新高考数学艺考生总复习第二章函数、导数及其应用第10节导数的概念与计算冲关训练
新高考导数知识点
新高考导数知识点导数是高中数学中的重要概念，它在数学和科学中有广泛的应用。
导数的概念和方法是新高考数学中需要掌握的知识点之一。
本文将介绍导数的概念、性质以及一些常用的求导法则。
一、导数的概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数图像上某一点的切线斜率。
设函数y=f(x)，则函数在某点x=a的导数记作f'(a)，其定义为：f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h)-f(a))/h其中，h为自变量x的增量。
这一定义可以解释为函数图像上某一点处的切线斜率。
二、导数的性质1. 导数的存在性：如果函数在某一点处可导，则导数存在；反之，如果导数存在，则函数在该点可导。
2. 导数的代数运算：导数具有线性性质，具体表现为：(1) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(2) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；(3) (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(4) (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
3. 导数的乘法法则：设函数u(x)和v(x)都在点x处可导，则(uv)' = u'v+uv'。
4. 导数的链式法则：设函数y=f(u)和u=g(x)都在某一点x处可导，则复合函数y=f(g(x))在该点可导，且其导数为：(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)。
三、常用的求导法则在求解导数时，有一些常用的求导法则是非常有用的。
下面介绍几种常见的求导法则：1. 幂函数求导法则：设常数a和自然数n，函数y = xⁿ，则有y' = nxⁿ⁻¹。
2. 指数函数求导法则：设常数a，函数y = aˣ，则有y' = aˣlna。
高考数学总复习配套课件：第2章《函数、导数及其应用》2-11导数的概念及运算
1．(2011 年高考江西卷)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，
则 复 合 函 数 f[v(x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且 f′(x)
＝
f′(u)·，v′(x即) y′x＝
y′u·u′x
.
[疑难关注]
曲P(x线0，y＝y0)f的(x)切“线在”点的P(区x0别，与y0联)处系的切线”与“过点 曲P(x线0，y＝y0)f的(x)切“线在”点的P(区x0别，：y0)曲处线的y切＝线f(x”)在与点“P(过x0点，
为 2．函数f(x)的导函数
y－y0＝f′(．x0)(x－x0)
称函数f′(x)＝ 数．
为f(x)的导函
二、基本初等函数的导数公式
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
． ．
四3．、[gf复xx]′合＝函f′数xg的[xg－导xf]2x数g′x(g(x)≠0)．
(3)先化简，y＝
1 x·
－
x
x＋ 1x－1＝－x12＋x－12，
∴y′＝－12x－12－12x－32＝－21 x1＋1x.
1．(2013 年深圳模拟)函数 f(x)＝sinx x的导数是( )
xsin x＋cos x
A.
x2
xcos x＋sin x
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第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示一、必记3个知识点1．函数映射的概念2(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；及x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．二、必明3个易误区1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．2．易混“函数”及“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．误把分段函数理解为几种函数组成．三、必会4个方法求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )及f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．1.A ．y ＝x －1及y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1及y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 及y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2及y ＝lgx 100角度一 1.函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 角度二 已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域 2．已知函数f (x )的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域[典例] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )．[针对训练]已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．[典例] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋3，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为( )A ．－3B ．－1或3C ．1D ．－3或1(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 课后作业[试一试]1．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1]D ．[0,1]2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0[练一练]1．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 2．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (x )＝________. 做一做1．下列函数中，及函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．(2014·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．9 B.19 C ．－9D ．－193．函数y ＝(x ＋1)0＋ln(－x )的定义域为________．4．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 5．有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 及g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(x ≥0)－1，(x <0)表示同一个函数．(2)f (x )＝x 2－2x ＋1及g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数．(3)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．6．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( ) A ．f ：x →y ＝18x B ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x7．函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是( )A ．{x |x ≠－12}B ．{x |x >－12}C ．{x |x ≠－12且x ≠1}D ．{x |x >－12且x ≠1}8．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.第2讲 函数的单调性及最值一、必记3个知识点1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则有： (1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．函数的最值二、必明21．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但f (x )·g (x )，1f (x )等的单调性及其正负有关，切不可盲目类比． 三、必会2个方法1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．1.函数f (x )＝log 5(2x ＋[典例] 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．角度一 1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 角度三 解函数不等式3．已知定义在R 上的函数f (x )是增函数，则满足f (x )<f (2x －3)的x 的取值范围是________． 角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2] D.⎣⎡⎭⎫138，2 [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e－C ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．做一做1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)3．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，则实数x 的取值范围是________． 4．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 5．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．6.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．127．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( ) A ．f (4)>f (－6) B ．f (－4)<f (－6) C ．f (－4)>f (－6)D ．f (4)<f (－6)第二章 函数、导数及其应用 第3讲 函数的奇偶性及周期性一、必记2个知识点1．函数的奇偶性奇偶性 定 义图像特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称2.周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二、必明3个易误区1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． 三、必会2个方法1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0)考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x－3－x； (4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.考点二函数奇偶性的应用[典例] (1)(2013·山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．一题多变：本例(2)中条件在区间[－2,0]上“递减”变为“递增”，试想m 的范围改变吗？若改变，求m 的取值范围[针对训练]1．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．