任丘一中高一数学竞赛竞赛答案
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
高一数学下学期竞赛试题
一中2021年下学期高一数学竞赛试题一、选择题〔一共8题，每一小题4分〕1．集合M =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-+013|x x x ，N ={}3|-≤x x ，那么集合{}1|≥x x =〔 〕A ．N M ⋂B ．N M ⋂C ．C R )(N M ⋂D ．C R )(N M ⋃2．假设函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于直线x y =对称，那么=)(x f 〔 〕 A ．12-x eB ．x e 2C ．12+x eD ．22+x e3．设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且0)1(=f ，那么不等式0)()(<--xx f x f 的解集为〔 〕 A ．),1()0,1(+∞⋃-B ．)1,0()1,(⋃--∞C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)0,1()0,1(⋃-4．假设直线0=++c by ax 通过第一、二、三象限，那么〔 〕 A ．0,0>>bc abB ．0,0<>bc abC ．0,0><bc abD ．0,0<<bc ab5．设有直线n m ,和平面βα,，以下四个命题中正确的选项是〔 〕 A ．假设,//,//ααn m 那么n m //B ．假设,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂那么βα//C ．假设,,a m ⊂⊥βα那么β⊥mD ．假设,,,αββα⊄⊥⊥m m 那么α//m 6．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，那么BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为〔 〕 A ．36B ．552 C ．515 D ．510 7．连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别为34,72，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有以下四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于M 。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。
A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。
A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。
A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。
A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。
A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）及答案（时间：5月16日18：40～20：40）满分：120分一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）1．已知M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）A. MB. NC. PD.P M 2.函数()142-+=xx x x f 是（ ）A 是偶函数但不是奇函数B 是奇函数但不是偶函数C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数3.已知不等式m 2＋(cos 2θ－5)m ＋4sin 2θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A . 0≤m ≤4B . 1≤m ≤4C . m ≥4或x ≤0D . m ≥1或m ≤04.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2sin cos =+-+B B A A ，则cba +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0ab >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 56．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B CBAC Acos tan sin cos tan sin ++的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B.C.D. )+∞．二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个个9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、选择题1、若A={3，4，5}，B={1，2}，f为集合A到集合B的映射，则这样的映射f的个数为（）A、8个B、6个C、9个D、12个2、已知I=R，A={x||x－a|≤2}，B={x||x－1|≥3}且A∩B= ，则实数a的取值范围是（）A、0≤a≤2B、0<a<2C、0≤a≤1D、0<a<13、已知函数，则它的定义域是（）A、[-2,0)∪(0,2]B、C、D、(0,2]4、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在（－∞，0）上递增，n=f(a2+a+1)，则m，n的大小关系是（）A、m>nB、m<nC、a>0时，m>nD、不能确定5、设a、b、c 分别是方程的实数根，则（）A、a>b>cB、b>a>cC、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、D、7、数的大小顺序为（）A、a>b>cB、a<b<cC、a<c<bD、c<a<b8、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中如果某人不亚于其它99人，就称它为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）A、1个B、2个C、50个D、100个[答案]二、填空题9、如果质数p、q满足关系式3p＋5q=31，那么= ___________．10、非空集合则具备这样性质的集合s共有______个．11、若，则a0＋a2＋a4＋a6=______．12、一个学校中有2001个学生，每人都学习法语或西班牙语，其中学习西班牙语的学生数在总人数中所占的比例介于80%与85%之间；学习法语的学生数在总人数中所占的比例介于30%与40%之间，设两门都学的学生数的最小值为m，最大值为M，则M－m的值为_____________．[答案]三、解答题13、设－1≤x≤0，求函数y=2x＋2－3×4x的最大值及最小值．[解答]14、已知A={x|x2－7x＋10≤0}，B={x|x2＋ax＋b<0}，且A∩B≠,A∪B={x||x－3|<4≤2x}，写出集合s={x|x=a＋b}．[解答]15、设其中a i∈N(i=1,2,3,4,5)，a1<a2<a3 <a4<a5，且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224，求A．[解答]16、函数f(n)是定义在正整数集上，并取非负整数值，且对所有m，n，有f(m＋n)－f(m)－f(n)=0或1，以及f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)．[解答]。
2019-2020学年河北省沧州市任丘市第一中学高一下学期入校教学质量检测数学试题(解析版)
2019-2020学年河北省沧州市任丘市第一中学高一下学期入校教学质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}250A x x x =-<，{}240B x x =+>，则A B =I （ ） A ．()0,5 B ．()2,5-C ．()2,5D ．()(),25,-∞-+∞U【答案】A【解析】解出集合A 、B ，可得出集合A B I . 【详解】{}()2500,5A x x x =-<=Q ，{}240B x x R =+>=，因此，()0,5A B =I ，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键在于解出两个集合，考查计算能力，属于中等题. 2．下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >，c d >，则a c b d +>+【答案】D【解析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，若0c <且a b >，则ac bc <，该选项错误；对于B 选项，取2a =，1b =-，1c =-，2d =-，则a b >，c d >均满足，但ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，取1a =，2b =-，则a b >满足，但22a b <，C 选项错误； 对于D 选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选：D. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进行验证，考查推理能力，属于基础题.3．直线10ax y +-=与直线2320x y +-=平行，则实数a 的值为（ ）A ．23B ．1-C ．32-D ．6【答案】A【解析】直接利用斜率相等列方程求解即可. 【详解】因为直线10ax y +-=与直线2320x y +-=平行，所以2233a a -=-⇒=， 故选：A. 【点睛】本题主要考查两直线平行的性质：斜率相等，属于基础题.4．