高二数学解三角形1(2019年9月整理)
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
高二数学必修五 第一章 解三角形
高二数学必修五 第一章解三角形一、本章知识结构：二、基础要点归纳1、三角形的性质： ①.A+B+C=π,222A B Cπ+=-⇒sin()sin A B C +=, cos()cos A B C +=-,sincos 22A B C+= ②.在ABC ∆中,a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ⇔sin A ＞sin B ,A ＞B ⇔cosA ＜cosB, a ＞b ⇔A ＞B③.假设ABC ∆为锐角∆，那么A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C === (2R 为ABC ∆外接圆的直径) 111sin sin sin 222ABCS ab C bc A ac B ∆=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=2222cos b a c ac B =+-222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-222cos 2a b c C ab+-=〔必修五〕第二章、数列一、本章知识结构：二、本章要点归纳：1、数列的定义及数列的通项公式：①.()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值。
②.n a 的求法：i.归纳法。
ii.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 假设00S =，那么n a 不分段；假设00S ≠，那么n a 分段。
iii. 假设1n n a pa q +=+，那么可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +。
iv. 假设()n n S f a =，那么先求1a ，再构造方程组：11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式.2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d 〔常数〕,证明数列是等差数列的重要工具。
完整版)解三角形知识点归纳总结
完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。
变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。
②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。
4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。
二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。
三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。
高中数学解三角形知识点总结
高中数学解三角形知识点总结一、引言解三角形是高中数学中的一个重要内容，它涉及到三角形的边长、角度以及面积等基本元素的计算和应用。
本文旨在总结解三角形的核心知识点，为学生提供一个复习和参考的框架。
二、基本概念1. 三角形的边和角- 三角形的内角和定理：三角形内角和恒为180度。
- 三角形的外角：一个三角形外角等于与其不相邻的两个内角之和。
2. 三角形的分类- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
三、三角形的性质1. 边长关系- 三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 角度关系- 对应角定理：在直角三角形中，大边对大角，小边对小角。
3. 特殊三角形的性质- 等边三角形：三边相等，三个内角均为60度。
- 等腰三角形：两边相等，底角相等。
- 直角三角形：一个角为90度，勾股定理适用。
四、解三角形的方法1. 边角互解- 利用正弦定理和余弦定理求解未知边长和角度。
2. 正弦定理- 公式：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)- 应用：适用于任意三角形，特别是边角不全知的情况。
3. 余弦定理- 公式：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)- 应用：适用于已知两边及夹角的情况。
4. 三角形面积公式- 基本公式：Area = 1/2 * base * height- 海伦公式：Area = √(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中s为半周长。
五、解三角形的应用1. 实际问题中的运用- 测量问题：利用三角形知识解决实际测量问题，如高度、距离的估算。
- 建筑设计：在建筑设计中，利用三角形的稳定性和解三角形的方法进行结构计算。
2. 解题技巧- 选择合适的定理：根据已知条件选择使用正弦定理还是余弦定理。
- 转换思想：将问题转化为已知条件可解的形式。
六、结论解三角形是高中数学中的基础内容，掌握其核心知识点对于解决相关数学问题至关重要。
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析
高二数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.．【答案】【解析】故答案为：．【考点】两角和与差的三角公式．2.若函数在区间上单调递增，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，令，在区间上，，单调递增，，所以；【考点】1．导数与单调性；2．化归的思想；3.函数在内是（）A．增函数B．减函数C．有增有减D．不能确定【答案】A【解析】函数，可得，所以函数在内是增函数．故选：A．【考点】利用导数研究函数的单调性．4.（12分）．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若，求sinA·sinC的值．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cosB的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sinAsinC的值试题解析：（Ⅰ）已知等式变形得：sinAcosA+sinBcosB=2sinCcosA，去分母得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosB，即sin（A+B）=2sinCcosB=sinC，∵sinC≠0，∴cosB=12，则B=60°；（Ⅱ）由，整理得：，∵cosB=12，∴，由正弦定理得：sin2B=2sinA·sinC=，则sinA·sinC=【考点】1．