能控性能观性和极点配置设计

第六章 能控性能观性与极点配置设计 • 引言
– 基于状态空间描述的多变量系统
– 传递函数模型与状态空间模型的区别
反映系统外部特性 反映内部状态信息
– 经典控制理论与现代控制理论的关系
– 能控性和能观性概念
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问题
已知某系统状态空间模型为：
x 1 1 x2 0 0 3 x x4 0
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对于n个列向量fj(t),j=1,2,…,n,其线性相关是指存在某 些不全含为零的实常数j, j=1,2,…,n,使下式对区间[t0,t1] 中所有t均成立：
1 f1 t 2 f 2 t n f n t 0
如果只有j,j=1,2,…n全为零时，上式才成立，则称fj(t)， j=1,2,…,n为线性无关
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3阶系统状态能控性概念示意图
x2
x2 a
Ax1a , x2a , x3a
x2b
0
x3b
Bx1b , x2b , x3b x1b
x1a
x1
x3
x3a
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第六章 能控性能观性与极点配置设计
–一般能控性判据
• 能控性格兰姆矩阵非奇异
Lc e
0
t1
A
BB e
T AT
d
格兰姆行列式则为
det G det fi , f j nn


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•时间函数向量线性无关的充要条件 F(t)的列向量f1(t),f2(t),…fn(t)线性无关的充要条件是 F(t)的格兰姆矩阵非奇异，即detG 0
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第六章 能控性能观性与极点配置设计
• 系统能控性
–定义
• 若存在一个无约束的容许控制向量u(t),能在有 限的时间间隔内[t0,t1],将系统某一状态xi(t)初 始状态xi(t0)转移到任意终态xi(t1),则称该状态 xi(t)是能控的;若系统所有状态(即状态向量的 所有分量)都能控,则称该系统是完全能控的.
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分析结果： •与系统输入信号有关联的状态变量是x2,x4; •与系统输出信号有关联的状态变量是x2,x3；
•传递函数仅与系统的特征值 2 有关。
•状态空间模型表现系统为4阶系统，而传递函数则表 现系统仅为1阶系统 规律： 传递函数仅能反映出系统既能与输入信号有关又能与 输出信号有关的那部分特性，不能反映出系统的全部特性。
称为f1(t),…,fn(t)的格兰姆矩阵，式中
f , f f t f t dt
T i j i j t0
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t1
格兰姆矩阵还可表示为
T f 1 t t1 t1 G f1 t f n t dt F T t F t dt t0 T t0 f t n
能控性与能观性的概念
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第六章 能控性能观性与极点配置设计
•时间函数向量无关性
•时间函数向量线性无关性定义
设以定义在时间区间[t0,t1]上连续函数fij(t)为元素的矩阵
f11 t f12 t f1n t f t f t f t 21 22 2n F t fij t nm f1 t f 2 t f n t f t f t f t m2 mn m1
内积
• e At B 对区间[0, ∞)的时间t行线性无关 • 能控性矩阵满秩
Qc B AB A2 B An1 B
•


I A
x1 x y 0 1 1Leabharlann Baidu0 2 x3 x4
Y s 试求：该系统的传递函数 G s U s
解： 因 Gs CsI A1 B
0 0 0 s 1 0 s 2 0 0 而 sI A 0 s 3 0 0 0 0 0 s 4
注意：
•时间函数行向量线性无关的定义，在前述列向量线性无关 基础上稍加改动即可 •上述定义中，令m=1,即为过去所学的时间函数（标量）线 性无关定义
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•时间函数向量线性无关性条件 •格兰姆矩阵及其行列式 设f1(t),f2(t),…,fn(t)为m维列向量，则矩阵
G f i , f j nn

分析： •哪些状态变量与输 入信号有关？哪些 无关？ •哪些状态变量与输 出信号有关？哪些 无关？ •传递函数与哪些系 统特征值有关？与 哪些特征值无关？ •发现什么规律？
2
0
0 0
2
0 0
3
0
0 x1 0 0 x2 1 u 0 x3 0 4 x4 1
f1 , f1 f , f 2 1 f n , f1
f1 , f 2 f2 , f2


fn , f2
f n , f n
内积
f1, f n f 2 , f n
n×n维 实数阵
0 s 2 1 0 0 0 1 0 0 1
s 3 1
0
0 0
0 1 0 0 1 s 4 1 0 0

s 2 1 s 3 1

1 s 2
根据对角矩阵的逆矩阵性质，有
s 1 1 0 0 0 1 0 s 2 0 0 1 sI A 0 s 3 1 0 0 1 s 4 0 0 0
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所以传递函数为
s 1 1 0 G s 0 1 1 0 0 0 0