泛函分析讲稿-FudanUniversity
泛函分析——武大精品课5-2
x1 − x2 = 0, x1 = x2 .
现 在 我 们 证 明 存 在 a > 0, || Bx || ≥ a || x ||, ∀x ∈ M . 否 则 ， 存 在
xn ∈ M ,
|| Bxn ||< n −1 || xn || ，不失 一般 性设 || xn ||= 1 ，则 || Bxn ||< n −1 . A 是紧的 ，
4
这与 A 的紧性 矛盾， 于是 存在 n0 , R (T 由 于 T 是 一 一 的 ， ∀y ∈ R (T
n0 −1
n0 +1
) = R (T n0 ).
), Ty ∈ R(T n0 ) = R (T n0 +1 ). 不 妨 设 y = T n0 x ∈ R(T n0 ),
从 而
Ty = T n0 +1 x
xn
λ
) = xn . 于是
{xn } 中 有 子 序 列 { xnk } 收 敛 . 这 说 明 N 的 闭 单 位 球 是 紧 的 ， 从 而 N 是
有限维 的.
2 由引理 1，存在闭线性子空间 M, X = M ⊕ N , 我们证明
M = R (λ I − A) .
定义算 子 B : M → X , Bx = λ x − Ax .由于 X = M ⊕ N ，在 N 上，
x = a1 ( x)e1 + ⋅⋅⋅ + ai −1 ( x)ei −1 + ai +1 ( x)ei +1 + ⋅⋅⋅ + an ( x)en ,
故 N (ai ) = span{e1 , ⋅⋅⋅, ei −1 , ei +1 , ⋅⋅⋅, en } 为 n − 1 维闭子 空间.
泛函分析漫谈
=
a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . anm
泛函分析漫谈
郭坤宇
复旦大学数学科学学院
1
人类进步通常是由认识自然的渴望所驱动的。这种探求事物 的本质、追根溯源的努力，远远超过了单纯满足生存需求和提 高生活质量的要求。当然，这并不是说所有人都会主动去追寻 自然奥秘，研究抽象的数学命题。为了生存而整日奔波忙碌的 芸芸众生，几乎不可能有时间奢侈地思考人生的意义。然而， 人类历史上却始终不乏先驱来思考万事万物的根源，探寻自然 界的构成方式和法则。数学先驱为我们创造的泛函分析这门学 科，打开了通向现代数学之门（M.Livio 《数学沉思录》）。
4
1. 从数分、高代谈起
I. 数学分析
研究区间⟨a, b⟩上函数的连续性、可微性以及Riemann积分理论。 我们见到的函数多半是初等函数和它们的复合，如 y = sin x, y = e x, y = ln x, · · · 等。这形成了数学分析中一元函数理论。
5
研究一个平面区域Ω上的两元函数的连续性、可微性以及重积分 理论，就形成了数学分析中二元函数理论。 一般地，研究实n-维空间Rn中区域Ω上的n元函数的连续性、可 微性以及积分理论就形成了多元函数理论。
e′ 1 e′ 2 e′ m. . . .
当x =
x e ∈ V, i=1 i i
Ax = ( x1, · · · , xn)
《泛函分析》教学大纲（本科）说明本课程的教学目的与要求本大纲
《泛函分析》教学大纲（本科）说明1本课程的教学目的与要求本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。
《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。
工程技术等领域有很大帮助。
2本课程的主要内容：本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。
3教学重点与难点本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们也是本章的重点。
4本课程的知识范围及与相关课程的关系本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变函数后学习。
5教材的选用本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。
6．教学学时分配本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，习题课８学时，机动２学时, 函授按脱产学时的百分之四十进行面授。
教学内容第六章距离空间（２５学时）一、教学内容距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定理。
二、教学目的及要求要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
泛函分析——武大精品课3-3
T1 + T2 ∈ C ( X , Y ) .
至于 α T1 ∈ C ( X , Y ) 可类似证之. 2°显然 sup Tn = M ＜∞ ，由 Banach－Steinhaus 定理， T ≤ M . ∀ε＞0 ，取 n0 使得
T ＜
ε
3
.
