中考拼图题型赏析
中考中的格点图形问题
教案
图1
图2
二、格点中的画图问题
（黑龙江鸡西市）如图3，在网格中有一个四边形图案．
）请你画出此图案绕点O顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
图3
）若网格中每个小正方形的边长为l，旋转后点
这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组
L
D
E
P 2012•温州）（本题8分）如图，在方格纸中，△PQR 的三个顶A,B,C,D,E 五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E 个顶点为顶点画三角形，
）在图甲中画出一个三角形与△PQR 全等；
点上．
A．（1.4，﹣1）B．（1.5，2）
，
坐标为（
都在小方格的
在图甲中画出示意图；
落在旋转后的三角形内部，
的内心，外心，
个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
的网格中，点A、B、C均落在格点上．
请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺，过点A画PC的平行线，与BC 相交得点E，分别过点D、E画PC的平。
中考趣味拼图解法举例
湖北黄冈， 课改 卷) 图 1 中 练 习 : 1. (2005 ， 的梯 形符 合 条 件 时 ， 以经 过旋 转 和 可 翻折组合成图 2.
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图1
图2
图3
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A协 C(s ' ) C.
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2. (2005 ， 广东佛 山， 课改卷) 图 3 是用形 状、 大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案， 则 这个 图案 中 的等腰 梯 形 的底 角 ( 指锐 角) 是
成 k 个完全一样的矩形 ， 其中上、 下各横排两 个， 中间竖排若干个 ， k= 则 5. (2005， 四川绵阳) 如图6 宽为50cm 矩形 图案由 10 个全等的小长方形组成， 其中一个小
长方形 的面积 为
图 21- ( 2)
硬 诊
图 22 图 23
图4
图5
图6
6. 请将四个全等直角梯形(如图 7) 拼成一 个平行 四边形 ， 并画出两种不同的拼法示意图 ( 拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的
剪开后 ， 既能拼 出平 行 四边形 和梯形 ， 又能 拼 出 三角形 的是 (
限
万产
硬
妙
图 25 图8
s
图 24
边形 ABCD 是等腰梯形， AB// DC. 由4 个这样
的等腰梯形可以拼出图 2 所示的平行四边形.
甲口口 。‘
r 一‘- 一~ ~ 一一一一一~ - 一~ 一，
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I 蕊
，
早
( 1) 求四边形 ABCD 四条边之间存在的等
量关系 ， 并说明理由;
月
仁
井
I
，
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邢台市2019年中考二轮复习题型四《图形的折叠与剪拼》解析
题型四图形的折叠与剪拼例1（2019中考）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（）例1图【答案】C.【解析】试题分析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。
选项C项不能判定两个三角形相似，故答案选C考点：相似三角形的判定.例2（河北）如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：图形的剪拼分析：利用矩形的性质以及正方形的性质，结合勾股定理得出分割方法即可．解答：解：如图所示：将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n可以为：3，4，5，故n≠2．故选：A．1．(2019保定高阳县一模)如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是( )2．(2019定州二模)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则下列结论错误的是( )A ．AF ＝AEB ．△ABE ≌△AGFC ．EF ＝2 5D ．AF ＝EF3．(2019唐山开平区模拟)将一张宽为4 cm 的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( ) A.83 3 cm 2 B ．8 cm 2 C.1633 cm 2 D ．16 cm 24．(2019唐山滦南县模拟)将一个无盖正方体纸盒展开(如图1)，沿虚线剪开，用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图2)，则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是( )A.12B.13C.23D.455．(2019河北模拟)如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一个边长为(a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )A ．a 2＋4 B ．2a 2＋4a C ．3a 2－4a －4 D ．4a 2－a －26．(2019河北模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝( )A.34B.45C.43D.357．(2019邢台模拟)如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后三角形的周长是( )A．2＋10 B．2＋210 C．12 D．188．(2019石家庄第四十二中学模拟)如图，将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C′处，点D落在D′处，其中M是BC的中点，连接AC′，B C′，则图中共有等腰三角形的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．(2019唐山玉田县模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为．10．(2019石家庄模拟)如图，若将左边的正方形剪成两个直角三角形和两个四边形后，恰好能拼成右边的矩形．设a＝2，则正方形的边长为．答案：＋2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．已知关于x的不等式组314(1)x xx m--⎧⎨⎩无解，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AE平分∠CAB，EF∥AC，若AF=4，则CE=（）A.3B.C.D.23．小明参加射击比赛，10次射击的成绩如表：若小明再射击2次，分别命中7环、9环，与前10次相比，小明12次射击的成绩( )A．平均数变大，方差不变B．平均数不变，方差不变C．平均数不变，方差变大D．平均数不变，方差变小4．计算的值等于（）A.1B.C.D.5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，连结BC′，若BC′∥A'B′，则OB的值为( )A．52B．3 C．125D．536．2018年安徽省生产总值首次突破3万亿元大关，工业增加直增速创近1年新高居全国第四位、中部第一位（数据来源：安微信息网）．其中数据3万亿用科学记数法表示正确的是（）A．3×104B．3×108C．3×1012D．3×10137．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点O ；③连接AP ，交BC 于点E ．若CE ＝3，BE ＝5，则AC 的长为( )A ．4B ．5C ．6D ．78．点（1，-4）在反比例函数ky x=的图像上，则下列各点在此函数图像上的是（ ） A ．（1，4） B ．（-12，-8） C ．（-1，-4）D ．（4，-1）9．计算()15-3÷的结果等于( ) A ．-5B ．5C ．1-5D ．1510．下列各式的计算中正确的是（ ） A ．325a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．632a a a ÷=D ．326()a a -=11．如图是用小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，俯视图上的数字表示小正方体的个数，则搭这个几何体最多需要的小正方体的个数为A ．3B ．4C ．5D ．612．某村粮食总产量为a （a 为常量）吨，设该村粮食的人均产量y （吨），人口数为x （人），则y 与x 之间的函数图象应为图中的（ ）A ．B ．C ．D．二、填空题13．将5700 000用科学记数法表示为______．14．边长为1的正三角形的内切圆半径为________15．若二次函数y=2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y=2（x+h）2的图象，则h= ．16．计算：23a a⋅=__________．17．四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，以EC为边作正方形CEFG（点D，点F在直线CE 的同侧）.连接BF.（1）如图1，当点E与点A重合时，BF=_______；（2）如图2，当点E在线段AD上时，1AE=，则BF=______.18．分解因式(x－1)2－4的结果是______．三、解答题19．(1)计算：﹣π)0﹣4cos45°﹣|﹣3|；(2)解分式方程：4122x x=-+.20．如图，已知抛物线y=ax2+85x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(2，0)，C(0，-4)，直线l：y=-12x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax2+85x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于F．(1)试求该抛物线表达式；(2)如图(1)，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；(3)如图(2)，连接AC．求证：△ACD是直角三角形．21．请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．22．如图，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，点E是AB边上一动点（不与点A、B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．（1）求证：△ADE∽△CDF；（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．23．（1）问题发现：如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，则AB，AD，DC之间的数量关系为_______．（2）问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE 是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论；（3）问题解决：如图3，AB∥CD，点E在线段BC上，且BE:EC=3:4．点F在线段AE上，且∠EFD =∠EAB，直接写出AB，DF，CD之间的数量关系．24．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：DF＝DG．25．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7×106．14．15．16．a517．.18．(x－3)( x＋1)三、解答题19．(1)-2；(2)x=-103..【解析】【分析】（1）本题涉及零指数幂、二次根式化简、特殊角三角函数、绝对值化简等4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）通过去分母，两边同乘以（x+2）（x-2），即可将原分式方程转化为一个整式方程，解整式方程后要注意检验，即可得到正确结果．【详解】（1）原式＝+1﹣4×2﹣3＝1﹣3＝﹣2；（2）方程两边同乘以(x+2)(x﹣2)，得4(x+2)＝x﹣2，解得：x＝﹣103，检验：将 x＝﹣103代入(x+2)(x﹣2)中，(x+2)(x﹣2)≠0∴x＝﹣103是原分式方程的根．故原分式方程的根为 x＝﹣103．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力以及解分式方程．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．20．(1)y=15x2+85x-4；(2)P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-274)；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求a、c的值，从而求得抛物线的表达式;（2）设P点的坐标是（x，15x2+85x-4），则F（x，-12x-4），由OCPF是平行四边形得OC=FP,OC∥PF，从而-15x2-2110x=4，求解即可得P的横坐标，代入解析式即可得P的坐标．（3）分别求出点A、C、D的坐标，可以根据勾股定理的逆定理即可判断【详解】(1)依题意，抛物线经过A(2，0)，C(0，-4)，则c=-4将点A代入得0=4a+85×2-4，解得a=15抛物线的解析式是y=15x2+85x-4(2)设P点的坐标是(x，15x2+85x-4)，则F(x，-12x-4)∴PF=(-12x-4)-(15x2+85x-4)=-15x2-2110x∵四边形OCPF是平行四边形∴OC=FP，OC∥PF∴-15x2-2110x=4即2x2+21x+40=0解得x1=-8 x2=-2.5∴P点的坐标为(-8，-4)，(-2.5，-274)(3)当y=0时，-12x-4=0，得x=-8，即D(-8，0)当x=0时，0-4=y，即C(0，-4)当y=0时，15x2+85x-4=0解得x1=-10 x2=2，即B(-10，0)，A(2，0)∴AD=10∵AC2=22+42=20CD2=82+42=80∴AD2=AC2+CD2∴∠ACD=90°△ACD是直角三角形【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．21．见解析【解析】【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可．【详解】如图所示，PQ即为所求．【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．22．（1）证明见解析；（2）222x y +=；（3）四边形BGDE 是菱形，理由见解析 【解析】【分析】（1）利用矩形性质可得∠DCF=90°=∠A ，根据等角的余角相等，可得∠ADE=∠CDF ，利用两角对应相等的两个三角形相似，可证△ADE ∽△CDF.（2） 利用相似三角形的对边成比例，可得DF ，利用勾股定理可得22221DE AD AE x =+=+ ， 利用△DEF 的面积为12 2 ， 代入数据化简即可.（3）利用直角三角形的性质可得CD 的值，利用相似三角形的对边成比例，可得AE AD CF CD = ，即得 CF= x 。