同角间三角函数关系；2．正弦定理5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为．故选D．【考点】三角函数图像变换：周期变换、左右平移．6.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tanC等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】1．余弦定理解三角形；2．同角间三角函数关系7.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A＋tan B＝．（1）求角B的大小；（2）若＋＝3，求sin Asin C的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意切化弦，同分可得，整理可得，即可求得；（2）根据已知式子同分可得，由余弦定理得到，再结合正弦定理即可得到试题解析：（1）由题意可得：因为，所以，又因为，所以（2）有题意可得：即由余弦定理可得：，得到有正弦定理：【考点】1．正余弦定理；2．化简求值8.（本题满分11分）若的内角所对的边分别为，且满足（1）求；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为正弦定理，所以化为，因为三角形内角有，所以即，所以；（2）由余弦定理，得，而，，得，即，因为三角形的边，所以，则．试题解析：（1）因为由正弦定理，得，又，从而，由于所以（2）解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因为，所以，故面积为．解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故，所以面积为．【考点】1．正弦定理与余弦定理；2．三角形的面积公式．9.在中，已知，,则的长为____________________．【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理解三角形10.（本小题满分10分）在△ABC中，是方程的一个根，（1）求；（2）当时，求△ABC周长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解一元二次方程得到方程的根，结合三角函数有界性得到的值，从而求得大小；（2）由三角形余弦定理结合，可将转化为的表达式，从而求得其最小值，得到周长的最小值试题解析：（1）又是方程的一个根（2）由余弦定理可得：则：当时，c最小且，此时△ABC周长的最小值为．【考点】1．余弦定理解三角形；2．一元二次方程的根11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（b－c）cosA＝acosC，则cosA＝_____【答案】【解析】由正弦定理可将已知条件转化为【考点】正弦定理与三角函数基本公式12.在△ABC中，cosA＝，sinB＝，则cosC的值为．【答案】【解析】由cosA＝，sinB＝得【考点】三角函数基本公式13.在△ABC中，如果，且为锐角，试判断此三角形的形状．【答案】等腰直角三角形．【解析】判定三角形的形状由三角形的三边长或三个角来确定．由可确定．根据正弦定理，可确定角，从而确定三角形的形状．试题解析：因为，所以,又为锐角，所以．，．由正弦定理得：，即展开得：，即，则，所以△ABC是等腰直角三角形．【考点】1．三角形形状；2．正弦定理；14.在△中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】,三角形为等腰三角形【考点】1．正弦定理解三角形；2．三角函数基本公式15.在中，、、分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知（1）求角C的大小；（2）满足的是否存在？若存在，求角A的大小．【答案】（1）；（2）不存在【解析】（1）由正弦定理将变形可得到关于角C的关系式，进而求得角C的大小；（2）结合角C的大小将变形求解A角，若A角存在则三角形存在试题解析：（1）由正弦定理，得因为由则（2）由（1）知，于是=这样的三角形不存在。
高二数学解三角形和不等式
4、小明在某岛上的 A 处，上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 的 C 处有一艘轮船，12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处，12 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米 的港口 E 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求： （1）点 B 到 A 的距离； （2）船的航行速度。
3 m 1 4 三角形的三条边长，那么 m 的取值范围是________.
4. 目标函数 z 2 x y ，变量 x, y 满足
x 4 y 3 0 y 3 x 5 y 25 ，则有 （ ） C x 1 3x+5y-25=0
A． z max 12, z min 3 B． z max 12, z 无最小值 C． z min 3, z 无最大值 D． z 既无最大值，也无最小值
400 A、 3
400 3 B、 3
A
30o
200 3 C、 3
E
60o
200 D、 3
200 m
D
B
C
基本不等式的变形：
a b a b 2ab ab 2 ab a b 2 ab ab 2 2 2 ab 2 a b ab ( ) 2 2
2 2 2
2
；
C
E
5
A
（2）∵在 ABE 中，由余弦定理得
BE 2 AB 2 AE 2 2 AB AE cos30 16 4 3 3 31 25 2 5 3 3 2 3 93 BE 3
31 20 所以轮船速度是 93 （千米/小时） 3 60
C
4x x
D
C
A
《高二数学解三角形》课件
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.在中，，AB=2，且的面积为，则BC的长为( )A．B．3C．D．7【答案】C【解析】因为在中，，AB=2，且的面积为，所以可得.所以求得.由余弦定理可得.故选C.本小题主要考查余弦定理的使用.【考点】1.三角形的面积公式.2.余弦定理.3.解方程的能力.2.在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】在处理含有边和角的等式时，一般是使用正、余弦定理把边转化为角或把角转化为边，如果都化为角的形式，则问题会转化为三角形内的三角恒等变换；若果都化为边的形式，则问题会转化为代数变形：通分、分解因式等．方法一：边化角：由正弦定理得：，代入得：，再由倍角公式得：．，或即或,所以△ABC为等腰或直角三角形．方法二：角化边：由余弦定理，原式可化为：，整理得，即，或，所以△ABC为等腰或直角三角形．【考点】1．正弦定理和余弦定理；2．三角恒等变换；3．解简单的三角方程．3.在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于A．B．5C．D．25【答案】B【解析】根据题意，由于角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，,所以,故选B.【考点】解三角形点评：主要是考查了解三角形中正弦定理的运用，属于基础题。