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12- B ．4-C ．4D ．12【答案】C【解析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.5．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2-- B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B【解析】根据直线方程分离参数，再由直线过定点的条件可得方程组，解方程组进而可得m 的值． 【详解】Q ()()21250m x m y -+++=恒过定点，∴()()2250x y m x y ++-++=恒过定点，由20,250,x y x y +=⎧⎨-++=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=-⎩即直线()()21250m x m y -+++=恒过定点()1,2-.【点睛】本题考查含有参数的直线过定点问题，过定点是解题关键． 6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝2b cc +，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A 【解析】【详解】∵cos 22A =2b c c +，2cos 22A﹣1=cosA ， ∴cosA=sin sin b Bc C=，即sin sin cos sin cos sin cos ,sin cos 0,cos 0B C A A C C A A C C ==+∴=∴=，∴△ABC 是直角三角形． 故选A ．7．直线:1l y x =+上的点到圆22:2440C x y x y ++++=上点的最近距离为（ ）A ．B ．2C 1D ．1【答案】C【解析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果. 【详解】将圆化为标准形式可得()()22121x y +++= 可得圆心为()1,2C --，半径1r =，而圆心()1,2C --到直线10x y -+=距离为d ==因此圆上点到直线的最短距离为1d r -=，故选：C . 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求圆心到直线的距离是解题的关键，属于中档题.8．在 ABC V 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且c =3C π=，则 ABC V 的面积是()n nA．4B．6C．3D．4或6【答案】D【解析】分析：由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果． 详解：∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC V 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴3b tan==∴1122ABC S bc ===n ②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =，由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =．∴11132234ABC S absinC sin n π==⨯⨯⨯=．综上可得ABC V 或 故选D ．点睛：在判断三角形的形状时，对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子，当需要在等式的两边约去cosA 时，必须要考虑cosA 是否为0，否则会丢掉一种情况． 9．设0x >，0y >，24x y +=，则()()121x y xy++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．72D ．92【答案】D【解析】利用基本不等式可得2xy ≤，再结合24x y +=代入即可得出答案． 【详解】解：∵0x >，0y >，24x y +=，222x y+≤=， ∴2xy ≤，当且仅当22x y ==即2x =，1y =时等号成立，∴()()121x y xy++221xy x y xy +++=52xy =+59222≥+=，故选：D ． 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，要注意条件“一正二定三相等”，属于中档题． 10．已知一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则该三角形的最小角的余弦值是（ ） A ．45B ．34C ．18D ．7【答案】B【解析】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，由二倍角公式sin sin 22sin cos B C C C ==，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于a 的方程，求出a 的值，可得出cos C 的值. 【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =，即2cos b C c =，即222b a b c c ab+-=， 将1b a =+，1c a =-代入222b a b c c ab+-=得1411a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =，则63cos 284b Cc ===，故选B. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进行转化是解本题的关键，综合性较强.11．设集合}{2230A x x x =+->，集合}{2210,0,B x x ax a =--≤>若A B ⋂中恰含有一个整数 ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞【答案】A【解析】求出A 中不等式的解集确定出A ，由A 与B 交集中恰有一个整数，求出a 的范围即可． 【详解】由A 中不等式变形得：（x ﹣1）（x+3）＞0，解得：x ＜﹣3或x ＞1，即A={x|x ＜﹣3或x ＞1}，如图为图中红色的实线部分， 函数y=f （x ）=x 2﹣2ax ﹣1的对称轴为x=a ＞0，f （﹣3）=6a+8>0，f （﹣1）=2a>0, f （0）<0,故其中较小的根为（-1，0）之间，另一个根大于1，f （1）<0,要使A∩B 恰有一个整数，即这个整数解为2， ∴f （2）≤0且f （3）＞0， 即44109610a a --≤⎧⎨-->⎩,解得：3443a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即34≤a ＜43， 则a 的取值范围为34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故答案为：A. 【点睛】这个题目考查的是已知函数的零点，求参的问题，在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．12．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A ．17B 171C ．622-D ．524【答案】D【解析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得||||PM PN +的最小值，得到答案． 【详解】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标3(2,)A -，半径为1， 圆2C 的圆心坐标为(3,4),，半径为3，由图象可知，当,,P M N 三点共线时，||||PM PN +取得最小值， 且||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径之和， 即22231(32)(34)4524AC --=-+---=-， 故选D ．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．已知直线12:20;:10l x my l mx y +-=++=，若12l l ⊥，则m = __________． 【答案】0【解析】由题意可得：110,0m m m ⨯+⨯=∴=.14．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且47118102a a a a e +=， 123ln ln ln a a a +++17ln a +=L .【答案】34.【解析】试题分析: ∵等比数列{}n a 的各项均为正数，且47118102a a a a e +=，∴24922a e =，∴29a e =，∴()172123171231799ln ln ln ln ln ln 17ln 17ln 34ln 34a a a a a a a a a a e e ++++======L L ，故答案为34.【考点】对数运算及等比数列性质.15．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则9a c +的最小值为________． 【答案】32【解析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】如图所示， 则△ABC 的面积为111120260260222acsin a sin c sin ︒=⋅︒+⋅︒， 即ac =2a +2c ， 得221a c+=， 得()221829920c a a c a c a c a c ⎛⎫ +=++⎝=++⎪⎭18220=32c a a c≥⋅， 当且仅当182c a a c=，即3c =a 时取等号； ∴9a c +的最小值为32. 故答案为：32. 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，属于中等题.16．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1n n a a n --=．