高一数学 课堂训练3-4

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高一数学 课堂训练4-1

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第4章 第1节时间:45分钟 满分:100分一、选择题(每小题7分,共42分)1. [2012·广东江门模拟]若四边形ABCD 满足AB →+CD →=0,(AB →-AD →)·AC →=0,则该四边形一定是( )A. 直角梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形答案:B解析:由AB →+CD →=0知,AB →=D C →, 即AB =CD ,AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形. 又(AB →-AD →)·AC →=0, ∴DB →·AC →=0,即AD ⊥BD , 因此四边形ABCD 是菱形,故选B.2.如下图,已知AB →=a ,AC →=b ,BD →=3DC →,用a ,b 表示AD →,则AD →等于( )A .a +34bB.14a +34b C.14a +14b D.34a +14b 答案:B解析:AD →=AB →+BD →=a +BD →,① 同时3AD →=3AC →+3CD →=3b -BD →.②①+②,得4AD →=a +3b ,∴AD →=14a +34b .故选B.3. [2012·安徽安庆模拟]已知点P 是△ABC 所在平面内一点,且满足3PA →+5P B →+2P C→=0,设△ABC 的面积为S ,则△PAC 的面积为( )A. 34SB. 23SC. 12SD. 25S答案:C解析:如图,由于3PA →+5P B →+2PC →=0,设3(P A →+PB →)=-2(PB →+P C →), 设AB ,BC 的中点分别为M ,N , 则PM →=12(PA →+P B →),PN →=12(P B →+PC →),所以3PM →=-2PN →,即点P 在中位线MN 上, 因此△PAC 的面积为△ABC 面积的一半,故选C.4. △ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,且AN →=λAB →+μAC →,则λ+μ的值为( )A. 12B. 13C. 14D. 1答案:A解析:如图所示,由于B ,M ,C 三点共线,所以AM →=xAB →+(1-x )AC →(0<x <1),又N 为AM 的中点, 且AN →=λAB →+μAC →,所以AM →=2AN →=2λAB →+2μAC →,从而x =2λ,1-x =2μ, 因此λ+μ=12,故选A.5.已知a ,b 是不共线的向量,若AB →=λ1a +b ,AC →=a +λ2b (λ1,λ2∈R ),则A ,B ,C 三点共线的充要条件为( )A .λ1λ2-1=0B .λ1=λ2=1C .λ1=λ2=-1D .λ1λ2+1=0答案:A解析:A 、B 、C 三点共线⇔AB →∥AC →⇔λ1λ2=1.故选A.6. [2012·东北三校联考]在△ABC 中,点P 是AB 上的一点,且CP →=23CA →+13CB →,Q 是BC 的中点,AQ 与CP 的交点为M ,又CM →=tCP →,则t 的值为( )A. 12B. 23C. 34D. 45答案:C解析:∵CP →=23CA →+13CB →,∴3CP →=2CA →+CB →,即2CP →-2CA →=CB →-CP →,∴2AP →=P B →,因此P 为AB 的一个三等分点,如图所示. ∵A ,M ,Q 三点共线,∴CM →=xCQ →+(1-x )CA →=x2CB →+(x -1)AC →(0<x <1),而CB →=AB →-AC →,∴CM →=x 2AB →+(x2-1)AC →.又CP →=CA →-P A →=-AC →+13AB →,且CM →=tCP →(0<t <1),x 2AB →+(x 2-1)AC →=t (-AC →+13AB →), 所以x 2=t 3且x 2-1=-t ,解得t =34,故选C.二、填空题(每小题7分,共21分)7. [2012·西安月考]在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD →=2DB →,CD →=13CA →+λCB →,则λ=______.答案:23解析:由图知CD →=CA →+AD →① CD →=CB →+B D →② 且AD →+2B D →=0.①+②×2得:3CD →=CA →+2CB →, ∴CD →=13→+23CB →,∴λ=23.8.单位圆中两个向量OA →和OB →,它们的夹角为120°,如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧A B 上变动.若OC →=xOA →+yOB →,其中x ,y ∈R ,则x +y 的最大值为______.答案:2解析:如图,设∠AOC =α,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧OC →·OA →=xOA →·OA →+yOB →·OA →OC →·OB →=xOA →·OB →+yOB →·OB→,即⎩⎨⎧cos α=x -12y cos (120°-α)=-12x +y ,∴x +y =2[cos α+cos(120°-α)]=cos α+3sin α=2sin(α+π6≤2.由已知得,当且仅当α=π3时,x +y 取得最大值2.9. [2012·山东济南一模]如图,在△ABC 中,AN →=13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →=mAB→+211AC →,则实数m 的值为__________.答案:311解析:由AN →=13NC →,得AN →=14AC →.AP →=AB →+BP →=AB →+nBN →=AB →+n (AN →-AB →)=(1-n )AB →+14nAC →=mAB →+211AC →,由14n =211,得n =811,m =1-n =311. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知:任意四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,求证:EF →=12(AB →+D C →).证明:方法一 如图所示,∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点,∴E A →+ED →=0,F B →+FC →=0, 又∵AB →+B F →+FE →+E A →=0, ∴EF →=AB →+B F →+EA →① 同理EF →=E D →+D C →+CF →② 由①+②得,2EF →=AB →+D C →+(E A →+E D →)+(BF →+CF →)=AB →+D C →. ∴EF →=12(AB →+D C →).方法二 连接EB 、EC ,则EC →=E D →+D C →, E B →=EA →+AB →, ∴EF →=12(EC →+E B →)=12(ED →+D C →+E A →+AB →) =12(AB →+D C →). 11. 设a ,b 是两个不共线的非零向量.(1)若OA →=2a -b ,OB →=3a +b ,OC →=a -3b ,求证:A 、B 、C 三点共线; (2)若8a +k b 和k a +2b 共线,求实数k 的值.解:(1)∵AB →=(3a +b )-(2a -b )=a +2b , BC →=(a -3b )-(3a +b )=-2a -4b =-2AB →, ∴AB →、BC →共线. 又AB 、BC 有公共点B , ∴A 、B 、C 三点共线. (2)∵8a +k b 和k a +2b 共线,∴存在实数λ,使8a +k b =λ(k a +2b ),即(8-λk )a +(k -2λ)b =0,∵a 与b 不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧8-λk =0,k -2λ=0,解得λ=±2,∴k =2λ=±4.12. [2012·山东滕州]如图,在△OAB 中,OC →=14OA →,OD →=12OB →,AD 与BC 交于点M ,设OA →=a ,OB →=b .(1)用a 、b 表示OM →;(2)已知在线段AC 上取一点E ,在线段BD 上取一点F ,使EF 过M 点,设OE →=pOA →,O F →=qOB →,求证:17p +37q=1.解:(1)设OM →=m a +n b ,则 AM →=(m -1)a +n b ,AD →=-a +12b .∵点A 、M 、D 共线,∴AM →与AD →共线,∴m -1-1=n12,∴m +2n =1.① 而CM →=OM →-OC →=(m -14)a +n b ,CB →=-14a +b .∵C 、M 、B 共线,∴CM →与CB →共线, ∴m -14-14=n 1,∴4m +n =1.②联立①②可得m =17,n =37,∴OM →=17a +37b .(2)证明:EM →=(17-p )a +37b ,EF →=-p a +q b ,∵EF →与EM →共线,∴17-p-p =37q ,∴17q -pq =-37p ,即17p +37q =1.。

高一数学上册课堂练习题4(答案)

高一数学上册课堂练习题4(答案)

2019届高一数学上册课堂练习题4(答案)本文导航1、首页2、***一、选择题1.对于集合A,B,AB不成立的含义是()A.B是A的子集B.A中的元素都不是B的元素C.A中至少有一个元素不属于BD.B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] AB成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素.不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B,故选C.2.集合M={(x,y)|x+y0,xy0},P={(x,y)|x0,y0}那么()A.P?MB.M?PC.M=PD.M P[答案] C[解析] 由xy0知x与y同号,又x+y0x与y同为负数x+y0等价于x0M=P.3.设集合A={x|x2=1},B={x|x是不大于3的自然数},AC,BC,则集合C中元素最少有()A.2个B.4个C.5个D.6个[答案] C[解析] A={-1,1},B={0,1,2,3},∵AC,BC,集合C中必含有A与B的所有元素-1,0,1,2,3,故C 中至少有5个元素.4.若集合A={1,3,x},B={x2,1}且BA,则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4[答案] C[解析] ∵BA,x2A,又x21x2=3或x2=x,x=3或x=0.故选C.5.已知集合M={x|y2=2x,yR}和集合P={(x,y)|y2=2x,yR},则两个集合间的关系是()A.M?PB.P?MC.M=PD.M、P互不包含[答案] D[解析] 由于两集合代表元素不同,因此M与P互不包含,故选D.6.集合B={a,b,c},C={a,b,d};集合A满足AB,AC.则满足条件的集合A的个数是()C.4D.1[答案] C[解析] ∵AB,AC,集合A中的元素只能由a或b构成.这样的集合共有22=4个.即:A=,或A={a},或A={b}或A={a,b}.7.设集合M={x|x=k2+14,kZ},N={x|x=k4+12,kZ},则()A.M=NB.M?NC.M?ND.M与N的关系不确定[答案] B[解析] 解法1:用列举法,令k=-2,-1,0,1,2可得M={-34,-14,14,34,54},N={0,14,12,34,1},M?N,故选B.解法2:集合M的元素为:x=k2+14=2k+14(kZ),集合N的元素为:x=k4+12=k+24(kZ),而2k+1为奇数,k+2为整数,M?N,故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发,运用整数的性质方便地获解.注意若k是任意整数,则k+m(m是一个整数)也是任意整数,而2k+1,2k-1均为任意奇数,2k为任意偶数.8.集合A={x|03且xN}的真子集的个数是()A.16B.8[答案] C[解析] 因为03,xN,x=0,1,2,即A={0,1,2},所以A 的真子集个数为23-1=7.9.(09广东文)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是()[答案] B[解析] 由N={x|x2+x=0}={-1,0}得,N?M,选B.10.如果集合A满足{0,2}?A{-1,0,1,2},则这样的集合A个数为()A.5B.4C.3D.2[答案] C[解析] 集合A里必含有元素0和2,且至少含有-1和1中的一个元素,故A={0,2,1},{0,2,-1}或{0,2,1,-1}. 本文导航1、首页2、***二、填空题11.设A={正方形},B={平行四边形},C={四边形},D={矩形},E={多边形},则A、B、C、D、E之间的关系是________. [答案] A?D?B?C?E[解析] 由各种图形的定义可得.12.集合M={x|x=1+a2,aN*},P={x|x=a2-4a+5,aN*},则集合M与集合P的关系为________.[答案] M?P[解析] P={x|x=a2-4a+5,aN*}={x|x=(a-2)2+1,aN*}∵aN*a-2-1,且a-2Z,即a-2{-1,0,1,2,},而M={x|x=a2+1,aN*},M?P.13.用适当的符号填空.(,,,,?,?,=)a________{b,a};a________{(a,b)};{a,b,c}________{a,b};{2,4}________{2,3,4};________{a}.[答案] ,,?,?,?*14.已知集合A=x|x=a+16,aZ,B={x|x=b2-13,bZ},C={x|x=c2+16,cZ}.则集合A,B,C满足的关系是________(用,?,=,,,中的符号连接A,B,C).[答案] A?B=C[解析] 由b2-13=c2+16得b=c+1,对任意cZ有b=c+1Z.对任意bZ,有c=b-1Z,B=C,又当c=2a时,有c2+16=a+16,aZ.A?C.也可以用列举法观察它们之间的关系.15.(09北京文)设A是整数集的一个非空子集,对于kA,如果k-1A,那么k是A的一个孤立元.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含孤立元的集合共有______个.[答案] 6[解析] 由题意,要使k为非孤立元,则对kA有k-1A.k最小取2.k-1A,kA,又A中共有三个元素,要使另一元素非孤立元,则其必为k+1.所以这三个元素为相邻的三个数.共有6个这样的集合.三、解答题16.已知A={xR|x-1或x5},B={xR|ax[解析] 如图∵A?B,a+4-1或者a5.即a-5或a5.17.已知A={x|x-1或x2},B={x|4x+a0},当BA时,求实数a 的取值范围.[解析] ∵A={x|x-1或x2},B={x|4x+a0}={x|x-a4},∵AB,-a4-1,即a4,所以a的取值范围是a4.18.A={2,4,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},C={x2+(a+1)x-3,1},a、xR,求:(1)使A={2,3,4}的x的值;(2)使2B,B?A成立的a、x的值;(3)使B=C成立的a、x的值.[解析] (1)∵A={2,3,4}x2-5x+9=3解得x=2或3(2)若2B,则x2+ax+a=2又B?A,所以x2-5x+9=3得x=2或3,将x=2或3分别代入x2+ax+a=2中得a=-23或-74(3)若B=C,则x2+ax+a=1①x2+(a+1)x-3=3②①-②得:x=a+5 代入①解得a=-2或-6我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