专题18尺规作图与操作探究拼图--浙江省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编(解析版)
三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（浙江专用）专题18尺规作图与操作探究拼图一．选择题（共13小题）1．（2021•杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（）A．1：√5B．1：2C．1：√3D．1：√2【分析】直接利用基本作图方法得出AP＝PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AE,AP的长，即可得出答案．【解析】∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°,∵AD平分∠BAC,∴∠EAB=12×90°＝45°,∵EP⊥AB,∴∠APE＝90°,∴∠EAP＝∠AEP＝45°,∴AP＝PE,∴设AP＝PE＝x,故AE＝AB=√2x,∴AP：AB＝x:√2x＝1:√2．故选：D．2．（2021•湖州）如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N 作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连接CO，DE．则下列结论错误的是（）A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE【分析】利用基本作图得到MN垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，BD＝CD，OD ⊥BC，则可对A选项进行判断，根据等腰三角形的“三线合一”可对B选项进行判断；根据三角形中位线的性质对C选项进行判断；由于DE=12AB，BD=12BC，AB≠BC，则可对D选项进行判断．【解析】由作法得MN垂直平分BC，∴OB＝OC，BD＝CD，OD⊥BC，所以A选项不符合题意；∴OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠COD，所以B选项不符合题意；∵AE＝CE，DB＝DC，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，所以C选项不符合题意；DE=12AB，而BD=12BC，∵AB≠BC，∴BD≠DE，所以D选项符合题意．故选：D．3．（2020•衢州）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（）A．B．C ．D ．【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解析】A 、本选项作了角的平分线与等腰三角形，能得到一组内错角相等，从而可证两直线平行，故本选项不符合题意．B 、本选项作了一个角等于已知角，根据同位角相等两直线平行，能判断是过点P 且与直线l 的平行直线，本选项不符合题意．C 、由作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意．D 、作图只截取了两条线段相等，而无法保证两直线平行的位置关系，本选项符合题意．故选：D ．4．（2020•台州）如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径画弧，两弧交于点C ，D ，连接AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，则下列说法错误的是（ ）A ．AB 平分∠CAD B ．CD 平分∠ACBC ．AB ⊥CD D ．AB ＝CD【分析】根据作图判断出四边形ACBD 是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案．【解析】由作图知AC ＝AD ＝BC ＝BD ，∴四边形ACBD 是菱形，∴AB 平分∠CAD 、CD 平分∠ACB 、AB ⊥CD ，不能判断AB ＝CD ，故选：D ．5．（2020•嘉兴）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2√5，BC ＝8，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆．则⊙O 的半径为（ ）A ．2√5B ．10C ．4D ．5【分析】如图，设OA 交BC 于T ．解直角三角形求出AT ，再在Rt △OCT 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，设OA 交BC 于T ．半径为r ，∵AB ＝AC ＝2√5，AO 平分∠BAC ，∴AO ⊥BC ，BT ＝TC ＝4，∴AT =√AC 2−CT 2=√(2√5)2−42=2，在Rt △OCT 中，则有r 2＝（r ﹣2）2+42，解得r ＝5，故选：D ．6．（2020•金华）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ．连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ．若GO ＝GP ，则S 正方形ABCDS 正方形EFGH 的值是（ ）A ．1+√2B ．2+√2C ．5−√2D ．154【分析】证明△BPG ≌△BCG （ASA ），得出PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，则EG ＝2x ，FG =√2x ，由勾股定理得出BC 2＝（4+2√2）x 2，则可得出答案．【解析】∵四边形EFGH 为正方形，∴∠EGH ＝45°，∠FGH ＝90°，∵OG ＝GP ，∴∠GOP ＝∠OPG ＝67.5°，∴∠PBG ＝22.5°，又∵∠DBC ＝45°，∴∠GBC ＝22.5°，∴∠PBG ＝∠GBC ，∵∠BGP ＝∠BGC ＝90°，BG ＝BG ，∴△BPG ≌△BCG （ASA ），∴PG ＝CG ．设OG ＝PG ＝CG ＝x ，∵O 为EG ，BD 的交点，∴EG ＝2x ，FG =√2x ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF ＝CG ＝x ，∴BG ＝x +√2x ，∴BC 2＝BG 2+CG 2=x 2(√2+1)2+x 2=(4+2√2)x 2，∴S 正方形ABCDS 正方形EFGH =(4+2√2)x 22x 2=2+√2．故选：B ．7．（2020•宁波）△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF＝CH．由题意可知BE＝FH，则得出五边形DECHF的周长＝AB+BC，则可得出答案．【解析】∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF，＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．8．（2019•绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A ．245B ．325C ．12√3417D ．20√3417【分析】设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE ，再由勾股定理求出CD ，过点C 作CF ⊥BG 于F ，由△CDE ∽△CBF 的比例线段求得结果即可．【解析】过点C 作CF ⊥BG 于F ，如图所示：设DE ＝x ，则AD ＝8﹣x ，根据题意得：12（8﹣x +8）×3×3＝3×3×6， 解得：x ＝4，∴DE ＝4，∵∠E ＝90°，由勾股定理得：CD =√DE 2+CE 2=√42+32=5，∵∠BCE ＝∠DCF ＝90°，∴∠DCE ＝∠BCF ，∵∠DEC ＝∠BFC ＝90°，∴△CDE ∽△CBF ，∴CE CF =CD CB ， 即3CF =58，∴CF =245．故选：A ．9．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH【分析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．证明S△DGH＝S△AEH,S△DGC＝S△ADH,可得结论．【解析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF,EF＝GH,∠HEF＝90°,∵OJ⊥DE,∴∠OJH＝∠HEF＝90°,∴OJ∥EF,∵HO＝OF,∴HJ＝JE,∴EF＝GH＝2OJ,∵S△DHO=12•DH•OJ,S△DHG=12•DE•GH,∴S△DGH＝2S△DHO,同法可证S△AEH＝2S△AEO,∵S△DHO＝S△AEO,∴S△DGH＝S△AEH,∵S△DGC=12•CG•DH,S△ADH=12•DH•AE,CG＝AE,∴S△DGC＝S△ADH,∴S△DHC＝S△ADE,∴S1＝S2,故选：A．10．（2021•绍兴）数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（）A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形【分析】根据题意画出图形，从图形中找到出现的菱形的个数即可．【解析】如图所示，用2个相同的菱形放置，最多能得到3个菱形；用3个相同的菱形放置，最多能得到8个菱形，用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形，故选：B．11．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（）A．1和1B．1和2C．2和1D．2和2【分析】根据要求拼平行四边形矩形即可．【解析】中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：故选：D．12．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1B．√2C．√3D．2【分析】根据正六边形的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，然后求出等边三角形的高即可．【解析】边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度=√32×2=√3． 故选：C ．13．（2019•台州）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）A ．14B ．12C ．817D ．815【分析】由“ASA ”可证△CDM ≌△HDN ，可证MD ＝DN ，即可证四边形DNKM 是菱形，当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，可求CM =154，即可求tan α的值． 【解析】如图，∵∠ADC ＝∠HDF ＝90°∴∠CDM ＝∠NDH ，且CD ＝DH ，∠H ＝∠C ＝90° ∴△CDM ≌△HDN （ASA ）∴MD ＝ND ，且四边形DNKM 是平行四边形 ∴四边形DNKM 是菱形 ∴KM ＝DM∵sin α＝sin ∠DMC =CDMD∴当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小， 设MD ＝a ＝BM ，则CM ＝8﹣a ， ∵MD 2＝CD 2+MC 2， ∴a 2＝4+（8﹣a ）2， ∴a =174 ∴CM =154∴tan α＝tan ∠DMC =CDMC =815 故选：D ．二．填空题（共10小题）14．（2021•台州）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＜BC ．分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于D ，E 两点，直线DE 交BC 于点F ，连接AF ．以点A 为圆心，AF 为半径画弧，交BC 延长线于点H ，连接AH ．若BC ＝3，则△AFH 的周长为 6 ．【分析】直接利用基本作图方法得出DE 垂直平分AB ,AF ＝AH ,再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ，即可得出答案． 【解析】由基本作图方法得出：DE 垂直平分AB , 则AF ＝BF ,可得AF ＝AH ,AC ⊥FH , ∴FC ＝CH ,∴AF +FC ＝BF +FC ＝AH +CH ＝BC ＝3,∴△AFH 的周长为:AF +FC +CH +AH ＝2BC ＝6． 故答案为：6．15．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为 6﹣2√3 ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A ′，B ′，C ′．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．【分析】如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°，解直角三角形求出JK，OH，B′H，再求出OB′2，可得结论．【解析】如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．∵大正方形的面积＝12，∴FG＝GW＝2√3，∵EF＝WK＝2，∴在Rt△EFG中，tan∠EGF=EFFG=22√3=√33，∴∠EGF＝30°，∵JK∥FG，∴∠KJG＝∠EGF＝30°，∴d＝JK=√3GK=√3（2√3−2）＝6﹣2√3，∵OF＝OW=12FW=√6，C′W=√2，∴OC′=√6−√2，∵B′C′∥QW，B′C′＝2，∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°，∴OH＝HC′=√3−1，∴HB′＝2﹣（√3−1）＝3−√3，∴OB′2＝OH2+B′H2＝（√3−1）2+（3−√3）2＝16﹣8√3，∵OA′＝OC′＜OB′，∴当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8√3）π．