Tn ( S X ) 是 相 对 紧 集 ， 从 而 是 完 全 有 界 集 ， 设 y1 ,
∗∗
若 T ∗ : Y ∗ → X ∗ 是 T : X → Y 的共轭算子，记 T ∗∗ : X ∗∗ → Y ∗∗ 是 T 的共轭算子。 定理 3
数不变的延拓. 证明 由定理 1 知 A
∗∗
= A∗ = A ．比较 A : X → Y 与 A∗∗ : X ∗∗ → Y ∗∗ ，由于
X ⊂ X ∗∗ ，即 D ( X ) ⊂ D ( X ∗∗ ) ．对于 x ∈ X ，仍用 x 代表 x∗∗ ( = Jx ) ∈ X ∗∗ ，则
∗ ∗
∗
T ∗ y∗ = l ≤ y∗ T ，
故 T∗ ≤ T ．
∀x ∈ X ，若 Tx ≠ 0 ，则存在 y0∗ ∈ Y ∗ ， y0∗ = 1 ， T ∗ y0∗ = Tx ，于是
Tx = ( x, T ∗ y0∗ ) ≤ T ∗ y0∗ x ,
若 Tx = 0 ，此式自然成立. 故
y∗ ≤1
Tx − yk = Tx − Txk ＜ . 4
定义
ε
( 4)
σ : Y ∗ → Φ n ， σ ( y ∗ ) = ( y ∗ ( y1 ) ,
, y ∗ ( yn ) ) ， ∀y ∗ ∈ Y ∗
则 σ 是有界的有限秩算子， 从而是紧算子， σ SY ∗ 完全有界. 不妨设 σ y1∗ ,
泛函分析讲义02
泛函分析讲义第二讲：距离空间中的点集关 键 词：领域、内点、开集、聚点、导集、闭集、闭包； 稠密子集、可分的主要内容：介绍距离空间中的开集、闭集定义及其性质； 介绍可分空间的定义一、 开集与闭集本节将直线上有关点集的基本概念推广到距离空间中去。
定义1. 设0x ),(ρX ∈，0>r ，以0x 为中心，以r 为半径的开球),(0r x S 称为0x 的一个球形邻域，简称为邻域。
设,,G x X G ∈⊂ 若存在x 的一个邻域,),(0G r x S ⊂则称x 是G 的一个内点。
若G 中每一个点都是它的内点，则称G 为开集。
例1．开球都是开集。
证明：设),(0r x S 为开球。
任取),(0r x S x ∈, 即r x x <),(0ρ,令0,(x x r ρε-=),),(εx S y ∈∀, 即ερ<),(y x ,则r r y x x x y x =+-<+≤εερρρ),(),(),(00∴).(),(,0r x S x S ⊂ε 即),(0r x S 为开集.定理1 设),(ρX 为距离空间, 则 (1) 空集φ全空间X 是开集. (2) 任意多个开集之并是开集. (3) 有限个开集之交是开集.证明：设I a a G ∈}{是一族开集，证明 IG ∈αα为开集。
对 IG x ∈∈∀αα，0α∃，使0αG x ∈，由0αG 是开集，则存在x 的一个邻域⊂),(r x S0αG ，从而⊂),(r x S IG ∈αα. ∴ x 是 IG ∈αα的一个内点，从而 IG ∈αα为开集。
(3). 设i G 是开集，n i ,...,2,1=，证明 ni i G 1=是开集。
对∈∀x ni i G 1=，则∈x i G n i ,...,2,1=，由i G 是开集，则存在x 的一个邻域⊂),(i r x S i G ，令},...,,min{21n r r r r =，则 从而),(),(i r x S r x S ⊂，n i ,...,2,1=. 从而),(r x S ni i G 1=⊂，所以 ni i G 1=为开集。
泛函分析讲义
第三章 赋范空间3.1. 范数的概念“线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。
为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。
那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？3.1.1. 向量的长度为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。
回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。
这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。
可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。
图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。
