O
面P内，则可利用平面 内求点的作图方法求 出所缺投影k’ 。
8
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
距离题：
例 在直线AB上求作一点K与已知两点E、F等距离。
b’
a’ f’
X
e’
b
f be
Lesson 6
分析：点K要与E、F两 点等距离，其轨迹之一 是E、F两点连线的中垂 O 面P，而点K又要在直线 AB上，因此，上述中 垂面P与直线AB的交点 就是所求的点K。
求两平面的交线
c m
m
c
Lesson 6
k 1
k
1
b PV n 2
e
a b2
步骤：
l
QV
1、用直线与平面
求交点的方法求
出两平面的两个
共有点K、E。
e a
l
2、连接两个共有
点，画出交线KE。
2
n HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
Lesson 6
15
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
QV f
1
b
f b
1
Lesson 6
c
步骤：
1、过EF作正垂
k
平面Q。
2
2、求Q平面与
a ΔABC的交线Βιβλιοθήκη eⅠⅡ。2
k
a
3、求交线ⅠⅡ与 EF的交点K。
16
c
f’ O
面P内，则可利用平面 内求点的作图方法求 出所缺投影k’ 。
8
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
距离题：
例 在直线AB上求作一点K与已知两点E、F等距离。
b’
a’ f’
X
e’
b
f be
Lesson 6
分析：点K要与E、F两 点等距离，其轨迹之一 是E、F两点连线的中垂 O 面P，而点K又要在直线 AB上，因此，上述中 垂面P与直线AB的交点 就是所求的点K。
求两平面的交线
c m
m
c
Lesson 6
k 1
k
1
b PV n 2
e
a b2
步骤：
l
QV
1、用直线与平面
求交点的方法求
出两平面的两个
共有点K、E。
e a
l
2、连接两个共有
点，画出交线KE。
2
n HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
Lesson 6
15
HWANGHAIBO@2008-2009,Faulty of Engineering, Ningbo University
QV f
1
b
f b
1
Lesson 6
c
步骤：
1、过EF作正垂
k
平面Q。
2
2、求Q平面与
a ΔABC的交线Βιβλιοθήκη eⅠⅡ。2
k
a
3、求交线ⅠⅡ与 EF的交点K。
16
c
f’ O
第八次课投影变换
换面法的基本原理 二、换面法的基本原理
⑵ 求新投影的作图方法
a′
X
V H
ax
作图规律 a2a1′ ⊥ X2 轴 a2ax2 = aax1
a2
a ax1 H X1 V1 a1′ V1
.
ax2
.
H2 X2
9
§4—2 变换投影面法
三、换面法的六个基本作图问题
1. 把一般位置直线变换成平行线 作图方法： 作图方法： （1）作新轴O1X1∥ab； 作新轴O ∥ab； （2）作出两端点A和B 作出两端点A 的新投影，得a1′b1′。 的新投影，
X
V H
a′ b a
.
H ′ X1 V1a1●
b1′
●
a2 (b2 )
轴的位置？ X2轴的位置？ 与a1b1垂直
14
§4—2 变换投影面法
第四个问题-----把一般位置平面变换成垂直面 4. 第四个问题---把一般位置平面变换成垂直面
空间分析： 空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线， 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那 垂直线 么该平面则变换成新投影面的垂直面 垂直面。 么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法： 作图方法： V1 c′ 在平面内取一条 在平面内取一条 V C c1 投影面平行线， 投影面平行线，经一 d′ 次换面后变换成新投 a′ bΧ 影面的垂直线， 影面的垂直线，则该 a1(d1) A D 平面变成新投影面的 b1 B 垂直面。 垂直面。 c X d a 思考： 思考： 若变换H 若变换H面，需在面内 取什么位置直线？ 取什么位置直线？
20
§4—3 旋转法
画法几何8投影变换
第八部分投影变换
一、概述：
共5题,必．选一题,每题分值约10-15分。
采用辅助投影面法。
二、各题的知识点及难易度：
●第1、4题：
为一次换面，通过一次换面将一般位置直线变换成投影面的平行线。
再利用投影面平行线的投影特性来解题，涉及到实长、直角投影定理的应用等。
难易度：易，但具一定的灵活性。
●第2题：求一般位置平面的实形及对投影面的倾角.
