人教版数学七上《圆中垂直弦问题》微课简介
圆中两互相垂直的弦的平方和
圆中两互相垂直的弦的平方和在几何学中，圆是一个非常重要的概念。
它的形状简单，但性质却非常复杂。
在圆中，有许多有趣的性质和定理，其中之一就是关于两互相垂直的弦的平方和。
本文将详细介绍这一性质及其证明过程。
首先，我们需要明确什么是圆中的弦。
在圆中，任意两点之间的连线称为弦。
弦的长度可以用勾股定理来计算，即弦的长度等于其两端点到圆心的距离之和再减去半径。
在圆中，有无数条弦，它们的长度各不相同。
接下来，我们来讨论圆中两互相垂直的弦。
所谓垂直，是指两条弦相交时，它们的夹角为90度。
在圆中，这样的弦有无数对。
我们可以从圆心出发，画一条与圆相切的直线，这条直线与圆的交点就是圆心到弦的距离。
这样，我们就可以得到一个直角三角形，其中一条直角边是圆心到弦的距离，另一条直角边是弦的长度。
现在，我们来证明圆中两互相垂直的弦的平方和等于半径的平方加上直径的平方。
为了方便起见，我们假设圆的半径为r，直径为d，两互相垂直的弦分别为AB和CD，其中A、B、C、D分别是弦与圆的交点。
根据勾股定理，我们有：AB^2 = r^2 - DA^2CD^2 = r^2 - DB^2由于AB和CD互相垂直，所以∠ACD = 90度。
因此，我们可以将这两个直角三角形组合成一个正方形AEFD。
在这个正方形中，我们有：AE^2 = AD^2 + DE^2AF^2 = DF^2 + EF^2由于AD = BD = r/2，DE = EF = d/2，所以我们有：AE^2 = (r/2)^2 + (d/2)^2AF^2 = (d/2)^2 + (d/2)^2将这两个等式相加，我们得到：AE^2 + AF^2 = (r/2)^2 + (d/2)^2 + (d/2)^2 + (d/2)^2 = r^2 + d^2由于AE = AF = r，所以我们有：r^2 = AE^2 + AF^2 = r^2 + d^2这意味着圆中两互相垂直的弦的平方和等于半径的平方加上直径的平方。
人教版数学九年级上册第24章圆24.1.2垂直于弦的直径(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂直于弦的直径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和圆规来构造垂直于弦的直径，并验证其性质。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂直于弦的直径》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要平分线段的情况？”（如剪绳子时如何确保两段长度相等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂直于弦的直径的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尽量用简洁明了的语言解释垂直于弦的直径的概念和性质。但我也意识到，对于一些学生来说，这些理论可能仍然难以消化。在今后的教学中，我需要更加注意用生动的例子和图示来帮助学生理解。
在实践活动环节，我发现分组讨论和实验操作让学生们更积极主动地参与到课堂中来。但我也注意到，部分学生在操作过程中还存在一些困惑。为了提高实践活动的效果，我考虑在下次课堂上增加一些提示和引导，让学生在操作中更容易理解垂直于弦的直径的性质。
-演示如何运用综合法和分析法证明垂径定理，让学生掌握证明过程；
-设计实际应用题目，让学生学会将垂径定理应用于解决问题。
2.教学难点
（1）理解垂直于弦的直径性质：学生需要理解为什么垂直于弦的直径会平分弦，并掌握这一性质；
（2）证明过程：学生在证明垂径定理时，可能会觉得证明过程复杂，难以理解；
（3）应用问题：学生在解决实际应用问题时，可能不知道如何运用垂径定理进行分析。
人教版数学《垂直于弦的直径》_上课课件
———（垂径定理）
【 获 奖 课 件 ppt】人 教版数 学《垂 直于弦 的直径 》_上 课课件 1-课件 分析下 载
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧 形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距 离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
OA2 AD2 OD2
即 解R得2分： 1R析8.：722 7O.A9(2Rm=A)D72.2+O2D2
其中OD=OC-CD
因此，赵州桥的主拱桥的半径约为27.9m。
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E
B
｛（3）平分弦
D
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
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③AE=BE,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
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平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且
