【优选整合】人教A版高中数学选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程 复习小结-学案
数学选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程知识梳理
第二章 圆锥曲线与方程一、椭 圆（一）椭圆及其标准方程1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于_常数_(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时_不存在_轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，焦点坐标为_F 1(－c ，0)__F 2(c ，0)，焦距为_2c _；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)．（二）椭圆的简单几何性质1．椭圆的简单几何性质（1）椭圆的中心：椭圆关于x 轴、y 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。
（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别是2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac称为椭圆的离心率，用e 表示，即：)22101c b e e a a==-<<。
e 越接近1，则c 越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；e 越接近0，则c 越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
焦点的位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x2b 2＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a焦点 (±c,0) (0，±c )焦距 2c ＝2a 2－b 2对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点离心率 e ＝ca，0<e <1 2.直线与椭圆直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的位置关系：直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有 1 组实数解，即Δ ＝ 0.直线与椭圆相交⇔⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___2___组实数解，即Δ___>___0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有___0___组实数解，即Δ___<___0.1．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a >b >0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．2．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx 2＋ny 2＝1 (m ，n 为不相等的正数)．3．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．4．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．5．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．6．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．二、双曲线（一）双曲线及其标准方程1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于_|F 1F 2|_)的点的轨迹叫做双曲线．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为__以F 1，F 2为端点的两条射线_．平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹_不存在 ． (2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距_．2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(－c,0)_，F 2_( c ，0)__.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F 1_(0，－c )_，F 2__(0，c )_.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是___c 2＝a 2＋b 2_．（二）双曲线的简单几何性质1．双曲线的几何性质（1）双曲线的中心：双曲线关于x 轴、y 轴对称，这时原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
2019-2020年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末小结 新人教A版选修1-1
2019-2020年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末小结 新人教A版选修1-1圆锥曲线是高考的重点内容之一，主要考查以下几方面：1．考查椭圆、双曲线、抛物线的几何性质、待定系数法求圆锥曲线方程，圆锥曲线定义的应用等，尤其是离心率是高考的热点，题型上选择，填空、解答题都有可能出现；2．双曲线的渐近线是一种独特的性质，也是高考考查的重要内容，充分运用渐近线方程，简化解题过程；3．直线与圆锥曲线位置关系问题是高考的热点，涉及直线与圆锥曲线的关系中的求弦长、焦点弦长及弦中点问题、取值范围、取值等问题．题型以解答题的形式出现居多，这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合．专题一 圆锥曲线定义的应用利用圆锥曲线的定义解题的策略：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用．例1 如图，直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：由抛物线的定义可知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，且AA 1，BB 1都平行于x 轴，∴∠AA 1F ＝∠AFA 1＝∠A 1FO ，∠BB 1F ＝∠BFB 1＝∠B 1FO ，∴∠A 1FB 1＝∠AFA 1＋∠BFB 1＝12×π＝π2.答案：D 变式迁移1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是(A)A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：如图，可知直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1，0)的距离，故本题可化为：在抛物线y 2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F (1，0)和到直线l 1的距离之和最小，则最小值为F (1，0)到直线l 1：4x－3y ＋6＝0的距离，即d min ＝|4－0＋6|5＝2.例2 已知圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，求过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程．解析：因为圆P 与圆C 外切，如图所以|PC |＝|PA |＋2，即|PC |－|PA |＝2， 因为0<|PC |－|PA |<|AC |，所以由双曲线的定义，点P 的轨迹是以A ，C 为焦点，2为实轴长的双曲线的左支，其中a ＝1，c ＝3，所以b 2＝c 2－a 2＝9－1＝8. 