两角和与差的正切含答案

课时作业26 两角和与差的正切

时间：45分钟 满分：100分

一、选择题(每小题6分，共计36分) 1.3－tan15°

1＋3tan15°的值为( )

A ．0

B ．1

C.1

2 D ．2

解析：原式＝tan60°－tan15°

1＋tan60°·tan15°＝tan45°＝1.

答案：B

2.1－tan 5π12tan π4tan 5π12＋tan π4

的值等于( )

A ．－33 B.3

3 C ．－ 3 D. 3

解析：原式＝1tan (5π12＋π4)＝1tan 23π＝

1－3＝－3

3，故选A.

答案：A

3．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于(

) A ．1 B ．2

C ．tan10° D.3tan20°

解析：∵tan(20°＋10°)＝tan20°＋tan10°

1－tan20°·tan10°

， ∴tan20°＋tan10°＝tan30°(1－tan20°tan10°)，

∴原式＝tan10°tan20°＋3tan30°(1－tan20°·tan10°)

＝tan10°·tan20°＋1－tan20°·tan10°＝1.

答案：A

4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α不可能是( ) A.3π8

B.5π8

C.7π8

D.11π8 解析：∵tan2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]

＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋21－3×2

＝－1， ∴2α＝k π－π4(k ∈Z )，即α＝k π2－π8(k ∈Z )，

令k ＝1,2,3可得，α＝3π8，7π8，11π8，故选B.

答案：B

5．下列式子结果为3的是( )

①tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°；②(1＋tan20°)(1＋tan40°)；③1＋tan15°1－tan15°；④tan π6

1－tan 2π6

. A ．①② B ．①③

C ．①②③

D ．①②③④

解析：①原式＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋3tan25°tan35° ＝3－3tan25°tan35°＋3tan25°tan35°＝3；

③原式＝tan45°＋tan15°

1－tan45°tan15°＝ 3.

答案：B

6．已知cos A ＋sin A ＝－713，A 为第四象限角，则tan A 等于(

) A.125 B.512

C ．－125

D ．－512

解析：解法1：cos A ＋sin A ＝－713，

平方得2sin A cos A ＝－120169，

又2sin A cos A ＝2sin A cos A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A

1＋tan 2A ，

∴2tan A 1＋tan 2A ＝－120169，

又∵tan A <0，|sin A |>cos A ，∴tan A ＝－125.

解法2：cos A ＋sin A ＝－713<0，

∵cos A >0，sin A <0，∴|sin A |>cos A ，

∴|tan A |>1，又∵tan A <0，

根据选项利用排除法，故选C.

答案：C

二、填空题(每小题8分，共计24分)

7．已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝________.

解析：由题意sin2α＝45，∴tan2α＝－43.

∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43

＝－17. 答案：－17

8．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β＝________.

解析：∵cos α＝45，0<α<π2，∴sin α＝35，tan α＝34，

则tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)

＝34－(－13)1＋34×(－13)

＝139.

∵α，β为锐角，∴cos β＝1

1＋tan 2β＝1

1＋(139)2＝91050. 答案：91050

9．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝________.

解析：∵α＋β＝34π，

∴tan(α＋β)＝－1＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1

∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β

＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2.

答案：2

三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)

10．已知tan α，tan β是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0<α<π2，π<β<32π，求α＋β的值．

解：由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝56，

tan α·

tan β＝16. 得tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝561－16

＝1. 又∵0<α<π2，π<β<32π.

∴π<α＋β<2π，∴α＋β＝54π.

11．是否存在锐角α和β，使得下列两式①α＋2β＝2π3，②tan α2·tan β

＝2－3同时成立？