[典例] 定义在R 2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012[针对训练]设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．课后作业[试一试]1．(2013·广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12[练一练]3已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________. 4．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－12 B ．－14 C.14 D.125．(2014·大连测试)下列函数中，及函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－16．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.8．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．9．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫121－x ，则：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．第二章 函数、导数及其应用第4讲 函数的图像一、必记2个知识点1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)； 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、及坐标轴的交点)； 最后：描点，连线．2．利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换：y ＝f (x )――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x ) y ＝f (ωx )； y ＝f (x )――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. 二、必明2个易误区1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y 轴对称及两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系． 三、必会2个方法1．数形结合思想借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．2．分类讨论思想画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．考点一作函数的图像分别画出下列函数的图像：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.考点二识图及辨图[典例] (1)(2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( ) [针对训练]1．函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图像是( )2.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f (3)的值等于________．考点三函数图像的应用角度一 确定方程根的个数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是___．角度二 求参数的取值范围2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图像及x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]课后作业[试一试]1.函数y ＝log 2(|x |＋1)的图像大致是( )[练一练]2.若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________． 做一做3．函数y ＝x |x |的图像经描点确定后的形状大致是( )4．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像及曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －15.已知函数f (x )的图像如图所示，则函数g (x )＝2f (x )的定义域是________．6．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．7．函数f (x )＝2x 3的图像( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称8．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0的图像大致是( )9．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 10．函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )11.．函数f (x )＝x ＋1x 图像的对称中心为________．12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？第二章 函数、导数及其应用 第5讲 二次函数及幂函数一、必记3个知识点1．五种常见幂函数的图像及性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图像 定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域R{y |y ≥0}R{y |y ≥0}{y |y ≠0}2．(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图像和性质 二、必明2个易误区1．研究函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的性质，易忽视a 的取值情况而盲目认为f (x )为二次函数． 2．形如y ＝x α(α∈R )才是幂函数，如y ＝3x 12不是幂函数． 三、必会3个方法1．函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )，如果定义域内有不同两点x 1，x 2且f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图像关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．2．及二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.3．两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴及给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．1.图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的图像．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为________．2．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． [针对训练]已知y ＝f (x )为二次函数，且f (0)＝－5，f (－1)＝－4，f (2)＝－5，求此二次函数的解析式．考点三二次函数的图像及性质角度一 轴定区间定求最值1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，当a ＝－2时，求f (x )的最值．角度二 轴动区间定求最值2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值．角度三 轴定区间动求最值3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )．课后作业[试一试]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝5x 2C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2 2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 [练一练]如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图像关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 做一做1．下面给出4个幂函数的图像，则图像及函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －12．已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，40] B ．[160，＋∞) C ．(－∞，40]∪[160，＋∞) D ．∅ 3．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为_______． 4．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________． 5．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？6．函数y ＝x －x 13的图像大致为( )7．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的_______条件． 8．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于_____ ．9．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________． 10．已知幂函数f (x )＝x 21()m m －＋ (m ∈N *)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围第二章 函数、导数及其应用 第6讲 指数及指数函数一、必记3个知识点1．根式的性质(1)(n a )n ＝a .(2)当n 为奇数时n a n ＝a ；当n 为偶数时n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：am n -＝1m na＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像及性质二、必明1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 三、必会2个方法1．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(a2x ＋b ·a x ＋c ≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决． 2．指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按0<a <1和a >1进行分类讨论．求值及化简：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫21412-－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a 12-b －1)÷(4a 23·b －3)12； (3)[典例] (1)(2012·四川高考)函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图像可能是( )(2)已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b ，下列五个关系式： ①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 [针对训练]1．在同一坐标系中，函数y ＝2x 及y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________．