故所求轨方程为x 2－y 28＝1(x <0)．变式迁移2．一动圆和两圆x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为(C) A ．圆 B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线解析：C 1：x 2＋y 2＝1，C 2：(x －4)2＋y 2＝4，设动圆圆心为P ，半径为r ，因为动圆与两定圆都外切，所以|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝r ＋2，所以|PC 2|－|PC 1|＝1，故P 点轨迹为以C 1、C 2为焦点的双曲线的一支．专题二 圆锥曲线的方程与性质的应用圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，已知圆锥曲线的性质求其方程．重在考查基础知识、基本思想方法，属于低中挡题目，其中对离心率的考查是重点．例3 (xx·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞c )的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13C.12D.33解析：因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 2|＝2c tan 30°＝233c ，|PF 1|＝433c .又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33，即椭圆的离心率为33，选D. 答案：D变式迁移3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是(D)A.32B.22C.13D.12解析：如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a，设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a －t ， ∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.专题三 直线与圆锥曲线的位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法．直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合； (2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，要注意运用斜率关系及根与系数的关系，设而不求，简化运算． 特别提醒：涉及直线的斜率不确定时，要讨论斜率不存在的情况，消元后一元二次方程二次项有字母，则要讨论系数为零的情况．例4 如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．分析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，①因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0，解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程①即为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1.故点A (2，1)，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.变式迁移4．(xx·东北三校联考)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围；解析：由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋ 2代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.由Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 得取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 专题四 圆锥曲线的综合应用 例5 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．解析：(1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －2），x 2a2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.∴y 1＋y 2＝－43b23a 2＋b 2，①y 1y 2＝－3b43a 2＋b 2.②∵AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.代入①②可得－y 2＝－43b23a 2＋b2，③－2y 22＝－3b 43a 2＋b 2.④③2÷④可得3a 2＋b 2＝32.又a 2－b 2＝4，得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.变式迁移5．已知点M (－2，0)，N (2，0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝2 2.记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解析：(1)依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A (x 0，x 20－2)，B (x 0，－x 20－2)，OA →·OB →＝2.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程x 22－y 22＝1中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0，①依题意可知方程①有两个不相等的正数根， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2b 2－4（1－k 2）·（－b 2－2）＞0，x 1＋x 2＝2kb 1－k2＞0，x 1x 2＝b 2＋2k 2－1＞0，解得|k |＞1，又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1＞2.②综上可知，OA →·OB →的最小值为2. 专题五 求轨迹方程 求轨迹方程的常用方法：(1)直接法．直接利用条件建立x 、y 之间的关系f (x ，y )＝0.(2)待定系数法．已知所求曲线的类型，求曲线方程．先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．(3)定义法．先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接定出动点的轨迹方程．(4)代入转移法．动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0、y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程．例6 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程．分析：问题中的几何性质十分突出，如何利用切线、直径、垂直、圆心这些几何性质是关键，动圆圆心满足的条件是关注的焦点．解析：如图，设动圆圆心为M (x ，y )，⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系．则|MA |＝|MC |.∵AB 为⊙O 的直径， ∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2＝|MO |2＋|AO |2＝x 2＋y 2＋9， 而|MC |＝|y ＋3|，∴x 2＋y 2＋9＝|y ＋3|.化简得x 2＝6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程．