2.2.4 均值不等式及其应用(第2课时)高一数学(人教B版2019必修第一册)

2.2.4 均值不等式及其应用(第2课时)高一数学(人教B版2019必修第一册)
【典例】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1 800 元,面粉的保管费及其他 费用为平均每吨每天 3 元,购买面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的 总费用最少?
即时训练 知识点四:利用均值不等式解决实际应用问题
设该厂每 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨. 由题意可知,面粉的保管费及其他费用为 3×[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1). 设平均每天所支付的总费用为 y1 元, 则 y1=1x[9x(x+1)+900]+6×1 800=9x+90x0+10 809≥2 9x·90x0+10 809 =10 989(元),当且仅当 9x=90x0,即 x=10 时,等号成立.所以该厂每 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.
【解析】∵实数 x,y 满足 xy+3x=3 0<x<12 ,∴x=y+3 3,
∴0<y+3 3<12,解得 y>3.则3x+y-1 3=y+3+y-1 3=y-3+y-1 3+
6≥2 (y-3)·y-1 3+6=8,当且仅当 y=4,x=37时取等号.
新知探索 知识点三:建立目标不等式求最值
利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式,求出 不等式的解集即得求解目标的最值.
提示:(1)已知 x,y 都是正数,如果和 x+y 等于定值 S, 那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 1S2.
4 (2)已知 x,y 都是正数,如果积 xy 等于定值 P,那么当 x =y 时,和 x+y 有最小值 2 P.
新知探索 知识点一:“常数代换法”求最值
若题中不存在满足均值不等式的条件,则需要创造条件对 式子进行恒等变形,灵活运用“1”的代换.在不等式解题过 程中,常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个 常数用等于“1”的式子代替.

高一数学教案(优秀5篇)

高一数学教案(优秀5篇)

高一数学教案(优秀5篇)高一数学教学教案篇一一、教学目标(一)知识与技能了解数轴的概念,能用数轴上的点准确地表示有理数。

(二)过程与方法通过观察与实际操作,理解有理数与数轴上的点的对应关系,体会数形结合的思想。

(三)情感、态度与价值观在数与形结合的过程中,体会数学学习的乐趣。

二、教学重难点(一)教学重点数轴的三要素,用数轴上的点表示有理数。

(二)教学难点数形结合的思想方法。

三、教学过程(一)引入新课提出问题:通过实例温度计上数字的意义,引出数学中也有像温度计一样可以用来表示数的轴,它就是我们今天学习的数轴。

(二)探索新知学生活动:小组讨论,用画图的形式表示东西向马路上杨树,柳树,汽车站牌三者之间的关系:提问1:上面的问题中,“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。

我们知道,正数和负数可以表示具有相反意义的量,那么,如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢?学生活动:画图表示后提问。

提问2:“0”代表什么?数的符号的实际意义是什么?对照体温计进行解答。

教师给出定义:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴,它满足:任取一个点表示数0,代表原点;通常规定直线上向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;选取合适的长度为单位长度。

提问3:你是如何理解数轴三要素的?师生共同总结:“原点”是数轴的“基准”,表示0,是表示正数和负数的分界点,正方向是人为规定的,要依据实际问题选取合适的单位长度。

(三)课堂练习如图,写出数轴上点A,B,C,D,E表示的数。

(四)小结作业提问:今天有什么收获?引导学生回顾:数轴的三要素,用数轴表示数。

高一数学教案全集5 篇二数学教案-圆1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点:①点和圆的三种位置关系,圆的有关概念,因为它们是研究圆的基础;②五种常见的点的轨迹,一是对几何图形的深刻理解,二为今后立体几何、解析几何的学习作重要的准备。

难点:① 圆的集合定义,学生不容易理解为什么必须满足两个条件,内容本身属于难点;②点的轨迹,由于学生形象思维较强,抽象思维弱,而这部分知识比较抽象和难懂。

高中数学必修一高一数学第四章(第五课时)正弦函数余弦函数的图象和性质()公开课教案课件课时训练练习教

高中数学必修一高一数学第四章(第五课时)正弦函数余弦函数的图象和性质()公开课教案课件课时训练练习教

课 题:48正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)教学目的:1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 教学重点:正、余弦函数的性质教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:一、复习引入:1.y=sinx ,x ∈R 和y=cosx ,x ∈R 的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3.定义域:正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R [或(-∞,+∞)], 分别记作: y =sin x ,x ∈R y =cos x ,x ∈R 4.值域正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1]其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x =2π+2k π,k ∈Z 时,取得最大值1 ②当且仅当x =-2π+2k π,k ∈Z 时,取得最小值-1而余弦函数y =cos x ,x ∈R①当且仅当x =2k π,k ∈Z 时,取得最大值1②当且仅当x =(2k +1)π,k ∈Z 时,取得最小值-15.周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期,最小正周期是2π6.奇偶性y =sin x 为奇函数,y =cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 7.单调性正弦函数在每一个闭区间[-2π+2k π,2π+2k π](k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[2π+2k π,23π+2k π](k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1余弦函数在每一个闭区间[(2k -1)π,2k π](k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2k π,(2k +1)π](k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1二、讲解范例:例1 求函数y =sin 21x-π的单调增区间 误解:令u=21x-π ∵y =sin u在[2k π-2π,2k π+2π](k ∈Z )上递增 ∴2k π-2π≤21x -π≤2k π+2π解得-4k ≤x ≤-4k +2∴原函数的单调递增区间为[-4k ,-4k +2](k ∈Z ) 分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u=21x-π,忽视了u是x 的减函数,未考虑复合后单调性的变化正解如下:解法一:令u=21x-π,则u 是x 的减函数 又∵y =sin u在[2k π+2π,2k π+23π](k ∈Z )上为减函数,∴原函数在[2k π+2π,2k π+23π](k ∈Z )上递增设2k π+2π≤21x-π≤2k π+23π解得-4k -2≤x ≤-4k (k ∈Z )∴原函数在[-4k -2,-4k ](k ∈Z )上单调递增 解法二:将原函数变形为y =-sin 21-x π 因此只需求sin 21-x π=y 的减区间即可 ∵u=21-x π为增函数 ∴只需求sin u的递减区间 ∴2k π+2π≤21-x π≤2k π+23π解之得:4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为[4k +2,4k +4](k ∈Z ) 一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如|sin x |≤1,|cos x |≤1来求三角函数的最值例2 a 、b 是不相等的正数求y =x b x a x b x a 2222cos sin sin cos +++的最大值和最小值解:y 是正值,故使y 2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小)y 2=a cos 2x +b sin 2x +2x b x a 22sin cos +·x b x a 22cos sin ++a sin 2x +b cos 2x=a +b +x b a ab 2sin )(422-+ ∵a ≠b ,(a -b )2>0,0≤sin 22x ≤1 ∴当sin2x =±1时,即x =22ππ+k (k ∈Z )时,y 有最大值)(2b a +; 当sin x =0时,即x =2πk (k ∈Z )时,y 有最小值a +b二、利用三角函数的增减性 如果f (x )在[α,β]上是增函数,则f (x )在[α,β]上有最大值f (β),最小值f (α);如果f (x )在[α,β]上是减函数,则f (x )在[α,β]上有最大值f (α),最小值f (β)例3 在0≤x ≤2π条件下,求y =cos 2x -sin x cos x -3sin 2x 的最大值和最小值解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有y =22cos 1x +-2sin2x -3·22cos 1x-=2(cos2x -sin2x )-1 =22 (cos2x cos 4π-sin2x sin 4π)-1=22cos(2x +4π)-1∵0≤x ≤2π,4π≤2x +4π≤45πcos(2x +4π)在[0,83π)上是减函数 故当x =0时有最大值22当x =83π时有最小值-1cos(2x +4π)在[83π,2π]上是增函数 故当x =83π时,有最小值-1当x =2π时,有最大值-22综上所述,当x =0时,y max =1 当x =83π时,y min =-22-1三、换元法利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例4求f (x )=sin 4x +2sin 3x cos x +sin 2x cos 2x +2sin x cos 3x +cos 4x 的最大值和最小值解:f (x )=(sin 2x +cos 2x )2-2sin 2x cos 2x +2sin x cos x (sin 2x +cos 2x )+sin 2x cos 2x =1+2sin x cos x -sin 2x cos 2x令t=21sin2x ∴-21≤t≤21①f (t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ②在①的范围内求②的最值当t=21,即x =k π+4π(k ∈Z )时,f (x )max =47 当t=-21,即x =k π+43π(k ∈Z )时,f (x )min =-41四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考、高考必考内容,在求解中欲达到准确、迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点:1.注意sin x 、cos x 自身的范围例5求函数y =cos 2x -3sin x 的最大值解:y =cos 2x -3sin x =-sin 2x -3sin x +1=-(sin x +23)2+413 ∵-1≤sin x ≤1,∴当sin x =-1时,y max =3说明:解此题易忽视sin x ∈[-1,1]这一范围,认为sin x =-23时,y 有最大值413,造成误解 2.注意条件中角的范围例6已知|x |≤4π,求函数y =cos 2x +sin x 的最小值解:y =-sin 2x +sin x +1=-(sin x -21)2+45∵-4π≤x ≤4π∴-22≤sin x ≤22 ∴当sin x =-22时 y min =-(-22-21)2+45=221-说明:解此题注意了条件|x |≤4π,使本题正确求解,否则认为sin x =-1时y 有最小值,产生误解3.注意题中字母(参数)的讨论例7求函数y =sin 2x +a cos x +85a -23(0≤x ≤2π)的最大值 解:∵y =1-cos 2x +a cos x +85a -23=-(cos x -2a )2+42a +85a -21∴当0≤a ≤2时,cos x =2a ,y max =42a +85a -21当a >2时,cos x =1,y max =813a -23 当a <0时,cos x =0,y max =85a -21说明:解此题注意到参数a 的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为cos x =2a时,y 有最大值会产生误解 4.注意代换后参数的等价性例8已知y =2sin θcos θ+sin θ-cos θ(0≤θ≤π),求y 的最大值、最小值解:设t =sin θ-cos θ=2sin(θ-4π) ∴2sin θcos θ=1-t2∴y =-t2+t+1=-(t-21)2+45 又∵t=2sin(θ-4π),0≤θ≤π∴-4π≤θ-4π≤43π∴-1≤t≤2 当t=21时,y max =45当t=-1时,y min =-1说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1,2],从而正确求解,若忽视这一点,会发生t=21时有最大值而无最小值的结论 三、课堂练习:四、小结 三角函数最值的求解:三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角、代数、几何之间的联系,培养学生的思维能力本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 五、课后作业:六、板书设计(略) 七、课后记:活动目的:教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的,每个人都要保护它,做到节约每一滴水,造福子孙万代。