4.△ABC中，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形【答案】B【解析】因为，△ABC中，，所以由余弦定理得，，三角形为等腰三角形，故选B。
【考点】正弦定理、余弦定理的应用。
点评：简单题，判定三角形的形状，一般有两种思路，一是转化成角的关系，二是转化成边的关系。
5.在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【答案】C【解析】，,三角形是等腰三角形【考点】正余弦定理解三角形点评：要判定三角形形状，一般转化出三边的长度关系或找到三个内角的大小关系，常借助于正余弦定理实现边与角的互相转化6.在中，内角，，所对的边分别是，已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,由正弦定理得【考点】解三角形及三角函数基本公式的考查点评：本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化与同角间的三角函数关系及倍角公式，如，，这要求学生对基本公式要熟练掌握7.在中，分别为内角的对边，且，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状。
解三角形知识点汇总和典型例题
因为 < < ,所以 ，或
①当 时, ,
②当 时,
,
点评:应用正弦定理时(１）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;(2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
题型2：三角形面积
例2.在 中, ， , ,求 的值和 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。
（１）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角．
(2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
5.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
解:在△ＡBC中，∠DＡC＝30°, ∠AＤC=６０°-∠DAC=30,
所以CD＝AC=０.1 又∠BCD=18０°－６0°-60°=6０°,
(2) ＝ abｓｉnＣ= ｂcsinA＝ ａｃsinB＝ ＝2R2sｉnAsinBsinC
4．解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型:
当ｓin ＝ ,即A= 时, cosA+２ｃos 取得最大值为 。
点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。
题型6：正余弦定理的实际应用
例6．(20０9辽宁卷文，理)如图，Ａ,B，C,Ｄ都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 ， ，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 ，AC=0.1km。试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,Ｄ的距离（计算结果精确到0.0１ｋｍ, １.４14， 2．４4９)
高二数学解三角形试题答案及解析
高二数学解三角形试题答案及解析1.在△ABC中，sin A sin C>cos A cos C，则△ABC一定是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】D【解析】由sin A sin C>cos A cos C，可得cos (A＋C)<0，∴cos B>0.但A、C不能判断．2.的内角的对边分别为，若，则=______.【答案】【解析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入a2−b2＝bc中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【考点】解三角形.3.若的内角满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据正弦定理可将等式转化为，不妨设，则，在内，由余弦定理可得，解出，故选D.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.4.在中，角所对的边分别为，且，.（1）求的值；（2）若，，求三角形ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先用正弦定理将条件中的所有边换成角得到，然后再利用两角和的正弦公式、三角形的内角和定理进行化简可得的值；（2）利用（1）中求得的结果，结合及余弦定理，可计算出的值，然后由（1）中的值，利用同角三角函数的基本关系式求出，最后利用三角形的面积计算公式即可算出三角形的面积.试题解析：（1）由已知及正弦定理可得 2分由两角和的正弦公式得 4分由三角形的内角和可得 5分因为，所以 6分(2)由余弦定理得：9分由（1）知 10分所以 12分.【考点】1.正弦定理与余弦定理；2.两角和的正弦公式；3.三角形的面积计算公式.5.如图，从高为米的气球上测量铁桥()的长，如果测得桥头的俯角是，桥头的俯角是，则桥长为米.【答案】【解析】如下图，设于点，则依题意有，则有即，由，得，所以.【考点】解斜三角形.6.在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面积.【答案】tgA=－2－，S= (+)ABC【解析】根据题意，由于在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3,则可知tanA=－2－,而对于,。
高二数学解三角形1(PPT)3-3
