2016-2017学年高中数学选修4-1(人教版)练习：第二讲章末评估验收(二) Word版含解析

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2016-2017学年高中数学人教B版选修4-1章末综合测评第2章含答案精品

学业分层测评(十)第二章(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在α内的正射影是()A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形【解析】当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在α上的正射影是一条线段.当梯形所在的平面与投影线不平行时，梯形在α上的正射影是一个梯形.【答案】 D2.如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A.内心的平行射影还是内心B.重心的平行射影还是重心C.垂心的平行射影还是垂心D.外心的平行射影还是外心【解析】三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变.【答案】 A3.圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】由已知α＝50°2＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆，故选B.【答案】 B4.设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32【解析】 Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b ＝2c .∴e ＝c a ＝c b 2＋c2＝c 2c ＝22. 【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为________.【导学号：61650026】【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角α＝45°；又截面与轴线的夹角β＝30°，即β<α，∴截线是双曲线，其离心率e ＝cos βcos α＝cos 30°cos 45°＝32＝62. 【答案】 626.一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________.【解析】由2a ＝6，得a ＝3，又e ＝cos 45°＝22，∴c ＝e ·a ＝22×3＝322. ∴b ＝a 2－c 2＝32－92＝322. ∴圆柱面内切球的半径r ＝322.【答案】 322三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图2-1-7，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、D 1C 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，画出空间四边形AEFG 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影.图2-1-7【解】如图(1)，点A 落在D 点上，点G 落在CC 1的中点G ′上，点F 在面DCC 1D 1上的正射影仍为点F ，点E 落在DD 1的中点E ′上，擦去命名点，其图形如图(2)所示.8.已知点A (1，2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P ，使|P A |＋2|PF |最小.【解】如图所示，∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2.∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|P A |＋2|PF |＝|P A |＋d .由几何性质可知，当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|P A |＋d 最小.把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(x ＝－463舍去).即点P (463，2)为所求.[能力提升]9.在空间中，取直线l 为轴.直线l ′与l 相交于O 点，夹角为α.l ′绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面.任取平面π，若它与轴l 的交角为β.试用Dandelin 双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线.【证明】如图：设Dandelin 球与圆锥面的交线为圆S .记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m .在平面π与圆锥面的交线上任取一点P ，设平面π与Dandelin 球的切点为F ，连PF .在平面π中过P 作m 的垂线，垂足为A ，过P 作π′的垂线，垂足为B ，连AB ，则AB 为P A 在平面π′上的射影.显然，m ⊥AB ，故∠P AB 是平面π与平面π′所成的二面角的平面角.在Rt △APB 中，∠APB ＝β.则PB ＝P A ·cos β ①又设过点P 的母线交圆S 于点Q ，则PQ ＝PF .在Rt △PBQ 中，PB ＝PQ ·cos α∴PB ＝PF ·cos α ② 由①，②得PF P A ＝PB cos α×cos βPB ＝cos βcos α. 因为α＝β，所以PF P A ＝1.即曲线任一点P 到定点F 的距离恒等于P 到定直线m 的距离.故点P 的轨迹为抛物线.。

2016-2017学年高中数学人教B版选修4-1章末综合测评第1

章末综合测评第一章(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长边长度为21cm ，则其余两边的长度之和为( )A.24cmB.21cmC.19cmD.9cm【解析】设其余两边的长度分别为x cm ，y cm ，则217k ＝x 5k ＝y3k ，解得x ＝15cm ，y ＝9cm.故x ＋y ＝24cm. 【答案】 A2.如图1所示，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AE AC ＝23，则△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为( )图1A.13B.23C.45D.49【解析】 ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE ∶S △ABC ＝(AE ∶AC )2＝4∶9.则△ADE 与四边形DBCE 的面积的比为4∶(9－4)＝4∶5. 【答案】 C3.如图2所示，梯形ABCD 的对角线交于点O ，则下列四个结论：图2①△AOB ∽△COD ； ②△AOD ∽△ACB ； ③S △DOC ∶S △AOD ＝CD ∶AB ； ④S △AOD ＝S △BOC . 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 ∵DC ∥AB ，∴△AOB ∽△COD ，①正确.由①知，DC AB ＝OCOA .S △DOC ∶S △AOD ＝OC ∶OA ＝CD ∶AB ，③正确.∵S △ADC ＝S △BCD ，∴S △ADC －S △COD ＝S △BCD －S △COD ， ∴S △AOD ＝S △BOC ，④正确. 故①③④正确. 【答案】 C4.如图3所示，铁道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m ，当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高( ) 【导学号：61650022】图3A.11.25mB.6.6mC.8mD.10.5m【解析】本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC ∽等腰△BOD ，OA ＝1m ，OB ＝16m ，高CE ＝0.5m ，求高DF .由相似三角形的性质可得OA ∶OB ＝CE ∶DF ，即1∶16＝0.5∶DF ，解得DF ＝8m.【答案】 C5.如图4，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是()图4A.β＝αB.β＝180°－2αC.β＝12(90°－α)D.β＝12(180°－α)【解析】如右图所示，分别连接AO1，BO1.根据圆内接四边形的性质定理，可得∠AO1B＋∠ADB＝180°，∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.∵∠ACB＝12∠AO1B，∴β＝12(180°－α)，故选D.【答案】 D6.已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为()A.8B.9C.10D.11【解析】如图，连接AC，CB.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB . 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD >BD ，∴AD ＝9. 【答案】 B7.如图5所示，AB 为⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，P A 交⊙O 于D ，PB 交⊙O 于C ，连结BD 、AC 交于E ，下列关系式中不成立的是( )图5A.∠ADB ＝∠ACB ＝90°B.∠AED ＝∠PC.∠P ＝12∠AEB D.∠P AC ＝∠DBP【解析】由直径AB 所对的圆周角是直角和A 正确.由P ，D ，E ，C 四点共圆知B 正确.又易知∠P AC ＝∠DBP ＝90°－∠P ，∴D 正确.【答案】 C8.如图6，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，BE ∥MN 交AC 于点E ，若AB ＝6，BC ＝4，则AE ＝( )图6A.103B.23C.1D.43【解析】 ∵MN 为⊙O 的切线，∴∠BCM＝∠A.∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，∴∠A＝∠EBC.又∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC.∴ABBE＝BCEC.∵AB＝AC，∴BE＝BC.∴64＝4EC.∴EC＝83，∴AE＝6－83＝103.【答案】 A9.如图7，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD.如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()图7A.70°B.64°C.62°D.51°【解析】∵AB、AC为⊙O的切线，∴∠CAO＝∠BAO，又∵OB＝BD，∴∠OAB＝∠DAB，∵∠DAC＝78°，∴∠OAD＝23×78°＝52°，∴∠ADO＝64°.【答案】 B10.如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC ＝()图8A.3B.4C.6D.8【解析】 ∵AT 为⊙O 的切线， ∴AT 2＝AD ·AC ，∵AT ＝6，AD ＝4，∴AC ＝9.∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△EAD ∽△CAB ，即DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝2×93＝6. 【答案】 C11.在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为( )A.abB.a ＋b abC.ab a ＋bD.a ＋b 2【解析】如图所示，分别连接OE 、OF ，则四边形OEAF 是正方形，不妨设⊙O 的半径为r ，则由切线长定理，可得AE ＝AF ＝r ， ∵BE ＝AB －AE ，CF ＝AC －AF ， ∴BE ＝a －r ，CF ＝b －r ，∵△BEO 与△OFC 相似，∴BE OF ＝OECF ， ∴a －r r ＝r b －r ，解得r ＝ab a ＋b .【答案】 C12.如图9所示，PT 与⊙O 切于T ，CT 是⊙O 的直径，PBA 是割线，与⊙O 的交点是A 、B ，与直线CT 的交点D ，已知CD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，那么PB ＝( )图9A.10B.20C.5D.8 5【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则P A＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·P A，∴PT2＝x·(x ＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13.如图10，在△ABC中，M，N分别是AB，BC的中点，AN，CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________.图10【解析】∵MN是△ABC的中位线，∴△MON∽△COA，且MNAC＝12，∴S△MON ∶S△COA＝(12)2＝14.【答案】1∶414.D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点，且AD∶DB＝1∶2，AE＝1.5，AC＝4.5，若AM交DE于N，交BC于M，则AN∶NM＝________.【解析】如图，∵ADDB＝12，∴ADAB＝13.又AEAC＝1.54.5＝13，∴ADAB＝AEAC.又∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.∴ANAM＝ADAB＝13，ANAN＋MN＝13，化简得AN NM＝12.【答案】1 215.(湖南高考)如图11，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD ⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________.图11【解析】如图，连AE，易知AE∥BD，∴BDAE＝DFAF，易知△ABO是等边三角形，可得BD＝1，AD＝AF＋FD ＝ 3.∴AF＝23 3.【答案】23 316.如图12，P是圆O外的一点，PD为切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝6，PD＝23，则∠DFP＝________.图12【解析】如图，连接OD .∵PD 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥PD ，PD 2＝PE ·PF ， ∴PE ＝2.∴OP ＝4， ∴sin ∠POD ＝234＝32.∴∠POD ＝60°，∴∠DFP ＝30°. 【答案】 30°三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知如图13，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的一点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，试求PQ 的长.图13【解】 ∵PQ ⊥PC ， ∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP . ∴Rt △APQ ∽Rt △BCP ，∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1，∴AP BC ＝AQBP ，即AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34. ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54.18.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图14，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE .图14(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形.证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE，由已知CB ＝CE得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图，设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上.又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形.19.(本小题满分12分)如图15所示，在△ABC中，D为BC边上的中点，延长AD到点E，使AD＝2DE，延长AB交CE的延长线于点P.求证：AP＝3AB.图15【证明】如图所示，过点E作EF∥BC交AP于点F，则△ABD∽△AFE.∵AD＝2DE，∴AD∶AE＝2∶3.∴AB∶AF＝BD∶EF＝AD∶AE＝2∶3.∵BD＝DC，∴BC∶EF＝4∶3.∵EF ∥BC ，∴△PEF ∽△PCB .∴PF ∶PB ＝EF ∶BC ＝3∶4.∴PF ∶FB ＝3∶1，∵AB ∶AF ＝2∶3，∴AB ∶BF ＝2∶1.∴PF ∶FB ∶AB ＝3∶1∶2.∴AP ∶AB ＝6∶2＝3∶1.即AP ＝3AB .20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)如图16，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD分别交AB 于E ，F 两点.图16(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .【导学号：61650023】解：(1)连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB .又∠BPD ＝∠BCD ，所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明：因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .21.(本小题满分12分)如图17所示，P A 为⊙O 的切点，PBC 是过点O 的割线，P A ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，求AD ·AE 的值.图17【解】如图所示，连接CE .∵P A 是⊙O 的切线，PBC 是⊙O 的割线，∴P A 2＝PB ·PC .又P A ＝10，PB ＝5，∴PC ＝20，BC ＝15.∵P A 切⊙O 于A ，∴∠P AB ＝∠ACP .又∠P 为公共角，△P AB ∽△PCA ，∴AB AC ＝P A PC ＝1020＝12.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225.∴AC ＝65，AB ＝35，又∠ABC ＝∠E ，∠CAE ＝∠EAB .∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD AC ，∴AD ·AE ＝AB ·AC ＝90.22.(本小题满分12分)(辽宁高考)如图18，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆.图18【证明】 (1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EF A≌△EGB，故∠F AE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠F AB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆.。