D 平分弦所对的两条弧.（垂径定理推论）
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判断下列图形，能否使用垂径定理？
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》
人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。
本节课主要内容是让学生掌握垂径定理，理解并证明圆中的一些特殊性质。
通过学习，学生能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。
但部分学生对圆的性质理解不够深入，对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。
因此，在教学过程中，要注重引导学生发现圆中的垂直关系，培养学生动手操作和解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决圆中的问题。
2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高动手操作和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的性质的兴趣，培养学生团队协作和积极参与的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：圆中特殊位置关系的判断和证明。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生发现圆中的垂直关系。
2.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。
4.讲授法：教师讲解垂径定理及相关性质，引导学生理解和掌握。
六. 教学准备1.准备相关图形和实物，如圆、弦、直径等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或图形，展示圆中的垂直关系，引导学生关注垂直于弦的直径。
提问：你们发现了吗？垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的内容，并用多媒体展示垂径定理的证明过程。
让学生理解并掌握垂径定理。
3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用垂径定理解决问题。
教师引导学生思考和探究，解答学生的疑问。
数学人教版九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教案
1.教学重点
-理解垂直于弦的直径的定义：通过直观演示和实际操作，让学生明确什么样的直径是垂直于弦的，并能够准确地描述这一概念。
-掌握垂直于弦的直径的性质：分析并理解垂直于弦的直径所具有的性质，如平分弦、垂直平分弦等，并能够运用这些性质解决具体问题。
-应用垂直于弦的直径解决实际问题：培养学生将理论知识应用于解决实际问题的能力，如通过垂直于弦的直径的性质来求解圆的相关问题。
-与其他圆的性质的综合应用：在综合问题中，学生需要将垂直于弦的直径的性质与其他圆的性质结合起来，这对于学生来说是一个挑战。
举例：在讲解垂直于弦的直径的证明过程时，教师可以使用直观的动画或模型，逐步引导学生通过观察和思考，理解证明过程中的每一步。对于难点内容，如灵活运用性质，教师可以通过以下方法帮助学生突破：
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观：通过观察、操作、推理等过程，使学生理解并掌握圆的基本性质，提高对圆的认识，发展空间想象力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在学习垂直于弦的直径定义和性质的过程中，引导学生运用逻辑思维进行推理和证明，增强分析解决问题的能力。
举例：讲解垂直于弦的直径定义时，教师可以借助图形，如一个圆和一条弦，通过动画或实物演示，让学生观察并总结出垂直于弦的直径的特点。
2.教学难点
-理解垂直于弦的直径的证明过程：学生往往难以理解为什么垂直于弦的直径会具有平分弦的性质，以及如何通过几何证明来证实这一点。
-灵活运用垂直于弦的直径的性质：在解决具体问题时，学生可能难以迅速找到垂直于弦的直径，并有效地利用其性质来简化问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂直于弦的直径的基本概念。垂直于弦的直径是经过圆中心并且垂直于弦的线段。它在圆的性质中占有重要地位，因为它可以平分弦，并在几何图形中起到关键作用。
圆中垂直弦问题(圆的有关性质复习课)
复习课圆中垂直弦问题自主学习单课题圆中垂直弦问题一、学习要求：（1）复习与圆有关的一些性质。
（2）掌握一类教特殊而有规律的几何图形及变式，培养解决问题的能力。
二、学习重点：圆中有关性质及解决几何证明问题的思考方法。
三、学习难点：如何从已知条件中寻找解决问题的方法。
四、学习时间：一课时五、学习过程：问题提出：已知：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E ,BD=6，AC=8，求圆的半径。