故答案为：6﹣2√3，（16﹣8√3）π．16．（2021•宁波）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为2，sin∠AFE的值为√2−1．【分析】连接BF，FM，由翻折及BM＝ME可得四边形BEFM为菱形，再由菱形对角线的性质可得BN＝BA．先证明△AEF≌△NMF得AE＝NM，再证明△FMN∽△CGN可得CGFM =GNNM,进而求解．【解析】∵BM＝BE，∴∠BEM＝∠BME，∵AB∥CD，∴∠BEM＝∠GCM，又∵∠BME＝∠GMC，∴∠GCM＝∠GMC，∴MG＝GC＝1，∵G为CD中点，∴CD＝AB＝2．连接BF,FM，由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF,∴BM＝EF，∵∠BEM＝∠BME，∴∠FEM＝∠BME，∴EF∥BM，∴四边形BEFM为平行四边形，∵BM＝BE，∴四边形BEFM为菱形，∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG，∴∠BNF＝90°，∵BF平分∠ABN，∴F A＝FN，∴Rt△ABF≌Rt△NBF(HL)，∴BN＝AB＝2．∵FE＝FM,F A＝FN，∠A＝∠BNF＝90°，∴Rt△AEF≌Rt△NMF(HL)，∴AE＝NM，设AE＝NM＝x，则BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x，∵FM∥GC，∴△FMN∽△CGN，∴CGFM =GNNM,即12−x =1−xx,解得x＝2+√2(舍)或x＝2−√2，∴EF＝BE＝2﹣x=√2，∴sin∠AFE=AEEF=√2√2=√2−1．故答案为：2；√2−1．17．（2021•丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是6或7．【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少1，即可确定原多边形的边数．【解析】设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，解得：n＝6．∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，∴原多边形的边数为6或7，故答案为：6或7．18．（2021•湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是36度．【分析】正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，根据正多边形及邻补角的性质，即可求得∠AFN＝∠ANF＝72°，然后根据三角形的内角和定理可求得∠A的度数．【解析】如图，∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形，∴∠GFN＝∠FNM=(5−2)×180°5=108°，∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°，∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．故答案是：36．19．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为4√5．【分析】根据题意和图形，可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长，从而可以得到直角三角形的另一条直角边长，再根据图形，可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积，然后代入数据计算即可．【解析】由题意可得，直角三角形的斜边长为3，一条直角边长为2， 故直角三角形的另一条直角边长为：√32−22=√5， 故阴影部分的面积是：2×√52×4=4√5， 故答案为：4√5．20．（2020•金华）如图，平移图形M ，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 30 °．【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D +∠C ＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°， 故答案为：30．21．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 ①②③④ （填序号）． ①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3．【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解． 【解析】如图所示：则其中一个等腰三角形的腰长可以是①√2，②1，③√2−1，④√32，不可以是√3． 故答案为：①②③④．22．（2019•温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ．若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为 （12+8√2） cm ．【分析】连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2，根据△COH 是等腰直角三角形，即可得到∠CKO ＝90°，即CK ⊥IO ，设CK ＝OK ＝x ，则CO ＝IO =√2x ，IK =√2x ﹣x ，根据勾股定理即可得出x 2＝2+√2，再根据S 菱形BCOI＝IO ×CK =12IC ×BO ，即可得出BO ＝2√2+2，进而得到△ABE 的周长．【解析】如图所示，连接IC ，连接CH 交OI 于K ，则A ，H ，C 在同一直线上，CI ＝2， ∵三个菱形全等，∴CO ＝HO ，∠AOH ＝∠BOC ， 又∵∠AOB ＝∠AOH +∠BOH ＝90°， ∴∠COH ＝∠BOC +∠BOH ＝90°，即△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝∠CHO＝45°＝∠HOG＝∠COK，∴∠CKO＝90°，即CK⊥IO，设CK＝OK＝x，则CO＝IO=√2x，IK=√2x﹣x，∵Rt△CIK中，（√2x﹣x）2+x2＝22，解得x2＝2+√2，又∵S菱形BCOI＝IO×CK=12IC×BO，∴√2x2=12×2×BO，∴BO＝2√2+2，∴BE＝2BO＝4√2+4，AB＝AE=√2BO＝4+2√2，∴△ABE的周长＝4√2+4+2（4+2√2）＝12+8√2，故答案为：12+8√2．23．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．三．解答题（共10小题）24．（2021•衢州）如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出△ACD，使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上．（2）在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线l．【分析】（1）构造平行四边形ABCD，可得结论．（2）取线段AC与网格线的交点T，作直线BT即可．【解析】（1）如图1中，△ADC即为所求．（2）如图2中，直线BT即为所求．25．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．【分析】（1）根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可．（2）根据正方形的定义画出图形即可．【解析】（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．26．（2021•嘉兴）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．【分析】（1）先以AB为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．【解析】（1）如下图所示：四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．（2）图1菱形面积S=12×2×6＝6，图2菱形面积S=12×2√2×4√2=8，图3菱形面积S＝（√10）2＝10．27．（2020•衢州）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图2中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可（答案不唯一）．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【解析】（1）如图平行四边形ABDE即为所求（点D的位置还有6种情形可取）．（2）如图，直线l即为所求．28．（2020•温州）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．【分析】（1）根据点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH，画出线段即可；（2）根据使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ=√5MN．画出线段即可．【解析】（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求；（2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．29．（2019•舟山）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=√5，BD＝AC＝BD''=√13，AD'＝BC＝AD''=√10；画出图形即可；（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．【解析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'=√5，BD＝AC＝BD''=√13，AD'＝BC＝AD''=√10；画出图形如图1所示；（2）如图2所示．30．（2019•温州）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合．（1）在图1中画一个格点△EFG，使点E，F，G分别落在边AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且MP＝NQ．【分析】（1）利用数形结合的思想构造全等三角形或等腰直角三角形解决问题即可．（2）如图3中，构造矩形即可解决问题．如图4中，构造MP＝NQ＝5√2即可．【解析】（1）满足条件的△EFG，如图1，2所示．（2）满足条件的四边形MNPQ如图所示．31．（2019•衢州）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点．（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）根据平行四边形的判定即可解决问题．【解析】（1）线段CD即为所求．（2）平行四边形ABEC即为所求．32．（2019•金华）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．【分析】图1，从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；图2，EC=√5，EF=√5，FC=√10，借助勾股定理确定F点；图3，根据格点特征，利用垂直平分线的判定画出图形即可．【解析】如图：33．（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．【分析】（1）AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，又AD⊥BC，则∠ADB＝90°，则∠F AB与∠EBA互余，即可求解；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）证明△DBQ∽△ECN，即可求解．【解析】（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠F AB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD ＝CD ， ∵DE ＝2BE ， ∴BD ＝CD ＝3BE ， ∴CE ＝CD +DE ＝5BE ，∵∠EDF ＝90°，点M 是EF 的中点， ∴DM ＝ME ， ∴∠MDE ＝∠MED ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴△DBQ ∽△ECN ， ∴QB NC=BD CE=35，∵QB ＝3， ∴NC ＝5， ∵AN ＝CN ， ∴AC ＝2CN ＝10， ∴AB ＝AC ＝10．。
解读中考“七巧板”试题
解读中考“七巧板”试题近年来，全国各省市中考中出现了一些以“七巧板”为背景的题目，这类题目操作性强、趣味性浓，能很好体现新课标“在玩中学、在学中思、在思中得”的全新理念。
一、认识“七巧板”（一）定义与构成：七巧板是一种智力游戏，完整图案为一正方形。
它由七块板组成的，这七这块板又可拼成多种多样的图形(千种以上)。
（二）特点：1、正规七巧板包括五块等腰直角三角形(两块小三角形、一块中等三角形和两块大三角形)、一块正方形和一块平行四边形。
2、七巧板共有直角9个；45度角12个；135度角2个。
它们都是45度角的倍数。
因此用七巧板可拼出450、900、1350、1800、2250、2700、3150、3600等八种度数的角。
不重叠不留空，运用一幅七巧板只能拼出1种度数的钝角,就是1350。
3、七巧板各块所占比例。
最大的两个三角形各占整块的四分之一；平行四边形、正方形和中等三角形各占整块的八分之一；剩下两个最小三角形各占整块的十六分之一。
4、由等腰直角三角形的三边关系1:1: 2 ,不难得到“七巧板”中七板块的各边长存在比例关系1： 2 ：2：2 2 (由小到大)。
即假设小正方形边长为1（如右图），那么最小等腰直角三角形直角边的长度也是1；最小等腰直角三角形斜边和中等等腰直角三角形直角边的长度是2；中等等腰直角三角形斜边和最大等腰直角三角形直角边的长度是2；最大等腰直角三角形斜边的长度是22。
可以简单的理解为：各线段的端点处于对应的中点位置上。
二、“七巧板”与中考（一）有关面积计算题例1:（06衢州）七巧板被西方人称为“东方魔板”.下边的两幅图是由同一副七巧板拼成的，已知七巧板拼成的正方形的边长为4，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为___________.解析1:解决本题的关键是找到阴影部分在“七巧板”中的对应板块是Rt△CEF。
