关于函数的最大最小值公开课课件
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《函数的最大最小值》PPT课件
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值
的步骤如下：
①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);
②:将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
求函数的最值时,应注意以下几点:
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是
m,若M=m,则f′(x) ( ) A
A.等于0
B.大于0 C.小于0
D.以上都有
可能
3.函数 y 1 x4， 1在x3［ 1－x21，1］上的最小值为( )
二、新课—最大值与最小值
观察右边一个定义
y
在区间[a,b]上的函数
y=f(x)的图象，你能找
出函数y=f（x）在区
间[a，b]上的最大值、
最小值吗？
a x1 o X2
X3
bx
发现图中___f(_x_1)_、__f_(x_3_)_是极小值，____f_(x_2_)__是极大 值，在区间上的函数的最大值是_____f(_b，) 最小值是 _____f(_x_3)。
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一 个2，021/4而/24 函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。10
函数的最大值和最小值ppt
-
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调 性，再求最值．
-
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
-
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
-
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
-
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
-
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
-
变式练习
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值．
【解析】 原函数变为
y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3
2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2)
(x＞2)
-
利用单调性求函数的最值
求函数 y＝xx＋ －21 x∈[2,3]上的最值． 【思路点拨】 定义法判断函数的单调 性―→求最值 【解析】 函数 y＝xx＋ －21＝x－x－1＋1 3＝1＋x－3 1 设 2≤x1<x2≤3， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－3 1－x2－3 1 ＝(x13－(x12)－(xx2－1) 1) -
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调 性，再求最值．
-
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
-
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
-
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
-
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
-
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
-
变式练习
1.试求函数 y＝|x－2|＋ (x＋1)2的最值．
【解析】 原函数变为
y＝|x－2|＋|x＋1|
－2x＋1 ＝3
2x－1
(x≤－1) (－1＜x≤2)
(x＞2)
-
利用单调性求函数的最值
求函数 y＝xx＋ －21 x∈[2,3]上的最值． 【思路点拨】 定义法判断函数的单调 性―→求最值 【解析】 函数 y＝xx＋ －21＝x－x－1＋1 3＝1＋x－3 1 设 2≤x1<x2≤3， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－3 1－x2－3 1 ＝(x13－(x12)－(xx2－1) 1) -
5.3 5.3.2 第二课时 函数的最大[小]值公开课
![5.3 5.3.2 第二课时 函数的最大[小]值公开课](https://img.taocdn.com/s3/m/0269882882c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b3b2.png)
[跟踪训练] 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a)，求 f(x)在区间[0，2]上的最大值． 解：f′(x)＝3x2－2ax.
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝23a. ①当23a≤0，即 a≤0 时，f′(x)在[0，2]上满足 f′(x)≥0，所以 f(x)在[0，2]上单调递 增，从而 f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当23a≥2，即 a≥3 时，f′(x)在[0，2]上满足 f′(x)≤0，所以 f(x)在[0，2]上单调递 减，从而 f(x)max＝f(0)＝0. ③当 0<23a<2，即 0<a<3 时，f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，从而 f(x)max＝80－ （42a<（a<03<）a≤. 2），综上 f(x)max＝80－（4aa>（2）a≤. 2），
(2)①当1a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以 f(x)的最小 值是 f(2)＝ln 2－2a.
②当1a≥2，即 0<a≤12时，函数 f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以 f(x)的最小值 是 f(1)＝－a.
③当 1<1a<2，即12<a<1 时，函数 f(x)在1，1a上是增函数，在1a，2上是减函数． 又 f(2)－f(1)＝ln 2－a. 所以当12<a<ln 2 时，最小值是 f(1)＝－a. 当 ln 2≤a<1 时，最小值为 f(2)＝ln 2－2a. 综上可知，当 0<a<ln 2 时，函数 f(x)的最小值是－a； 当 a≥ln 2 时，函数 f(x)的最小值是 ln 2－2a.