探究一：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，探究∠AOC与∠BOD的大小关系探究二：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，讨论AC、CB、BD、DA、半径R之间的大小关系。
探究三：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，AB=a，CD=b，求四边形ACBD的面积。
探究四：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，过E作AC的垂线交AC于T，交DB于S，讨论SE、SD、SB三条线段的大小关系。
（反之，结论成立吗？）探究五：如图，四边形ACBD内接于⊙O ，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，讨论OG与CB的大小关系。
应用：一、解决“问题提出”中的问题；二、、已知：△ABC内接于⊙O ，高AD 、BE交与点G ,AD的延长线交⊙O与点F ,求证：DG = DF. 三、如图，⊙O中，AB⊥CD于E，若OG⊥AD，O F⊥BC，AD=BC,求证：四边形OFEG为菱形。
拓展探究六：基本条件：ΔABC 内接于⊙O ，AD为BC边上的高，AE为⊙O的直径，基本结论：AB•AC =AE•AD（AB•AC =h •2R）课后练习：如图所示，ABC∆为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CD AB⊥于D，设AD a=，BD=b．（1）分别用,a b表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．●归纳结论：根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+的大小关系是：____________________．●实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．。
垂直于弦的直径的应用课课件
应用
利用垂直于弦的直径来证 明平面图形中的一些定理 和性质
实例
利用垂直于弦的直径来计 算平面图形的面积和周长
03
CHAPTER
垂直于弦的直径在实际问题 中的应用
在建筑设计中的应用
建筑结构分析
垂直于弦的直径在建筑设计中可用于分析结构的稳定性。通过计算直径上的应 力分布，可以评估结构的承载能力和安全性。
案例三
总结词
日常生活用品中的垂直于弦的直径应用主要 体现在工具和家居用品的设计上。
详细描述
在日常生活中，许多工具和家居用品都利用 了垂直于弦的直径原理。例如，剪刀、餐具 等工具的设计中，通过垂直于弦的直径实现 受力点的优化，提高使用舒适度和效率。在 家居用品中，如椅子、桌子等，垂直于弦的 直径有助于提高家具的稳定性和承重能力， 保证使用的安全性和舒适性。
交通工具设计
在交通工具设计中，垂直于弦的直径也有广泛应用。例如， 在汽车、火车等交通工具的车身和部件设计中，通过分析直 径上的应力分布，可以优化车身结构和材料选择，提高其安 全பைடு நூலகம்和经济性。
04
CHAPTER
垂直于弦的直径的应用案例 分析
案例一：建筑设计中的垂直于弦的直径应用
总结词
建筑设计中的垂直于弦的直径应用主要 体现在空间布局和结构稳定性方面。
实例
利用直径和垂直于直径的弦来计算圆的面积和周 长
在三角形中的应用
01
02
03
定理
垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧
应用
利用垂直于弦的直径来证 明三角形的中线定理和平 行四边形定理
实例
利用垂直于弦的直径来计 算三角形的面积和周长
在其他图形中的应用
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆垂直于弦的定理说课PPT
七、教学反思：
3、本节课存在一些不足之处：首先，在新课引 入部分证明直径平分弦这一结论时，不能只 局限于学生添加半径作为辅助线这一结果上 ，还可以利用这一机会帮助学生对之前所学 的证明两条线段相等的几种方法进行回顾， 以使证明方法系统化，不单纯为一节课服务 ；其次，题型设计稍显单一，课后训练题量 不够，可以再找一些基础训练和典型题型， 让学生加深对垂径定理的理解；另外，本节 课只有垂径定理推论的具体内容，但没有相 应的习题训练，可在下节课进行系统设计。
2、学生已有的生活经验：学生在生活中经常会遇到有关圆的图 形,也喜欢动手操作，会对本节课比较感兴趣。同时，学生在之 前的学习中，已明确了学习具体程序，并能充分利用导学案， 具备了学习活动的经验基础。
3、学生已有的学习方式和学习习惯：进入初三，学生思维活跃， 求知欲强，对探索问题充满好奇，但学习积极性有所减退，自 我意识增强。同时，由于我所任教的班级学生大多数来自农村， 基础不一，两极分化较明显，在合作交流、探索新知等方面发 展很不均衡，在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。
22
OD=OC－CD=（R－7.23）m
C
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2 即 R2=18.52+（R－7.23）2
A
D
B
R
解得：R≈27.3
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
设计意图：回到情境引入，让学生明白数学来源于生活又应用于生活.