人教版数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练及答案

高中数学选修4-1《几何证明选讲》练习题（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（）．A ．3cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm2．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm 、60cm 、80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形框架乙共有（）．A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3．在Rt ΔABC 中，CD 是斜边上的高线，AC∶BC=3∶1，则S ΔABC ∶S ΔACD 为（）．A ．4∶3 B．9∶1 C．10∶1 D．10∶94．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF⊥CE 于F ，那么S △BFC :S 正方形ABCD =（）．A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：65．在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（）A ．4aB ．3aC ．2aD ．43a6．若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b(a<b)的比是（）． A ．12 B ．13 C ．23 D ．257．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且14CF CD =，下列结论：①30BAE ∠=，②ABE AEF △∽△，③AE EF ⊥，④ADF ECF △∽△．其中正确的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为30的等边三角形，则这个梯形的中位线长是（）．A ．15B ．22.5C ．45D ．909．如图所示，在△ABC 中，AC=5，中线AD=4，则AB 边的取值范围是（）．A ．19<<AB B ．313<<ABC ．513<<ABD ．913<<ABA B D CE F10．如图，平行四边形ABCD 中，::AE EB m n =，若AEF ∆的面积等于a ，则CDF ∆的面积等于（）．A BCFDEA ．22m a n B ．22n a m C ．22()m n a m + D ．22()m n a n +11．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是（）．A ．10B ．212C ．152D ．12 12．如图，设P 为ABC ∆内一点，且5152+=，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（）．A ．15B ．25C ．35D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．若两个相似三角形的周长比为3:4，则它们的三角形面积比是____________．14．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BA ，AD=DC=5，则BC 的长是__________．15．已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F ，则AF AC=____________． 16．在△ABC中，AB AC ==96，，点M 在AB 上且AM =3，点N 在AC 上，联结MN ，使△AMN 与原三角形相似，则AN ＝___________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．如图，在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E ，求证：2AE BF DE AF ⋅=⋅．（ 10分）18．如图，正方形DEMF 内接于△ABC，若1=∆ADE S ，4=D EFM S 正方形，求ABC S ∆（ 12分）例2图 Q P M F ED CB AA BC P A DB19．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．（ 12分）20．如图，CD 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，E 是BC 上任意一点，EF⊥AB 于F ．求证：EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．（ 12分）21．如图，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，AB c =．CD b =，试说明：222111a b h +=．（ 12分）22．如图，在ABC △中，90BAC ∠=，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．（1）求证：EG CG AD CD=；（2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．（ 12分）B答案与解析：1-5 BCCCA 6-10AABBC 11-12 CA13．9:16 14．10 15．13 16．2，或9217．证明：过D 作//DG AB ，交CF 于G ，∴AEF DEG ∆∆，CDG CBF ∆∆，∴AE DE AF DG =，DG CD BF CB=， ∵D 为BC 的中点，12CD CB =， 12DG BF =，12DG BF =， 2AE DE AF BF =，即2AE BF DE AF ⋅=⋅． 18．解：∵正方形的面积为4，∴DE＝MF ＝2,过A 点作AQ⊥BC 于Q ，交DE 于P ，∵1=∆ADE S ，∴AP＝1，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴BCDE AQ AP =，即BC 231= ∴BC＝6，故ABC S ∆＝919．证明：连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， ∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， ∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC 公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦC Ｆ， ∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ．20．证明：2AC AD AB =, 2()AC AD AF AD AB AF AD BF -⋅=-=因为Rt ADC Rt EFB ,所以AD EF CD BF=, 则AD BF CD EF =，2AC AD AF CD EF -⋅=⋅,即EF CD AF AD AC ⋅+⋅=2．21．解：等式222111h b a =+成立．理由如下： ∵AB CD ACB ⊥=∠,90 ，∴1122ab AB h =⋅ ， 222AB a b =+， ∴h c ab ⋅=， ∴2222h c b a ⋅=，∴22222)(h b a b a +=， ∴22222222222)(hb a h b a h b a b a +=， ∴222221b a b a h +=， ∴222111b a h +=． 22．证明：在四边形AFEG 中，∵90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=，∴四边形AFEG 为矩形，∴AF EG =，（1）易证EG CG AD CD=，而AF EG =， ∴AF CG AD CD=；（2）ABC △为直角三角形，AD BC ⊥，∴FAD C ∠=∠，即AFD CGD △∽△，∴ADF CDG ∠=∠，又90CDG ADG ∠+∠=，∴90ADF ADG ∠+∠=，即90FDG ∠=，∴FD DG ⊥；（3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形，理由如下：AB AC =，90BAC ∠=，∴AD DC =又因为AFD CGD △∽△ ∴1FD AD GD DC==，FD DG = 又90FDG ∠=∴FDG △,FDG △为等腰直角三角形．。

人教版高中数学选修4-1第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理

第二讲直线与圆的地点关系2.2圆内接四边形的性质与判断定理A 级基础稳固一、选择题1．圆内接平行四边形必定是()A．正方形B．菱形C．等腰梯形D．矩形分析：因为圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案： D2．已知 AB，CD 是⊙ O 的两条直径，则四边形 ADBC 必定是 () A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形分析： AB，CD 均为⊙O 的直径，故四边形 ADBC 的四个角均为直角，且对角线 AB＝ CD，因此四边形 ADBC 为矩形．答案： A3．四边形 ABCD 内接于圆，∠ A∶∠ B∶∠ C＝7∶6∶3，则∠ D 等于()A．36°B．72°C．144°D．54°分析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180° .又由∠A∶∠ C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则 10x＝180°，即 x＝18°，因此∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案： B4.如下图，四边形ABCD 是⊙ O 的内接四边形， E 为 AB 的延长线上一点，∠ CBE＝40°，则∠ AOC 等于 ()A．20°B．40°C．80°D．100°分析：因为四边形ABCD 是圆内接四边形，且∠ CBE＝ 40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝ 80° .答案： C5．如下图，若AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的弦，∠ ABD ＝55°，则∠ BCD 的度数为 ()A．35°B．45°C．55°D．75°分析：如下图，连结AD，则△ABD 是直角三角形，∠ ADB ＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，依据同弧所对的圆周角相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案： A二、填空题6.如下图，四边形ABCD 是圆 O 的内接四边形，延伸AB 与BCDC 订交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则AD的值为 ____．分析：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，因此∠BCP＝∠A.又∠P＝∠P，因此△BCP∽△ DAP.BC PB 1因此AD＝PD＝3.1答案：37．如下图，⊙ O1与⊙ O2订交于 A，B 两点， AC 是⊙ O1的直径，延伸 CA，CB，分别交⊙ O2于 D，E，则∠ CDE＝______．分析：连结 AB，因为 AC 是⊙O1的直径，因此∠ABC＝90°.又因为∠ABC＝∠ADE，因此∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案： 90°8．如下图，点 A，B，C，D 在同一个圆上， AB，DC 订交于点 P，AD，BC 订交于点 Q，假如∠ A＝50°，∠ P＝30°，那么∠ Q＝________．分析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，因此∠QDC＝∠A＋∠P＝80° .又∠QCD＝∠A＝50°，因此∠Q＝180°－ 80°－ 50°＝ 50°.答案： 50°三、解答题9.如下图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形， AB 的延伸线与DC 的延伸线交于点 E，且 CB＝CE.(1)证明：∠ D＝∠ E；(2)设 AD 不是⊙ O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形．证明： (1)由题设知 A，B，C，D 四点共圆，因此∠ D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设 BC 的中点为 N，连结 MN ，则由 MB＝MC 知 MN ⊥BC，故O在直线 MN 上．又 AD 不是⊙O 的直径， M 为 AD 的中点，故 OM ⊥AD，即 MN⊥ AD.因此 AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，因此△ADE 为等边三角形．10.如下图， CD 为△ABC 外接圆的切线， AB 的延伸线交直线 CD于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且 BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．(1)证明： CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若 DB＝BE＝EA，求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．(1)证明：因为 CD 为△ ABC 外接圆的切线，因此∠DCB＝∠A，BC DC由题设知FA＝EA，因此△CDB∽△ AEF ，因此∠DBC＝∠EFA.因为 B、E、F、 C 四点共圆，因此∠CFE ＝∠DBC，因此∠EFA＝∠CFE ＝90°，因此∠CBA＝90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)解：连结 CE，因为∠CBE＝90°，因此过 B、 E、 F、C 四点的圆的直径为 CE，因为 DB＝ BE， CE＝ DC，又因为 BC2＝DB·BA＝2DB2，因此 CA2＝4DB2＋ BC2＝6DB2，又因为 DC2＝ DB·DA＝ 3DB2，因此 CE2＝3DB2.因此过 B、 E、 F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比1值为2.B 级能力提高1.如下图，四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形，延伸 BC 到 E，已知∠ BCD∶∠ ECD＝3∶2，那么∠ BOD 等于 ()A．120°B．136°C．144°D．150°分析：因为∠BCD∶∠ ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，因此∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝ 2×72°＝ 144°.答案： C2．两圆订交于 A，B，过 A 作两直线分别交两圆于 C，D 和 E，F.若∠ EAB＝∠ DAB，则 CD＝________．分析：因为四边形 ABEC 为圆内接四边形，因此∠2＝∠ CEB.又因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠ 2，因此∠CEB＝∠ECB.因此 BC＝BE.在△CBD 与△ EBF 中，∠ECD＝∠BEF ，∠D＝∠ F，BC＝BE，因此△CBD≌△ EBF ，因此 CD＝EF .答案： EF3.如下图， A，B，C，D 四点在同一圆上， AD 的延伸线与 BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED.(1)证明： CD∥AB；(2)延伸 CD 到 F，延伸 DC 到 G，使得 EF ＝EG，证明： A，B，G，F 四点共圆．证明： (1)因为 EC＝ED，因此∠EDC＝∠ECD.因为 A，B，C， D 四点在同一圆上，因此∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.因此 CD∥AB.(2)由(1)知， AE＝BE.因为 EF ＝EG，故∠EFD ＝∠EGC，进而∠FED ＝∠GEC.如图，连结 AF， BG，则△EFA≌△ EGB，故∠FAE＝∠GBE.又 CD∥AB，∠ EDC＝∠ECD，因此∠FAB＝∠ GBA.因此∠AFG＋∠GBA＝180°.故 A，B，G， F 四点共圆．。

人教版高中数学选修4-1测试题全套及答案.doc

最新人教版高中数学选修4T 测试题全套及答案选修4・1综合测试卷A (含答案)一选择题1. 如图，ZB=ZD, AE 丄BC, ZACD = 90°, K AB = 6, AC=4,AD=12,贝lj BE=( )A ・3B ・4C ・4・5D ・4、血2、如图，在四边形ABCD 中，EF 〃BC, FG 〃AD,则—的值BC AD为( )A ・1B ・2C ・2.5D ・33、已知，如图，AE 丄EC, CE 平分ZACB, DE 〃BC, BC=10, AC=6,则 DE=( )A. 1 B ・ 2 C ・ 2.5 D ・ 34•如图，已知ABC 中AC 边的中点，AE 〃BC, ED 交AB 于G, 交 BC 延长线于 F,若 BG : GA = 3 : 1, BC = 8, AE=()A. 2 B ・3 C ・4 D ・5(1)(2)(3)5•两个相似三角形的面积分别为4cm2和9 cm?,它们的周长相差6 cm, 则较大的三角形的周长为( )A. 9B. 12 C・ 16 D・18点侧号冷＜)A. 2 B. 4 C ・ 5D ・ 10 10.在 AABC 中，DE//BC, DF//AC.AE : AC=3 : 5, DE=6,则6. 如图，在厶ABC 中，DE//JBC, EF//CD,若 BC=3, DE=2, DF =1,则AB 的长为（）A. 3 B ・4 C ・4・5 D ・57. 如图所示，已知£＞是△ABC 中AB 边上一点，DE//B C 且交AC 于 E, EF// AB 且交 BC 于 F,且 1, S A EFC =4,则四边形 BFED的面积等于A. 2B. 3C ・ 4D ・ 58. 正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至「使AE = 1,连接EC 、EQ 则sin Z.CED =A 巫B .亟C •至D.玺101010159 •在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中B. 3BBF= () A- 2(12)C ・4D ・5E11,・如图，在梯形ABCD中，AB//CD, 43=4, CD=2, E, F 分别为AD BC上的点，且EF=3, EF//AB,则梯形ABFE与梯形EFCD 的面积比为( )A. 6/5 B・ 7/5 C・ 8/5 D・ 9/512•在梯形ABCD中，AD//BC, AD=2, BC=5,点 E、F 分别在43、AT7 3CD上，且EF〃4D若而=孑则EF的长为( )A・ 22/7 B・ 23/7 C・ 24/7 D・ 25/7二.填空题13. __________________________________________________ 如图所示，已知DE//BC, BF : EF=3 : 2,则AC : AE= _______________AD : DB= _________ .14.女口图，ZXABC 中，ZBAC=90°, AB=4 cm,AC=3 cm,DE〃BC 且DE 把AABC周长分为相等的两部分，则DE二 ___ •A(14) (16)15、在ZVIBC 中朋B=AC, D 为腰AB上一点，&D = DC,且AD2^AB-BD9则厶= _____________An 1 16•如图，在正三角形ABC中，D, E分别在AC, 4B上，且疋=予三.解答题17 如图，在直角梯形 ABCD 中，DC//AB, CB 丄AB, AB^AD^a,CD=%,点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF 的长18 C 知，如图，在厶ABC 中，AB=AC, BD 丄AC,点D 是垂足. 求证：B G = 2CD ・AC ・19•如图，ZBC 中，AB^AC, AD 是中线，P 为人£＞上一点，CF//AB,BP(17)(18)的延长线交AC、CF于E、F两点，求证：PB? = PE・PF.20如图，在等腰三角形ABC中,AB=4C,底边BC上的高A£>=10cm, 腰AC上的高BE= 12 cm・AR 5(1)求证：^5=3； (2)求4ABC的周长.21•如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE丄CD 垂足为E, 连接AE, F为AE上一点，且ZBFE=ZC.(1)求证：AB=a,CD=b(0<a<b),AE : EC=m : n, (20)D E C(21)D(2)若AB=4, Z1 = 3O°, AD=39求BF 的长.22・如图，已知AB〃CD〃EF,(0<m<n), 求EF 的长.答案一选择题（每小题5分，共60分）123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DABCDCCBDCBB二填空题（每小题5分，共20分）13【答案】3 ： 2 2 ： 114【答案】30/79.【解析】特殊的等腰直角三角形,不妨令\AC\ = \BC\ = 4f 则|仙| = 4血,|仞|二-\AB\ = 242f \PC\ = \PD\ = -\CD |=V2,|PA| = |PB| = J|/lZ)p4-| PZ)|2 =1423^15【证明】过点D 作DE//BC,交AC 于E.：・ZEDC=ZBCD, BD = CE ・ ■ ■ 7 ・ AD BD CD CE ・ AD Z =AB BD, AD = DC, AB=AC f ••亦=兀=疋=乔・• PA _AD_215【答案】36°16【答案】6J （2®2+（®2 =皿所以10+10 212•如图所示，延长B4、CD 交于点P, 9：AD//BC,•母=2^AB =y 墜=3.AE =1人• EB _3 .PA_i4 •••AE_9，・・PE_23・•: AD//EF,.AD_PA…丽=匹又 AD=2,又ZECD=ZDCA, :. HECDs'DCA, :.ZEDC=ZA,又AD=CD,:.ZA=ZDCE9 :.ZBCD=ZACD=ZA9 :. ZBCA = ZBCD+ ZACD=2ZA・乂AB=AC f・\ ZB=ZBCA = 2ZA. A Z A+Z B+ ZBCA = 5^A = 180°,・\ ZA = 36°16•证明：•・•三角形ABC是正三角形，:.AB=BC=AC f・AE_A£_j_^AB=~BC=29..AD I . AD_1・AC~V ^~CD~T・AD AE••CD=BC-又・・・ZA=ZC=60。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1阶段质量检测(二) B卷