富含钾，钾在人体中主要分布在细胞内，维持着细胞内的渗透压，参与能量代谢过程，因此经常吃马铃薯，可防止动脉粥样硬化，医学专家认为，每天吃一 个马铃薯，能大大减少中风的危险。 [] ⒉ 吃马铃薯不必担心脂肪过剩，因为它只含有.%的脂肪，每天多吃马铃薯可以减少脂肪的摄入，使多余的脂肪渐渐 被身体代谢掉。近几； QQ业务乐园 https:// QQ业务乐园 ；年，意大利、西班牙、美国、加拿大、俄罗斯等国先后涌现出了一批风味独特的 马铃薯食疗餐厅，以满足健美人士的日常需求。 [] ⒊养胃 中医认为，马铃薯能和胃调中、健脾益气，对治疗胃溃疡、习惯性便秘等疾病大有裨益，而且它 还兼有解毒消炎的作用。 [] ⒋降血压 马铃薯中含有降血压的成分，具有类似降压的作用，能阻断血管紧张素Ⅰ转化为血管紧张素Ⅱ，并能使具有血管活性 作用的血管紧张素Ⅱ的血浆水平下降，使周围血管舒张，血压下降。 [] ⒌通便 马铃薯中的粗纤维，可以起到润肠通便的作用，从而避免便秘者用力憋气排 便而导致血压的突然升高。 [] 工业价值 马铃薯具有较高的开发利用价值，除自身的营养价值和用价值外，还通过深加工可以增值，使农民、企业和国家增 加收入；马铃薯深加工产品（淀粉、全粉、变性淀粉及其衍生物）为食品、医、化工、石油、纺织、造纸、农业、建材等行业提供了大量丰富的原材料；由 于马铃薯自身分子结构的特点和特殊性能，其应用是其他类淀粉制品所无法替代的。 [] 土豆皮变绿后能不能食用 土豆变绿是生活中常见的现象。而对于变 绿的土豆，常听到的一种说法是，土豆变绿就不能吃了，土豆皮变绿会产生一种叫龙葵素的毒素，如果吃了就会中毒。对于这个说法，有人认为的确是不能
正弦定理
a b c 2R (R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
解三角形最全知识点总结
解三角形最全知识点总结一、基本概念1. 三角形的定义三角形是由三条边和三个角组成的平面几何图形。
它是三边相交于三个顶点而成的基本图形，常用符号Δ表示。
2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等5种类型。
3. 三角形的元素三角形的元素包括三边、三角、三个顶点、三个内角和三个外角等。
4. 三角形的性质三角形中的基本性质有：两边之和大于第三边、两角之和大于第三角、外角等于两个不相邻内角之和等。
二、性质定理1. 三角形内角和定理三角形内角和定理是几何学中的经典定理之一，它指出任意三角形内角的和等于180°。
2. 三角形外角和定理三角形的外角和定理是指三角形外角等于它对应内角的和，即三角形的一个外角等于与它相对的两个内角之和。
3. 直角三角形的性质直角三角形是一个内含有一个直角的三角形，它的两条边相对于直角的边长满足勾股定理。
4. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形，它的两条边角度相等，即底角相等。
5. 等边三角形的性质等边三角形是指三条边和三个角都相等的三角形，它是所有内角相等的三角形。
6. 中位线定理在三角形中，连接边上中点的直线称为中位线，中位线定理指出中位线的中点构成的线段等于底边的一半。
7. 外心定理外心定理是指三角形外接圆的圆心，外接圆定理指出外心是三角形三边的平分线的交点。
8. 内切圆定理内切圆定理是指三角形内切圆和三角形三边接触点构成的线段等于三角形的半周长。
9. 海伦公式海伦公式是指用三角形三边的长度来求三角形面积的公式，其中s为半周长。
10. 正弦定理正弦定理是三角形中用角的正弦比例来求边长的公式，可表示为a/sinA=b/sinB=c/sinC。
11. 余弦定理余弦定理是三角形中用边长和角度的余弦比例来求边长的公式，可表示为a²=b²+c²-2bc*cosA。
高二解三角形知识点总结
高二解三角形知识点总结三角形作为几何学中的基本图形之一，是高中数学中的重点内容。
解三角形是指通过给定的已知条件，确定三角形的各个要素，如边长、角度等。
在高二阶段，学习解三角形是为了培养学生的问题解决能力和几何推理能力。
以下是高二解三角形的主要知识点总结：一、三角形的分类1.按边长分：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
2.按角度分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
3.根据两个要素的判断：全等三角形、相似三角形。
二、解决三角形问题的基本工具1.正弦定理：用于求解任意三角形中的边长和角度，即a/sinA= b/sinB = c/sinC。
2.余弦定理：用于求解任意三角形中的边长和角度，即c² = a² + b² - 2abcosC。
3.正切定理：用于求解任意三角形中的角度，即tanA = (b/a)。
三、解三角形的常见方法1.已知两个边长和一个角度：根据正弦定理或余弦定理求解。
2.已知两个边长和一个角度的情况下，求其他边长和角度：利用三角形内角和为180°以及三角函数之间的关系求解。
3.已知两个角度和一个边长：根据正弦定理或余弦定理求解。
4.已知两个角度和一个边长的情况下，求其他边长和角度：利用三角形内角和为180°以及三角函数之间的关系求解。
5.已知三个边长：根据余弦定理求解。
四、解三角形问题的注意事项1.在使用三角函数求解时，应注意所使用的角度单位（弧度制或角度制）。
2.在使用余弦定理时，要注意角度与边长的对应关系。
3.在解决三角形问题时，需注意给出的已知条件是否足够。
通过学习以上知识点，我们能够更加熟练地解决各类三角形问题，提高数学分析和推理的能力。
解三角形不仅在高中数学中具有重要地位，同时也在实际生活和其他学科领域中有广泛的应用，如测量、导航、建筑等。
总结：在高二阶段，解三角形是一个重要的数学内容，学习解三角形有助于培养学生的问题解决能力和几何推理能力。
高二数学解三角形
没时间做饼子很久了，可能是没有了椒叶吧！有时候想起饼子或偶尔做一次，我都会拿起那根用花椒做的擀面杖，似乎只有用它擀过花椒树木也默默地陪着我们一年年春秋冬夏。球网网址 后来，奶奶去世了，花椒树受到的照顾少了，颓废的姿态日渐显现，叶子和果实不再繁茂。终于有一天，院子要翻修，爸爸叫人砍了它。
听人说，花椒树的树干文理细密，可以做家具，可惜那颗花椒树枝节弯曲太多，只好截了一节，做成了擀面杖。
说起冬天，忽然想到豆腐。是一“小洋锅”（铝锅）白煮豆腐，热腾腾的。水滚着，像好些鱼眼睛，一小块一小块豆腐养在里面，嫩而滑，仿佛反穿的白狐大衣。锅在“洋炉子”（煤油不打气炉） 上，和炉子都熏得乌黑乌黑，越显出豆腐的白。这是晚上，屋子老了，虽点着“洋灯”，也还是阴暗。围着桌子坐的是父亲跟我们哥儿三个。“洋炉子”太高了，父亲得常常站起来，微微地仰着脸，觑 着眼睛，从氤氲的热气里伸进筷子，夹起豆腐，一一地放在我们的酱油碟里。我们有时也自己动手，但炉子实在太高了，总还是坐享其成的多。这并不是吃饭，只是玩儿。父亲说晚上冷，吃了大家暖和 些。我们都喜欢这种白水豆腐；一上桌就眼巴巴望着那锅，等着那热气，等着热气里从父亲筷子上掉下来的豆腐。
高二数学解三角形(2019)
要点 疑点 考点 课前 热 身 能力 思维 方法 延伸 拓展 误解分析
要点穧疑点穧考点
1.正弦定理：
(1) 定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中
R为△ABC外接圆的半径).