则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和是_____. 【答案】21nn + 【解析】先利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，然后将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项裂开，利用裂项求和法求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】当2n ≥时，1n n a a n --=．所以，212a a -=，323a a -=，434a a -=，L ，1n n a a n --=. 上述等式全部相加得1234n a a n -=++++L ，()112342n n n a n +∴=+++++=L .()122211n a n n n n ∴==-++， 因此， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为22222222122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 21n n =+，故答案为：21n n +. 【点睛】本题考查累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos cos b c A a C -=. （1）求角A 的大小；（2）若a =，5b c +=，求ABC V 的面积.【答案】（1）3A π=（2【解析】（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，求解即可；（2）利用余弦定理以及题设条件得出4bc =，最后由三角形面积公式求解即可. 【详解】解：（1）在ABC V 中，由条件及正弦定理得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -= ∴2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+= ∵sin 0B ≠，∴2cos 1A = ∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵a =，5b c +=由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()22cos 3b c bc b π=+--25313bc =-=∴251343bc -==.∴11sin 4sin 223ABC S bc A π==⋅⋅=△【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 18．在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）29n a n =-；（2）()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，可得出450a a ≤⎧⎨≥⎩，可得出d 的取值范围，结合d Z ∈，可求出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出n a ；（2）将数列{}n b 的通项公式表示为分段形式，即(),4,5n n n n a n b a n N a n *-≤⎧==∈⎨≥⎩，于是得出()4,42,,5n n n n S n T n N S S a n *-≤⎧=∈⎨-≥⎩可得出n T 的表达式. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则4500a a ≤⎧⎨≥⎩，17a =-Q ，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈Q ，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）29n n b a n ==-Q .当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+. 综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将n S 的最小值转化为与项相关的不等式组进行求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.19．若直线34120x y -+=与x 轴，y 轴的交点分别为,A B ，圆C 以线段AB 为直径. （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 过点3,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，与圆C 交于点,M N ，且120MCN ∠=o ，求直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）34x =-或1216730x y -+=.【解析】(1)本题首先根据直线方程确定A 、B 两点坐标，然后根据线段AB 为直径确定圆心与半径，即可得出圆C 的标准方程； (2)首先可根据题意得出圆心C 到直线l 的距离为54，然后根据直线l 的斜率是否存在分别设出直线方程，最后根据圆心到直线距离公式即可得出结果。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛一试B卷参考答案及评分标准
设 BC a 0 ．由余弦定理知 4 1 a2 2a 2 ，故 a 2 14 ．
2
2
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ax2 3x 3 (a 0) 的图像与
抛物线 y2 2 px ( p 0) 的图像关于直线 y x m 对称，则实数 a, p, m 的乘积
2021 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛） 暨 2021 全国高中数学联合竞赛
一试（B 卷）参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
bn an an1 an2 (n N*) ．
若{bn}是公比为 3 的等比数列，求 a100 的值．
解：由条件知 bn b1 3n1 3n (n N* ) ．
……………4 分
因此，an3 an bn1 bn 3n1 3n 2 3n (n N*) ．
……………8 分
于是
33
2
答案： 1,
3
．
2
解： y sin2 x
3 sin x cos x 1 cos 2x 2
3 2
sin
2x
sin
2x
6
1 2
．
当
4
x
2
时， 3
2
x
6
5 6
，故
sin 2
x
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。
答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。
答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。
如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。
答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。
证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。
首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。
设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。
可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。
对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。
同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。
解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。
根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。
我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。
由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。
通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。
我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。
接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。
则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。
根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。
比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。
综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。
河北省任丘市第一中学2020-2021学年高一第一学期第二次阶段考试数学试卷 含答案
C．
log2
32
4
log2
3
4
log2
1 3
2
-2-
D．已知 y m2 3m 3 x m 是幂函数，则 m 的值为 4
12．已知函数 f (x) 2sin(2x ) 1，则下列说法正确的是（ ） 3
A．
f(
x) 2
f
(x)
6
B． f (x ) 的图象关于 x 对称
6
12
在
x
1 2
, 2
恒成立，
则k
2t
h
x
min
2
1在 t 1,1 有解，
即k<
1 2t
在 t 1,1 有解，
k
1 2t
max
2 ，综上，实数
k
的取值范围 k
2
.
22．（1） m 1；（2） m 0 ；（3）答案见解析.