阶段质量检测(二) B卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知：⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，∠BCD＝120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点，则∠ADP的度数是()A．15°B．30°C．45°D．60°解析：选B要求弦切角∠ADP，即连接BD，则∠ADP＝∠ABD，又AB是直径，所以∠ADB＝90°，而四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠C＋∠DAB＝180°，即∠DAB＝60°，所以∠ABD＝30°，故∠ADP＝30°.2．(北京高考)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选A逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD ＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．3．点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于点C，则PC等于()A．4 B．6 C．8 D．9解析：选B延长CP交⊙O于点D，则OP垂直平分弦CD，且CP·PD＝AP·PB＝36，∴PC2＝36，PC＝6，故选B.4.如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC＝()A．2 6 B. 6C．2 3 D．2 2解析：选D延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM 2，CM ＝2，OC ＝2 2.5．如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙I 是△ABC 的内切圆，∠A ＝80°，则∠BIC 等于( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°解析：选D ∵∠A ＝80°， ∴∠ABC ＋∠ACB ＝100°.∵∠IBC ＝12∠ABC ，∠ICB ＝12∠ACB ，∴∠IBC ＋∠ICB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝50°，∴∠BIC ＝180°－50°＝130°.6.如图，在⊙O 中，弦AB 与CD 相交于P 点，∠B ＝30°，∠APD＝80°，则∠A ＝( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．110° 解析：选B 易知∠A ＝∠D ，又∵∠APD ＝∠B ＋∠D ，∠B ＝30°，∠APD ＝80°， ∴∠D ＝∠APD －∠B ＝80°－30°＝50°. ∴∠A ＝50°.7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD ⊥AB 于D ，若BC ＝3，AC ＝4，则AD ∶CD ∶BD 等于( )A ．4∶6∶3B ．6∶4∶3C ．4∶4∶3D ．16∶12∶9 解析：选D 由AB 是⊙O 的直径，可得△ABC 是直角三角形．由勾股定理知AB ＝5.又CD ⊥AB ，根据射影定理就有AC 2＝AD ·AB ，于是AD ＝165.同理，BD ＝95，CD ＝125，据此即得三条线段的比值．8．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC ＝6 cm ，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B ．2 3 cm C ．4 3 cmD ．6 3 cm解析：选C 作BC 边上的中线AD ，则AD ⊥BC ，延长AD 交△ABC 外接圆于E ，连接CE .∵AE ⊥BC ，AE 平分BC ，∴AE 为△ABC 外接圆的直径， ∴∠ACE ＝90°. 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝12∠BAC ＝60°，CD ＝12BC ＝3 cm ，∴AC ＝CD sin ∠CAD ＝332＝23(cm)．在Rt △ACE 中，AE ＝AC cos ∠CAD＝2312＝43(cm)．即△ABC 外接圆的直径为4 3 cm.9.如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 为BD 的垂直平分线，∠ACB ＝60°，AB ＝a ，则CD 等于( )A.33a B.62a C.12a D.13a解析：选A ∵AC 为BD 的垂直平分线， ∴AB ＝AD ＝a ，AC ⊥BD ，∵∠ACB ＝60°，∴∠ADB ＝60°， ∴AB ＝AD ＝BD ， ∴∠ACD ＝∠ABD ＝60°， ∴∠CDB ＝30°， ∴∠ADC ＝90°， ∴CD ＝tan 30°·AD ＝33a . 10．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，点P 由C 出发以每秒2 cm 的速度沿线段CA 向点A 运动(不运动至A 点)，⊙O 的圆心在BP 上，且⊙O 分别与AB 、AC 相切，当点P 运动2 s 时，⊙O 的半径是( )A.127cm B.125 cm C.53cm D ．2 cm解析：选A ∵PC ＝2×2＝4 cm ，∴P 是AC 的中点，∴BC ＝6 cm ，BP ＝213 cm.连接OD ，∵D 为切点， ∴OD ⊥AC ，则OD ∥BC ，即DP OD ＝PC BC ＝46＝23.设半径OD ＝3k ，DP ＝2k ，∴OP ＝(3k )2＋(2k )2＝13k ， ∴OB ＝213－13k . ∵AE 、AD 为⊙O 的切线， ∴AE ＝AD ＝AP ＋PD ＝4＋2k ， BE ＝10－(4＋2k )＝6－2k .在Rt △BOE 中，∵OB 2＝BE 2＋OE 2， ∴(213－13k )2＝(6－2k )2＋(3k )2，解得k ＝47.故半径OD ＝3k ＝127. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，过点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE ，BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C ，D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.解析：由题易得∠PEB ＝∠PAE ，又由三角形外角性质得∠PCE ＝∠CPA ＋∠PAE ，又△PEC 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.答案：75°12.如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，若PF ＝12，PD ＝43，则圆O 的半径长为________、∠EFD 的度数为________．解析：由切割线定理得， PD 2＝PE ·PF ，∴PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4，EF ＝8，OD ＝4.∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∴∠P ＝30°，∠POD ＝60°， ∴∠EFD ＝30°. 答案：4 30°13．如图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N 为切点，若AP ＝8，PB ＝6，PD ＝4，MC ＝6，则MN 的长为________．解析：由相交弦定理得：CP ·PD ＝AP ·PB ，CP ＝AP ·PBPD ＝12，又由切割线定理得：MN 2＝MC ·MD ＝6×22，所以，MN ＝233.答案：23314．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝103，由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°，所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5.答案：5三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，在⊙O 中，半径OA ⊥OB ，弦AC 交OB于D ，E 是OB 延长线上一点，若∠OAD ＝30°，ED ＝CE .求证：EC 是⊙O 的切线．证明：连接OC . 因为OA ⊥OB ，所以∠CAO ＋∠ADO ＝90°. 因为DE ＝CE ，所以∠ECD ＝∠EDC ＝∠ADO . 因为OA ＝OC ，所以∠ACO ＝∠CAO . 所以∠ECD ＋∠ACO ＝90°. 所以EC 是⊙O 的切线．16．(本小题满分12分)如图，已知AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC ⊥CD 于C ，BD ⊥DC 于D ，PQ ⊥AB 于Q .求证：PQ 2＝AC ·BD . 证明：如图，连接PA 、PB ，因为CD 切⊙O 于P ，所以∠1＝∠2.因为AC ⊥CD 于C ，PQ ⊥AB 于Q ，所以∠ACP ＝∠PQB ＝90°. 所以△ACP ∽△PQB . 所以AC ∶PQ ＝AP ∶PB . 同理，△BDP ∽△PQA ，所以PQ ∶BD ＝AP ∶PB .所以AC ∶PQ ＝PQ ∶BD ，即PQ 2＝AC ·BD .17．(本小题满分12分)如图，已知AB 切⊙O 于B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于D ，DE 是⊙O 的切线，CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，求AB 的长．解：因为CE ⊥DE 于E ，DE ＝3，CE ＝4，所以CD ＝5.连接BD .因为DE 切⊙O 于点D ，所以∠EDC ＝∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径，所以∠BDC ＝90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC . 所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD ，即5BC ＝45＝3BD .所以BC ＝254，BD ＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC . 所以AB BC ＝BDCD . 所以AB ＝7516.18．(本小题满分14分)如图，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A ，B ，D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E ，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F .在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变，但在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．(1)连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE 相等，并说明理由； (2)若CF ＝CD ，求sin F 的值．解：(1)连接AE ，则AE ＝CE .∵∠ABE＝90°，∴AE为直径，连接DE.则∠ADE＝90°，又AD＝CD，∴AE＝CE.(2)设CF＝x，则FA＝3x，FD＝2x，AD＝x. ∵FE为⊙O的切线，∴AE⊥EF.∴DE2＝AD·DF＝2x2，即DE＝2x.FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，即FE＝6x.∴sin F＝EDFE＝2x6x＝33.。