方法总结：直接法求轨迹方程的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上)，这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系．例7 一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．分析：运用圆锥曲线的定义和圆的几何性质判断轨迹形状后，再根据已知求解． 解析：两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1； O 2(3，0)，r ＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ， 则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上， 且a ＝5，c ＝3. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.方法总结：若根据条件得出动点的轨迹特征符合某一基本轨迹的定义，可由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．例8 设双曲线y 2a 2－x 23＝1的焦点分别为F 1、F 2，离心率为2.(1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A 、B 分别为l 1、l 2上的动点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线．分析：(1)双曲线方程易得a 、c 的关系，再代入离心率．(2)设出A 、B 坐标，再代入2|AB |＝5|F 1F 2|，再由M 为AB 的中心求得轨迹方程。
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 小结》优质课教案_5
圆锥曲线复习课（一）教学设计教学目的：通过这节课的复习，能掌握圆锥曲线的定义、图形及性质，利用定义法求圆锥曲线的方程，利用数形结合的数学思想解决数学问题教学重点：圆锥曲线的定义、图形及性质教学难点：利用定义法求圆锥曲线的方程，利用数形结合的数学思想解决数学问题课前案一、知识回顾1、圆锥曲线的定义椭圆双曲线抛物线课堂案二、知识应用题型（一）、定义的应用例1在三角形ABC中已知B(-3,0)，C(3,0)，组成一个等差数列，求点A的轨迹方程。
巩固练习（一）12题型（二）求圆锥曲线的标准方程例题2根据下列条件，求双曲线的的标准方程巩固练习（二）(2)中心在原点,与双曲线22194x y-+=有共同渐近线，对称轴是坐标轴，且过点（2,2）的双曲线方程是( ),, AC BCAB 2PF抛物线y=8x的焦点为F，P在抛物线上，若=5，则P点的坐标为_________________2212211169x yAB AF BF已知F,F是椭圆+=1的两个焦点，过点F的直线交椭圆于A,B两点，若=5，则+等于_________.(1)9(2)4c xP Q=经过点（-5，2），焦点在轴上；过点（3，（，5），且焦点在坐标轴上。
（1）顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点（-2，3）则它的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿思考题：已知M 为抛物线24x =y 上的一个动点，已知A 点（1，1），点F 为抛物线的焦点 MF MA 求+的最小值及此时M 的坐标。
课堂小结一、知识小结（1）圆锥曲线的定义（2）圆锥曲线的标准方程、性质二、方法小结（1）、定义法求圆锥曲线的方程、最值；（2）、待定系数法求圆锥曲线的标准方程三、数学思想 数形结合、转化、分类讨论课后案课后作业:整理笔记做完讲学稿和补充练习 补充练习A 2B 3C 6D 9A 2B 1C 0D 不确定（3）已知双曲线2214x y k+=的离心率e (1,2)∈,则k 的取值范围是(1)x n -=2222x y y 椭圆+=1和双曲线=1有相同的焦点，则（ ）34n n 16221194x y y kx k =-++=(2)直线与椭圆恒有（ ）个交点。
新课标高中数学《第二章圆锥曲线与方程》归纳整合新人教A版选修1-1
∵O→R·O→T＝176，∴x1x2＋y1y2＝176. y＝kx－4，
由1x62 ＋1y22 ＝1，得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0， 由Δ>0得，(－32k)2－4(3＋4k2)×16>0， 解得k2>14.① ∴x1＋x2＝3＋324kk2，x1x2＝3＋164k2， ∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16， 故x1x2＋y1y2＝3＋164k2＋31＋6k42k2－31＋284kk22＋16＝176，
本章归纳整合
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要点归纳 1．研究椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的方法是一致 的．例如在研究完椭圆的几何特征、定义、标准方程、简单性 质等以后，通过类比就能得到双曲线、抛物线所要研究的问题 以及研究的基本方法．
2．对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的 意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．如(1)在求轨迹 时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的 方程，写出所求的轨迹方程；(2)涉及椭圆、双曲线上的点与 两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识 来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到 焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义 去解决．
【例1】 过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2， 若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点 M的轨迹方程． 解 法一 设点M的坐标为(x，y)． ∵M为线段AB的中点， ∴A的坐标为(2x，0)，B坐标为(0，2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2，4)， ∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1，而kPA＝24－－20x(x≠1)． kPB＝42－－20y，∴1－2 x·2－1 y＝－1(x≠1)， 整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)
高中数学人教A版选修1-1第二章 章末小结课件
6 3.
解得 a＝2 3.
又 b2＝a2－c2＝4，所以椭圆 G 的方程为1x22＋y42＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，
y＝x＋m，
由1x22＋y42＝1，得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.
①
设 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，AB 中点为
三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( ) A．x1，x2，x3 成等差数列 B．y1，y2，y3 成等差数列 C．x1，x3，x2 成等差数列 D．y1，y3，y2 成等差数列 解析：如图，过 A、B、C 分别作准线的 垂线，垂足分别为 A′，B′，C′， 由抛物线定义得， |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.