-6-
解：（1）
f
x
2x
m
1 2
x
，所以
f
1
2
m 2
f
1
1 2m ， 2
②当 3a 2 a ，即 a 1时，解集 A ，满足题设条件；
③当 3a a 2，即 a 1 时，解集 A x 3a x 2 a ，
若 x A 是 x B 的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集，
3a 2 ，此时 2 a 1. 3
综上①②③可得 a [ 2 , ) 3
所以
m
1 ，检验，此时
f
x
2x
1 2
x
，
f
x
1 2
x
2x
，
任丘一中高一下学期期末模拟试题
任丘一中下学期期末数学模拟试题（3）一、选择题：1．设a ,b 是非零实数，若a <b ,则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a < B ．b a ab 22< C ．ba ab 2211< D ． b a a b < 2．在等比数列{n a }中，已知81131=a a a ，那么82a a 的值为（ ）A ． 4B ． 6C ． 12D ． 164．不等式03<-x 的解集为（ ）A.2{-<x x 或}30<<xB.02{<<-x x 或}3>xC.2{-<x x 或}0>x D.{0<x x 或}3>x5．若直线l 1：ax +03)1(=--y a 与直线l 2：02)32()1(=-++-y a x a 互相垂直，则a 的值为（ ） A ．3- B ． 21-C ． 0或23- D ． 1或3- 6.点M （00,y x ）在圆222R y x =+外，则直线200R y y x x =+与圆的位置关系是（ ） A ． 相切 B ． 相交 C ． 相离 D ． 不确定 7．当点M （y x ,）在如图所示的三角形ABC 内（含边界）运动时，目标函数y kx z += 取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k 的取值范围是（ ） A ．),1[]1,(+∞⋃--∞ B ．]1,1[- C ．),1()1,(+∞⋃--∞ D ．)1,1(-8．在三棱锥P ABC-中，已知,,,,PC BC PC AC E F G ⊥⊥点分别是所在棱的中点，则下侧视图俯视图正视图1面结论中错误的是( ) A ．平面//EFG 平面PBC B ．平面EFG ⊥平面ABC C ．BPC ∠是直线EF 与直线PC 所成的角 D ．FEG ∠是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角 9．已知等差数列的前n 项和为n S ，若,0,01213><S S 则此数列中绝对值最小的项为（ ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ． 第8项10．若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交与P ，Q 两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k 的值为（ ）A ．3-或3B ．3C ．2-或2 D.211．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） A ． x x y 4+= B ．2)3(222++=x x y C ．)0(sin 4sin π<<+=x xx y D ． xx e e y -+=4 12．过直线0=+y x 上一点P 作圆2)5()1(22=-++y x 的两条切线21,l l ，A ，B 为切点，当直线21,l l 关于直线x y =对称时，APB ∠=（ ） A ． ︒30 B ． ︒45 C ．︒60 D ． ︒90二、填空题：13．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-304x y x y x 所表示的平面区域的面积是 ____________． 14．点),(y x 在直线023=-+y x 上移动时，yx z 82+=的最小值为 ． 15． 一个等比数列，前n 项和为n S ，若,131030S S =,1403010=+S S 则=20S ． 16．直线b x y +=与曲线29y x -=恰有一个公共点，则b 的取值范围是 ． 三、解答题：17.已知ABC ∆三个顶点是)4,1(A -，)1,2(B --，)3,2(C ．（Ⅰ）求BC 边中线AD 所在直线方程；（Ⅱ）求点Ａ到ＢＣ边的距离．18.在等比数列{}n a 中，27321=⋅⋅a a a ，3042=+a a 试求：（I ）1a 和公比q ；（II ）前6项的和6S19.设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ； （Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．20.要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位cm ），能使矩形广告面积最小？ACDPE21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面A B C ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值．22.已知圆C1：222280x y x y +++-=，圆C2：22210240x y x y +-+-=。
河北省任丘一中2022-2023学年数学高一上期末综合测试模拟试题含解析
C. D.
2．设 ，则 的大小关系为（）
A. B.
C. D.
3．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（）
A.2B.4
C.6D.8
4．设全集 ，集合 ，那么 （）
A. B.
C. D.
5．已知函数 ， ， 的零点分别 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A. B.
C. D.
【详解】（1）因为 为 上的奇函数，∴ ，
又当 时， ，
所以当 时， ，
所以 ,
所以 .
（2）设 ，∵ 在 上单调递减，
∴ ，即 ， 是方程 的两个不等正根，
∵ ，
∴ ，
∴ 在 内的“罗尔区间”为 .
（3）设 为 的一个“罗尔区间”，则 ，∴ ， 同号.
当 时，同理可求 在 内的“罗尔区间”为 ，
∴ ，
7、C
【解析】利用终边相同的角的定义，即可得出结论
【详解】若终边相同，则两角差 ，
A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误.
Hale Waihona Puke 故选：C.【点睛】本题考查终边相同的角的概念，属于基础题.
8、C
【解析】根据元素与集合的关系列方程求解即可.
【详解】因为 ，所以 或 ，
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
8．已知集合 ，若 ，则 （）
A.-1B.0
C.2D.3
9．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的半径为（）
A.1B.
C.2D.4
10．已知函数 ，则 （ ）
A.﹣1B.
C. D.3
