辽宁省沈阳市东北育才学校2017届高三上学期第三次模拟考试(期中)数学(文)试题 Word版含答案

2016-2017学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三备课组第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，{|0}A x x =>，{|1}B x x =≤-，则集合()U C A B = （ ） A ．{|1}x x ≥- B ．{|1}x x ≤ C ．{|10}x x -<≤ D ．{|01}x x <<2. 设复数z 满足()()2i 2i 5z --=，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -3.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）经过点()2,3，且离心率为2，则它的焦距为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84.命题:p “若x R ∈且01x x ≥+，则1x <-或0x ≥”的否命题是：“若01x x <+，则10x -<<”；命题:q “,sin 1x R x ∀∈≠”的否定是“,sin 1x R x ∃∈=”，则四个命题p q ⌝∨⌝，p q ∧，p q ⌝∧，p q ∨⌝中，正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45.抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A ．21 B.158 C.3116D.29167．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（俯视图中弧线是14圆弧）（ ）A ．4π-B ．π2-C ．π12-D ．π14-8.设各项都是正数的等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若2a ，3S ，25a S +成等比数列，则1da =（ ） A ．0 B ．32C ．23D ．19.将函数πsin 24y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间π3π,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 10.已知,x y 满足：3403400x y x y x y +-≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩,若3y z x =+,则z 的最大值和最小值分别为（ ）A ．最大值是2,最小值是12-B ．最大值是3,最小值是12-C ．最大值是2,最小值是13-D ．最大值是3,最小值是13-11. 已知顶点为坐标原点O 的抛物线1C 与双曲线()22222:10,0x y C a b a b -=>>都过点23M ⎛ ⎝⎭,且它们有共同的一个焦点F ,则双曲线2C 的离心率是（ ） A ．3 B ．2 C12.，函数223y x =+，则221212()()x x y y -+-的最小值为（ ） A．12 B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()02,11,0x f f x x x x ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩,则()2log 9f = ．14.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，2()2f x x x =+，那么，不等式()3f x <的解集是 .15.已知向量AB 与AC的夹角为120︒,且3,2AB AC == ,若AP AB AC λ=+ ,且AP BC ⊥,则实数λ= ．16.()()|2|2f x f x x =--函数，给出函数下列性质：（1）函数的定义域和值域均为； （2）函数的图象关于原点成中心对称； （3）函数在定义域上单调递增；（4）A 、B 为函数f （x ）图象上任意不同两点，则＜|AB|≤2． 请写出所有关于函数f （x ）性质正确描述的序号______．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====，点D 是AB 的中点. （1）求证：1AC BC ⊥ （2）求证：1//AC 平面1CDB18.(本小题满分12分） 已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设*)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.（1）求数列}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n c 的前n 项和S n .19.(本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos cos )4cos cos B B C C B C --=.（1）求角A ；（2）若sin sin B p C =，且ABC ∆是锐角三角形，求实数p 的取值范围．20.(本小题满分12成等差数列，记(,)x y 所对应点的曲线是C .（1）求曲线C 的方程； （2）已知点(1,0)M ，点(3,2)N ，过点M 任作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，问12k k +是否为定值？请证明你的结论。

21.(本小题满分12分）设函数bx ax x x f --=221ln )(． （1）当21==b a 时，求)(x f 的最大值； （2）令21()()(03)2aF x f x ax bx x x =+++<≤，以其图象上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率21≤k 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0=a ，1-=b 时，方程2)(2x x mf =有唯一实数解，求正数m 的值．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 是过点(1,2)P -，倾斜角为23π的直线，圆C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+. （1）求直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，求||||PM PN ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，2()g x x =． （1）当14a =时，求不等式()()f x g x >的解集； （2）设0a >，且当[1,)x ∈+∞时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.2016-2017学年东北育才高中部高三年级第三次模拟考试数学（文科）试卷答案1、C2、A3、B4、B5、B6、D7、D8、B9、C 10、A 11、A 12、B 13、5516-14、（﹣3，3） 15、71216、（2） 17、解：（1）在ABC ∆中：222AB BC AC =+∴AC ⊥BC ……………（1分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中：⊥1CC 面ABC ，⊂AC 面AB C ，∴ AC ⊥1CC ……（2分） 又C CC BC =1 ，∴ AC ⊥面1BC ，⊂1BC 面1BC 故AC ⊥1BC 。

