简单复合函数的求导法则

解 y ln tan 2x 1 tan 2 x
tan 2x
1 tan 2x
1 cos2
2x
2 x
4 sin 4x
若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初 等函数求导时，就可以“一步到位”.
练习1. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
简单复合函数的 求导法则
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知识回顾
1、导数公式表
函数
y c(c是常数） y x (为实数）
y ax (a 0, a 1)
y ex
y log ax (a 0, a 1)
y ln x
y sin x y cosx
Title
y tan x
y cot x
导函数
y 0
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u) 1 2u 2
1 (1 x2 )
也在心中运算
.
这样可以直接写出下式
yx 2
1 (1 x2 )
(1 x2 )x
x .
1 x2
(2) y e0.05x1
解 (2) 函数y e0.05x1可以看作 函数y eu和u 0.05x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
yx ' yu ' ux' (sin u) ' ( x ) '
cosu cos( x )
例 2 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x eu sec2 x etan x sec2 x
2) (u(x) v(x)) ' u '(x)v(x) u(x)v '(x)
推论：[c· f(x)]’ = c f’(x)
3)
u(x)
v(x)
u
'(x)v(x) u(x)v v2 ( x)
'(x)
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二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
对于函数y f ((x)), 令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
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练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y sin 2x；
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y sin u, u 2x
(2) y 3x2 x 1； (3) y cos(sin x)； (4) y (a bxn )m； (5) y sin(1 1 ).
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x). 解 f ( x) cos x2 ( x2 )x 2 x cos x2
例 3 设 y 1 x2 , 求 y .
x
y u, u 3x2 x 1
y cos u, u sin x
y um, u a bxn.
y sin u, u 1 1 x
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问题： 如何求y (3x 2)2的导数？
① y'x y' [(3x 2)2]' 9x2 12x 4 ' 18x 12
② 其实，y (3x 2)2 是一个复合函数，
yx ' yu ' ux ' (eu ) ' (0.05x 1) '
eu 0.05 0.05e0.05x1
(3) y sin( x )(其 中 ， 均 为 常 数 )
解：(1)函数y sin( x )可以看作函数y sin u 和u x 的复合函数。
根据复合函数求导法则有
解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5 看成是由 y = u5，u = 2x + 1 复合而成，
由于 yu (u5 ) 5u4 , ux (2x 1) 2.
所以 yx yu ux 5u4 2 10(2 x 1)4 .
例2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
解1：yx (sin 2x) (2sin xcos x)
2(cosxcosxsin xsin x) 2cos 2x
解2： y sin 2x 可由y=sinu,u=2x复合而成
yu cosu,ux 2
yu .ux 2cosu 2cos2x yx yu ux =2cos2x
练习2 设 y = (2x + 1)5，求 y .
由 y u2 与 u 3x 2复合而成.
yu 2u 6x 4 ; ux 3 ;
分析三个函数解析式以及导数
yu , ux ,
y
' x
之间的关系: y' yx' yu ux
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3.复合函数的求导法则 (1) y f [g(x)] y f (u),u g(x). 那么
复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.
例3 设 y 2 cos x2 3 , 求 y＇
解 因 y 2 cos x2 3 是由 y=2cosu,
ｕ＝x2 3 复合而成的 所以
y＇ｙｕ＇ｕｘ＇ 2sin(x２ ３) 2x 4x sin(x2 3)
例4 设 y ln tan 2 x 求 y
yx yu ux .
(2) y f (u),u g(v), v h(x). 那么
yx yu uv vx' .
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,
乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法则 )
例1：求 y sin 2x 的导数
分析：(sin x) cos x (sin 2x)cos 2x ?
y x 1
y ax ln a
y ex
y 1 x ln a
y 1 x
y cosx
y sin x
y
1 c os2
x
y 1 sin2 x
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2.导数的四则运算法则：
设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则
1) (u(x) v(x)) ' u '(x) v '(x)