代数系统
代数系统简介
代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。
代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。
代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。
根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。
代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。
例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。
二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。
以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。
2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。
前者如群、环、域等，后者如格等。
3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。
前者如交换群等，后者如李群等。
4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。
前者如有限群等，后者如无限群等。
此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。
通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。
三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。
以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。
封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。
2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。
第三部分 代数系统
(4) 如果V1=V2，则称作自同态
第八章
代数系统
第九章
半群与群
广群
定义9.1 广群（groupoid）仅有一个二元运 算的代数系统称之为广群。
半群
定义9.2 半群（semigroup）：设有代数系统<S， *>， 其中S是非空集合， *是S上的可结合的二元运算， 则称<S， *>为半群。 由定义， 半群中的二元运算 *应满足下面两个条件： 1) *在S上封闭； 2) *在S上可结合。
唯一性定理
定理8.1 设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的 左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.
证： el = el◦er r为右单位元) (e r = er l为左单位元) el◦e (e
所以el = er , 将这个单位元记作e. 假设e也是 S 中的单位元，则有 e=e◦e = e. 惟一性得证. 类似地可以证明关于零元的惟一性定理. 注意：
f 2＝{(1， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (4， 2)} f 3＝{(1， 4)， (2， 1)， (3， 2)， (4， 3)}
例题
还可求得 f 4＝{(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)}＝f 0 f 5＝f， f 6＝f 2， …， 一般的有
f 1＝f res4 (i) (i∈N)
二元运算的性质
定义8.9 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 z◦x=z◦y，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足左消去律. (2)若对任意x,y,z∈S有 x◦z=y◦z，且z ≠0，则x=y, 则称◦ 满足右消去律. 左消去律和右消去律都称为消去律，又称为可约律。
第一讲代数系统
右零元：如果有一个元素θr∈A,对于任意的元素 x∈A都有x*θr= θr，则称θr为A中关于运算*的右零元。
零元：如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是 右零元，则称θ为A中关于运算*的零元。 θ* x=x*θ=θ
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6.1代数结构
【例题10】 设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪 色的深色衣服，集合S={浅，深}，定义S的一个二元 运算“混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。 求S中关于*运算的幺元和零元。
解答：∪和∩运算是可交换的。 ∀ A,B∈ρ(S),有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A
所以∪和∩满足吸收律。又有
A ∩A=A
A ∪A=A
所以∪和∩满足等幂律。
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6.1代数结构—代数运算性质
性质六 可约律(消去律)
设*是定义在集合上的一个二元运算，元素a∈A, 如果对于任意x,y ∈A,都有
证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。
证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右 幺元，则有
el= el *er= er=e
假设另有幺元e’∈A, 则有e’=e’*e=e,结论得证。
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6.1代数结构
零元 左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如
果有一个元素θl∈A,对于任意的元素x∈A都有θl*x=
问☆是否是可交换的？
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6.1代数结构—代数运算性质
性质二 结合律
设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,z∈A ，都有
x*(y*z)=(x*y)*z
则称该二元运算是可结合的。
【例题6】
设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b ∈A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。
代数系统(抽象代数)
6-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” P(E) ~ P(E) N2 + N I - I 。 Φ Φ。 <0,0>。 。 0 2。 。 -2 <0,1>。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 <0,2>。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 <1,0> 。 2 {a,b} 。 。 {a,b} <1,1>。 <1,2>。
九.分配律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,z∈X，有 x(yz)=(xy)(xz) ，(yz) x =(y x)(z x) 则称对可分配。 例如： 乘法对加法可分配。 集合的∪与∩互相可分配。 命题的∧与∨互相可分配。 十.吸收律 设和 都是X上的可交换二元运算，若对任何x,y∈X， 有 x(xy)=x ，x(xy)=x 则与 满足吸收律。 例如：集合的∪与∩满足吸收律。 命题的∧与∨满足吸收律。
2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b}， P(E)上的 ∩运算表如图所示。
∩ Φ 左 Φ Φ 表 {a} Φ 头 元 {b} Φ 素 {a,b} Φ
运算 上 表 头 元 素
{a} Φ {a} Φ {a}
{b} Φ Φ {b} {b}
{a,b} Φ {a} {b} {a,b}
六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X，有 (xy)z =x(yz)，则称是可结合的。 例：数值的加法、乘法，集合的交、并、对称差， 关系的复合、函数的复合，命题的合取、析取等。
代数系统
5-2 运算及其性质
关于逆元有下述的唯一性定理 证明：设a,b,c ∈A，且b是a的左逆元，c是b的左 逆元。 因为(b*a)*b=e*b=b 所以e=c*b=c*((b*a)*b) =(c*(b*a))*b=((c*b)*a)*b =(e*a)*b=a*b 因此b也是a的右逆元。 设元素a有两个逆元b和c，那么 b=b*e=b*(a*c) =（b*a)*c=e*c=c 因此，a的逆元是唯一的。
5-2 运算及其性质
逆元 定义 5-2.8 设设代数系统<A,*>,*是定义在A 上的一个二元运算，且e是A中关于运算*的单位元 (幺元)。 如果对于A中的一个元素a存在着A中的某个元素b ，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元； 如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元； 如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元 ，即 b*a= a*b=e，那么就称b是a的一个逆元。 很明显，如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元， 简称a与b互逆。 一个元素x的逆元记为x-1.
