高中数学_2.3.1圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_圆教学设计学情分析教材分析课后反思
效果分析1、本节课首先复习了直线与圆，然后通过学生比较熟悉的例子，引入主题，从而引入课题，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣，使学生为了正确的认识圆及其应用，达到了预期的教学效果。
2、针对圆的代数角度和几何角度入手，本节课结合实例给学生直观解释，也使学生自然而准确地接受知识。
3、本节课总共设置两个探究题，通过学生自主探究、合作释疑，参与知识形成的过程，体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。
课后反思利用课前预习和小组讨论，渲染生活中的圆例子，预设教学过程中所实施的教学方式的有效性、学生接受程度和学习状况，从而随时调整教学行为，反思、改善和完善教学方式。
在具体的教学过程中，指导学生的探究过程，鼓励学生勇敢提出自己的疑问，合作探究圆的标准方程的过程，培养学生自主学习和合作探究的能力。
通过评价量规、反思日记、自评互评等检查学生的理解和掌握程度，鼓励勇于尝试，进一步培养学生的自主学习能力。
通过限时小测、多媒体和反思日记展示学生的探究成果，监测学生的圆标准方程的理解程度，为教学提供更有效的策略解决方案。
1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数． (1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB |＝2r 2－d 2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|. (2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .②代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二4、 解决有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且r 2＝⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2；(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k≠0)．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形．易错防范(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.达标检测1．(2018·安徽江南十校联考)直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是()A．[－2，2]B．[－22，22]C．[－2－1，2－1]D．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2＝|m ＋1|2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则|m ＋1|2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.2．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定解析：选A.因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2，0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．3．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( ) A ．{1，－1} B ．{3，－3}C ．{1，－1，3，－3}D ．{5，－5，3，－3}解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1，外切时，|a |＝3，所以实数a 的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选D.圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2； 圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1， 所以圆心C 2(2，1)，半径长r 2＝1.所以d ＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝13，r 1＋r 2＝3， 所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．5．(2018·兰州市诊断考试)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，322 B.⎝⎛⎭⎫322，32C.⎝⎛⎭⎫32，332 D.⎝⎛⎭⎫332，32解析：选D.设P (a ，b )为圆上一点，由题意知，AP →·BP →＝0，即(a ＋t )(a －t )＋b 2＝0，a 2－t 2＋b 2＝0，所以t 2＝a 2＋b 2＝|OP |2，|OP |max ＝2＋1＝3，即t 的最大值为3，此时k OP ＝33，OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P ⎝⎛⎭⎫332，32.6．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，因为圆心(0，3)到l 的距离d ＝33＝1，所以所求弦长＝2r 2－d 2＝27－1＝2 6. 答案：267．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：因为∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 答案：45π8.如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：如图，先求出点B 的坐标，进而求出圆C 在点B 处的切线方程，再求切线在x 轴上的截距．令(x －1)2＋(y －2)2＝2中的x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x＋2＋1.令y ＝0，解得x ＝－2－1，故所求截距为－2－1. 答案：－2－19．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)过切点A (4，－1)；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直．解：(1)因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22， 所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42，所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.1．(2018·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0，1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125 解析：选A.因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3.由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 2．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为________．解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b2＝⎝⎛⎭⎫a 29＋4b 29⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b 2的最小值为1.答案：13．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆． (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径 r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 4．(2018·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)设圆心C (a ，0)(a >－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．学情分析学生在已经学习了高中学期的高中课程所有内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。