考点三指数函数的性质及应用[典例] 已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)讨论f (x )的单调性．一题多变在本例条件下，当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围.课后作业[试一试]1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．92．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． [练一练]1．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为________．2．若函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 做一做1．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于( )A ．5B ．7C ．9D ．112．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图像经过点(2,1)，则f (x )的值域( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞) 3．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________．4．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________． 5．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．6．函数f (x )＝a x －1(a >0，a ≠1)的图像恒过点A ，下列函数中图像不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x ) 7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 的值域是( ) A ．(0，＋∞)B ．(0,1)C ．(0,1]D ．[1，＋∞)8．函数f (x )＝2|x －1|的图像是( )9．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．b >c >a10.计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ＝________. 11．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．第二章 函数、导数及其应用 第7讲 对数及对数函数一、必记4个知识点1．对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质及运算及换底公式(1)对数的性质(a >0且a ≠1)： ①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N .(2)对数的换底公式： 基本公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， ②log a MN ＝log a M －log a N ， ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．对数函数的图像及性质4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)及对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称． 二、必明2个易误区1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，易忽视M >0.2．解决及对数函数有关的问题时易漏两点： (1)函数的定义域； (2)对数底数的取值范围． 三、必会2个方法1．对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较． 2．明确对数函数图像的基本点(1)当a >1时，对数函数的图像“上升”；当0<a <1时，对数函数的图像“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图像只在第一、四象限．1.(2013·陕西高考)设 ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c2．计算下列各题：(1)lg 37＋lg 70－lg 3－(lg 3)2－lg 9＋1； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245典例 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 一题多解若本例变为：若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________.[针对训练]若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图像如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图像是( )考点三对数函数的性质及应用[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．课后作业[试一试]1．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)2．lg 5＋lg 20的值是________． [练一练]1．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1,0) D ．(0,1) 2．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 做一做1．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．1 D ．3 2．函数y ＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)3．函数y ＝lg1|x ＋1|的大致图像为( )4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 5．若log 2a 1＋a 21＋a <0，则a 的取值范围是________．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．7．函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( )A ．(0,8]B ．(2,8]C ．(－2,8]D ．[8，＋∞) 8．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12x D ．2x －29．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 10．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)11．计算：(log 29)·(log 34)＝________.12．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.13．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域．(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值．第二章 函数、导数及其应用第8讲 函数及方程一、必记3个知识点1．函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像及零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像及x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数两个一个零个3．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、必明2个易误区1．函数y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误为函数点．2．由函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )<0，如图所示． 所以f (a )·f (b )<0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件． 三、必会3个方法1．函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图像及性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．2．三个等价关系(三者相互转化)3．用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； 第二步：求区间(a ，b )的中点c . 第三步：计算f (c )；①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二、三、四步．1．函数f (x )＝log 3A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)3.函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点．[典例] (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 (2)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[典例] 若函数f (x )＝x [针对训练]若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______．课后作业[试一试]1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12 C ．0，－12 D ．2，－122．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) [练一练]函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 做一做1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0 2．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( ) A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有唯一的实数根D ．没有实数根3．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为_____5．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )6．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ； ②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －1；④f (x )＝x －x －1. 则输出函数的序号为( )A ．①B ．②C ．③D ．④8．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈______，第二次应计算________．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_。
高中数学第二章函数、导数及其应用 第10节导数与导数的运算课件
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( )
①函数f(x)在x=x0处的导数:
(ⅰ)定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的
导数，通常用f′(x0)表示,记作
f′(x0)=
lim f (x1) f (x0 ) =
x1x0 x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.