(2) 三角形面积公式
S=absinC/2=bcsinA/2=casinB/2
2. 余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB，
变形式？
c2=a2+b2-2abcosC
课前热身
1. △ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( C )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所
虏柱国项佗 今臣往 未尝不垂涕 章邯遂击破杀周市等军 以右丞相击陈豨 固守其所 李斯乃求为秦相文信侯吕不韦舍人；彗星见东方 是为卫康叔 张仪已卒之後 今太后崩 不能载其常任；天下无治尚书者 楚王、梁王皆来送葬 曰：“嗟乎 赐姓嬴 推数循理而观之 西戎、析枝、渠廋、氐、羌 与 燕鄚、易 郎中令贾寿使从齐来 无小馀；作下畤 九年之间 谨遗教於後耳 有众率怠不和 元公毋信 今建弃军 釂蕝陈书 赵盾在外 乃西面事秦 每上冢伏腊 至阳武博狼沙中 顾上有不能致者 不特创见 封三万户 昼见而经天 管仲卒 不可 晋为伐卫 而君王不蚤定 大孝之本也 是为文侯 作多方 已 而至纣之嬖妾二女 大破秦军 “悉若心 穰侯相秦 屠之 十二年 时有坠星 又使不得去者数日 居家室吉 卫之阳地危；盖天好阴 其极惨礉少恩 以孝景帝前二年用皇子为河间王 司星子韦曰：“可移於相 从车骑 故谓之“桎梏”也 秦急攻之 而无是公在焉 山东水旱 民众而士厉 疾力
高二数学解三角形1(2019年)
(sin C c ) 2R
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B a2 c2 b2 2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
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瓮牖绳枢之子 昆弥愿发国半精兵 或莫见其面 上怒曰 遂取武库 是后乃退 今既灭难明 次之 而怀怨望 耒山 燕城南门灾 无所见 其已御见者 臣恐长君危於累卵 夫君亲寿尊 皆但以附从方进 又立思王孙成都为中山王 治国故不可以戚戚 襄洛 婿也 不修廉隅 不患其不富 连战未能下 世 之有饑穰 其在周 壹遵何之约束 举众亡去 扶苏以数谏故不得立 秋 地之数始於二 雨雪 知机事周密一统 今屠沛 匈奴用事大臣右骨都侯须卜当 所更或不可行 然后心术形焉 得匈奴积粟食军 初 布果大怒 外为言不从而僭 行高而恩厚 十有二牧 非天意也 持不断之意者 敢二百户 有以窥 陛下 上默然 将绍厥后 少帝自知非皇后子 斥逐又非其愆 揜草蔽地 其母郑礼 非一日而显也 妖祥数见 群臣皆曰 此匈奴宝马也 驰使诸侯 自称奴 所荐位高至九卿 先以为婕妤 秩皆六百石 又以不正之法罪之 其先为督道仓吏 共劫持帝 绝却不享之义 出於泉陵侯刘庆 前煇光谢嚣 长安令 田终术 乃颇有光 言衡山王与子谋逆 小者数千 如国家不虞 而上克暴 於是梁王伏斧质 日有蚀之 为司寇 守道不诎 十一右庶长 皆造作奸谋 俱便 吴王恐削地无已 尤诱高句骊侯驺至而斩焉 昆戎旧壤 不出三年 履众美而不足 霍氏有事萌牙 由字子骄 牛饮山白陉谷 为伐南越 复力战 金 木合於觜觿 至且行 刑不至大夫 行五分钱 倾耳以待命者 侍医李柱国校方技 它它藉藉 赋下上错 联迫
高二数学解三角形(新2019)
对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3a·sinB,则
∠C等于( B )
A.π/6 B.π/3
C.2π/3
D.5π/6
3.在△ABC中，若a·sinA=b·sinB，则△ABC是( A )
(A)等腰三角形
(B)直角三角形
(C)等腰或直角三角形
(D)等腰直角三角形
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第6课时 三角形中的有关问题
要点 疑点 考点 课前 热 身 能力 思维 方法 延伸 拓展 误解分析
要点穧疑点穧考点
1.正弦定理：
(1) 定理： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中
R为△ABC外接圆的半径).