高中数学_圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
4.1.1圆的标准方程【学习目标】（1）会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;（2）能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;【学习重点】圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。
【学习难点】由已知条件求圆的标准方程；判定点和圆的位置关系【知识链接】1.初中圆的定：。
2.在平面直角坐标系中，确定一条直线，和也确定一条直线。
【学习过程】探究一：圆的标准方程思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中，根据初中学习的圆的定义，如何用集合语言描述以点A为圆心，r为半径的圆？思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？思考3:设圆心坐标为A(a，b)，圆半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义，圆心为A的圆的集合表示：P = { M | |MA| = r }，那么点M的坐标x，y应满足什么关系？。
思考4:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上,则点M 的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2；反之,若点M(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2，那么点M一定在这个圆上吗？新知圆的标准方程：。
思考5:那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？思考6:以原点为圆心,1为半径的圆称为单位圆,那么单位圆的方程是什么？例题一：1、圆心为 A(2，-3)，半径长等于5的圆的方程为（ ）A (x – 2 )2+(y – 3 )2=25B (x – 2 )2+(y + 3 )2=25C (x – 2 )2+(y + 3 )2=5D (x + 2 )2+(y – 3 )2=52、圆 (x －2)2+ y 2=2的圆心C 的坐标及半径r 分别为（ ）A C （2，0） r = 2BC （ – 2，0） r = 2C C （0，2） r =2D C （2，0） r = 23、已知M(5，-7)和圆 (x – 2 )2+(y + 3 )2=25 ，则点M 在 （ ）A 圆内B 圆上C 圆外D 无法确定探究二：点与圆的位置关系思考7:在平面几何中，初中学过点与圆有哪几种位置关系？ 如何确定的思考8:在初中平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？思考9:在直角坐标系中,已知点M(x 0，y 0)和圆C ：222()()x a y b r -+-=,如何判断点M 在圆外、圆上、圆内？思考题：集合{(x ，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r 2}表示的图形是什么？探究三：圆的标准方程的应用例1 已知圆心为C 的圆经过点A (1, 1)和B (2, －2)，且圆心C 在直线上l ：x －y +1=0，求圆心为C 的圆的标准方程．思考10：求圆的标准方程方法有哪些?变式： 的三个顶点的坐标分别A(5,1)、B(7,－3)、C(2,－8)，求它的外接圆的方程．学情分析圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。
高中数学_2.3.1圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
课后反思一、本课的亮点1.新课导入在数学教学中，教师要精心创设问题情境，激起学生对新知识的学习热情，拉近学生与新知识的距离，为学生的学习做好充分的心理准备。
本节课是学生初中已经在学习了圆的基本性质以及上一单元已经学习了直线方程的基础上，通过类比推导出圆的标准方程的。
对于这节课，我采取的创设情境的方法是：生成问题式。
即通过复习直线方程的相关知识和初中圆的定义引导学生发现运动过程中的不变量，进而推导公式，并灵活应用。
2.选取典型例题新授课的教学过程中，最难把握的就是教学的难度问题。
近年来，高考试题的难度逐渐趋于平稳，教学上如何应对?我个人认为抓好“双基”不放松是前提和基础；通过典型例题分析,使学生能把基本知识牢固掌握。
抓住重点，加深理解，强化记忆。
这要求教师在授课过程中防止简单的重复，反对一讲到底，而是遵循合作探究的原则，使学生融入到课堂中做到讲——练——评结合。
既要教学生基本知识，同时又对方法提炼总结强化训练，使学生在答题时做到灵活运用，触类旁通，举一反三。
3.通过学生活动引领教学体验来源于生活，又扎根于内心，学生参与到知识的形成过程中去，才能获得更好的学习效果. 精彩的课堂一定是师生交流,教学相长的。
在教学中我注重以问题引导学生的思考，让学生在交流和思考中感悟、体验、讨论、交流、深化知识，同时培养学生自主合作、分析探究问题的能力。
4.科学巧妙地设计问题，重视及时有效的评价。
好的设问可以激发学生的思维，培养学生的创新精神。
教师可以用恰当的“问题”激起学生思维的浪花，使他们于“无疑”处生“疑难”，产生新奇感和探索感，主动探索自己在解题的过程过程中遇到的问题，使思维向新的广度和深度发展，在合作和分享中扩展自己的经验，在自主探究和独立思考的过程中实现知识的内化.“罗森塔尔效应”告诉我们，鼓励和信心的教育作用是不可忽视的。
高三学生面临高考,有比较大的学习压力,非常重视老师的评价。
所以课堂上我注意认真倾听学生的发言，对学生的活动作出及时的评价，给予学生适当地肯定和鼓励；拿起表扬的武器，帮助学生维持积极的情绪，树立我能行的信心。
2.3.1圆的标准方程教案教师版
