北科大材力第六章弯曲变形

d 2w2 Fb EI = M(x2 ) = x2 F(x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 = EIθ (x2 ) = x2 (x2 a)2 + C2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 = x2 (x2 a)3 + C2 x2 + D2 6l 6
a
4)由边界条件确定积分常数 位移边界条件
x
求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度, 例2 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度, 已知, , . 梁的EI已知,l=a+b,a>b. 解 1)由梁整体平衡分析得: 由梁整体平衡分析得:
FAx = 0, FAy Fb Fa , FBy = = l l
w
A
θA
F
D
C
B
θB x
θ 3.转角 截面绕中性轴转过的角度. 3.转角θ:截面绕中性轴转过的角度. 逆钟向为正
dw dw 4.挠度与转角关系为 挠度与转角关系为: 4.挠度与转角关系为:tanθ = , θ = arctan dx dx
7-2
纯弯曲时 得到: 纯弯曲时,得到:
1 M = ρ EIz
1 M(x) = ρ(x) EIz
2)写出x 截面的弯矩方程
)
A
x
l
wB
F B
θB
x
M( x) = F(l x) = F( x l )
3)列挠曲线近似微分方程并积分 d 2w EI 2 = M(x) = F(x l) dx dw 1 积分一次 EI = EIθ = F(x l)2 + C dx 2 1 再积分一次 EIw = F(x l)3 + Cx + D 6
dw 2 ∴ds = 1+ dx dx
挠曲线微分方程: 挠曲线微分方程:
d 2w dx2 dw 1+ dx
2 3 2
ρ
M M
M = EI
上式是非线性的,适于弯曲变形的任意情况. 上式是非线性的,适于弯曲变形的任意情况. 小变形情况下: 小变形情况下: dw θ 转角 θ ≈ tanθ = = f ′ ( x) ,
小 结
解题步骤: 解题步骤 1.分段求 分段求M(x); 分段求 2.分段写挠曲线微分方程 分段写挠曲线微分方程EIw〃=M(x),并积分之 并积分之; 分段写挠曲线微分方程 〃 并积分之 3.由边界条件定积分常数 得挠曲线方程 由边界条件定积分常数,得挠曲线方程 及转角方程θ(x); 由边界条件定积分常数 得挠曲线方程w(x)及转角方程 及转角方程 4.求最大变形 max, wmax. 求最大变形θ 求最大变形 找出最大值所在位置; ⑴由经验判定挠曲线,找出最大值所在位置; 由经验判定挠曲线,找出最大值所在位置 ⑵对变形方程求极值而确定最大值; 对变形方程求极值而确定最大值 图画大致挠曲线: ⑶由M图画大致挠曲线 图画大致挠曲线 M>0 , > < M(x) = EIw〃 M<0 , 〃 M=0, M=c, w〃> 0 ; 〃> w〃< 0 ; 〃< w〃= 0 ; 〃 ρ = c . 圆弧
分段: 三段, 分段 AB,BC,CD三段,六个积分常数. , , 三段 六个积分常数. 边界条件
w A = 0, θ A = 0 wB左 = wB右 , wc左 = wc右
θ c 左 = θ c右 , w D = 0
C A B
边界条件:w A = 0, wB = l BC 分段原则: 集中力 , 集中力偶作用点 , 分布力的 分段原则 : 集中力, 集中力偶作用点, 终点,梁的自然端点为分段点. 起,终点,梁的自然端点为分段点. 边界条件:支承条件, 连续条件,光滑条件. 边界条件 : 支承条件 , 连续条件 , 光滑条件 . 有 多少积分常数就有且仅有多少个边界 条件. 条件.
