2018-2019学年最新北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》专题练习及答案-精品试题

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北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《正方形的性质与判定》同步练习

正方形的性质与判定（典型题）第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2C．8 2D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°5.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a26.如图5，正方形ABCD的边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．图57．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋6B.3＋1C.3＋2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°.∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°.在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，∴△BEF≌△BMF，∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE.(2)由(1)知EF＝FC＋AE，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4. 12．解：(1)∠EAF的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝∠AHE＝90°.又∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，∴∠BAE＝∠HAE.同理，Rt△HAF≌Rt△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝12∠BAH＋12∠HAD＝12(∠BAH＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小不发生变化．(2)△ECF的周长不发生变化．理由如下：C△ECF＝EF＋EC＋FC.由(1)，得Rt△BAE≌Rt△HAE，∴EB＝HE.同理，HF＝DF.∴C△ECF＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.第2课时正方形的判定（典型题）1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D2．①③④3．D.4．对角线互相垂直且相等5．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝12BC，∴AD＝AF.(2)四边形ADCF是正方形．证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．6．证明：(1)∵AD＝CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠F AC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠F AC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．9．解：(1)证明：连接CD，如图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，如图②所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝12BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.10．A11．3212．解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形．(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，∴∠F AP＝∠HDP＝45°.又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°. ∵AD＝CD，∴AD＝DG.又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝12∠BDA＝22.5°，∴∠CDF＝67.5°，∠CFD＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.又∵AC＝BD，CD＝DG，∴AF＝BG＝EG.由旋转知∠H＝∠DBC＝45°.又∵∠DAC＝45°，∴AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AE＝EG，∴▱AEGF是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG.由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1.。

北师大版九年级数学上册《1.3 正方形的性质与判定》同步练习试题

1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝．15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？参考答案一．选择题1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．∵CE＝DF，∴AF＝DE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴AE＝BF，故（1）正确．∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE．∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．∵HE＞OE，GE＞HE，∴GE＞OE．∴AD＞OE，故（3）错误．故选：B．二．填空题6．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．7．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．8．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．10．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，∴∠CBE＝150°，∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形∴∠BEC＝15°，∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，∴∠BFE＝60°，在△CBF和△ABF中，，∴△CBF≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠BCE＝15°，又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，∴∠AFD＝∠ABF+∠F AB＝15°+45°＝60°．故答案为60．11．解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△ABE是等边三角形∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°∴AD＝AE，∠DAE＝150°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°故答案为：45．12．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，在Rt△COE和Rt△CFE中，∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），∴CO＝FC，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴CO＝AC＝，∴CF＝CO＝，∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，∴DE＝＝﹣1，另法：因为四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠CBE＝45°，∴∠BEC＝67.5°，∴BE＝BC，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，∴BE＝1，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴DE＝﹣1，故答案为：﹣1．15．解：如图作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴BC＝OB＝2+．故答案为2+．三．解答题16．证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE∴EF＝FC，DE＝CD，∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE ∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF∴EF＝FC＝CD＝DE∴四边形EFCD是菱形（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝120°，BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC∴∠BCO＝75°∴∠ACE＝45°，∵四边形EFCD是菱形∴∠FCD＝2∠ACE＝90°∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°如图，过点C作CP⊥AB于点P，∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DE＝AE＝3﹣317．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．18．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO＝90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO＝60°，∴∠AEB＝30°∵∠AEB＝2∠EAB，∴∠EAB＝15°，∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD＝2∠BAO＝90°∴四边形ABCD是正方形．21．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

北师大版数学九年级上册《正方形的性质与判定》同步练习题含答案

第一章特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定1. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为( )A. 4B. 5C. 6D. 82. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相垂直且相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分3. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E 处，则∠CME等于( )A. 25°B. 35°C. 45°D. 50°4. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为( )A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A．AC＝BF B．CF⊥BF C．BD＝DF D．BC＝AC7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是( )A.菱形B.矩形C. 正方形D. 梯形8. 下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形9. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是( )A．①②⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①④⇒⑥ D．②③⇒④10. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )度角．A. 30B. 45C. 50D. 6011. 如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为12. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是13. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 cm214. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE ＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2 015B2 016C2 016的顶点B2 016的坐标是________．16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形，你认为正确的是 (填序号)17. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得▱ABCD为正方形．18. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF=19. 如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，所作的第三个四边形的周长为________；第n个四边形的周长为________．20. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.21. 如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．22. 如图，点O是线段AB上一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？请说明理由．23. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________度．24. 如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为________cm2.25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由；(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．答案：1---10 BDCAB ACDAB 11. 3 12. 4 13. 8 14. 7215. (21 008，0) 16. ① ② ③ ④ 17. ∠BAD＝90° 18. 7 219. 2 4(22)n 20. 解：如图，取AB 的中点H ，连接EH ，∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E 是BC 的中点，点H 是AB 的中点，∴BH＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE＝45°，∵CF 是∠DCG 的角平分线，∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.21. 解：.(1)四边形ACED 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED 是平行四边形． (2)由(1)知，BC ＝AD ＝CE ＝CD ，在Rt △BCD 中，令BC ＝CD ＝x ，则x 2＋x 2＝82.解得x ＝42，∴BE ＝2x ＝82(cm)．22. .(1)证明：∵OD 平分∠AOC，OF 平分∠COB，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF ＝90°，∴∠DOF＝90°.∵OA＝OC ，OD 平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD ＝DC ，∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF 是矩形． (2)当∠AOC ＝90°时，四边形CDOF 是正方形．理由如下：∵∠AOC ＝90°，AD ＝DC ，∴OD＝DC. 又由(1)知四边形CDOF 是矩形，则矩形CDOF 是正方形．因此，当∠AOC ＝90°时，四边形CDOF 是正方形．23. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC＝DC ，∠BCP＝∠DCP ＝45°，又∵CP ＝CP ，∴△BCP≌△DCP(SAS)．(2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB ，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E，∵∠1＝∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE ＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC.(3) 5824. (1)四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.∵HA＝EB＝FC＝GD，∴AE＝BF＝CG＝DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH是正方形．(2) 125. (1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD.(2)四边形BECD是菱形．理由如下：∵D为AB中点，∴AD＝BD，又∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB 中点，∴CD＝BD，∴▱BECD是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC，∵D为BA的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB ＝90°，∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形，即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．1、最困难的事就是认识自己。

北师大版九级数学上正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题及答案

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________．7．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，对角线________________的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形．8．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF12．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.13．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为________．14．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．15．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．答案：1---3 DCB4. 有一组邻边相等的矩形是正方形5. AC＝BD6. 正方形7. 相等互相垂直互相垂直且相等互相垂直平分且相等8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形．∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．9. (1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝12AB＝AD，故四边形ADCF是正方形10. A11. D12. 4513. 2 4(2 2)n14．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG ＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．15.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK ≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．。