－m
∴g(t)在[0，2]上有最小值 g(2)＝－3－m， 存在 t∈[0，2]，使 h(t)<－2t＋m 成立， 等价于 g(t)的最小值 g(2)<0. ∴－3－m<0，∴m>－3， ∴实数 m 的取值范围为(－3，＋∞)．
函数的最大值和最小值PPT优秀课件
-1函 (-1,0) 数 0 (0最 ,2) 2小 1(2,a 46) 值 b 4 3 为 29
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
+a2 b3 当 ff(/(xx)x ) 可 能 小 a0 时 2.最 30 -大 可 能 小3 ， 值 - 求 -b 为 10-23 9.得 2
五已、知练函习数题: yx33x29xa
一般地,在闭区间[a,b]上连续的 函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最 小值.
如何求函数在闭区间上的最大值 和最小值?
问题 如果函数f(x)在[a,b]上连 续,在(a,b)内可导,那么如何求f(x) 在[a,b]内的最大值和最小值呢?
三、求函数的最大值与最小值的步骤:
①函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a),f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
当 若在x 区 间 [-22 ，时 2]上,f的( 最2 大)值 为2 20 ，a， .
y 当 求/它 x在 该3 x 区22 间时 上6 ,x 的f 最(9 2小 )值 ？3 ( 2x 2 1 )ax ,( 3 ) 0 xf (1 2 、 )xf3.(2)
时，
．
所以值域为 1 5 2+b在区间
［－1，2］上的最大值为3，最小值为 －29，求实数a、b的值.(a>0)
当 x 1 时 ,f( 1 ) 7 a b ， .
y/当 3 a x2 x 2 1 时 a2 , fx 3 (a 2)( x x 1 4) a 60 b, x 0、 fx ( 1 4). f(2)
（1）函数f(x)定义在闭区间[a,b]上,
但有间断点,或定义在开区间(a,b)上但连 续是否就一可定能没有有最最大大或或最最小小值值! 呢?
函数的极值,最大值与最小值PPT课件
m min{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (1) 7.
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？
所以
f
( x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
当x
x0 时,
f (x) f (x0 ) x x0
0, 所以
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0, x x0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点.
(2)当x x0时, f (x) 0,当x x0时, f (x) 0，
则x0为f (x)的极小值点.
说明: 对于情形(1)，由判别定理可知,
当 x x0 时, f(x)单调增加, 当 x x0 时, f(x)单调减少,
因此可知x0为f(x)的极大值点. 同理可说明情形(2).
判定函数极值一般步骤
(1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导
点 设这些点为x1 x2 xn; (2)计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;
(3)判断: 最大者 M 是函数f(x)在[a b]
上的最大值 最小
者是函数f(x)在[a m
b]上的最小值
x1 x2 x3 x4 x5
第四节 函数的极值和最大、最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题
一、函数的极值
1. 极值的定义
定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如 果对于该邻域内任何异于x0的x都有
函数最大值和最小值课件
2．函数的最小值 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M， ②存在x0∈I ，使f(x0)＝M. 那么称M是函数y＝f(x)的最小值 ．
思考 函数最大值、最小值的几何
意义是什么？ 【提示】 函数最大值或最小
值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图 象最高点或最低点的纵坐标．
利用函数图象求最值
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象， 指出它的最大值、最小值及单调区间．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象 上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1， －3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大 值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值 ，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2] ，[5,7]．
二次函数最值问题
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的 最大值和最小值．
【思路点拨】由题目可获取以下主要信息 ①所给函数为二次函数； ②在区间[－2,2]上求最值． 解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单 调性，再求最值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x －3)2－5，
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x) 在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
思考
当一个函数有多个单调增区间 和多个单调减区间时，我们该如何 简单有效的求解函数最大值和最小 值呢？
那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
准确理解函数最大值的概念
②存在x0∈I ，使f(x0)＝M.
函数的最大值、最小值 课件
h 4 (4.9) 18 14.72 29. 4 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m.
例4.已知函数 f (x) 2 (x [2,6]) ，求函数的最大
x 1
值和最小值。
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2
则f
( x1)
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的 x I ，都有_f_(_x_)_≥__N_；
（2）存在 x0 I ，使得_f_(_x_0)_=_N_.