§2.3 圆的方程2．3.1 圆的标准方程学习要求1．理解圆的定义及圆的标准方程的形式，会求圆的标准方程2．理解点与圆的位置关系，并会判断点与圆的位置关系3．掌握求曲线方程的一般步骤学法指导通过运用圆的定义及两点间的距离公式，探究出圆的标准方程；通过应用圆的标准方程解决实际问题，培养观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力.填一填:知识要点、记下疑难点1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于 定长 的点的轨迹．确定一个圆的条件：(1) 圆心 ；(2) 半径2．方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2是以点 (a ，b) 为圆心， r 为半径的圆的方程，叫做圆的 标准方程 ．3．点和圆的位置关系有3种，圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，点M(x 0，y 0)：(1)点在圆上：(x 0－a)2＋(y 0－b)2 ＝ r 2；(2)点在圆外：(x 0－a)2＋(y 0－b)2 > r 2；(3)点在圆内：(x 0－a)2＋(y 0－b)2 < r 2.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面直角坐标系中，已知两点能确定一条直线，已知一点及倾斜角也能确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆呢？直线能用二元一次方程表示，圆也能用一个方程表示吗？这些就是本节我们要探讨的问题． 探究点一 圆的标准方程问题1 圆是怎样定义的？答：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点就是圆心，定长就是半径．问题2 圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？答：圆心和半径；圆心：确定圆的位置，半径：确定圆的大小．问题3 设圆的圆心为A(a ，b)，半径为r.M(x ，y)为圆上任意一点，那么点M 满足什么条件？答：|MA|＝r.问题4 对问题3中点M 满足的条件，若用坐标表示并化简将得到怎样的等式？答：由|MA|＝r ，得－2＋－2＝r ，化简可得：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.问题5 如何说明(x －a)2＋(y －b)2＝r 2就是圆心坐标为A(a ，b)，半径为r 的圆的方程？答：若点M(x ，y)在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适合方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，反之，若点M(x ，y)的坐标适合方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，这就说明点M 与圆心A 的距离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．小结：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2是以点A(a ，b)为圆心，r 为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程．问题6 在平面直角坐标系中，点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的关系如何判断？答若(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2，则点在圆外；若(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，则点在圆上；若(x 0－a)2＋(y 0－b)2<r 2，则点在圆内.探究点二 圆的标准方程的应用问题 从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？答：在圆的标准方程中，含有三个参数分别是a ，b ，r ，因此求圆的标准方程需要三个已知条件．例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)圆心在点C(－2,1)，并过点A(2，－2)；(2)圆心在点C(1,3)，并与直线3x －4y －6＝0相切； (3)过点(0,1)和点(2,1)，半径为 5.解：(1)所求圆的半径r ＝|CA|＝＋2＋－2－2＝5. 因为圆的圆心为(－2,1)，所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝25.(2)因为直线3x －4y －6＝0是所求圆的切线，所以圆心(1,3)到这条直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，有r ＝|3×1－4×3－6|32＋42＝155＝3.所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9. (3)设圆心坐标为(a ，b)，则圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝5，已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋－2＝5－2＋－2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1b 1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝3.因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5或(x －1)2＋(y －3)2＝5. 小结：求圆的标准方程就是将已知条件与圆心坐标及圆半径建立联系，从而求出圆心坐标及圆半径．跟踪训练1 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且这个圆经过点A(6,1)，求该圆的标准方程．解：因圆与y 轴相切，则可设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝a 2 ，又圆心在直线x －3y ＝0上，∴a ＝3b.又点A(6,1)在圆上，∴(3b －6)2＋(b －1)2＝9b 2，解得b ＝1或b ＝37，∴a ＝3或a ＝111.因此圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝1112.例2 求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程．解：方法一 直线AB 的斜率k ＝5－01－6＝－1，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1.AB 的中点的横坐标和纵坐标 分别为x ＝6＋12＝72，y ＝0＋52＝52.因此，直线m 的方程为y －52＝1⎝⎛⎭⎫x －72，即x －y －1＝0.又圆心在直线l 上， 所以圆心是直线m 与直线l 的交点．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝02x －7y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2.所以圆心坐标为C(3,2)， 又半径r ＝|CA|＝13，则所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.小结：(1)待定系数法求圆的标准方程具体步骤为：首先设出圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，再根据题设条件列出关于a 、b 、r 的方程(组)，然后解方程(组)求得a 、b 、r 的值，即可写出圆的标准方程．(2)几何法求圆的标准方程，即利用圆的几何性质(弦的性质，切线的性质)来直接求得圆心坐标及半径．几何法体现了数形结合的思想，思路简洁明了，具有一定的技巧性．跟踪训练2 已知两点M(3,8)和N(5,2)．求以MN 为直径的圆C 的标准方程．解：方法一 设圆心C(a ，b)，半径为r ，则由C 为MN 的中点得a ＝3＋52＝4，b ＝8＋22＝5， 由两点间的距离公式得r ＝|CM|＝－2＋－2＝10，∴所求圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.例3 赵州桥的跨度是37.02 m ，圆拱高约为7.2 m ，求这座圆拱桥的拱圆方程(精确到0.01 m)．解：如图是拱桥的示意图．以AB 的中点为原点，x 轴通过AB 建立直角坐标系．根据已知条件，B ，C 的坐标分别为(18.51,0)，(0,7.2)，设圆心的坐标为(0，b)，则圆的方程为x 2＋(y －b)2＝r 2. 