高一精选题库数学 课堂训练_2-4

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第2章 第4节时间:45分钟 满分:100分一、选择题(每小题7分,共42分)1. 化简a 3b 23ab 2(a 14b 12)43b a(a 、b >0)的结果是( )A. ba B. ab C. a b D. a 2b答案:C解析:原式=a 32ba 16b 13ab 2b 13a -13=a 32+16-1-(-13)b1+13-2-13=a b. 2. 设函数f (x )=a-|x |(a >0,且a ≠1),f (2)=4,则( )A. f (-2)>f (-1)B. f (-1)>f (-2)C. f (1)>f (2)D. f (-2)>f (2)答案:A 解析:∵f (x )=a-|x |(a >0,且a ≠1),f (2)=4,∴a -2=4,∴a =12,∴f (x )=(12)-|x |=2|x |,∴f (-2)>f (-1),故选A.3. [2011·四川]已知f (x )是R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=(12)x +1,则f (x )的反函数的图像大致是( )答案:A解析:当x >0时,1<f (x )<2,此时可得反函数. f -1(x )=log 12(x -1)(1<x <2),对照选项可知选A.4. [2012·山东滨州一模]已知函数y =4x -3×2x +3,当其值域为[1,7]时,x 的取值范围是( )A. [2,4]B. (-∞,0]C. (0,1]∪[2,4]D. (-∞,0]∪[1,2]答案:D解析:y =(2x )2-3×2x +3=(2x -32)2+34∈[1,7],∴(2x -32)2∈[14,254].∴2x -32∈[-52,-12]∪[12,52].∴2x ∈[-1,1]∪[2,4].∴x ∈(-∞,0]∪[1,2],故选D.5. [2012·辽宁实验中学]已知函数f (x )=2x -1,对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1,x 2,给出下列结论:(1)(x 2-x 1)[f (x 2)-f (x 1)]<0; (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2); (3)f (x 2)-f (x 1)>x 2-x 1; (4)f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22).其中正确结论的序号是( ) A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)答案:C解析:∵f (x )为增函数,x 1<x 2,∴f (x 1)<f (x 2),∴(x 2-x 1)[f (x 2)-f (x 1)]>0,故(1)错,排除A 、B ;A (x 1,f (x 1)),B (x 2,f (x 2))是f (x )=2x -1在(0,2)上任意两点,则k AB =f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1不总大于1,故(3)错,排除D ,选C.6. [2012·上海交大附中月考]对于函数f (x )=(2x-12x )x 13和实数m ,n ,下列结论中正确的是( )A. 若m <n ,则f (m )<f (n )B. 若f (m )<f (n ),则m 2<n 2C. 若f (m )<f (n ),则m 3<n 3D. 上述命题都不正确 答案:B解析:f (x )=(2x-12x )x 13是定义在R 上的偶函数,当x >0时,y =2x -12x >0且为增函数,y=x 13>0且为增函数, ∴f (x )在[0,+∞)上递增,在(-∞,0]上递减. ∴f (m )<f (n )⇒|m |<|n |⇒m 2<n 2. 二、填空题(每小题7分,共21分)7. [2012·开封调研]函数y =a x +b (a >0且a ≠1)的图像经过点(1,7),其反函数的图像经过点(4,0),则a b =________.答案:64解析:本题考查指数函数与反函数的性质,根据条件建立方程组求出a ,b 的值即可.由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+b =7,a 0+b =4解得⎩⎪⎨⎪⎧a =4b =3,故a b =43=64. 8. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x -5(x >6)(4-a2)x +4(x ≤6)在R 上是单调递增函数,则实数a 的取值范围是__________.答案:[7,8)解析:由题意知,实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14-a 2>0(4-a 2)×6+4≤a6-5,即⎩⎪⎨⎪⎧a >1a <8a ≥7,解得7≤a <8. 9. 若函数f (x )=2x 2-2ax -a-1的定义域为R ,则a 的取值范围为________.答案:[-1,0] 解析:由f (x )=2x 2-2ax -a -1的定义域为R ,可知2x 2-2ax -a≥1恒成立,即x 2-2ax -a ≥0恒成立, 解得-1≤a ≤0.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈(-∞,1]上y >0恒成立,求a 的取值范围. 解:由题意,得1+2x+4xa >0在x ∈(-∞,1]上恒成立,即a >-1+2x4x 在x ∈(-∞,1]上恒成立.又∵-1+2x 4x =-(12)2x -(12)x=-[(12)x +12]2+14,∵x ∈(-∞,1], ∴(12)x ∈[12,+∞). 令t =(12)x ,则f (t )=-(t +12)2+14,t ∈[12,+∞).则f (t )在[12,+∞)上为减函数,f (t )≤f (12)=-(12+12)2+14=-34,即f (t )∈(-∞,-34].∵a >f (t ),∴a ∈(-34,+∞).11. [2012·江苏淮安]函数f (x )=2-x x -1的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B ,求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.解:由2-x x -1≥0,得1<x ≤2,即A ={x |1<x ≤2}.∵y =2x 是R 上的增函数,∴由22ax <2a +x ,得2ax <a +x ,∴(2a -1)x <a .(1)当2a -1>0,即a >12时,x <a 2a -1,即B ={x |x <a2a -1}又A ⊆B ,∴a 2a -1>2,得12<a <23.(2)当2a -1=0,即a =12时,x ∈R ,即B =R ,满足A ∩B =A .(3)当2a -1<0,即a <12时,x >a 2a -1,即B ={x |x >a2a -1}.∵A ⊆B ,∴a 2a -1≤1,得a ≤1,故a <12.由(1),(2),(3)得a ∈(-∞,23).12. [2012·上海吴淞中学月考]已知函数f (x )=a ·2x +a -22x +1是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断函数f (x )的单调性,并用定义证明; (3)求函数的值域.解:(1)∵f (x )的定义域为R ,且为奇函数. ∴f (0)=0,解得a =1.(2)由(1)知,f (x )=2x -12x +1=1-22x +1,∴f (x )为增函数.证明:任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2.f (x 1)-f (x 2)=1-22x 1+1-1+22x 2+1=2(2x 1-2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1),∵x 1<x 2,∴2x 1-2x 2<0,且2x 1+1>0,2x 2+1>0. ∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )为R 上增函数.(3)令y =2x -12x +1,则2x =-1-yy -1,∵2x >0,∴-1-yy -1>0.∴-1<y <1.∴函数f (x )的值域为(-1,1).。

正切函数的性质与图象(分层练习)高一数学精品同步课堂(人教A版2019必修第一册)

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5.4.3 正切函数的性质与图象基 础 练巩固新知 夯实基础1.函数tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为( )A .3+,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ B .3+2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭∣ C .,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ D .2,4xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣ 2.函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为( )A .2π B .πC .2πD .4π3.已知13122,log 3,tan53a b c -===︒,则( ) A .a b c <<B .b a c <<C .a c b <<D .c b a <<4.若函数f (x )=tan(ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,则 ( )A. f (2)>f (0)>f (-π5) B. f (0)>f (2)>f (-π5) C. f (0)>f (-π5)>f (2) D. f (-π5)>f (0)>f (2)5.(多选)下列关于函数y =tan (x +π3)的说法正确的是( )A.在区间(-π6,5π6)上单调递增 B.最小正周期是πC.图象关于点(π6,0)成中心对称 D.图象关于直线x =π6成轴对称 6.已知函数f (x )=x +tan x +1,若f (a )=2,则f (-a )的值为________. 7.求y =3-tan x 的定义域.8.根据正切函数的图象,写出使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合.9.设函数f (x )=tan ⎝⎛⎭⎫x 2-π3.(1)求函数f (x )的周期,对称中心; (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图.能 力 练综合应用 核心素养10.函数()()2ln 2tan f x x x x =-++的定义域是( )A .ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .()0,2C .()(),02,-∞+∞D .π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭11.已知函数y =tan ωx 在⎝⎛⎭⎫-π2,π2内是减函数,则( ) A .0<ω≤1 B .-1≤ω<0 C .ω≥1 D .ω≤-112.函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是( )A .2πB .πC .4πD .2π 13.已知函数()tan 3f x x x =,若对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,()f x a >恒成立,则a 的取值范围是( )A .53,⎛-∞ ⎝⎦B .53,⎛-∞ ⎝⎭C .3,⎛-∞ ⎝⎦D .3,⎛-∞ ⎝⎭14.(多选)已知函数f (x )={tanx ,tanx >sinx ,sinx ,tanx ≤sinx ,则 ( )A. f (x )的值域为(-1,+∞)B. f (x )的单调递增区间为[kπ,kπ+π2)(k ∈Z)C.当且仅当k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )≤0 D. f (x )的最小正周期是2π15.已知函数y =-tan 2x +4tan x +1,x ∈[-π4,π4],则其值域为 .16.函数f (x )=lg tan x +1tan x -1为________函数(填“奇”或“偶”).17.函数tan 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标为___________.18.若函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,且在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3ω=___________.【参考答案】1.A 解析:由()()3424x k k Z x k k Z πππππ-≠+∈⇒≠+∈,故选:A 2.C 解析:函数()2tan 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为212ππ=.故选:C.3.B 解析:∵1030221a -<=<=,1122log 31log 0b =<=,tan531tan 45c ︒>︒==,b ac ∴<<.故选:B.4.C 解析:由函数f (x )=tan (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π,可得πω=π,解得ω=1,即f (x )=tan (x +π4),令-π2+k π<x +π4<π2+k π,k ∈Z,得-3π4+k π<x <π4+k π,k ∈Z,当k =1时,π4<x <5π4,即函数f (x )在(π4,5π4)上单调递增,又f (0)=f (π),f (-π5)=f (-π5+π)=f (4π5),且54π>π>4π5>2>π4,所以f (0)>f (-π5)>f (2).故选C .5.BC 解析: 令k π-π2<x +π3<k π+π2,k ∈Z,得k π-5π6<x <k π+π6,k ∈Z,显然(-π6,5π6)不满足上述关系式,故A 中说法错误;显然该函数的最小正周期为π,故B 中说法正确;令x +π3=kπ2,k ∈Z,得x =kπ2-π3,k ∈Z,当k =1时,得x =π6,故C 中说法正确;正切曲线没有对称轴,因此函数y =tan (x +π3)的图象也没有对称轴,故D 中说法错误.故选BC . 6. 0 解析:设g (x )=x +tan x ,显然g (x )为奇函数.∵f (a )=g (a )+1=2,∴g (a )=1,∴f (-a )=g (-a )+1=-g (a )+1=0. 7. 解:由3-tan x ≥0得,tan x ≤ 3.结合y =tan x 的图象可知,在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上,满足tan x ≤3的角x 应满足-π2<x ≤π3, 所以函数y =3-tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π-π2<x ≤k π+π3,k ∈Z . 8. 解:如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y =tan x ,x ∈(-π2,π2)的图象和直线y =-√3.由图得,在区间(-π2,π2)内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|-π3≤x <π2},∴在函数y =tan x 的定义域x x ≠kπ+π2,k ∈Z 内,不等式tan x ≥-√3的解集是{x|kπ-π3≤x <kπ+π2,k ∈Z}.令k π-π3≤2x <k π+π2(k ∈Z),得kπ2-π6≤x <kπ2+π4(k ∈Z),∴使不等式3+√3tan 2x ≥0成立的x 的取值集合是{x|kπ2-π6≤x <kπ2+π4,k ∈Z}.9. 解:(1)∵ω=12,∴周期T =πω=π12=2π.令x 2-π3=k π2(k ∈Z ),则x =k π+2π3(k ∈Z ), ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π+2π3,0(k ∈Z ). (2)令x 2-π3=0,则x =2π3;令x 2-π3=π2,则x =5π3;令x 2-π3=-π2,则x =-π3. ∴函数y =tan ⎝⎛⎭⎫x 2-π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3,0,在这个交点左,右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x =-π3,x =5π3,从而得到函数y =f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫-π3,5π3内的简图(如图).10.A 解析:由题意得()220ππ2x x x k k Z ⎧-+>⎪⎨≠+∈⎪⎩, 解得02x <<且π2x ≠,则()f x 的定义域为ππ0,,222⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A . 11.B 解析:∵y =tan ωx 在⎝⎛⎭⎫-π2,π2内是减函数,∴ω<0且T =π|ω|≥π.∴|ω|≤1,即-1≤ω<0. 12.D 解析:函数()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象是由tan 2y x =的图象先向右平移6π个单位长度,再把x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到,故()tan 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期与tan 2y x =的相同,为2π,故选:D.13.A 解析:由对任意,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,()f x a >恒成立,则只要min ()f x a >即可,因为函数tan y x =和3y x=在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是增函数,所以函数()tan 3f x x x =,在,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上是增函数,所以53()tan 3sin 666f x f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以53a ≤故选:A. 14.AD 解析:当tan x >sin x ,即k π<x <k π+π2(k ∈Z)时, f (x )=tan x ∈(0,+∞);当tan x ≤sin x ,即k π-π2<x ≤k π(k ∈Z)时,f (x )=sin x ∈(-1,1).综上, f (x )的值域为(-1,+∞),故A 正确;f (x )的单调递增区间是(2kπ-π2,2kπ+π2)和2k π+π,2k π+3π2(k ∈Z),故B 错误;当x ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z)时,f (x )>0,故C 错误;结合f (x )的图象可知f (x )的最小正周期是2π,故D 正确.故选AD .15.[-4,4] 解析:∵-π4≤x ≤π4,∴-1≤tan x ≤1.令tan x =t ,则t ∈[-1,1]. ∴y =-t 2+4t +1=-(t -2)2+5,t ∈[-1,1].易知函数在[-1,1]上单调递增,∴当t =-1,即x =-π4时,y min =-4,当t =1,即x =π4时,y max =4.故所求函数的值域为[-4,4]. 16. 奇 解析:由tan x +1tan x -1>0,得tan x >1或tan x <-1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π-π2,k π-π4∪⎝⎛⎭⎫k π+π4,k π+π2(k ∈Z )关于原点对称. f (-x )+f (x )=lg tan -x +1tan -x -1+lg tan x +1tan x -1=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫-tan x +1-tan x -1·tan x +1tan x -1=lg1=0. ∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.17.,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭k Z ∈ 解析:令26x π-=2k π (k Z ∈),得412k x ππ=+ (k Z ∈),∴对称中心的坐标为(,1)()412k k Z π+∈π. 18.14- 解析:因为函数tan 4y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以0ω<,23ππω≥,则302ω-≤<,又因为函数在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3所以,343k k Z πππωπ-+=+∈,即13,4k k Z ω=--∈,所以14ω=-.。