那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最 低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对 于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的 x∈R，都有f(x)≥f(0). 最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低 点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图 象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.
请同学们仿此给 出函数最小值的
定义
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高 点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函 数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R， 都有f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高 点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无 最高点时，我们就说这个函数没有最大值.
f
( x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1) .
( x1 1)( x2 1)
( x1 1)( x2 1)
单调性求 最值
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m.
例4.已知函数 f (x) 2 (x [2,6]) ，求函数的最大
x 1
值和最小值。
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2
则f
( x1)
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的 x I ，都有_f_(_x_)_≥__N_；
（2）存在 x0 I ，使得_f_(_x_0)_=_N_.
那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最 低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对 于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的 x∈R，都有f(x)≥f(0). 最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低 点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图 象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.
请同学们仿此给 出函数最小值的
定义
函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高 点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函 数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的x∈R， 都有f(x)≤f(0) 函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高 点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无 最高点时，我们就说这个函数没有最大值.
f
( x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) ( x1 1)] 2( x2 x1) .
( x1 1)( x2 1)
( x1 1)( x2 1)
单调性求 最值
函数的最大(小)值 课件
解：(1)因为 f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3x－a3(x＋a)， 又 a＞0，所以当 x<－a 或 x>a3时，f ′(x)>0； 当－a<x<a3时，f ′(x)<0. 所 以 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ( － ∞ ， － a) ， a3，＋∞，单调递减区间为－a，a3.
而 f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，f(x)max＝f(－2)＝ －8＋4a＋2a2＋m， 又因为 f(x)≤1 在[－2，2]上恒成立， 所以－8＋4a＋2a2＋m≤1， 即 m≤9－4a－2a2，在 a∈[3，6]上恒成立，
因为 9－4a－2a2 的最小值为－87， 所以 m≤－87.
函数的最大（小）值与导数
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在闭区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续 不断的曲线，那么该函数在[a，b]上一定能够取得最大值 或最小值，若函数在(a，b)上是可导的，该函数的最值必 在区间端点处或极值点处取得．
温馨提示 注意极值与最值的联系和区别：极值是函 数的“局部”性质，而最值是函数的“全局”性质．
2．求可导函数在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的所有极值点； (2)计算函数 y＝f(x)在极值点和区间端点的函数值， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 温馨提示 如果函数有最大值或最小值，则最大值或
最小值是唯一的．如 y＝sin x，有无数个极值点，但最大
归纳升华 恒成立问题是高考中的一种常见题型，通常将恒成立 问题转化为最值求解．
值和最小值分别是 1 和－1.
类型 1 求函数在闭区间上的最值(自主研析)
函数的最大值和最小值的求解方法省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
综上可知，a>0时，f（x)在（-1，1）上为减函数；
a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
题型二 复合函数旳单调性
【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减
函数旳区间是
(D )
A.(3,6)
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪 先求得函数旳定义域,然后再结合二次 函数、对数函数旳单调性进行考虑.
f '(x)
( x2 1)2
a( x2 1) ax 2x
( x2 1)2
ax2 a 2ax2 (x2 1)2
a(1 x2 (x2 1)2
)
.
当a>0时，∵-1<x<1,
a(1 x2 ) (x2 1)2 0, 即f′(x)<0,此时f（x)在（-1，1）上为减函数.
同理，当a<0时，f(x)在（-1，1）上为增函数.
则f(x)在（-1,+∞）上为增函数.
探究提升 对于给出详细解析式旳函数，判断或证明 其在某区间上旳单调性问题，能够结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解.可导函 数则能够利用导数解之.
知能迁移1
试讨论函数
f
(x)
ax x2 1,
x∈(-1,1)旳单
调性（其中a≠0）.
解 措施一 根据单调性旳定义求解.