北师大版数学九年级上册《正方形的性质与判定》同步练习题含答案

第一章特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定1. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为( )A. 4B. 5C. 6D. 82. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相垂直且相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分3. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E 处，则∠CME等于( )A. 25°B. 35°C. 45°D. 50°4. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为( )A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A．AC＝BF B．CF⊥BF C．BD＝DF D．BC＝AC7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是( )A.菱形B.矩形C. 正方形D. 梯形8. 下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形9. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是( )A．①②⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①④⇒⑥ D．②③⇒④10. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )度角．A. 30B. 45C. 50D. 6011. 如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为12. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是13. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 cm214. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE ＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2 015B2 016C2 016的顶点B2 016的坐标是________．16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形，你认为正确的是 (填序号)17. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得▱ABCD为正方形．18. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF=19. 如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，所作的第三个四边形的周长为20. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.21. 如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．22. 如图，点O是线段AB上一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？请说明理由．23. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________度．24. 如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为________cm2.25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．答案：1---10 BDCAB ACDAB 11. 3 12. 4 13. 8 14. 7215. (21 008，0) 16. ① ② ③ ④ 17. ∠BAD＝90° 18. 7 219. 2 4(22)n20. 解：如图，取AB 的中点H ，连接EH ，∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E 是BC 的中点，点H 是AB 的中点，∴BH＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE＝45°，∵CF 是∠DCG 的角平分线， ∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.21. 解：.(1)四边形ACED 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，在Rt△BCD中，令BC＝CD＝x，则x2＋x2＝82.解得x＝42，∴BE＝2x＝82(cm)．22. .(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF ＝90°，∴∠DOF＝90°.∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD＝DC，∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF是矩形．(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形，则矩形CDOF是正方形．因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．23. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，又∵CP＝CP，∴△BCP≌△DCP(SAS)．(2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E，∵∠1＝∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE ＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC.(3) 5824. (1)四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EH＝EF ＝FG ＝GH.∴四边形EFGH 是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH 是正方形．(2) 125. (1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE＝AD.(2)四边形BECD 是菱形．理由如下：∵D 为AB 中点，∴AD＝BD ，又∵CE＝AD ，∴BD＝CE ，∵BD∥CE，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D 为AB 中点，∴CD＝BD ，∴▱BECD 是菱形．(3)当∠A ＝45°时，四边形BECD 是正方形．理由如下：∵∠ACB ＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A ＝45°，∴AC＝BC ，∵D 为BA 的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB ＝90°，∵四边形BECD 是菱形，∴四边形BECD 是正方形，即当∠A ＝45°时，四边形BECD 是正方形．、最困难的事就是认识自己。

2019学年北师大版九年级上册《正方形的性质与判定》同步练习

2019学年北师⼤版九年级上册《正⽅形的性质与判定》同步练习2019学年北师⼤版数学精品资料正⽅形的性质与判定同步练习⼀、填空题1、如图，E 是正⽅形ABCD 的对⾓线BD 上⼀点，且BE ＝BC ，则∠ACE ＝ °.2、如图，四边形ABDC 是正⽅形，延长CD 到点E ，使CE=CB ，则∠AEC ＝ °.3、如图，正⽅形ABCD 中，延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论：①∠E=22.5°；②∠AFC=112.5°；③∠ACE=135°；④AC=CE ；⑤AD ∶CE=1∶ 2. 其中正确的有个.4、如图，等边△EDC 在正⽅形ABCD 内，连结EA 、EB ，则∠AEB ＝ °；∠ACE ＝ °.5、已知正⽅形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 °.6、如图，四边形ABCD 是正⽅D 上⼀点，若△AFB 经过逆时针旋转⾓θ（0°＜θ＜180°）后，与△AED 重合，则θ值为 °第6题图第7题图第8题图第9题图7、已知正⽅形点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________.8、如图，正⽅形ABCD 的△ABE 是等边三⾓形，点E 在正⽅形ABCD 内，在对⾓线AC 上有⼀点P ，使PD ＋PE 的和最⼩，则这个最⼩值为 .9、如图，四边形ABCD 是边长为9的正⽅形纸⽚，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B '处，点A 对应点为A '，且C B '=3，则CN= ；AM 的长是 .10、正⽅形的⾯积是31，则其对⾓线长是________. 11、如图，三个边长均为2的正⽅形重叠在⼀起，O 1、O 2是其中两个正⽅形的中⼼，则阴影部分的⾯积是 .12、如图，将n 个边长正⽅形按如图所⽰摆放，点A 1、A 2、…、A n 分别是正⽅形的中⼼，则n 个这样的正⽅形重叠部分的⾯积和为 .第1题图第2题图第3题图第4题图O 2O 1第11题图第14题图第12题图第13题图13、边长为1的正⽅形A逆时针旋转30°得到正⽅形AB′C′D′，两图叠成⼀个“蝶形风筝”（如图所⽰重叠部分），则这个风筝的⾯积是.14、如图，边长为1的正⽅形AB时针旋转45度后得到正⽅形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是.15、如右图，正⽅形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折⾄△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确的结论是.（填序号）16、如右图，四边形ABCD为正⽅形，以AB为边向正⽅形外作等边△ABE，CE与DB= 。

2018届九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定练习（含答案）北师大版

2018届九年级数学上册第⼀章特殊平⾏四边形第3节正⽅形的性质与判定练习（含答案）北师⼤版正⽅形的性质与判定⼀、选择题(本⼤题共10⼩题)1.如图，四边形ABCD是正⽅形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）A.22.5°B.25°C.23° D.20°2.如⼀个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（）A.平⾏四边形B.菱形C.正⽅形 D.矩形3.四边形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，使四边形ABCD为正⽅形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD．需要满⾜（）A.①②B.②③C.②④D .①②或①④4.如图，正⽅形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正⽅形的⾯积为（）A.3B.12C.18D.365.如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（）A.平⾏四边形B.矩形C.菱形 D.正⽅形6.已知在正⽅形ABCD中，对⾓线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm7.如图，正⽅形ABCD的边长为x，点E、F分别是对⾓线BD上的两点，过点E、F作AD、AB的平⾏线，则图中阴影部分的⾯积的和为（）A.x2B.x2C.x2D.x28.如图，正⽅形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的⾯积是（）A.30B.34C.36D.409.如图，E是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂⾜，若正⽅形ABCD周长为a，则EF+EG等于（）A. B. C.aD.2a10.已知正⽅形ABCD的⼀条对⾓线长为2，则它的⾯积是（）A.2B.4C.6⼆、填空题(本⼤题共6⼩题)11.如图，在正⽅形ABCD中，E为CD边上⼀点，以CE为对⾓线构造正⽅形CMEN，点N在正⽅形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为 ______ ．12.如图，已知：正⽅形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正⽅形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正⽅形ABCD的⾯积为16，AE=1，则正⽅形EFGH的⾯积为 ______ ．13.如图，将正⽅形纸⽚按如图折叠，AM为折痕，点B落在对⾓线AC上的点E处，则∠CME= ______ ．14.如图，BD是△ABC的⾓平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满⾜条件 ______ 时，四边形BEDF是正⽅形．15.如图，正⽅形ABCD的边长为4，线段GH=AB，将GH的两端放在正⽅形的相邻的两边上同时滑动，如果G点从A点出发，沿图中所⽰⽅向按A→B→C→D→A滑动到A⽌，同时点H从点B出发，沿图中所⽰⽅向按B→C→D→A→B滑动到B⽌，在这个过程中，线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的⾯积为 ______ ．16.如图，在正⽅形ABCD中，AB=，点P为边AB上⼀动点（不与A、B重合），过A、P在正⽅形内部作正⽅形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三⾓形时，AP= ______ ．三、解答题(本⼤题共8⼩题)17.已知：P是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂⾜．（1）求证：DP=EF．（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．18.如图，在正⽅形ABCD中，E为对⾓线AC上⼀点，连接EB、ED．（1）写出图中所有的全等三⾓形；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数．19.已知，在正⽅形ABCD中，E是CB延长线上⼀点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某⼀标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．20.如图，矩形ABCD的对⾓线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；（2）当矩形ABCD满⾜什么条件时，四边形PCOB是正⽅形．正⽅形的性质与判定练习参考答案⼀、选择题。

北师大版九年级数学上册--第一章 1.3《正方形的性质与判定》同步练习题(含答案)

1.3《正方形的性质与判定》同步练习一、填空题1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______。

2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角。

它有______条对称轴。

3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；(2)____________________________________的矩形是正方形；(3)____________________________________的菱形是正方形。

4．对角线________________________________的四边形是正方形。

5．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______。

6．延长正方形ABCD 的BC 边至点E ，使CE ＝AC ，连结AE ，交CD 于F ，那么∠AFC 的度数为______，若BC ＝4cm ，则△ACE 的面积等于______。