所以CE =CF = 12BC =12×4 = 2。
即：S阴=S△CEF=12×2×2=2。
中考数学中的三角拼板问题突破与提升策略(共15张PPT)
三.三角拼板中的多解问题
练习反馈 1.用一副三角尺，能够组合成的角度有哪些？这些角度有什么
共同特点？
综上所述，∠ACE=120°，75°，30°。
三.三角拼板中的多解问题
练习反馈 1.用一副三角尺，能够组合成的角度有哪些？这些角度有什么
共同特Hale Waihona Puke ？这些角度都是15°的整数倍.
练习反馈 1.如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两 点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c, 则AD的长为( ) A.a+c B.b+c C.a-b+c D.a+b-c
三角拼板中的长度问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的 方式叠放在一起，当∠ACE<180°且点E在直线 AC的上方时，问∠ACE等于多少度时，三角板 BCE有一条边与斜边AD平行？
(3)当BC∥AD时 ∠BCA=∠A=60° ∴∠ACE=∠BCE－∠ACB=30°
三.三角拼板中的多解问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的方式叠放在一 起，当∠ACE<180°且点E在直线AC的上方时，问∠ACE等 于多少度时，三角板BCE有一条边与斜边AD平行？
综上所述，∠ACE=120°，75°，30°。
分析：将三角板BCE绕点C顺 时针旋转，三角板BCE的三条 边都会在某个时刻与斜边AD 平行，所以分三种情况求出 ∠ACE就解决了。
三.三角拼板中的多解问题
例1.小明将一副三角板的两个直角顶点C按如图的 方式叠放在一起，当∠ACE<180°且点E在直线 AC的上方时，问∠ACE等于多少度时，三角板 BCE有一条边与斜边AD平行？
一副三角板拼出的中考题
一副三角板拼出的中考题将一副三角板（也叫三角尺）（分别含30°和45°角的直角三角形）进行拼接可以拼出许许多多、形形色色的数学题，这些题目内容丰富，多彩多姿，令人赏心悦目，回味无穷．请看以下例子．例1 将两块三角尺的直角顶点重合为如图1所示的形状，若∠AOD ＝127°，则∠BOC ＝＿＿＿． 分析：设∠BOC ＝x ，∠AOC ＝m ，∠BOD ＝ｎ，则易知1279090x m n x m x n ++=︒⎧⎪+=︒⎨⎪+=︒⎩，解得x ＝53°． 注：本题也可以直接由∠BOC ＝∠AOB ＋∠COD －∠AOD ＝180°－127°＝53°．例2 如图2将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠BOD 的度数是＿＿＿度． 分析：注意∠AOC ＝∠AOD ＋∠DOC ＝∠AOD ＋90°，∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝90°－∠AOD ，故，∠AOC ＋∠BOD ＝180°．例3三角函数 将一副三角尺如图3摆放在一起，连结AD ，试求∠ADB的余切值．分析：从图中可见这是一副大小特殊的三角板，含30°那一块的60°角所对的直角边恰好是等腰那一块的斜边．要求∠ADB 的余切，应设法构造以该角为锐角的直角三角形．作A Ｈ⊥直线BD 于Ｈ，则易知A Ｈ＝B Ｈ（设＝１），从而AB，BCABBD ，故BDD所以CO ｔ∠ADB ＝DHAH例4 将两块三角板如图4放置，其中∠C ＝∠EDB ＝90°，∠A ＝45°，∠E ＝30°，AB ＝DE ＝6，求重叠部分四边形DBCF 的面积．分析：四边形DBCF 的面积等于三角形ABC 的面积减去三角形ADF 的面积．易知DF ＝AD ＝AB －BD ＝6－所以，四边形DBCF 的面积等于9－122AD ＝9－12(26-＝15．例析以“三角板”为道具导演的三角形的全等问题江苏省丰县中学 王锋浏览近年的中考试卷，不难发现有一个备受关注命题焦点——将一副三角板按某种方式巧妙地拼合在一起，然后平移、旋转三角板，使图形的相对位置不断发生变化（但其中隐含的与结论有关的三角形的全等关系不变），让学生在“运动变化的几何图形”中，感悟、猜想、验证几何图形所具有性质的“变”与“不变”.此类问题常常先设置一个让学生探索的问题情景，经过实践操作度量、分析、猜想获得问题的结论，然后在创设一个题设、图形变化的数学环境，进一步探究对结论的影响.解决此类问题需要充分发挥30°、45°60°、90°特殊角及两直角边相等的作用，再借助类比的思维策略，重新审视原来证明方法是否适用，辅助线的添作能否迁移等等，然后抓住运动过程中的“不变因素”，拾级而上，方可获得问题的答案.例1（07河北）在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA的延长线于点图1图3图4图1-3图1-1G ．一等腰直角三角尺按如图1-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．（1）在图1-1中请你通过观察、测量BF 与CG 的 长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系， 然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC 方向平移到图1-2所示的位置时， 一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条 直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于 点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足 的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平 移到图1-3所示的位置（点F 在线段AC 上， 且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否 仍然成立？（不用说明理由）分析：（1）通过观察与度量容易猜想BF =CG ；证明线段相等，常常通过2各三角形全等，观察图形只需证明△ABF ≌△ACG 即可.（2）通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，可以猜想DE ＋DF =CG ，欲证明结论：一条线段等于两条线段之和常采用“截长补短”的方法，（如图甲）为此可过点D 作DH ⊥CG 于点H ，相当于在GC 上截取了GH=DE ，只需证CH=DF 即可，因而可证△FDC ≌△HCD 或Rt △FQD ≌Rt △HQC 即可.证明：在△ABF 和△ACG 中，∵∠F =∠G =90°，∠F AB =∠GAC ，AB =AC ， ∴△ABF ≌△ACG （AAS ）， ∴BF =CG ． （2）DE +DF =CG ；证明：过点D 作DH ⊥CG 于点H （如图甲）． ∵DE ⊥BA 于点E ，∠G =90°，DH ⊥CG ，∴四边形EDHG 为矩形，∴DE =HG ，DH ∥BG ．∴∠GBC =∠HDC ．∵AB =AC ，∴∠FCD =∠GBC =∠HDC ．又∵∠F =∠DHC =90°，CD =DC ， ∴△FDC ≌△HCD （AAS ），∴DF =CH ． ∴GH +CH =DE +DF =CG ，即DE +DF =CG ．（3）仍然成立．（注：本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD ）例2、（07年临沂市）如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =∠，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．E图2图3（第2题图）（1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ． ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．分析（1）通过构造包含DM 、DN 在内的2个三角形全等来解决，为此连接BD ，可以根据判定条件——ASA 证明△BMD ≌△CND 或△ADM ≌△BDN 来说明DM=DN.①证明：连结DB ．在Rt ABC △中，AB BC =，AD DC =．DB DC AD ∴==，90BDC =∠．方法一：45ABD C ∴==∠∠．90MDB BDN CDN BDN +=+=∠∠∠∠，MDB NDC ∴=∠∠．BMD CND ∴△≌△（ASA ）DM DN ∴=．方法二：45A DBN ∴==∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=∠∠∠∠．ADM BDN ∴=∠∠．ADM BDN ∴△≌△（ASA ）． DM DN ∴=．②四边形DMBN 的面积不发生变化； 由①知：BMD CND △≌△，BMD CND S S ∴=△△．1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S ∴=+=+===△△△△△△四边形． （2）DM DN =仍然成立， 证明：连结DB ． 在Rt ABC △中，AB BC =，AD DC =，DB DC ∴=，90BDC =∠．45DCB DBC ∴==∠∠．135DBM DCN ∴==∠∠． 90NDC CDM BDM CDM +=+=∠∠∠∠，CDN BDM ∴=∠∠．CDN BDM ∴△≌△．DM DN ∴=．（3）DM DN =．评注：本题巧妙地将一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在等腰直角三角板的斜边AC 的中点上，创设了一个4条直角边两两相交的问题情景，让学生思考证明截得（可通过证明△BMD≌△CND 或△ADM ≌△BDN 解决），然后将三角板绕中点旋转，得到图2，让学生先探索猜想线段DM 与DN 的关系、再证明线段DM=DN.这样设计符合学生的认识规律，符合新课标中“提供的内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证”等数学活动，同时使学生亲身感悟、体验了数学知识的发生和发展过程.问题（1）线段的相等证明是通过“全等三角形的对应边相等”来解决的. 面积是通过割补来实现的；问题（2）旋转三角板当交点M 、N 在AB 、BC 的延长线上时，虽然图形发生了变化，但是证明的条件：DB=CD ，∠BDM=∠CDN 仍然成立，只是∠DBM=∠DCN=45°，变成了∠DBM=∠DCN =135°，但∠DBM 、∠DCN 之间的相等关系仍然成立.因而△BMD ≌△CND 关系依然成立，故DM 与DN 的相等关系保持不变. 问题（3）三角板DEF 旋转到形外可通过对顶角将直角的条件转化到形内，从而与问题（1）不谋而合.在整个解题过程中，事实上含30°角的三角板只是直角发挥了应有的作用，因此我们也可将其换成等腰直角三角板便有以下的变式：（06青岛市）把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG(其直角边长为4)叠放在一起(如图)，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合.现将三角板EFG 绕点O 按顺时针方向旋转(旋转角α满足条件：0°<α<90°)，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图).在上述旋转过程中BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论.解：∵△ABC 为等腰直角三角形，O(G)为其斜边的中点， ∴CG=BG ，CG ⊥AB. ∴∠ACG=∠B=45°又∵∠BGH 与∠CGK 均为旋转角， ∴∠BGH=∠CGK ， ∴△BGH ≌△CGK ，∴BH=CK ，CGK BGH S S ∆∆=，∴CKG CHG CHGK S S S ∆∆+=四边形=BGH CHG S S ∆∆+=21×ABC S ∆=21×21×4×4=4，即四边形CHGK 的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.爱因斯坦说过：“从新的角度看待旧的问题，需要有创造性的想象能力”.如果我们联想到：两个等腰直角三角尺可以拼成一个正方形，因而上述问题又可演变为06河北省课改实验区的一道考题：实验与推理如图1－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图1－2，当EF 与AB 相交于点M GF ，与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图1－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．A B FCEG(O)解：（1）通过测量容易得出：BM FN =．证明：GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，45ABD F ∴∠=∠=，OB OF =．又BOM FON ∠=∠，OBM OFN ∴△≌△．BM FN ∴=． （2）BM FN =仍然成立．证明：GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，45DBA GFE ∴∠=∠=，OB OF =．135MBO NFO ∴∠=∠=，又MOB NOF ∠=∠，OBM OFN ∴△≌△．BM FN ∴=．牛刀小试：(04河北省)用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD ，把一个含有60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E ，F 时(如图)，通过观察和测量BE ，CF 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.(2) 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 延长线相交于点E ，F 时(如图)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.提示：（1）BE-=CF （2）结论仍然成立.两问都是通过△ABE ≌△ACF 证得. （06年山东枣庄市课标卷）两个全等的含300, 600角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置，E,A,C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC ． 试判断△EMC 的形状，并说明理由．分析： △EMC 是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得∠DAE ＋∠BAC=900.∴∠DAB=900.又AD=AB ∴△BAD 为等腰直角三角形，又∵DM=MB ∴MA=12DB=DM,∠MDA=∠MAB=450∴∠MDE=∠MAC=60°+45°=1050，又DE=AC ，∴△EDM ≌△CAM∴EM=MC, ∠DME=∠AMC 又∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=900所以△EMC 是等腰直角三角形评注：本题是以两块全等含30°角的三角板按一种方式的摆放来创设问题情景的，让学生先猜想判断，再说理.试题平中见奇，独具匠心，堪称好题. 解题时要善于发现隐含的条件如∠BAD=90°，BA=AD ，以便运用等腰直角三角形的性质为△EDM ≌△CAM 创造条件，获得问题的答案.图1－1 ()D F ()E A GG N 图1－2 图1－3 A BC DEFABCE D M。