实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x 的如下三种长度（称为“范数”）：● 2-范数（也称为欧氏范数）：2x =● 1-范数：11n k k x x ==∑；● ∞-范数：1max k k nx x ∞≤≤=。
图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。
我们注意到：通常将2或3中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。
由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。
因此，长度是比距离更本质的概念。
3.1.2. 范数的定义我们希望将向量范数的概念推广到（以函数空间为原型的）无限维线性空间的场合。
应用泛函分析教案
应用泛函分析教案第一章：泛函分析基础1.1 集合与函数的概念集合的基本运算函数的定义与性质函数的图像与性质1.2 赋范线性空间与内积空间赋范线性空间的概念内积的定义与性质内积空间的性质1.3 线性算子与对偶空间线性算子的定义与性质对偶空间的概念与性质常用的线性算子与对偶空间第二章：赋范线性空间的基本定理2.1 泛函分析的基本定理闭图像定理共鸣定理开映射定理2.2 赋范线性空间的完备性完备性的定义与性质博尔查诺-魏尔斯特拉斯定理帕奇-弗雷歇定理2.3 赋范线性空间的同调性质同调序列与同调群直和、半直和与同调性质维数定理与同调性质的关系第三章：希尔伯特空间与自伴算子3.1 希尔伯特空间的概念与性质内积空间的进一步研究希尔伯特空间的特点与性质希尔伯特空间的对偶空间3.2 自伴算子的性质自伴算子的定义与性质自伴算子的谱分解自伴算子的对偶性质3.3 谱定理与自伴算子的应用谱定理的定义与证明自伴算子在量子力学中的应用自伴算子在偏微分方程中的应用第四章：赋范线性空间的框架4.1 框架的概念与性质框架的定义与构造框架的性质与例子框架在信号处理中的应用4.2 Riesz表示定理Riesz表示定理的定义与证明Riesz表示定理的应用框架与Riesz表示定理的关系4.3 框架的推广与变种广义框架的概念与性质框架的推广到其他赋范线性空间框架的变种与推广第五章：应用泛函分析解决问题5.1 泛函分析在数学物理中的应用偏微分方程的解的存在性与唯一性量子力学中的算子方法连续介质力学中的泛函分析方法5.2 泛函分析在信号处理中的应用框架在信号处理中的应用小波分析与泛函分析的关系信号处理中的其他泛函分析方法5.3 泛函分析在其他学科中的应用泛函分析在概率论与统计学中的应用泛函分析在优化与控制理论中的应用泛函分析在其他科学领域中的应用第六章：Banach空间与不动点定理6.1 Banach空间的概念与性质Banach空间的基本定义Banach空间的例子Banach空间的性质6.2 不动点定理及其应用不动点定理的定义与证明合同映射与不动点不动点定理在优化问题中的应用6.3 算子方程的解法算子方程的定义算子方程的解法算子方程解的存在性与唯一性第七章：Hilbert空间上的正交基与正交分解7.1 正交基的概念与性质正交基的定义正交基的性质正交基的构造方法7.2 正交分解定理正交分解定理的定义与证明正交分解的应用格拉姆-施密特正交化方法7.3 正交投影与不变子空间正交投影的概念与性质不变子空间的概念与性质正交投影在量子力学中的应用第八章：算子的谱理论8.1 谱映射定理谱映射定理的定义与证明谱映射定理的应用谱映射定理的推广8.2 算子的本征值与本征函数算子的本征值与本征函数的定义算子的谱定理算子的本征值与本征函数的应用8.3 算子的扩张与restriction算子的扩张与restriction 的定义扩张与restriction 的性质扩张与restriction 在应用中的例子第九章：泛函分析在现代数学中的应用9.1 泛函分析在代数学中的应用向量空间与线性代数环、域与代数结构泛函分析与代数拓扑的关系9.2 泛函分析在几何学中的应用向量丛与纤维丛微分几何与泛函分析度量空间与测地线9.3 泛函分析在物理学中的应用量子力学与算子方法连续介质力学与偏微分方程统计物理学与泛函分析第十章：泛函分析的前沿问题与展望10.1 泛函分析的发展历程泛函分析的起源与早期发展泛函分析的主要里程碑泛函分析在现代数学中的地位10.2 泛函分析的前沿问题希尔伯特空间中的谱理论非线性泛函分析与动力系统算子代数与量子计算10.3 泛函分析的未来展望泛函分析在数学其他领域的影响泛函分析与其他学科的交叉泛函分析在科技应用的潜力重点和难点解析重点一：泛函分析的基本概念与性质集合的基本运算、函数的定义与性质、函数的图像与性质是泛函分析的基础知识，需要重点掌握。
泛函分析 PPT课件
