解析几何经典例题

解析几何经典例题

圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。

一、椭圆定义的深层运用

例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1

解析：易知故

在中，

则点M的轨迹方程为。

二、双曲线定义的深层运用

例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

图2

解析：不妨设P点在双曲线的右支上，

延长F1M交PF2的延长线于N，

则，

即

在

故点M的轨迹方程为

三、抛物线定义的深层运用

例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3

解析：易知抛物线的准线l：，

作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”

则

即M到直线的最短距离为2

故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。

四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用

例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）

图4

②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线

D. 抛物线

解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，

而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|

即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝

故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点

长轴长为2的椭圆。应选B。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。

五、椭圆与双曲线定义的综合运用

例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。

①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；

②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

图5

解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，

即

故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点

实轴长为2的双曲线的一支，

其方程为；

②经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上

总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14

故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点

长轴长为28的椭圆，其方程为。

［练习］

1. 已知椭圆E 的离心率为e ，左、右焦点为F 1、F 2，抛物线C 以为焦点，为其顶点，若P 为两曲线的公共点，且，则e ＝__________。

答案：

2. 已知⊙O ：，一动抛物线过A （－1，0）、B （1，0）两点，且以圆的切线为准线，求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。

答案：

圆锥曲线中的方法与运算

1.

(与名师对话第51练) 已知抛物线221y x =-,点(2,0)A , 问是否存在过点A 的直线l ,

使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称,如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.

分析: 这是一个求变量(斜率k )的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k )相关的变量(根据题设寻找)的关系式(组), 显然,这个关系式(组)应由按题设揭示出的几何条件转换得到.

我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点,并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围.

解: 设直线l 的方程为(2)y k x =-,若0k =,则结论显然成立,即

0k =可取.若0k ≠,

则直线PQ 的方程为1y x m k =-+, 由方程组21,

21,

y x m k

y x ⎧

=-+⎪⎨⎪=-⎩

可得,22210y y kb +-+=.

∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴ 244(21)0,k kb =--+>即 2120k kb -+>. 设线段PQ 的中点为G(00,x y ), 则12

02

y y y k +=

=-, ∴ 212

0(

)()2

y y x k km k k km k km +=-+=--+=+, ∵ 点G(00,x y )在直线l 上, ∴ k -=2(2)k k km +-, 由 0k ≠可得,

21k m k

-=,

∴ 2

12k k -+2

1k k

-0>, 21k < (0k ≠) , ∴ 10k -<<或01k <<.

综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为1-1k <<.

2.

(与名师对话第51练)已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线

22x y =交于,A B 两点,

O 为原点,点 P 在y 轴的右侧且满足:11

22

OP OA OB =+.