下面用待定系数法求b 和r 2的值．因为B ，C 都在圆上，所以它们的坐标都满足这个方程，于是得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 18.512＋b 2＝r 2－2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b≈－20.19r 2≈750.21. 因此，圆拱桥的拱圆的方程近似为x 2＋(y ＋20.19)2＝750.21.小结：本题是用解析法解决实际问题．解析法解决实际问题的步骤为：建系、设点、列式、计算、总结．跟踪训练3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l 位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？解：以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A 、B ，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r ，则C(0，－r)，即圆的方程为x 2＋(y ＋r)2＝r 2. ①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r －2)2＝r 2，∴r ＝10.∴圆的方程x 2＋(y ＋10)2＝100. ②当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x 0，－3) (x 0>0)，将A′的坐标(x 0，－3)代入方程②得x 0＝51，∴水面下降1米后，水面宽为2x 0＝251米．练一练：当堂检测、课堂更高效1．圆心是O(－3,4)，半径长为5的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝252．下面各点在圆(x －1)2＋(y －1)2＝2上的是( )A ．(1,1)B ．(2,1)C ．(0,0)D ．(2，2)3．圆心在直线y ＝x 上且与x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为__________________．解析：设圆心为P(a ，a)，而切点为A(1,0)，则PA ⊥x 轴，∴a ＝1.故方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.4．写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断M 1(5，－7)，M 2(－5，－1)是否在这个圆上． 解：圆心是A(2，－3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.把M 1(5，－7)的坐标代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，左右两边相等，点M 1的坐标适合圆的方程，所以点M 1在这个圆上；把M 2(－5，－1)的坐标代入方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，左右两边不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以M 2不在这个圆上．课堂小结：1．圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝m.当m>0时，表示圆心为C(a ，b)，半径为m 的圆；当m ＝0时，表示一个点C(a ，b)；当m<0时，不表示任何图形．2．确定圆的方程的方法及步骤：(1)直接代入法：根据已知条件求得圆心坐标和半径，直接写出圆的标准方程．(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2；第二步：根据条件列方程组求得待定系数a ，b ，r ；第三步：将求得的值代入所设的方程中去，得到所求圆的标准方程．3．在具体问题的求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心；半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)．。
2.3.1圆的标准方程
2.3.1圆的标准方程课程学习目标［课程目标］目标重点：圆的标准方程及其推导.目标难点：根据已知条件求圆的标准方程.［学法关键］1．根据圆的定义，借助于两点间的距离公式自己推导出圆的标准方程，并且认清方程的特点.2．根据圆的标准方程，能够正确地写出圆心的坐标和半径长. 求圆的标准方程，关键是确定圆的圆心和半径长，可以采用直接代入法或待定系数法求解.研习点1．圆的标准方程1．已知圆心C(a，b)，半径为r，则圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2.2．当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为x2+y2=r2.3．圆的标准方程的优点在于明确地指出了圆心和半径.研习点2．点与圆的位置关系给出点M1(x1，y1)和圆C：(x－a)2+(y－b)2=r2，通过比较点到圆心的距离和半径r的大小关系，得到：（1）若点M1在圆C上，则有(x1－a)2+(y1－b)2=r2；（2）若点M1在圆C外，则有(x1－a)2+(y1－b)2>r2；（3）若点M1在圆C内，则有(x1－a)2+(y1－b)2<r2.研习点3．确定圆的方程的方法和步骤1．圆的标准方程中含有三个参变数，必须具备三个独立的条件；才能定出一个圆的方程，当已知曲线为圆时，一般采用待定系数法求圆的方程。
2．求圆的标准方程的一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解此方程组，求出a、b、r的值；（4）将所得的a、b、r的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的标准方程.题型1．直接法求圆的标准方程例1．求满足下列条件的圆的标准方程：（1）圆心在(3，4)，半径为5；（2）圆心在原点，半径为1.解：（1）(x－3)2+(y－4)2=25；（2）x2+y2=1，此圆也称为单位圆。
题型2．用待定系数法求圆的标准方程例2．求经过两点A(－1，4)、B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.解法一：设圆心C(a，b)，圆心在y轴上，，所以a=0.设圆的标准方程是x2+(y－b)2=r2.因为该圆经过A(－1，4)、B(3，2)两点，所以222222(1)(4)3(2)b r b r ⎧-+-=⎨+-=⎩，解得2110b r =⎧⎨=⎩， 所以圆的方程是x 2+(y －1)2=10.题型3．判断点与圆的位置关系例3．已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程，并判断M (6，9)和N (5，3)是在圆上、圆外，还是在圆内？解：由已知得圆心坐标为C (5，6)，半径r 的平方为r 2=10所以圆的方程为(x －5)2+(y －6)2=10，将M ，N 点的坐标代入方程得(6－5)2+(9－6)2=10，(5－5)2+(3－6)2<10，所以点M 在圆上，点N 在圆内.【教考动向·演练】1．圆(x －1)2+(y +1)2=2的周长是（ C ）（A ）2π （B ）2π （C ）22π （D ）4π2．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是（ C ）（A ）x 2+y 2=25 （B ）x 2+y 2=5（C ）(x －3)2+(y －4)2=25， （D ）(x +3)2+(y +4)2=25，3．已知圆心在P (－2，3)并且与y 轴相切，则该圆的方程是（ B ）（A ）(x －2)2+(y +3)2=4 （B ）(x +2)2+(y －3)2=4（C ）(x －2)2+(y +3)2=9 （D ）(x +2)2+(y －3)2=94．过点A (1，－1)，B (5，6)且圆心在直线x +y －2=0上的圆的方程为（ C ）（A ）(x －3)2+(y +1)2=4 （B ）(x +3)2+(y －1)2=4（C ）(x －1)2+(y －1)2=4 （D ）(x +1)2+(y +1)2=45．以(A (－1，2)，B (5，6)为直径端点的圆的方程是 。