中考数学几何温习第七章圆第5课时垂径定理二教案
第七章：圆第5课时：垂直于弦的直径（二）教学目标1、使学生把握垂径定理的两个推论；2、会利用推论1作一些简单的作图题．3、继续培育学生观看、比较、分析、归纳问题的能力及动手操作的大体技术；教学重点：垂径定理的两个推论．教学难点：垂径定理的推论1．教学进程：一、新课引入：同窗们，上节课咱们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出那个定理的题设和结论．这时教师引导学生观看．若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的优弧；（5）平分这条弦所对的劣弧．将（2）和（3）对调，取得一个命题，将（1）和（3）对调，取得一个命题；然后将（2）和（4）或（5）对调，又取得一个命题．接着又将直径CD旋转到和弦AB平行时，又显现一个新命题．这时教师点题．“9．3垂直于弦的直径（二）”．适才取得的四个命题，确实是咱们本节要学习的垂径定理的两个推论．教师如此做的目的是让学生明白垂径定理的两个推论，确实是在原先定理的题设和结论做一小小的调换而取得的，使学生感觉新知识不新，容易产生爱好，减轻学生的心理压力，使学生充满着自信投入到教学活动中．二、新课讲解：为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处置上，没有象教科书那样直接给出推论1、推论2．而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发觉新命题，总结新命题，教师归纳出推论1．再进一步将垂径定理的直径旋转到和弦AB平行时，又取得一个新命题，也确实是推论2．如此不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也表现了知识的连贯性和系统性．如此既开发了学生的智力，又调动了学生学习的踊跃性和主动性．同时又增强了学生应用数学的意识．学习提问：请回答垂径定理内容，并叙述定理的题设和结论．学生回答，教师板书，画出图形．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分这条弦所对的两条弧．若①过圆心，②垂直于弦，则③平分弦④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．题设结论将②和③对调，可得新命题为：由于一个圆的任意两条直径相互平分，可是它们不必然是相互垂直的．因此取得上面命题的结论，必需加上“弦不是直径”这一条件．教师用文字叙述为：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；将①和③对调，又得新命题为：④直线CD平分ACB，⑤直线CD平分ADB．从而取得：（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弦；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧．以上三条是垂径定理的推论1；请同窗继续观看，当直径CD旋转与弦AB平行时，可得新的命题为：推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．教师引导学生回述证明进程．数学表述成为：AB∥CD = ．接着做练习：练习1：“平分弦的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧”这句话对吗？什么缘故？练习2：按图7-14填空：在⊙O中，（1）若MN⊥AB，MN为直径，则______，______，______；（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______，（4）若= ，MN为直径，则______，______，______．这两个练习题学生回答，学生评判．练习题做完后教师接着讲例3．例3 平分已知弧．教师引导学生回答已知，求作．已知：．求作：的中点．分析：要将两等分，如何确信的中点呢？学生在教师的启发下，想出作圆的方式，这时教师进一步提出问题；连结AB，作AB的垂直平分线交于点E，什么缘故能够说E点是的中点呢？依照什么？作图由学生自己完成．教师如此做的目的是引导学生学习平分弧的方法，通过踊跃试探取得解决方法，如此明白得深刻，不容易犯错．练习3：P．80中3（由学生完成）略．三、课堂小结：本节课要紧学习了垂径定理的两个推论．利用推论1举出平分弧的作图．四、布置作业P．84中14题．补充作业：1．已知：如图7-15，AB为⊙O的直径，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，垂足别离为C，D．求证：AE=BF．2．已知：如图7-16，AB为⊙O直径，CD为弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足别离为E，F．求证：（1）CF=DE（2）∠OEF=ZOFE。