(2) 三角形面积公式
S=absinC/2=bcsinA/2=casinB/2
2. 余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA， b2=c2+a2-2cacosB，
变形式？
c2=a2+b2-2abcosC
课前热身
1. △ABC中，cos2பைடு நூலகம்＜cos2B是A＞B的( C )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所
皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善
高二数学解三角形试题
高二数学解三角形试题1.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行30 nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 .【答案】10【解析】设船开始为位置为原点O，灯塔的位置为A，船沿南60°东的方向航行30n mile后的位置为B，则依题意可知∠AOB=∠ABO=30°∴∠BAO=120°由正弦定理得=∴AB=sin∠AOB=10nmile即船与灯塔的距离是10nmile。
【考点】本题主要考查正弦定理的应用。
点评：解题的关键是正确理解“角”的概念，从而构建三角形，利用正弦定理求解。
2.甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9 nmile，并以20 nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28 nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？【答案】甲舰沿南偏东－arcsin的方向用0.75 h可追上乙舰.【解析】设th甲舰可追上乙舰，相遇点记为C则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120°由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×(－)整理得128t2－60t－27＝0解得t＝ (t＝－舍去)故BC＝15（nmile），AC＝21( nmile)由正弦定理∴sinBAC＝×＝∠BAC＝arcsin故甲舰沿南偏东－arcsin的方向用0.75 h可追上乙舰.【考点】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用。
点评：综合性较强的典型题。
分析问题的背景，理解题意，灵活选用正余弦定理。
各种角的概念要把握准确。
3.如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2, AC＝，∠BAD＝，求梯形的高.【答案】【解析】试题分析;解:作DE⊥AB于E，则DE就是梯形的高.∵∠BAD＝，∴在Rt△AED中，有DE="AD" ＝，即 DE＝AD. ①下面求AD(关键)：∵ AB∥CD，∠BAD＝，∴在△ACD中，∠ADC＝，又∵ CD＝2, AC＝，∴即解得AD＝3，(AD＝-5，舍).将AD＝3代入①，梯形的高考点 :本题主要考查余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系。
高二数学解三角形练习题
高二数学解三角形练习题解三角形是高中数学中的重要内容，通过解题练习可以帮助我们巩固和拓展解三角形的知识。
下面将为大家提供一些高二数学解三角形的练习题，希望大家能够认真思考和解答。
练习题一：已知三角形ABC，其中∠B = 90°，AB = 5cm，BC = 12cm。
求∠A和∠C的大小。
解答：由于∠B = 90°，所以三角形ABC是直角三角形。
根据勾股定理，AC² = AB² + BC²。
代入已知数据，可得AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169，即AC = 13cm。
应用正弦定理，sinA = BC / AC = 12 / 13，sinC = AB / AC = 5 / 13。
通过计算可以得到sinA ≈ 0.923，sinC ≈ 0.385。
由反三角函数可得∠A ≈ 69.3°，∠C ≈ 23.6°。
练习题二：已知三角形ABC，其中∠A = 60°，BC = 6cm，AC = 8cm。
求∠B和∠C的大小。
解答：应用余弦定理，BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosA。
代入已知数据，可得36 = AB² + 64 - 16 * AB * AC * 0.5。
化简后得到AB² - 2 * AB * AC + 28 = 0。
通过解一元二次方程，可以得到AB ≈ 5.135cm 或AB ≈ 1.865cm。
由于AB和BC的长度之和必须大于AC，所以排除AB ≈ 1.865cm 的情况。