【高一】高一数学上册第一章课堂练习题(有答案)

【高一】高一数学上册第一章课堂练习题(有答案)

【高一】高一数学上册第一章课堂练习题(有答案)第ⅰ卷(选择题共60分)一、多项选择题(本主题共有12个子题,每个子题得5分,共60分。

在每个子题给出的四个选项中,符号题只需要一个选项。

)1.已知集合a={0,1,2,3,4,5},b={1,3,6,9},c={3,7,8},则(a∩b)∪c等于( )a、 {0,1,2,6,8}b、 {3,7,8}c.{1,3,7,8}d.{1,3,6,7,8}[答:]C[解析] a∩b={1,3},(a∩b)∪c={1,3,7,8},故选c.2.(09?陕西文本)定义在R上的偶数函数f(x)满足:对于任何x1,X2∈ [0, + ∞) (x1)≠ x2),如果f(x2)-f(x1)x2-x1<0,那么()a.f(3)c、 f(-2)[答案] a[分析]如果x2-X1>0,则f(x2)-f(X1)<0,即f(x2)‡f(x)是[0,+∞),∵3>2>1,∴f(3)其中f(x)是偶数函数,f(-2)=f(2),∴f(3)3.表中显示了F(x)和G(x)的相应值x01-1f(x)10-1x01-1g(x)-101则f(g(1))的值为( )a、-1b.0c.1d.不存在[答:]C[解析] ∵g(1)=0,f(0)=1,∴f(g(1))=1.4.如果已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式为()a.3x+2b.3x+1c、 3x-1d.3x+4[答案] c[分析]设x+1=t,然后x=t-1,∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1.5.如果f(x)=2x-1(x≥ 2) -x2+3x(x<2),F(-1)+F(4)的值为()a.-7b.3c、-8d.4[答案] b【分析】f(4)=2×4-1=7,f(-1)=-1)2+3×1=-4,——(4)+f(-1)=3,所以选择B6.f(x)=-x2+mx在(-∞,1]上是增函数,则m的取值范围是( )a、 {2}b.(-∞,2]c.[2,+∞)d.(-∞,1][答:]C[解析] f(x)=-(x-m2)2+m24的增区间为(-∞,m2],由条件知m2≥1,∴m≥2,故选c.7.定义集合a和集合B={XX的运算a*B∈ a、或者X∈ B、 X呢?A.∩ B} ,那么(a*B)*a等于()a.a∩bb.a∪bc、广告[答案] d【分析】a*B的本质是集合a和集合B的组合。

高一数学 课堂训练3-5

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第3章 第5节时间:45分钟 满分:100分一、选择题(每小题7分,共42分)1. [2012·福建质检]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =1,c =42,B =45°,则sin C 等于( )A. 441 B. 45 C.425D.44141答案:B解析:由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =1+32-82×22=25,b =5. 所以cos C =a 2+b 2-c 22ab =-35,sin C =1-cos 2C =45.2. [2011·四川]在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,则A 的取值范围是( ) A. (0,π6]B. [π6,π)C. (0,π3]D. [π3,π)答案:C解析:根据正弦定理,由sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C 得a 2≤b 2+c 2-bc , 根据余弦定理cos A =b 2+c 2-a 22bc ≥bc 2bc =12,又0<A <π,∴0<A ≤π3,故选C.3.一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处,则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B .346海里/小时 C.1722海里/小时 D .342海里/小时 答案:A解析:如图所示,在△PMN 中,PM sin45°=MNsin120°,∴MN =68×32=346, ∴v =MN 4=1726(海里/小时). 4. [2012·福建厦门质检]在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a =1,b =3,则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32D. 2答案:C解析:由角A 、B 、C 依次成等差数列,得A +C =2B ,解得B =π3.由余弦定理得(3)2=1+c 2-2c cos π3,解得c =2.于是,S △ABC =12ac sin B =12×1×2sin π3=32.5. [2012·广东揭阳一模]如图,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50 m ,∠ACB =45°,∠CAB =105°后,就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A. 50 2 mB. 50 3 mC. 25 2 mD.2522m 答案:A解析:由正弦定理得AB sin ∠ACB =ACsin B ,∴AB =AC ·sin ∠ACBsin B=50×2212=50 2 (m).6. [2011·天津]如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB =AD,2AB =3BD ,BC =2BD ,则sin C 的值为( )A. 33B. 36C.63D.66答案:D解析:设BD =a ,则BC =2a ,AB =AD =32a . 在△ABD 中,由余弦定理,得 cos A =AB 2+AD 2-BD 22AB ·AD =(32a )2+(32a )2-a 22×32a ·32a=13. 又∵A 为△ABC 的内角,∴sin A =223.在△ABC 中,由正弦定理得,BC sin A =ABsin C .∴sin C =AB BC ·sin A =32a2a ·223=66.二、填空题(每小题7分,共21分)7. [2011·安徽]已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC 的面积为__________.答案:15 3解析:由题意设△ABC 三边长分别为a -4,a ,a +4, 则cos120°=a 2+(a -4)2-(a +4)22a (a -4),解得a =10,则S △ABC =126×10×sin120°=15 3.8. [2012·大连联考]如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ,测得∠BDC =45°,则塔AB 的高是__________米.答案:10 6解析:在△BCD 中,CD =10,∠BDC =45°,∠BCD =15°+90°=105°,∠DBC =30°,BC sin45°=CD sin30°,BC =CD sin45°sin30°=10 2.在Rt △ABC 中,tan60°=AB BCAB =BC tan60°=10 6. 9. [2011·课标全国]在△ABC 中,B =60°,AC =3,则AB +2BC 的最大值为__________. 答案:27解析:令AB =c ,BC =a ,则由正弦定理得a sin A =c sin C =AC sin B =332=2,则c =2sin C ,a =2sin A ,且A +C =120°,故AB +2BC =c +2a =2sin C +4sin A =2sin C +4sin(120°-C ) =2sin C +4(32cos C +12sin C )=4sin C +23cos C =27sin(C +φ)(其中tan φ=32). 故当C +φ=90°时,AB +2BC 取最大值为27. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10.[2011·湖南]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足c sin A =a cos C . (1)求角C 的大小;(2)求3sin A -cos(B +π4)的最大值,并求取得最大值时角A ,B 的大小.解:(1)由题意及正弦定理得sin C sin A =sin A cos C . 因为0<A <π,所以sin A >0. 从而sin C =cos C . 又cos C ≠0,所以tan C =1,则C =π4(2)由(1)知,B =3π4-A .于是3sin A -cos(B +π4=3sin A -cos(π-A )=3sin A +cos A=2sin(A +π6),因为0<A <3π4,所以π6<A +π6<11π12.从而当A +π6=π2,即A =π3时,2sin(A +π6)取最大值2.综上所述,3sin A -cos(B +π4)的最大值为2,此时A =π3,B =5π12.11. [2012·山东临沂一模]在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A 、B 、C 的对边,且2a sin A =(2b -c )sin B +(2c -b )sin C .(1)求角A 的大小;(2)若sin B +sin C =3,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由2a sin A =(2b -c )sin B +(2c -b )sin C , 得2a 2=(2b -c )b +(2c -b )c ,即bc =b 2+c 2-a 2, ∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =12,∴A =60°.(2)∵A +B +C =180°,∴B +C =180°-60°=120°. 由sin B +sin C =3,得sin B +sin(120°-B )=3, ∴sin B +sin120°cos B -cos120°sin B = 3. ∴32sin B +32cos B =3,即sin(B +30°)=1. ∵0°<B <120°,∴30°<B +30°<150°.∴B +30°=90°,B =60°. ∴A =B =C =60°,△ABC 为正三角形.12. [2012·郑州一测]某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点A 、B 两地相距100米,∠BAC =60°,在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒.A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°,A 地测得最高点H 的仰角为30°,求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)解:由题意,设|AC |=x ,则|BC |=x -217×340=x -40,在△ABC 内,由余弦定理:|BC |2=|BA |2+|CA |2-2|BA |·|CA |·cos ∠BAC , 即(x -40)2=x 2+10000-100x ,解得x =420.在△ACH 中,|AC |=420,∠CAH =30°+15°=45°,∠CHA =90°-30°=60°, 由正弦定理:|CH |sin ∠CAH =|AC |sin ∠AHC ,可得|CH |=|AC |·sin ∠CAHsin ∠AHC=140 6.答:该仪器的垂直弹射高度CH 为1406米.。