中考语文图画题的解题技巧
中考语文图画题的解题技巧这几年，图画题进入各地中考语文试题中，这类题目，先给学生提供一幅图画，（商标、会徽、徽标、标识、招贴画、漫画等）然后要求读图，完成相关题目。
这种题不仅考察了考生的观察能力、归纳能力、语言表达能力，还考察了考生的想象力，可谓一箭“数”雕。
图画题的类型：1、新闻图片型：即所提供的图画是一张新闻图片，要求考生观察图片，在把握图片内容的基础上按要求答题。
仔细观察右边的这幅图，参照所给示例，为图中的女孩写一段赞美辞。
要求：语句通顺，运用一种修辞手法，50字左右。
答案：示例：当命运的暴风雨袭来时，生活的重担压在肩上，你就像是一匹老马，没有驰骋千里，却一步一步地到达了善良的峰顶。
答：得分点：运用修辞1分；点出人物勇敢、镇定等精神2分；语句通顺1分. 是标识题：图画是各种标志，包括各种会标及标识等。
要求考生能大致阐述其含义，或谈观后感，三是漫画题型：据漫画介绍它的内容、主旨，阐述漫画的讽刺意义。
示例3、看图说话：用说明的文字介绍这幅题为“书生”的漫画（90字以内）。
（2分）用一句话概括漫画的主旨。
（1分）答案：3、（1）书店内，三位读者在读书，他们有的席地而坐，屁股下垫着一本书；有的坐在书架的书上，有的趴在书柜的书上。
有的边喝饮料便读书，地上零乱地放着书与快餐盒及饮料罐等。
（2）批评了在书店里读书而不爱惜图书、不讲社会公德的现象。
四、宣传画型：据画说内容，宣传画的含义，或说出自己观后的感受。
示例4．介绍右边这一幅赈灾活动宣传画的内容与含义。
(3分)内容：含义：示例4．(3分) 内容：一颗大的“心”中有一幅中国地图；这幅中国地图由许多颗小的“心”组成。
含义：全国人民万众一心，奉献爱心，支援灾区人民。
(意思对即可)解题方法1、全面解读。
从图画的整体上去观察，观察时应注意：一是画面本身，包括画面中一一切事物、图案形状、人物动作、神态等；二是画面中的人物语言，这些只言片语常揭示主题。
中考语文图表题解析一(漫画及徽标)
漫画题示例及解析
示例
题目给出了一幅漫画，画面上是一个人坐在一张桌子前，桌子上放着一本打开的 书，而这个人却把头埋在书里，看不见他的表情。
漫画题示例及解析
观察细节
画面中的人物坐在桌子前，头埋在书里，看不见他的表情。这暗示着这个人可能在学习或 阅读时遇到了困难或瓶颈。
提炼主题
通过这个画面，漫画想要表达的可能是学习或阅读中的困境，或者是对于某种困难或挑战 的无奈和逃避。
中考语文图表题解析一(漫画 及徽标)
汇报人：可编辑
202 图表题的答题规范 • 练习与提高
01
引言
目的和背景
目的
通过解析中考语文中的图表题， 特别是漫画及徽标，帮助学生更 好地理解题目要求，提高答题准 确率。
背景
随着中考改革的推进，图表题在 语文试卷中的比重逐渐增加，对 于学生的观察、分析和表达能力 提出了更高的要求。
漫画题的解题技巧
观察细节
组织语言
仔细观察漫画中的每一个细节，包括 人物的表情、动作、语言，以及环境 、道具等，这些都是理解漫画主题的 重要线索。
用准确、流畅的语言表达出对漫画的 理解和认识，注意逻辑性和条理性。
提炼主题
在观察的基础上，尝试提炼出漫画的 主题或寓意，这需要学生对漫画所表 现的社会现象或生活场景有一定的了 解和认识。
信息遗漏
在观察图表时遗漏了重要信息，导致答案不 完整或错误。
组织混乱
答案的组织混乱，条理不清，影响理解和得 分。
05
练习与提高
练习建议
01
02
03
每日一练
建议学生每天至少完成一 道中考语文图表题，保持 解题手感。
限时训练
在练习时，要注重时间管 理，模拟真实考试环境， 提高解题速度。
七巧板中考试题及答案
七巧板中考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 七巧板由几块板块组成？A. 五块B. 六块C. 七块D. 八块2. 七巧板中哪一块是等腰直角三角形？A. 正方形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 梯形3. 下列哪个图案不是用七巧板拼成的？A. 鱼B. 鸟C. 房子D. 汽车4. 七巧板的起源可以追溯到哪个国家？A. 中国B. 印度C. 埃及D. 希腊5. 七巧板的英文名称是什么？A. TangramB. TetrisC. Rubik's CubeD. Sudoku二、填空题（每空1分，共10分）6. 七巧板的七块板块中，有______块等腰直角三角形。
7. 七巧板中最大的板块是______。
8. 用七巧板拼成一个正方形，至少需要______块板块。
9. 七巧板的拼图游戏可以锻炼人的______能力。
10. 七巧板的拼图游戏在数学上属于______问题。
三、简答题（每题5分，共10分）11. 请简述七巧板的历史起源。
12. 请列举七巧板在教育中的作用。
四、操作题（共20分）13. 根据所给的七巧板板块，拼出一个“心形”图案，并简要说明拼图步骤。
五、创意题（共10分）14. 请发挥你的想象力，用七巧板拼出一个你最喜欢的动物，并描述其特点。
七巧板中考试题答案一、选择题1. C2. C3. D4. A5. A二、填空题6. 三7. 正方形8. 四9. 空间想象10. 组合几何三、简答题11. 七巧板的历史起源可以追溯到中国宋朝，最初被称为“燕几图”，后经过演变，成为今天我们所熟知的七巧板。
12. 七巧板在教育中的作用包括：培养儿童的空间想象力、逻辑思维能力、创造力和解决问题的能力。
四、操作题13. 拼图步骤：- 首先，选择一块最大的正方形板块作为底部。
- 然后，选择两块等腰直角三角形板块，将它们直角边对直角边，放在正方形的左右两侧。
- 接着，选择另一块等腰直角三角形板块，将其放在正方形的上方，与下方的三角形形成心形的上半部分。
2022中考作文指导-运用图像组合
2022中考作文指导:运用图像组合“意象〞是用来表达主观感受的物体意象(自然意象)或事件意象(社会意象)。
以下是边肖整理的图片组合。
欢送阅读！【运用意象组合】意象不仅包括春草、秋风、落叶、红梅等自然物，还包括社会事物、人物、生活场景、文学情节、史实等社会意象。
图像组合是由于表达统一主题的需要，选取几个不太相关、有情感趣味的典型人物、事件、物体或景物片段组成一组画面，实现无缝链接组合，是一种立意技巧。
这种“拼盘〞的组合，绝不是实例和布景素材的简单叠加，而是文章主题下的有机融合。
运用意图组合的方法，可以使作文呈现出板状结构，从而使作文内容丰富、结构清晰、思维流畅。
适合在考场上随意布置材料，容易满足中考作文评分标准中对一类文章“内容丰富〞、“构思巧妙〞、“结构严谨〞、“组织清晰〞的要求。
【中考兵法】图像合成法写作通常有三种合成方法：一、横向组合就是把某个特定主题下的几张图片组合成几个素材，每一段都是平行并列的。
比方作文《秋来了》，第一段以“秋天来了，我醒了，我的心碎了〞开头，奠定了全文的情感基调，然后形象简洁地描写了秋风秋雨中的秋景，以“一首美诗从诗人心中涌起〞作过渡，再以“冷清秋的吴彤细雨〞、“晚雨辞别爱情〞、“琵琶行浔阳河头〞为副标题。
最后以悲伤的风格结束，照顾开头：“秋风起，秋雨浓，吴彤芭蕉夜雨响。
秋天老了，层层愁，几首秋声，愁了一大堆。
秋天来了，带来无限悲哀，留下无数美好的诗篇。
〞以这种总分和总分的横向结构，条理清楚，内容丰富，语言优美，令人印象深刻。
第二，纵向结合是将几个不同时期或阶段的画面或图像组合在一起，片段之间有一种跨层的关系。
举个例子，如果中考总分值是《你的热情，让我记住了你》，考生首先解释一下题目“你〞是什么：“你是温暖明亮的阳光！〞然后用三个单独的段落：“年轻时你像风〞，“年轻时你像水〞，“年轻时你是天〞来引出你对阳光在三个不同人生阶段的不同感受。
一气呵成之后，自然在结尾用想象和抒情指出了主题——。
几何图形拼图考研题库答案
几何图形拼图考研题库答案一、基础题目1. 题目：给定一个正方形，要求通过剪切和拼接，将其转换成一个矩形。
答案：首先将正方形对角线剪开，得到两个直角三角形。
然后将这两个三角形的直角边拼接在一起，形成一个矩形。
2. 题目：将一个等边三角形分割成三个全等的三角形。
答案：在等边三角形的内部作一条中线，将顶点与对边中点连接。
这样可以得到三个全等的直角三角形。
二、进阶题目1. 题目：给定一个正六边形，要求通过剪切和拼接，将其转换成一个正三角形。
答案：首先将正六边形分割成六个等边三角形。
然后，将这些三角形按照正三角形的构造方法重新拼接，即每三个三角形的一边拼接在一起，形成一个新的正三角形。
2. 题目：将一个正五边形分割成若干个等边三角形。
答案：在正五边形的每个顶点处作一条对角线，将相邻的两个顶点连接。
这样可以得到五个全等的等边三角形。
三、高难度题目1. 题目：给定一个正十二边形，要求通过剪切和拼接，将其转换成一个正六边形。
答案：将正十二边形分割成十二个等边三角形。
然后，将这些三角形按照正六边形的构造方法重新拼接，即每两个三角形的一边拼接在一起，形成一个新的正六边形。
2. 题目：将一个圆分割成若干个相等的扇形，然后拼接成一个正方形。
答案：首先将圆分割成相等的360份，每份为一个扇形。
然后，将这些扇形按照正方形的构造方法重新拼接，即每四个扇形的一边拼接在一起，形成一个新的正方形。
结语几何图形拼图不仅是一种数学游戏，更是一种思维训练。
通过解决这些题目，考生可以加深对几何图形性质的理解，提高空间想象能力和解决问题的能力。
希望这些答案能够帮助考生更好地准备考研，取得优异的成绩。
中考数学拼图题型赏析
考拼图题型赏析拼图题就是在生动有趣的情境中，引导学生动手操作，巩固有关图形的知识，积累数学活动经验，发展有条理的思考，进一步形成空间概念，认识到图形在日常生活中的应用．它具有开放性、综合性、延伸性等特点，已成为近几年来中考数学命题的一大风景为帮助同学们熟悉题型，迎接挑战，笔者撷取几例中考拼图趣题，进行归类分析，供大家欣赏．一.开放型例1 (广东茂名)如图1，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内．．．添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．分析:本题没有给出对称轴,根据轴对称图形的特征,可以在不同的位置进行涂黑,解答时可先确定其对称轴,然后再涂黑,如图4所示.此题答案不唯一，只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形即可.解：如图2所示.评注：它是一个结论开放型拼图题，其结果可以是多种多样的，只要符合题目要求即方法一 方法二 图 1 方法一 方法二 方法三 方法四 图2图4 ① •••② ③可．在考查灵活运用所学数学知识解决问题的同时，能够让解答者感受到数学的美，较好地展示了解答者的创新精神.二.网格型例2 （山东日照）如图3所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )A.16个B.32个C.48个D.64个分析:观察图形得到，L 形图案在4个小方格组成的正方形中,且这个正方形可以画出4个不同位置的L 形图案, 4×5个小方格组成的方格纸包含12个4个小方格组成的正方形,所以最多可以画出不同位置的L 形图案个数为4×12=48个.故选C.评注:注意本题的思考方法是分解法,先确定4个小方格组成的正方形中可画出L 形图案个数,再找出图3中包含小方格的个数,进而得到本题答案.三.规律型例3 (河南)如图4,将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有 个正六边形．分析：由题知，图①为1个正六边形；图②为4个正六边形，是（1+3×1）个；图③为7个正六边形，是（1+3×2）个；则第n 个图形中正六边形的个数为：1+3×（n-1）个.评注: 本题是一道按规律拼图的题目，此类题目只要抓住了图形的变化规律，则问题可解．它着重考查的就是识图能力和归纳推理能力．图3四.选择型例 4 （广东梅州）如图5，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，90AD BC BAC⊥∠≠，°．将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 _______个．分析：可拼出如图6所示的两个平行四边形和一个矩形，它们都是中心对称图形,应填3.评注：本题宜采用平移、旋转、翻折等手段来拼图.五.计算型例5 (浙江丽水)如图6所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）：面积关系是；周长关系是．分析:（1）通过旋转或平移图形②,可以拼成直角三角形、等腰梯形、矩形;(2)因为三个图形都是由①、②两图形拼出的，所以其面积相等,都等于菱形ABCD的面积;计算CE= ,31222=-则直角三角形、等腰梯形、矩形的周长分别为:6+2,38,4+2,3于是可图5 图6图7得到三个图形的周长的大小关系.解:(1)如图7所示.（2） =S =S S 矩形直角三角形等腰梯形； l 直角三角形＞l 等腰梯形 ＞ l 矩形． ……评注：本题主要是依据勾股定理计算三种图形的周长,进而进行比较.（福建省三明市）用含30角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）BA ．①②B ．①③C ．③④D ．①②③。
谈中考图形折叠问题