5．如图，已知椭圆 C1 的中心为原点 O，长轴 左、右端点 M，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短 轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直 线 l⊥MN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于 两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C，D. (1)设 e＝12，求|BC|与|AD|的比值； (2)当 e 变化时，是否存在直线 l，使得 BO∥AN，并说明 理由．
[典例 2] 已知椭圆3xm22＋5yn22＝1 和双曲线2xm22－3yn22＝1 有公
共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
()
A．x＝±
15 2y
B．y＝±
15 2x
C．x＝± 43y
D．y＝± 43x
解析：由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上， ∴椭圆焦点(± 3m2－5n2，0)， 双曲线焦点(± 2m2＋3n2，0)， ∴3m2－5n2＝2m2＋3n2，∴m2＝8n2，即|m|＝2 2|n|. 又双曲线渐近线为 y＝± 62·|m||n|·x， 将|m|＝2 2|n|代入上式，得 y＝±43x. 答案：D
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 小结》优质课教案_27
圆锥曲线中最值、定点、定值教学目标：1．掌握圆锥曲线中某些最值、定点、定值的求法2. 了解圆锥曲线的简单应用重点：圆锥曲线中某些定点、定值的求法【教学设计】：一、复习导入……1分钟二、例题练讲:先思考，再讲评，以教师讲为主……15分钟题型一最值问题例1(1)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是_______探究1(1)看到本题，不少同学可能会依常理“出牌”——构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得，这也恰恰落入了命题者有意设置的“圈套”之中．事实上，与抛物线的焦点(或准线)相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理．(2)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．探究1(2)圆锥曲线中最值的求法有两种：①几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．②代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．题型二定值、定点问题例2(1)已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A、B两点，且OA⊥OB.(其中O 为坐标原点)求证：不论a、b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．探究2圆锥曲线中定值问题关键是灵活利用条件，等价转化.题型三对称问题例3若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是________．探究3圆锥曲线上存在不同的两点关于某条直线对称，试确定圆锥曲线中或者直线中的某个参数的取值范围，这是圆锥曲线中的一个难点．化解这个难点的方法有两种：一是利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上，写出用参数表达的直线方程，利用直线与圆锥曲线有两个不同的交点，由判别式大于零列关于参数的不等式解决；二是利用圆锥曲线上与对称轴垂直的平行弦中点的轨迹与对称轴的交点在圆锥曲线内部，列关于参数的不等式解决．三、巩固练习练10分讲5分，学生练为主，检查巩固情况思考题1已知椭圆C方程为＋＝1，当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A、B 时，在线段AB上取点Q，满足||·||＝||·||.证明：点Q总在某定直线上．思考题2(厦检)如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点C(2,1)，点C关于原点O的对称点为D.(1)求椭圆E的方程；(2)点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．四．课堂小结五．作业布置：完成课本习题1，2,3,4,5,6，8,9，其他选做，六．教学反思。
人教版高中数学选修1-1第二章2.2圆锥曲线知识点总结
2 G 圆锥曲线知识点小结圆锥曲线在高考中的地位：圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。
通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。
(1).重视圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。
(2).重视圆锥曲线性质与数列的有机结合。
(3).重视解析几何与立体几何的有机结合。
高考再现：2011年（文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2= 1.如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）.（1）求m2+k2的最小值；（2）若∣OG∣=∣OD∣·∣OE∣,①求证：直线l过定点；②试问点B、能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.（理22）已知动直线l与椭圆C：+=1相交于P（x，y），Q（x，112y△2）两个不同点，且OPQ的面积△SOPQ=，其中O为坐标原点．（1）证明：+ 和 + 均为定值；（2）设线段 PQ 的中点为 M ，求∣OM ∣·∣PQ∣的最大值；（3）椭圆 C 上是否存在三点 D,E,G ，使得 △S OD E= △S OD G= S △OEG= ？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．(2009 年山东卷)设 m ∈R,在平面直角坐标系中,已知向量 a =(mx,y+1),向量 b =(x,y-1),a⊥b ,动点 M(x,y)的轨迹为 E.（1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;（2）已知 m=1/4,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨 迹 E 恒有两个交点 A,B,且 OA⊥OB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程;(3)已知 m=1/4,设直线 l 与圆 C:x 2+y 2=R 2(1<R<2)相切于 A ,且 l 与轨迹 E 只有1一个公共点 B ,当 R 为何值时,|A B |取得最大值?并求最大值.11 1一.圆锥曲线的定义：椭圆：平面内与两个定点的距离之和等于定长（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。
数学第二章圆锥曲线与方程章末优化总结课件(人教A版选修1-1)
⊥Ox 可设
（ M(－c,y0),则
－a2c）2＋by202＝1,解得：y0＝ba2.
∴kOM＝－y0c＝－abc2 ,kAB＝－ba,
∵
OM
∥
AB,
∴
kOM＝
kAB,即
－
b2 ＝ ac
－
b a
,∴
b
＝c.
∴a＝
2c,∴e＝ca＝
2 2.