高一数学:函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

高一数学:函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

第3讲 函数的单调性教学内容一、知识梳理单调性定义设函数y =)(x f 的定义域为A ,区间A M ⊆.如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2,改变量12x x x -=∆>0,则 当)()(12x f x f y -=∆>0时,就称函数)(x f 在区间M 上是增函数; 当)()(12x f x f y -=∆<0时,就称函数)(x f 在区间M 上是增函数. 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间).二、方法归纳在同一单调区间上,两个增(减)函数的和仍为增(减)函数,但单调性相同的两个函数的积未必是增函数.设[]b a x x ,,21∈,若有 (1)2121)()(x x x f x f -->0,则有[]b a x f ,)(在上是增函数.(2)2121)()(x x x f x f --<0,则有[]b a x f ,)(在上是减函数.在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内,增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数; 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数; 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数; 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数. 函数的单调性常应用于如下三类问题: (1)利用函数的单调性比较函数值的大小.(2)利用函数的单调性解不等式,常见题型是,已知函数的单调性,给出两 个函数的大小,求含于自变量中的某个特定的系数,这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”,以实现不等式间的转化.(3)利用函数的单调性确定函数的值域,求函数的最大值和最小值. 若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递增,则函数值域为()(a f ,)(b f );若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递减,则函数值域为()(b f ,)(a f ); 若函数)(x f y =在定义域[]b a , 上递增,则函数值域为 [)(a f ,)(b f ] ; 若函数)(x f y =在定义域 []b a , 上递减,则函数值域为 [)(b f ,)(a f ]; 若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递增,则函数的最大值为)(b f ,最小值为)(a f ;若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递减,则函数的最大值为)(a f ,最小值为)(b f ;三、典型例题精讲[例1]若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数,对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是( )A. 在()+∞∞-,上是增函数B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数,在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数,得 a <0,又函数xby -=在()+∞,0上是减函数,得 b <0, 于是,函数3ax ,bx 在()+∞∞-,上都是减函数, ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数,故选C .【技巧提示】 熟悉函数ax y =,3ax y =,bx y =,xby =的单调性与a 、b 的符号的关系,就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性.[例2]求函数31)(--+=x x x f 的最大值.解析:由31431)(-++=--+=x x x x x f ,知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3,+∞ )上是减函数. 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f .【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化,当然函数定义域是必须考虑的.又例 已知[]1,0∈x ,则函数x x y --+=12的值域是 .解析:∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增,∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f .即[]3,12-.再例 求函数x x y 21++=的值域.解析:∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数,∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21.[例3]函数)(x f 在R 上为增函数,求函数)1(+=x f y 单调递减区间. 解析:令1+=x u ,则u 在(-∞,-1]上递减, 又函数)(x f 在R 上为增函数,∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(-∞,-1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子,同时又含有抽象函数.只要知道函数1+x 的单调性,)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同.如果变函数)(x f 在R 上为减函数,那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反,即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(-∞,-1].又例 设函数)(x f 在R 上为减函数,求函数)1(xf y =单调区间. 再例 设函数)(x f 在R 上为增函数,且)(x f >0,求证函数)(1x f y =在R 上单调递减.[例4]试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析:设120x x >> ,()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x ->故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->,此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数,同理可证函数()f x在⎛⎝上为减函数.【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型,要引起足够的重视.事实上,函数()()0,0b f x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭,减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数,在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”.又例:求函数4522++=x x y 的最小值.解析:由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数,易求函数4522++=x x y 的最小值为25为所求. 再例:已知函数()[)+∞∈++=,1,22x xax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f >0恒成立,试求a 的取值范围.解析:由)(x f = [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a >0时, ()2++=xa x x f 显然有)(x f >0 在[)∞+.1恒成立; a ≤0时,由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数,只需)(x f 的最小值)1(f =3+a >0,解之,a >-3.∴当a >-3时,)(x f >0在[)+∞,1上恒成立.[例5]已知)(x f 是定义在R 上的增函数,对x ∈R 有)(x f >0,且)10(f =1,设)(x F =)(1)(x f x f +,讨论)(x F 的单调性,并证明你的结论. 解析:在R 上任取1x 、2x ,设1x <2x ,∴)(2x f >)(1x f ,],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数,且)10(f =1,∴当x <10时0<)(x f <1,而当x >10时)(x f >1; ① 若1x <2x <10,则0<)(1x f < )(2x f <1, ∴0< )(1x f )(2x f <1, ∴)()(1121x f x f -<0,∴)(2x F <)(1x F ;② 2x >1x >10,则)(2x f >)(1x f >1 , ∴)(1x f )(2x f >1, ∴)()(1121x f x f ->0, ∴ )(2x F >)(1x F ;综上,)(x F 在(-∞,10)为减函数,在(10,+∞)为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题,用单调性定义解决是关键.[例6]已知113a ≤≤,若2()21f x ax x =-+在区间[1,3]上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,令()()()g a M a N a =-.(1)求函数()g a 的表达式; (2)判断函数()g a 在区间[31,1]上的单调性,并求()g a 的最小值. 解析:(1)∵131≤≤a ∴ 函数()f x 的图像为开口向上的抛物线,且对称轴为].3,1[1∈=ax ∴()f x 有最小值aa N 11)(-= .当2≤a 1≤3时,a ∈[)(],21,31x f 有最大值()()11M a f a ==-; 当1≤a 1<2时,a ∈()(],1,21x f 有最大值M (a )=f (3)=9a -5;∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=).121(169),2131(12)(a a a a a a a g(2)设1211,32a a ≤<≤则 121212121()()()(1)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=-->∴> ∴ ]21,31[)(在a g 上是减函数.设1211,2a a <<≤ 则121212121()()()(9)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=--<∴< ∴ ]1,21()(在a g 上是增函数. ∴当12a =时,()g a 有最小值21. 【技巧提示】 当知道对称轴为]3,1[1∈=ax 后,要求2()21f x ax x =-+在区间[1,3]上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,就必须分类讨论.本题对培养学生分类讨论的思想有很好的作用.第(2)问讨论一个分段函数的单调性并求最值,也具有一定的典型性.四、课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述,正确的是( ) A 、在(-∞,+∞)上是增函数; B 、在(-∞,0)∪(0,+∞)上是增函数; C 、在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数; D 、在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数 2、证明函数()x f =2x 在[0,+∞)上是增函数.3、证明函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数. 4、对于任意R x ∈,函数()x f 表示3+-x ,2123+x ,342+-x x 中的较大者,则()x f 的最小值是_____________.5、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数,求证:))((x g f 在R 上也是增函数.6、已知函数()()2223f x x x =+-,那么( )A .()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B .()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C .()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D .()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数7、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数,则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ;函数y =递减区间是9、设()y f x =是R 上的减函数,则()3y fx =-的单调递减区间为10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值.11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ,求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值.12、讨论函数()f x =)0(12≠-a x ax,在-1<x <1上的单调性. 五、参考答案1.D 2.略 3.解析:设1x >2x ≥21, 则 )(2x f -)(1x f =2214x x +-(1114x x +) =212112)(4x x x x x x -+-=21211214)(x x x x x x -⋅-, ∵ 012<-x x ,4121>x x , ∴ )(2x f -)(1x f <0∴ 函数x x y 14+= 在),21[+∞上是增函数. 4.25.证明:设1x >2x ,则)(1x f -)(2x f >0,)(1x g -)(2x g >0, 即 )(1x g >)(2x g于是 ))((1x g f -))((2x g f >0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6.C 7.]1,0[ 8.)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9.),3[+∞10.解析:函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ,当 0<a 时,)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f =)0(f =-1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f =)2(f =a 43-; 当 10<≤a 时,)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f =)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f =)2(f =a 43-; 当 21<≤a 时,)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f =)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f =)0(f =-1; 当 2≥a 时,)(x f 在区间上的最小值为)(min x f =)2(f =a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f =)0(f =-1; 11.解析:因为函数22)(2+-=x x x f =1)1(2+-x 当t ≤0时,最小值)(t g =)1(+t f =12+t ; 当0<t ≤1时,最小值)(t g =)1(f =1; 当t >1时,最小值)(t g =)(t f =222+-t t ;∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ,)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g =10;最小值为)2(-g =5.12.解析:函数)(x f =12-x ax =xx a 1- 作函数xx x g 1)(-=, )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数, ∴ 当a <0时,)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数; 当a >0时,)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数.。

弧度制及其与角度制的换算 高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)

弧度制及其与角度制的换算  高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)

【解析】设30°角的弧度数为,则

30
=
180


所以 = ,即30° = .
6
6
对应终边为右图中射线OA.

,60°
4

.
3
类似地,可得45° =
=
对应的终边分别为右图中射线OB,OC.
y
O

3
C

4
B
6
A
x
记住一些常见的角度与弧度制的换算:

弧度
注:
0º 30º 45º 60º 90º 120º
r
1rad
r
这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.
由弧度制的定义可知,在半径为的圆中,若弧长为的弧所对
的圆心角为 ,则

弧长公式:
=
=

探究点3:角度制与弧度制的换算
思考:(1)按照定义,一个圆周对应的弧度数是多少?
(2)一般地,弧度制与角度制之间怎样进行换算? 57 18 1 rad

=∙



可以看出,等式右端不包含半径,表示弧长与半径的比值与半径
无关,只与α的大小有关.当为定值时,这个比值也是定值.
【结论】可以用圆的半径作单位去度量弧.
探究点2:弧度制的定义:
我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
1弧度的角,弧度记作rad.
= =
=
1

2

3
=

,所以
3
50
∙ 50= (米)
3
1 50
1250

高一数学上册1章课堂练习题(附答案)

高一数学上册1章课堂练习题(附答案)