FBy
2)弯矩方程
FAy x1
wmax
x2
AC 段:
a
b
Fb M ( x1 ) = FAy x1 = x1, (0 ≤ x1 ≤ a) l CB 段: Fb M ( x2 ) = FAy x2 F(x2 a) = x2 F(x2 a), l
(a ≤ x2 ≤ l)
3)列挠曲线近似微分方程并积分 Fb AC 段: M ( x1 ) = FAy x1 = x1, (0 ≤ x1 ≤ a) l w
Fb 2 EIθ (x1) = x1 + C1 2l Fb 3 EIw = x1 + C1x1 + D 1 1 6l Fb 2 F EIθ (x2 ) = x2 (x2 a)2 + C2 2l 2 Fb 3 F EIw2 = x2 (x2 a)3 + C2 x2 + D2 6l 6
y
A
θA
F
y
F
θA
x0 →
1 L = 0.577 L 3 接近 0.5L
A
D
C
B
θB x
FBy
FAy x1
wmax
x2
a
简支梁无论F作用在何处用 简支梁无论 作用在何处用
b
最大误差 2 .65 %
L w ( ) 代替 wmax 2
积分法求梁的变形关键点: 积分法求梁的变形关键点: ① 分段列弯距方程 ② 寻找边界条件 P A B C D
~
wA =
弹簧变形 -
wAL = wAR
wAL = wAR
θA = 0
θAL =θAR
~
A
A
A
求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度, 例1 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大挠度, 梁的EI已知. 已知.
解
1)由梁的整体平衡分析可得: 由梁的整体平衡分析可得:
w
FAx = 0, FAy = F(↑), MA = Fl( ↑
wmax
x2
CB 段: a ≤ x2 ≤ l
a
b
Fb 2 F Fb 2 2 2 EIθ2 = x2 (x2 a) (l b ) 2l 2 6l
Fb 3 F Fb 2 2 3 EIw2 = x2 (x2 a) (l b )x2 6l 6 6l
6)确定最大转角和最大挠度
dθ =0 令 dx
第六章 弯曲变形 静不定梁
§6-1 工程实际中的弯曲变形问题
7-1
§6-2 梁的挠曲线的微分方程
w
θ
θ 转角
挠度 挠曲线
1.挠曲线方程: 1.挠曲线方程: 挠曲线方程
w = f (x)
2.挠度 2.挠度w:截面形 心在y方向的位移
w
x
x
w 向上为正
由于小变形, 由于小变形,截面形心在x方向的位移忽略不计
dx
w
dw << 1 dx
2
挠度
θ
w
x
d 2w M = 2 dx EI
——挠曲线近似微分方程 挠曲线近似微分方程
§6-3
用积分法求梁的变形
d 2w EIz 2 = M(x) dx
挠曲线的近似微分方程为: 挠曲线的近似微分方程为:
d 2w M(x) = 2 dx EIz
积分一次得转角方程为: 积分一次得转角方程为:
d 2w EI 2 = EIw'' = M(x) dx
若梁上只有第i个载荷单独作用,截面上弯矩 个载荷单独作用, 则有: 为 Mi (x) ,转角为 θi ,挠度为 wi ,则有:
EIw''i = Mi (x)
由弯矩的叠加原理知: 由弯矩的叠加原理知: Mi ( x) = M( x) ∑ 所以, 所以,
y = qx (l 3 3lx 2 + 2 x 3 ) / (48 EI ), 则 例:已知挠曲线方程 已知挠曲线方程
B 两端截面的约束可能为下列情形中的__ 两端截面的约束可能为下列情形中的__. __ o
(A) y (C) y l x (B) y x (D) l y
o
l
x
o
o
l
x
EIw = EIqx(l3 3lx2 + 2x3 )/ 48 EIw′ = q(l3 9lx2 +8x3 )/ 48 =θ EIw′′ = q(24x2 18lx)/ 48 = M EIw′′′ = q(48x 18l)/ 48 = Fs
得,
y
A
θA
F
D
C
B
θB x
FBy
Fab x = l,θmax = θB = (l +a )( ) 6EIl
dw =0 令 dx
FAy x1
wmax
x2
得,
a
b
Fb (l2 b2 )3 l2 b2 , wmax = ( ) x= 3 9 3EIl
y
讨论:1.或由大致挠曲线确定 讨论:1.或由大致挠曲线确定 最大转角, 最大转角,显然在支座处
D
C
B
θB x
FBy
FAy x1
wmax
x2
a
b
5)确定转角方程和挠度方程
AC 段: 0 ≤ x1 ≤ a
Fb 2 Fb 2 2 EIθ1 = x1 (l b ) 2l 6l Fb 3 Fb 2 2 EIw1 = x1 (l - b )x1 6l 6l
y
A
θA
F
D
C
B
θB x
FBy
FAy x1
EIθ1 = Fb 2 Fb 2 2 x1 (l b ) 2l 6l
F
θA
A
D
C
B
θB x
FBy
FAy x1
wmax
x2