• 如：关于点的收敛性就与自控控制系统的输入输 出稳定性、控制算法的收敛性等密切相关。
• 下面我们介绍的这个结论，不仅在数学上，在其 它的学科也能看到广泛的应用。
定理证明：随便给定一点x 0，压缩算子T 逐次作用，得到了一个 Cauchy列，由空间X的完备性，极限点x *存在且唯一,不动点就
得到了.(Tx*, x*) (Txn ,Tx*) (Txn , x*) 0。
该定理（Banach压缩映射原理）就是某一类映射的不动点存在
性和唯一性的问题，不动点可以通过迭代序列求出。实际应用
中T未必是，但T n0是压缩时，命题仍然成立。 注：1.该原理是求解代数方程、微分方程、积分方程、以及数值
同胚变化下是保持不变的 • 练习：证明从离散空间X到任意距离空间Y
的映射T是连续映射。
证明稠密性具有传递性，即若A在B中稠密，B在C中稠密，则A 在C中稠密。
不可分空间的例子：有界数列空间在最大值定义的距离下 是不可分的。
注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的
• 若空间X本身是紧（列紧）集，则称X是紧（列紧） 空间。
• 例：实直线R是完备的距离空间，但不是紧的， 也不是列紧的；R中任意有界闭集M按R的距离是 紧空间，有界开集N是列紧的。
• 在欧式空间中，有界性和列紧性是一致的。
距离空间的紧性
• 直接从定义判定一个集合的紧性比较困难。 • 称距离空间X的子集A是全有界的，对任意
常用的几个公式
• 赫尔德不等式：p,q>1,1/p+1/q=1,则
《泛函分析》教学大纲
《高等数学（二）》教学大纲（适用专业：资环院各专业，核化工专业，化学类各专业，生命科学各专业，草业科学，教育学等专业）一﹑课程的性质、目的与要求高等数学课程是综合大学理科各专业必修的一门重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
通过本课程的学习，逐步培养学生的抽象思维的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、自学能力以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课程和进一步获得近代科学技术知识奠定必要的数学基础。
二、教学内容与学时安排下面打“*”号的内容可供基地班和对个别虽非基地班但对数学要求较高、课时较为充裕的专业讲授的，对非基地班来说，这部分内容或不讲或选讲或只介绍必要的结论，可视具体情况而定。
第一章函数与极限（18--20课时）§1 映射与函数集合的概念，映射、逆映射与复合映射，函数的概念，表示法，函数性态的简单讨论，反函数，复合函数及初等函数。
§2 数列的极限数列极限的定义，用定义求极限的几个例子，收敛数列的性质。
§3 函数的极限函数极限的定义，用定义求极限的几个例子，函数极限的性质。
§4无穷小与无穷大无穷小量与无穷大量的定义，记号O, o及∽, 主要部分及无穷小（大）量的阶的比较。
§5 极限的运算法则极限的基本性质，极限的四则运算法则，复合函数的极限运算法则。
§6 极限存在准则两个重要极限夹挤定理，单调有界定理，*Cauchy收敛准则。
§7 连续函数的连续性与间断点函数的连续性，函数的间断点。
§8 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算性质, 反函数与复合函数的连续性，初等函数的连续性。
§9闭区间上连续函数的性质有界性与最大最小值定理，零点定理与介值定理，*一致连续性。
第二章导数与微分（10--12时）§1 导数概念几个实际例子，导数的定义，导数的几何意义，函数可导性与连续性的关系。
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∈X都有ρ(Tx, Ty)<aρ(x, y)，则称T是压缩映照
定理：完备距离空间 X 上的压缩映照T，必 存 唯一的不动点x*,使得Tx*=x*. （Banach压 缩映 照定理）
距离空间：不动点原理
应用：微分方程，代数方程，积分方程解的唯一存在 性
n
S f (i )xi
i 1
若其极限存在则称Riemann可积
b
n
(R) a f (x)dx lxim0 i1 f (i )xi
从Riemann积分到Lebesgue积分
Riemann积分的思想是，将曲边梯形分成若干个小 曲 边梯形，并用每一个小曲边梯形的面积用小矩形 来代 替，小矩形的面积之和就是积分值的近似。剖 分越精 细，近似程度越好。
距离空间：定义
设 X 是非空集合，对于X中的任意两元素x与y，按某一法则都
对 应唯一的实数ρ(x, y)，并满足以下三条公理（距离公理）