中考数学几何温习第6课时垂直于弦的直径三教案
第七章：圆第6课时：垂直于弦的直径（三）教学目标：1、使学生能够熟练把握垂径定理及两个推论；2、使学生能够运用垂径定理及两个推论进行有关的证明和计算．3、通过例4的教学使学生了解垂径定理在实际问题中的应用，进一步提高学生用数学的意识；教学重点：垂径定理及推论的应用．教学难点：实际问题转化为数学问题．教学进程：一、新课引入：这节课的要紧内容是应用题例4，例4是一个实际问题，它反映了数学与生产实际的联系，它要求学生用数学的理论、思想、方式成立实际问题的数学模型，以解决实际问题．这对进一步培育学生分析问题和解决问题有专门大的帮忙．本节课确实是引导学生把例4的实际问题转化成一个数学问题，然后综合运用垂径定理、勾股定理来加以解决．为了进一步明白得运用垂径定明白得决实际问题，教师有目的地安排两组温习题，启发学生进行回答．温习提问：1．垂径定理内容是什么？2．判定题：①垂直于弦的直线平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧；（）②弦的垂直平分线必然平分这条弦所对的弧；（）③通过弦中点的直径必然垂直于弦；（）④圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦必然平行；（）⑤平分弦所对的一条弧的直径必然垂直平分这条弦．（）学生回答的对错，由学生之间评判，从而取得正确答案．其目的确实是为了强化所学过的垂径定理及推论1、推论2，为本节课做预备工作．二、新课讲解：例4 1300连年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为米，求桥拱的半径（精准到米）．同窗们，请看图7-18上这座石桥，这座桥确实是例4中的古代的赵州石拱桥，学生一边观看桥的结构，教师一边讲解：“赵州桥又名安济桥，位于河北省赵县城南洨河上，是我国现存的闻名古代大石桥，是隋代开皇大业年间（590～608）李春创建．桥为单孔，全长米，桥面宽约10米，跨径约为33米，拱圈矢高约7米，弧形平缓，拱圈由28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，又节省材料，又便于排水，且增美观，活着界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在那时亦属创举，这反映了我国古代劳动人民的聪慧与才能．此刻这座桥为全国重点文物爱惜单位．”教师一席话一方面向学生进行爱祖国的教育；另一方面激发学生的学习动机，点燃学生的思维火花，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态．教师为了让学生了解赵州石拱桥的背景，激发学生的求知欲望，当学生对这座桥产生好奇时，教师启发学生：“咱们如何来求出这座桥的半径呢”？接着教师分析：“咱们明白这是一座石拱桥，咱们能够把桥拱抽成一个几何图形，确实是一个圆弧形”．这时教师画出图7-19．关于一个实际问题求半径的长，可否转化成一个数学问题来解决呢？这就需要第一分析已知什么条件和欲求的未知是什么？师生一起分析解题思路．教师板书：解：圆表示桥拱，设的圆心为O，半径为R米．通过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于足C，依照垂径定理，D是的中点，C是AB的中点，CD确实是拱高．由题设AB=，CD=，OD=OC-DC=在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即 R2=+（）2解那个方程，得R≈（米）．答：赵州石拱桥的半径约为米．在例4的处置上，教师采取一边画图，一边分析，一边板书．目的让学生把握关于求弦、半径、弦心距及弓形高等问题，属于典型的数形结合问题，关于解决这种典型的问题确实是依据已知和未知设法构造直角三角形，通过那个直角三角形就能够把垂径定理和勾股定理有机地结合起来，就能够专门快地把未知转化为已知．从而所求问题得以解决．巩固练习：P．81中1题．