(ⅱ)几何意义:
函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.相应地，切线方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
③[
f x
g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
]′＝
［g(x)］2
(g(x)≠0).
(5)复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
2021新高考数学新课程一轮复习学案：第二章第10讲导数的概念及运算
第10讲导数的概念及运算[考纲解读] 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2021年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档.1．变化率与导数(1)平均变化率概念对于函数y＝f(x)，□01f(x2)－f(x1)x2－x1＝ΔyΔx叫做函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率几何意义函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的□02斜率物理意义若函数y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，则ΔyΔx就是该质点在[x1，x2]上的□03平均速度函数(x>0，a>0，且a≠1)(x>0)四则运算法则加减[f(x)±g(x)]′＝□08f_′(x)±g′(x)—乘法[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)[cf(x)]′＝cf′(x)除法⎣⎢⎡⎦⎥⎤f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－g′(x)f(x)g2(x)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g(x)′＝－g′(x)g2(x)复合函数导数复合函数y＝f[g(x)]的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间具有关系y′x＝□09 y′u·u′x，这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”1．概念辨析(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()(4)函数f(x)＝sinπ的导数f′(x)＝cosπ.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3x log3e；②(log2x)′＝1x·ln 2；③(e1－x)′＝e1－x；④⎝⎛⎭⎪⎫1ln x′＝x.A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析①中，(3x)′＝3x ln 3，错误；②中，(log2x)′＝1x·ln 2，正确；③中，(e1－x )′＝－e 1－x ，错误；④中，⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝0·ln x －1x(ln x )2＝－1x (ln x )2，错误，因此求导运算正确的个数为1.(2)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A.194B.174C.154D.134 答案 D解析 s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋3t ′＝2t －3t 2，当t ＝2时，s ′＝2×2－322＝134，所以该机器人在t ＝2时的瞬时速度为134.(3)函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为( ) A ．10 B ．5 C ．－1 D ．－37 答案 D解析 ∵f (x )＝x 3＋4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4， ∴f ′(1)＝7，即切线的斜率为7， 又f (1)＝10，故切点坐标为(1,10)， ∴切线的方程为y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37，切线在x 轴上的截距为－37.(4)已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________. 答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.题型一 导数的运算1．(2019·华中师范大学第一附中模拟)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则f ′(1)＝________. 答案 0解析 因为f (x )＝x 3＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，所以f ′(x )＝3x 2＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1.所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1.解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1.所以f ′(x )＝3x 2－2x －1，所以f ′(1)＝0. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)； (2)y ＝x －sin2x cos2x ； (3)y ＝e x cos x ； (4)y ＝ln (2x ＋1)x. 解 (1)因为y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1， 所以y ′＝18x 2＋4x －3.(2)因为y ＝x －sin2x cos2x ，所以y ＝x －12sin4x ， 所以y ′＝1－12cos4x ×4＝1－2cos4x . (3)y ′＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )． (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′ ＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.1.谨记一个原则先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导.2.熟记求导函数的五种形式及解法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导，如举例说明2(1)； (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．如举例说明2(2).3.求复合函数的导数的一般步骤(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数.(2)由外向内逐层求导．如举例说明2(4)中对ln (2x ＋1)的求导.求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)y ＝sin x x ； (3)y ＝(x 2＋2x －1)e 2－x .解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x ′＝(sin x )′x －sin x ·x ′x 2＝x cos x －sin x x 2.