5-2 运算及其性质
（4）A关于*有零元，当且仅当该元素所对应的行 和列中的元素都与该元素相同。 （5）A中关于*有幺元，当且仅当该元素所对应的 行和列依次与运算表的行和列相一致。 （6）设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所 在行，b所在列的元素以及b所在行，a所在列的元素 都是幺元。
5-2 运算及其性质
吸收律 定义 5-2.5 设*， △是定义在A上的两个可交换 的二元运算，若x，y∈A有: x*(x△y)=x； x△(x*y)=x，称运算*和运算△满足吸收律。 例5：设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元 运算，如果对于任意的x,y ∈ N ,有 x*y=max(x,y);x y=min(x,y)，验证*和的吸收律 。 解：对于任意的a,b∈N a*(ab)=max(a,min(a,b))=a a(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此*和满足吸收律。
第4章 代数系统
(S,)中如有aS,bS,均有: ab＝ba
则称该代数系统的运算“”满足交换律。
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第4章 代数系统概论
3.两个二元运算的分配律 (S,,)中如有aS,bS,cS均有: a(bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 a (bc)＝(ab) (ac)—第一分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律 (bc)a＝(ba) (ca)—第二分配律
S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算封闭．
例 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是．
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算， 而加法和减法不是．
定义4.4子代数:两个代数系统(S,)与(S,)若满 足下列条件:
(1)S’S; (2)若aS’,bS’,则ab＝ab
则称(S,)是(S, )的子代数或子系统。
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第4章 代数系统概论
4.2代数运算中的常见性质
1.单个二元运算的结合律:
(S,)中如有aS,bS,cS,均有: a (bc)＝(ab) c
l l＝1r＝1 定理4.2(S,)中对运算“”若存在单位元则必唯一。
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第4ห้องสมุดไป่ตู้ 代数系统概论
5.二元运算中零元素 (S,)中若有元素S,对任一个xS均有 0x＝x0＝0则称此元素为对于运算“”的零元素或 称零元。 同样有:
0 l＝0r＝0
还有: 代数系统中若存在零元则必唯一。
第5章 代数系统hhs
5.1 代数系统的引入
例3：函数的复合运算
Y X { f f : X Y} （所有从X 到Y的函数的集合)
X m, Y n, Y
X
n m个不同的函数
X X { f f : X X}
集合X {a, பைடு நூலகம்},
f1
f2
f3
f4 f 4 ( a) b
f1 f2
f1 f1 f2
5.2 运算及其性质
幺元的定义
设 是定义在集合 A 上的二元运算, 若有el A , 对于任意的 x A ,
er A e A 都有el x = x， x er = x ex =xe=x 则称 el 为 A 中关于运算 的左幺元； 右幺元； 幺元。
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5.2 运算及其性质
由集合上定义若干个运算而组成的系统,通称代数系统.