谈中考图形折叠问题童桂恒（浙江金华市第四中学 321000）图形折叠试题是考查学生空间想像能力和动手实践能力的一种题型.它不仅可以考查学生的素质水平，而且也为“注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正实现空间与图形的教育价值”起着导向和督促作用 ①.在近年来全国各地的中考试题中，图形折叠问题渐渐成了考查的热点问题.一 处理图形折叠问题的思想方法图形折叠问题实质是对称问题的应用.在处理图形折叠问题中，关键是抓住下面两点： (1)折叠前后的不变量：被折叠的图形与叠折后所得图形关于折痕所在直线成轴对称.因此，折叠前后对应的边相等，对应的角相等.(2)折叠前后的变化量：被折叠的图形与折叠后所得图形的对应顶点关于折痕所在直线对称.因此，折叠前后对应顶点之间的线段被折痕垂直平分.二 常见图形折叠问题的三种类型1.三角形折叠三角形折叠有三种形式：主要形式是沿三角形一边上的中线(或高线、角平分线等)折叠；另两种形式是沿平行于底边的一直线折叠和使两顶点重合的折叠.例1 在△ABC 中，已知AB ＝2a ，∠A ＝30°，CD 是AB 边上的中线，若将△ABC 沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等.其中正确结论的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个(2003年天津市中考题)分析 题中给出的三个结论，①、②属存在性结论，我们可采用构图法予以解决.构造图1-(1)，AC ＝ a ，∠A ＝30°，AD ＝DB ＝a ，则∠ADC ＝∠ACD ＝75°.把△ACD 沿CD 对折得图1-(2).根据折叠前后边角对应相等，在图中1-(2)中有：∠ADB ＝∠CDB-∠ADC ＝105°-75°＝30°＝∠A ，因此AC ∥DB ；又AC ＝DB ＝a ，故知四边形ACDB 是平行四边形，Ｓ重叠部分＝Ｓ△CCD ＝12Ｓ△ACD ＝14Ｓ△ABC ，所以结论①正确.由平行四边形的性质知结论③也正确.对于结论②可构造图1-(3)，便知结论正确(如图1-(4)).注释：①《数学教学实施指南》(初中卷)华中师范大学出版社2003年4月第1版第75页2.四边形折叠这类问题折叠方式有四种：沿四边形的一条对角线(或一边上高线)折叠，沿平行一边的直线(如对称轴)折叠，沿指定的直线折叠和使两顶点重合的折叠.例2 在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 翻折后得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积.(2001年上海市中考题)分析 如图2-(1)，在Rt △ABE 中，∵BE ＝ABcos45CE ＝B ′E ＝BE>EC ，∴点B ′在EC 的延长线上(如图2-(2)).设AB ′与CD 交于点F ，则△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分即为四边形AECF.∵△ABE ≌△AB ′E ，∴EB ′＝BE CB ′＝EB ′-EC ＝＝， ∠B ′＝∠B ＝45°， ∠B ′AE ＝ ∠EAB ＝45°.∴∠BAB ′＝90°，即AB ′⊥AB.∵CD ∥AB ，∴AB ′⊥CD.∴△CFB ′为等腰直角三角形，CF ＝FB CB ′＝∴Ｓ重叠部分＝Ｓ△AEB ′-Ｓ△CFB ′＝Ｓ△ABE–Ｓ△CFB ′＝12×2-12×2＝2例3 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD 对折，折痕为MN(如图3-(1))；第二步：再把B 点叠在折痕线MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为B ′，得Rt △AB ′E(如图3-(2))；第三步：沿EB ′线折叠得折痕EF(如图3-(3)).利用展开图3-(4)探究：(1)△AEF 是什么三角形?证明你的结论；(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由.(2003年山西省中考题)分析 (1)由具体的折叠操作过程知：∠1＝∠2＝∠3＝60°，∠4＝∠5＝30°， ∴∠6＝90°-30°-30°＝30°，∠EAF＝60°.∴△AEF 是正三角形.(2)不一定，由上面的分析可知：当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽：长＝AB ∶AF ＝sin60°＝3∶2时正好能折出.如果设矩形的长为a ，宽为b ，可知当b ≤32a 时，按此法一定能折出等边三角形；当32a<b<a 时，按此法无法折出完整的等边三角形. 例4 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6.(1)如图4-(1)，在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ，求折痕CG 所在直线的解析式.(2)如图4-(2)，在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ′.①求折痕AD 所在直线的解析式；②再作E ′F ∥AB ，交AD 于点F ，若抛物线y=-112x 2+h 过点F ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD 的交点的个数. (3)如图4-(3)，一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记E ″.请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系?用(1)中的情形验证你的猜想.(2003年苏州市中考题)分析 (1)易知OGEC 为正方形，OG ＝GE ＝EC ＝OC ＝6，∴G(6，0)，C(0，6).∴CG 所在直线的解析式为y=-x+6.(2) ①设OD ＝m ，则CD ＝6-m ，DE ′＝OD ＝m ，AE ′＝AO ＝10.由勾股定理得 BE ′＝(AE ′)2-AB 2＝8，∴CE ′＝2.又由勾股定理得(CE ′)2+CD 2＝(DE ′)2，即4+(6-m)２＝m 2解得m=103. ∴D(0，103)，A(10，0).∴AD 所在直线解析式为y=-13x+103. ②∵E ′F ∥AB ，设F(2，n)，∵点F 在直线AD 上，∴n=-13×2+103＝83. ∴F(2，83). ∵抛物线y =-112x 2+h 过点F(2，83).∴83＝-112×4+h ，解得h=3. ∴抛物线的解析式为y=-112x 2+3 联立方程组 213,12110.33y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得 x 2-4x+4=0. ∵△＝0，∴抛物线与直线AD 只有一个交点.(3)猜想：折痕所在直线与抛物线y=-112x 2+3只有一个交点.验证：在图4-(1)中，折痕为CG ，将y=-x+6代入y=-112x ２＋３，得-112x 2+x-3=0，∵△＝1-4×(-3)×(-112)＝0. ∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y=-112x 2+3只有一个交点. 3 交互形折叠它是三角形折叠与四边形折叠的组合.折叠的图形更为复杂，需要分清每一步折叠过程，综合应用勾股定理，相似形(包括全等形)、方程等思想方法.例5 在长为4宽为3的矩形纸片ABCD 中，先沿对角线BD 对折，点C 落在C ′位置，BC ′交AD 于G(如图5-(1)).再折一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN(如图5-(2))，EN 交AD 于M.求折痕EN 的长.(1999年济南市中考题改编)分析 由两点重合折叠过程知：AM ＝DM ＝12AD ＝2，EN ⊥AD ，MN ＝12AB ＝32.又由沿矩形对角线折叠过程知：∠C ′＝∠C ＝90°，DC ′＝DC ＝3.易证Rt △EMD ∽Rt △GC ′D. ∴''EM MD GC C D = ，得EM ＝23GC ′.易证Rt △GC ′D ≌Rt △GAB ，∴C ′G ＝AG. 在Rt △DGC ′中，由勾股定理得：C ′G 2+32＝(4-C ′G)2.解得C′G＝78，∴EM＝23×78＝712.∴EN＝EM+MN＝712+32＝2512.附：如下中考试卷中的折叠问题可供练习用：1 如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′ 交AD于E.下列结论不一定成立的是( )A．AD＝BC′ B．∠EBD＝∠EDBC．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE＝AE ED(2002年黑龙江省中考题)2 将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是( ) (2003年陕西省中考题)A．矩形B．三角形C．梯形D．菱形3 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线).继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕.那么对折四次可以得到条折痕.如果对折n次，可以得到条折痕.(2003年南宁市中考题)4 已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点在E处，BE与AD相交于点O.写出一组相等的线段(不包括AB＝CD和AB ＝BC).(2003年昆明市中考题)5 如图，将 ABCD沿AC折叠，点B落在B′处.AB′交DC于点M.求证：折叠后重合的部分(即△MAC)是等腰三角形.(2001年北京市崇文区中考题)6 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠一次(折痕与折叠后得到的图形用虚线表示).将得到的所有的全等三角形(包括实线、虚线在内)用符号写出来.(2002年宁夏回族自治区中考题)7 已知:如图,矩形AOBC,以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上.点A坐标为(0，3)，∠OAB＝60°,以AB为轴对折后,使C 点落在D点处,求D点坐标.(2002年青海省中考题)8 已知：如图(1).矩形ABCD中，AD>AB，O为对角线的交点，过O作直线分别交BC、AD于M、N.(1)求证：梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积.(2)如图(2)，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕翻折后能使C点恰好与A点重合?(只写出满足的条件，不要求证明)(3)在(2)中条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的12，求BM∶MC的值.(2001年江苏省连云港市中考题)。
2020中考数学图形折叠与拼接问题（含答案）
2020中考数学图形折叠与拼接问题（含答案）2020中考数学⼏何培优之图形折叠与拼接问题（含答案）【例1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的⾯积为＿＿＿＿＿.例1题图例2题图【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）【例3】如图，将边长为12cm 的正⽅形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.【例4】将⼀矩形纸⽚OABC 放在平⾯直⾓坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中⼀点到达终点时，另⼀点也停⽌运动．设点P 的运动时间A（1）⽤含t 的代数式表⽰OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平⾏？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．【例5】⽤10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正⽅形，可以拼接⼀个长⽅形.（1）求这个长⽅形的长和宽；（2）请画出拼接图.【例6】将正⽅形纸⽚ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5；（2）如果M 为CD 边上的任意⼀点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长⽤含CM 的长x 的代数式表⽰；若⽆关，请说明理由．图1能⼒训练1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图是⽤12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的⽐是_____.4、如图，EF为正⽅形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG＝_______度.5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使80，则∠EGC的度数点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝0为________.第4题图第5题图第6题图6、将⼀张长为70cm的长⽅形纸⽚ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸⽚的宽AB是______cm.7、如图，在矩形纸⽚ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸⽚使AB 边与对⾓线AC 重合，点B 落在F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .68、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ( )A .B 、2C 、3D 、4第7题图第8题图第9题图9、如图，有⼀块菱形的草地，要在其上⾯修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成⾯积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的⽅案. 10、如图，折叠矩形纸⽚ABCD ，先折出折痕(对⾓线)BD ，再折叠使AD 边与对⾓线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABCD 的⼀边AD ，使点D 落在BC 边上的点F处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长.EA12、如图1，⼀张矩形纸⽚ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对⾓线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点(1) 求证：AG＝G(2) 如图2，再折叠⼀次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.B级1、如图，⼀张宽为3，长为4的矩形纸⽚ABCD，先沿对⾓线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠⼀次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME 的长为__________.2、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸⽚折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的⾯积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸⽚OABC放⼊平⾯直⾓坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸⽚OABC沿AC 折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸⽚ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有⼀点E，ED＝2cm，AD上有⼀点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD 交BC于F，将纸⽚折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.7、在三⾓形纸⽚ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平⾏于BC，折叠三⾓形纸⽚ABC，使直⾓顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT 长度的最⼤值与最⼩值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝8，将纸⽚折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另⼀端F在AB边上时，如图．