2021-2022学年河北省沧州市任丘市第一中学高一下学期第二次阶段考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省沧州市任丘市第一中学高一下学期第二次阶段考数学试题一、单选题1．.已知()()5,1,3,2OA OB =-=，AB 对应的复数为z ，则z =（ ） A ．5i - B ．32i +C ．23i -+D ．23i --【答案】D【解析】根据向量的减法坐标公式，解得AB 坐标，再写出对应的复数和其共轭复数. 【详解】由题可知()2,3AB =-， 故AB 对应的复数为23z i =-+， 则23z i =--， 故选：D.【点睛】此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题.2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是（ ）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】根据斜二测画法规律，平行于y轴的线段长度是原长的一半即可判断.【详解】在直观图中，其一条对角线在y′轴上且长度为2，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为22，故选：A．3．某学校为了解学校学生组成的跑步社团每月跑步的平均里程，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间跑步社团的成员每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图：根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至6月的月跑步平均里程相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【分析】对于A，利用中位数的定义求解；对于B，由折线图的变化情况判断即可；对于C，由折线图可判断；对于D，由折线图的变化情况判断即可【详解】解：对于A，由折线图可知，月跑步平均里程的中位数为5月份和7月份对应的平均里程的平均数，所以A错误；对于B，由折线图可知，2月份互6月份月跑步平均里程逐月增加，而从6月份到8月份月跑步平均里程逐月减少，所以B错误；对于C，由折线图可知月跑步平均里程高峰期大致在10月份，所以C错误；对于D，由折线图可知1月至6月的月跑步平均里程相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以D正确，故选：D4．垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节通过分类投放、分类收集，我们可以把有用物资从垃圾中分离出来重新回收、利用，变废为宝.某小区的分类垃圾箱如图所示，每组垃圾箱有四个垃圾投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，分别为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投放正确的概率为（）A．19B．16C．13D．12【答案】C【分析】记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，用列举法写出其随机投放的所有基本事件，及恰有一袋投放正确的基本事件，计数后可计算出概率．【详解】记有害垃圾、厨余垃圾、可回收垃圾、其他垃圾四个垃圾投放桶分别为1，2，3，4，则两袋垃圾中恰有一袋投放正确的情况有（1，3），（1，4），（3，2），（4，2），共4种，而随机投放的情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种，所以所求概率41123 P==.故选：C．5．已知平面四边形ABCD满足14AD BC=，平面内点E满足3BE CE=，CD与AE交于点M，若BM x AB y AD=+，则x y+=（）A ．52B ．52-C ．43D ．43-【答案】C【分析】利用基底,AB AD 表示BM ，对照即可得到结果. 【详解】易知4BC AD =，2CE AD =，()1133BM AM AB AE AB AB BE AB =-=-=+-()163AB AD AB =+-223AB AD =-+，∴43x y +=， 故选：C .6．锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若222,2b c a bc b +=+=，则ABC 的面积的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．323⎝ C ．(1,23)D ．3⎫+∞⎪⎪⎝⎭【答案】B【分析】直接利用余弦定理求出角A ，用三角形面积公式求出面积的表达式，最后用正弦定理求出c 边代入计算可求出范围.【详解】解：由于222b c a bc +=+,则2221cos 22b c a A bc +-==， 由于A ∈（0，π）， 所以A ＝3π． 所以13sin 2ABCSbc A ==， 由于02B π<<，且△ABC 为锐角三角形， 所以62B ππ<<，由正弦定理可知：sin sin b cB C=，则 ()2sin 2sin 3cos 11+13sin sin sin tan A B C B c B B B B+====+ 3tan 3B >，13tan B<，则14c <<，33,2322ABCS c ⎛⎫∈ ⎪ ⎝=⎪⎭. 故选：B.【点睛】思路点睛：解三角形问题经常利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式解题.7．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm ，外径长3cm ，筒高4cm ，中部为棱长是3cm 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）A ．3727cm 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．324cm 4π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．3936cm 4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．3718cm 4π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据图形，几何体的体积由圆柱的体积加正方体的体积减去正方体遮住圆柱的部分求解. 【详解】由图可知，组合体的体积为：2223341333322V ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，3727cm 4π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 故选：A8．已知等腰直角三角形ABC 的斜边4BC =，沿斜边的高线AD 将ABC 折起，使二面角B AD C --为3π，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ） A 21 B 2821C ．283π D ．289π【答案】B【分析】先分析出折后的四面体的特性，再探求这个四面体外接球球心并求出半径而得解. 【详解】依题意，四面体ABCD 中，AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，BDC ∠为二面角B AD C --的平面角，即3BDC π∠=，而BD =CD =2，则△BCD 是正三角形，AD ⊥平面BCD ，AD =2,如图：取正△BCD 的边BC 中点F ，连DF ，在DF 上取点O 1，使DO 1=2O 1F ，则O 1是正△BCD 的中心， O 1是四面体ABCD 的外接球截平面CDB 所得小圆圆心，设这个外接球球心为O ，则OO 1⊥平面BCD ， 取球O 的弦AD 中点E ，球心O 必在过点E 垂直于AD 的平面上，连OE ，可得四边形DEOO 1是矩形，OO 1=DE =1，连O 1B ，OB ，则112233O B O D DF ===，球O 的半径2211R OB O B OO =+223211()3=+四面体ABCD 的外接球的体积为3344212821(33V R ππ==⋅.故选：B【点睛】关键点睛：求多面体外接球表面积或体积，根据条件探求球心位置是解题的关键.二、多选题9．若样本1a x +，2a x +，…，n a x +的平均值是5，方差是4，样本112x +，212x +，…，12n x +的平均值是9，标准差是s ，则下列结论中正确的是（ ） A ．1a = B ．2a = C ．16s = D ．4s =【答案】AD【分析】由1122()2i i x x a a =+-++可得25219a ⨯-+=，解得1a =；再由222416s =⨯=可得164s ==.