温度改变、支座移动力法

温度改变、支座移动力法
超静定结构由于存在多余约束，当周围温度有改变或支座移动时，结构均将引起弹性变性而产生内力。

用力法分析这些非荷载因素作用下的超静定结构，其基本原理及步骤与荷载作用下的相同，差别只是力法方程中的自由项不再是由荷载产生，而是由温度、支座移动等因素产生的。

一、温度改变下超静定结构的内力计算
图示结构，其外侧温度升高1t ，内侧温度升高2t ，并设21t t >。

取图示基本体系，则基本结构在B 处的两个方向的位移1∆，2∆由下列因素产生：
1．温度改变：t 1∆，t 2∆ 1t 2t 2．多余未知力X 1：111X δ ，121X δ B X 1 3．多余未知力X 2：212X δ ，222X δ X 2
1t 2t
121X δ 222X δ t 1∆ t 2∆ 111X δ X 1 212X δ X 2
由叠加原理，协调条件，可得力法方程 ⎩⎨⎧=∆++=∆++0
22221211212111t t X X X X δδδδ
例题：图示结构，各杆长都是L ，梁截面为矩形，截面高度10
L h =，线膨胀系数为α 。

求（1）绘弯矩图（2）求杆A 端转角 -150C
-150 X 1 解：1）两次超静定结构 X 2 2）基本结构，多余未知力
3）求各系数 L 040=∆t ，005=t ， 1M 图 ()
⎰∑∑+∆±=∆dL N t
dL M h
t
t 10
1
1αα X 1=1 =()M h
t
ωα∆±∑+∑
()N t ωα0±
=
L L L L h ααα6055214022=⋅+⎪⎭
⎫
⎝⎛+ L =
∆t 2()M
h t
ωα∆±∑+∑()N t ωα0± 2M 图 =
L L h αα52
1402
-⋅=L α195 X 2=1 EI L 34311
=δ ，EI L 232112-==δδ ，EI
L 3322=δ 4)解力法方程，得：X 1=273750L EI α-
，X 2
=2
57.218L EI
α 5）由于基本结构（静定）在温度改变时不产生内力，故
M=2211X M X M ⋅+⋅
.14
1 M 图
M=1
6）为求A 端转角，在基本结构中的A 端作用单位力，作M 图，
()EI L L EI l EI L EI A αααθ29.6942114.31717.53517
.535211-=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⨯+-⨯⨯-=
二、支座移动下超静定结构的内力
支座A 水平位移a ，竖向位移b
转角φ，杆长L ，EI 相同，求 由此引起的结构内力。

解：1）两次超静定结构，取基本结构如图示。

X 1
2）支座移动在B 产生的水平位移∆∆1计算
在B 作用水平力X
1=1得支反力 H=1 ，V=-1
由刚体虚功原理，∑⋅+∆⋅∆C R 11=0 ∆∆1=()a b b V a H -=⋅+⋅- V=-1
3）支座移动在A 端转角位移∆∆2计算
由刚体虚功原理，∑⋅+∆⋅
∆C R 11=0
0112=⋅+∆⋅∆b L
X 2 ∆∆2=L
b
-
4）X 1在X 1方向产生的水平位移111X ⋅δ=13
32X EI L ⋅ X 1在A 端产生的转角121X ⋅δ=12
65X EI L ⋅- 5）X 2在X 1方向产生的水平位移212X ⋅δ=22
65X EI
L ⋅- X 2在A 端产生的转角222X ⋅δ=
234X EI
L
⋅ 6)位移协调条件：01=∆ ，φ=∆2 7）力法方程 ⎩⎨
⎧=∆=∆++=∆=∆++∆∆φδδδδ222221
21112121110
X X X X
8）M=2211X M X M ⋅+⋅
例1．支座A 有顺时针转角φ，支座B 有下沉b ，作弯矩图。

L 解：1）一次超静定结构 2）基本结构
3）支座移动在A 端产生的转角计算 由刚体虚功原理，∑⋅+∆⋅∆C R 1=0
L
()011=-⋅+
∆⋅b L ，L
b =∆ 4）未知力X 在A 端产生的转角 X EI
L
X ⋅=
⋅311δ 5）位移协调条件：A 端转角为φ，力法方程为： φδ=∆+⋅∆X 11 即
φ=+⋅L
b
X EI L 3
解得：X=b L
EI
L EI ⋅-⋅233φ 6）弯矩图：M=X M ⋅
例2．图示结构，CD是装有花蓝螺丝的钢缆（抗拉刚度E1A）现拧紧花蓝螺丝，使钢缆缩短了e，用力法求解结构内力。

EI=常数。

a
a a/2 a/2
解：拧紧花蓝螺丝，使钢缆缩短了e ，等价于CD杆制造误差e 1）结构为一次超静定
2）基本结构
a⋅
3）X=1作用下切面产生的位移
EI
a
A
E
a
a
a
a
a
EI
a
A
E8
2
4
2
2
3
1
4
2
3
1
2
2
1
13
1
2
2
1
11
+
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
⨯
+
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⨯
⨯
+
⨯
⨯
=
δ
4）在X力作用下产生e位移，即
e
X=
⋅
11
δ解得：X=
EI
a
A
E
a
e
8
23
1
+
即为钢缆的拉力。

5）依M=X
M可作出最终弯矩图（略）。