(3)y ′＝(x 2＋2x －1)′e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(e 2－x )′＝(2x ＋2)e 2－x ＋(x 2＋2x －1)(－e 2－x )＝(3－x 2)e 2－x .题型二 导数的几何意义角度1 求切线方程1.过点(1，－2)且与y ＝x 3－3x 相切的直线方程为( ) A.y ＝－2或9x ＋4y －1＝0 B.y ＝－2 C.9x ＋4y ＋1＝0 D.y ＝0或9x ＋4y ＋1＝0 答案 A解析 y ′＝3x 2－3，设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，此时在切点处的斜率为y ′x ＝x 0＝3x 20－3，所以切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点(1，－2)代入切线方程，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12，分别代入切线方程可得y ＝－2或9x ＋4y －1＝0.2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________. 答案 y ＝3x解析 y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3)，∴斜率k ＝e 0×3＝3，∴切线方程为y ＝3x .角度2 求切点坐标3.(2019·广州模拟)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( )A.(0,0) B ．(1，－1) C.(－1,1) D ．(1，－1)或(－1,1)答案 D解析 f ′(x )＝(x 3＋ax 2)′＝3x 2＋2ax ，由题意得f ′(x 0)＝－1，x 0＋f (x 0)＝0，所以⎩⎨⎧3x 2＋2ax 0＝－1， ①x 0＋x 30＋ax 20＝0， ②由①知x 0≠0，故②可化为1＋x 20＋ax 0＝0，所以ax 0＝－1－x 20，代入①得3x 20＋2(－1－x 20)＝－1，即x 20＝1，解得x 0＝±1.当x 0＝1时，a ＝－2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝－1；当x 0＝－1时，a ＝2，f (x 0)＝x 30＋ax 20＝1，所以点P的坐标为(1，－1)或(－1，1).角度3 求参数的值(范围)4.(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A.a ＝e ，b ＝－1 B ．a ＝e ，b ＝1 C.a ＝e －1，b ＝1 D ．a ＝e －1，b ＝－1答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎨⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.5.若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C.(0，＋∞) D ．[0，＋∞) 答案 D解析 f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞).求切线方程问题的两种类型及方法(1)求“在”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)处的切线方程：点P (x 0，y 0)为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．如举例说明2.(2)求“过”曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)的切线方程：切线经过点P ，点P 可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．如举例说明1，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：①设切点A (x 1，y 1)，则以A 为切点的切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)； ②根据题意知点P (x 0，y 0)在切线上，点A (x 1，y 1)在曲线y ＝f (x )上，得到方程组⎩⎨⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，求出切点A (x 1，y 1)，代入方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，化简即得所求的切线方程.1.若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A.e－ 12B ．2e － 12C ．e12D ．2e 12答案 B解析 依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，则a ＝2x 0＝2e－ 12，故选B.2.已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，则曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为________.答案 2解析 因为当x >0时，f (x )＝x 3－ln x ，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3－ln (－x )，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3＋ln (－x )，则f ′(x )＝3x 2＋1x ，所以f ′(－1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.3.已知直线l 为曲线y ＝a ＋ln xx 在点(1，a )处的切线，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12时，实数a 的值为________.答案 0或34解析 因为y ′＝1－a －ln xx 2，所以切线l 的斜率为1－a ，则切线l 的方程为y－a ＝(1－a )(x －1)，令x ＝0得y ＝2a －1.令y ＝0得x ＝2a －1a －1.所以直线l 与坐标轴围成的三角形面积为12|2a －1|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －1a －1＝12，即|2a －1|2＝|a －1|.则4a 2－4a ＋1＝1－a ，①或4a 2－4a ＋1＝a －1，② 由方程①解得a ＝0或a ＝34，方程②无解. 所以a ＝0或a ＝34.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
高三理科数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十节 导数的概念及其运算课件
(3)y'=
ln������ ������2+1
'
=(ln������)'(������2(+������21+)-1ln)2������(������2+1)' =1������·(������2(+������21+)-1ln)���2���·(2������) =������2���-���2(������������22+·ln1���)���2+1.
f(x)=sin x
f'(x)=cos x
f(x)=cos x f(x)=ax(a>0 且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0 且 a≠1) f(x)=ln x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a(a>0 且 a≠1)
f'(x)=ex f'(x)=������l1n������(a>0 且 a≠1) f'(x)=���1���
【解题思路】找出中间量,并且最终是 y 对 x 求导.