【详解】解：因为样本1a x +，2a x +，…，n a x +的平均值是5，方差是4，样本112x +，212x +，…，12n x +的平均值是9，又因为1122()2i i x x a a =+-++，所以样本112x +，212x +，…，12n x +的平均值为25219a ⨯-+=， 解得1a =；所以样本1a x +，2a x +，…，n a x +即为11+x ，21+x ，…，1+n x ， 方差222416s =⨯=，所以标准差4s ==. 故选：AD.10．下列各对事件中，为相互独立事件的是（ ）A ．掷一枚骰子一次，事件M “出现偶数点”；事件N “出现3点或6点”B ．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到白球”C ．袋中有3白､2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M “第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”D ．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲､乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生” 【答案】ABD【分析】利用相互独立事件的定义一一验证即可.【详解】在A 中，样本空间{}1,2,3,4,5,6Ω=，事件{}2,4,6M =，事件{}3,6N =，事件{6}MN =， ∴31()62P M ==，21()63P N ==，111()236P MN =⨯=， 即()()()P MN P M P N =，故事件M 与N 相互独立，A 正确.在B 中，根据事件的特点易知，事件M 是否发生对事件发生的概率没有影响，故M 与N 是相互独立事件，B 正确；在C 中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C 错误；在D 中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D 正确. 故选：ABD.【点睛】判断两个事件是否相互独立的方法：（1）直接法：利用生活常识进行判断；（2）定义法：利用()()()P MN P M P N =判断.11．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A ．8b =，5c =，60C =︒B ．5b =，4c =，45B =︒C ．6a =，b =60B =︒ D ．20a = ，30b =，30A =︒ 【答案】BC【分析】根据题中条件，由正弦定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，若8b =，5c =，60C =︒，由正弦定理可得sin sin b cB C=，则8sin 2sin 15b CB c===>，此时B 不存在，三角形无解；故A 错； B 选项，若5b =，4c =，45B =︒，由正弦定理可得sin sin b cB C=，则4sin 2sin 5c BC b==<045C ︒<<︒或135180C ︒<<︒，而135180C ︒<<︒时，180B C +>︒，应舍去，所以045C ︒<<︒，即三角形有且仅有一解；故B 正确；C 选项，若6a =，b =60B =︒，由正弦定理可得：sin sin a b A B=，则6sin sin 1a B A b ==，所以90A =︒，所以三角形仅有一解； 故C 正确； D 选项，若20a = ，30b =，30A =︒，由正弦定理可得：sin sin a bA B=，则130sin 312sin 2042b A B a ⨯===>，所以3090B ︒<<︒或00159B ︒<<︒，两种情况下，三角形都存在，即三角形有两解，故D 错. 故选：BC.12．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（ ）A ．该截角四面体一共有12条棱B ．该截角四面体一共有8个面C ．该截角四面体的表面积为73D 232【答案】BCD【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB ，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A 错误，B 正确； 对于C ，边长为1的正三角形的面积133112S =⨯⨯1的正六边形的面积13336112S =⨯⨯⨯=，故该截角四面体的表面积为33344=73S =C 正确；对于D ，棱长为1的正四面体的高2236132h ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭为13613633311232=4331122V ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.三、填空题13．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________. 【答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1． 故答案为：1．14．设α表示平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①若,//m n m α⊂，则//n α ②若,//m n m α⊥，则n α⊥ ③若,//m n αα⊥，则m n ⊥ ④若//,//m n αα，则//m n 【答案】②③【分析】对四个选项，根据空间线面之间的关系逐个分析判断即可得解. 【详解】对①，没有交代n α⊄，故①错误； 对②，n 平行于平面α的垂线，则n α⊥，②正确；对③，m 垂直于平面，则垂直于平行于该平面的直线，所以③正确； 对④，平行于同一平面的直线，这两条直线并不一定平行，故④错误. 故答案为：②③15．A ，B ，C ，D 四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是13（个人不投自己的票），则仅A 一人是最高得票者的概率为________． 【答案】527【分析】根据A 的票数为3,2分类讨论，再根据互斥事件的概率加法公式即可求出． 【详解】若仅A 一人是最高得票者，则A 的票数为3,2．若A 的票数为3，则1111133327P =⨯⨯=； 若A 的票数为2，则BCD 三人中有两人投给A ，剩下的一人与A 不能投同一个人， 213111242333327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； 所以仅A 一人是最高得票者的概率为12145272727P P P =+=+=． 故答案为：527． 【点睛】本题解题关键是根据A 的得票数进行分类讨论，当A 的票数为3时，容易求出1127P =，当A 的票数为2时，要考虑如何体现A 的票数最高，分析出四人投票情况，是解题的难点，不妨先考虑BC 投给A ，则D 投给B （C ），A 就投给C 或D （B 或D ），即可容易解出．16．已知向量,a b 满足：13,1,512a b a b ==-||||||≤，则b 在a 上的投影长度的取值范围是_______【答案】5[,1]13【分析】对不等式512a b -||≤进行平方，根据平面向量数量积的运算性质，得到5a b ⋅≥，根据b 在a 上的投影的定义进行求解即可.【详解】由13,1,512a b a b ==-||||||≤，可得2(5)1692510144a b a b -=+-⋅≤，整理得5a b ⋅≥，根据则b 在a 上的投影长度为a b a ⋅513≥，而其投影肯定会不大于1b =， 所以其范围为5[,1]13． 故答案为：5[,1]13四、解答题17．已知复数z 满足1z i =+，复数z 的共轭复数为z（1）求4z z z+ （2）若复数1z 满足11z z -=，求1z 的最小值和最大值．【答案】（1）4i --；（211.【分析】（1）根据共轭复数的概念求解出z ，然后根据复数的乘法和除法运算法则求解出4z z z+的结果；（2）根据已知条件判断出复数1 z 在复平面内对应点的轨迹，然后根据复数模的几何意义求解出1z 的最值.