：
1. 非负性： ρ(x, y) ≥0， ρ(x, y) =0当且仅当x=y； 2. 对称性： ρ(x, y) =ρ(y, x)；
3. 三角不等式；对任意的x, y, z
例子：Fredholm第二类积分方程
b
x(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt
对充分小的| λ |，可证
当f ∈ C[a, b]， K(s, t)∈ C[a, b; a, b]时有唯一连续解 当f ∈ L2[a, b]， K(s, t)∈ L2 [a, b; a, b]时有唯一平方可积解
(x, y) (a b )2 1/ 2 i i i
则 Rn是距离空 间
距离空间： Lp[a,b]
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傅里叶变换与小波变换的应用
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理、语音处理等领域 有着广泛的应用。例如，在信号处理中，可以通过傅 里叶变换将信号从时域转换到频域，从而方便地进行 信号的分析和合成。在图像处理中，可以通过傅里叶 变换对图像进行频域滤波，从而实现图像的降噪和增 强。在语音处理中，可以通过傅里叶变换对语音信号 进行分析和处理，从而实现语音的识别、压缩和加密 等任务。
REPORTING
在物理学中的应用：量子力学与相对论
量子力学
泛函分析在量子力学中有着广泛的应用，如波函数的形式化 描述、薛定谔方程的推导等。
相对论
泛函分析也被用于相对论中的时空变换和场方程的构造，以 及在广义相对论中研究黑洞的性质等。
在工程学中的应用：控制理论、电气工程等
控制理论
泛函分析在控制理论中有着重要的应用 ，如研究系统的稳定性、时域响应等。
PART 05
泛函分析在信号处理中的 应用
REPORTING
信号处理的基本概念
信号的定义与分类
信号是传递或表达某些信息的数据或数据流。它可以分为 离散信号和连续信号，离散信号是离散时间点的数据，而 连续信号是连续时间点的数据。
信号处理的定义与目的
信号处理是对信号进行变换、分析和解释的过程，目的是 从原始信号中提取有用的信息，或者将原始信号变换为另 一种形式，使其更易于分析和理解。
其他应用
泛函分析还可以应用于滤波器设计、压缩感知等领域。例如，基于小波变换的压缩感知方 法可以在保持信号质量的同时，实现信号的压缩和存储。
实例分析：信号的傅里叶变换与小波变换
傅里叶变换的基本原理
傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的方法。它将一个时域信号表示为一系列不同频率的正弦和 余弦函数的线性组合。通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，从而可以更好地分析信 号的频率特性。
泛函分析讲义
泛函分析讲义第五章Banach代数1代数准备知识2 Banach代数2．1 Banach代数的定义2．2 Banach代数的极大理想与Gelfand表示3例与应用4 c’代数5 Hilbert空间上的正常算子5．1 Hilbert空间上正常算子的连续算符演算5．2正常算子的谱族与谱分解定理5．3正常算子的谱集6在奇异积分算子中的应用第六章无界算子1 闭算子2 cayley变换与自伴算子的谱分解2．1 cayley变换2．2自伴算子的谱分解3无界正常算子的谱分解3．1 B0rel可测函数的算子表示3．2无界正常算子的谱分解?4 自伴扩张4．1 闭对称算子的亏指数与自伴扩张4．2 自伴扩张的判定准则5自伴算子的扰动5．1稠定算子的扰动5．2自伴算子的扰动5．3 自伴算子的谱集在扰动下的变化?6无界算子序列的收敛性6．1预解算子意义下的收敛性6．2图意义下的收敛性第七章算子半群1无穷小生成元1．1无穷小生成元的定义和性质1．2 Hme—Yosida定理2无穷小生成元的例子3单参数酉群和Stone定理3．1单参数酉群的表示——stone定理3．2 stone定理的应用1．B0chner定理2．Schr6dinger方程的解3．遍历(ergodic)定理3．3 Trotter乘积公式4 Markov过程4．1 Markov转移函数4．2扩散过程转移函数5散射理论5．1波算子5．2广义波算子6发展方程第八章无穷维空间上的测度论1 C[O，T]空间上的wiener测度1．1 C[O，T]空间上wiener 测度和wiener积分1．2 Donsker泛函和Donske卜Lions定理1．3 Feynman—Kac公式2 Hilbert空间上的测度2．1 Hilbert—Schmidt算子和迹算子2．2 Hilbert空间上的测度2．3 Hilbert空间的特征泛函3 Hilbert空间上的Gauss测度3．1 Gauss测度的特征泛函3．2 Hilbert空间上非退化Gauss测度的等价性清词丽句必为邻2015-09-21 04:05 | 豆瓣：烟波浩渺1980杜甫的《戏为六绝句》（其五）不薄今人爱古人，清词丽句必为邻。