7．如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE ＝。

8．如图，已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是。

二、选择题。

1、已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) A ．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④2、四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，AC ⊥BD ，分别过点A ，B ，C ，D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形3、已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是（） A.如果＝，＝，那么四边形是平行四边形 B.如果，＝，那么四边形是矩形 C.如果＝，，那么四边形是菱形 D.如果＝，垂直平分，那么四边形是正方第7题图第8题图4、满足下列条件的四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直平分的平行四边形B.对角线互相平分且相等的矩形C.对角线互相垂直平分的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形5、如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°题5图题6图题7图6、如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（）A.76B.70C.48D.247、如图,在四边形中，点是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（）A.，B.，C.，D.，，8、如图，四边形是正方形，对角线，交于点，下列结论：①；②；③；④正方形有四条对称轴．上述结论正确的有（）A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④9、下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A.个B.个C.个D.个三、解答题1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB交AB于D，DF//BC,DE//AC。

2018-2019学年最新北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》课时练习及答案解析-精品试题

北师大版数学九年级上册第一章第三节正方形的性质与判定课时练习一、单选题（共15题）1.菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等答案：C解析：解答：解：A.不正确，菱形的对角线不相等；B.不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；C.正确，三者均具有此性质；D.不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；故选C．分析:对菱形对角线相互垂直平分，矩形对角线平分相等，正方形对角线相互垂直平分相等的性质进行分析从而得到其共有的性质2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且CE=DF．AE与BF相交于点O，则下列结论错误的是（）A．AE=BF B．AE⊥BFC．AO=OE D．S△AOB=S四边形DEOF答案：C解析：解答: A.∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=AD，又∵CE=DF，∴AF=DE，∵∠D=∠BAF=90°，∴△BAF≌△ADE，∴AE=BF，故此选项正确；B.∵△BAF≌△ADE，∴∠BFA=∠AED，∵∠AED+∠EAD=90°，∴∠BFA+∠EAD=90°，∴∠AOF=90°，∴AE⊥BF，故此选项正确；C.连接BE，假设AO=OE，∵BF⊥AE，∴∠AOB=∠BOE=90°，∵BO=BO，∴△ABO≌△EBO，∴AB=BE，又∵AB=BC，BC＜BE，∴AB不可能等于BE，∴假设AO=OE，不成立，即AO≠OE，故此选项错误；D.∵△BAF≌△ADE，∴S △BAF=S △ADE，∴S △BAF -S △AOF=S △ADE-S △AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF，故此选项正确．故选C．分析: 首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE，即可得出AE=BF，进而得出∠BFA+∠EAD=90°，即AE⊥BF，用反证法证明AO≠EO，利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出D正确3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．四条边相等B．对角线互相垂直平分C．对角线平分一组对角D．对角线相等答案：D解析：解答: 正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．分析: 根据正方形和菱形的性质容易得出结论4.如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：（1）点D到直线l的距离为1，（2）A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:D解析：解答:连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为22∴OD=2∴直线l∥AC并且到D的距离为1，同理，在点D的另一侧还有直线满足条件，故共有4条直线l．故选：D．分析: 连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=2，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答5.若正方形的周长为40，则其对角线长为（）A．100 B．202C．102D．10答案:C解析：解答: ∵正方形的周长为40，∴正方形的边长为10，∴对角线长为102故选C．分析: 根据正方形的周长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形对角线的长求出．6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm 答案:B解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=8cm，OA=OC，∵OE∥AB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AB=4cm，故选B．分析:根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可7. 如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（）A．114 B．124 C．134 D．144答案:A解析：解答：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=90°，AB=BC=AD，设AB=BC=AD=x，则DE=x-7，∵CD2+DE2=CE2，∴x2+（x-7）2=132，解得：x=12，或x=-5（不合题意，舍去），∴BC=AB=12，∴阴影部分的面积=12（AE+BC）•AB=12×（7+12）×12=114；故选：A．分析: 本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键8.如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为（）A．30°B．22.5°C．15°D．45°答案:B解析：解答: ∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°-67.5°=22.5°，故选B．分析: 由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可求出答案．9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE 的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAS=90°，∵△AED是等边三角形，∴∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，∴∠BAE=150°，AB=AE，∴∠ABE=∠AEB=12（180°-150°）=15°，∴∠DFE=∠AFB=90°-15°=75°，故选D．分析: 根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAS=90°，根据等边三角形的性质得出∠AED=∠EAD=60°，AE=AD，求出∠BAE=150°，AB=AE，∠ABE=∠AEB=15°，求出∠AFB 即可10.在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有（）A．5个B．12个C．9个D．15个答案:B解析：解答: 在四条边垂直平分线上的点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；在两条对角线上的点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；共有8+4=12个点满足条件．故选：B．分析: 在四条边垂直平分线上，每一条可以找到两个点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；在两条对角线上，每一条可以找出2个点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；由此得出共有8+4=12个点满足条件11.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④答案:A解析：解答: ∵由已知，AG∥FC且AG=FC，故四边形AGCF为平行四边形，∴∠GAF=∠FCG又AE=BF，AD=AB，且∠DAE=∠ABF，可知∠ADE=∠BAF∴DE⊥AF，DE⊥CG．又∵G点为中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，可证CD=CM，∴∠CDG=∠CMG，即GM⊥CM．又∠MGN=∠DGC=∠DAF（外角等于内对角），∴∠FCG=∠MGC．故选A．分析:要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可12.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论：①BE=AF；②∠DAF=∠BEC；③∠AFB+∠BEC=90°；④AF⊥BE中正确的有（）A．①②③B．②③④C．①②③④D．①②④答案:D解析：解答: ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABF=∠C=90°，AB=BC，∵BF=CE，∴△ABF≌△BCE．∴AF=BE．（①正确）∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC，（③错误）∵∠BAF+∠DAF=90°，∠BAF+∠BFA=90°，∴∠DAF=∠BEC．（②正确）∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠CBE+∠AFB=90°，∴AF⊥BE．（④正确）所以正确的是①②④．故选D．分析:分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解13.如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足：①点D到直线l的距离为3②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:B解析：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为22∴OD=2∴直线l∥AC并且到D的距离为3同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l．故选：B．分析: 连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=2，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．14.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等答案:A解析：解答：A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．故选：A．分析:本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断15.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（）A．35°B．45°C．55°D．60°答案:B解析：解答：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AE=AB，∴AE=AB=AD，∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，∴∠AEB+∠AED=135°，即∠BED=135°，∴∠BEF=180°-135°=45°．故选：B．分析: 由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°，即可得出∠BEF二、填空题（共5题）16.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：_________，可使它成为正方形答案: AB=AD解析：解答: ∵四边形ABCD是矩形，∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．故答案为：AB=AD．分析: 由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案17.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________（只填写序号）答案: ②③或①④解析：解答: 有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；综上所述：错误的是：②③或①④；故答案为：②③或①④．分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是______答案: 答案不唯一如：AB=BC，或AC⊥BD等解析：解答: 由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°的四边形，即可能存在矩形的情况，若使AB=AC．可进一步确定其为正方形，故答案为：AB=AC．分析: 要使四边形ABCD是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以还有可能是矩形，使AB=AC，即可满足题意19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．答案：①②③解析：解答：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当①BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．故答案为：①②③．分析: 根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC 进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可20.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．其中，正确的有_________（只填写序号）答案：①②③④解析：解答：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°，∴四边形AEDF是矩形，故②正确；∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故③正确；∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，∴若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．故答案为：①②③④．分析: 分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可三、解答题（共5题）21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；答案：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE=AE，FD∥AC．∴BD=CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=AF．∴∠F=∠5=∠1=∠2．∴∠FAE=∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF=EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；答案：（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB，由（1）知CE=12AB，∴AC=CE又四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？答案：解答：（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB=90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形解析：分析: 本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中根据特殊角的正弦函数值求∠B的度数是解题的关键22. 如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；答案: 解答：（1）证明：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件答案: （2）AC⊥BD解析：（2）要使四边形ABCD是正方形，AC、BD还需要满足的条件是：AC⊥BD分析：（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出∠ABC=90°，即可得出答案；（2）利用正方形的判定得出矩形的对角线互相垂直进而得出答案23.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB=∠DAB；（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形答案：见解答解析：解答：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，∴AC=AD，又∵AB⊥CD∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，∴ME=MF，∴矩形AEMF是正方形．分析:本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强24.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．答案：解答：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°在△BAE和△CDE中AB＝CD∠BAE＝∠CDEAE＝DE∴△BAE≌△CDE∴BE=CE；（2）求∠BEC的度数答案：∠BEC=30°解析：解答：（2）∵AB=AD，AD=AE，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，又∵∠BAE=150°，∴∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°∴∠BEC=60°-15°×2=30°分析: 本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD 绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．（1）求证：AB⊥AE．答案：解答：∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△CBD与△CAE中，CB＝CA∠BCD＝∠ACECD＝CE∴△CBD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠CAE，∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE；（2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形答案：解答: （2）证明：∵点D为AB中点，∴∠ADC=90°，∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形解析：分析: 此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出∠BCD=∠ACE是解题关键。