人教版高中数学选修4-1《几何证明选讲》基础训练题及答案

高中数学选修 4-1《几何证明选讲》练习题（二）1． (2010 ·津卷天 )如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，延伸 AB 和 DC订交于点P.若PB ＝ 1， PD ＝ 3，则 ADBC 的值为 ________．分析：∵∠P ＝∠ P ，∠ A ＝∠ PCB ，∴△ PCB ∽△ PAD .PB BC 1∴ PD ＝ AD ＝3.答案：132．(2010 湖·南卷 )如下图，过⊙ O 外一点 P 作一条直线与⊙ O 交于 A ，B 两点，已知 PA ＝ 2，点 P 到⊙ O 的切线长 PT ＝4，则弦 AB 的长为 ______．分析：由切割线定理知 PT 2＝PA ·PB ，2∴ PB ＝ 4＝ 8.∴弦 AB 的长为 PB －PA ＝ 8－ 2＝ 6. 2答案： 63．如下图，已知PC 、 DA 为⊙ O 的切线， C 、A 分别为切点， AB 为⊙ O 的直径，若 DA ＝ 2， CD ＝ 1，则 AB ＝ ________.DP 2分析：由 CD ＝DA ＝2，∴ DP ＝ 4.2 2在 Rt △ADP 中， AP ＝ 4 － 2 ＝ 2 3.2由切割线定理： PC ＝ PA ·PB ，∴ 62＝ 2 3(2 3＋ AB)，∴ AB ＝ 4 3. 答案：4 34． (2010 ·西卷陕 )如图，已知 Rt △ ABC 的两条直角边AC ， BC 的长分别为 3 cm ，BD4 cm ，以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D ，则 DA ＝ ________. 分析： ∵∠ C ＝ 90°， AC 为圆的直径，∴ BC 为圆的切线， AB 为圆的割线．∴ BC 2＝ BD ·BA ，即 16＝BD ·5，解得 BD ＝16.5∴ DA ＝ BA － BD ＝5－ 16 9BD ＝ 16. 5 ＝ .∴DA 916 5 答案：95． (2010 ·东东莞广 )如图，已知 PA 、PB 是圆 O 的切线， A 、B 分别为切点， C 为圆 O 上不与 A 、 B 重合的另一点，若∠ ACB ＝ 120°，则∠ APB ＝ ________.分析：连结 OA 、OB ，∠ PAO ＝∠ PBO ＝90°，∵∠ ACB ＝ 120°，∴∠ AOB ＝ 120°.又 P 、 A 、O 、 B 四点共圆，故∠ APB ＝ 60°.答案：60°PC 6． (2010切圆 O 于·东佛山广 )如图，点 C 点， CD ⊥AB 于 D P 在圆点，则 O 直径 AB 的延伸线上，且CD ＝ ________.PB ＝ OB ＝ 2，2分析：由切割线定理知， PC ＝PA ·PB ，又 OC ⊥PC ，故 CD ＝PC ·OC ＝2 3×2＝ 3.PO4答案：37．如图， AB 为⊙ O 的直径， AC 切⊙ O 于点 A ，且 AC ＝ 2 2 cm ，过 C 的割线 CMN交 AB 的延伸线于点 D ， CM ＝MN ＝ ND ，则 AD 的长等于 ________cm.分析：由切割线定理知 |CA |2＝ |CM | ·|CN|＝ 2|CM |2，由于 |CA |＝2 2，因此 |CM|＝ 2， |CD |＝ 6，22答案：2 78． (2010 广·东卷 )如图， AB ，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们订交于AB 的中点 P ， PD ＝2a，∠ OAP ＝ 30°，则 CP ＝______. 3分析： ∵ AP ＝ PB ，∴ OP ⊥AB .3又∵∠ OAP ＝ 30°，∴ AP ＝ 2 a.由订交弦定理得 CP ·PD ＝AP 2，∴ CP ＝ AP 2 3 2 3 9＝ a × ＝ a.PD 4 2a 8答案：98a9．(2010 北·京卷 )如图， ⊙ O 的弦 ED ，CB 的延伸线交于点 A.若 BD ⊥ AE ，AB ＝ 4， BC ＝ 2， AD ＝ 3，则 DE ＝ ______， CE ＝ ______.分析：由圆的割线定理知：∴ AE ＝ 8，∴ DE ＝ 5.连结 EB ，∵∠ EDB ＝90°，∴ EB 为直径．∴∠ ECB ＝ 90°.由勾股定理，得2 222 22＝ 16－ 9＋ 25＝ 32.EB＝DB＋ ED＝AB －AD ＋ED 在 Rt △ECB 中， EB 2＝ BC 2＋ CE 2＝ 4＋ CE 2，∴ CE 2＝ 28，∴ CE ＝ 2 7. 答案： 5 2 710．如图， PC 切⊙ O 于点 C ，割线 PAB 经过圆心 O ，弦 CD ⊥AB 于点 E ，已知⊙O 的半径为 3，PA ＝ 2，则 PC ＝________， OE ＝ ________.分析：由于 PB ＝ PA ＋ AB ＝ 8，因此在⊙ O 中，由切割线定理得：2PC ＝ PA ·PB ＝ 2×8＝ 16，故 PC ＝ 4；在 Rt △OCP 中，由射影定理得：PC 2＝ PE ·PO ，2则 PE ＝PC＝ 169PO5 .故 OE ＝ PO － PE ＝ 5.答案：4511．如图，自圆 O外一点P 引切线与圆切于点A ，M为PA 的中点，过M 引割线交圆于 B 、 C 两点．求证：∠ MCP ＝∠ MPB.证明： ∵ PA 与圆相切于 A ， ∴ MA 2＝ MB ·MC.∵ M 为 PA 的中点，∴ PM ＝ MA ， ∴PM 2＝MB ·MC ，∴PM ＝MBMC PM .∵∠ BMP ＝∠ PMC ，∴△ BMP ∽△ PMC ， ∴∠ MCP ＝∠ MPB.12．如图，已知在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心， OB为半径的圆与 AB 交于点 E ，与 AC 切于点 D ，连结 DB 、DE 、OC.若 AD ＝ 2，AE ＝ 1，求 CD 的长．2分析：由切割线定理得 AD ＝ AE ·AB ，又∵∠ OCD ＝∠ ADE ＝ 90°－∠ CDB ，∠ A ＝∠ A ，∴△ ADE ∽△ ACO ，∴ AD ＝AC ，即 2＝CD ＋2，CD ＝3.AE AO12.5答： CD 的长等于 3.13． (2010 ·苏卷江 )如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过 D 作圆 O 的切线交 AB 的延伸线于点 C ，若 DA ＝ DC ，求证： AB ＝ 2BC.证明：如下图，连结 OD ， BD ，由于 CD 为⊙ O 的切线， AB 为直径，因此∠ ADB ＝∠ ODC ＝ 90°. 因此∠ ODA ＝∠ BDC . 又由于 DA ＝DC ，因此∠ DAB ＝∠ DCB . 因此△ ADO ≌△ CDB .因此 OA ＝BC ，进而 AB ＝ 2BC.14．已知弦 AB 与⊙ O 半径相等，连结 OB 并延伸使 BC ＝ OB. (1)问 AC 与⊙ O 的地点关系是如何的； (2)试在⊙ O 上找一点 D ，使 AD ＝ AC. 分析： (1) ∵AB 与⊙ O 半径相等， ∴△ OAB 为正三角形，∠ OAB ＝ 60°＝∠ OBA ，又∵ BC ＝ OB ＝ AB ，∴∠ C ＝∠ BAC ＝ 30°，故∠ OAC ＝ 90°， ∴AC 与⊙ O 相切．(2)延伸 BO 交⊙ O 于 D ，则必有 AD ＝ AC.∵∠ BOA ＝ 60°， OA ＝ OD ，∴∠ D ＝ 30°，又∵∠ C ＝ 30°，∴∠ C ＝∠ D ，得 AD ＝AC.15． (2010 ·宁卷辽 )如图，△ ABC 的角均分线 AD 的延伸线交它的外接圆于点 E.(1)证明：△ ABE ∽△ ADC ；1(2)若△ ABC 的面积 S ＝2AD ·AE ，求∠ BAC 的大小．分析： (1) 证明：由已知条件，可得∠ BAE ＝∠ CAD. 由于∠ AEB 与∠ ACB 是同弧所对的圆周角，因此∠ AEB ＝∠ ACD . 故△ ABE ∽△ ADC .AB AD(2)由于△ ABE ∽△ ADC ，因此 AE ＝ AC ，即 AB ·AC ＝ AD ·AE .1 1又 S ＝ AB ·ACsin ∠ BAC ，且 S ＝ AD ·AE ，2 2故 AB ·ACsin ∠BAC ＝ AD ·AE.则 sin ∠ BAC ＝ 1，又∠ BAC 为△ ABC 的内角，因此∠ BAC ＝ 90°.16．如图， AB 、 CD 是圆的两条平行弦， BE ∥AC ，并交 CD 于 E ，交圆于 F ，过 A 点的切线交 DC 的延伸线于 P ， PC ＝ED ＝ 1， PA ＝ 2.(1)求 AC 的长；(2)求证： EF ＝ BE.2分析： (1) ∵PA ＝PC ·PD ， PA ＝2， PC ＝ 1，∴ PD ＝ 4.∵∠ PAC ＝∠ CBA ，∠ PCA ＝∠ CAB ，∴△ PAC ∽△ CBA ，∴ PC ＝ AC，∴ AC 2＝ PC ·AB ＝ 2，∴ AC ＝ 2.AC AB(2)证明：∵ CE ·ED ＝ BE ·EF ， BE ＝ AC ＝ 2，∴ EF ＝ 2·1＝ 2，∴ EF ＝BE . 217．如图， PA 切⊙ O 于点 A ，割线 PBC 交⊙ O 于点 B ，C ，∠ APC 的角均分线分别与 AB ， AC 订交于点 D ， E ，求证：(1)AD ＝ AE ；(2)AD 2＝ DB ·EC.【分析方法代码 108001161】证明： (1) ∠AED ＝∠ EPC ＋∠ C ，∠ ADE ＝∠ APD ＋∠ PAB.由于 PE 是∠ APC 的角均分线，故∠ EPC ＝∠ APD ，又 PA 是⊙ O 的切线，故∠ C ＝∠ PAB. 因此∠ AED ＝∠ ADE .故 AD ＝AE .∠ PCE ＝∠ PADEC PC(2) ∠ CPE ＝∠ APD ? △ PCE ∽△ PAD ? AD ＝PA ； ∠ PEA ＝∠ PDB AE PA∠ APE ＝∠ BPD ? △ PAE ∽△ PBD ? DB ＝ PB .又 PA 是切线， PBC 是割线 ? PA2＝ PB ·PC? PB PA ＝PCPA .故EC＝AE，又 AD＝ AE，故 AD 2＝ DB ·EC. AD DB18．如图，已知AD 是△ ABC 的外角∠ EAC 的均分线，交BC 的延伸线于点 D ，延伸 DA 交△ ABC 的外接圆于点 F ，连结 FB 、FC .(1)求证： FB ＝ FC；(2)求证： FB 2＝ FA·FD ；(3)若 AB 是△ ABC 外接圆的直径，∠ EAC＝ 120 °，BC＝6 cm，求 AD 的长 . 【分析方法代码 108001162】分析：(1) 证明：∵ AD 均分∠ EAC，∴∠ EAD＝∠ DAC.∵四边形 AFBC 内接于圆，∴∠ DAC＝∠ FBC.∵∠ EAD ＝∠ FAB＝∠ FCB ，∴∠ FBC＝∠ FCB ，∴ FB＝ FC .(2)证明：∵∠ FAB＝∠ FCB＝∠ FBC，∠ AFB ＝∠ BFD ，FB FA∴△ FBA ∽△ FDB .∴FD＝FB，∴FB2＝ FA·FD .(3)∵ AB 是圆的直径，∴∠ACB＝ 90°.1∵∠ EAC＝ 120°，∴∠ DAC ＝∠ EAC＝ 60°，∴∠ BAC＝∠ BFC ＝60°，∠ FDB ＝30°，∴△ FBC 为正三角形，又 BC＝ 6，在 Rt△ ABC 中，∴ AC＝2 3，∴在 Rt△ ACD 中， AD ＝ 4 3.。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：本讲整合2

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本讲整合
知识建构
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由AG等于☉O的半径得AO=2OE, 所以∠OAE=30°. 因此△ABC和△AEF都是等边三角形.
综合应用
真题放送
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本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
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7(2014·课标全国Ⅰ高考,文22)如图,四边形ABCD是☉O的内接四
边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.
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本讲整合
专题一专题二
知识建构
综合应用
真题放送
专题二与圆有关的线段的计算与证明
在圆中,解决与圆有关的线段的计算与证明问题时 ,先考虑圆幂定理,即相交弦定理、割线定理、切割线定理和切线长定理,得到成比例线段,再结合射影定理、相似三角形进行等比代换或等量代换加以证明或列出方程解得线段的长.
综合应用
真题放送
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1(2015·天津高考,理5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦 CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为 (
)
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本讲整合
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解析:由相交弦定理,
知识建构
综合应用
真题放送
因为M,N是弦AB的三等分点, 所以AM=MN=NB,MB=AN. 所以AM·MB=AN·NB.
提示:要证明∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证明A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故采用分类讨论来解决.
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本讲整合
知识建构
综合应用
真题放送
专题一专题二

2016-2017学年高中数学人教B版选修4-1模块综合测评含

模块综合测评(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x 为( )A.0B.1C.2D.3【解析】共两个：△ACD 和△CBD . 【答案】 C2.如图1，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB ＝12BC ，则P APB 等于( )图1A.2B.12C. 3D.1【解析】设PB ＝x ，则PC ＝PB ＋BC ＝x ＋2x ＝3x ，∴P A 2＝PB ·PC ＝3x 2. ∴P A ＝3x .∴P A PB ＝3xx ＝ 3. 【答案】 C3.如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AC ∶BC ＝1∶2，则AD 的值是( )【导学号：61650027】图2A.6 cmB.3 2 cmC.18 cmD.3 6 cm【解析】∵AC∶BC＝1∶2，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD∶DB＝1∶2，∴可设AD＝t，DB＝2t，又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，∴2t2＝36，∴t＝32(cm)，即AD＝32cm.【答案】 B4.如图3，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F.已知∠B＝50°，∠C ＝60°，连接OE、OF、DE、DF，那么∠EDF等于()图3A.40°B.55°C.65°D.70°【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.【答案】 B5.如图4，平行四边形ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若△AEF的面积等于2 cm2，则△CDF的面积等于()图4A.16 cm2B.18 cm2C.20 cm2D.22 cm2【解析】∵AEEB＝12，∴AEAB＝AECD＝13，∵DC ∥AE ，∴△DCF ∽△EAF ， ∴S △DCF S △EAF＝(CD AE )2＝(31)2，即S △DCF2＝9， ∴S △DCF ＝18(cm 2). 【答案】 B6.如图5，⊙O 的直径为AB ，弦CD 垂直平分OA ，垂足是E 点，则圆弧CAD ︵的度数为( )图5A.150°B.120°C.90°D.60°【解析】如题图，连接CO ，DO 由题意知EO ＝12CO ＝12DO ， ∴∠ECO ＝∠EDO ＝30°， ∴∠COD ＝120°，故圆弧CAD ︵的度数为120°. 【答案】 B7.如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )图6A.12B.33C.32D.非上述结论【解析】用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e ＝sin 30°＝12.【答案】 A8.如图7，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan ∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( )图7A.252πB.252π－24 C.24D.25π2＋24【解析】 ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°. ∵tan ∠BAC ＝34，∴sin ∠BAC ＝35. 又∵sin ∠BAC ＝BCAB ，AB ＝10， ∴BC ＝35×10＝6， AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6＝252π－24. 【答案】 B9.如图8，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB ＝6，CD ＝25，则线段AC 的长度为( )图8A.5B.35C.30D.3 5【解析】如题图，连接BC，∵AB垂直平分CD，∴CP2＝AP·PB.设PB＝x，则AP＝6－x.∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去).即AP＝5，又CP＝252＝5，∴AC＝25＋5＝30.【答案】 C10.如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为()图9A.2∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶1【解析】如题图，连接BE，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB＝a，∵∠A＝45°，又∵CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，∴BE＝AB＝a，∴AE＝2 a，∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC ∶S△ABD＝2∶1.【答案】 A11.如图10，△ABC的底边BC＝a，高AD＝h，矩形EFGH内接于△ABC，其中E、F分别在边AC、AB上，G、H都在BC上，且EF＝2FG，则矩形EFGH 的周长是()图10A.ah2h ＋aB.6ah2h ＋a C.ah2h －aD.6h2h ＋a【解析】设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x .因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC . 又AD ⊥BC ，设AD 交EF 于M ，则AM ⊥EF . 所以AM AD ＝EFBC ，即AD －DM AD ＝2x a . 所以h －x h ＝2x a 解之，得x ＝ah2h ＋a. 所以矩形EFGH 的周长为6x ＝6ah2h ＋a. 【答案】 B12.如图11，已知△ABC 中，BD DC ＝23，AE EC ＝34，AD 、BE 交于F ，则AF FD ·BFFE 的值为( )图11A.73B.149C.3512D.5613【解析】过D 作DG ∥BE 交AC 于G .∵BD DC ＝23，∴DC BC ＝35. ∴DG BE ＝DC BC ＝35. ∴DG ＝35BE . 又EG EC ＝BD BC ＝25， ∴EG ＝25EC .又AE EC ＝34，∴EC ＝43AE . ∴FE DG ＝AE AG ＝AE AE ＋25EC ＝AE AE ＋25×43AE＝1523. ∴FE ＝1523DG ＝1523×35BE ＝923BE . ∴BF FE ＝149，AF FD ＝AE EG ＝158. ∴AF FD ·BF FE ＝158×149＝3512. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13.如图12，点E 、F 分别在AD 、BC 上，已知CD ＝2，EF ＝3，AB ＝5，若EF ∥CD ∥AB, 则CFFB 等于________.图12【解析】如图，过C 作CH ∥DA 交EF 于G ，交AB 于H .则EG ＝AH ＝DC ＝2，GF ＝1，BH ＝3.∵GF ∥HB ，∴CF CB ＝GF HB ＝13. ∴CF FB ＝12. 【答案】 1214.如图13，PT 切⊙O 于点T ，P A 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D .CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.【导学号：61650028】图13【解析】 ∵AD ·BD ＝CD ·DT ， ∴DT ＝9，∴PT 2＝(PB ＋6)2－81.又∵PT 2＝PB ·(PB ＋9)，∴PB ＝15. 【答案】 1515.如图14，已知F 为抛物线的焦点，l 为其准线，过F 引PQ ⊥轴AB ，交抛物线于P 、Q 两点，A 在l 上，以PQ 为直径作圆，C 为l 上一点，CF 交⊙F 于D .若CA ＝4，CD ＝2，则PQ ＝________.图14【解析】过P 作PE ⊥l 交l 于E ，延长CF 交⊙F 于G ，如图所示，∵PF ＝PE ，又PE ＝AF ，∴PF＝AF.∴l是⊙F的切线.∴CA2＝CD·CG，即16＝2(2＋DG).∴DG＝6，∴PQ＝6.【答案】 616.已知如图15，△ABC中，边AC上一点F分AC为AFFC＝23，BF上一点G分BF为BGGF＝32，AG的延长线与BC交于点E，则BE∶EC＝________.图15【解析】过F作FD∥AE交BC于D，如图所示，则CDDE＝CFAF＝32，DE EB＝FGGB＝23，故CD＝32DE，BE＝32DE，EC＝CD＋DE＝32DE＋DE＝52DE，从而BEEC＝35.【答案】3∶5三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知如图16，DE∥BC，四边形DEFG是平行四边形.求证：AH∥DG.图16【证明】∵DE∥BC，∴DEBC＝ADAB.∵GF∥DE，∴GF∥BC，∴GFBC＝HGHB.∵GF＝DE，∴DEBC＝GFBC，∴ADAB＝HGHB.∴AH∥DG.18.(本小题满分12分)如图17，AB为⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，DC切⊙O于E，并与AD、BC分别交于D、C两点，BD与AC交于点F，求证：FE∥AD.图17【证明】∵AB为⊙O的直径，AD、BC是⊙O的切线，∴AD⊥AB，BC⊥AB.∴AD∥BC.∴ADBC＝AFFC.∵DC与⊙O切于E，并与AD、BC分别交于D、C两点，∴AD＝DE，BC＝CE.∴DECE＝AFFC.∴FE∥AD.19.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)如图18，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.图18(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积.【导学号：61650029】【解】 (1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF ，从而EF ∥BC .(2)解：由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上.连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 20.(本小题满分12分)如图19所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且P A ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长.图19【解】 (1)证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)设BP ＝x ，PE ＝y ，∵P A ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ⇒9＋x y ＝62 ②由①②得，⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－1.(舍去) ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.21.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图20，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . 【导学号：61650030】图20(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；(2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.【解】 (1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB .在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE .连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线.(2)解：设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.22.(本小题满分12分)如图21，P A、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q.求证：PQ2＝PC·PD－QC·QD.图21【证明】如图，连接OA、OB、OP，设OP与AB的交点为H，CD的中点为M.连接OM，则OM⊥CD，OH⊥AB.所以，O、H、Q、M四点共圆.于是，PQ·PM＝PH·PO.又Rt△PHA∽Rt△P AO，所以P A2＝PH·PO.所以PQ·PM＝P A2.由切割线定理，得P A2＝PC·PD，所以PQ·PM＝PC·PD，即PQ·(PQ＋QM)＝PC·PD.所以PQ2＝PC·PD－PQ·QM.又P、A、O、M四点共圆，P、B、M、O四点共圆，所以，P、B、M、O、A五点共圆.由相交弦定理，得PQ·QM＝AQ·QB＝QC·QD.故PQ2＝PC·PD－QC·QD.。