泛函分析 课件第一章
i 1
Ai x | 0 x 1
Ai x | 0 x 2
1 1 A x | x （2）设 i , i 1, 2,.... i i
则
1 1 Ai x | x , n n i 1
4、逆映射 设 为A到B上的一一映射.作B到A的映射如下:如果 : x | y 令 : y | x , 确实使唯一的
x 与 y 相对应，即 是映射，
11 1 : B A
则称
是 的逆映射 ，也记为
注：逆映射是反函数概念的推广。例如，任何一个严格单调的函数都可
d c 11 : x b ( x a) c a
故(a,b)与(c,d)对等。
定理 1 对任何集合A、B、C均有
(1) (3) A B B
若
(2) A
A
A
(4) A B, B C A C
定理 2 设{An}和{Bn}是两列分别彼此互不相交的集列，
An
Bn , n 1,2,... ， 则
集合表示方法：
列举法：将其元素一一列举出来。
特征描述法：将元素所具有的特征义命题的形式描述出来。
p Q {x | x q , p Z , q Z , q 0}
定理1：对任何集合A、B、C，均有
（1）A A
（2）A B，B A，则A = B
（3）A B，B C，则A C 其中（2）是经常用于证明两个集合相等。
§2 集合的运算
1、和集或并集 A B x | x A 或 x B
A x | 存在某个 使x A
2、交集
泛函分析——武大精品课1-7
B ⊃ A．
例1
c0 ， c ， l p (1 ≤ p < ∞) ， P[a, b] ， C[a, b] ， Lp [a, b] (1 ≤ p < ∞) 都是可分空间． , rn ,0, ); ri ∈ Q , n ≥ 1} ，即 B 是由至多有限多个坐标不为 0 并且每个
考虑集合 B = {( r1 ,
从而 x1 = x2 ， T 是一一的．若 xn , x ∈ X ， xn → x ，则
|| Txn − Tx ||≤ b || xn − x ||→ 0 ， Txn → Tx ， T 是连续的．若 y n ， y ∈ Y ， y n → y ，不妨设 y n = Txn ， y = Tx ，则
a || T −1 y n − T −1 y ||= a || xn − x ||≤|| Txn − Tx ||=|| y n − y ||→ 0 ，
1≤i ≤ n0 i > n0
故 c 可分． 对于 l p ，由于 x = ( x n ) ∈ l p 时， ∑ | xn | p < ∞ ，先取 n0 使得
i =1 ∞
i = n0 +1
∑| x
∞
n
| p < ε p ，再取有理数
r1 ,
外
, rn 使得 ∑ | xi − ri | p < ε p ，仍记 y = ( r1 ,
2 k =1 k =1
n
n
1 2
即
β || α || ≤ || F (α ) || ，
∀α ∈Φ n ．
由定理 1，F 是从 Φ n 到 Y 上的同构映射．由于 Φ n 完备，故 Y 完备．作为 X 的子空间，Y 是闭子空间．证毕． 设 X ， Y 为线性赋范空间， dim X = dim Y = n ，则存在到上的一一映射 T : Φ n → X 和
2019-2020学年第1学期泛函分析
10.2 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11 线性算子的谱
79
11.1 教学计划 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
= 0.
设 h ∈ C∞[a, b], 则对任意自然数 r ∈ N 以及任意 t ∈ [a, b], 都有
f (r)(t) − g(r)(t) ≤ f (r)(t) − h(r)(t) + g(r)(t) − h(r)(t) ,
从而,
f (r)(t) − g(r)(t)
1 + f (r)(t) − g(r)(t)
5. Cauchy 点列和完备度量空间的定义. Cauchy 点列和收敛点列的关系. 完备和不完备度量空间的具体例子及验证方法 (课本例题以及习题 15 题). 度量空间之间的等距同构, 不完备空间的完备化定理 (Cauchy 等价类方法, 证明略).