求△EFG的⾯积；（2）当折痕的另⼀端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长.9、如图，已知三⾓形纸⽚ABC的⾯积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐⾓，M是AB 边上的⼀动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）⽤x表⽰△AMN的⾯积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平⾯内），设点A落在平⾯BCNM 内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的⾯积为y．①⽤含x的代数式表⽰y，并写出x的取值范围．10、如图：⼀正⽅形纸⽚，根据要求进⾏多次分割，把它分割成若⼲个直⾓三⾓形．具体操作过程如下：第⼀次分割：将正⽅形纸⽚分成4个全等的直⾓三⾓形；第⼆次分割：将上次得到的直⾓三⾓形中的⼀个再分成4个全等的直⾓三⾓形；以后按第⼆次分割的⽅法重复进⾏．（1）请你设计出两种符合题意的分割⽅案（分割3次）；（2）设正⽅形的边长为a，请你通过对其中⼀种⽅案的操作和观察，将第⼆、第三次分割后所得的最⼩的直⾓三⾓形的⾯积S 填⼊下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最⼩直⾓三⾓形⾯积S 与分割次数n 有什么关系？⽤数学表达式表⽰出来．11、如图1，将边长为4cm 的正⽅形纸⽚ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①△AEM 的周长＝_________cm ；②求证：EP ＝AE ＋DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发⽣变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸⽚折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸⽚还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x的取值范围），当y 取最⼤值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.参考答案例1 10例2 A 提⽰：作RE ⊥y 轴于E ，RF ⊥x 轴于F ，则Rt △QRE ∽Rt △PRF ，从⽽PFQERF RE PR QR ==，设R (x ，y )，⼜PR ＝OP ＝3，QR ＝OQ ＝6，于是3636--==x y y x ，得x ＝524，y ＝512．例3 7 提⽰：过F 作FM ⊥BC 于M ，证明△FGM ≌△ADE ，则FG ＝AE ＝13，DE ＝5 例4 （1）OP ＝6－t ，OQ ＝t ＋32（2）D (1，3) （3）①PQ 能与AC 平⾏，若PQ ∥AC ，则OC OA OQ OP =，即326+-t t ＝36．得t ＝914，⽽0≤t ≤37，∴t ＝914．②PE 不能与AC 垂直．若PE ⊥AC ，延长QE 交OA 于F ，则OC OQ AC QF =，即33253+=t QF，QF ＝5(t ＋32)．∴EF ＝QF －QE ＝QF －OQ ＝5(t ＋32)－(t ＋32)＝(5－1)t ＋32(5－1)．⼜Rt △EPF ∽Rt △OCA ，∴OA OC EF PE =，即63)32)(15(6=+--t t ，t ≈3.45，⽽0≤t ≤37，∴t 不存在．例5 （1）10个正⽅形的⾯积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．因为所拼成的长⽅形⾯积是3055．长⽅形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提⽰：（1）证明：设正⽅形边长为a ，DE 为x ，则DM =（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.△周长△周长==△CMG的周长△周长，在△DEM中，由勾股定理得（2）2=2+（2）2，化简得4ay=x（4a-x）即. ∴△CMG的周长=44（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.656 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提⽰：长⽅形纸⽚折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。
中考数学中的图形折叠拼接问题分析试题
中考数学中的图形折叠拼接问题分析2021年中考题中很多地方出现了图形折叠、拼接问题，它考察了学生的动手操作与空间想象才能，培养了学生的创新精神和理论才能，已成为中考的一个热点之一。
下面我们一起研究一下。
一、平面展开图与折叠例1、〔2021〕年图1是正方体的一个平面展开图，假如折叠成原来的正方体时与边a重合的是〔〕〔A〕d〔B〕e〔C〕f〔D〕i答案：A 此题考察了学生的空间想象才能。
二、对折例2、〔2021年〕现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次〔第一次折后也可翻开铺平再折第二次〕，使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个局部〔称为一次操作〕，如图甲〔虚线表示折痕〕．除图甲外，请你再给出三种不同的．．．操作，分别将折痕画在图①至图③中〔规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，假如可以“配对〞得到四组全等的图形，那么就认为是一样的操作，如图乙和图甲示一样的操作〕．〔甲〕〔乙〕①②③解析:三、按要求拼接此题考察了学生动手操作与创新的才能，学生必须转换角度，调整思路，灵敏处理变化了的新问题。
三、拼接例3、〔海淀区2021年〕以下矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形.________ 〔请填图形下面的代号〕。
答案：②此题假设学生把矩形纸按实际要求操作一下，答案很容易得到，但只凭想象答案很有可能出现多项选择情况。
四、沿某一条直线对折出的复杂题型例4、〔2OO6年〕矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)假如折痕FG分别与AD、AB交与点F、G(如图1)，23AF ，求DE的长；(2)假如折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．解：⑴在矩形ABCD 中，AB=2,AD=1AF=23,∠D=900.根据轴对称的性质得：EF=AF=23，∵DF=AD-AF=13，在RT △DEF 中DE=223-=21（）（）33。
2022高考模考作文导写：拼图单片与整幅拼图(附文题解读写作指导及范文)
2022高考模考作文导写：拼图单片与整幅拼图考题呈现23.阅读下面的材料，根据要求写作。
(60 分)在拼图游戏中，完成整幅拼图需要一个个拼图单片的恰当拼接。
而这些小小的拼图单片，如果视自己为孤立的个体，就难以确认自己的位置与价值；只有嵌在恰当的位置上，它们才是不可替代的存在。
其实，每一天，每个人，都应成为某个宏大图景中的一块拼图单片，既独特又相融。
当然，一幅完美的宏大图景，也会让每一块拼图单片各得其所，各尽其能。
我们正在创造中华民族复兴的宏大图景，你作为新时代的青年人，对此有怎样的思考？又应该有怎样的行动？请结合材料，联系现实写一篇文章，体现你的感悟与思考。
要求：选准角度，确定立意；明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭；不得泄露个人信息；不少于 800 字。
考题解读这是一道隐喻性任务驱动型作文题。
试题材料从考生熟悉的拼图游戏切入，用“拼图单片”和“整幅拼图”的关系来进行类比说理，极具生活化与哲理化。
一方面强调了“拼图单片”的个性与其不可替代的作用，另一方面也阐释了“整幅拼图”（宏大图景）与“拼图单片”二者相辅相成的辩证关系：“拼图单片”只有嵌在恰当的位置上，做到“既独特又相融”，才是不可替代的存在；一幅完整的拼图离不开一个个单片的“恰当拼接”，最后才能构成完美的宏大图景。
写作提示部分则明确了考生身份，即“新时代的青年人”，任务是“正在创造中华民族复兴的宏大图景”，要求是在宏大背景下，联系现实，思考作为个人如何做，“有怎样的行动”。
由此可知，本题主要考查考生的阅读理解能力、理性思维能力、问题解决的能力等，要求考生正确认识个人与国家的关系，勇于承担国家与时代赋予的历史使命和责任担当，并且既要能认真思考又要能努力践行，实现知行合一。
从中国学生发展核心素养来看，本题的命题维度包括：（1）文化基础：理性思维、勇于探究；（2）自主发展：勤于反思；（3）社会参与：国家认同、社会责任、问题解决。
考生需要先对材料进行准确审读，提炼概括，在材料涵义范围内精选一个适合自己的（感悟较深、有话可写）的立意，构思行文。
中考数学专题知识点49 图形剪拼操作(含七巧板)2021
一、选择题5．（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形D【解析】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA＝AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD关于直线CD对称，∴四边形BACD是菱形．10．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GHA【解析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF,EF＝GH,∠HEF＝90°.∵OJ⊥DE,∴∠OJH＝∠HEF＝90°,∴OJ∥EF.∵HO＝OF,∴HJ＝JE,∴EF＝GH＝2OJ.∵S△DHO=12•DH•OJ,S△DHG=12•DE•GH,∴S△DGH＝2S△DHO,同法可证S△AEH＝2S△AEO.∵S△DHO＝S△AEO,∴S△DGH＝S△AEH.∵S△DGC=12•CG•DH,S△ADH=12•DH•AE,CG＝AE,∴S△DGC＝S△ADH,∴S△DHC＝S△ADE,∴S1＝S2.6．（2021•江西6题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5B【解析】观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．3．(2021·枣庄)将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（）A. B. C. D.D二、填空题15．（2021•金华）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是．(−√2414,2+√24)【解析】如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,∴AH＝DH＝a,∴OH＝4a.∵点A 的横坐标为1，∴4a ＝1,∴a =14.在Rt △FPQ 中，PF ＝FQ ＝2a =12,∴PQ =√2PF =√22.∵FK ⊥PQ ,∴PK ＝KQ ,∴FK ＝PK ＝QK =√24. ∵KJ =14，PT ＝1+(√22−12)=12+√22,∴FJ =√24+14,KT ＝PT ﹣PK =12+√22−√24=12+√24,∴F (−√24−14,2+√24)．16．(2021·安顺、贵阳) 在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 ． {答案}2262-，2{解析}①当等边三角形的一个顶点E 与A 重合时，F ，G 分别在BC ，CD 上，此时边长最大，∴面积最大在Rt △ABF 和Rt △ADG 中，⎩⎨⎧==AF AG ABAD ，∴Rt △ABF ≌Rt △ADG （HL ），∴BF=DG ，∴CF=CG ，∴△CFG是等腰直角三角形，设CF=x ，则BF =2－x ，FG=AF =x 2，在Rt △ABF 中，AB 2+BF 2=AF 2，∴222)2()2(2x x =-+，解得，2321-=x ，2322--=x （舍去），AF =2262)232(22-=-=x ；②当等边三角形的一个顶点E 与在AD 的中点时，F ，G 分别在AB ，CD 上，此时边长最小，面积最小，易证△AEF ≌△DEG ，∴AF=DG ，∴BF=CG ，∵BF ∥CG ，∴四边形BCGF 是平行四边形，∵∠B =90°，∴四边形BCGF 是矩形，∴FG=BC =2，因此本题答案是2262-，2．16．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为 ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A ′，B ′，C ′．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．6﹣2√3 (16﹣8√3)π【解析】如图，连接FH ,由题意可知点A ′,O ,C ′在线段FH 上,连接OB ′,B ′C ′,过点O 作OH ⊥B ′C ′于H ．∵大正方形的面积＝12，∴FG ＝GH ＝2√3, ∵EF ＝HK ＝2,∴在Rt △EFG 中，tan ∠EGF =EF FG=2√3=√33, ∴∠EGF ＝30°,∵JK ∥FG ,∴∠KJG ＝∠EGF ＝30°,∴d ＝JK =√3GK =√3(2√3−2)＝6﹣2√3, ∵OF ＝OH =12FH =√6,C ′H =√2,∴OC ′=√6−√2,∵B ′C ′∥QH ,B ′C ′＝2,∴∠OC ′H ＝∠FHQ ＝45°, ∴OH ＝HC ′=√3−1,∴HB ′＝2﹣(√3−1)＝3−√3, ∴OB ′2＝OH 2+B ′H 2＝(√3−1)2+(3−√3)2＝16﹣8√3, ∵OA ′＝OC ′＜OB ′,∴当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π． 15．