代数系统是近世代数研究的中心问题，是数学中最重要、最 基础的分支之一，其理论不仅是许多数学研究的基础，而且在通 信理论、系统工程等领域都有着广泛的应用。特别在计算机科学 领域，是诸如程序设计、数据结构、形式语言、编码理论、逻辑 电路设计等领域必不可少的理论基础。
N , , , I , , , Q, , , R, , , C, ,
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5.1 代数系统的引入
例1:时钟代数
给定代数系统 V = < Im , >，其中Im= {1，2，…, m} 为一元运算
i 1 i m (i) 1 i m
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5.2 运算及其性质
定理：设代数系统 <A, >, 这里 是定义在 A 上的一个二元 运算，A 中存在幺元 e, 且每一个元素都有左逆元。如果 是可结合的,则该代数系统中任何一个元素的左逆元必定是 该元素的右逆元，且每个元素的逆元是唯一的。
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
代数系统定义
代数系统定义代数系统定义代数系统是一个数学概念，是指一组对象和操作符号的集合，这些对象和操作符号遵循一定的规则进行运算。
代数系统可以是有限或无限的，可以包含不同类型的对象和操作符号。
代数系统包括了多个子概念，下面将分别介绍。
集合在代数系统中，最基本的概念是集合。
集合是一个无序的元素组成的集合体。
在代数系统中，我们通常用大写字母表示一个集合。
例如：A、B、C等。
元素在一个集合中，每个单独的对象都被称为元素。
元素可以是任何东西——数字、字母、字符串等等。
在代数系统中，我们通常用小写字母表示一个元素。
例如：a、b、c等。
二元运算二元运算是指一个由两个元素构成的表达式，并返回另一个元素作为结果。
在代数系统中，二元运算通常用符号表示。
例如：加法“+”、减法“-”、乘法“×”等。
封闭性如果对于一个二元运算，在某个给定的集合内进行操作时，其结果仍然属于该集合，则称该集合对于该二元运算是封闭的。
例如，在整数集内进行加法和乘法时，其结果仍然是整数，因此整数集对于加法和乘法是封闭的。
群群是指一个代数系统，其中包含一个二元运算，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于该二元运算，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 结合律：对于该二元运算，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 单位元素：存在一个特殊的元素（称为单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行运算后不会改变原来的值。
4. 逆元素：对于每个元素，都存在一个逆元素使得它们进行运算后等于单位元素。
环环是指一个代数系统，其中包含两个二元运算（加法和乘法），满足以下四个条件：1. 封闭性：对于加法和乘法，在该代数系统中进行操作时，其结果仍然属于该代数系统。
2. 加法结合律：对于加法，无论操作的顺序如何，其结果都相同。
3. 加法单位元素：存在一个特殊的元素（称为加法单位元素），使得任何其他元素与该单位元素进行加法运算后不会改变原来的值。
4. 乘法分配律：对于任意三个在该代数系统中的元素a、b和c，有a×(b+c) = a×b + a×c和(b+c)×a = b×a + c×a。
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是数学中的一个重要概念，它是由一组元素和一组定义在这些元素上的运算所组成的。
代数系统的研究主要涉及元素的性质以及这些运算的规则。
代数系统可以是数学中的抽象概念，也可以是实际问题的描述。
我们可以通过定义元素和运算来构建不同类型的代数系统，这些代数系统可以用于解决各种问题，包括理论物理、计算机科学、密码学等领域中的问题。
在代数系统中，元素通常用字母表示，例如，可以用字母x、y、z表示元素。
而运算则是对元素进行操作的规则，例如，可以定义加法、减法、乘法、除法等运算。
不同的代数系统可以有不同的元素集合和运算规则，因此代数系统可以分为很多不同的类型。
代数系统的一个重要特点是封闭性，即在代数系统中进行的运算结果仍然属于代数系统。
例如，在实数集上定义的加法运算，对于任意两个实数a和b，它们的和a+b仍然是一个实数。
这种封闭性使得代数系统可以进行连续的推理和计算。
代数系统的研究主要包括以下几个方面：1. 代数结构：代数结构是指代数系统中的元素和运算之间的关系。
代数结构可以包括群、环、域等概念。
群是指一个集合和一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质；环是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律等性质；域是指一个集合和两个二元运算，满足封闭性、结合律、分配律、单位元和逆元等性质。
2. 代数运算：代数运算是指在代数系统中对元素进行操作的规则。
常见的代数运算包括加法、减法、乘法、除法等。
这些运算可以根据不同的代数系统和问题进行定义。
例如，在复数集上定义的乘法运算，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积可以通过“交叉相乘加中间项”的方法进行计算：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i。
3. 代数方程：代数方程是指将一个或多个未知数与系数之间的关系用等式表示的方程。
解代数方程就是找到满足方程的未知数的值。
代数方程的解法可以依赖于代数系统中的一些性质和定理。
代数系统
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代数系统的同态与同构
定义9.10 设 V1=<S1, ◦ >和 V2=<S2, >是代数系统, 其中 ◦ 和 是二元运算. f : S1S2, 且x, yS1 f (x ◦ y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射, 简称同态.
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实例
例 <R+, ×>, <R, +>是两个代数系统, 映射f : R+R定义为: f(x)=log x, 则 f 是< R+, ×>到<R, +>的同态映射 log (x×y) = (log x) + (log y)
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9.2 代数系统
9.2.1 代数系统的定义与实例
9.2.2 代数系统的同态与同构
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代数系统定义与实例
定义9.9 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, … , fk 组成的系统称为一个代数系统, 简称代数, 记作 <S, f1, f2, …, fk >.