【参考答案】(1)y'=(e2x)'sin 2x+e2x·(sin 2x)'+(23x-1)'
=e2x·(2x)'·sin 2x+e2x·(cos 2x)·(2x)'+23x-1ln 2·(3x-1)'
=2e2x·sin 2x+2e2x·cos 2x+3·23x-1ln 2
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导数运算求解策略 (1)求解指导思想:先化简解析式,使之成为基本初等函数的求导公式的和、差、积、商,再求导;
新高考导数知识点归纳
新高考导数知识点归纳导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在新高考的数学课程中，导数的知识点主要包括以下几个方面：1. 导数的定义：导数是函数在某一点处切线的斜率，数学上用极限的概念来定义。
如果函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的极限存在，即\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]则称这个极限为函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的导数，记作\( f'(x_0) \)。
2. 导数的几何意义：导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，反映了函数值随自变量变化的快慢。
3. 基本导数公式：一些基本函数的导数有固定的公式，如常数函数的导数为0，幂函数的导数为\( nx^{n-1} \)，正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负正弦函数等。
4. 导数的运算法则：包括和差法则、乘积法则、商法则和链式法则。
这些法则允许我们计算复合函数的导数。
5. 高阶导数：函数的一阶导数的导数称为二阶导数，记作\( f''(x) \)，依此类推，可以定义更高阶的导数。
6. 导数的应用：导数在物理学、工程学等领域有广泛应用，如速度和加速度的计算，最优化问题求解等。
7. 隐函数和参数方程的导数：对于隐函数和参数方程，需要使用特定的方法来求导。
8. 导数的经济意义：在经济学中，导数可以用来计算边际成本、边际收益等概念。
9. 导数的物理意义：在物理学中，导数可以用来描述速度、加速度等物理量。
结束语：导数作为微积分的基础，不仅在数学领域有着重要的地位，而且在其他学科中也有着广泛的应用。
掌握导数的概念、运算法则和应用，对于深入理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念及运算课件 理
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(1)(2019·山师大附中模拟)函数 f(x)＝ln(2x－1)在点(1，f(1))处的切线
方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝2x－1
C．y＝2x－2
D．y＝x
(2)若曲线 y＝ln x＋ax2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范
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真题自 主 验效果
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1．(2016·全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函 y＝－2x－1 [因为 f(x)为偶函数，
数，当 x<0 时，f(x)＝ln(－x)＋3x， 所以当 x>0 时，f(x)＝f(－x)＝ln x
则曲线 y＝f(x)在点(1，－3)处的切
(3)y′＝coesx
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′
＝－sin
x＋cos ex
x.
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[规律方法] 导数计算的技巧 1求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量. 2复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时 可换元.
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A．3
B．2 去)．故选 B.]
C．1D.12Fra bibliotek12/11/2021
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解析答案
►考法 3 切线的条数问题
【例 3】 过点 A(2,1)作曲线 f(x)＝x3－3x 的切线最多有( )
A．3 条
B．2 条
C．1 条
D．0 条
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高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算课件 文 北师大版
(4)f(x)=x-sin x cos x 22
=x- 1 sin x. 2
f′(x)=1- 1 cos x. 2
反思归纳
导数计算的方法
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函
数,再求导;
知识梳理
1.导数的概念
(1)函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 f x2 f x1 ,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),
x2 x1
则平均变化率表示为 y . x
(2)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
解析:因为s′=-1+2t,所以物体在3秒末的瞬时速度大小为-1+2×3=5. 故选C.
3.(2015达州模拟)已知函数f(x)=ln x,f′(x)是f(x)的导数,f′(x) 的大致图象是( C )
解析:因为函数 f(x)=ln x 的定义域为(0,+∞), 所以 f′(x)= 1 的定义域也为(0,+∞),
解析:令 2x=Δx,由 x→0 得Δx→0,
则有 lim f 1 x f 1 =-1,即 f′(1)=-1,
x0
x
由导数的几何意义知 y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为-1.
2.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是 秒,那么物体在3秒末的瞬时速度大小是( C ) (A)7米/秒 (B)6米/秒 (C)5米/秒 (D)8米/秒
x 所以其图象为反比例函数图象在第一象限的部分.