高中数学_圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计1.突出重点，抓住关键，突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点.2.学生主体，教师主导，探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的.3.培养思维，提升能力，激励创新为了培养学生的理性思维，我分别在问题一和问题四中，设计了两次由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，我利用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，使能力与知识的形成相伴而行.学情分析学生初识《解析几何》，解析几何是通过建立直角坐标系把几何问题用代数方法解决的学科，对学生来说非常新鲜。
圆是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，对学生来说，很感兴趣。
推导圆的标准方程的方法对圆锥曲线、双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习椭圆、双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础，对学生来说，学习方法很重要。
主要运用引导、启发、情感暗示等隐性形式来影响学生，多提供机会让学生去想、去做，给学生自己动手、参与教学过程、发现问题、讨论问题提供了很好的机会。
这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的能力。
效果分析1、让学生在掌握圆的标准方程探究方法的基础上，能够自我总结形成公式探究的一般方法。
2、激发学生的探究欲望，通过学生的切身体验，来发现决定圆的要素圆心和半径，让学生明确一个圆对应一个方程，在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,由学生自主探究推导出圆的标准方程。
人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计
人教版高中必修2(B版)2.3.1圆的标准方程教学设计教学目标1.掌握圆的标准方程的概念及其应用。
2.能够通过已知圆心坐标和半径求解圆的标准方程。
3.能够利用圆的标准方程解决实际问题。
教学重点1.圆心坐标及半径的概念。
2.圆的标准方程的推导及应用。
3.实际问题的解决。
教学难点1.圆的标准方程的推导。
2.实际问题的解决。
教学准备1.教学PPT。
2.教案。
3.圆板、圆规、直尺等几何工具。
4.笔、纸等文具。
教学步骤步骤一：引入通过PPT展示圆的图片及其应用场景，引出本次授课的主题：圆的标准方程。
让学生了解圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
步骤二：概念讲解1.通过PPT讲解圆心的概念，引导学生认识圆心在圆上的位置关系，并在黑板上画出圆心的示意图。
2.通过PPT讲解半径的概念，引导学生从几何角度认识“半径”这个概念，并在黑板上画出半径的示意图。
3.通过PPT介绍圆的标准方程的概念及应用场景，引导学生了解这一概念与几何学中圆的相关问题的解决有着密切的联系。
步骤三：标准方程的推导1.通过PPT讲解圆的标准方程的定义，即：以圆心为原点，半径为r的圆所对应的点的坐标满足x^2 + y^2 = r^2，引导学生根据定义推导出圆的标准方程的数学表达式。
2.在黑板上进行推导，让学生理解标准方程的求解过程。
步骤四：标准方程的应用1.引导学生使用标准方程求解已知圆心坐标和半径的圆的方程。
2.调动学生的学科知识，结合相关实例进行讲解，让学生感知标准方程在解决实际问题中的应用。
3.引导学生掌握使用标准方程解决实际问题的基本方法和技巧，以及提高学生对几何思维的理解和应用能力。
教学方法1.让学生主动参与课堂讨论，边讲解边呈现相关习题和实际问题的解决方案。
2.引导学生多思考、多探究，开展适当形式的小组活动，提高学生的动手实践能力。
3.针对学生的不同程度，采取灵活多样的教学方法，如“三人小组集训法”，“错题集法”，“比赛法”等等，使每位学生都能够有效参与课堂，并在圆的标准方程学习过程中有所收获。
人教版高中数学必修二教案：2.3.1 圆的标准方程
2.3.1 圆的标准方程一.三维目标:1.知识与技能:掌握圆的标准方程,会根据不同条件选择合适的方法(几何法或待定系数法)求圆的标准方程;能从圆的标准方程中直接读取它的圆心和半径;会判断点和圆的位置关系;能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题.2.过程与方法:经历圆的标准方程的探究过程,体验数形结合、化归等数学思想方法在问题解决中的运用;培养学生的观察、比较、分析、概括、批判等思维品质;借助实例体会科学的探究方法.3.情感、态度与价值观通过合作交流,自主探究,提高数学学习的兴趣,激发求知欲,培养科学精神,需要.)二.知识生发:1.问题情境(1)如何用轨迹的观点描述圆?平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.定点是圆心,定长为半径.(2)如何建立以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程?2.圆的标准方程(图1)(1)以C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程为_________________.(x-a)2+(y-b)2=r2①如何求曲线方程(轨迹问题)②(x2+y2−1)(x−2)=0是以原点为圆心,半径为1的圆的方程吗?一个方程是圆的方程,需明确两点:其一,…;其二,…③圆的标准方程的特点(2)圆心在坐标原点,半径为r的圆的标准方程为_________________.x2+y2=r23.点和圆的位置关系(图1、2、3)问题:研究P (x 0,y 0)和圆C :(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)的位置关系方法:比较P 点到圆心C 的距离d (P ,C )与半径r 的大小关系结论:①点P 在圆C 上⇔d (P ,C )=r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2=r 2;②点P 在圆C 内⇔d (P ,C )<r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2<r 2;③点P 在圆C 外⇔d (P ,C )>r ⇔(x 0−a )2+(y 0−b )2>r 2.4.圆划分平面区域(图1、2、3)①圆上点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2=r 2}②圆内点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2<r 2}②圆外点的集合:{(x ,y )|(x -a )2+(y -b )2>r 2}三.典例导引:例1.根据下列条件,求圆的方程:(1)圆心在C (−3,2),并过点A (1,−1);(2)圆心在点C (-3,2),并与直线4x −3y −7=0相切;(3)过点A (1,−1)和点B (0,−2),半径为5;(4)过点B (0,−2),D (−7,5),且圆心在直线l :x -3y +9=0上.赵州桥的跨度是2a2−b2m,圆拱高为a+b m,其中正数a,b 是常数.建立适当的坐标系,求这座圆拱桥的拱圆方程.