北师大版初中数学九年级上册《1.3 正方形的性质与判定》同步练习卷(含答案解析

北师大新版九年级上学期《1.3 正方形的性质与判定》同步练习卷一．选择题（共15小题）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理，再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形﹣﹣矩形、菱形和正方形．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．转化B．分类讨论C．数形结合D．由一般到特殊3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°4．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°6．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F，连结EF．若AE=1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．47．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，点E，点F分别在正方形ABCD的边上，连接AE，AF，若△AEF是等边三角形，则∠BAE的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形11．下列判断错误的是（）A．有一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形C．四个内角都相等的四边形是矩形D．四条边都相等的四边形是菱形12．如图，已知矩形ABCD中，下列件能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．AC=BD B．AB⊥BC C．AD=BC D．AC⊥BD 13．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组对边相等一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线垂直且相等的四边形是正方形D．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形14．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当∠ABC=90°时，它是矩形B．当AB=BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC=BD时，它是正方形15．给出下列判断：①四个角相等的四边形是正方形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共15小题）16．正方形的对角线长为4，则它的边长为．17．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为．18．如图，将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时图中阴影部分的面积为cm2；19．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=度．20．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为．21．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，那么∠AFC的度数为．22．以正方形ABCD的边CD为边作等边△CDE，则∠AEB=°．23．正方形的一条对角线和一边所成的角是度．24．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为．25．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是．（写出一种情况即可）26．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是（只需添加一个即可）27．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，请你添加一个条件，使四边形BECF是正方形．28．如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，要使ABCD是正方形，则需增加一个条件是（不加字母和辅助线）．29．当时，矩形ABCD变为正方形．（填一条件）30．对角线垂直平分且相等的四边形是什么图形？．三．解答题（共8小题）31．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP=∠ADP．32．已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．（1）求证：△BEC≌△DFC；（2）如果BC+DF=9，CF=3，求正方形ABCD的面积．33．边长为4的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点，连结EF，FG，GH，HE．（1）求EH的长；（2）求证：∠EHG=90°；（3）正方形EFGH的面积．34．如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°．求证：矩形ABCD是正方形．35．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形．36．如图所示，在△ABC中，在△ACB=90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．37．如图所示，点E是矩形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F，DE=DF．求证：矩形ABCD是正方形．38．如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH是正方形．北师大新版九年级上学期《1.3 正方形的性质与判定》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线平分一组对角C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【分析】利用矩形、菱形和正方形的性质对各选项进行判断．【解答】解：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．2．我们先学习了平行四边形的性质定理和判定定理，再通过平行四边形边角的特殊化获得了特殊的平行四边形﹣﹣矩形、菱形和正方形．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．转化B．分类讨论C．数形结合D．由一般到特殊【分析】依据探究过程并结合选项可作出判断．【解答】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊．故选：D．【点评】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．3．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．故选：A．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．4．若正方形的周长为12，则这个正方形的对角线长为（）A．6B．C．D．【分析】利用正方形的性质先得到正方形的边长，然后根据正方形的对角线的长为边长的倍求解．【解答】解：∵正方形的周长为12，∴正方形的边长为3，∴这个正方形的对角线长为3．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．5．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠DEF的度数是（）A．25°B．40°C．45°D．50°【分析】直接利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠CBE=∠CDE=20°，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE=∠CDE=20°，∴∠BFC=70°，∴∠DEF的度数是：70°﹣20°=50°．故选：D．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BCE≌△DCE（SAS）是解题关键．6．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC 的延长线于点F，连结EF．若AE=1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．4【分析】根据题意可得AB=2，∠ADE=∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF=1，根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB=BC=CD，∠A=∠B=∠DCB=∠ADC=90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF=90°且∠ADE+∠EDC=90°∴∠ADE=∠CDF且AD=CD，∠A=∠DCF=90°∴△ADE≌△CDF∴AE=CF=1∵E是AB中点∴AB=BC=2∴BF=3在Rt△BEF中，EF==故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．7．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理判断即可．【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，A错误；矩形的对角线相等且互相平分，B正确；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C错误；正方形的对角线所在的直线是正方形的对称轴，D错误；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形，一定能拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤【分析】此题需要动手操作或画图，用两块完全相同的直角三角形可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形．【解答】解：根据题意，能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形．故选D．【点评】本题主要考查了学生的拼图能力、观察能力等．9．如图，点E，点F分别在正方形ABCD的边上，连接AE，AF，若△AEF是等边三角形，则∠BAE的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】想办法证明△ABE≌△ADF即可推出∠BAE=∠DAF=15°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠D=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴Rt△ABE≌△RtADF（HL），∴∠BAE=∠DAF=（90°﹣60°）=15°，故选：A．【点评】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，正确，符合题意；B、对角线相等的四边形一定是矩形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，表示平行四边形，不符合题意；C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形，错误．不符合题意；D、对角线相等的四边形一定是正方形，错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．11．下列判断错误的是（）A．有一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形C．四个内角都相等的四边形是矩形D．四条边都相等的四边形是菱形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判断错误，故本选项正确；B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，判断正确，故本选项错误；C、四个内角都相等的四边形是矩形，判断正确，故本选项错误；D、四条边都相等的四边形是菱形，判断正确，故本选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．12．如图，已知矩形ABCD中，下列件能使矩形ABCD成为正方形的是（）A．AC=BD B．AB⊥BC C．AD=BC D．AC⊥BD【分析】根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形进行判断即可．【解答】解：A、当AC=BD时，只能判定四边形ABCD是矩形，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；B、矩形ABCD的四个角都是直角，则AB⊥BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；C、矩形ABCD的对边AD=BC，不能判定该矩形是正方形，故本选项错误；D、当矩形ABCD的对角线相互垂直，即AC⊥BD时，该矩形是正方形，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定．需要掌握矩形与正方形间的区别与联系．13．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．一组对边相等一组对边平行的四边形是平行四边形C．对角线垂直且相等的四边形是正方形D．一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形【分析】分别根据矩形、平行四边形和正方形的判定逐项判断即可．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故不一定是矩形，故A不正确；B、一组对边相等一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，故B不正确；C、对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可能是等腰梯形，故C不正确；D、由条件一组对边平行，一组对角相等，则可求得另一组对角也相等，故可判断其为平行四边形，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查特殊四边形的判定方法，注意判断结论不正确时可利用举反例的方法来判断．