高中数学选修4-1课后习题答案[人教版]教学内容

一、消费者分析
（2）物品的独一无二
四、影响的宏观环境分析
§8-4情境因素与消费者行为2004年3月20日
2003年，上海市人均GDP按户籍人口计算就达到46700元，是1995年的2.5倍；居民家庭人均月可支配收入为14867元，是1995年的2.1倍。收入不断增加的同时，居民的消费支出也在增加。2003年上海居民人均消费支出为11040元，其中服务性消费支出为3369元，是1995年的3.6倍。
（五）DIY手□小饰品□
1、购买“女性化”
2003年，全年商品消费价格总水平比上年上升1%。消费品市场销售平稳增长。全年完成社会消费品零售总额2220.64亿元，比上年增长9.1%。
“漂亮女生”号称全国连锁店，相信他们有统一的进货渠道。店内到处贴着“10元以下任选”，价格便宜到令人心动。但是转念一想，发夹2.8元，发圈4.8元，皮夹子9.8元，好像和平日讨价还价杀来的心理价位也差不多，只不过把一只20元的发夹还到5元实在辛苦，现在明码标价倒也省心省力。

2016-2017学年高中数学选修4-1模块综合测评含解析

模块综合测评（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。

如图1，已知BN∥AM，ND∥MC,那么有（）图1A。

错误!＝错误!B。

错误!＝错误!C。

错误!＝错误!D。

以上答案都不对【解析】∵BN∥AM，∴错误!＝错误!，又∵ND∥MC,∴错误!＝错误!,∴错误!＝错误!.【答案】B2.如图2，小明在打网球时,使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上,则球拍击球的高度h为( ）A。

错误!米 B.1米C。

错误!米 D.错误!米【解析】错误!＝错误!，得h＝错误!（米）。

【答案】C3。

如图3,⊙O内切于△ABC，切点分别为D,E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°,连接OE,OF,DE，DF,那么∠EDF等于（)图3A。

40° B.55°C。

65°D。

70°【解析】∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°。

【答案】B4。

已知:如图4，▱ABCD中,EF∥AC交AD，DC于E,F，AD，BF的延长线交于M,则下列等式成立的是( ）A.AD2＝AE·AMB.AD2＝CF·DCC。

AD2＝BC·ABD.AD2＝AE·ED【解析】∵在▱ABCD中，∴AD∥BC，AB∥DC。

∵DF∥AB，∴错误!＝错误!。

∴DM∥BC，∴错误!＝错误!。

∵EF∥AC，∴错误!＝错误!。

∴错误!＝错误!，∴AD2＝AE·AM。

【答案】A5.如图5，PT是⊙O的切线，且PT的长为4，PBC是⊙O的一条割线，EF和BC是⊙O内两条相交于M的弦，已知PB＝2，BM∶MC ＝2∶1，EM∶MF＝2∶1，则MC，MF的长分别为（）图5A.2，2B.2，4C。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1模块综合检测(二) Word版含解析

模块综合检测(二)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．12 cmC ．18 cmD ．24 cm解析：选D 根据AE ＝ED ，AB ∥EM ∥DC ，有BM ＝MC . 又EF ∥BC ，所以EF ＝MC ，于是EF ＝12BC .2．在▱ABCD 中，E 是AD 的中点，AC 、BD 交于O ，则与△ABE面积相等的三角形有( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：选C 利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系．3．在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G ，交BC 于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积比为( )A ．1∶2B ．1∶4C ．4∶9D ．2∶3解析：选C 易证△ABF ≌△DAE .故知BF ＝AE . 因为AE ∶EB ＝2∶1，故可设AE ＝2x ，EB ＝x ，则AB ＝3x ，BF ＝2x .由勾股定理得AF ＝(3x )2＋(2x )2＝13x . 易证△AEG ∽△ABF .可得S △AEG ∶S △ABF ＝AE 2∶AF 2＝(2x )2∶(13x )2＝4∶13.可得S △AEG ∶S 四边形BEGF ＝4∶9. 4．在梯形ABCD 中，AD ∥BC (其中BC >AD )E 、F 分别是AB 、DC 的中点，连接EF ，且EF 交BD 于G ，交AC 于H ，则GH 等于( )A ．AD B.12(AD ＋BC )C ．BCD.12(BC －AD )解析：选D 结合平行线等分线段定理及梯形中位线定理可解决此问题． 5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝135°，以A 为圆心，AB 为半径，作⊙A 交AD 、BC 于E 、F 两点，并交BA 延长线于G ，则BF 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选C ¼BF的度数等于圆心角∠BAF 的度数．由题意知∠B ＝45°，所以∠BAF ＝180°－2∠B .6．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，不能判定DE ∥BC 的是( ) A ．AD ＝5，AB ＝8，AE ＝10，AC ＝16 B ．BD ＝1，AD ＝3，CE ＝2，AE ＝6 C ．AB ＝7，BD ＝4，AE ＝4，EC ＝3 D ．AB ＝AC ＝9，AD ＝AE ＝8解析：选C 对应线段必须成比例，才能断定DE 和BC 是平行关系，显然C 中的条件不成比例．7.如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB ＝12BC ，则PA PB 等于( )A ．2B.12C. 3 D ．1解析：选C 利用切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝3PB 2，则PAPB ＝ 3.8．D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为4，△ABC 的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A.92，16 B ．9,4 C.92，8 D.94，16解析：选A 如右图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边中点．∴EF 綊12BC ，∴△AEF ∽△ABC ，且EF BC ＝12.∴l △DEF l △ABC ＝EF BC ＝12，又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝92.又∵S △DEF S △ABC ＝EF 2BC 2＝14，又∵S △DEF ＝4， ∴S △ABC ＝16.9.如图，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF ∶FC 等于( )A ．1∶5B ．1∶4C ．1∶3D ．1∶2解析：选C 过D 作DG 平行于AF ，交BC 于点G ，再根据平行线分线段成比例定理即可解决．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，AD ＝DC ，∠ADB ＝20°，则∠ACB ，∠DBC 分别为( )A ．15°与30°B ．20°与35°C ．20°与40°D ．30°与35°解析：选B ∵∠ADB ＝20°， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝20°. 又∵BC 为⊙O 的直径，∴¼ADC 的度数为180°－40°＝140°. ∵D 为¼AC 的中点， ∴»CD的度数为70°， ∴∠DBC ＝70°2＝35°.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)11.(湖北高考)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．解析：由题意知CD 2＝OC 2－OD 2，OC 是半径，所以当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大．答案：212．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD＝2，DB＝4，则DE＝________.解析：由切割线定理得：AC2＝AD·AB＝2×6＝12.所以AC＝2 3.连接CD，可证：EC＝ED，∠A＝∠EDA.所以AE＝ED，所以ED＝AE＝EC＝12AC＝ 3.答案： 313．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，线段AE的长为________．解析：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又因为AB＝6，BC＝3，所以∠CAB＝30°.又∠DCA＝90°－30°＝60°，而AD⊥DC，所以∠DAC＝30°，即可得出¼AE＝»BC＝»EC.所以AE＝BC＝3.答案：30° 314．如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，BD＝8，则AC＝________.解析：因为PA是圆O的切线，所以∠CAP＝∠ABC＝60°.又PE＝PA，所以△PAE为等边三角形．由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，所以PA ＝3，所以PA ＝PE ＝AE ＝3， ED ＝PE －PD ＝3－1＝2， BE ＝BD －ED ＝8－2＝6. 由相交弦定理得AE ·EC ＝BE ·ED . 所以EC ＝BE ·ED AE ＝6×23＝4，所以AC ＝AE ＋EC ＝3＋4＝7. 答案：7三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，FG ∥BD 交AD 于G .求证：AG ＝DG .证明：∵AD ∥EF ∥BC ，E 是CD 的中点，∴F 是AB 的中点．又∵FG ∥BD ，∴G 是AD 的中点．∴AG ＝DG .16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明：连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB . 所以BC OD ＝ACAD . 又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .17．(本小题满分12分)如图所示，两圆内切于点T ，大圆的弦AB 切小圆于点C .TA ，TB 与小圆分别相交于点E ，F .FE 的延长线交两圆的公切线TP 于点P .求证：(1) »CE＝»CF ；(2)AC ·PF ＝BC ·PT .证明：(1)设小圆的圆心为点O ，连接OC .∵AB 切小圆于点C ，∴OC ⊥AB . ∵∠1＝∠3＝∠2， ∴EF ∥AB ，∴OC ⊥EF ， ∴»CE＝»CF . (2)∵EF ∥AB ，∴AE BF ＝AT BT ＝TE TF . ∵AB 切小圆于点C ， ∴AC 2＝AE ·AT ，BC 2＝BF ·BT . ∴AC 2BC 2＝AE ·AT BF ·BT ＝TE 2TF 2，AC BC ＝TE TF . ∵PT 是公切线，∴∠PTF ＝90°， ∵TF 是⊙O 的直径， ∴TE ⊥PF ，△PTF ∽△TEF ， ∴PT PF ＝TE TF ，∴AC BC ＝PT PF ， ∴AC ·PF ＝BC ·PT .18．(本小题满分14分)如图，在矩形ABCD 中，以A 为圆心，AD为半径的圆交AC ，AB 于M ，E .CE 的延长线交⊙A 于F ，CM ＝2，AB ＝4.(1)求⊙A 的半径；(2)求CE 的长和△AFC 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，AB ＝4，∴CD ＝4. 在Rt △ACD 中，AC 2＝CD 2＋AD 2， ∴(2＋AD )2＝42＋AD 2.解得：AD ＝3，即⊙A 的半径为3. (2)过点A 作AG ⊥EF 于点G ，∵BC ＝3，BE ＝AB －AE ＝4－3＝1， ∴CE ＝BC 2＋BE 2＝32＋12＝10.∵∠ADC ＝90°， ∴CD 为⊙A 的切线， ∴CE ·CF ＝CD 2， ∴CF ＝CD 2CE ＝4210＝8510.又∠B ＝∠AGE ＝90°，∠BEC ＝∠GEA ， ∴△BCE ∽△GAE ，∴BC AG ＝CE AE 即3AG ＝103.∴AG ＝91010，∴S △AFC ＝12CF ·AG ＝12×8510×91010＝365.。

2016-2017学年高中数学人教A版选修4-1课件：第二讲四弦切角的性质

解：(1)证明：如图，连接BC. ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB.
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD. (2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. AD AC ∴ AC＝AB， ∴AC2＝AD· AB. ∵AD＝2，AC＝ 5， 5 ∴AB＝2.
5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点 A，D的⊙O和BC切于点D，且AB，AC 与⊙O相交于点E，F，连接DF，EF. 求证：(1)EF∥BC； (2)DF2＝AF· BE. 证明：(1)∵⊙O切BC于点D，
∴∠CAD＝∠CDF. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC.
四
弦切角的性质
弦切角定理 (1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆
周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．
弦切角定理
[例1]
» ，过C点的圆的切线与 AC ＝ BD 如图，已知圆上的 ¼
CE CD → CD＝ CF → 结论
[证明]
连接CA，CB.
∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB. 又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， CA CE CB CF ∴CB＝CD，CA＝CD. CE CD ∴CD＝ CF，即CD2＝CE· CF.