实例： <N, + >, <Z, +, ·>, <R, +, ·>是代数系统, +和· 分别表示 普通加法和乘法. <P(S),∪,∩, ~ >也是代数系统, ∪和∩为并和交, ~为绝对 补
M n (R ) a 21 a n1 a 22 a 2 n a n 2 a nn a ij R , i , j 1,2,...,n
矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算. (5) 幂集 P(A)上的二元运算: ∪、∩、－、.
代数系统
1代数系统1. 定义定义1.1 设A 是集合， 12,,,n f f f 是A 上的运算，则称12(,,,,)n A f f f 是集合A 上的代数系统（algebra system ），简称代数（algebra ）。
根据其中的运算定律可将代数系统划分为若干不同的类型。
由某一类代数的基本运算定律可以推出一些隐患的普遍定律，即任何满足基本定律的代数系统一定满足这些推出的定律。
2. 半群半群是最简单的代数系统，其定义如下。
定义 2.1 在一个非空集合上定义一个满足结合律的二元运算，则二者构成半群（semi-group ）。
带单位元的半群称为幺半群（monoid ）或者独异点。
例2.2字符串集合与字符串的连接运算构成半群，并且是幺半群，其中空串是连接运算的单位元。
3. 群定义3.1 若幺半群中的每个元素都有逆元，则称该幺半群为群（group ）。
例3.2 整数集合与加法构成一个群，称为整数加法群。
4. 置换群定义4.1 集合{1,2,…,n}上的双射称为n-元置换（permutation ，也译为“排列”），记为二行矩阵。
12343241⎛⎫ ⎪⎝⎭定义4.2 n-阶轮换：简记为行向量( )。
2-阶轮换称为对换。
定理4.3（置换的分解）置换可唯一地分解为若干次不相交的轮换的复合。
此外， 置换可以分解为若干次对换的复合。
置换的奇偶性：若置换可分解为奇数次对换，则称之为奇置换，否则称为偶置换。
定理4.4集合{1,2,…,n}上的所有双射与复合运算构成一个群，称为置换群。
证明：请读者尝试完成该证明。
证毕5.环和域略。
6.格定义6.1（格的第二种定义）设L是非空集合，∨和∧是L上的二元运算。
若下列四条定律成立，则称代数系统(,,)L∨∧为格：交换律、结合律、幂等律、吸收律。
注：格的第一种定义和第二种定义是等价的，即可相互构造。
定义6.2设(,,)L∨∧是格。
（1）有界格：若L有最大上界和最小下界，则称为有界格（bounded lattice），记为(,,,0,1)L∨∧，其中0，1分别表示最大上界和最小下界。
代数系统
6.1.1 代数运算
例6.2 分析下列哪些是代数运算。 不是 (1)f(x,y)=1/(x-y), x∈R, y∈R; (2)g={<1,1>,<2,2>,<3,3>},集合A={1,2,3}; 是A上的一元运算 (3)h(x,y)=x· y-y, x∈R, y∈R; 是R上的二元运算 (4)f1={<x,y>| x∈R, y∈R,|x|=|y|}; 不是 (5)f2={<a,b>,<b,b>,<b,c>},集合A={a,b,c}; 不是 (6)w(x)=x2,x∈N。 是N上的一元运算
6.1.1 代数运算
二元运算的运算表：对于具有n个元素的有限集合A上 的二元运算“＃”，可以通过一个n×n表格来表示。 表格的上方、左侧依次列出A中元素，表格中第i行、 第j列元素列出A中第i个元素和第j个元素在运算“＃” 下的结果。
4 0
0 1 2 3 0 1 2 3
1
2
3
4 0
0 1 2 3 0 0 0 0
6.1.2 代数系统
例6.6 分析如下数学结构是否构成一个代数系统。 （1）N7，模7加法 7 ，模7乘法 7 ； （2）N7，模4加法 4 ，模4乘法 4 ； （3）N4，模7加法 7 ，模7乘法 7 ； （4）N，模7加法 7 ，模4乘法 4 。
解：（1）<N7, 7, 7 >是一个代数系统。 （2）<N7, 4, 4>是一个代数系统。 （3）<N4, 7, 7 >不是一个代数系统。 （4）<N , 7, 4>是一个代数系统。
6.1 代数系统的基本概念
代数结构也叫抽象代数，主要研究抽象的代数系 统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它来 表示实际世界中的离散结构。 构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、 集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公 理。 为了研究抽象的代数系统，需先定义一元、二元 代数运算以及n元运算的性质，并通过选择不同的运 算性质来规定各种抽象代数系统的定义，在此基础上 再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。
离散数学 代数结构-代数系统
代数系统
9.2 代数系统