高一数学上册1章课堂练习题(附答案)1章末一、选择题1.已知集合M={y|y=ax+b,a≠0,x∈R}和集合P={(x,y)|y=ax+b,a≠0,x∈R},下列关于它们的关系结论正确的是()A..C.M=PD.M∩P=∅答案]D解析]前者表示的是一个一次函数的值的集合,其中的元素是一元实数y,而后者则是一个以一次函数的图象上的点(x,y)为元素的集合,因此也就不具有包含、相等关系了,故选D.2.设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z且|x|≤5},则A∪B 中元素的个数是()A.11B.10C.16D.15答案]C解析]B={x|-5≤x≤5,x∈Z},A∪B={x|-10≤x≤5,x∈Z}中共有16个元素.3.奇函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且在(-∞,0)上递减,若abA.f(a)+f(b)C.f(a)+f(b)>0D.f(a)+f(b)≥0答案]B解析]∵f(x)为奇函数,且在(-∞,0)上是减函数∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.∵ab不妨设b0,又a+b≥0∴a≥-b>0∴f(a)≤f(-b)又f(-b)=-f(b)∴f(a)+f(b)≤0.4.设集合M={x|m≤x≤m+34},N={x|n-13≤x≤n},且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512答案]C解析]由题意知n-13≥0n≤1∴13≤n≤1,同理0≤m≤14.借助数轴可知M∩N的长度在n=1,m=0时,有最小“长度”值为34-23=112.*5.若f(x+1)的定义域为-2,3],则f(2x-1)的定义域为()A.0,52]B.-1,4]C.-5,5]D.-3,7]答案]A解析]∵-2≤x≤3,∴-1≤x+1≤4,∴f(x)的定义域为-1,4].∴要使f(2x-1)有意义,须满足-1≤2x-1≤4,∴0≤x≤52.6.(09•四川文)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f52的值是()A.0B.12C.1D.52答案]A解析]由xf(x+1)=(1+x)f(x)得-12f12=12f-12,∴-f12=f-12=f12,∴f12=0,又12f32=32f12,32f52=52f32,∴f32=0,f52=0,故选A.*7.某汽车运输公司购买了一批新型大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N*)满足二次函数关系如图,则每辆客车营运________年,其营运年平均利润最大() A.4B.5C.6D.7答案]D解析]由题图可设y=a(x-8)2+15过点(6,11),∴11=a(6-8)2+15,∴a=-1,∴y=-(x-8)2+15,即y=-x2+16x-49.年平均利润u=yx=-x-49x+16=16-x+49x,∵x∈N*,∴x>0,此函数在(0,7]上是增函数,在7,+∞)上是减函数.∴当x=7时,umax=2,∴每辆客车营运7年,其年平均利润最大.二、解答题8.设f(x)=x2+ax+b,A={x|f(x)=x}={a},由元素(a,b)构成的集合为M,求M.分析]认真分析A={x|f(x)=x}={a}的含义,解题思路呼之即出.从A={a}知集合A中有且仅有一个元素a,从A={x|f(x)=x}知,集合A中的元素是方程f(x)=x的解.由此即知方程f(x)=x有且仅有一个实根a,即关于x的一元二次方程f(x)=x有两相等实根a.解析]由题意知,方程f(x)=x有且仅有一个实数根a,即x2+(a-1)x+b=0仅有一实根a,∴(a-1)2-4b=0a2+(a-1)a+b=0解之得:a=13,b=19,∴M={(13,19)}.9.已知y=f(x)满足f(-x)=-f(x),它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)解析]任取x1、x2∈(-∞,0)且x1-x2>0,因为y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)所以f(-x2)又因为f(x)满足f(-x)=-f(x).所以f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)-F(x2)=1f(x1)-1f(x2)=f(x2)-f(x1)f(x1)•f(x2)>0,即F(x1)>F(x2).所以F(x)=1f(x)在(-∞,0)上是减函数.*10.若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.(1)若A∩B=A∪B,求a的值;(2)若∅A∩B,A∩C=∅,求a的值.解析]由已知得:B={2,3},C={2,-4}(1)∵A∩B=A∪B∴A=B于是2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根,由韦达定理知2+3=a2×3=a2-19解之得a=5.(2)由∅A∩B,A∩C=∅得3∈A,2∉A,-4∉A由3∈A得32-3a+a2-19=0解得a=5或a=-2当a=5时,A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与2∉A矛盾,当a=-2时,A={x|x2+2x-15=0}={3,-5},符合题意,∴a=-2.。

人教版数学高一必修2学案 -4 平面与平面之间的位置关系

人教版数学高一必修2学案 -4 平面与平面之间的位置关系

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系目标定位 1.掌握直线与平面之间的三种位置关系,会用图形语言和符号语言表示.2.掌握平面与平面之间的两种位置关系,会用图形语言和符号语言表示.自主预习1.直线与平面的位置关系位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线与平面相交有且只有一个公共点a∩α=A直线与平面平行没有公共点a∥α2.两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β=l 有一条公共直线1.判断题(1)若直线a在平面α外,则直线a∥α.(×)(2)若平面α内存在直线与平面β无交点,则α∥β.(×)(3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点,则α∥β.(√)(4)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面.(×) 提示(1)直线a在平面α外,则直线a∥α或a与α相交.(2)α与β可能平行,也可能相交.(4)若α∩β=b,且a∥b,则有a∥α且a∥β,或a⊂α,或a⊂β.2.若直线l与平面α不平行,则()A.l与α相交B.l⊂αC.l与α相交或l⊂αD.以上结论都不对解析若l与α不平行,则l与α相交或l⊂α.答案 C3.若两个平面互相平行,则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是()A.线面平行B.线面相交C.线在面内D.无法确定解析两面平行时,两个平面没有公共点,在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点,所以它们平行.答案 A4.两条直线不相交,则两条直线可能平行或者异面;如果两个平面不相交,则两个平面________.解析两个平面之间的位置关系有且只有两种:平行或相交.答案平行类型一直线与平面的位置关系(互动探究)【例1】以下命题(其中a,b表示直线,α表示平面),①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b⊂α,则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3[思路探究]探究点一空间中直线与平面的位置关系有哪几种?提示空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.探究点二判断直线与平面的位置关系的策略是什么?提示判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断,通过特例排除错误命题.对于正确命题,根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断.要注意多种可能情形.解析如图所示在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB∥CD,AB⊂平面ABCD,但CD⊂平面ABCD,故①错误;A′B′∥平面ABCD,B′C′∥平面ABCD,但A′B′与B′C′相交,故②错误;AB∥A′B′,A′B′∥平面ABCD,但AB⊂平面ABCD,故③错误;A′B′∥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,但A′B′与BC异面,故④错误.答案 A规律方法 1.本题在求解时,常受思维定势影响,误以为直线在平面外就是直线与平面平行.2.判断直线与平面位置关系的问题,其解决方式除了定义法外,还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.【训练1】下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α②若直线a在平面α外,则a∥α③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α④若直线a∥b,直线b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线其中假命题的序号是________.解析对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α,∴①是假命题;对于②,∵直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行,∴②是假命题;对于③,∵直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α,∴③是假命题;对于④,∵a∥b,b⊂α,那么a⊂α或a∥α,所以a可以与平面α内的无数条直线平行,∴④是真命题.答案①②③类型二平面与平面的位置关系【例2】给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行;④若两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交或重合.A.0B.1C.3D.4解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于①,在平面A1D1DA中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1、DD1的中点E,F,连接EF,则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题①错;对于②,在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D中,与A1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故②是错误的;对于③,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AA1,DD1,BB1,CC1的中点E,F,G,H,A1,B,C到平面EFHG的距离相等,而△A1BC与平面EFHG相交,故③是错误的;对于④,两平面位置关系中不存在重合,若重合则为一个平面,故命题④错.规律方法(1)判断两平面的位置关系或两平面内的线线,线面关系,我们常根据定义,借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.(2)反证法也用于相关问题的证明.【训练2】如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不能确定解析如图所示,由图可知C正确.答案 C[课堂小结]1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式(1)按公共点的个数分类⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面平行(直线与平面没有公共点)直线与平面不平行⎩⎨⎧直线与平面相交(直线与平面有唯一公共点)直线在平面内(直线与平面有无数公共点)(2)按是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内直线在平面外⎩⎨⎧直线与平面相交直线与平面平行2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交解析直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.2.若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析∵M∈平面α,M∈平面β,∴α与β相交于过点M的一条直线.答案 B3.下列命题:①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.其中错误命题的序号为________.解析对于①,两个平面相交,则有一条交线,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误.答案①②4.如图所示,平面ABC与三棱柱ABC-A1B1C1的其他面之间有什么位置关系?解∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点,∴平面ABC与平面A1B1C1平行.∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB,∴平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.基础过关1.若a,b是异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行解析如图所示,选D.答案 D2.如果平面α外有两点A、B,它们到平面α的距离都是a,则直线AB和平面α的位置关系一定是()A.平行B.相交C.平行或相交D.AB⊂α解析结合图形可知选项C正确.答案 C3.α、β是两个不重合的平面,下面说法正确的是()A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行,那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β解析A、B都不能保证α、β无公共点,如图①;C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②;只有D说明α、β一定无公共点,故选D.答案 D4.若a与b异面,则过a与b平行的平面有________个.解析当a与b异面时,如图,过a上任意一点M作b′∥b,则a与b′确定了唯一的平面α,且b∥α,故过a与b平行的平面有1个.答案 15.空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有________条.解析以打开的书页或长方体为模型,观察可得结论.答案1或36.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,则下列直线与平面的位置关系是什么?(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.解(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.7.已知一条直线与一个平面平行,求证:经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.解已知:a∥α,A∈α,A∈b,b∥a.求证:b⊂α.证明如图,∵a∥α,A∈α,∴A∉a,∴由A和a可确定一个平面β,则A∈β,∴α与β相交于过点A的直线,设α∩β=c,由a∥α知,a与α无公共点,而c⊂α,∴a与c无公共点.∵a⊂β,c⊂β,∴a∥c.又已知a∥b,且A∈b,A∈c,∴b与c重合.∴b⊂α.能力提升8.以下四个命题:①三个平面最多可以把空间分成八部分;②若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a与b相交”与“α与β相交”等价;③若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且a∩b=P,则P∈l;④若n条直线中任意两条共面,则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③解析对于①,正确;对于②,逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”,也可能a∥b;对于③,正确;对于④,反例:正方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故④错.所以正确的是①③.答案 D9.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.答案 B10.如果空间的三个平面两两相交,则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线②必相交于一点③必相交于一条直线④必相交于三条平行线解析空间的三个平面两两相交,可能只有一条交线,也可能有三条交线,这三条交线可能交于一点.答案①11.如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下:∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,∴AB与l一定相交.设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,∴P∈平面ABC,P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,∴直线PC就是平面ABC与β的交线,即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,∴平面ABC与β的交线与l相交.探究创新12.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分?解三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.。

3-4对数

3-4对数

第三章 ·§4
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
(1)因为 54=625,所以 log5625=4. 1 log416=-2.
1- (2)因为4 2=16,所以
(3)因为 70=1,所以 log71=0. (4)因为 log1
2
1 - 8=-3,所以2 3=8.
一、注意对数概念、性质的学习和运用. 1.弄清对数式与指数式的互化是掌握对数定义及运算的 关键. (1)对数式 logaN=b 是由指数式 ab=N 变化得来的,两式 底数相同,对数式中的真数 N 就是指数式中的幂的值 N,而 对数值 b 是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系如图.
第三章 ·§4
换底公式的应用
[例 3] 已知 log189=a,18b=5,求 log3645 的值.(用含 a,
b 的式子表示) [分析] (1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数
化成同底数的对数,应用对数性质进行计算;(2)题目中有指 数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化.
第三章 ·§4
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
成才之路· 数学
北师大版 ·必修1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
指数函数和对数函数
第三章 指数函数和对数函数
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
§4
对 数
第三章 ·§4
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学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
.
因此,规定 a≠1.
第三章 ·§4
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(4)由于正数的任何次幂都是正数,即 ax>0,因此 N>0. 3.要注意对数的性质“零和负数没有对数,1 的对数为 零,底数的对数为 1”的运用. 二、注意对数运算法则和换底公式的推导和运用. 1. 运用对数的运算法则时, 要注意各个字母的取值范围: M>0,N>0,a>0,a≠1.要注意,只有等式两边的对数都存在 时,等式才能成立.