6. (列) 紧集的定义 (列) 紧集和有界 (闭) 集的关系. 紧集的拓扑定义——有限覆盖条件. C[a, b] 中列紧集的判别方法——Ascoli-Arezela 定理 (A-A 定理).
7.2 习题
练习 7.1 设 (X, d) 是一个度量空间, x0 ∈ X, ϵ > 0. 令 U(x0, ϵ) = {x | d(x, x0) < ϵ }, S(x0, ϵ) = {x | d(x, x0) ≤ ϵ },
问 U(x0, ϵ) 的闭包是否等于 S(x0, ϵ)?
7.2 习题
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泛函分析教学大纲
泛函分析教学大纲第一篇：泛函分析教学大纲一、教学目的通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。
二、教学重点线性算子的谱及分类，全连续算子。
三、教学难点紧集和紧线性算子的谱。
四、讲授要求通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。
五、讲授要点谱集及分类，有界线性算子谱的性质，紧集合全连续算子，紧线性算子的谱。
第二篇：泛函分析教学大纲课号：218.116.1泛函分析教学大纲(Functional Analysis)学分数 3 周学时 4一.说明1.课程名称: 泛函分析(一学期课程)，第五学期(3+1)*18=72.2.教学目的和要求:(1)课程性质: 本课程是数学系专业基础课, 为数学系本科三年级学生所必修。
(2)基本内容: 本课程主要内容: 度量空间中点集分析，赋范空间上算子与几何，内积空间中几何与算子，线性算子谱理论。
(3)基本要求: 通过本课程的学习, 学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念, 熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论, 为今后学习打下坚实基础。
3.教学方式: 课堂授课。
4.考试方式: 考试。
5.教材: 《泛函分析》讲义，郭坤宇，徐胜芝编参考书: 《实变函数与泛函分析》夏道行等编, 高等教育出版社。
二.讲授纲要第一章度量空间中点集分析1.1 度量空间(3学时)1.2 度量拓扑(2学时)1.3 数值函数(2学时)1.4 紧~~~与极值(2学时)1.5 贝尔纲论(3学时)1.6 函数空间(2学时)本章要求: 通过学习度量空间的基本点集理论, 读者应能熟悉紧集与其应用, 熟悉纲理论及其应用, 掌握映射的连续性与数值函数的上半连续与下半连续性及其特征.第二章赋范空间上算子与几何有界线性算子(3学时)连续线性泛函(3学时)弱收敛与共轭(2学时)一致有界原理(2学时)开映射与闭算子(3学时)凸集与超平面(2学时)本章要求: 通过学习有界线性算子的基本理论, 读者应能掌握线性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析与几何上的应用;一致有界原理及其应用;开映射原理与闭图像定理的应用等.第三章内积空间上几何与算子内积空间(2学时)共轭算子(2学时)投影算子(2学时)基与维数(2学时)赋范代数(2学时)本章要求: 通过学习内积空间的几何, 掌握投影定理与投影算子的应用,直交基的确立及其应用.第四章线性算子谱理论正则点与谱点(3学时)紧算子谱分析(3学时)有界正规算子(2学时)无界线性算子(2学时)谱测度与积分(3学时)指标理论初步(2学时)本章要求: 通过学习线性算子谱理论, 读者应能计算一些典型线性算子如单向平移和乘法算子等的谱, 提高利用Gelfand谱理论分析谱的能力, 掌握正规算子谱分解及其应用, 能分析紧算子的谱并掌握Fredholm算子指标的应用.第三篇：泛函分析1.设(X,d)为距离空间。
应用泛函分析修订版(后两章)
赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · §1.2.1 §1.2.2 §1.2.3 赋范线性空间上的有界线性泛函 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 对偶空间 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
§1.1 赋范线性空间上的有界线性算子
§1.1.1 有界线性算子
定义 1.1.1 设X, Y是同一数域K上的赋范线性空间, T : X → Y是线性算子. 若存在正常 ∥T x∥ ≤ c∥ x∥, 则称T 为X上的有界线性算子. 在(1.1.1 )中, ∥ x∥是表示 x在X中的范数, ∥T x∥ 是表示 T x 在 Y中的范数. 至于在定义中 用“有界”二字是基于下面一个的事实: T : X → Y是有界线性算子, 当且仅当线性算 子 T 把 X 中的任一有界集映成 Y 中的有界集. 考察不等式(1.1.1 ), 对所有的 x ∈ X, x θ, 由(1.1.1 )得 (1.1.2) ∥T x∥ ≤c ∥ x∥
§2.4
曲线拟合的最小二乘法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 §2.4.1 §2.4.2 曲线拟合的最小二乘问题 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 50 最小二乘解的求法 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 51
哈尔滨工业大学应用泛函分析教学
(3,4)
……
…… …… …… ……
集合的势
字母名
集合的势
集合的势
集合的势
集合的势
集合的势
集合序列的极限
集合序列的极限
集合序列的极限
集合序列的极限
代数运算与抽象系统
代数运算与抽象系统
代数运算与抽象系统
代数运算与抽象系统
代数运算与抽象系统
抽象代数系统
抽象代数系统
抽象代数系统
映射
映射
y ( f ) {(x, f (x)) : x ( f )}
(f)
x(f)映射来自映射若A=B,则
映射
映射
映射
映射
集合的势
可逆即一一对应
集合的势
(1,1) (1,2) (1,3)
(1,4)
……
(2,1) (2,2) (2,3)
(2,4)
……
(3,1) (3,2) (3,3)
集合
集合
集合
集合
集合
y y mx
(x, y) (0, 0)
x
集合
集合
集合
关系
关系
y
yx 2
(0, 0)
x
关系
关系
y
y x
x
关系
关系
关系
a
b
d
e
c
图2.1.1 关系R
关系
关系
关系
关系
关系
自反、传递、对称
关系
关系
关系
关系
x2
xˆ
L( xˆ )
x1
X1 {(x1, 0) : x1 }
抽象代数系统
抽象代数系统
泛函分析范文