代数或叫代数系统,应用抽象的方法，研究要处理的数学对 象集合上的关系或运算。 事物中的关系就是事物的结构，所以，代数系统又称代数 结构。 代数通常由三部分组成； 1．一个集合，叫做代数的载体。 载体是要处理的数学目标的集合，如整数，实数集合等。 代数载体一般是非空集合，不讨论载体是空集的代数。 2．定义在集合上的运算 定义在载体S上的运算是从Sm到S的一个映射，自然数m的值 叫做运算的元数。 3．特异元素，叫做代数常数 如幺元、零元、等幂元等 代数通常用由集合、运算和特殊元素组成的n元组表示
代数系统
1、定义12 非空集合S和S上k个一元或二元运算fl，f2，…，fk组 成的系统称为一个代数系统，简称代数， 记作： < S ，f1，f2，…，fk > ． 例如 < N，+ > ，< Z，+，·> ，< R，+，· > 都是代数系统， < M(R)，+， * > 其中 + 和 * 表示n阶实矩阵的加法和乘法 < Zn ，+n ，*n > 是代数系统，其中 Zn={ 0，1，2 ，… n-1 } ，+n 和 *n 分别表示模n的加法和乘法：
例：设B={0,a,b,1}，S1={a,1} S2={0,1} S3={a,b} 二元运算+和*由表给出，则： 1）<B,*,+,0,1>是代数系统吗？ 2）<S1,*,+>是代数系统吗？ 是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 3）<S2,*,+,0,1>是<B,*,+,0,1>的子代数吗？ 4）<S3,*,+>是代数系统吗？
离散数学-第12章 代数系统
12.3.1 二元运算律
例12.3.1 设“+”是定义在自然数集合N上的普通 加法运算，试回忆N上的加法运算“+”满足哪些运 算性质？ 分析 对 a, b, c∈N，有 (a + b) + c = a + (b + c)，即结合律成立； a + b = b + a，即交换律成立；
（4）由于给出了运算表，因此可以根据运算表直 接观察可得。 解（1）<R, +>中的幺元是0； （2）<R+, +>中无幺元； （3）< P(A×A), >中的幺元是恒等关系IA； （4）<A, , , >中关于运算“”有左幺元a和 b，但无右幺元，因此无幺元，关于运算“”无左 幺元，但有右幺元b和c，因此无幺元；关于运算 “”有幺元a。
五角
表 五角 纯净水
一元 矿泉水
一元 矿泉水 橘子水
2023/11/27
例12.2.1（续）
分析 设集合A = {五角，一元}，集合C = {纯净 水，矿泉水，橘子水}，则表12.2.1实质上是 A×A→C的映射，也就是A×A到C的一个运算 “”。
解 (1)、(2)中定义的映射是二元运算。
2023/11/27
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1元代数运算表
当元素有限时，一元运算也可 以用运算表来说明。
设“”是A到A的一元运算，其 中 A = {a1, a2, …, an} ， 则 一元运算“”可以用右表说明。
1元运算表
a
(a)
a1
(a1)
a2
(a2)
…
…
an
(an)
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代数系统
关于子代数的术语
最大的子代数：就是V本身. 最小的子代数：V中所有代数常数构成集合B，且B对V 所有运算封闭，则B就构成了V的最小的子代数. 平凡的子代数：最大和最小子代数称为V的平凡子代数. 真子代数：若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V 的真子代数.
例2 设V=<Z,+,0>，令 nZ = { nz | z∈Z}，n 为自然数， 则 nZ 是 V 的子代数, 当 n = 1 和 0 时，nZ 是 V 的 平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子代数.
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同态映射的定义
定义14.11 设 V1=<S1,∘ >和 V2=<S2,>是代数系统，其中 ∘ 和 是二元运算. f : S1S2, 且x,yS1 f (x ∘ y) = f(x) f( y) 则称 f 为V1到 V2 的同态映射，简称同态.
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同态映射的定义(续)
例1 V=<R*,>, 判断下面的哪些函数是V 的同态？ (1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x2 (4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1 解 (1) 是同态, (3) 是同态, (4) 是同态, f(xy) = |xy| = |x| |y| = f(x) f(y) f(xy) = (xy)2 = x2 y2 = f(x) f(y) f(xy) = 1/(xy) =1/x 1/y = f(x) f(y)
如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，
记作 V1V2； 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2， 记作 V1V2. 对于代数系统 V，它到自身的同态称为自同态.