高中数学人教B版选修4-1章末综合测评第2章 Word版含答案

学业分层测评(十)第二章(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题(每小题分，共分).梯形中，∥，若梯形不在平面α内，则它在α内的正射影是( ).梯形.平行四边形.一条线段或梯形.一条线段【解析】当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在α上的正射影是一条线段.当梯形所在的平面与投影线不平行时，梯形在α上的正射影是一个梯形.【答案】.如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( ).内心的平行射影还是内心.重心的平行射影还是重心.垂心的平行射影还是垂心.外心的平行射影还是外心【解析】三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变.【答案】.圆锥的顶角为°，圆锥的截面与轴线所成的角为°，则截线是( ).椭圆.圆.双曲线.抛物线【解析】由已知α＝＝°，β＝°，∴β>α.故截线是椭圆，故选.【答案】.设平面π与圆柱的轴的夹角为β(°<β<°)，现放入双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )【解析】双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，＝.∴＝＝＝＝.【答案】二、填空题(每小题分，共分).已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为.【导学号：】【解析】∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角α＝°；又截面与轴线的夹角β＝°，即β<α，∴截线是双曲线，其离心率＝β α)＝° °)＝＝.【答案】.一平面与圆柱面的母线成°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为，则圆柱面内切球的半径为.【解析】由＝，得＝，又＝°＝，∴＝·＝×＝.∴＝＝＝.∴圆柱面内切球的半径＝.【答案】三、解答题(每小题分，共分).如图--，正方体－中，、分别是、的中点，是正方形的中心，画出空间四边形在该正方体的面上的正投影.图--【解】如图()，点落在点上，点落在的中点′上，点在面上的正射影仍为点，点落在的中点′上，擦去命名点，其图形如图()所示.。

最新整理高中数学选修4-1(人教版)练习：第二讲章末评估验收(二) Word版含解析.doc

章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．给出下列命题：①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中真命题有()A．1个B．3个C．2个D．4个解析：①③正确；②④错误．答案：C2．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是() A．42°B．138°C．84°D．42°或138°解析：弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.答案：D3．等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝4 cm，若以A为圆心，2 cm 为半径的圆与BC相切，则∠BAC的度数为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析：由题意知△ABC底边上的高为2 cm，腰AB＝AC＝4 cm.所以∠B＝∠C＝30°，所以∠BAC＝120°.答案：D4．如图所示，一圆内切于四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为()A．50 B．52 C．54 D．56解析：由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC，因为AB＋CD＝26，所以AB＋BC＋CD＋AD＝52.答案：B5．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，且AC，BD交于点P，则此图形中一定相似的三角形有()A．4对B．3对C．2对D．1对解析：△APD∽△BPC，△APB∽△DPC.答案：C6．如图所示，在⊙O中，弦AB的长等于半径，E为BA的延长线上一点，∠BCD＝80°，则∠ACD的度数是()A．60°B．50°C．45°D．30°解析：连接OB(如图)，则∠AOB＝60°.因为∠BCD ＝80°，∠ACB ＝12∠AOB ＝30°，所以∠ACD ＝∠BCD －∠ACB ＝80°－30°＝50°.答案：B7．如图所示，PA 切⊙O 于点A ，PC 交⊙O 于点B ，C ，若PA ＝5，PB ＝BC ，则PC 的长是( )A ．10B ．5C ．5 2D ．5 3解析：设PB ＝x .由切割线定理得PA 2＝PB ·PC ，即25＝x ·2x ，解得x ＝522. 所以PC ＝2x ＝5 2.答案：C8．如图所示，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过点P 作PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP ＝4，PB ＝2，则PC 的长是( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．3解析：延长CP 交⊙O 于D (如图)，因为PC⊥OP，所以PC＝PD，又因为AP·PB＝PC·PD，所以AP·PB＝PC2，即PC2＝4×2，所以PC＝2 2.答案：C9．如图所示，PAB，PDC是⊙O的割线，连接AD，BC，若PD∶PB ＝1∶4，AD＝2，则BC的长是()A．4 B．5 C．6 D．8解析：由四边形ABCD为⊙O的内接四边形可得∠PAD＝∠C，∠PDA＝∠B.所以△PAD∽△PCB.所以PDPB＝ADCB＝14.又AD＝2，所以BC＝8.答案：D10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作圆O与AB相切于E，与AC相切于C，又与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为()A ．1 B.12 C.13 D.14解析：连接OE (如图)，则OE ⊥AB ，因为∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，所以△OBE ∽△ABC ，AB ＝5，所以OE AC ＝OB AB ＝BC －OE AB，即OE 4＝3－OE 5，所以OE ＝43，所以BD ＝BC －2OE ＝3－2×43＝13. 答案：C11．如图所示，已知△ABC 的∠BAC 的平分线与BC 相交于点D ，△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交于点E ，若EB ＝8，EC ＝2，则ED ＝( )A ．2 B.52C ．4D ．5 解析：根据切割线定理可得∠ABC ＝∠EAC .因为线段AD 为∠BAC 的角平分线，所以∠BAD ＝∠DAC .又∠ADE ＝∠ABC ＋∠BAD ，∠EAD ＝∠CAE ＋∠DAC ，则可以得到∠ADE ＝∠EAD ，即△ADE 为等腰三角形，则有DE ＝AE .在△ACE 和△ABE 中，因为∠EAC ＝∠ABC 且∠AEC ＝∠AEB ，所以△CAE ∽△ABE ，则有AE BE ＝CE AE⇒AE ＝4，即DE ＝AE ＝4.答案：C12．如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ，AB ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为( )A ．78B ．65C ．45D ．37解析：设⊙O 与AB 交于F ，分别连接OE ，DF ，则DF ＝BC ，如图所示，根据切线的性质可得OE ⊥BC ，所以OE ∥AB ∥CD ，因为O 是AD 的中点，所以OE ＝12(AB ＋CD )＝12(4＋9)＝132，由题意知AF ＝AB －CD ＝5，在Rt △ADF 中，DF ＝AD 2－AF 2＝132－52＝12.所以S 四边形ABCD ＝12(AB ＋CD )·DF ＝12×13×12＝78. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的线上)13．如图所示，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD DA＝________．解析：如图所示，连接CD ，则CD ⊥AB ，由题意知△BCD ∽△CAD ，所以BD DC ＝BC CA ＝43，所以BD 2DC 2＝169，① 又CD 2＝AD ·BD ，②所以BD 2AD ·BD ＝169，即BD AD ＝169. 答案：16914．如图所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．解析：设BE ＝a ，则AF ＝4a ，FB ＝2a .因为AF ·FB ＝DF ·FC ，所以8a 2＝2，所以a ＝12.所以AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12，所以AE ＝72. 又因为CE 为圆的切线，所以CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74. 所以CE ＝72. 答案：72 15．在射线OA 上取一点P ，使OP ＝4 cm ，以P 为圆心作直径为4 cm 的圆，若⊙P 与射线OB 有两个交点，则锐角∠AOB 的取值范围为________．解析：当OB 与圆相切时，∠AOB ＝π6，故当OB 与圆有两个交点时，0≤∠AOB <π6. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6 16．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，交BA 的延长线于点E ，若ED ＝3，∠ADE ＝30°，则△BDC 的外接圆的直径为________．解析：连接OD(如图)，则∠ODB＝∠OBD＝∠ADE＝30°，所以∠AOD＝∠ODB＋∠OBD＝60°，所以△AOD是正三角形．因为CB，CD均与圆相切，所以∠ODC＝∠OBC＝90°，所以O，B，C，D四点共圆，所以∠C＝∠AOD＝60°，从而∠E＝90°－60°＝30°，由题意可证得△EAD≌△DOB，所以BD＝DE＝ 3.由正弦定理知△BCD的外接圆直径2R＝BD sin C＝3sin 60°＝2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，点O为AB上一点，以O为圆心的半径切AC于点E，交AB于点D.AC＝12，BC＝9，求AD的长．解：连接OE(如图)．因为E为切点，所以OE⊥AC.所以OE∥BC.所以△AEO∽△ACB.设AD＝x，⊙O半径为r，则OEBC＝AOAB，即r9＝x＋r15.①又AB＝AD＋BD，即15＝x＋2r.②由①②可得x＝154.所以AD的长为154.18.(本小题满分12分)如图所示，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)求PD的长．(1)证明：连接OA，因为∠B＝60°，所以∠AOC＝2∠B＝120°，因为OA＝OC，所以∠ACP＝∠CAO＝30°，所以∠AOP＝60°，又因为AP＝AC.所以∠P＝∠ACP＝30°，所以∠OAP＝90°，即OA⊥AP，所以AP是⊙O的切线．(2)解：CD是⊙O的直径，连接AD，所以∠CAD＝90°，所以AD＝AC·tan 30°＝ 3.因为∠ADC＝∠B＝60°，所以∠PAD＝∠ADC－∠P＝30°，所以∠P＝∠PAD，所以PD＝AD＝ 3.19.(本小题满分12分)如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，求证：AB是以CD为直径的圆的切线．证明：连接AE，OE，作EF⊥AB于F(如图)，因为CD切⊙O于E，所以OE⊥CD.因为AC⊥CD，BD⊥CD，所以AC∥OE∥BD.因为AO＝OB，所以CE＝ED.又因为OA＝OE，所以∠1＝∠3.因为AC∥OE，所以∠2＝∠3.所以∠1＝∠2.所以EF＝CE.所以AB是以CD为直径的圆的切线．20.(本小题满分12分)如图所示，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作HD⊥AD，交直线AF于H点．(1)求证：B，D，H，F四点共圆；(2)若AC＝2，AF＝22，求△BDF外接圆的半径．(1)证明：因为AB为圆O的一条直径，所以BF⊥FH.又DH⊥BD，故B，D，H，F四点在以BH为直径的圆上．所以B，D，H，F四点共圆．(2)解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2＝AC·AD，即(22)2＝2·AD，AD＝4.所以BD＝12(AD－AC)＝1，BF＝BD＝1.又△AFB∽△ADH，则DHBF＝ADAF，得DH＝ 2.连接BH ，由(1)可知BH 为△BDF 外接圆的直径．BH ＝BD 2＋DH 2＝3，故△BDF 的外接圆半径为32. 21．(本小题满分12分)如图所示，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG .求证：(1)△DEF ∽△EAF ；(2)EF ∥CB .证明：(1)由切割线定理得FG 2＝FA ·FD .又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FD EF. 因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△DEF ∽△EAF .(2)由(1)得∠FED ＝∠FAE .因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB .22.(本小题满分12分)如图所示，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧BC ︵上一动点，P 在CB 的延长线上且有∠BAP＝∠BDA .(1)求证：AP 为半圆O 的切线．(2)当其他条件不变时，再添加一个什么条件后，BD 2＝BE ·BC 成立？请说明理由．(1)证明：因为∠BAP ＝∠BDA ，∠BDA ＝∠BCA ，所以∠BAP ＝∠BCA .因为AC 是半圆O 的直径，所以∠ABC ＝90°.所以∠BCA ＋∠BAC ＝90°.所以∠BAP ＋∠BAC ＝90°，即PA ⊥AC .因为AC 是半圆O 的直径，所以AP 为半圆O 的切线．(2)解：当AB ︵＝BD ︵时，BD 2＝BE ·BC 成立，理由如下：连接DC (如图)，因为AB ︵＝BD ︵，所以∠BDA ＝∠BCD .又因为∠DBE ＝∠CBD ，所以△BDE ∽△BCD .所以BDBC＝BEBD.所以BD2＝BE·BC.。