……（4分） （2）略……………（8分） 18、解:（1）由题意知，*)()41(N n a nn ∈= ，……………2分又143log 2n n b a =-，故 32(*)n b n n N =-∈……………4分 （2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴……………6分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- ……7分∴1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S …9分 两式相减，得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n …12分 2321()(*)334nn n S n N +∴=-⨯∈……………12分19、解：（1）由题意得3sin sin cos cos cos sin 4cos cos B C B C B C B C B C +=1tan 26232C Cp ππ∴<<⇒∴<<. 20、（1）=所以点(),P x y 对应的曲线方程C 是椭圆a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩得 ．故=1b椭圆C 方程为x 23＋y 2＝1(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 23＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝±63. 不妨设A （1，63），B （1，－63）， 因为k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2，且k 1＋k 2＝2k 3，所以k 3＝1，所以m ，n 满足的关系式为n －2m －3＝1，即m －n －1＝0. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1，整理得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1.又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝（2－y 1）（3－x 2）＋（2－y 2）（3－x 1）（3－x 1）（3－x 2）＝[2－k （x 1－1）]（3－x 2）＋[2－k （x 2－1）]（3－x 1）x 1x 2－3（x 1＋x 2）＋9＝2kx 1x 2－（4k ＋2）（x 1＋x 2）＋6k ＋12x 1x 2－3（x 1＋x 2）＋9＝2k ×3k 2－33k 2＋1－（4k ＋2）×6k23k 2＋1＋6k ＋123k 2－33k 2＋1－3×6k 23k 2＋1＋9＝2（12k 2＋6）12k 2＋6＝2， 所以定植为2. 21、21.解：（1）依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞. …………………………………（1分）当21==b a 时，211()ln 42f x x x x =--， ()()21111()222x x f x x x x-+-'=--=. ………………………………（2分） 令()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0f x '>，此时)(x f 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时)(x f 单调递减. ……………………………（3分） 所以()f x 的极大值为3(1)4f =-，此即为最大值 . ……………………（4分） （2）()ln ,(0,3]aF x x x x=+∈， 所以'00201()2x a k F x x -==≤，在0(0,3]x ∈上恒成立，………………（6分） 所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ ，0(0,3]x ∈…………………………………（7分） 当01x =时，20012x x -+取得最大值12．所以12a ≥． ………………（9分） （3）因为方程2)(2x x mf =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=(x>0)有唯一实数解．设2()2ln 2g x x m x mx =--(x>0)，则2222()x mx mg x x--'=.令()0g x '=，得20x mx m --=． 因为0,0m x >>，所以10x =<（舍去），2x = ………（10分） 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 单调递减， 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞单调递增．当2x x =时，2()0g x '=，()g x 取最小值2()g x . ……………………（11分） 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =．则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，即22222222ln 20x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩所以222ln 0m x mx m +-=， 因为0m >，所以()222ln 10x x +-=*． …………………………（12分）设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解． ………（13分）因为(1)0h =，所以方程()*的解为21x =1=，解得1.2m = ……………………………………………（14分） 22、解：（Ⅰ）将1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t，化为普通方程20x y +-=再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入20x y +-=，得cos sin 2ρθρθ+=……………………………5分（Ⅱ）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程2cos sin 24(sin cos )40ρθρθρρθθ+=⎧⎨-++=⎩因为0,02ρθπ≥≤<，所以可解得1120ρθ=⎧⎨=⎩或2222ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此l 与C 交点的极坐标分别为(2,0)，(2,)2π．………………………………………10分23、 解：（Ⅰ）当14a =时，不等式()()f x g x >化为214x x ->将上式化为不等式组，得21414x x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪->⎪⎩或21414x x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩解得1122x -<<，所以原不等式的解集为|x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭．…………………………………5分 （Ⅱ）不等式()()f x g x ≤化为2x a x -≤，因为0a >，[1,)x ∈+∞，所以||x a x a x a -≥-=-且 ||x a a x a x -≥-=- 从而有2x x a ≥-且 2x a x ≥-，即对于0a >，[1,)x ∈+∞，2a x x ≥-且 2a x x ≤+成立因此02a <≤．……………………………………………………………………………10分。