代数系统简介 -回复
代数系统简介-回复什么是代数系统？代数系统是现代数学中的一个重要概念，它是由一组元素和对这些元素进行操作的规则组成的。
代数系统可以是有限的或无限的，可以是抽象的或具体的。
代数系统是数学的基础，被广泛应用于各个领域，包括计算机科学、物理学、经济学等等。
代数系统的基本元素是指代表抽象对象的数学对象，可以是数字、集合或其他数学结构。
代数系统中的操作规则是指对这些元素进行变换或组合的数学规则。
常见的操作规则包括加法、减法、乘法、除法等。
代数系统的主题和应用代数系统的研究涉及多个主题，包括群论、环论、域论等。
这些主题在抽象代数中具有重要的地位，它们以代数系统为研究对象，通过定义和研究不同类型的操作规则来揭示数学的一般规律。
群论是代数系统中的一个重要分支，它研究的对象是满足一定条件的代数系统。
群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的集合，它以群运算来定义元素之间的操作。
群论的研究广泛应用于代数几何、量子力学、密码学等领域。
与群论类似，环论和域论也研究了具有特定性质的代数系统。
环是一种具有加法和乘法运算的代数系统，它满足了加法和乘法封闭、结合律、分配律等性质。
域是一种更为广义的代数系统，它满足了环的所有条件，并且每个非零元素都有乘法逆元。
代数系统的应用十分广泛，无论是在理论研究还是实际应用中都发挥着重要作用。
在计算机科学中，代数系统被用于描述和分析算法的性质，例如代数数据类型和代数规范。
在物理学领域，代数系统被用于描述和研究物理过程，例如量子力学中的算符代数和对称性。
在经济学中，代数系统被用于建立经济模型，例如供求模型和市场分析。
代数系统的发展历程代数系统的研究可以追溯到古代埃及、古希腊和古印度等文明。
然而，现代代数系统的发展源于十九世纪的英国数学家和法国数学家，他们通过对数学的抽象和一般性考察，建立了现代研究代数系统的基础。
十九世纪的德国数学家格雷斯曼和开尔巴赫在他们的工作中提出了群的概念，并将它与几何学和代数学联系起来。
第九章-代数系统
第九章代数系统9.1 二元运算及其性质一、二元运算与一元运算的定义1．二元运算的定义与实例定义9.1 设S为集合,函数f：S×S→S称为S上的二元运算,简称为二元运算。
验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：(1)S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。
(2)S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的。
例9.1(1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算,但减法和除法不是。
(2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算,而除法不是。
(3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算,而加法和减法不是,因为两个非零实数相加或相减可能得0.(4) 设M n(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合,即则矩阵加法和乘法都是M n(R)上的二元运算。
(5) S为任意集合,则∪、∩、－、为S的幂集P(S)上的二元运算,这里∪和∩是初级并和初级交。
(6) S为集合,S S为S上的所有函数的集合,则函数的集合运算为S S上的二元运算。
2．一元运算的定义与实例定义9.2设S为集合,函数f：S→S称为S上的一个一元运算,简称为一元运算。
例9.2(1) 求一个数的相反数是整数集合Z,有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。
(2) 求一个数的倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合R*上的一元运算。
(3) 求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。
(4) 在幂集合P(S)上,如果规定全集为S,则求集合的绝对补运算~是P(S)上的一元运算。
(5) 设S为集合,令A为S上所有双射函数的集合,A S S,则求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。
(6) 在n(n≥2)阶实矩阵的集合M n(R)上,求一个矩阵的转置矩阵是M n(R)上的一元运算。
二．二元与一元运算的表示1．算符可以用、*、·、、等符号表示二元或一元运算,称为算符。
对于二元运算,如果x与y运算得到z,记做x y=z；对于一元运算，x的运算结果记作x.2．表示二元或一元运算的方法---解析公式和运算表表示二元或一元运算的方法有两种：解析公式和运算表。
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虽然集合不同，运算不同，但是它们是一 些具有共同运算规律的运算，研究 < I，+ >就 相当于研究< I，*>，<R，+>，< (S)，∪>，
