矩阵论试题及答案

三．（10
分）在复数域上求矩阵
A
=

− −
4 4
2 3
10 7
的若当标准形
J
，并求出可逆
− 3 1 7
矩阵 P 使得 P −1 AP = J .
2 1 0
解：
A
的若当标准形
J
=

0 0
2 0
1 2

.
令 P = ( p1 , p2 , p3 ) ，则有
1 5

=
−
1 2 0

1
2
1
5

0 2


;

5

0


0


−
U=
1 2
0

1
2
1 5
0
−
2
5

0 2
1 2 0
0 1


;

5
5
0 −1
0
2


0


−
A=
1 2
0

1
P1−1
0 = P1 0
a
j
0 QE jj
Q
−1

P1−1
= ajP
0 0
0 E jj

P
−1
= a j P E jj P−1
(j
= 2,
, n).
由归纳原理知命题为真.
，求
A
的奇异值分解.
0
解答一：
AH
A
=
2 0
0 5
，
A
的奇异值为
2,
5;
Σ=
2
0
0

,
5
V
H
AH
AV
=
2
5
，V
=
1 0
0 1
;
0 U1 = AV Σ−1 = −01
1
1 1
02

0
2 0

0

0
=

−4 1
3 0
0 2

，则 h( A)
=
A5
−
3 A4
+
A3
+
3 A2
−
3A
=

4 −1
−3 0
0 −2

.
1 1+i 4． 设埃尔米特阵为 A = 1 − i 5
− i 0 5． 在 R3 中有下列两组向量：
i 0 ， 则矩阵 A 为 2
−4 −3
1 1
7 5

p3
=
p2
解得： p1 = (2, 1, 1)T ,
p2 = (0, 1, 0)T ,
2 0
p3 = (1, − 2, 1)T
,
P
=

1 1
1 0
1
−2 1

.
四.
（10
分）已知
X
=
x1

x
4
x2 x5
x x
3 6

，
f (X)
=
e x1 x6
bλ
+
cλ 2 ，则
a + 2b + 4c = 1
b + 4c = 0
⇒ a =1−π2 8,
2c = − π 2 16
b =π2 8,
c = −π 2 32 ;
sin(
π 4
A)
=
E
−
π2 32
(4E
−
4A
+
A2 )
=
E
.
令 eλ = q(λ )(λ − 2)3 + a + bλ + cλ 2 ，则
=
2 1
−1 −1
0 3
1 7
， V1 , V2 分别为齐次线性方程组
Ax = 0 ， Bx = 0 的解空间，则 dim(V1 ∩V2 ) = 1 .
n + (−1)n
8． 设 An =

n n+1
3n
(1 −
11 )n
n

(
2n 2n
+ −
1 1
)n

x1
=
0 1, x2
=
1 0
，V
=
0 1
1 0
;
再计算 AAH 的标准正交特征向量，解得分别与 5，2，0，0 对应的四个标准
正交特征向量
1
υ1
=

1
5
0 2

，υ
2
5 0
=
0
−1

2
0 1

0 2 1 0
0
0

2．
设
A
的若当标准型
J
=
0 0
0 0
2 0
0 −1
0 1
0 0

，则
A
的
最小多
项式
0 0 0 0 − 1 1


0 0 0 0 0 − 1
ψ m (λ ) = (λ + 1)3 (λ − 2)2 .
−1 1 0
1 −1 0
3．
设
A
+
sin( x2 x5 ) +
x3
x4
，求
df dX
.
∂f ∂f ∂f
解答： df
=

∂x1
dX ∂f

∂x4
∂x2 ∂f ∂x5
∂x3 ∂f ∂x6

=

x6
e
x1
x6
x3
x5 cos( x2 x5 ) x2 cos( x2 x5 )
3 1 −1
五.（10
2006 矩阵论试题答案
一．填空（每题 4 分，共 40 分） 2 − 3 8 2
1． 设 A = 2 12 − 2 12 ，则 A 的值域 R( A) = { y y = Ax, x ∈ R4 } 的维数 1 3 1 4
dim R( A) = 2 .
2 0 0 0 0 0
Ap1 = 2 p1 , Ap2 = p1 + 2 p2 , Ap3 = p2 + 2 p3 ;
−6 2 10 0 −6 2 10
−6 2 10

−4 −3
1 1
7 5

p1
=

00
,

−4 −3
1 1
7 5

p2
=
p1 ,

分）已知
A
=

−2 −1
0 −1
2 3

，求
sin(
π 4
A)
，
eA
.
x4 x e x1x6
1

.
解：| λ E − A | = (λ − 2)3 ， A 的最小多项式ϕ(λ) = (λ − 2)2 .
待定系数一：
令
sin
π 4
λ
= q(λ )(λ
− 2)2
+ a + bλ ，则 a + 2b = 1,
由若当分解
A1
=
P1
D1 0
0 0
P1−1
，其中
D1
∈
Cr×r
可逆;
当 j = 2, , n 时，由 A1Aj = Aj A1 = 0 可得
0 Aj = P1 0
0 Bj