【详解】（1）因为1z i =+，所以1z i =-，所以()()()()()()()2422411121+1241112i i z i i i i i i i i i z z ----⎡⎤=++=+=+=+-+--⎣⎦+； （2）因为11z z -=，所以1z 在复平面内对应点的轨迹是以()1,1为圆心，半径1r =的圆， 所以1z 表示圆上的点到原点()0,0的距离，所以1max 1z r ==，所以1min 1z r =.【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段；（3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.18．《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《营造法式注释》.为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》.为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3:2，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取100份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频数分布表.（1）求x ，y 的值；若以频率作为概率，从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，试估计该学生的作业成绩在[)60,80的概率；（2）估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】（1）8x =，24y =，740；（2）81分. 【分析】（1）首先根据频数之和为100，求出x 的值，再根据分层抽样，求出大三年级的频数，即可求出y 的值， 根据频率分布直方图得估计[)60,80的人数，利用古典概型计算概率即可；（2）利用平均成绩的计算公式计算得到结果.【详解】（1）由题意，知4203830100x ++++=.8x ∴=.在这100份作业中，因大三学生的作业共36151236y y ++++=+（份），则大四学生的作业共64y -（份）.选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为3:2，363642y y +∴=-.解得24y =. 故大四学生作业共40份.其中，成绩在[)60,70，[)70,80的作业份数分别为2，5.故成绩在[)60,80的作业共7份.∴从选修该门课程的大四学生中随机选取1名，估计其作业成绩在[)60,80的概率为740. （2）由（1）可知，这100份作业中大三学生作业共60份. 设大三学生作业的平均成绩为x . 则361524125565758595816060606060x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ∴估计这100份作业中大三学生作业的平均成绩为81分.19．在△ABC 中，cos C ＝17，c ＝8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，条件①：a ＝7；条件②：cos B ＝1114. 求：（1）b 的值； （2）角A 的大小和△ABC 的面积.【答案】（1）5；（2）【分析】选①时，首先利用余弦定理求出b 的值，进一步利用三角函数的值的应用和正弦定理，及三角形的面积公式的应用求出结果．选②时，利用正弦定理和三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【详解】选条件①:（1）7a =时,1cos ,87C c ==, 利用2222cos c a b ab C =+-,整理得22150b b --=,解得5b =或3-（负值舍去）,故5b =.（2）由于1cos ,07C C π=<<,所以sin C ==利用正弦定理sin sin a C A C =,所以7sin A =解得sin A =, 由于c a >,所以3A π=,则12sin ABC S ab C ==选条件②:（1）11cos 14B =,所以sin B =1cos 7C =,所以243sin 1cos C 7C =-= 甴正弦定理sin sin b C B C =,整理得85343147b =,解得5b = （2）11cos 14B =,所以253sin 1cos 14B B =-= 1cos 7C =,所以243sin 1cos C 7C =-=, 所以11153431cos cos()1471472A B C =-+=-⨯+⨯= 由于(0,)A π∈,所以3A π=所以113csin 58103222ABC S b A ==⨯⨯⨯= 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BAD ∠为直角，//AB CD ，E ､F 分别为PC ､CD 的中点22PA AD CD AB ====，（1）证明：平面//APD 平面BEF ；（2）求三棱锥B CDE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【解析】（1）利用线面平行的判断定理以及面面平行的判定定理证得命题成立；（2）由B CDE E CBD V V --=，利用三棱锥的体积公式求解即可．【详解】（1）证明：由已知//AB CD ，且BAD ∠为直角，F 为CD 的中点，FD AB ∴=，故ABFD 是矩形，//AD BF ∴，//BF ∴平面APD ，又∵E ，F 分别为PC ，CD 的中点.∴//EF PD ，∴//EF 平面APD 又∵,BF BEF EF BEF EF BF F EF BF BEF⊂⎧⎪⊂⎪⎨⋂=⎪⎪⊄⎩平面平面平面，所以平面//APD 平面BEF . （2）设E 到平面ABCD 的距离为h∵PA ⊥面ABCD ，E 是PC 的中点∴112h PA == ()1112212222CBD ABD ABCD S S S =-=+⨯-⨯⨯=梯形△△ ∴1233B CDE E CBD CBD V V S h --==⨯=△ ∴三棱锥B CDE -的体积为23【点睛】方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查棱锥的体积公式，考查学生计算能力，证明面面平行的一般方法如下：1.如果一个平面内有两条相交直线与都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 x + 2, 12. (本小题满分15分)已知 f ( x) = 2(1 − x) ⑴求 f2004 (
0 x 1 <x 2
1 2 ，定义 fn ( x) = f ( f (· · · f ( x) · · ·))，n ∈ N∗ . 1 n个 f
2 2
(B) 6种
(C) 8种
(D) 16种
解：设 x − y = 2008，可得( x + y)( x − y) = 2008，又 x + y与 x − y同奇同偶，可知 x + y与 x − y的值分别 为−2、−1004；2、1004；−1004、−2；1004、2；−4、−502；502、4；−502、−4；4、502. 再解出 x和y的 值可知答案为C 4. 已知 f ( x)是定义在R上的不恒为0的函数。如果对于任意的a、b ∈ R都满足 f (ab) = a f (b) + b f (a)， 则函数 f ( x) (A) (A) 是奇函数 (C) 既是奇函数，又是偶函数 (B) 是偶函数 (D) 既不是奇函数，也不是偶函数
2. 函数 f ( x) = log 1 ( x2 − 2 x − 3)的单调递增区间是(A) (A) (−∞, −1) (B) (−∞, 1) (C) (1, +∞) (D) (3, +∞)
解：函数的定义域是(−∞, −1) ∪ (3, +∞)，利用复合函数的单调性可得正确答案为A 3. 把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有(C ) (A) 4种
高一数学竞赛试题 第 3 页（共3页）
0}， B = { x|10 x
2 −2
= 10 x }，则A ∩ R B 是(D) 2} (D) ∅
(C) { x| x
解：显然，A = {2}， B = { x|10 2且 x −1} = ∅.