(注:赵州桥坐落于河北省赵县洨河,建于隋炀帝大业年间,至今已有1400年的历史,是今天世界上最古老、+b四.精练掌控:3.设实数a,b,c,d,λ都是常数,若(ax−b)2+(cy−d)2=λ是某个圆的方程,则( )C(A)a=c=1,且λ>0(B)a=c≠0,且λ≠0(C)|a|=|c|≠0,且λ>0(D)acλ≠04.下列圆(其中a,b是常数,ab≠0)中,经过坐标原点的是( )D(A)(x−a)2+(y−b)2=a2(B)(x−a)2+(y−b)2=b2(C)(x−a)2+(y−b)2=a2+b2(D)(x−a)2+(y−b)2=a2+b25.半径为r,圆心在第四象限,并且与坐标轴都相切的圆是( )B(A)(x−r)2+(y−r)2=r2(B)(x−r)2+(y+r)2=r2(C)(x+r)2+(y−r)2=r2(D)(x+r)2+(y+r)2=r26.设点P(3,−6)到圆(x+3)2+(y−2)2=25上各点的距离为d,则d的最大值是( )C(A)5 (B)10 (C)15 (D)537.若曲线C的方程是(y2)(x−21+4y−y2+3)=0,则曲线C的长度为(A)10π(B)152π(C)5π(D)52π五.课堂小结:________________________________六.作业回馈:9.已知点A(−7,5),B(1,−1),以线段AB为直径的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2510.经过点A(−6,6),B(1,−1),C(0,−2)三点的圆的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2511.圆C过点(0,6)且与直线l1:x=2和l2:y=−3都相切,若使圆C的半径最小,则圆C的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2512.已知圆C:(x−2)2+(y+3)2=25,圆C′与圆C关于直线l:x−y=0对称,则圆C′的方程是________.(x+3)2+(y−2)2=2513.已知等腰三角形的顶点A(−3,2),一底角顶点B(2,2),则另一底角顶点C(x,y)的轨迹方程为________.(x+3)2+(y−2)2=25(x≠2且x≠−8)14.已知点A(−6,0),点P是圆x2+(y−4)2=100上的动点,M为线段PA的中点,当点P在圆上运动时,求动点M的轨迹方程. (x+3)2+(y−2)2=253,−6x 22。
高中数学_圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思
圆的标准方程知识技能目标：1、掌握圆的标准方程2、要求学生会根据方程写出圆心和半径，会根据条件求圆的标准方程情感态度价值观目标：1、培养学生学生积极参与，大胆探索的精神和意识，通过让学生体验成功，增强学习数学的信心2、树立转化、化归意识。
培养一定条件事务可以互相转化的辩证唯物主义观点。
数学思想数学方法：数形结合，方程思想，待定系数法，渗透求点的轨迹方程基本思路教学重点和难点：圆的标准方程以及根据已知条件求圆的方程教学方法：教法上本着“教师为主导，学生为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，主要采用问题探究式教学方法。
通过对圆标准方程的推导，渗透求点的轨迹基本思路。
通过几个例题，阶梯式练习，让学生在冲突中激发探索欲望；引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”懂到“悟”。
同时借助于多媒体，增强教学的直观性，提高课堂效率。
教学过程一、复习引入：1、圆的定义2、议一议:已知圆心的坐标和半径怎样求圆的方程？二、讲解新课：探究一：圆方程的推导1、若圆上任意点M(x, y)与圆心C (a,b)之间的距离为r，圆的方程是什么？自己动手尝试：总结提升：(1)圆心是C(a,b )，半径长为r 的圆的方程是:方程称为圆的标准方程。
(2)圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是:跟踪练习：1 你能快速说出下列圆的标准方程吗？（1）圆心C （-3，4），半径为5（2）圆心（2，-1），半径为32 说出下列圆的圆心、半径：（1） （2） （3） 典型例题分析一：根据下列条件,求圆的方程:(1)圆心在点C(-2,1),并过点A(2,-2);(2)圆心在点C(1,3),并与直3x-4y-6=0相切;(3)过点(0,1)和点(2,1),总结归纳：法一 1、求圆心；2、求半径；法二：设方程，列方程组。
()()()()()22222212431615x y x y x y -+-=++-=++=典型例题分析二：已知圆心为C的圆经过点 A（6，0）和B（1，5），且圆心C在直线l ：2x-7y+8=0上，求圆的方程.思路分析：法一：如何求圆心与半径？法二：设方程，列方程组怎么做？想一想，解方程组具体怎么进行？课堂练习写出圆心为 C（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M(5,-7)，M1,7) ，是否在这个圆上？2探究二点与圆的位置关系议一议:怎样判断点P（x0，y0）在圆222x a y b r-+-=内呢？还是在圆()()外呢？222-+-=⇔点P在圆上()()x a y b r222-+-<⇔()()x a y b r222()()-+->⇔x a y b r课堂提高：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程.小结：1、知识小结：本节课我们学习了：2、数学思想与方法小结：本节课我们用到的数学方法与思想有：3、本节课主要题型是：《圆的标准方程》学情分析前面刚刚学习了直线方程，所以学生对于通过联立直线方程解方程组求交点已经很熟悉了。
高中数学_圆的方程教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学设计】圆的标准方程_数学_高中__班级姓名组别代码评价【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P71-72,用红色笔对重点内容进行勾画；再针对导学案二次阅读并解决预习探究案中的问题；训练案在自习或自主时间完成。
2. 预习时可对合作探究部分认真审题，做不完或者不会的正课时再做，对于选做部分BC层可以不做。
3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题并记录下来，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。
2、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。
3.通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。
【学习重点】圆的标准方程【学习难点】圆的标准方程的推导【知识链接】1．两点间的距离公式？2．具有什么性质的点的轨迹称为圆？圆的定义？教师出示问题，学生点名回答【探究过程】问题1、阅读教材118页内容，回答问题已知在平面直角坐标系中，圆心A的坐标用（a，b）来表示，半径用r来表示，则我们如何写出圆的方程？教师做好引入，类比直线方程的求法，学生思考，尝试。