设-1<x1<x2<1,
则f
( x1 )
f
(x2 )
ax1 x12 1
ax2 x22 1
a(x2 x1)(x1x2 1) . (x12 1)(x22 1)
∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
3.1.2 第2课时 函数的最大(小)值 课件【共29张PPT】
值为 2，故选 B. 答案：B
3．已知函数 f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若 f(x)有最小值－2，
则 f(x)的最大值为
()
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：因为 f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4
＝－(x－2)2＋4＋a，
所以函数 f(x)图像的对称轴为直线 x＝2.
所以 f(x)在[0,1]上单调递增．
[对点练清] 1．用长度为 24 m 的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要
使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________ m.
解析：设隔墙长度为 x m，场地面积为 S m2，则 S＝x·24－2 4x＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18. 所以当 x＝3 时，S 有最大值． 答案：3
2．将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为 得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[方法技巧] 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． [提醒] (1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入 是最容易出现的错误，求解时一定注意．
[对点练清]
1．下列函数在[1,4]上最大值为 3 的是
解析：因为 f(x)＝12x2－2x＋3 在[0,2]上单调递减，在[2，＋∞) 上单调递增．则当 0<m<2 时，ff0m＝＝31，， 此时无解；当 2≤m≤4 时，在 x＝2 处有最小值 1，在 x＝0 或 x＝4 处有最大值 3，此 时条件成立；当 m>4 时，最大值必大于 f(4)＝3，此时条件不成 立．综上可知，实数 m 的取值范围是[2,4]． 答案：[2,4]
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关于函数的最大最小值公开课
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，
经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单
调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让
我们来研究——
函数的最大值与最小值.
前面我们学习了函数的单调性，知道了在 函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变 量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时 内的气温变化图.
因此,函数
y
2 x1
在区间[2,6]上的两个端点
上分别取得最大值和最小值.
y
3.5
当x=2时取最大值 33
2.5
ymax
f(2) 2 2; 22 21 1.5
当x=6时取最小值
11
0.5
ymin f(6)62152.
o0 0
11
22 33
44 55 66
7
8x
上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义
域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).
最小值的“形”的定义： 当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最 小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个 函数没有最小值.
请大家思考, 是否每个函数都有最大值,最
小值？举例说明.
(1) f(x)x1;
探究点1 函数的最大值 观察下列两个函数的图象：
y
B
M
o
x0
x
图2
思考1 这两个函数图象有何共同特征？
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图
象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高
点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则
对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如
(1)说出气温随 时间变化的特点.
从图象上看出0时4时之间气温下降,4时14 时之间气温逐步上升,14时~24时气温逐渐下降.
(2)某市这一天何时的气 温最高和何时的气温最低？
14时气温达到最高,4 时气温达到最低.
(3)从图象上看出14时的气温为全天的最 高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到 最大值,从图象上看出,图象在这一点的位置最 高.这就是本节课我们要研究函数最大、最小值 问题.
注意啦！
定义中的两个条件缺一不可,只有(1)没有 (2)不存在最大值点,
而只有(2)没有(1),M不一定是函数y=f(x)的
最大值.
探究点2 函数的最小值 观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象 上最低点的纵坐标叫什么名称？ 提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中 的最小值,即函数的最小值.
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的 x I ，都有_f_(_x_)_≥__N_；
（2）存在 x 0 I ，使得_f_(_x_0)_=_N_.
那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
函数图象最低点处的函数值的刻画：
函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域
f(x1)f(x2)x121x221
2[(x2 1)(x1 1)] (x2 1)(x1 1)
(
2(x2 x1) x2 1)(x1
1)
.
由2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
于是 f(x1)f(x2)0,
即 f(x1) f(x2).
所以,函数
y
2 x1
是区间[2,6]上的减函数.
函数图象最高点处的函数值的刻画：
函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上 最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域 中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)
函数最大值的“形”的定义：
当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最 大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数 没有最大值.
(2) f (x) x2;
y
(3)f(x)x22x1,x [0,3) 2
Ø一个 函数不一定有最值.
o
3x
-1
-2
Ø有的函数可能只有一个最大(或小)值.
Ø如果一个函数存在最值，那么函数的最 值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有 多个.
【1】求函数y=x2-2x-1的值域和最值.