（2021•丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM ＝2EM ，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB ，CD 之间的距离是 ．133【解析】如图2中，过点E 作EI ⊥FK 于I ，过点M 作MJ ⊥FK 于J ．由题意，△ABM ，△EFK 都是等腰直角三角形，AB ＝BM ＝2，EK ＝EF ＝2√2，FK ＝4，FK 与CD 之间的距离为1，∵EI ⊥FK ，∴KI ＝IF ，∴EI =12FK ＝2，∵MJ ∥EI ，∴MJEI =FM EF=23，∴MJ =43，∵AB ∥CD ，∴AB 与CD 之间的距离＝2+43+1=133，故答案为：133． 15．（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将△AOB 展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE ＝75°，则∠OBA 的度数为 135° ．135°【解析】由题知，∠AOB =16×180°＝30°，由翻折知∠OAB =12∠DCE ，CD ＝CE ， ∵∠CDE ＝75°，∴∠DCE ＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠OAB =12∠DCE =12×30°=15°， ∴∠OBA ＝180°﹣∠AOB ﹣∠OAB ＝180°﹣30°﹣15°＝135°，18．（2021•烟台）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm 2，其中一边BC 为8cm 的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE （如图2），则矩形的周长为 cm ．18．22 解析：延长AT 交BC 于点P ，∵AP ⊥BC ，∴12•BC •AP ＝24，∴12×8×AP ＝24，∴AP ＝6（cm ），由题意，AT ＝PT ＝3（cm ），∴BE ＝CD ＝PT ＝3（cm ），∵DE ＝BC ＝8cm ，∴矩形BCDE 的周长为8+8+3+3＝22（cm ）．三、解答题23．（2021·齐齐哈尔）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．图1 图2 图3折一折：将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、AD 都落在对角线AC 上，展开得折痕AE 、AF ，连接EF ，如图1．（1）∠EAF ＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF 绕点A 旋转，使它的两边分别交边BC 、CD 于点P 、Q ，连接PQ ，如图2． （2）线段BP 、PQ 、DQ 之间的数量关系为 ；（3）连接正方形对角线BD ，若图2中的∠P AQ 的边AP 、AQ 分别交对角线BD 于点M 、点N ，如图3，则CQBM＝ ；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD 剪开，如图4．图4（4）求证：BM 2+DN 2＝MN 2．解： （1）∠EAF ＝45°；△BAC ；△CAD ；△AEF ；△CEF ； （2）延长CD 至P ′使得DP ′＝BP ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠ADP ′， ∴△ABP ≌△ADP ′，∴AP ＝AP ′，∠BAP ＝∠DAP ′. 又∵∠P AQ ＝45°，∴∠QAP ′＝45°.又∵AQ ＝AQ ，∴△APQ ≌△AP ′Q ，∴PQ ＝P ′Q ＝DQ ＋DP ′＝DQ ＋BP .FB APA QPAQA（3）在正方形ABCD 中，∠BAC ＝∠ABM ＝∠ACQ ＝45°. 又∵∠P AQ ＝45°，得到∠BAM ＝∠CAQ ，∴△ABM ∽△ACQ ，∴CQ ACBM AB==. （4）作AN ′⊥AN ，且AN ′＝AN ，∴∠DAN ＝∠BAN ′， ∴△DAN ≌△BAN ′，∴∠D ＝∠ABN ′＝45°，DN ＝BN ′，∴∠MBN ′＝90°. 又∵∠MAN ＝45°＝∠MAN ′，∴△MAN ≌△MAN ′， ∴MN ＝MN ′，∴BM 2+DN 2＝MN 2．BDQN'。
2021中考真题分类知识点48：图形剪拼操作
一、选择题10．（2020台州）把一张宽为1cm的长方形纸片ABCD折叠成如图所示的阴影图案，顶点A，D互相重合，中间空白部分是以E为直角顶点，腰长为2cm的等腰直角三角形，则纸片的长AD（单位：cm）为（）A．7+3 B．7+4 C．8+3 D．8+4【分析】如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．想办法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解决问题．【解答】解：如图，过点M作MH⊥A′R于H，过点N作NJ⊥A′W于J．由题意△EMN是等腰直角三角形，EM＝EN＝2，MN＝2 ，∵四边形EMHK是矩形，∴EK＝A′K＝MH＝1，KH＝EM＝2，∵△RMH是等腰直角三角形，∴RH＝MH＝1，RM= ，同法可证NW= ，由题意AR＝RA′＝A′W＝WD＝4，∴AD＝AR+RM+MN+NW+DW＝4+ +2 + +4＝8+4 ，故选：D．10．（2020·黔东南州）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧 ，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧 ‴ 、‴ ，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π{答案}B{解析}观察图形可知，阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去两直角边长为2的等腰直角三角形的面积，即：14•π×22−1 × × ＝π﹣2.7．（2020·枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．ab B．(a＋b)2C．(a－b)2D．a2－b2{答案}C{解析}拼成的正方形的面积减去原长方形的面积，即为中间空余的部分的面积．(a＋b)2－2a·2b＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2．7．（2020·乐山）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为），如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是（）A．B．C．D．{答案}D{解析}先根据拼接前后图形的面积不变，求出拼成正方形的边长，再以此进行裁剪即可得．由方格的特点可知，选项A、B、C的阴影部分的面积为5，选项D阴影部分的面积均为6；如果能拼成正方形，那么选项A、B、C 拼接成的正方形的边长为5，选项D拼接成的正方形的边长为6；观察图形可知，选项A、B、C阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得到如图1所示的5个图形，由此可拼接成如图2所示的边长为5的正方形；而根据正方形的性质、勾股定理可知，选项D阴影部分沿着方格边线或对角线剪开不能得到边长为6的正方形．二、填空题15．（2020•丽水）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是．【解答】解：如图，作AT∥BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为，边心距=．观察图象可知：BH=19a，AH=，∵AT∥BC，∴∠BAH＝β，∴tanβ=BH AH=19 a=14．（2020·衢州）小慧用图1中的一副七巧板拼出如图2所示的“行礼图”．已知正方形ABCD的边长为4dm，则图2中h的值为dm．{答案{解析}如图1，∵正方形ABCD的边长为4dm，∴②的斜边上的高是2dm，④的长边上的高是1dm，⑥的斜边上的高是1dm，∴图2中h的值为（4dm．16．（2020·绍兴，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的（填序号）．①，②11，④2{答案}①，②，③，④{解析}本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，分类讨论思想，几何作图．根据题意，可以剪出如下形式的等腰三角形（如图所示，其他符合题意的剪法均可），如在图1中，等腰△CDE2中，等腰△CDF 的腰长为32；在图3中，等腰△ADG 的腰长为1；在图4中，等腰△BHK ﹣1.因为矩形ABCD 为腰长的等腰三角形．因此本题答案为①，②，③，④．图1图2图3图413．（2020台州）如图，等边三角形纸片ABC 的边长为6，E ，F 是边BC 上的三等分点．分别过点E ，F 沿着平行于BA ，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是6．【分析】根据三等分点的定义可求EF 的长，再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：∵等边三角形纸片ABC 的边长为6，E ，F 是边BC 上的三等分点，∴EF ＝2，∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴△DEF 是等边三角形，∴剪下的△DEF 的周长是2×3＝6．故答案为：6．16．（2020台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a ，小正方形地砖面积为b ，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD ．则正方形ABCD 的面积为a +b ．（用含a ，b 的代数式表示）【分析】如图，正方形ABCD 是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a ，由此即可解决问题．【解答】解：如图，正方形ABCD 是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a ．故正方形ABCD 的面积＝a+b ．故答案为a+b ．三、解答题。
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中考拼图题型赏析
拼图题就是在生动有趣的情境中，引导学生动手操作，巩固有关图形的知识，积累数学活动经验，发展有条理的思考，进一步形成空间概念，认识到图形在日常生活中的应用．它具有开放性、综合性、延伸性等特点，已成为近几年来中考数学命题的一大风景为帮助同学们熟悉题型，迎接挑战，笔者撷取几例中考拼图趣题，进行归类分析，供大家欣赏．
一.开放型
例1 (广东茂名)如图1，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内．．．
添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．
分析:本题没有给出对称轴,根据轴对称图形的特征,可以在不同的位置进行涂黑,解答时可先确定其对称轴,然后再涂黑,如图4所示.此题答案不唯一，只要在方格内添的二个正方形使整个图形是对称图形即可.
解：如图2所示.
评注：它是一个结论开放型拼图题，其结果可以是多种多样的，只要符合题目要求即可．在考查灵活运用所学数学知识解决问题的同时，能够让解答者感受到数学的美，较好地展示了解答者的创新精神.
二.网格型
例2 （山东日照）如图3所示的阴影部分图案是由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形．那么在由4×5个小方格组成的方格纸上最多可以画出不同位置的L 形图案的个数是( )
A.16个
B.32个
C.48个
D.64个
分析:观察图形得到，L 形图案在4个小方格组成的正方形中,且这个正方形可以画出4个不同位置的L 形图案, 4×5个小方格组成的方格纸包含12个4个小方格组成的正方形,所以最多可以画出不同位置的L 形图案个
数为4×12=48个.故选C.
评注:注意本题的思考方法是分解法,先确定4个小方格组成的正方形中可画出L 形图案个数,再找出图3中包含小方格的个数,进而得到本题答案.
三.规律型
例3 (河南)如图4,将图①所示的正六边形进行分割得到图②，
再将图②中最小的某一个正图3 方法一 方法二
图
1 方法一 方法二 方法三 方法四
图2
六边形按同样 的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割，…，则第n 个图形中共有 个正六边形．
分析：由题知，图①为1个正六边形；图②为4个正六边形，是（1+3×1）个；图③为7
个正六边形，是（1+3×2）个；则第n 个图形中正六边形的个数为：1+3×（n-1）个. 评注: 本题是一道按规律拼图的题目，此类题目只要抓住了图形的变化规律，则问题可解．它着重考查的就是识图能力和归纳推理能力．
四.选择型
例 4 （广东梅州）如图5，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，90AD BC BAC ⊥∠≠，°．将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出中心对称图形 _______个．
分析：可拼出如图6所示的两个平行四边形和一个矩形，它们都是中心对称图形,应填3. 评注：本题宜采用平移、旋转、翻折等手段来拼图.
五.计算型
例5 (浙江丽水)如图6所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点，按CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．
（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；
图5 C A B D
图
6
图4 ① ∙∙∙② ③
（2）判断所拼成的三种图形的面积（s ）、周长（l ）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）： 面积关系是 ；
周长关系是 ．
分析:（1）通过旋转或平移图形②,可以拼成直角三角形、等腰梯形、矩形;(2)因为三个图形都是由①、②两图形拼出的，所以其面积相等,都等于菱形ABCD 的面积;计算CE=,31222=-则直角三角形、等腰梯形、矩形的周长分别为:6+2,38,4+2,3于是可得到三个图形的周长的大小关系.
解:(1)如图7所示.
（2） =S =S S 矩形直角三角形等腰梯形； l 直角三角形＞l 等腰梯形 ＞ l 矩形． ……
评注：本题主要是依据勾股定理计算三种图形的周长,进而进行比较.
（福建省三明市）用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形．其中可以被拼成的图形是（ ）B
A ．①②
B ．①③
C ．③④
D ．①②③
图7。