问题2、圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？当圆心在x轴时，圆的方程是什么？当圆心在y轴时，圆的方程是什么？学生板演，教师评价归纳小结：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．例1：写出下列各圆的方程：5(1)圆心在原点，半径是3； (2) 圆心在C(3,4)，半径是(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；学生板演，教师点评例2：写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) (x -1)2 + y 2 = 6 (2) (x +1)2+(y -2)2= 9(3) 222()()x a y a ++=学生板演，教师点评问题三、点M 0(x 0,y 0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r 2上、内、外的条件是什么？学生思考，回答，总结例3、已知圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=5；判断下列各点在圆上、在园外、在园内？（1）A （4，-5） （2）B （2,2） （3）C （4，4）【课堂小结】 我的疑问：（至少提出一个有价值的问题） 今天我学会了什么？【当堂训练】 （学生板演完成，教师或学生点评）1、课本120页练习1、 22、写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
圆的标准方程教学反思（精选3篇）
圆的标准方程教学反思身为一名刚到岗的人民教师，教学是我们的任务之一，教学的心得体会可以总结在教学反思中，教学反思我们应该怎么写呢？下面是小编为大家整理的圆的标准方程教学反思（精选3篇），希望对大家有所帮助。
圆的标准方程教学反思1圆的标准方程，这节内容我安排了两节课的时间，这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。
在平面解析几何中，我认为这节内容很重要，因为它的研究方法为以后学习圆锥曲线提供了一个基础模式，如果学生掌握得好，后面的学习会轻松许多。
由于我所面对的学生初中数学基础不是很好，所以提前复习了旧知识，之后我引入了生活中的一个常见问题引发学生的疑问，产生认知冲突形成学习的氛围，进而提高学生学习本节内容的兴趣。
圆的标准方程是求曲线方程的一个具体表现，但学生对圆的标准方程还是很陌生，难以将圆与圆的标准方程紧密联系起来。
基于此，我想通过学生的切身体验；来发现圆的决定要素，让学生明确一个圆对应一个方程，在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,由学生自主探究推导出以（2,3）为圆心，2为半径的圆的标准方程，再由特殊到一般，利用化归的思想归纳出以（a,b）为圆心,r为半径的圆心的标准方程。
并引导学生找出方程的特征，以帮助学生理解和记忆，及时掌握。
例题教学的设计，还是紧密围绕圆的标准方程这一目标展开，主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。
例题安排不多，但变式较多，变式的设计由特殊到一般，由简到繁，由浅入深，层层入深，让学生的思维得以提高,比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。
课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应该到达什么样的目标，题不多,很基础，主要是激发学生的兴趣和增强学习的自信。
整个教学设计，我的希望是以学生自主学习为主，所以很多问题都由学生独立思考或讨论完成，教师仅仅是一个引路人，让学生的主体地位得到充分体现，注重学生思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。
高中数学圆的标准方程教后反思
高中数学圆的标准方程教后反思高中数学圆的标准方程教后反思圆是平面解析几何的第二节内容，是在学生学习了直线的方程之后的又一曲线方程。
同学们在初中已经学习过圆的几何性质,因此本节课程的重点在于运用解析几何来体现圆的性质。
现在，我从以下几个方面来谈谈我对本节课的反思。
一、学习本节课的目的和意义本节课的目的是培养学生用坐标法研究几何问题的能力，增强学生用代数的方法解决几何问题的意识．圆的方程研究是基础，为后续研究位置关系作下铺垫．在高考考点要求中是C级要求，是必考内容，也是高考当中的热点和重点，需要掌握基础题型，并有很好的计算能力，才能解决好本节问题，综合体现了新课标下高考的要求，是非常重要的一节内容．二、教学流程首先，情景创设。
用多媒体播放生活中常见的圆形图片，而后让学生自己动手画圆，教师指出：不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程；从用圆规做图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的曲线方程的求解，应该如何建立圆的方程？其次，建构数学。
（学生推导）：如图，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为①把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2说明：①圆的标准方程特征②确定圆的标准方程的条件（这里有少数学生忘记了两点间的距离公式，教师给予了适当的点拨）再次，数学运用。
1.说出下列圆的圆心、半径⑴(x+1)2＋(y＋3)2＝2；（进一步分析圆标准方程的特征）⑵(x-1)2＋y2＝a2；(注意半径为，说明a=0是可看做圆的极限形式——点圆，引出当圆心在原点时圆的方程为x2+y2=r2,)2.求出满足下列条件的圆的方程⑴圆心在（2，-3）且经过坐标原点的圆的标准方程。
⑵半径为5，圆心为（2，-3）的圆的方程，（这一部分学生做得特别快，而且正确率特别高，我让学生自己上去讲，讲的脉络很清楚，不过还是有些用到的知识点没有讲到，我又做了点拨。
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.高中数学必修2 新授课导学案2.3.1圆的标准方程（一）学习目标：1.知识与技能目标:（1）理解并掌握圆的标准方程,会根据不同条件求得圆的标准方程，并从圆的标准方程中熟练地求出圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想，进一步提高学生的观察、比较、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题 3.情感、态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神； （2）树立事物之间相互联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。
（二）学习重点和难点：1．重点：圆的标准方程的推导以及根据已知条件求圆的标准方程。
2．难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
(三)学习过程： 一、课前准备复习回顾： 1.已知点),(),,(2211y x B y x A ，两点间的距离AB =___________ 。
2.已知点,直线,点A 到直线l 的距离为3.圆的定义：平面内到一_____的距离等于_____的点的轨迹是圆，_____是圆心，___是半径。
二、新课导学探究1：在平面直角坐标系中，求圆心为点C 、半径为r 的圆的方程。
( 思考:如何建立平面直角坐标系? )MC r新知1：圆的标准方程： _______ ，圆心为C（，），半径为。
写出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径.说明：y探究2：点与圆的位置关系试一试：写出圆心为C（0,0）半径为2的圆的方程，在平面直角坐标系中,画出此圆, 2并判断点与圆的位置关系。
1-2 -10 1 2 x新知2：判断点A(与圆C：()()222rbyax=-+-（r>0）的位置关系的方法：（1）点A在圆内 |CA| rA A A（2）点A在圆上 |CA| rC.（3）点A在圆外 |CA| r 三、新知应用例1：根据下列条件，求圆的标准方程：（1）圆心在点C(-2,1)，并过点A(2,-2)。
(2) 圆心在点C(1,3)，并与直线0643=--y x 相切。
（3）过点(0,1)和点(2,1)，半径为5。
小结：求圆的标准方程的方法例2：赵州桥的跨度约为 36米,拱高约为6米，求这座圆拱桥的拱圆方程。