(2)设|QF1|＝m,|QF2|＝n,∠F1QF2＝θ ,则 m
圆锥曲线中的最值问题,通常有两类：一类是 有关长度、面积等的最值问题;一类是圆锥曲 线中有关几何元素的最值问题.这两类问题的 解决往往要通过回归定义,结合几何知识,建立 目标函数,利用函数的性质或不等式知识,三角 函数有界性,以及数形结合、设参、转化代换 等途径来解决.特别注意函数思想,观察分析图 形特征,利用数形结合等思想方法.
Δ
＝16(k－1)2－16k2>0,∴k<12.
又由根与系数的关系有 x1＋x2＝1－k,x1x2 ＝k42, ∴|AB|＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2 ＝ 1＋22· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 5· 1－2k, 即 5（1－2k）＝3 5,∴k＝－4.
(2)设 x 轴上点 P(x,0),P 到 AB 的距离为 d,
答案：(0, 7)、(0,－ 7)
4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且焦 点在 x 轴上,又椭圆截直线 y＝x＋2 所得线
段 解
AB 的长为165 ：∵a＝ 2b,∴
则 d＝|2x－0－4|＝|2x－4|,
5
5
S△PAB＝12·3
5·|2x－4|＝39, 5
∴|2x－4|＝26,∴x＝15 或 x＝－11.
人教A版高中数学选修1-1《二章 圆锥曲线与方程 小结》优质课教案_26
圆锥曲线的定义 标准方程 焦半径公式 （二轮复习）一、教学设计教学内容与内容解析本节课为高考前的二轮复习中的专题复习，主要内容是三种圆锥曲线：椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程，以及以此衍生出来的焦半径公式由于新课程强调教师要创造性使用教材，这就需要教师对教材的精心解读．而圆锥曲线本章内容难度很大，很多中等生都抱着得点小分了事的态度，但是事实上，稍有难度的选填题他们却无法得分。
鉴于我班的实际情况，我安排一节专门针对圆锥曲线的第一，第二定义的复习课，进行专项练习。
教学目标与目标解析1． 学生能掌握三种圆锥曲线的定义，标准方程。
2． 学生能掌握焦半径公式的推导过程，并能熟记公式。
3． 学生能应用定义及公式快速解决相关最值问题。
4． 通过本节课的学习，加强学生在此类题中的得分信心教学问题诊断分析1．学生的知识储备分析:经过一轮复习，学生对三种曲线的定义，标准方程，基本题型都已基本掌握，但是对于一些小知识点有所遗忘，感觉有些题无从下手，对圆锥曲线的题有些畏惧心理。
2．学生的数学能力分析:学生已积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．但是他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系．教学过程设计（一）复习引入1．椭圆的定义:平面内与两个定点12F ,F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．设M 是椭圆上的动点，则需满足()121222MF MF a a F F =>＋椭圆的标准方程: (1) 焦点在x 轴：()222210x y a b a b+=>>． (2) 焦点在y 轴：()222210y x a b a b+=>> 其中222c a b =-．2．双曲线的定义：平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1、F2）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的叫焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
高中数学选修1-1(人教A版)第二章圆锥曲线与方程2.2知识点总结含同步练习及答案
c
5. 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比
c > 1． a 由等式 c 2 − a2 = b 2 得
曲线的离心率 e =
c ，叫做双曲线的离心率．因为 c > a > 0，所以双 a
− − − − − − − − − − − √− − − − − − b c 2 − a2 c2 = =√ − 1 = √e2 − 1, 2 a a a b b 也越大，即渐近线 y = ± x 的斜率的绝对值越大，这时双曲线 a a b 的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即张口越来越大．当离心率 e 越小时， 也越小，渐 a
已知方程 解：（1）若方程表示双曲线，则
{
1 − k > 0, 1 − k < 0, 或{ |k| − 3 > 0, |k| − 3 < 0.
解得 k < −3 或 1 < k < 3； （2）若方程表示焦点在 x 轴的双曲线，则
{
1 − k < 0, |k| − 3 < 0.
解得 1 < k < 3； （3）若方程表示焦点在 y 轴的双曲线，则
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线
一、学习任务 1. 2.