高中数学人教A版选修4-1章末综合测评2 Word版含解析.doc

章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是()【导学号：07370050】A．42°B．138°C．84°D．42°或138°【解析】弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.【答案】 D2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为()图1A．50 B．52C．54 D．56【解析】由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.【答案】 B3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是()图2A．β＝αB．β＝180°－2αC．β＝12(90°－α)D．β＝12(180°－α)【解析】如图所示，分别连接AO 1，BO1. 根据圆内接四边形的性质定理，可得∠AO1B＋∠ADB＝180°，∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.∵∠ACB＝12∠AO1B，∴β＝12(180°－α)，故选D.【答案】 D4.如图3所示，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于()图3A．70°B．110°C．90°D．120°【解析】由题意知，∠D＝∠A＝50°，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝90°－50°＝40°，又∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，∴∠AEB＝∠CBD＋∠ACB＝40°＋70°＝110°.【答案】 B5．如图4，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN 交AC于点E，若AB＝6，BC＝4，则AE＝()图4A.103 B.23C．1 D.4 3【解析】∵MN为⊙O的切线，∴∠BCM＝∠A. ∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，∴∠A＝∠EBC.又∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC，∴ABBE＝BCEC.∵AB＝AC，∴BE＝BC，∴64＝4EC.∴EC＝83，∴AE＝6－83＝103.【答案】 A6．如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于()图5A．80°B．100°C．120°D．130°【解析】∵∠A＝80°，∴∠ABC＋∠ACB＝100°.∵∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB，∴∠IBC＋∠ICB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝50°，∴∠BIC＝180°－50°＝130°.【答案】 D7．如图6，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB 的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为()图6A.53 3 B.56 3C．10 D．5【解析】连接OC，则有∠COP＝60°，OC⊥PC，∴PO＝2CO，∴3CO＝5，即CO＝53 3.【答案】 A8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10，P A＝2，PE＝5，则CD和EF分别为()图7A．8和7B．7和41 5C．7和8 D．8和41 5【解析】∵P A·PB＝PC2，∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.∵PE·PF＝PC2，∴PF＝16 5，∴EF＝165＋5＝415.【答案】 D9．如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC ＝()图8A．3 B．4C．6 D．8【解析】∵AT为⊙O的切线，∴AT2＝AD·AC.∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△EAD∽△CAB，即DEBC＝AEAC，∴BC＝DE·ACAE＝2×93＝6.【答案】 C10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是()图9A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【解析】显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌Rt△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④，不能判定DH是圆的切线，故应选D.【答案】 D11.如图10，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B 是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为()图10A．1 B.2 2C.3－1D. 2【解析】如图，过点B作BB′⊥MN，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P′，即点P在点P′处时，AP＋BP最小．易知B与B′点关于MN对称，依题意∠AON＝60°，则∠B′ON＝∠BON＝30°，所以∠AOB′＝90°，AB′＝OA2＋OB′2＝ 2.故P A＋PB的最小值为2，故选D.【答案】 D12．如图11所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝()图11A．10 B．20C．5 D．8 5【解析】根据相交弦定理，可得AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则P A＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·P A，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图12【解析】由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.【答案】 514．如图13，在半径为7的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，P A＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．图13【解析】由相交弦定理得P A ·PB ＝PC ·PD . 又P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.【答案】 3215.如图14，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．【导学号：07370051】图14【解析】因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C .因为AE 与圆相切，所以∠EAB ＝∠C .所以∠ABC ＝∠EAB ，所以AE ∥BC .又因为AC ∥DE ，所以四边形AEBC 是平行四边形．由切割线定理可得AE 2＝EB ·ED ，于是62＝EB ·(EB ＋5)，所以EB ＝4(负值舍去)，因此AC ＝4，BC ＝6.又因为△AFC ∽△DFB ，所以45＝CF 6－CF ，解得CF ＝83.【答案】 8316．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC 切圆O 于点C ，割线P AB 经过圆心O ，PC ＝4，PB ＝8，则tan ∠COP ＝________，△OBC 的面积是________．图15【解析】因为PC 切圆O 于点C ，根据切割线定理即可得出PC 2＝P A ·PB ，所以42＝8P A ，解得P A ＝2.设圆的半径为R ，则2＋2R ＝8，解得R ＝3.在直角△OCP 中，tan ∠COP ＝43，sin ∠COP ＝45.所以sin ∠BOC ＝sin ∠COP ＝45.所以△OBC 的面积是12×R 2sin ∠BOC ＝12×32×45＝185.【答案】 43 185三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图16，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .求证：(1)BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2； (2)E ，F ，C ，B 四点共圆．图16【证明】 (1)连接CD ，由圆周角性质可知∠ECD ＝∠EBA . 故△ABE ∽△CDE ，∴BE ∶CE ＝AE ∶DE ， ∴BE ·DE ＋AC ·CE ＝CE 2.(2)∵AB 是⊙O 的直径，所以∠ECB ＝90°，∴CD ＝12BE .∵EF ⊥BF ，∴FD ＝12BE ，∴E ，F ，C ，B 四点与点D 等距，∴E ，F ，C ，B 四点共圆．18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O 中的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点．图17(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.【解】(1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，所以∠BFD＝∠PCD.又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O 也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.19．(本小题满分12分)如图18，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O 于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：图18(1)CE＝DE；(2)CACE＝PEPB.【证明】(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP. ∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CP A＝∠BEP＋∠DPE. ∵∠ECD＝∠A＋∠CP A，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE.(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∠PDB＝∠PCE，∴∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴PEPB＝PCPD.同理△PDE∽△PCA，∴PCPD＝CADE.∴PEPB＝CADE.∵DE＝CE，∴CACE＝PEPB.20．(本小题满分12分)如图19，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：图19(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF ∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CD B.又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，12OA为半径作圆．图20(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD. 【证明】(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OA＝OB，∠AOB＝120°，所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.在Rt△AOE中，OE＝12AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．(2)因为OA＝2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥A B.同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.22．(本小题满分12分)如图21，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD＝2BP.图21求证：(1)PC＝3BP；(2)AC＝PC.【证明】(1)∵BD是⊙O的切线，BPC是⊙O的割线，∴BD2＝BP·BC.∵BD＝2BP，∴4BP2＝BP·BC，∴4BP＝BC.∵BC＝BP＋PC.∴4BP＝BP＋PC，∴PC＝3BP.(2)连接DO.∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，∴∠ODB＝∠ACB＝90°.∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，∴DOAC＝BDBC＝2BP4BP＝12，∴AC＝2DO，又PC＝2DO，∴AC＝PC.。

高中数学选修4-1(人教版)练习：第一讲章末评估验收(一)

章末评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．如图所示，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：①AEEC＝BFFC；②ADBF＝ABBC；③EFAB＝DEBC；④CECF＝EABF.其中正确式子的个数有( )A．4个B．3个C．2个D．1个解析：由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．答案：B2．已知三角形的三条中位线长是3 cm，4 cm，5 cm，则这个三角形的面积是( )A．6 cm2B．12 cm2C．24 cm2D．40 cm2解析：由中位线性质得三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，由勾股逆定理知，此三角形为直角三角形，所以S＝12×6×8＝24(cm2)．答案：C3．如图所示，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是( )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C.AD AE ＝AB ACD ．S △ABC ＝3S △ADE解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC ＝2DE ；因DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，AD ∶AB ＝AE ∶AC ，即AD ∶AE ＝AB ∶AC ，S △ABC ＝4S △ADE ，所以选项D 错误．故选D.答案：D 4．如图所示，△ABC 的三边互不相等，P 是AB 边上的一点，连接PC ，下列条件中不能使△ACP ∽△ABC 成立的是( )A ．∠1＝∠2B ．AP ·BC ＝AC ·PC C ．∠2＝∠ACBD ．AC 2＝AP ·AB解析：因为∠A 公共，所以由相似三角形的判定定理知，C ，D 项一定能使△ACP ∽△ABC 成立．若△ACP ∽△ABC ，则AP AC ＝PCBC，即B 成立，所以加一条件B 项能使△ACP ∽△ABC 成立，而A 项则不能．答案：A5．如图所示，AB ∥GH ∥EF ∥DC ，且BH ＝HF ＝FC ，若MN ＝5 cm ，则BD 等于( )A ．15 cmB ．20 cm C.503cm D ．不能确定解析：因为AB ∥GH ∥EF ∥DC ，且BH ＝HF ＝FC ，所以由平行线等分线段定理得DM ＝MN ＝NB .因为MN ＝5 cm ，所以BD ＝3MN ＝15(cm)．答案：A6．如图所示，已知AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，CE 的延长线交AB 于F ，且AE ED ＝14，则AFFB等于( )A.17B.18C.19D.110解析：过D 作DG ∥CF ，如图所示，因为CD ＝BD ，所以FG ＝GB . 因为EF ∥DG ，所以AF FG ＝AE ED ＝14.所以AF FB ＝AF 2FG ＝18.答案：B7．两个三角形相似，其对应高的比为2∶3，其中一个三角形的周长是18 cm ，则另一个三角形的周长为( )A ．12 cmB ．27 cmC ．12 cm 或27 cmD ．以上均不对解析：设另一个三角形的周长为x cm ，由相似三角形的周长之比等于相似比，也等于对应高的比．所以18x ＝23或x 18＝23.解得x ＝27 cm 或x ＝12 cm. 答案：C8.如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF ＝14CD .有下列结论：①∠BAE ＝30°，②△ABE ∽△AEF ，③AE ⊥EF ，④△ADF ∽△ECF .其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：②③正确，①④不正确．答案：B9．如图所示，在△ABC 中，EF ∥BC ，EF 交AB 于E ，交AC 于F ，AD⊥BC 于D ，交EF 于M ，若BC ＝36，AD ＝30，MD ＝10，则EF 的长是( )A ．12B ．30C ．24D ．18 解析：因为EF ∥BC ，所以EF BC ＝AM AD ＝AD －MD AD .所以EF 36＝2030，所以EF ＝24.答案：C10．如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别在边AB ，AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC .若AC ＝6，AE ＝2，则BC 的长为( )A ．10B ．12C ．14D ．8 解析：因为DE ∥BC ，所以∠1＝∠2. 又∠1＝∠3，所以∠2＝∠3，所以DE ＝EC ＝AC －AE ＝6－2＝4，因为DE ∥BC ，所以DE BC ＝AE AC，所以BC ＝AC·DE AE ＝6×42＝12.答案：B11.如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ， AC ＝12，BC ＝5，则CD 的长为( )A.6013B.12013C.5013D.7013 解析：AB ＝AC2＋BC2＝122＋52＝13.因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD .所以CD ＝AC·BC AB ＝12×513＝6013.答案：A12.如图所示，已知四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( )A ．∠APB ＝∠EPC B ．∠APE ＝90° C ．P 是BC 的中点D ．BP ∶BC ＝2∶3解析：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B＝∠C＝90°，当A成立时，∠APB＝∠EPC，有△ABP∽△ECP.当∠APE＝90°时，也可证出∠APB＝∠PEC.所以△ABP∽△ECP也成立．当BP∶BC＝2∶3时，可以推出PC∶BP＝1∶2，而EC∶AB＝1∶2，又∠B＝∠C＝90°，所以△ABP∽△ECP.当P是BC的中点时，无法推出△ABP∽△ECP.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的线上) 13．若两个相似三角形的周长之比为3∶4，则这两个三角形的内切圆的面积之比为________．解析：两相似三角形的相似比等于周长之比3∶4，而其内切圆的面积之比为相似比的平方，故为9∶16.答案：9∶1614．如图所示，在▱ABCD中，BC＝24，E，F为BD的三等分点，则BM＝________，D N＝________．解析：由题意知BM AD ＝BE ED ＝12，所以BM ＝12BC ＝12，DN BM ＝DF FB ＝12，所以DN ＝12BM ＝6.答案：12 615．如图所示，已知直线l 1，l 2，l 3，且l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与l 1，l 2，l 3分别交于A ，B ，C ，直线FD 与l 1，l 2，l 3分别交于F ，E ，D ，A B ∶BC ＝3∶2，DF ＝20，则DE ＝________．解析：由题意知EF ∶DE ＝AB ∶BC ＝32，所以DE DF ＝25.又DF ＝20，所以DE ＝8.答案：816．在△ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，点M 在AB 上且AM ＝3，点N 在AC 上，连接MN ，使△AMN 与△ABC 相似，则AN ＝________.解析：如图①所示，当MN ∥BC 时， △AMN ∽△ABC ，可得AM AB ＝ANAC ，即39＝AN6，故AN ＝2. 如图②所示，当MN 与BC 不平行且∠AMN ＝∠C 时，△AMN ∽△ACB .图① 图②可得AM AC ＝AN AB ，即36＝AN 9，得AN ＝92，故AN ＝2或92.答案：2或92三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CD ⊥AM 交AM 于D ，求证：△AMB ∽△BMD .证明：因为∠ACM ＝90°，CD ⊥MA ，所以△CMD ∽△AMC . 所以CM DM ＝MACM .因为CM ＝BM ，所以BM MD ＝MABM.又因为∠AMB ＝∠AMB ，所以△AMB ∽△BMD .18．(本题满分10分)如图所示，已知在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥BC 于E .求证：BC2AC2＝BEEC.证明：因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理，得BC 2＝BD ·AB ， AC 2＝AD ·AB .所以BC2AC2＝BD·AB AD·AB ＝BD AD .又DE ⊥BC ，AC ⊥BC . 所以DE ∥AC ，所以BD AD ＝BE EC. 所以BC2AC2＝BE EC .19．(本题满分12分)如图所示，已知在△ABC 中，AB ＝3AC ，AD 平分∠A ，BE ⊥AD 于E .求证：AD ＝DE .证明：延长AC 交BE 的延长线于G .过E作EH∥BC交AG于H，则△ABE≌△AGE.所以EB＝EG，AB＝AG.在△GCB中，因为EH∥BC，EB＝EG，所以CG＝2CH.因为AB＝3AC，AB＝AG.所以AG＝3AC.所以CH＝CA.在△AEH中，因为DC∥EH，AC＝CH，所以AD＝DE.20．(本题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC ，求∠BCA的度数．解：(1)当AD在△ABC内部时，如图①所示，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.所以∠BCA＝∠BAD＝65°.图①图②(2)当AD 在△ABC 外部时，如图②所示，由AD 2＝BD ·DC ，得△ABD ∽△CAD ，所以∠B ＝∠CAD ＝25°.所以∠BCA ＝∠CAD ＋∠ADC ＝25°＋90°＝115°.故∠BCA 等于65°或115°.21．(本题满分12分)如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB ·CE .(1)求证：△ADB ∽△EAC ；(2)若∠BAC ＝40°，求∠DAE 的度数．(1)证明：因为AB 2＝DB ·CE ，AB ＝AC ，所以AB CE ＝DB AC. 由题可知∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ABD ＝∠ACE ，所以△ADB ∽△EAC .(2)解：△ADB ∽△EAC ，所以∠DAB ＝∠E .因为∠D ＝∠D ，所以△ADB ∽△EDA ，所以∠DAE ＝∠ABD ，因为∠ABC ＝180°－40°2＝70°，所以∠DAE ＝∠ABD ＝180°－70°＝110°.22．(本题满分14分)如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 重合)，EF⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F ，G .(1)求证：AF AD ＝CG CD . (2)FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．(3)当AB ＝AC 时，△FDG 为等腰直角三角形吗？并说明理由．(1)证明：在四边形AFEG 中，因为∠FAG ＝∠AFE ＝∠AGE ＝90°，所以四边形AFEG 为矩形．所以AF ＝EG .根据题意，易证△EGC ∽△ADC ，所以EG AD ＝CG CD .所以AF AD ＝CG CD. (2)解：FD ⊥DG .证明过程如下：因为△ABC 为直角三角形，AD ⊥BC ，因为∠FAD ＝∠C .又由(1)可知AF AD ＝CG CD，所以△AFD ∽△CGD .所以∠ADF ＝∠CDG .又因为∠CDG ＋∠ADG ＝90°，所以∠ADF ＋∠ADG ＝90°，即∠FDG ＝90°.所以FD ⊥DG .(3)解：当AB ＝AC 时，△FDG 是等腰直角三角形，理由如下：因为AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，所以AD ＝DC .又因为△AFD ∽△CGD ，所以FD GD ＝AD DC＝1，即FD ＝DG . 又因为∠FDG ＝90°，所以△FDG 为等腰直角三角形．。