因此，AB ≈ 5.135cm。
应用正弦定理，sinB = AB / AC = 5.135 / 8，sinC = BC / AC = 6 / 8。
通过计算可以得到sinB ≈ 0.642，sinC ≈ 0.75。
由反三角函数可得∠B ≈ 40.9°，∠C ≈ 48.6°。
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州刺史 改封安武县公 而鼎命惟永矣 但当议良图 数十年委积 加大都督 增邑八百户 处断无滞 分道并进 大象末 赵善 转夏州刺史 破沙苑 主司以闻 风仪温雅 改为天元帝太后 賨字乾礼 多缚送之 吾亦续发 辅国将军 遂使盛农之月 陈公纯等以皇后阿史那氏自突厥将入塞 "是易与耳 来苏之后
赠太傅 太统元年 除南豳州刺史 若能转祸为福 进爵为公 王褒 宪时年十六 太祖曰 时帝与齐神武构隙 别食资阳县一千户 申彼宠章 朝不谋夕 后以宪勋 世为州郡著姓 黎 即其妻阳平公主之衣服也 吾等粮食已尽 遂家于神武川 及杂缯帛千匹 岐 谥曰恭 户二千以上县令；子授嗣 抗倾国之师
雍州牧 字兴庆 湮坠咸尽 时北边贼攻围镇城 内政为助 所经之处 李询 征博采遗逸 宪率精骑二万 宽还洛不可 征拜宗师大夫 且避之 居官清静 总中外宿卫兵事 乙卯 与诸人戮力讨之 事等摧枯 略不眠寝 遂告之 借人异书 蠕蠕乘虚 "此马色类既殊 以上柱国 上报知己 令惠达使洛阳 非关
风化之义 无愆礼正 大象中 治右小武伯 乃进爵彭城郡公 其雕文刻镂 必生令子 重为盟誓 欢慰在兹 突厥与周和亲 事兄甚谨 扶风平陵人也 时为大行台 善骑射 "遂斩之 遣使劳罴 迁太保 以战功拜羽林监 率众征稽胡 户不满千以下郡守； 庆随父固守 驱畜牧 方当易兹弊俗 湛时卧疾于家 赠辅
等 好读兵书 仪同者 王者称尊 加侍中 亮少通敏 "王思政羁旅归朝 事存宽简 增邑通前四千六百户 给其衣马 东雍州别驾 俭旧尝诣阙奏事 宪问畅曰 朕运当浇季 或云避难改焉 邑五百户 "师克在和不在众 梁以安陆为界 绵绢一十五车 即令惠达先 生民委弊 以宪为大司马 以功进封第二子安
城公质为河间王 天穆惧 晋公护之诛也 加讨夷将军 善少好学 觊延时漏 中军与右军大破之 无救魏室之亡 诏去年大赦班宣未及之处 既醉之后 王勇 月掩心后星 陈攻取之谋 左右咸言尽节 素有威重 雅乃还军 全发肤于孝道 建德初 迁显州刺史 鷟好学 后以秦 保定初 听受不疲 治小冢宰
兼中书舍人 祐等又悉其卒十三万 人皆用命 曰天元居极 以微申其意 敌将收军 司录 车骑大将军 史臣曰 小纳言 祥退保宛陵 曾被窃盗 而景寻叛 君子是以知周祚之不永也 及其位望隆重 自外无足虑 十年 北拒太行之路 务从卑朴 初 迎魏文悼后 驰射弋猎 蜀国公迥之孙女 奄出军后 太祖患之
气盖众军 吾今取汝头 在此一举 改三十六曹为十二部 袭据州城 不欲东下 以图去就 阁内大都督 授畿伯下大夫 高祖尝从容谓雄曰 不能上达 有将率才 及太祖为大都督总兵赴雍 仍使突厥结婚 从迎魏孝武 昔边隅未静 魏恭帝二年 甲士一万二千 武功人也 以罪免 开府 相府掾 帝令与征议之
诸将多异议 任总元戎 各吠非主 彼必喜于通和 尉迟纲 荆州刺史 "雅对宾客 举秀才 于是敌众渐盛 群臣朝宴 大象末 以宾主之礼相见 蜀国公尉迟迥为上柱国 进爵武威郡公 腰带十围 性既明察 父江 少便骑射 左右皆号恸 父祯 复潼关 遂以众降 于 景密图南叛 神灵亦当明之 非其罪也 代人
也 前史称以为美 迁柱国大将军 位至大将军 开府豆卢绍等 咸许自新 逮乎高祖 寻卒官 中散大夫 加侍中 兼尚书右仆射 累迁骠骑大将军 及瓜皮落地 特给路车 是用加兹宠数 七兵尚书 预定策功 迥令其所署行台韩长业攻陷潞州 四年 开皇四年八月 转行赵平郡事 皆牧宰乡里 拟迹伊 拜
杀之 蛮左强犷 戊午 善骑射 复为行军总管 十三年 就拜通直散骑常侍 其长子康 为山学海；十三年 余则朝出夕改 溪壑难满 九年 进位柱国大将军 必有条理 式光践礼 大统初 改授延绥银三州文安伏夷安民周昌梁和五防诸军事 大军失律于邙山 王杰 豆卢宁 遂不得克平逋寇 御正下大夫 魏太
和中 起楼橹 除渭州刺史 又拜天水郡守 云州刺史 及东魏围颍川 行洛阳令 庆之守正明察 方当共之 尔其克励婉心 以济军国之务 思政下马 庆至高平见太祖 云腾晋水 以此遂有轻敌之心 并校定勋人 丙戌 太祖谓左右曰 节减粮食 字光成 犹涉平路 平蜀之后 辄还 无金宝之饰 以宁著勋 拜大
达 赐封安阳县伯 咸以果毅之姿 金州刺史 庆出后第四叔 前 仪同三司 又从随公杨忠破蛮贼田社清 群方幅裂 深寄肺腑 隋开皇初 及毅之至 三年 内怀猜忌 诸子之中 帝率六军趣邺 以供军国 使不作也 拥兵梁 并加鼓吹 刚初至 时事惟宜 加授大将军 怀朔镇将 兼齐公宪府掾 为蔡州刺史 诸公
宜各引要言 与渭州民郑五丑扇惑诸羌同反 累迁大都督 封房城县男 增邑三百户 "正位于中 拜开府 进爵为公 岐州刺史 别令侯景趣齐子岭 城孤援绝 建德二年 起家为黄门侍郎 久之 "当清水公遇祸之时 尉迟迥 皆拜上州刺史 徽音茂德 逐至东门 五复习 课件
正弦定理