超实用高考数学专题复习(北师大版)：第二章函数导数及其应用 导数的概念及运算定积分与微积分基本定理
挖掘2 根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为
y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 又∵切线方程为y＝2x＋b， ∴abe＝＋－1＝1，2，即a＝e－1，b＝－1.故选D. [答案] D
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于( )
A．0
B．e
C．2e
D．e2
答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln x，则f′(x)＝( )
mx A. x
B．x＋1
C.1x＋x 答案：D
D．ln x＋1
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为( )
A．不存在
B．x＝0
C．y＝0 答案：C
D．y＝x
4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
考点一 导数的计算 挖掘1 求导函数值/ 自主练透 [例1] (1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________． [解析] 令1－ex0＝0，∴x0＝0， 而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1. [答案] －1
[解析] 对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P(0，0)的曲 线C的切线，又当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，满足曲线C在P(0，0)附近位 于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)，则y′|x＝ －1＝0，而直线l：x＝－1斜率不存在，在点P(－1，0)处不与曲线C相切，
高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算课件 理
4．曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：因为 y′＝x＋2 1，y′|x＝0＝2 所以切线方程为 y－0＝2(x－0)，即 y＝2x. 答案：y＝2x
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第10节 导数的概念与计算 第十四页，共四十四页。
5．给出下列命题： ①y′＝f′(x)在点 x＝x0 处的函数值就是函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数 值． ②求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)． ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ⑤若 f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则 f′(x)＝2xf′(a)＋1x. 其中正确的是________．
提示：(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜 率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以 是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
12/13/2021
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Δy Δx
＝
_____________________为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x
＝x0，即 f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝______________________.
②几何意义
函数 f(x)在 x＝x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点(x0，f(x0)) 处的__切__线__(q_iē_x_ià_n)_的_斜__率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地， 切线方程为___y_－__f(_x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0_) ______．
高考数学统考一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第十节 导数的概念及运算、定积分与微积分基本定理
学习资料第二章 函数、导数及其应用第十节 变化率与导数、导数的运算课时规范练A 组—-基础对点练1．(2020·衡阳模拟)曲线f (x ）＝错误!在点(1，f (1））处切线的倾斜角为错误!,则实数a ＝( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析:f ′(x ）＝错误!＝错误!，又∵f ′（1）＝tan 错误!＝－1，∴a ＝7.答案：C2．（2020·福州质检)如图，y ＝f （x )是可导函数，直线l :y ＝kx ＋2是曲线y ＝f （x ）在x ＝3处的切线，令g （x )＝xf （x ）,g ′（x ）是g (x )的导函数,则g ′(3)＝( ）A ．－1B ．0C ．2D ．4解析:依题意得f （3）＝k ×3＋2＝1，k ＝－错误!，则f ′(3）＝k ＝－错误!,g ′（3)＝f (3）＋3f ′(3）＝1－1＝0，故选B 。
答案：B3．(2020·成都模拟）直线y ＝错误!x ＋b 是曲线y ＝ln x （x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ）A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析:∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，∴错误!＝错误!，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝错误!x ＋b ,得b ＝ln 2－1。
答案：C4．(2020·宁夏中卫质检）函数y ＝f （x )的图像在点P (5，f （5)）处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5）＝( ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由条件知f ′（5)＝－1，又点P 在切线上，∴f （5）＝－5＋8＝3，∴f(5)＋f′（5)＝2。
答案：B5．（2020·赣州二模)设曲线y＝ln x在x＝2处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a的值为（) A．2 B．－2C。
错误!D．－错误!解析：由f（x）＝y＝ln x知f′(x）＝错误!,所以f′(2)＝错误!,又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，即错误!×（－a)＝－1,所以a＝2.故选A。
新课标高考艺考数学复习教师用书：第二章第10节 导数的概念与计算 Word版含解析
第10节 导数的概念与计算最新考纲核心素养考情聚焦1.通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想，体会极限思想．2.通过函数图象直观理解导数的几何意义．3.能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y＝x 的导数．4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f (ax ＋b ))的导数1.导数的概念，发展逻辑推理和数学运算素养．2.导数的计算，提升逻辑推理和数学运算素养．3.导数的几何意义及应用，提升逻辑推理和数学运算素养导数的运算、导数的几何意义是高考命题的热点，导数的运算一般不单独命题，常融合在与导数有关的其他题目中；而导数的几何意义是一个高频考点，常与函数、解析几何放在一起综合考查，有时还作为解答题的一部分呈现．本节内容主要以选择题、填空题或解答题中第一问的形式出现，属于中低档题(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数y ＝f (x )的导函数如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数．记作f ′(x )或y ′.3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝αx α－14.若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”。
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第10节 导数的概念与计算
1．(2019·商洛市模拟)设f (x )在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能是( )
解析：B [由f (x )的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f (x )递减，即导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f (x )递减，再递增，后递减，即导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A ；则B 正确．]
2．(2019·邵阳市质检)已知函数f (x )＝f ′(－2)e x －x 2
，则f ′(－2)＝( ) A.e
2
e 2－1 B.