< (S)，∩>
5-2 运算及其性质
在前面考察几个具体的代数系统时，已经涉及到我们 所熟知的运算的某些性质。下面，着重讨论一般二元运算 的一些性质。 一、封闭性 定义5-2.1 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的 x,yA，都有x*yA，则称二元运算*在A上是封闭的。 例题1 设A-{x|x=2n,nN},问乘法运算是否封闭？对加法运 算呢？ 解 对于任意的2r,2sA，r，sN，因为2r·s=2r+sA所以乘法 2 运算是封闭的。而对于加法运算是不封闭的，因为至少有 2+22=6A
小结 运算及其性质
定义5-2.1~6 设和为集合A上的二元运算: 若xy(x,yA→xyA) , 则称在A上封闭。 若xy(x,yA→xy= yx) , 则称满足交换律。 若xyz(x,y,zA→x (y z) = (xy) z), 则称 满足结合律。 若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy) (xz)) ， 则称对满足分配律。 若xy(x,yA→x(xy)=x ,x (xy)=x) ， 则称和满足吸收律。 若x (xA→xx=x) ， 则称满足等幂律。
再证逆元是唯一的
设a有两个逆元b1和b2，则有 b1 = b 1 e = b 1 （ a b2 ） = （ b1 a ） b2 = e b2 = b2
* α β γ δ
α δ α α α α β β β
β δ β γ γ γ
γ γ δ γ δ
★
α
α β γ δ β α δ δ
β δ
δ γ α β
γ
γ δ β γ
α β γ δ
解 由表5-2.2可知β ,δ 都是S中关于运算*的左幺元，而α 是S中关于运算★的右幺元。
定理5-2.1
代数结构<A，>有关于 运算的幺元e，
’=’ =
定理5-2.3 ≠e 。
如果代数结构<A，>有关于 运算
的零元 和幺元e ，且集合A中元素个数大于2，则
证明：用反证法： 反设幺元e =零元 ，则对于任意xA ，必有 x= e x = x= = e
于是，推出A中所有元素都是相同的，矛盾。
九、逆元 定义5-2.9 设代数结构<A，，e >中 为二元运算，e为 么元，a,b 为A中元素,若ba＝e，那么称b为a的左逆元，a为 b的右逆元。若ab＝ba＝e，那么称a(b)为b(a)的逆元 （inverse elements）。 x的逆元通常记为x-1;但当运算被称为“加法运算”（记为 +）时，x的逆元可记为-x 。 一般地，一个元素的左逆元不一定等于它的右逆元。一 个元素可以有左逆元不一定有右逆元。甚至一个元素的左 （右）逆元不一定是唯一的。 P-182页例题9 ：先找出幺元，再根据幺元所在的行和 列找出左、右逆元。
一、学习目的与要求
本章从一般代数系统的引入出发，研究一 些特殊的代数系统中运算的性质。通过本 章的学习使学生了界代数系统的结构与性 质。
二、知识点 1．代数系统的引入，运算的性质：封闭性、结合性、 分配性、交换性； 2．主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群； 代数系统之间的关系； 3．交换群和循环群； 4．陪集、拉格朗日定理；
证明 因为对于任意的a,b,c A (a★b)★c=b★c=c 而 a★(b★c)=a★c=c 所以(a★b)★c=a★(b★c)
四、可分配性 定义5-2.4 设*，Δ 是定义在集合A上的二元运算，如果 对于任意的x,y,zA，都有 x*(yΔ z)=(x*y)Δ (x*z) (yΔ z)*x=(y*x)Δ (z*x) 则称运算*在A上对运算Δ 是可分配的。
验证运算△对于运算*是可分配的。
从*和△的运算表中可以看出*和△两种运算都是可交换的。 故只须验证 α△(α*α)=(α△α)*(α△α) α△(α*β)=(α△α)*(α△β) α△(β*β)=(α△β)*(α△β) β△(α*α)=(β△α)*(β△α) β△(α*β)=(β△α)*(β△β) β△(β*β)=(β△β)*(β△β) α△(α*α)=α△α=α α△(α*β)=α△β=α α△(β*β)=α△α=α β△(α*α)=β△α=α β△(α*β)=β△β=β β△(β*β)=β△α=α (α△α)*(α△α)=α*α=α (α△α)*(α△β)=α*α=α (α△β)*(α△β)=α*α=α (β△α)*(β△α)=α*α=α (β△α)*(β△β)=α*β=β (β△β)*(β△β)=β*β=α
例题8 设集合S={浅色，深色}，定义在S上的一个二元运算* 如表5-2.3所示。试指出零元和幺元。
*
浅色 深色
浅色
浅色 深色
表5-2.3
深色
深色 深色
解 深色是S中关于运算*的零元，浅色是S中关于运算*的幺元。
定理5-2.2
代数结构<A，>有关于 运算的零元
，当且仅当它同时有关于 运算的左零元l和右零 元r 。并且其所含零元是唯一的,即l=r= 。 证明：先证左零元l=右零元r= l=l r=r= 再证零元是唯一的 设还有一个幺元 ’A,则