上海高一空中课堂回放数学第三单元

上海高一空中课堂回放数学第三单元

上海高一空中课堂回放数学第三单元(实用版)目录1.上海高一空中课堂回放数学第三单元2.空中课堂的定义和作用3.上海高一空中课堂的具体内容4.数学第三单元的主要内容5.回放数学第三单元的意义和价值正文1.上海高一空中课堂回放数学第三单元上海高一空中课堂回放数学第三单元,是指在上海市高一年级的空中课堂教学中,对数学第三单元的内容进行回放。

这种回放方式为学生提供了一种复习和巩固知识的途径,有利于提高学生的学习效果。

2.空中课堂的定义和作用空中课堂,又称网络课堂,是指利用网络技术,在互联网上开展教学活动的一种新型教学方式。

空中课堂的作用主要体现在:突破时间和空间的限制,让学生在家也能进行学习;提供丰富的学习资源,满足学生个性化学习需求;为学生和教师提供便捷的沟通平台,提高教学质量。

3.上海高一空中课堂的具体内容上海高一空中课堂涵盖了语文、数学、英语、物理、化学、生物等各个学科。

每门学科都按照教材和教学大纲进行编排,学生可以根据需要选择相应的课程进行学习。

同时,空中课堂还提供了课堂实录、教学视频、课件资料等多种教学资源,帮助学生更好地理解和掌握知识。

4.数学第三单元的主要内容数学第三单元的主要内容包括:函数的基本概念、函数的性质、函数的图像、函数的奇偶性、函数的单调性等。

这些内容是高中数学的基础知识,对于后续学习具有重要意义。

5.回放数学第三单元的意义和价值回放数学第三单元的意义和价值主要体现在以下几个方面:(1)帮助学生巩固知识。

通过回放数学第三单元的内容,学生可以对自己掌握的知识进行复习,找出知识盲点,提高学习效果。

(2)提供个性化学习方式。

学生可以根据自己的学习进度和需求,选择合适的课程和资源进行学习,实现个性化学习。

(3)提高教学质量。

回放教学内容有助于学生和教师之间的沟通交流,教师可以根据学生的学习情况,调整教学策略,提高教学质量。

《精品》20182019版数学高一、高二同步系列课堂讲义人教A版必修5第三章不等式3.4一

《精品》20182019版数学高一、高二同步系列课堂讲义人教A版必修5第三章不等式3.4一

§3.4 基本不等式:ab ≤a +b2(一)学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明(重点);2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小;3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).预习教材P97-98完成下列问题: 知识点 重要不等式与基本不等式【预习评价】1.(1)基本不等式中的a ,b 可以是代数式吗? (2)a +b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22≥ab 是等价的吗? 提示 (1)可以.但代数式的值必须是正数,否则不成立. (2)不等价,前者条件是a >0,b >0,后者是a ,b ∈R . 2.下列不等式正确的是( ) A.a +1a ≥2 B.(-a )+⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a ≤-2C.a 2+1a 2≥2D.(-a )2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a 2≤-2解析 ∵a 2>0,故a 2+1a 2≥2成立. 答案 C题型一 利用基本不等式比较大小【例1】 设0<a <b ,则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a +b2B.a <ab <a +b2<bC.a <ab <b <a +b2 D.ab <a <a +b2<b解析 法一 ∵0<a <b ,∴a <a +b2<b ,排除A ,C 两项.又ab -a =a (b -a )>0,即ab >a ,排除D 项,故选B.法二 取a =2,b =8,则ab =4,a +b 2=5,所以a <ab <a +b2<b . 答案 B规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积),同时要注意结合函数的性质(单调性).(2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a >0,b >0. 【训练1】 (1)已知m =a +1a -2(a >2),n =22-b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是( ) A.m >nB.m <nC.m =nD.m ≥n(2)若a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg a +b 2,则P ,Q ,R 的大小关系是________.解析 (1)因为a >2,所以a -2>0,又因为m =a +1a -2=(a -2)+1a -2+2,所以m ≥2(a -2)·1a -2+2=4,由b ≠0,得b 2≠0,所以2-b 2<2,n =22-b 2<4, 综上可知m >n . (2)因为a >b >1, 所以lg a >lg b >0,所以Q =12(lg a +lg b )>lg a ·lg b =P ;Q =12(lg a +lg b )=lg a +lg b =lg ab <lg a +b 2=R .所以P <Q <R . 答案 (1)A (2)P <Q <R 题型二 用基本不等式证明不等式【例2】 已知a ,b ,c 为正数,且a +b +c =1,证明:1a +1b +1c ≥9.证明 1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b +a +b +c c=3+(b a +a b )+(c a +a c )+(c b +b c ) ≥3+2+2+2=9.当且仅当a =b =c =13时,等号成立.规律方法 在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式. 【训练2】 已知a ,b ,c 为正数,且a +b +c =1, 证明:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc .证明 (1-a )(1-b )(1-c )=(b +c )(a +c )(a +b ) ≥2bc ·2ac ·2ab =8abc . 当且仅当b =c =a =13时,等号成立.课堂达标1.已知a >0,b >0,则1a +1b +2ab 的最小值是( )A.2B.2 2C.4D.5解析 ∵a >0,b >0, ∴1a +1b +2ab ≥21ab +2ab ≥41ab ·ab =4, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a =1b ,1ab =ab ,即a =b =1时,等号成立.答案 C2.若0<a <b 且a +b =1,则下列四个数中最大的是( ) A.12 B.a 2+b 2 C.2abD.a解析 a 2+b 2=(a +b )2-2ab ≥(a +b )2-2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22=12. a 2+b 2-2ab =(a -b )2≥0,∴a 2+b 2≥2ab . ∵0<a <b 且a +b =1,∴a <12.∴a 2+b 2最大. 答案 B3.设a 、b 是实数,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是( ) A.6 B.4 2 C.2 6D.8解析 ∵a +b =3,∴2a +2b ≥22a ·2b =22a +b =28=42, 当且仅当a =b =32时,“=”成立. 答案 B4.设a >0,b >0,给出下列不等式: ①a 2+1>a ;②⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b ≥4;③(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b ≥4;④a 2+9>6a .其中恒成立的是________(填序号).解析 由于a 2+1-a =⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+34>0,故①恒成立;由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a +1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b +1b =ab +1ab +b a +a b ≥2ab ·1ab +2b a ·ab =4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab =1ab ,b a =a b ,即a =b =1时,“=”成立,故②恒成立; 由于(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =2+b a +a b ≥2+2b a +a b =4.当且仅当a b =b a ,那么a =b =1时“=”成立,故③恒成立;当a =3时,a 2+9=6a ,故④不恒成立. 综上,恒成立的是①②③. 答案 ①②③课堂小结1.两个不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2≥ab 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当…时,取‘=’”这句话的含义要有正确的理解.一方面:当a =b 时,a +b2=ab ;另一方面:当a +b2=ab 时,也有a =b .2.在利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式,以便于利用基本不等式.基础过关1.若a ,b ,c >0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值是( ) A.3-1 B.3+1 C.23+2D.23-2解析 由a (a +b +c )+bc =4-23⇒a (a +b )+(a +b )c =(a +b )(a +c )=4-23, 而2a +b +c =(a +b )+(a +c ) ≥2(a +b )(a +c )=24-23=2(3-1)=23-2.∴当且仅当a +b =a +c ,即b =c 时等号成立. 答案 D2.已知等比数列{a n }的各项均为正数,公比q ≠1,设P =a 3+a 92,Q =a 5·a 7,则P 与Q 的大小关系是( ) A.P >Q B.P <Q C.P =QD.无法确定 解析 P =a 3+a 92>a 3·a 9=a 5·a 7=Q . 答案 A3.a ,b ∈R ,则判断大小关系:a 2+b 2________2|ab |.( )A.≥B.=C.≤D.>解析 由基本不等式a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|a ||b |=2|ab |, 当且仅当|a |=|b |时,等号成立. 答案 A4.不等式a 2+4≥4a 中,等号成立的条件为________. 解析 令a 2+4=4a ,则a 2-4a +4=0, ∴a =2. 答案 a =25.若正数a ,b 满足ab =a +b +3,则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a >0,b >0, ∴ab =a +b +3≥2ab +3, 即ab -2ab -3≥0, 解得ab ≥3,即ab ≥9. 答案 [9,+∞)6.设a ,b ,c 都是正数,求证:bc a +ca b +abc ≥a +b +c . 证明 ∵a ,b ,c 都是正数,∴bc a ,ca b ,abc 也都是正数. ∴bc a +ca b ≥2c ,ca b +ab c ≥2a ,bc a +abc ≥2b ,三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a +ca b +ab c ≥2(a +b +c ),即bc a +ca b +abc ≥a +b +c . 当且仅当a =b =c 时,等号成立. 7.已知a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1. 求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8.证明 ∵a ,b ,c 均为正实数,且a +b +c =1,∴1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a ,同理1b -1≥2ac b ,1c -1≥2ab c .由于上述三个不等式两边均为正,分别相乘得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥2bc a ·2ac b ·2ab c =8. 当且仅当a =b =c =13时,等号成立.能力提升8.若2m +4n <22,则点(m ,n )必在( ) A.直线x +y =1的左下方 B.直线x +y =1的右上方 C.直线x +2y =1的左下方 D.直线x +2y =1的右上方解析 ∵22>2m +4n ≥22m ·4n =2m2+n +1, ∴m 2+n +1<32, 即m +2n <1,∴(m ,n )在x +2y =1的左下方. 答案 C9.已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,a ,b ∈(0,+∞),A =f ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2,B =f (ab ),C =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a +b ,则A ,B ,C 的大小关系是( ) A.A ≤B ≤C B.A ≤C ≤B C.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A解析 2ab a +b ≤2ab2ab ≤ab ≤a +b 2,又∵f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a +b ≥f (ab )≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2, 即C ≥B ≥A .答案 A10.设正数a ,使a 2+a -2>0成立,若t >0,则12log a t ________log a t +12(填“>”“≥”“≤”或“<”).解析 ∵a 2+a -2>0,∴a >1或a <-2(舍), ∴y =log a x 是增函数,又t +12≥ t ,∴log a t +12≥log a t =12log a t ,当且仅当t =1时取等号. 答案 ≤11.设a ,b 为非零实数,给出不等式:①a 2+b 22≥ab ;②a 2+b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22;③a +b 2≥ab a +b ;④a b +ba ≥2.其中恒成立的不等式有________(填序号).解析 由重要不等式a 2+b 2≥2ab ,可知①正确;a 2+b 22=2(a 2+b 2)4=(a 2+b 2)+(a 2+b 2)4≥a 2+b 2+2ab 4=(a +b )24=⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22,可知②正确;当a =b =-1时,不等式的左边为a +b 2=-1,右边为ab a +b =-12,可知③不正确;当a =1,b =-1时,可知④不正确. 答案 ①②12.已知a ,b ,c 都是非负实数,试比较a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2与2(a +b +c )的大小.解 对a 2+b 2,b 2+c 2,c 2+a 2分别利用不等式2(a 2+b 2)≥(a +b )2,即可比较出二者的大小. 因为a 2+b 2≥2ab , 所以2(a 2+b 2)≥(a +b )2, 当且仅当a =b 时,等号成立. 又因为a ,b 都是非负实数,所以a 2+b 2≥22(a +b ),当且仅当a =b 时,等号成立.同理b 2+c 2≥22(b +c ),当且仅当b =c 时,等号成立,c 2+a 2≥22(c +a ),当且仅当a =c 时,等号成立.所以a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥22[(a +b )+(b +c )+(c +a )]=2(a +b +c ),当且仅当a =b =c 时,等号成立.故a 2+b 2+b 2+c 2+c 2+a 2≥2(a +b +c ).13.(选做题)设实数x ,y 满足y +x 2=0,且0<a <1,求证:log a (a x +a y )<18+log a 2. 证明 ∵a x >0,a y >0, ∴a x +a y ≥2a x +y , 又∵0<a <1,∴log a (a x +a y )≤log a 2a x +y =12log a a x +y +log a 2 =12(x +y )+log a 2. ∵y +x 2=0,∴log a (a x +a y )≤12(x -x 2)+log a 2 =-12(x -12)2+18+log a 2≤18+log a 2,又上式中等号不能同时取到,所以原不等式得证.。