4
e 2
－1
e
2
C.e 2－14e
2 D.4e 2
e 2－1
解析：D [∵f ′(x )＝f ′(－2)e x
－2x ，
∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e －2
－2·(－2)，解得f ′(－2)＝4e
2
e 2－1
.]
3．设曲线y ＝sin x 上任一点(x ，y )处切线的斜率为g (x )，则函数y ＝x 2
g (x )的部分图象可以为( )
解析：C [根据题意得g (x )＝cos x ，∴y ＝x 2
g (x )＝x 2
cos x 为偶函数．又x ＝0时，y ＝0，故选C.]
4．(2019·长春市一模)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为( )
A ．1－a
B ．1
C ．a －1
D ．－1
解析：B [函数f (x )＝ax －ln x 的导数为f ′(x )＝a －1
x
，所以图象在点(1，f (1))处
的切线斜率为a －1，且f (1)＝a ，则切线方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，
令x ＝0，可得y ＝1，故选B.]
5．(2019·聊城市一模)若曲线y ＝a cos x ＋sin x 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，1处的切线方程为x －y ＋1
－π
2
＝0，则实数a 的值为( ) A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
解析：A [y ＝a cos x ＋sin x 的导数为y ′＝－a sin x ＋cos x ， 可得曲线在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，1处的切线斜率为k ＝－a ，
由切线方程x －y ＋1－π2＝0，可得－a ＝1，即a ＝－1.]
6．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－1
2，
则切点的横坐标为________．
解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3
x ，可得切线的斜率
为12m －3m ＝－1
2
，解方程可得，m ＝2. 答案：2
7．若曲线f (x )＝ax 5
＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵
f ′(x )＝5ax 4＋1
x
，
∴方程5ax 4＋1x
＝0有正实数解．∴5ax 5
＝－1有正实数解．
∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0)
8.如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝
f x
x
，则g ′(4)＝________.
解析：g ′(x )＝⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤f x x ′＝
xf ′x －f x
x 2
.
由已知图象可知，直线l 经过点P (0,3)和Q (4,5)，故k 1＝5－34－0＝1
2.由导数的几何意义
可得f ′(4)＝1
2
，
因为Q (4,5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′4－f 442＝4×12－542
＝－3
16. 答案：－3
16
9．已知函数f (x )＝x 3
－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．
解：(1)由f (x )＝x 3
－3x 得f ′(x )＝3x 2
－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，
∴所求的直线方程为y ＝－2.
(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 2
0－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，
故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2
x 0－1，
又x 30－3x 0＋2x 0－1
＝3x 2
0－3，
即x 3
0－3x 0＋2＝3(x 2
0－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－1
2
，
故所求直线的斜率为k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94， ∴y －(－2)＝－9
4
(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.
10．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2
＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .
(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2
－4x ＋3，
则f ′(x )＝(x －2)2
－1≥－1，
即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪
⎧
k ≥－1，－1
k
≥－1，
解得－1≤k ＜0或k ≥1，
故由－1≤x 2
－4x ＋3＜0或x 2
－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。