了解双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程． 了解双曲线的简单几何性质．
二、知识清单
双曲线的基本量与方程
三、知识讲解
1.双曲线的基本量与方程 描述： 双曲线及双曲线的标准方程 把平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1 F2 | 且不等于零）的点 的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距． 以过焦点 F1 、 F2 的直线为 x 轴，线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标 系． 设 M (x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c (c > 0)，那么焦点 F1 ， F2 的坐标 分别是 (−c, 0) ，(c, 0)．又设点 M 与 F1 ， F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a （ 0 < a < c）．因为
新人教A版(选修1-1)第二章《圆锥曲线与方程》word教案
选修1－2 第2章圆锥曲线与方程复习小结教学目的：1通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点教学过程：一、复习引入椭圆、双曲线：二、讲解范例：例1 根据下列条件，写出椭圆方程⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8； ⑵ 和椭圆9x 2+4y 2=36有相同的焦点，且经过点(2，－3)；⑶ 中心在原点，焦点在x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是10－分析： 求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a 2=b 2+c 2及已知条件确定a 2、b 2的值进而写出标准方程 解 ⑴ 焦点位置可在x 轴上，也可在y 轴上，因此有两解：1121611216222=+=+x y y x 或 ⑵ 焦点位置确定，且为（0，5±），设原方程为12222=+by a x ,(a>b>0)，由已知条件有⎪⎩⎪⎨⎧=+=-14952222b ab a 10,1522==⇒b a ,故方程为10152=+x y⑶ 设椭圆方程为12222=+by a x ,(a>b>0)由题设条件有⎩⎨⎧-=-=510c a cb 及a 2=b 2+c 2，解得b=10,5=a ,故所求椭圆的方程是5102=+y x 例2 中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程 分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F 1（0，50）知，c=50，5022=-∴b a ，最后解关于a 、b 的方程组即可解：设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由F 1（0，50）得 5022=-b a把直线方程23-=x y 代入椭圆方程整理得：0)4(12)9(222222=-+-+a b x b x b a设弦的两个端点为),(),,(2211y x B y x A ，则由根与系数的关系得：22221912ba b x x +=+， 又AB 的中点横坐标为21，2196222221=+=+∴ba b x x 223b a =∴，与方程5022=-b a 联立可解出25,7522==b a 故所求椭圆的方程为：1257522=+y x 例3 已知抛物线方程为)0)(1(22>+=p x p y ，直线m y x l =+:过抛物线的焦点F 且被抛物线截得的弦长为3，求p 的值．解：设l 与抛物线交于1122(,),(,),|| 3.A x y B x y AB =则由距离公式|AB|=221221)()(y y x x -+-1212||y y y y -=-则有 2129().2y y -=由.02,).1(2,21222=-+⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=+p py y x x p y p y x 得消去 .,2.04)2(2212122p y y p y y p p -=-=+∴>+=∆从而.294)2(,4)()(2221221221=+--+=-p p y y y y y y 即由于p>0，解得43=p 三、小结 ：（1）直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种（2）可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系但有一解不一定是相切，要根据斜率作进一步的判定 四、课后作业：五、板书设计（略）六、课后记：采用数形结合、类比联想（椭圆）、启发诱导的教学方法，注重思维能力的培养和学生动手操作的能力的训练。
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2.1.8 圆锥曲线与方程 学案
一、知识梳理
1、平面内与两个定点1F ，2F 的（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的． 2、椭圆的几何性质：
3即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，称为双曲线的焦距． 4、双曲线的几何性质：
5
6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
7、抛物线的几何性质：
8
径”，即2p
AB=．
二、典例解析
探究点一直线与圆锥曲线的位置关系判断
例1、已知直线l：kx－y＋2－k＝0，双曲线C：x2－4y2＝4，当k为何值时，
(1)l与C无公共点；
(2)l与C有唯一公共点；
(3)l与C有两个不同的公共点．
总结：判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，若Δ＞0，则直线l与曲线C相交；若Δ＝0，则直线l与曲线C相切；若Δ＜0，则直线l与曲线C相离．
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点．此时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴．
(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时，直线与双曲线或抛物线可能相切，也可能相交．
探究点二相交弦长问题
例2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y＝x＋1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，
|PQ|＝10
2，求椭圆的方程．。