P1−1
,
Bj ∈ C(n−1)×(n−1) (直接推出的 Bj 为 (n − r ) × (n − r ) 的)
正定的
埃尔米特阵.
α1 = ( −3, 1, − 2)T ，α2 = (1, − 1, 1)T ，α3 = ( 2, 3, − 1)T ；
β1 = (1, 1, 1)T ， β2 = (1, 2, 3)T ， β3 = ( 2, 0, 1)T ，
−6 −19 −1
则由α1 ,α 2 ,α 3 到 β 1 , β 2 , β 3 的过渡矩阵 P
(Tα i ,α j ) = −(α i ,Tα j ) ；
(Tα i ,α j ) = (a1iα1 + a2iα 2 + + aniα n ,α j ) = a ji ，
(α i ,Tα j ) = (α i , a1 jα1 + a2 jα 2 + + anjα n ) = aij ,
所以： aij = −a ji .
，则 lim n→∞
An
=
1

1 3
1 e
.
2 −1 3
9．
设
A
=

1 2
2 0
1 2

，则
A
的
LDU
分解为
1 0 0 2 0 0 1 −1 2 3 2
A
=

1
2
1
0


0
52
0


0
1
−
1
5

1 2 / 5 1 0 0 −4 / 5 0 0
Ai Aj = 0 (i, j = 1, 2, , n) .试用归纳法证明存在同一个可逆阵 P ∈ Cn×n 使
得对所有的 i (i = 1, 2, , n) 有 Ai = ai PEii P −1 ，其中 ai ∈ C .
证明： n = 1 时，命题显然. 假设 n ≤ k 时，命题成立.
当 n = k +1 时，设 rankA1 = r .
a + 2b + 4c = e2
b
+
4c
=
e2
⇒ a = e2,
2c = e2
b = −e2 ,
c = 1 e2 ; 2
eA
=
e2 (E
−
A
+
1 2
A2
)
=
e2

2 −2 −1
1 −1 −1
−1
2 2

.
0
六.（10
分）设
A
=
− 1 0

1
1
0 2
1
10．设
A
=

1 −2
2 5

，
B
=

2 2
2 4 4 8
04 ，则
A⊗
B
=

2
−4
−4
0 −8 0
4 10 10
0

.
20
0

二．（10 分）设T 为 n 维欧氏空间V 中的线性变换，且满足： (Tx, y) = −( x,Ty) ，
试证明：T 在标准正交基下的矩阵 A 为反对称阵（ A = − AT ）

1
2
1

5
0
−2 5
−1
0 所以 A = U∆V H =
0 2
2
1

5
0
5
0
10 2
0

1 2
0


5 0 0 0
1
2
wenku.baidu.com0

2
0

0 1
1 0
.
0
七．（10 分）设 0 ≠ Ai ∈ Cn×n ， rank Ai = rank Ai2 (i = 1, 2, , n) ，且当 i ≠ j 时
，υ
3
2
=
− 2

5
0 1

，υ
4
5 0
=

0 1
2 0 1
2

，U
=


5 0
2 5 0
0 −1
2 0
1 2
−2 5 0
1 5 0
0

1

2

;
0
=

−13 −2
−42 −7
−1 0

.
33
1
∑ ∑ 6 ． 设 A∈ C3×3 ， A = { m2
aij 2 }2 ， AA H 的 非 零 特 征 值 分 别 为 3, 5, 15 ，
j=1 i=1
则 A = 23 . m2
7．
设
A
=
1 −1
2 1
1 1
0 1
,
B
b
=
0
,
sin(
π 4
A) =
E
;
令 eλ = q(λ )(λ − 2)2 + a + bλ ，则 a + 2b = e2 , b = e2 .
2 1 −1
eA
=
−e2 E
+
e2
A
=
e2

−2 −1
−1 −1
2 2

.
待定系数二：
令 sin
π 4
λ
=
q(λ )(λ
−
2)3
+
a
+
证明：设α1 ,α2 , ,αn 为V 的标准正交基， A = {aij }n×n ，下证： aij = −a ji ：
由T (α1 ,α 2 , ,α n ) = (α1 ,α 2 , ,α n )A 知
Tα i = a1iα1 + a2iα 2 + + aniα n ， Tα j = a1 jα1 + a2 jα 2 + + anjα n ，
2
1 0
5
01 2
20 5
0 −1
−
2 5 0
1 5


2 0 0 0
0
0
5
0 0

1 0
0 1
.
2

解答二：
AH
A
=
2 0
0 5
，那么
A
的奇异值为
2,
5 ， AH A 对应于特征值
5，2
的标准特征向量为
j = 2, , n .
此时,再由 A1Aj = Aj A1 = 0 得到
A1
=
P1
a1 0
0 0
P1−1
=
a1P1
1 0
0 1 Q 0
0 1 0 0
0 Q−1

P1−1
;
记
P
=
P1
1 0
0 Q
，则
Aj
0 = P1 0
0 Bj

再由 Ai Aj = 0 得 Bi Bj = 0 (i ≠ j, i, j = 2, , n) ;
Bj
≠
0 , rank Bj
=
rank
B
2 j
也是明显的.
由 假 设 知 存 在 可 逆 阵 Q C ∈ (n−1)×(n−1) 使 得 Bj = a jQE jjQ−1 ， 其 中 a j ∈ C ，