1.通过一次换面将原一般位置平面转换成特殊位置平面，求出倾角；再通过二次换面将特殊位置平面变换成投影面的平行面,求出实形。
难易度:中
●第3、5题：求两一般位置平面的夹角.
要通过两次换面将原两一般位置平面换成特殊位置平面，即为投影面的垂直面,反映出其夹角。
难易度：中
用辅助投影面法求一般位置平面的实形和对H面的倾角α。
●第二题
已知线段AB的实长为48mm，已知AB的V面投影，通过作辅助投影求它原来的水平投影.
求相交平面与的夹角。
（用辅助投影面法）。
（15分）
●第四题
用辅助投影面法完成三角形的两面投影。
已知三角形为等腰三角形，为底边，顶点在上。
（10分）
求△ABC和△ABD的两面投影,在投影图上表示它们夹角的实际大小。
投影变换-兼容
将平面 投影面垂直面 将平面 投影面平行面 空间分析 在实形图形上直接反映直线夹角 投影分析 返回到原投影面体系 X 12 X //平面内一投影面平行线 平面的积聚性投影 大小，实质是求实形问题。
[例题7] ABC与ABD夹角为60°， 求a'd',b'd'。
a'
XV H c' c d'
2.旋转法
投影面保持不动，将几何元素绕某 一轴旋转到相对于投影面处于有利解题 的位置。
3.2 变换投影面法
点的一次变换（变换V面）
a'
a1 ' V
a'
A
V1
XV H
ax
a ax X
a
ax1
H X1
H X1 V1
ax1
a1 '
一、变换投影面法的基本规律
a'
XV H
ax
（1）在新投影面体 系中，点的一对投影连 线垂直于新投影轴 a a′⊥ X a a1 ⊥ X1 （2）新投影到新轴 之距= 被代替的投影到 原投影轴之距 ax1a1′ = ax a′
b'
d b1 d1 b
X1 H V1 c1 a1
a
将AB 投影面平行线 当两平面的交线 AB垂 新投影轴 X1//ab 直于新投影面时它们 在该投影面上的投影 将AB 反映其夹角 投影面 c2 垂直线 将AB 新投影轴 投影面垂直线 X2 a1b1 60°
投影分析 空间分析
a2 (b2)
目标：将一般位置直线和平面转换为特殊位置，
或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊 位置。
一般位置线变换成投影面平行线 求AB实长及对H面倾角。
[例题7] ABC与ABD夹角为60°， 求a'd',b'd'。
a'
XV H c' c d'
2.旋转法
投影面保持不动，将几何元素绕某 一轴旋转到相对于投影面处于有利解题 的位置。
3.2 变换投影面法
点的一次变换（变换V面）
a'
a1 ' V
a'
A
V1
XV H
ax
a ax X
a
ax1
H X1
H X1 V1
ax1
a1 '
一、变换投影面法的基本规律
a'
XV H
ax
（1）在新投影面体 系中，点的一对投影连 线垂直于新投影轴 a a′⊥ X a a1 ⊥ X1 （2）新投影到新轴 之距= 被代替的投影到 原投影轴之距 ax1a1′ = ax a′
b'
d b1 d1 b
X1 H V1 c1 a1
a
将AB 投影面平行线 当两平面的交线 AB垂 新投影轴 X1//ab 直于新投影面时它们 在该投影面上的投影 将AB 反映其夹角 投影面 c2 垂直线 将AB 新投影轴 投影面垂直线 X2 a1b1 60°
投影分析 空间分析
a2 (b2)
目标：将一般位置直线和平面转换为特殊位置，
或者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊 位置。
一般位置线变换成投影面平行线 求AB实长及对H面倾角。
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1、平面与平面平行
几何条件： 几何条件： 平面上的两条相交直线。
D P C Q E M N F A B
一平面上的两相交直线对应平行于另一
试判断两平面是否平行
s′ n′ m′ r′
n m s
r
结论：两平面平行 结论：
2、平面与平面垂直
几何条件： 几何条件： 一个平面上有一条直线垂直于另一平面。 一个平面上有一条直线垂直于另一平面。
两一般位置平面相交。 两一般位置平面相交。
C
N
两一般位置平面相交
b´ ´ c´ ´ m ´ m k c 1
K
n´ ´
PV
求交线步骤： 求交线步骤： 1、用直线与平面求 交点的方法求两平面 的共有点； 的共有点； 2、判别可见性。 判别可见性。
B
2´ k 1´ ´ e´ ´ b 2 e a´ a´ h´ QV ´
一、换面法的基本概念
c′ c1 ′ V1 a1′ b1′ a1 ′ X1 V/H 体系变为 体系变为V1/H 体系 c1 ′ b1′ X bc a′ b′
X1