2
= 10 x } = { x| x2 − 2 = x} = {2, −1}，所以A ∩ R B = {2} ∩ { x ∈ R| x
非 空 子 集 的 全 体 做 成 的 集 合 Y 到 Y 自 身 的 满 射 ， 记 X 的 非 空 子 集 为 A1 ， A2 ， A3 ， · · · ， An ， 其 n n 1∑ 1 ∑ ′ 中n = 2100 − 1，则特征的平均数为 m ( Ai ) = [m(Ai ) + m(A′ i )]，由 A中的最大数与 A 中的最 n i=1 2n i=1 小数的和为101，A中的最小数与A′ 中的最大数的和也为101，故m(Ai ) + m(A′ i ) = 202，从而特征的 1 平均数为 × 202 · n = 101. 2n
2 )； 15 ⑵设 B = { x | f15 ( x) = x, x ∈ [0, 1]}，求证： B中至少含有9个元素。 2 2 1 19 2 19 19 11 2 11 11 解：⑴ f1 ( ) = + = ， f2 ( ) = f ( ) = 2(1 − )= ， f3 ( ) = f ( ) = 2(1 − )= 15 15 2 30 15 30 30 15 15 15 15 8 2 8 8 14 2 14 14 2 2 ， f4 ( ) = f ( ) = 2(1 − ) = ， f5 ( ) = f ( ) = 2(1 − ) = ，故 fn ( )的周期为5， 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 2 14 2 . 所以 f2004 ( ) = f4 ( ) = 15 15 15 2 19 11 8 14 ⑵设A = { , , , , }，由⑴可知，对∀a ∈ A， f5 (a) = a，所以 f15 (a) = a，从而A ⊆ B. 15 30 15 15 15 2 2 2 再由 f ( ) = 知 ∈ B. 3 3 3 1 1 1 设C = {0, , 1}，由 f (0) = ， f ( ) = 1， f (1) = 0知，对∀c ∈ C ， f3 (c) = c，所以 f15 (c) = c，从 2 2 2 而C ⊆ B. 2 19 11 8 14 2 1 所以{ , , , , , , 0, , 1} ⊆ B，所以 B中至少含有9个元素。 15 30 15 15 15 3 2
高一数学竞赛试题 第 1 页（共3页）
π π 1 ) − m 在[0, ] 上有两个零点，则m的取值范围为 [ , 1) 6 2 2 π π 解：做出函数 f ( x) = sin(2 x − ) 在[0, ] 上的图像，再考虑直线y = m与其交于两点，可知答案 6 2 1 是[ , 1). 2 1 2 7. 已知二次函数 f ( x)满足 f (−1) = 0，且 x f ( x) ( x + 1)对一切实数x恒成立，那么，函数 f ( x)的 2 2 ( x + 1) 解析式为 f ( x) = 4 1 2 ( x + 1)中的 x = 1可得 f (1) = 1，设 f ( x) = ax2 + bx + c，则a − b + c = 0，a + b + c = 解：由 x f ( x) 2 1 1 1 1 1 1 f ( x)恒成立即ax2 − x + − a 0恒 1，所以b = ，c = − a，即 f ( x) = ax2 + x + − a， x 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 成立，所以a > 0且∆ 0，也就是a > 0且∆ = − 4a( − a) = (2a − )2 0，从而得a = ，利 4 2 2 4 1 2 1 1 ( x + 1)2 用 f ( x) ( x + 1)同样可得a = ，所以a = ，所以 f ( x) = . 2 4 4 4 6. 已知函数 f ( x) = sin(2 x − 8. 已知 f ( x)是定义在R上的函数， f (1) = 1且对任意 x ∈ R都有 f ( x + 5) 若g( x) = f ( x) + 1 − x，则g(2014) = 1 f ( x) + 5， f ( x + 1) f ( x ) + 1。
11. (本小题满分15分)设X = {1, 2, 3, · · · , 100}，对X 的任一非空子集 M ， M 中的最大数与最小数的和 成为 M 的特征，记为m( M )，求X 的所有非空子集的特征的平均数。 解：设A X ，令 f : A −→ A′ ，其中A′ = {101 − a|a ∈ A}，显然A′ X ，于是 f : A −→ A′ 是X 的
解 ： 由 已 知 可 知 ，g( x + 5) = f ( x + 5) + 1 − ( x + 5)， 所 以g( x + 5) + ( x + 5) − 1 = f ( x + 5) f ( x ) + 5 = f ( x) + 1 + 4 再 由 f ( x + 1) 以g( x) g( x + 4) f ( x + 1) + 4 = g( x + 1) + ( x + 1) − 1 + 4， 即g( x + 5) g( x) + x − 1 + 1， 即g( x + 1) g( x + 1)， g( x)， 所
f ( x) + 1可 得g( x + 1) + ( x + 1) − 1 g( x + 3) g( x + = g( x + 1)，即函数g( x)的周期
是1，又g(1) = f (1) + 1 − 1 = 1，所以g(2014) = g(1) = 1. 三. 解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本小题满分15分)函数 f ( x) = a2 x + 2a x − 1 (a > 0, a 1)在区间[−1, 1]上的最大值为14，求a的值。 1 解：设a x = t，y = t2 + 2t − 1，当a > 1时，t ∈ [ , a]，函数为增函数，即t = a时y有最大值14，所 a 1 以a2 + 2a − 1 = 14，又a > 1，所以a = 3. 同样可得当0 < a < 1时a = . 3 10. (本小题满分15分)求函数 f ( x) = √ √ 8 x − x2 − 14 x − x2 − 48 的最大值和最小值。 √ √ √ √ √ 解：显然，函数的定义域为[6, 8]，由 f ( x) = 8 x − x2 − 14 x − x2 − 48 = 8 − x( x − x − 6) = √ √ 6 8−x 可知其为减函数，所以函数的最大值为 f (6) = 2 3，最小值为 f (8) = 0. √ √ x+ x−6
解：令a = b = 1可知 f (1) = 0，令a = b = −1可知 f (−1) = 0，所以 f (− x) = − f ( x) + x f (−1) = − f ( x)， 所以答案是A 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. − − − → − − − → → 5. 已知O、A、 B 是平面上不共线三点，向量OA = → a ，OB = b ，设P为线段AB垂直平分线上任意 → − → − − − → − − − − 一点，向量OP = → p 。若|→ a | = 5 ，| b | = 3 ，则→ p · (→ a − b )的值是 8 → − → − − − → 1→ − − → − − → − − → − − → − − → − − → − − → − − 解：利用 MP⊥AB以及OM = (− a + b )可知→ p · (→ a − b ) = OP · BA = (OM + MP) · BA = OM · BA = 2 1→ 1 −2 → 1 → − → − −2 − (− a + b ) · (→ a − b ) = (→ a − b ) = (25 − 9) = 8 2 2 2