(1) x∈[0, 3] (2) x∈(2, 4] (3) x∈[-2, -1]
ymin=f(1)=-2, ymax=f(3)=2. 值域[-2,2]
ymax=f(4)=7. 值域(-1,7]
ymin=f(-1)=2, ymax=f(-2)=7. 值域[2,7]
例2.求函数 y
2 x1
在区间[2，6]上的最
大值和最小值．
解:设x1, x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1<x2,则
何?
【解答】 f(x)ຫໍສະໝຸດ M最高点的纵坐标即 是函数的最大值！
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_； （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.
喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，
经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单
调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让
我们来研究——
函数的最大值与最小值.
前面我们学习了函数的单调性，知道了在 函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变 量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时 内的气温变化图.
因此,函数
y
2 x1
在区间[2,6]上的两个端点
上分别取得最大值和最小值.
y
3.5
当x=2时取最大值 33
2.5
ymax
f(2) 2 2; 22 21 1.5
当x=6时取最小值
11
0.5
ymin f(6)62152.
o0 0
11
22 33
44 55 66
7
8x
上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义
域中任意的x∈R，都有f(x)≥f(0).
最小值的“形”的定义： 当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最 小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个 函数没有最小值.
请大家思考, 是否每个函数都有最大值,最
小值？举例说明.
(1) f(x)x1;
探究点1 函数的最大值 观察下列两个函数的图象：
y
B
M
o
x0
x
图2
思考1 这两个函数图象有何共同特征？
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图
象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高
点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则
对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如
(1)说出气温随 时间变化的特点.
从图象上看出0时4时之间气温下降,4时14 时之间气温逐步上升,14时~24时气温逐渐下降.
(2)某市这一天何时的气 温最高和何时的气温最低？
14时气温达到最高,4 时气温达到最低.
(3)从图象上看出14时的气温为全天的最 高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到 最大值,从图象上看出,图象在这一点的位置最 高.这就是本节课我们要研究函数最大、最小值 问题.
注意啦！
定义中的两个条件缺一不可,只有(1)没有 (2)不存在最大值点,
而只有(2)没有(1),M不一定是函数y=f(x)的
最大值.
探究点2 函数的最小值 观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象 上最低点的纵坐标叫什么名称？ 提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中 的最小值,即函数的最小值.
函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定
义域为I，如果存在实数N满足：
（1）对任意的 x I ，都有_f_(_x_)_≥__N_；
（2）存在 x 0 I ，使得_f_(_x_0)_=_N_.
那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.
函数图象最低点处的函数值的刻画：
函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域
f(x1)f(x2)x121x221
2[(x2 1)(x1 1)] (x2 1)(x1 1)
(
2(x2 x1) x2 1)(x1
1)
.
由2<x1<x2<6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
于是 f(x1)f(x2)0,
即 f(x1) f(x2).
所以,函数
y
2 x1
是区间[2,6]上的减函数.
函数图象最高点处的函数值的刻画：
函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上 最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域 中任意的x∈R，都有f(x)≤f(0)
函数最大值的“形”的定义：
当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最 大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数 没有最大值.
(2) f (x) x2;
y
(3)f(x)x22x1,x [0,3) 2
Ø一个 函数不一定有最值.
o
3x
-1
-2
Ø有的函数可能只有一个最大(或小)值.
Ø如果一个函数存在最值，那么函数的最 值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有 多个.
【1】求函数y=x2-2x-1的值域和最值.
(1) x∈[0, 3] (2) x∈(2, 4] (3) x∈[-2, -1]
ymin=f(1)=-2, ymax=f(3)=2. 值域[-2,2]
ymax=f(4)=7. 值域(-1,7]
ymin=f(-1)=2, ymax=f(-2)=7. 值域[2,7]
例2.求函数 y
2 x1
在区间[2，6]上的最
大值和最小值．
解:设x1, x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1<x2,则
何?
【解答】 f(x)ຫໍສະໝຸດ M最高点的纵坐标即 是函数的最大值！
函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有_f_(_x_)_≤__M_； （2）存在x0∈I，使得_f_(_x_0)_=_M_。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.