泛函分析范文泛函分析范文泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析(FunctionalAnalysis)是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。
泛函分析是由对函数的变换(如傅立叶变换等)的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。
使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。
巴拿赫(StefanBanach)是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多·沃尔泰拉(VitoVolterra)对泛函分析的广泛应用有重要贡献。
由于泛函分析源自研究各种函数空间，在函数空间里函数列的收敛有不同的类型(譬如逐点收敛，一致收敛，弱收敛等等)，这说明函数空间里有不同的拓扑。
而函数空间一般是无穷维线性空间。
所以抽象的泛函分析研究的是一般的(无穷维的)带有一定拓扑的线性空间。
拓扑线性空间的定义就是一个带有拓扑结构的线性空间，使得线性空间的加法和数乘都是连续映射的空间。
巴拿赫空间这是最常见，应用最广的一类拓扑线性空间。
比如有限闭区间上的连续函数空间，有限闭区间上的k次可微函数空间。
或者对于每个实数p，如果p≥1，一个巴拿赫空间的例子是“所有绝对值的p次方的积分收敛的勒贝格可测函数”所构成的空间。
(参看Lp空间) 在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及到对偶空间的概念，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。
对偶空间的对偶空间可能与原空间并不同构，但总可以构造一个从巴拿赫空间到其对偶空间的对偶空间的一个单同态。
微分的概念可以在巴拿赫空间中得到推广，微分算子作用于其上的所有函数，一个函数在给定点的微分是一个连续线性映射。
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1.3.1 内点、开集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 极限点、闭集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 度量空间中的点集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 赋范线性空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
i
ii
目录
1.6.1 标准正交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6.2 正交系的完备性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.6.3 线性无关向量系的正交化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.6.4 可分Hilbert空间的模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.7 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7.1 稠密性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.7.2 可分空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.8 紧性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.8.1 相对列紧集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.8.2 完全有界集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.8.3 Arzel`a-Ascoli定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.8.4 列紧集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.8.5 紧集上的连续映照 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.9 习题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.1.2 子空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.5 连续曲线 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 完备性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1 完备性的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 闭球套定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 赋范线性空间、内积空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Baire定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4.4 Hilbert空间的投影定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 不动点定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.1 压缩映照原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.2 应用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6 Hilbert空间的正交系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.3 点集间的距离 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.4 连续映照 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
泛函分析讲稿
二〇一八年六月十三日
目录
第一章 度量空间
1
1.1 度量空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1