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动， 换面法 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影 空间几何元素的位置保持不动 面来代替旧的投影面， 面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有 利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。 利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
a h
M E A H N C
n
判别两平面的可见性
b´ ´ n´ ´ h´ ´ ) 3´ ( 4´ m ´ m 2´ b 1 2） （ 3 c n 4 a h a´ ´
1´ c´ ´
判别可见性的原 理是利用重影点。 理是利用重影点。
第8章 投影变换 章 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时， 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，它们 的投影反映线段的实长、 的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面 的倾角。 的倾角。 当直线或平面相对于投影面处于一般位置时， 当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们 的投影不具备上述特性。 的投影不具备上述特性。 投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为投影 面平行或垂直的位置， 面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定位问题。 定位问题。
e′
n′
f′ b′
c′
d′
c
d m0 m n e f
b
a
一般平面相交
由于相交的两元素均无积 聚性，故不能直接利用积聚性 聚性， 进行求解。解决这类问题， 进行求解。解决这类问题，通 常可借助设置特殊辅助平面 特殊辅助平面进 常可借助设置特殊辅助平面进 行求解。 行求解。 基本作图
F
B M K
A L
X1
把一般位置直线变为投影面垂直线 一般位置直线变为投影面垂直线 变为
a2 b2
[例题 例题2] 例题
求点C到直线AB的距离
作图
a1 c1 k1 b1 k' b'2 k'2 a'2 c'2
距离
k
把一般位置平面变为投影面垂直面 （三） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b′
d′
b1
a′ V X d1H1 H a1 a c1 b dc′ NhomakorabeaD
c
d c
[例题 例题3] 例题
求点S到平面 求点 到平面ABC的距离 到平面 的距离
k1
s1 距离
把一般位置平面变为投影面平行面 （四） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2′ b2′ d2 d′ c2 ′ 实形
d
• （一） 把一般位置直线变为投影面平行线 把一般位置直线变为投影面平行线
b1′
a1′
α
b1′
α
a1′
[例题 例题1] 例题
把一般位置直线变为H 把一般位置直线变为 1投影面平行线
a1
β
b1
一般位置直线变为 变为投影面垂直线 （二） 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 ′ V1 a1′
Q M
基本作图： 基本作图： 判别两平面是否垂直 过空间一直线作已知平 面的垂面
P L2
N L1
判别两平面是否垂直 a′
g′ b′ d′ f′
e′
△ABC⊥△EFG
1′
2′
c′ c
1 g
e
2 d f b
a
投影面垂直面相交
两相交元素中若有一个 元素具有积聚性， 元素具有积聚性，则可利用 其积聚性来求交线。 其积聚性来求交线。 基本作图
M B K F m C PH A L
一般面与投影面垂直面相交 两个同一投影面垂直面相交
P
N k a l
c f n H
一般面与投影面垂直面相交
b V m´
M
k´
´
l´
B
P
c ´
A
L
f´
K
n´ m b
l
m
F N C c PH
f k
a ´ a
l
a
k
n H
c
f
n
一般面与投影面垂直面相交 a′
m0′ m′
几何条件： 几何条件： 平面上的两条相交直线。
D P C Q E M N F A B
一平面上的两相交直线对应平行于另一
试判断两平面是否平行
s′ n′ m′ r′
n m s
r
结论：两平面平行 结论：
2、平面与平面垂直
几何条件： 几何条件： 一个平面上有一条直线垂直于另一平面。 一个平面上有一条直线垂直于另一平面。
两一般位置平面相交。 两一般位置平面相交。
C
N
两一般位置平面相交
b´ ´ c´ ´ m ´ m k c 1
K
n´ ´
PV
求交线步骤： 求交线步骤： 1、用直线与平面求 交点的方法求两平面 的共有点； 的共有点； 2、判别可见性。 判别可见性。
B