14．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当∠ABC=90°时，它是矩形B．当AB=BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据矩形的判定方法对A、D进行判定；根据菱形的判定方法对B、C 进行判定．【解答】解：A、当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD为矩形，所以A选项的结论正确；B、当AB=BC时，平行四边形ABCD为菱形，所以B选项的结论正确；C、当AC⊥BD时，平行四边形ABCD为菱形，所以C选项的结论正确；D、当AC=BD时，平行四边形ABCD为矩形，所以D选项的结论不正确．故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形的判定方法．15．给出下列判断：①四个角相等的四边形是正方形．②对角线相等的四边形是矩形．③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形．④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形．其中不正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据平行四边形、菱形和矩形、正方形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．【解答】解：①四个角相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；②对角线相等的四边形是矩形，不正确，故此选项符合题意；③对角形互相垂直且相等的四边形是正方形，不正确，故此选项符合题意；④有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，此说法是正确的，不符合要求；故选：B．【点评】本题考查了正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．二．填空题（共15小题）16．正方形的对角线长为4，则它的边长为4．【分析】根据正方形的性质可以直接得到．【解答】解：设正方形的边长为a则a2+a2=（4）2∴a=4故答案为4【点评】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．17．在正方形ABCD中，对角线AC=2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积==2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积=对角线积的一半解决问题．18．如图，将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时图中阴影部分的面积为6cm2；【分析】将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出．【解答】解：∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′∴平移的性质可得阴影部分是矩形∵根据题意得：阴影部分的宽为4﹣2=2cm，长为4﹣1=3cm=2×3=6∴S阴影部分故答案为6【点评】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义．19．如图，点G为正方形ABCD内一点，AB=AG，∠AGB=70°，联结DG，那么∠BGD=135度．【分析】根据正方形的性质可得出AB=AD、∠BAD=90°，由AB=AG、∠AGB=70°利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠BAG的度数，由∠DAG=90°﹣∠BAG可求出∠DAG的度数，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出∠AGD的度数，再由∠BGD=∠AGB+∠AGD可求出∠BGD的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵AB=AG，∠AGB=70°，∴∠BAG=180°﹣70°﹣70°=40°，∴∠DAG=90°﹣∠BAG=50°，∴∠AGD=（180°﹣∠DAG）=65°，∴∠BGD=∠AGB+∠AGD=135°．故答案为：135．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AGD的度数是解题的关键．20．若正方形的对角线长为，则该正方形的边长为1．【分析】利用正方形的性质，可得AD=CD，∠D=90°，再利用勾股定理求正方形的边长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°设AD=CD=x，在Rt△ADC中，∵AD2+CD2=AC2即x2+x2=2解得：x=1，（x=﹣1舍去）所以该正方形的边长为1故答案为：1【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理．通过正方形的性质设出未知数，利用勾股定理得方程是解决本题的关键．21．四边形ABCD是正方形，延长BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，那么∠AFC的度数为112.5°．【分析】根据正方形的性质就有∠ACD=∠ACB=45°=∠CAE+∠AEC，根据CE=AC 就可以求出∠CAE=22.5°，在△AFC中由三角形的内角和就可以得出∠AFC的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=∠ACB=45°．∵∠ACB=∠CAE+∠AEC，∴∠CAE+∠AEC=45°．∵CE=AC，∴∠CAE=∠AEC，∴∠CAE=22.5°．∵∠CAE+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠AFC=112.5°．故答案为：112.5°．【点评】本题考查了正方形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用及三角形内角和定理的运用．22．以正方形ABCD的边CD为边作等边△CDE，则∠AEB=30或150°．【分析】解答本题时要考虑两种情况，E点在正方形内和外两种情况，即∠AEB 为锐角和钝角两种情况．【解答】解：当点E在正方形ABCD外侧时，∵等边△CDE，∴∠CDE=60°，∴∠ADE=150°，∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=15°，同理可知∠CEB=15°，故∠AEB=30°；当点E在正方形ABCD内侧时，∵AD=DE=EC=DC=BC，∵∠DEC=∠EDC=60°，∠ADE=∠BCE=30°，∴∠DAE=∠DEA=75°，∴∠EAB=15°，同理可得∠EBA=15°，∴∠AEB=150°．故∠AEB=30°或150°．故答案为30或150【点评】本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质，本题要分两种情况，这是解题的关键．23．正方形的一条对角线和一边所成的角是45度．【分析】正方形的对角线和其中的两边长构成等腰直角三角形，故正方形的一条对角线和一边所成的角为45度．【解答】解：∵正方形的对角线和正方形的其中两条边构成等腰直角三角形∴正方形的一条对角线和一边所成的角是45°故答案为【点评】本题主要考查正方形对角线相等平分垂直的性质．24．若正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积为8．【分析】由正方形的对角线互相垂直可得：正方形的面积=两条对角线乘积的一半，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC=BD=4，∴正方形ABCD的面积=AC•BD=×4×4=8；故答案为：8．【点评】本题考查了正方形的性质和正方形面积的计算方法；熟练掌握正方形的性质，得出正方形的面积=两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．25．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是AC=BD或∠ABC=90°（答案不唯一）．（写出一种情况即可）【分析】知道四边形ABCD是菱形和菱形的对角线，要在菱形的对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件．【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：∠ABC=90°；故添加的条件为：AC=BD或∠ABC=90°．故答案为AC=BD或∠ABC=90°．【点评】本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，解答时熟悉正方形的判定方法是关键．26．如图，平行四边形ABCD的对角线互相垂直，要使ABCD成为正方形，还需添加的一个条件是∠ABC=90°或AC=BD（只需添加一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，添加一个条件符合正方形的判定即可．【解答】解：条件为∠ABC=90°或AC=BD，理由是：∵平行四边形ABCD的对角线互相垂直，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°或AC=BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：∠ABC=90°或AC=BD．【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识点，能熟记正方形的判定是解此题的关键．27．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，请你添加一个条件AC=BC，使四边形BECF是正方形．【分析】根据有一个角等于90°的菱形是正方形即可判断．【解答】解：添加条件：AC=BC．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故答案为AC=BC．【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．28．如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，要使ABCD是正方形，则需增加一个条件是AC=BD（不加字母和辅助线）．【分析】根据菱形的判定定理得出四边形ABCD是菱形，再根据正方形的判定定理即可得出答案．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD；故答案为：AC=BD．【点评】此题考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．29．当AB=AD或AC⊥BD（答案不唯一）时，矩形ABCD变为正方形．（填一条件）【分析】根据矩形的性质及正方形的判定进行填空．【解答】解：∵有一组邻边相等的矩形为正方形；对角线互相垂直的矩形为正方形；∴满足的条件为：对角线互相垂直或有一组邻边相等．即AB=AD或AC⊥BD（答案不唯一）．故答案可以是：AB=AD或AC⊥BD（答案不唯一）．【点评】本题考查了正方形、矩形的性质．注意正方形与矩形的性质的区别与联系．判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．30．对角线垂直平分且相等的四边形是什么图形？正方形．【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，一个四边形既是菱形，又是矩形，则它是正方形．【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴该四边形是平行四边形，又∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴该四边形既是菱形，又是矩形，∴该四边形是正方形．故答案为正方形．【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，方法有两种：①先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等；②先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角．三．解答题（共8小题）31．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP=∠ADP．【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB=AD，∠BAP=∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP=∠ADP．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAP=∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP=∠ADP．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．32．已知：如图，在正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF．（1）求证：△BEC≌△DFC；（2）如果BC+DF=9，CF=3，求正方形ABCD的面积．【分析】（1）由题意可得BC=CD，∠BCD=∠DCF，且CE=CF可证结论（2）由BC+DF=9可得CD=9﹣DF，在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF 2，可得CD=4，即可求正方形ABCD的面积．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°且CE=CF∴△BCE≌△DCF（2）∵BC+DF=9∴CD+DF=9在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF 2∴（9﹣CD）2=CD2+CF2∴CD=4=16∴S正方形ABCD【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键是通过。