2016新课标创新人教A版数学选修4-1 章末小结与测评

平行射影关键在于注意角度的变换及运动变化和发展的观点的应用，并由此来处理有关图形的射影问题．如一个圆在平面上的平行射影可能是一个圆，一个椭圆或者是一条线段，但是由于缺乏具体的量的关系，我们对所成的椭圆不能做出具体的量的关系．将圆与平面立体化就形成了平面与圆柱的截面问题．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在边BC上)．当∠BAC＝60°且AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C.[证明] 由题意，∠ABA ′＝30°，∠ACA ′＝45°.设AA ′＝1，则A ′B ＝3，A ′C ＝1，AC ＝2，AB ＝2，∴BC ＝4＋2－2·2·2·12＝6－22，cos ∠BA ′C ＝3＋1－6＋2223·1＝6－33.(1)由两个等圆的内公切线与两条外公切线的交点、切点之间的量的关系具体化，就可以得到相应的数量关系，将其进一步拓广到空间之中就得到了平面与圆柱的截面问题．(2)在平面中，由与等腰三角形的两条腰的交点问题进一步推广到空间中的平面与圆锥的交线问题所采用的方法与以前的平行射影和平面与圆柱的截面问题相同．从不同的方向不同的位置用平面去截圆锥，其截面的形状不同，由此我们可以得到定理2，并可以利用Dandelin双球对定理2的结论进行证明和研究其特点．如图所示，一个平面分别与球O 1、O 2切于F 1、F 2，截圆柱于G 1、G 2，求证所得的截面为椭圆．[证明]如图所示由平面图形的性质可知，当点P与G1或G2重合时，G2F1＋G2F2＝AD，G1F1＋G1F2＝AD.当P不与G1、G2重合时，连接PF1、PF2，则PF1、PF2分别是两个球面的切线，切点分别为F1、F2.过P作圆柱的母线，与两个球分别相交于K1、K2二点，则PK1、PK2分别为两个球的切线，切点为K1、K2.由切线长定理可知：PF1＝PK1，PF2＝PK2.所以有PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝AD＝G1G2.由于AD为定值且AD>F1F2，故点P的轨迹为椭圆．一、选择题1．若一直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是()A．垂直B．异面C．相交D．不能确定解析：选D当这条直线在平面内时，则A成立，当这条直线是平面的垂线时，B或C 成立，故选D.2．在空间，给出下列命题：(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影相等．(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面上的射影垂直．(3)一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角．(4)若点P到△ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC 的内心．其中，正确的命题是()A．(3) B．(3)、(4) C．(1)、(3) D．(2)、(4)解析：选A由平行投影变换的性质知，当两条线段共线、平行或两线段是过同一点的平面的斜线段时，才有(1)正确，在(2)中这条直线可能在平面外，(3)显然正确，(4)中P点有可能是△ABC的旁心．3．已知平面α，β，α⊥β.α∩β＝l，O1∈α，过O1在α内作O1A⊥β于A，则A落在()A．α内B．β内C．l上D．不能确定解析：选C由面面垂直的性质定理知A∈l.4．已知AD是等边△ABC上的高，直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β，当l 与AB(或AB的延长线)、AC都相交时，β的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫0，π6B.⎝⎛⎭⎫0，π3C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎝⎛⎭⎫π6，π2解析：选D 作出图形，通过计算可得．二、填空题5．P 为△ABC 所在平面外一点，P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，又P A 与BC垂直，那么△ABC 的形状可能是________．①正三角形 ②等腰三角形 ③非等腰三角形④等腰直角三角形(将你认为正确的序号全填上)解析：设点P 在底面ABC 上的射影为O ，由P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成角均相等，得OA ＝OB ＝OC ，即点O 为△ABC 的外心，又由P A ⊥BC ，得OA ⊥BC ，得AO 为△ABC 中BC 边上的高线，所以AB ＝AC ，即△ABC 必为等腰三角形，故应填①②④.答案：①②④6．两个大小不等的球相交，交线为________．答案：圆7.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝π2.则P A 与底面ABC 所成角为________．解析：P 在底面ABC 的射影为BC 中点D ，设P A ＝PB ＝PC ＝2，则PD ＝3，AP ＝2，∴∠P AD ＝π3.答案：π38．一圆柱面底半径为2，一截面与轴成60°，从割平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，则这两个切点的距离等为________．解析：由已知可知截线为一个椭圆，并且其长轴长为 2a ＝4cos 30°＝432＝833，短轴长为2b ＝2×2＝4，所以2c ＝（2a ）2－（2b ）2＝（833）2－42＝433.答案：433三、解答题9．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，求截得二次曲线的形状及离心率．解：由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截面截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e ＝cos 45°cos 60°＝ 2.10.如图所示，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是斜三角形，A ′是A 在平面BCD 上的射影．求证：A ′不可能是△BCD 的垂心．证明：假设A ′为△BCD 的垂心，则A ′B ⊥CD .又因为AA ′⊥平面BCD 于A ′，则AB ⊥CD .又因为DA ⊥平面ABC ，则AD ⊥AB ，所以AB ⊥AC ，这与△ABC 是斜三角形的已知条件相矛盾，故A ′不可能是△BCD 的垂心．11．已知圆锥面S ，其母线与轴线的夹角为30°，又有一平面α与圆锥面的轴线成60°角并相交于点C ，且SC ＝4，一球与圆锥面相切并在平面α的上方与平面α相切．求此内切球的半径．解：设内切球的球心为O ，半径为R ，且设球O 与锥面一个切点为P ，球O 与平面α切于M .在Rt △SPO 中，OP ＝R ，∠PSO ＝30°，所以SO ＝2R .在Rt △OMC 中，∠OCM ＝60°，所以OC ＝R sin 60°＝R 32＝23R3.又SC ＝4＝SO ＋OC ＝2R ＋233R ，所以R ＝3－ 3.(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．线段AB、CD在同一平面内的正射影相等，则线段AB、CD的长度关系为()A．AB>CD B．AB<CDC．AB＝CD D．无法确定解析：选D由线段AB、CD与平面所成的角来定，虽然射影相等，但线段AB、CD的长度无法确定，故它们长度关系也无法确定．2．两条异面直线在同一平面上的平行射影是()A．两相交线B．两相交线或两平行线C．两相交线或一点一直线D．两相交线或两平行线或一点一直线答案：D3．直线和直线外一点在同一面上的正射影是()A．一条直线B．一点一直线C．一点一直线或一直线或两点D．无法确定答案：C4．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是()A．内心的平行投影仍为内心B．重心的平行投影仍为重心C．垂心的平行投影仍为垂心D．外心的平行投影仍为外心解析：选B只有线段的比例相等时，投影线段的比例才不变，重心为三条中线的交点，三角形的平行投影中线仍为中线．5．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为90°，则截面所截得的截线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B 由题意知截面与圆锥的轴线成60°角，而轴线与母线所成的角为30°，60°>30°，故截线为椭圆．6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选B 由α＝50°2＝25°，φ＝30°，φ>α故截线是椭圆．7．一个平面去截一个球面，其截线是( )A ．圆B ．椭圆C ．点D ．圆或点解析：选D 当截面与球相切，其截线是切点，相交时截线是圆．8．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( )A ．射线为线段时，线段的长为8B ．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C ．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8D ．射影为圆时，圆的直径可能为4解析：选D 由平行投影的性质易知D 说法错误．9．设过抛物线y 2＝2px 的焦点的弦为MN ，则以MN 为直径的圆和抛物线的准线( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析：选B 根据抛物线的离心率为1，可知MN 的长恰好等于过MN 两点所作准线的垂线段的长度和，可得结果．10．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴的最小值为( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．2 2解析：选D作出如图所示图形，在椭圆上取一点P (x ，y )，S △PF 1F 2＝12·2c ·|y |＝c |y |.当P 点为短轴顶点时，|y |最大为b .∴S max ＝bc ，又bc ＝1.∴a2＝b2＋c2≥2bc＝2.∴2a≥2 2.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________，________，________，________．解析：如图答案：圆抛物线椭圆双曲线12．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F.则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D′D.以上结论正确的为________．(写出所有正确的结论编号)解析：当E、F分别为中点时，所得的四边形为菱形，但不是正方形，且此时平面BFD′E⊥平面BB′D′D.答案：①③④13．将两个半径为2 cm的球嵌入底面半径为2 cm的圆柱中，使两球心的距离为6 cm；用一个平面分别与两个球相切，所成的截线为一个椭圆，则该椭圆的长轴长为________，短轴长为________，焦距为________，离心率为________．解析：由平行射影的性质可得．答案：64255 314．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两曲线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°时，截得的二次曲线是________．解析：由题知α＝60°，β＝45°，满足β<α.∴截得的是双曲线．答案：双曲线三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求证：三角形的中位线平行射影具有不变性．证明：已知：△ABC，DE是其中位线，它们的平行射影分别是△A′B′C′和D′E′，如右图，求证：D′E′仍然是△A′B′C′的中位线．证明：连接AA′、EE′、CC′，则AA′∥EE′∥CC′.∵AE＝EC，∴A′E′＝E′C′.同理，A′D′＝D′B′.∴D′E′是△A′B′C′的中位线．16．(本小题满分12分)如图，平面β与圆锥面的轴l垂直，则交线是什么曲线？设圆锥底面半径为R，高为h，顶点S到截面β的距离为h1(R，h，h1均为正常数)．解：因为l⊥β(垂足为O1)，所以平面β∥⊙O 所在的平面．设P 为交线上的任意一点，过点P 作圆锥的母线SQ ，连接PO 1，QO ，则PO 1为平面SQO 与平面β的交线，QO 为平面SQO 与⊙O 所在的平面的交线．所以PO 1∥QO .于是PO 1QO ＝SO 1SO .即PO 1R ＝h 1h. 因此PO 1＝Rh 1h＝r (常数)．所以点P 到定点O 1的距离为常数r ，故交线为一个圆．17．(本小题满分12分)一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1；O 2(3，0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R .∴|MO 1|＋|MO 2|＝10，由椭圆的定义知道M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.18．(本小题满分14分)在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，求证β<α时，平面π与圆锥的交线为双曲线．证明：当β<α时，平面π与圆锥面的两部分相交．在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别是F1、F2，与圆锥两部分截的圆分别是S1、S2.在截口上任取一点P，连接PF1、PF2，过P作母线分别和两球切于Q1、Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2.∴|PF1－PF2|＝|PQ1－PQ2|＝Q1Q2，∵Q1Q2是两圆S1、S2所在平行平面间的母线段长，为定值，∴由双曲线的定义知，点P 的轨迹为双曲线．。

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