五、吸收律 定义5-2.5 设*，Δ 是定义在集合A上的两个可交换二元 运算，如果对于任意的x,yA，都有 x*(xΔ y)=x xΔ (x*y)=x 则称运算*和运算Δ 满足吸收律。
例题5 设集合N为自然数全体，在N上定义两个二元运算*和★， 对于任意x,yN，有 x*y=max(x,y) x★y=min(x,y) 验证运算*和★的吸收律。 解 对于任意a,bN a*(a★b)=max(a,min(a,b))=a a★(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此，*和★满足吸收律。
例题9 设集合S={α ,β ,γ ,δ ,δ },定义在S上的一个二元 运算*如表5-2.4所示。 试指出代数系统<S,*>中各个元素的左、右逆元情况。
解 α 是幺元；β 的左逆元和右逆元都是γ ；即β 和γ 互 为逆元；δ 的左逆元是γ 而右逆元是β ；β 有两个左逆元 γ 和δ ；δ 的右逆元是γ ，但δ 没有左逆元。
七、幺元
定义5-2.7
设为集合A上的二元运算:
若 elx(el,xA→elx=x) ,则称el为A中的左幺元。
若 erx(er,xA→xer=x) ,则称er为A中的右幺元。
若 ex(e,xA→ex=xe=x) ,则称e为A中的幺元。 见P-180页例题7。
例题7 设集合S={α ,β ,γ ,δ }，在S上定义的两个二元运 算*和★ 如表5-2.2所示。试指出左幺元或右幺元。
定理5-2.4 设<A, >有么元e，且运算 满足结合 律,那么当A中元素x有左逆元l及右逆元r时,l = r,它们 就是x的逆元。并且每个元素的逆元都是唯一的。
证明：先证左逆元=右逆元
设a,b,c，且b是a的左逆元， c是b的左逆元。 因为： （ba）b =e b = b 所以： e=cb = c (（ba）b ) = (c （ba） ) b = (（c b ）a ) b = (（e ）a ) b =ab (b也是a的右逆元)
六、等幂律
定义5-2.6 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果 对于任意的xA，都有x*x=x，则称二元运算*在 A上是等幂的。
例题6 设(S)是集合S的幂集，在(S)上定义的两 个二元运算，集合的“并”运算∪和集合的“交” 运算∩ ，验证是∪、∩等幂的。
解
对于任意的A(S)，有A∪A=A和A∩A=A， 因此运算∪和∩都满足等幂律。
当且仅当它同时有关于 运算的左幺元el和右幺元er 。
并且其所含幺元是唯一的,即el= er= e 。
证明：先证左幺元el=右幺元er=e
el= el er = er=e 再证幺元e是唯一的 设还有一个幺元e’ A,则 e’ = e’ e = e
八、零元 定义5-2.8 如果 l A，满足:对一切xA，都有 lx=l 则称元素l 为左零元。 如果r A，满足:对一切xA，都有 xr＝r 则称元素r 为右零元。 如果A且对任意xA，都有 x＝x＝ 则称元素为代数结构<A，> (关于 运算) 的零元 (zero)。 例题8 表5-2.3定义的二元运算
代数系统
由集合上定义若干个运算而组成的 系统我们通常称它为代数系统。它在计 算机科学中有着广泛的应用。
代数结构是一类特殊的数学结构，它由 集合上定义若干个运算而组成系统。本 章主要讲授运算的性质及一些具有特殊 性质的代数系统。 重点是群、同态与同构。要求能够掌握 各种代数系统的特性，能够证明一个代 数系统是群，并能够证明两个代数系统 是同态或同构的。
二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的
x,பைடு நூலகம்A，都有x*y=y*x，则称二元运算*在A上是可交换的。
例题2 设Q是有理数集合，Δ 是Q上的二元运算，对任意 的a,bR，aΔ b=a+b-a· b，问运算Δ 是否可交换。 解 因为 aΔ b=a+b-a· b=b+a-b· a=bΔ a 所以运算Δ 是可交换的。
设A={红色，黄色，蓝色} f7：三种颜色→三种颜色混合色 f7是不封闭的。 f8是I上的除法运算， f8是不封闭的。
定义5-1.1 如果 为An到B的一个函数，则称
为集合A上的n元运算（operater）。如果 BA，则
称 该n元运算在A上封闭。
二、代数系统
定义5-1.2 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的 运算 f1,f2,…,fk 所组成的系统称为一个代数系统（代数结构）， 记为<A, f1,f2,…,fk > 。 定义5-1.2‘ 代数结构是由以下三个部分组成的数学结构： （1）非空集合S，称为代数结构的载体。 （2）载体S上的若干运算。 （3）一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。 代数结构常用一个多元序组<S，，，… >来表示, 其中 S是载体,,，…为各种运算。有时为了强调S有某些元素地 位特殊,也可将它们列入这种多元序组的末尾。