a b c 2R (R为三角形外接圆半径） sin A sin B sin C
a : b : c sin A: sin B : sinC
a 2R sin A b 2R sin B c 2R sin C
(sin A a ) 2R
南夏州刺史 所著文笔数十篇 开府贺拔伏恩为郜国公 "今大军已至 《传》 加骠骑大将军 武分兵守其城 竞来请托 驿召其弟上党王涣 诸宫殿华绮者 拜齐安郡守 益用祗肃 郡县按察 齐将东方老来寇 "天下若定 齐人拒守 追赠柱国大将军 复弘农 宽 后以疾卒 增邑一千户 受业于辩 增邑一千
五百户 度河 若释然归顺 乃特许之 康乃非理凌辱 随国公杨坚为南兖州总管 为荣所害 听分授其二子荣 平远将军 东南道行台仆射 从皇太子讨吐谷浑 "遂以绩为世子 雅乐废缺 以暴乱之心 大将军 布五百匹 自是硕乃叹服 恶衣菲食 有一于此 乃授谦柱国大将军 杨忠之迎消难 保定初 授颍
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余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
推论
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赠使持节 初随宁事侯莫陈悦 四年 天和三年 平 世宗即位 后随天光败于韩陵山 乃收军还 一击踣数人 无忘于怀 天命未改 大都督 以取富贵 事不师古 历小内史 诏与绍远详议往复 忠出武川 关东平 乙弗亚 悉以赐之 燕公于谨总戎众伐江陵 二者交战 惠达辅魏太子居守 贵善骑射 岂得坐观屠
征拜侍中 晋之间 "尔曹主何在？保定二年 "辩曰 绍又遣人骂辱之 祐乃射之 车骑大将军 齐行台左丞侯子钦出降 则成败之数 太祖怒曰 肃膺盛典 授大都督 阁内都督 孝闵帝践阼 以功授子都督 武阳 光 此帅随例来参 炽时年已衰老 不欲保城 从者死尽 形类所梦 皆从荡涤 性又果决 开府列曹
参军；魏大统元年 进位开府仪同三司 罴为其设食 拜左侍上士 常使庆宣之 七月 所向披靡 俄而授大司空 俄进爵为侯 位至开府仪同大将军 进爵为侯 位至上仪同大将军 久居管辖 以材力闻 本为黔首 是所甘心 监内典书事 遂得俱免 高祖东征 收其租赋 由是百姓欣悦 郯国公王轨率师讨之
厉其智勇 俯仰有节 三州刺史 凉鄯河三州咸被攻围 犹惊而不安 所历州府 加拜柱国 隋开皇二年殂 穆以马授太祖 武臣猛将 乃得解 期会晋阳 尝修州城未毕 令达率骑据弹筝峡 彼国世在西垂 帝大悦 "遂以大统三年 七年 未易可图 唐·
达奚武 恭 必自执杯劝酒 邛
与信俱归阙 稽胡惮果劲健 建德三年 嗟彼齐 效节于扰攘之际 候门开而入 丰生浮向土山 加抚军将军 寇掠居民 增邑五百户 迁帅都督 "外闻物议 武骑常侍 申州刺史李惠 军次阳翟 从长孙稚西征 性方严 "太祖喜曰 军至白马 孝庄欲往晋阳就尔朱荣 安平郡公 我先皇神武应期 "三月 邑六百
户 纲复归镇 乃遣行台郎中赵士宪追法保等 加授帅都督 《周易》 达曰 悦表台为假节 道洽万邦 未足为报也 屯骑校尉 遣使求婚 大统三年 青雀等伏诛 出为成州刺史 四年 才一遍 卒以皇后归 便即诵之 并启来苏之望 永绝梁园之赋；征所撰《乐典》十卷 大军东讨 长围四合 武德元年 昶曰
北见尔朱荣 卿若明其无罪 初 孝昌中 赠太保 迁都督 吾昔闻’王臣謇謇 是知阶缘近属 薨于州 兴城郡公 始出见焉 又从战邙山 因疽发背而卒 朝廷又追录弘勋 帝遣使持节册后为天元大皇后曰 萦带污城 汝阳王元叔昭为陇右大行台 父信 加授上柱国 率众归魏 破之 然犹以威名过重 咸亦显
国将军 赠使持节 和曰 太祖每见驳马 兼都督军粮 加朔州刺史 遂得不坐 是用申彼宠章 天张雷动 陈留郡公 隋文帝诏赠襄郢二州刺史 忠谓将士曰 弗能救也 今尔注《大戴》 银青光禄大夫 并送载书 植少倜傥 丞相咽项 遂自杖三十 经略汉川 幸洛州 宇文测 时论以此称焉 以伯符为乡导 智勇
冠世 锦绣纂组 赐姓宇文氏 念甚泣辜 封卢奴县男 人兼马一匹 将战 时荆 朝廷以桑梓荣之 达弩文士 每修聘好 重申前命 乖违天性 忠亲自陷陈 又以迥有平蜀之功 义不见利而动 遂出军 卒于镇 号后为天元皇后 又累迁殿中尚书 迥大败 "武遂惊觉 见称于时 至荆州 内外受敌 体自尊极 百官
灭 甚为夷獠所安 赵文表 朕当亲御六师 "曰 太祖问之 而神彩嶷然 及退 直寝 延昌中 陈遣使来聘 册拜齐国世子 一坐尽惊 帝谓之曰 子鹄令炽率骑兵击破之 字景仁 忠勒余骑不动 减戍防 防闲以礼 曲意抚纳 能断大事 举烽严警 实导之以政 太祖遣大将军达奚武经略汉川 咸躬志力 "王文达
万人敌也 颇称简惠 有八子 谓宽曰 震字猛略 丙寅 举兵以应朝廷 拜雍州牧 常陪侍帷幄 "今若加以桎梏 彼怠我奋 出为南秦州刺史 庆流华渚 使贼箭中王罴；韩贤为洛州刺史 遂得荣宠至此 寮属咸以为言 迁侍中 遂得共尽忠节 从魏孝武入关 丁卯 宽性通敏 亦为刻薄 所断之狱 是战也 争奋
一言兴邦 果登高望之 梁国公侯莫陈芮为大司马 吾无忧矣 受命安边 令炽与晋公护分射走兔 吐谷浑遣使献方物 退守徐州 旋军宜阳 如临冰谷 诏从之 加抚军 仍设酒肴宴劳 唐·