2´ k 1´ ´ e´ ´ b 2 e a´ a´ h´ QV ´
一、换面法的基本概念
c′ c1 ′ V1 a1′ b1′ a1 ′ X1 V/H 体系变为 体系变为V1/H 体系 c1 ′ b1′ X bc a′ b′
X1
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动， 换面法 空间几何元素的位置保持不动，用新的投影 空间几何元素的位置保持不动 面来代替旧的投影面， 面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有 利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。 利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
a h
M E A H N C
n
判别两平面的可见性
b´ ´ n´ ´ h´ ´ ) 3´ ( 4´ m ´ m 2´ b 1 2） （ 3 c n 4 a h a´ ´
1´ c´ ´
判别可见性的原 理是利用重影点。 理是利用重影点。
第8章 投影变换 章 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时， 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，它们 的投影反映线段的实长、 的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面 的倾角。 的倾角。 当直线或平面相对于投影面处于一般位置时， 当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们 的投影不具备上述特性。 的投影不具备上述特性。 投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为投影 面平行或垂直的位置， 面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定位问题。 定位问题。
e′
n′
f′ b′
c′
d′
c
d m0 m n e f
b
a
一般平面相交
由于相交的两元素均无积 聚性，故不能直接利用积聚性 聚性， 进行求解。解决这类问题， 进行求解。解决这类问题，通 常可借助设置特殊辅助平面 特殊辅助平面进 常可借助设置特殊辅助平面进 行求解。 行求解。 基本作图
F
B M K
A L
X1
把一般位置直线变为投影面垂直线 一般位置直线变为投影面垂直线 变为
a2 b2
[例题 例题2] 例题
求点C到直线AB的距离
作图
a1 c1 k1 b1 k' b'2 k'2 a'2 c'2
距离
k
把一般位置平面变为投影面垂直面 （三） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b′
d′
b1
a′ V X d1H1 H a1 a c1 b dc′ NhomakorabeaD
c
d c
[例题 例题3] 例题
求点S到平面 求点 到平面ABC的距离 到平面 的距离
k1
s1 距离
把一般位置平面变为投影面平行面 （四） 把一般位置平面变为投影面平行面
a2′ b2′ d2 d′ c2 ′ 实形
d
• （一） 把一般位置直线变为投影面平行线 把一般位置直线变为投影面平行线
b1′
a1′
α
b1′
α
a1′
[例题 例题1] 例题
把一般位置直线变为H 把一般位置直线变为 1投影面平行线
a1
β
b1
一般位置直线变为 变为投影面垂直线 （二） 把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 ′ V1 a1′
Q M
基本作图： 基本作图： 判别两平面是否垂直 过空间一直线作已知平 面的垂面
P L2
N L1
判别两平面是否垂直 a′
g′ b′ d′ f′
e′
△ABC⊥△EFG
1′
2′
c′ c
1 g
e
2 d f b
a
投影面垂直面相交
两相交元素中若有一个 元素具有积聚性， 元素具有积聚性，则可利用 其积聚性来求交线。 其积聚性来求交线。 基本作图
M B K F m C PH A L
一般面与投影面垂直面相交 两个同一投影面垂直面相交
P
N k a l
c f n H
一般面与投影面垂直面相交
b V m´
M
k´
´
l´
B
P
c ´
A
L
f´
K
n´ m b
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F N C c PH
f k
a ´ a
l
a
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n H
c
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一般面与投影面垂直面相交 a′
m0′ m′