北师大版正方形的性质与判定练习九年级数学上册

1.3正方形的性质与判定练习1．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF＝20°，则∠AED等于度．2．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．3．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．4．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB＝，AG＝1，则EB＝．5．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…S n（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝．6．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为．7．用边长为1的正方形覆盖3×3的正方形网格，最多覆盖边长为1的正方形网格（覆盖一部分就算覆盖）的个数是（）A．2B．4C．5D．68．如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A．B．C．D．9．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2 10．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角11．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF＝CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是（）A．BE＝AF B．∠DAF＝∠BECC．∠AFB+∠BEC＝90°D．AG⊥BE12.在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3+b4的值为（）A．35B．43C．89D．9713．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH 的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了31m，则长方形花坛ABCD的周长是（）A．36m B．48m C．96m D．60m14．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF＝BE．15．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．（1）求证：BE＝DG且BE⊥DG；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．16．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．17．如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AD，DC上，且AE＝DF．求证：BE＝AF．18．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若正方形边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．。

2018-2019学年度九年级数学上册第一章特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定同步练习 (新版)北师大版

1.3 正方形的性质与判定学校:___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．下列哪种四边形的两条对角线互相垂直平分且相等（）A．矩形 B．菱形 C．平行四边形D．正方形2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角形互相垂直平分3．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A．B．C．1 D．1﹣4．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E为边BC上的点，以DE为边向外作矩形DEFG，使EF过点A，若DE=9，那么DG的长为（）A．3 B．3 C．4 D．45．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（）A．BD=AB B．AC=AD C．∠ABC=90°D．OD=AC9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D．邻边相等的矩形是正方形10．如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，作AC的垂直平分线MN 分别交AD、AC、BC于M、O、N，连结AN，CM，则四边形ANCM是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．无法判断11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．②③④D．①③④12．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是（）A．小青 B．小何 C．小夏 D．小雨二．填空题（共6小题）13．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．14．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE=AB，则∠BEA的度数是度．15．如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为．16．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：：①△EBF ≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的序号）．17．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．18．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG=3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．三．解答题（共5小题）19．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．20．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．21．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A 关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．22．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．23．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC 于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．参考答案一．选择题（共12小题）1．D．2．B．3．A．4．C．5．D．6．B．7．C．8．C．9．B．10．B．11．C．12．B．二．填空题（共6小题）13．（﹣1，5）．14．67.5．15．．16．①②．17．3．18．9三．解答题（共5小题）19．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．20．解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．21．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=AE，∴BH=AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=HN=AE．22．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．23．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA=∠BCA，∴EQ=EP，∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，∴∠QEF=∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD，∴EF=ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC=AB=2，∵EC=，∴AE=CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG=．（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC=120°，②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC=30°综上所述，∠EFC=120°或30°．。