在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=60mm，求油的最大深度．关于这道题要紧由学生分析，教师适当点拨．分析：要求油的最大深度，确实是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半能够构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．总结解题思路：巩固练习：教材P．82中2题（略）．三、课堂小结：本节课要紧要求学生综合运用垂径定理和勾股定明白得决圆中线段的长等问题．如图在⊙O中，设⊙O半径为R，弦AB=a，弦心距OD=d，弓形的高DE=h．且OE⊥AB于D．已知：①R、d，求a、h．②R、h，求a、d．③R、a，求d、h．④d、h，求R、a．………关于在⊙O中在R，a，d，h中，只要已知两个量就可求出另外的两个量．所应用的知识点是勾股定理和垂径定理．本节课要紧解题思路：四、布置作业：教材P．84中15、16题．教材P．85中4题（B组）。
数学人教版九年级上册探究圆内垂直的弦教案
探究圆内两条互相垂直弦学习目标：1、 进一步熟悉与圆有关的性质；2、 探究圆内两条相互垂直弦的相关结论，体会圆中丰富的几何特征，感受几何的无穷魅力;3、 在合作探究中进一步熟悉解题的思维方法，培养学生的逻辑思维能力。
一、课前预习，自能感知知识导学1、 垂径定理：________________________________________________________ CD 为⊙O 的直径，AB 是弦，AB ⊥CD ，___________、___________、___________.2、如图，在⊙O 中当CD 是非直径的弦时，弦AB ⊥CD ，会产生些什么样的结论呢？二、课中探究，自能发现【探究一】 1、 如图，在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，连接OA 、OD 、OB 、OC ，求证：∠AOC + ∠BOD=180°.2、如图，在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，连AC,BC,作直径CG ，求证：∠ACG= ∠BCE.【探究二】如图，在⊙O 中，弦AB ⊥CD 于E ，连接AC ，BD ，(1)求证：AC ²+BD ²=4r ².（2）过O作OF⊥AC于F，求证：BD=2OF【探究三】如图，在⊙O中，弦AB⊥CD于E，（1）M为AC的中点，连ME并延长交BD于N，求证：MN⊥BD.（2）作E N⊥BD ，延长NE 交AC于M，求证：M为AC的中点。
三、知识延伸，自能拓展（学以致用）如图，在⊙O中，弦AB⊥CD于E，OM⊥AC，ON⊥BD，AB=CD，求证：MENO为菱形。
【拓展练习】1、如图，在⊙O中，弦AB⊥CD于E ，AE=3，BE=2，CE=1，求圆的半径。
2、如图，在⊙O中，弦AB⊥CD于E，（1）连BD，过A作AF⊥BD交CD于G，求证：CE=GE.（2)连EF ，证明EF垂直于过B点的直径BH .。
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微课课题：《圆中垂直弦问题》
设计思路：本节课通过一个“已知圆中对角线互相垂直的两条弦长，求圆的半径”的问题引出“圆中垂直弦问题”，进而开始讨论和圆中垂直弦有关的几个重要结论。
通过一个比较有代表意义的题目，复习与圆有关的所用性质：圆的一些定义、圆心角与圆周角的关系、圆心角弧弦三者关系、圆内接四边形定理、垂径定理等等几何知识，同时也让学生明白：掌握一些“准定理”（就是某些满足一定条件的题目有些比较固定、有一定共性或规律的好的结论，它们虽不是定理，但熟记有关结论，可方便以后的答题），既能很好的掌握一些解题思路，更重要的是在今后的做题或者考试中可直接联想引用其结论，大大节约思考时间，提高解题效率。
微视频中分若干个环节，学生观看每个环节之后，可按暂停回忆知识点、思考问题、消化前面的内容等等。
开始是回忆知识点——老师说出必须的知识点，学生观看时可按暂停键去读课本或者看笔记再整理成新的复习笔记，然后是通过一个题目引入关于这类问题的六个探究，最后是完成三个应用，还有课外作业。
每个探究过程中，先通过PPT看到已知条件及探讨要求，接着打开课件中的链接进入到几何画板中进行图形观察和形象思维过程，猜想出结论，再思考其成立的理由，并有老师的点拨讲解（其间可按暂停思考后再看老师的点拨），最后在探讨完几个比较实用的结论后，再完成三个应用的解答（其间还是可先看PPT 中题目，按暂停键思考解决方法，并联想是哪个探究的应用，最后再看老师的讲解点拨）。