四、课堂总结：归纳提升1、知识方面：2、数学思维方法：五、当堂检测：222222221(2,1)().(2)(1).(2)(1)2;.(2)(1).(2)(1)2A x yB x yC x yD x y -++-=++-=-++=-++=、以点2．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心为点(0,1),半径为2 (2)圆心为点(3,4),且过坐标原点课后作业：22222222C(-1,1)D(1,3)x ( )A.x (2)10;.(2)10;.(2)10;.(2)10y B x y C x y D x y +-=+-=++=-+=2、过点和点，且圆心在轴上的圆的方程为222222223(6,8),(0,0)()A.x 100;.25;.(6)(8)100;.(6)(8)100y B x y C x y D x y +=+=+++=-+-=、圆心为点且过点的圆的方程为2222222243(2,1)().(1)(1)3;.(2)(2)9;.(1)(1)9;.(2)(2)9y x A x y B x y C x y D x y =-++-=-++=-++=++-=、圆心在直线上，半径为，且过点的圆的方程为5.已知点A(1,2)在圆()()2222a a y a x =++-的内部，求实数a 的取值范围6．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心为点(0,1),半径为2 (2)圆心为点(3,4),且过坐标原点 （3）已知点A(2,3),B(4,9)，圆以线段AB 为直径 （4）圆心为坐标原点，且与直线01-24=+y x 相切（5）圆过点（0,1）和（0,3），半径等于1思考提升题：1.方程29x y -=表示什么曲线？2.已知实数y x ,满足方程()()63322=-+-y x ，求22y x +的最大值和最小值学情分析在初中，学生已经详细学习了圆的基础知识，掌握了圆的定义、确定圆的两要素、圆的周长和面积公式；详细研究过圆与直线、圆与圆的位置关系等知识。
对于圆的相关知识，学生是很熟悉的。
本节是高中数学人教B 版，必修2第二章《平面解析几何初步》第三节《圆的方程》第一课的内容。
本章是平面解析几何初步内容，学生首次在坐标系内探究几何图形对应的方程，用研究方程的代数方法研究几何图形。
在本章第一节中学生学习并掌握了两点间的距离公式,在上一节求直线的点斜式方程时，已经向学生渗透了求点的轨迹方程的基本思路，本小节在求圆的标准方程时，学生仍然需要加强对点的轨迹的理解。
在此基础上,继续探究圆的方程。
这节中,学生结合已学知识，把圆的几何条件转化为方程表示，进而导出圆的标准方程，由圆的标准方程，可直接写出圆的圆心坐标和半径长，突出确定圆的基本要素。
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径长，可以采用直接代入法或者待定系数法等。
待定系数法在必修1第二章重点学习过，学生已经熟练掌握。
总之，学生有了这些知识储备，接下来探究圆的标准方程，自然是“万事俱备”之势了。
当堂检测：222222221(2,1)().(2)(1).(2)(1)2;.(2)(1).(2)(1)2A x yB x yC x yD x y -++-=++-=-++=-++=、以点2．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心为点(0,1),半径为2 (2)圆心为点(3,4),且过坐标原点评测结果及分析:题目很基础,要求在5分钟内完成.实测43人,实交43人.第1题全对。
可见同学们对给出圆的2个要素，写出圆的标准方程掌握的不错。
第2题有2个小题，第1小题全对。
第2小题，有个别同学过程不完整，欠规范，需要下节课强调下正确使用数学符号语言、规范书写解题过程。
由于题目比较基础，学生完成较好。
基本掌握了求圆的标准方程的方法。
对于比较综合的问题，还需要多练习，力求更加熟练，待完成课后作业后，结合做题情况，做进一步的讲解和打算。
教材分析本节是高中数学人教B版，必修2第二章《平面解析几何初步》第三节《圆的方程》第一课的内容。
本小节重点是：圆的标准方程的推导以及根据具体条件正确写出圆的标准方程。
难点是：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
在初中，学生已经详细学习了圆的基础知识，掌握了圆的定义、确定圆的两要素、圆的周长和面积公式；详细研究过圆与直线、圆与圆的位置关系等知识。
对于圆的相关知识，学生是很熟悉的。
在求直线的点斜式方程时，已经向学生渗透了求点的轨迹方程的基本思路，本小节在求圆的标准方程时，仍然需要加强对点的轨迹的理解。
引导回顾，继续探究圆的方程。
引导学生根据两点间的距离公式把圆的几何条件转化为方程表示，进而导出圆的标准方程，由圆的标准方程，可直接写出圆的圆心坐标和半径长，突出确定圆的基本要素。
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径长，可以采用直接代入法或者待定系数法等求解。
在具体问题的解决中，应灵活运用圆的有关几何性质。
例1的3个小题，可以使用待定系数和几何法分别解决，对比各自的特点。
例2需要适当建系，进一步巩固求轨迹方程的方法。
体现了学习的综合能力。
当堂检测：222222221(2,1)().(2)(1).(2)(1)2;.(2)(1).(2)(1)2A x yB x yC x yD x y -++-=++-=-++=-++=、以点2．求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心为点(0,1),半径为2 (2)圆心为点(3,4),且过坐标原点课后自我反思首先，感谢组内老师们给我的支持与帮助，使得我这节课能够顺利完整的进行。
感谢专家领导听评课，使我受益匪浅。
本节课，有几个教学环节是我比较满意的：1、引入环节的设计。
结合祖国的重大科技突破，让学生油然而生民族自豪感。
嫦娥1号卫星绕月飞行轨道是圆形，问：如何时刻描述她的飞行位置？这样的发问，引起学生思考，很自然的切入本节主题。
2、推导圆的标准方程。
复习回顾圆的知识，并且结合求直线的点斜式方程，引发学生自行探讨如何在坐标系中求圆的方程，两种建系求方程完全学生思考并推导，我适当启发点拨，最后完成对比与统一。
3、例2中采用赵州桥作为数学知识的运用模型，介绍赵州桥的同时，也宣扬当前国际提倡的“环保”理念，再次引发民族自豪感。
4、例2解题，引导学生运用两种方法，突出本节数学思维的重点。
让学生结合解题过程，谈谈感想的时候，学生说：感觉到一题多解，可以从不同角度分析。
我借此激励学生：问题只有一个，可是解决问题的办法可以有很多种，只要我们勇于去思考去探索。
我觉得这样的顺势教导，让学生深有体会，心服口服，从而达到教学又育人的目的。
5、知识和数学思维方法的总结提升。
以打油诗的形式提醒。
学生读起来朗朗顺口，便于记忆和使用。
让数学课堂变得活泼起来了。
我感觉不足之处有以下几点：1、学生活动不够多样，参与活动的学生还太少。
由于学生数学基础比较薄弱太难的问题，还不敢抛给他们完全解决，所以，只能多次引导，小步慢走。
2、板书设计的不够好。
由于PPT占用了大半个黑板，所以，板书的地方有限，所以擦了写，写了擦，没能体现出本节课的内容简要。
以后，需要考虑全面，准备细致。
可以自备一个简易黑板。
总之，板书不全面，没有起到很好的概括和规范的作用。
3、语言需要多锤炼。
还需要更精炼准确。
以后应该多用心，让自己的语言表达能力进一步提高。
课标分析1、知识与技能目标：（1）理解并掌握圆的标准方程，会根据不同条件求得圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练求出她的圆心和半径；（2）运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法目标：（1）通过对圆的标准方程的推导，渗透数形结合、待定系数法等数学思想方法，进一步提高学生的观察、对比、分析、概括等思维能力；（2）学会借助实例分析探究数学问题。
3、情感，态度与价值观目标：（1）通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；（2）树立事物之间互相联系、相互转化的辩证唯物主义的观点。