2018-2019学年九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定知识讲解例题演练北师大版

正方形【学习目标】1．理解正方形的观点，认识平行四边形、矩形及菱形与正方形的观点之间的附属关系；2．掌握正方形的性质及判断方法．【重点梳理】重点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.重点解说：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特别的菱形，又是特别的矩形，更加特别的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，仍是有一个角是直角的菱形.重点二、正方形的性质正方形拥有四边形、平行四边形、矩形、菱形的全部性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②相互垂直均分，③每条对角线均分一组对角；4. 是轴对称图形，有 4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心重点解说：正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的全部性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.重点三、正方形的判断正方形的判断除定义外，判断思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）..重点四、特别平行四边形之间的关系或许可表示为：重点五、按序连结特别的平行四边形各边中点获得的四边形的形状（ 1）按序连结平行四边形各边中点获得的四边形是平行四边形.（ 2）按序连结矩形各边中点获得的四边形是菱形.（ 3）按序连结菱形各边中点获得的四边形是矩形.（ 4）按序连结正方形各边中点获得的四边形是正方形.重点解说：新四边形由原四边形各边中点按序连结而成.（ 1）若原四边形的对角线相互垂直，则新四边形是矩形（ 2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（ 3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形..【典型例题】种类一、正方形的性质1、已知：如图，在正方形ABCD中，点 E 在边 CD上， AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ 于点 P．（1）求证： AP=BQ；（2）在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ的长．【思路点拨】（1）依据正方形的性质得出AD=BA，∠ BAQ=∠ADP，再依据已知条件获得∠AQB=∠DPA，判断△ AQB≌△ DPA 并得出结论；（ 2）依据 AQ﹣ AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断剖析．【答案与分析】解：（ 1）∵正方形ABCD∴A D=BA，∠ BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ ADP+∠DAP=90°∴∠ BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE 于点 Q，DP⊥AQ 于点 P∴∠ AQB=∠DPA=90°∴△ AQB≌△ DPA（ AAS）∴AP=BQ（2）① AQ﹣ AP=PQ②AQ﹣ BQ=PQ③DP﹣ AP=PQ④DP﹣ BQ=PQ【总结升华】此题主要观察了正方形以及全等三角形，解决问题的重点是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和此中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．贯通融会：【变式 1】如图四边形ABCD是正方形，点E、 K 分别在 BC， AB 上，点 G在 BA的延伸线上，且 CE＝ BK＝AG．以线段 DE、 DG为边作正方形 DEFG．(1)求证： DE＝ DG，且 DE⊥DG．(2)连结 KF，猜想四边形 CEFK是如何的特别四边形，并证明你的猜想．【答案】证明： (1) ∵四边形ABCD是正方形，∴DC ＝ DA，∠ DCE＝∠ DAG＝90°．又∵ CE ＝ AG，∴△DCE≌△ DAG，∴∠EDC＝∠ GDA， DE＝ DG．又∵∠ADE＋∠ EDC＝90°，∴∠ADE＋∠ GDA＝90°，∴ DE ⊥DG．(2)四边形 CEFK为平行四边形．证明：设 CK， DE订交于 M点，∵四边形 ABCD和四边形 DEFG都是正方形，∴ AB ∥CD， AB＝ CD，EF＝ DG，EF∥DG；∵BK ＝ AG，∴ KG ＝ AB＝ CD．∴四边形CKGD为平行四边形．∴CK ＝ DG＝EF，CK∥DG∥EF∴四边形 CEFK为平行四边形．O1、O2是此中两个正方形的中心，【变式 2】如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一同，则暗影部分的面积是_______．【答案】 2；提示：暗影部分面积等于正方形面积的一半.种类二、正方形的判断2、如图，在 Rt△ABC中，∠ BAC=90°， AD=CD，点 E 是边 AC的中点，连结 DE， DE的延伸线与边 BC订交于点 F，AG∥BC，交 DE于点 G，连结 AF、 CG．（1）求证： AF=BF；（2）假如 AB=AC，求证：四边形 AFCG是正方形．【思路点拨】（1）依据线段垂直均分线的性质，可得AF=CF，再依据等角的余角相等可得∠B=∠BAF，因此 AF=BF．（2）由 AAS可证△ AEG≌△ CEF，因此 AG=CF．由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形 AFCG是平行四边形，从而证得四边形 AFCG是菱形，最后依占有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形 AFCG是正方形．【答案与分析】证明：（ 1）∵ AD=CD，点 E 是边 AC的中点，∴DE⊥AC．即得 DE是线段 AC的垂直均分线．∴A F=CF．∴∠ FAC=∠ACB．在 Rt△ABC中，由∠ BAC=90°，得∠ B+∠ACB=90°，∠ FAC+∠BAF=90°．∴∠ B=∠BAF．∴A F=BF．（2）∵ AG∥CF，∴∠ AGE=∠CFE．又∵点 E 是边 AC的中点，∴AE=CE．在△ AEG和△ CEF中，，∴△ AEG≌△ CEF（ AAS）．∴AG=CF．又∵ AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．∵A F=CF，∴四边形 AFCG是菱形．在 Rt△ABC中，由 AF=CF， AF=BF，得 BF=CF．即得点 F 是边 BC的中点．又∵ AB=AC，∴ AF⊥BC．即得∠AFC=90°．∴四边形 AFCG是正方形．【总结升华】此题观察的是正方形的判断方法，观察了线段垂直均分线的性质、全等三角形的判断与性质等基础知识的灵巧运用，鉴别一个四边形是正方形主假如依据正方形的定义及其性质．贯通融会：【变式】如图，矩形 ABCD中， AD=6，DC=8，菱形 EFGH的三个极点 E，G，H分别在矩形 ABCD 的边 AB， CD， DA上， AH=2，连结 CF．（1）若 DG=2，求证：四边形 EFGH为正方形；（2）若 DG=6，求△ FCG的面积．【答案】（1）证明：∵四边形 EFGH为菱形，∴HG=EH，∵AH=2， DG=2，∴DG=AH，在 Rt△DHG和△ AEH中，，∴Rt△DHG≌△ AEH，∴∠ DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHG=90°，∴∠DHG+∠AHG=90°，∴∠GHE=90°，∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形；（2）解：作 FQ⊥CD于 Q，连结 GE，如图，∵四边形 ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ AEG=∠QGE，即∠ AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE，∵四边形 EFGH为菱形，∴HE=GF，HE∥GF，∴∠ HEG=∠FGE，∴∠ AEH=∠QGF，在△ AEH和△ QGF中，∴△ AEH≌△ QGF，∴A H=QF=2，∵DG=6， CD=8，∴C G=2，∴△ FCG的面积 = CG?FQ= ×2×2=2．种类三、正方形综合应用3、E、 F 分别是正方形ABCD的边 AD和 CD上的点，若∠ EBF＝45°．(1)求证： AE＋ CF＝ EF．(2) 若 E 点、 F 点分别是边DA、 CD的延伸线上的点，结论（1）仍建立吗？若建立，请证明，若不建立，写出正确结论并加以证明．【答案与分析】证明：（ 1）延伸 DC，使 CH＝AE，连结 BH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ BCH＝90°，又AB＝ BC， CH＝ AE，∴Rt △BAE≌Rt△BCH，∴∠1＝∠ 2， BE＝ BH．在又∵∠1＋∠ 3＋∠ 4＝90°，∠ 4＝45°，∴ ∠1＋∠ 3＝45°，∠ 2＋∠ 3＝45°，△EBF 和△HBF中，∴△EBF≌△ HBF，∴EF ＝ FH＝ FC＋ CH＝ AE＋ CF．即 AE＋ CF＝ EF．(2)如下图：不建立，正确结论： EF＝ CF－ AE．证明：在 CF上截取 CH＝ AE，连结 BH．∵四边形 ABCD是正方形，∴在 Rt△EAB 和 Rt△HCB中，∴Rt △EAB≌Rt△HCB，∴BE ＝ BH，∠ EBA＝∠ HBC．∵∠HBC ＋∠ ABH＝90°，∴∠EBA＋∠ ABH＝90°．又∵∠EBF＝45°，∴∠HBF＝45°，即∠ EBF＝∠ HBF．在△ EBF 和△ HBF中∴△EBF≌△ HBF，∴EF ＝ FH＝ CF－ CH＝ CF－ AE，即 EF＝ CF－ AE．【总结升华】此题主要观察正方形的性质，全等三角形的性质和判断，重点在于用“截长补短”的方法正确地作出协助线 .4、正方形ABCD的对角线交点为 O，如下图， AE均分∠B AC交 BC于 E，交 OB于 F，求证：EC＝2FO．【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或，往常采纳折半法或加倍法．而折半法又可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法．这就需要学生认真研究，找到解决问题的适合方法．【答案与分析】证法一： ( 间接折半法 ) 如图①所示．∵∠3＝∠ 1＋∠ 4，∠ 5＝∠ 2＋∠ 6．而∠ 1＝∠ 2，∠ 4＝∠ 6＝45°．∴∠3＝∠ 5， BE＝ BF．取 AE的中点 G，连结 OG，∵AO＝OC，∴OG EC．由∠ 7＝∠ 5，∠ 8＝∠ 3，∴∠7＝∠ 8，∴ FO ＝ GO．∴EC ＝ 2OG＝ 2FO．证法二： ( 直接折半法 ) 如图②所示．由证法一得BE＝ BF．取 EC的中点 H，连结 OH．∵ AO ＝ OC，∴ OH∥AE．∴ ∠BOH＝∠ BFE＝∠ BEF＝∠ BHO．∴ BO ＝ BH，∴ FO ＝EH．∴ EC ＝ 2EH＝ 2FO．证法三： ( 直接加倍法 ) 如图③所示．由证法一得 BE＝ BF．在 OD上截取 OM＝ OF，连结 MC．易证Rt△AOF≌Rt△COM．∴∠OAF＝∠ OCM，∴ AE ∥MC．由∠ BMC＝∠ BFE＝∠ BEF＝∠BCM，∴ FM＝ EC．∴EC ＝ FM＝ 2FO．【总结升华】若题目中波及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不一样的角度进行思构，结构不一样的协助线来解决问题．贯通融会：【变式】在正方形ABCD的边 AB上任取一点 E，作 EF⊥AB 交 BD于点 F，取 FD的中点 G，连接 EG、 CG，如图①，易证 EG＝ CG，且 EG⊥CG．(1)将△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 90°，如图②，则线段 EG和 CG有如何的数目关系和位置关系 ?请直接写出你的猜想．(2)将△ BEF 绕点 B 逆时针旋转 180°，如图③，则线段 EG和 CG又有如何的数目关系和地点关系 ?请写出你的猜想，并加以证明．【答案】解： (1)EG＝ CG，且 EG⊥CG．(2)EG＝ CG，且 EG⊥CG．证明：延伸FE 交 DC延伸线于M，连 MG，如图③，∵∠AEM＝90°，∠ EBC＝90°，∠ BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE ＝ CM，∠ EMC＝90°，又∵ BE ＝ EF，∴ EF ＝CM．∵ ∠EMC＝90°， FG＝DG，∴ MG＝FD＝ FG．∵BC ＝ EM， BC＝ CD，∴ EM＝ CD．∵ EF ＝ CM，∴ FM ＝ DM，∴∠F＝45°．2018-2019学年九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定知识讲解例题演练北师大版又 FG＝ DG，∠ CMG＝∠EMD＝45°，∴∠F＝∠ GMC，∴△GFE≌△ GMC，∴EG ＝ CG，∠ FGE＝∠MGC，∵ MG⊥DF，∴∠FGE＋∠ EGM＝90°，∴∠MGC＋∠ EGM＝90°即∠ EGC＝90°，∴EG ⊥CG．。

北师大版九年级(上)正方形的性质与判定(2)同步检测(原创)