高中数学 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

高中数学 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

【优化课堂】2016秋高中数学 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1[A 基础达标]1.式子log 916·log 881的值为( )A .18 B.118C.83D.38解析:选C.原式=log 3224·log 2334=2log 32·43log 23=83.故选C.2.已知ln 2=a ,ln 3=b ,那么log 32用含a ,b 的代数式表示为() A .a -b B.a bC .abD .a +b解析:选B.因为ln 2=a ,ln 3=b ,所以log 32=ln 2ln 3=a b .3.已知2x =3y ≠1,则x y =( )A .lg 23B .lg 32C .log 32D .log 23解析:选D.令2x =3y =k (k >0且k ≠1),所以x ≠y ≠0,x =log 2k ,y =log 3k ,故x y =log2klog 3k =log k 3log k 2=log 23.4.若log 513·log 36·log 6x =2,则x 等于( )A .9 B.19C .25 D.125解析:选D.由换底公式,得-lg 3lg 5·lg 6lg 3·lgx lg 6=2,lg x =-2lg 5,x =5-2=125.5.若2.5x =1 000,0.25y =1 000,则1x -1y=( ) A.13B .3C .-13D .-3解析:选A.因为x =log 2.51 000,y =log 0.251 000,所以1x =1log 2.51 000=log 1 0002.5, 同理1y =log 1 0000.25,所以1x -1y =log 1 0002.5-log 1 0000.25=log 1 00010=lg 10lg 1 000=13. 6.计算:2723-2log 23×log 218+log 23×log 34=________. 解析:原式=33×23-3×log 22-3+log 23(2log 32)=9+9+2=20. 答案:207.设2a =3b =6,则1a +1b=________. 解析:因为2a =3b=6,所以a =log 26,b =log 36,所以1a +1b =1log 26+1log 36=log 62+log 63=log 66=1. 答案:1 8.若lg x -lg y =a ,则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210-lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210=________. 解析:因为lg x -lg y =a ,所以lg x y =a ,所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210-lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210=10⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2-lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2=10lg x y =10a .答案:10a9.常用对数lg N 和自然对数ln N 之间可以互相转换,即存在实数A ,B 使得lg N =A ·ln N ,ln N =B ·lg N .试求A 、B 的值.解:因为lg N =ln N ln 10,所以A =1ln 10=lg e ,因为ln N =lg N lg e ,所以B =1lg e=ln 10. 10.解不等式9log 3x -7log 49x 2-12>0.解:因为9log 3x =(32)log 3x =32log 3x =3log 3x 2=x 2,又log 49x 2=log 7x 2log 749=log 7x ,所以7log 49x 2=7log 7x =x . 所以原不等式可化为x 2-x -12>0.解得x >4或x <-3.因为真数大于0,故原不等式的解集为{x |x >4}.[B 能力提升]1.设a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( )A .log a b ·log c b =log c aB .log a b ·log c a =log c bC .log a (bc )=log a b ·log a cD .log a (b +c )=log a b +log a c解析:选B.对A ,log a b ·log c b =lg b lg a ·lg b lg c≠log c a ,A 不恒成立;对B ,log a b ·log c a =lg b lg a ·lg a lg c =lg b lg c=log c b ,B 恒成立;对C ,log a (bc )=log a b +log a c ≠log a b ·log a c ,C 不恒成立;对D ,log a b +log a c =log a (bc )≠log a (b +c ).故选B.2.若函数y =2x ,y =5x 与直线l :y =10的交点的横坐标分别为x 1和x 2,则1x 1+1x 2=________.解析:因为2x 1=10,x 1=log 210,5x 2=10,x 2=log 510,所以1x 1+1x 2=1log 210+1log 510=lg 2+lg 5=1. 答案:13.已知a ,b ,c 都是大于1的正数,m >0,且log a m =24,log b m =40,log abc m =12,求log c m 的值.解:因为log a m =24, log b m =40,log abc m =12,所以log m a =124,log m b =140,log m (abc )=112. 因为log m (abc )=log m a +log m b +log m c ,所以log m c =112-124-140=160. 所以log c m =1log m c=60. 4.(选做题)已知x , y ,z 为正数,3x =4y =6z,2x =py .(1)求p 的值;(2)证明:1z -1x =12y. 解:(1)设3x =4y =6z =k (显然k >0且k ≠1),则x =log 3k ,y =log 4k ,z =log 6k .由2x =py 得:2log 3k =p log 4k =p ·log 3k log 34, 因为log 3k ≠0,所以p =2log 34=4log 32.(2)证明:因为1z -1x =1log 6k -1log 3k=log k 6-log k 3=log k 2=12log k 4=12log 4k =12y. 所以原式得证.。

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第3章 第4节时间:45分钟 满分:100分一、选择题(每小题7分,共42分)1. [2011·辽宁]设sin(π4+θ)=13,则sin2θ=( )A. -79B. -19C. 19D. 79答案:A解析:由sin(π4+θ)=13,得22sin θ+22cos θ=13,即sin θ+cos θ=23,两边平方,得1+sin2θ=29,所以sin2θ=-79.2. 已知cos(α-π6)+sin α=453,则sin(α+76π)的值是( )A. -25 3B.235C. -45D. 45答案:C解析:cos(α-π6)+sin α=cos αcos π6+sin αsin π6+sin α=32cos α+32sin α=3sin(α+π6)=45 3.∴sin(α+π6)=45,而sin(α+76π)=-sin(α+π6)=-45.3. [2012·太原部分重点中学联考]已知tan(α+π4)=12,且-π2<α<0,则2sin 2α+sin2αcos (α-π4)=( )A. -255B. -3510C. -31010D. 255答案:A解析:由tan(α+π4)=tan α+11-tan α=12,得tan α=-13.又-π2<α<0,所以sin α=-1010.故2sin 2α+sin2αcos (α-π4)=2sin α(sin α+cos α)22(sin α+cos α)=22sin α=-255.4. [2012·江南十校一模]若将函数y =A cos(x -π6)·sin(ωx +π6)(A >0,ω>0)的图像向左平移π6个单位后得到的图像关于原点对称,则ω的值可能为( )A. 2B. 3C. 4D. 5答案:D解析:f (x )=A cos(x -π6)sin(ωx +π6),则f (x +π6)=A cos x sin(ωx +πω6+π6),即ω·π6+π6=kπ,则ω的值可能为5,故选D.5. [2012·广州六校联考]已知f (x )=cos(π2-x )+3sin(π2+x )(x ∈R ),则函数f (x )的最大值为( )A. 2 3B. 2C. 3D. 1 答案:B解析:∵f (x )=sin x +3cos x =2(12sin x +32cos x )=2(sin x cos π3+cos x sin π3)=2sin(x +π3).∴当sin(x +π3)=1,其中x =2kπ+π6,k ∈Z 时,f (x )取得最大值,其最大值为2,故选B.6. 若α,β∈(0,π2),cos(α-β2)=32,sin(α2-β)=-12,则cos(α+β)的值等于( )A. -32B. -12C. 12D.32 答案:B解析:∵α,β∈(0,π2),∴-π4<α-β2<π2,-π2<α2-β<π4,由cos(α-β2)=32和sin(α2-β)=-12可得α-β2=±π6,α2-β=-π6,当α-β2=-π6,α2-β=-π6时,α+β=0,与α,β∈(0,π2)矛盾;当α-β2=π6,α2-β=-π6时,α=β=π3,此时cos(α+β)=-12,选B.二、填空题(每小题7分,共21分)7. [2012·浙江杭州月考]已知sin(x +π6)=33,则sin(5π6-x )+sin 2(π3-x )=__________.答案:2+33解析:sin(5π6-x )+sin 2(π3-x )=sin[π-(5π6-x )]+cos 2[π2-(π3-x )]=sin(x +π6)+cos 2(x +π6)=sin(x +π6)+1-sin 2(x +π6)=33+1-13=2+33.8. [2012·广东惠州模拟]方程x 2+3ax +3a +1=0(a >0)的两根为tan A ,tan B ,且A ,B ∈(-π2,π2),则A +B =__________. 答案:-3π4解析:由韦达定理得tan A +tan B =-3a ,tan A tan B =3a +1, 则tan(A +B )=tan A +tan B 1-tan A tan B =-3a1-(3a +1)=1.又A ,B ∈(-π2,π2),A +B ∈(-π,π),tan A +tan B =-3a <0,tan A tan B =3a +1>0,所以tan A <0,tan B <0,A ∈(-π2,0),B ∈(-π2,0),A +B ∈(-π,0),所以A +B =-3π4.9. [2012·镇江模拟]已知函数f (x )=sin 2ωx +3sin ωx cos ωx ,x ∈R ,又f (α)=-12,f (β)=12,若|α-β|的最小值为3π4,则正数ω的值为________.答案:13解析:∵f (x )=1-cos2ωx 2+32sin2ωx=12+sin(2ωx -π6), 由题意知f (x )的14个周期为34π,∴14×2π2ω=34π,∴ω=13.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 已知sin(2α-β)=35,sin β=-1213,且α∈(π2,π),β∈(-π2,0),求sin α的值.解:∵π2<α<π,∴π<2α<2π.又-π2<β<0,∴0<-β<π2,π<2α-β<5π2.而sin(2α-β)=35>0,∴2π<2α-β<5π2,cos(2α-β)=45.又-π2<β<0且sin β=-1213,∴cos β=513,∴cos2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β =45×513-35×(-1213) =5665. 又cos2α=1-2sin 2α,∴sin 2α=9130,∵α∈(π2,π),∴sin α=3130130.11. [2011·广东]已知函数f (x )=2sin(13x -π6),x ∈R .(1)求f (5π4)的值;(2)设α,β∈[0,π2],f (3α+π2)=1013,f (3β+2π)=65,求cos(α+β)的值.解析:(1)化简f (54π)=2sin π4=2,可直接求出.(2)化简f (3α+π2)=2sin α=1013,得sin α=513,同理f (3β+2π)=2sin(β+π2)=2cos β=65,∴cos β=35.由α、β都为锐角,可求得cos α、sin β值,再用两角和的余弦公式可求得cos(α+β).解:(1)f (5π4)=2sin(5π12-π6)=2sin π4= 2.(2)f (3α+π2)=2sin α=1013,∴sin α=513.又α∈[0,π2],∴cos α=1213.f (3β+2π)=2sin(β+π2)=2cos β=65,∴cos β=35.又β∈[0,π2],∴sin β=45,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=1665.12. [2012·深圳调研]已知函数f (x )=2sin(ωx -π6)sin(ωx +π3)(其中ω为正常数,x ∈R )的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)在△ABC 中,若A <B ,且f (A )=f (B )=12,求BCAB 的值.解:(1)∵f (x )=2sin(ωx -π6)sin(ωx +π3)=2sin(ωx -π6)cos[(ωx +π3)-π2]=2sin(ωx -π6)cos(ωx -π6)=sin(2ωx -π3),而f (x )的最小正周期为π,ω为正常数, ∴2π2ω=π,解得ω=1. (2)由(1)得f (x )=sin(2x -π3),若x 是三角形的内角,则0<x <π. ∴-π3<2x -π3<5π3.令f (x )=12,得sin(2x -π3)=12.∴2x -π3=π6或2x -π3=5π6.解得x =π4或x =7π12.∵A ,B 是△ABC 的内角,A <B ,且f (A )=f (B )=12,∴A =π4,B =7π12,∴C =π-A -B =π6,由正弦定理,得BC AB =sin Asin C =sinπ4sin π6=2212= 2.。

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