北师大版九年级(上)正方形的性质与判定（2)同步检测（原创)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法不正确的是（）A ．一组邻边相等的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．下列说法不能判断是正方形的是（）A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形B ．对角线互相垂直的矩形C ．对角线相等的菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形 3．已知平行四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=o ，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是（）A ．90D ∠=oB ．AB CD =C ．AB BC =D ．AC BD = 4．如图，已知矩形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，添加一个条件使ABCD 为正方形，不正确的是( )A ．AB AD = B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．45ABD ∠=︒ 5．如图，下列四组条件中，不能判定ABCD Y 是正方形的有（）A ．,90AO BO BAD =∠=︒B ．,AC BD AC BD ⊥= C ．90,BOC ABD DCA ∠=︒∠=∠D ．,OA OD BC CD == 6．下列命题中错误的是( )A ．既是矩形又是菱形的四边形是正方形B ．有一个角是直角的菱形是正方形C ．有一组邻边相等的矩形是正方形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪口与折痕所成的角的大小等于（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．在四边形ABCD 中，若两条对角线AC BD =，且AC BD ⊥，则这个四边形（） A ．一定是正方形B ．一定是菱形C ．一定是平行四边形D ．可能不是平行四边形9．如图，在任意四边形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，对于四边形MNPQ 的形状，以下结论中，错误的是( )A ．当M ，N ，P ，Q 是各边中点，四边MNPQ 一定为平行四边形B ．当M ，N ，P ，Q 是各边中点，且ABC 90o ∠=时，四边形MNPQ 为正方形 C ．当M ，N 、P ，Q 是各边中点，且AC BD =时，四边形MNPQ 为菱形D ．当M ，N 、P 、Q 是各边中点，且AC BD ⊥时，四边形MNPQ 为矩形二、填空题10．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是_________．11．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，不添加任何辅助线，请添加一个条件______________，使四边形ABCD 是正方形．12．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点，当AB:AD=___________时，四边形MENF 是正方形．13．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，D E F ，，分别是AB AC BC ，，的中点，连接DE DF CD ，，，如果AC BC =，那么四边形 DECF 是__________．14．如图，ABC V 中，DE //AC 交AB 于E ，DF//AB 交AC 于F ，AD 是ABC V 的角平分线，那么四边形AEDF 的形状是________形；在前面的条件下，若ABC V 再满足一个条件________，则四边形AEDF 是正方形．15．如图，在ABC V 中，AC BC =，点D E ，分别是边AB AC ，的中点，延长DE 到点F ，使DE EF =，得四边形ADCF .若使四边形ADCF 是正方形，则应在ABC V 中再添加一个条件为__________.三、解答题16．如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，连结DE ，将矩形ABCD 沿DE 折叠，点A 的对称点F 落在边CD 上，连结EF ．求证：四边形ADFE 是正方形．∆的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且17．如图，等边AEFCEF∠=o.45求证：矩形ABCD是正方形.18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．（1）求证：四边形BDCF是菱形；（2）当Rt△ABC中的边或角满足什么条件时？四边形BDCF是正方形，请说明理由．21．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．(不要求证明)22．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．(2)在(1)中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？参考答案1．D【解析】试题分析：有一个角是直角的平行四边形是矩形．考点：特殊平行四边形的判定2．D【解析】【分析】正方形是特殊的矩形和菱形，要判断是正方形，选项中必须要有1个矩形的特殊条件和1个菱形的特殊条件.【详解】A中，对角线相互垂直的平行四边形可判断为菱形，又有对角线相等，可得正方形；B中对角线相互垂直的矩形，可得正方形；C中对角线相等的菱形，可得正方形；D中，对角线相互垂直平分，仅可推导出菱形，不正确故选：D【点睛】本题考查证正方形的条件，常见思路为：（1）先证四边形是平行四边形；（2）再添加一个菱形特有的条件；（3）再添加一个矩形特有的条件3．C【解析】【分析】由已知可得该四边形为矩形，再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形．【详解】由∠A=∠B=∠C=90°可判定四边形ABCD为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，故选：C．【点睛】本题考查正方形的判定．正方形的判定方法有：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．4．B【解析】【分析】利用正方形的判定定理逐项分析即可．【详解】解：A．∵四边形ABCD为矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，所以此选项不符合题意；=，B．∵四边形ABCD为矩形，AC BD∴四边形ABCD不一定为正方形，所以此选项符合题意；⊥，C．∵四边形ABCD为矩形，AC BD∴四边形ABCD为正方形，所以此选项不符合题意；D．∵四边形ABCD为矩形，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，所以此选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质和正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．5．A【解析】【分析】根据正方形的判定定理逐个进行判断即可．【详解】∵OA=OB，四边形ABCD是平行四边形，∴AC=BD，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD 是矩形，不是正方形，故A 选项符合题意；∵,AC BD AC BD ⊥=，∴四边形ABCD 是正方形，故B 选项不符合题意，∵90,BOC ABD DCA ∠=︒∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，∴AC ⊥BD ，∠BDC=∠DCA ，∴OC=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是正方形，故C 选项不符合题意，∵BC=CD ，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形，∵OA=OD ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是正方形，故D 选项不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．6．D【解析】【分析】正方形的判定方法：①有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③有一组邻边相等的矩形是正方形,据此判断.【详解】解：A 、根据正方形的判定，故正确；B 、根据正方形的判定，故正确；C 、根据正方形的判定，故正确；D 、可以是内角不是直角的菱形，故错误．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的判定方法：既是矩形又是菱形的四边形是正方形．要说明命题不是真命题，主要能举出一个反例即可．7．B【解析】【分析】本题考查学生的立体思维能力．【详解】解：动手操作，可得剪切线与折痕所成的角是所得正方形的顶角的一半，即∠α=45°．故选B．点睛：本题考查的是动手操作能力．8．D【解析】【分析】根据正方形、菱形以及平行四边形的判定定理进行分析，得证这个四边形可能不是平行四边形。

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北师大版数学九年级数学上册第一章特殊平行四边形
1．3 正方形的性质与判定
正方形的性质专题练习题
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分B．对角线互相垂直
C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等
2．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．3 2
3．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝________．
5．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________.
6. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为________．
7．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；
(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．
8．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．6 cm2B．8 cm2C．16 cm2D．不能确定
9．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝
S四边形DEOF.其中正确的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一
点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．
11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交
正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.
12．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE＝∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，
则∠DPE＝________度．
13.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2 015B2 016C2 016的顶点B2 016的坐标是________．
14．猜想与证明：
如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．
答案;
1. A
2. C
3. B
4. 45°
5. 7
6. 5
7. (1)四边形ACED 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，即AD ∥CE ，∵DE ∥AC ，∴四边形ACED 是平行四边形．
(2)由(1)知，BC ＝AD ＝CE ＝CD ，在Rt △BCD 中，令BC ＝CD ＝x ，则x 2＋x 2＝82.解得x ＝42，∴BE ＝2x ＝82(cm)．
8. B
9. B
10. 72
11.
如图，取AB 的中点H ，连接EH ，
∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E 是BC 的中点，点H 是AB 的中点，∴BH＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE＝45°，∵CF 是∠DCG 的角平分线， ∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，
在△AHE 和△ECF 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE＝∠ECF，
∴△AHE ≌△ECF(ASA)，∴AE＝
EF.
12. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP ＝45°，又∵CP ＝CP ，∴△BCP ≌△DCP(SAS)．
(2)证明：由(1)知，△BCP ≌△DCP ，∴∠CBP ＝∠CDP ，∵PE ＝PB ，∴∠CBP ＝∠E ，∴∠CDP ＝∠E ，∵∠1＝∠2(对顶角相等)，
∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC.
(3) 58°
13. (21 008，0)
14. (1) MD＝ME
(2) 证明：延长EM交AD于点H(图略)，∵四边形ABCD和ECGF是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM＝∠HAM，又∵∠FME＝∠AMH，FM＝AM，∴△FME ≌△AMH(ASA)，∴HM＝EM，在Rt△HDE中，HM＝EM，∴DM＝HM＝ME，∴DM＝ME.(1)DM＝ME.
(2)连接AE(图略)，∵四边形ABCD和ECGF是正方形，∴∠FCE＝45°，∠FCA＝45°，∴AE和EC在同一条直线上，在Rt△ADF中，AM＝MF，∴DM ＝AM＝MF，在Rt△AEF中，AM＝MF，∴AM＝MF＝ME，∴DM＝ME.。

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