第22讲 振动导引

x
x 的原点在静平衡位置。
x = Ae−nt sin(ωdt + α ) ωd = ωn 1−ζ 2 （阻尼频率）
满足初始条件 x(0) = x0, x&(0) = v0 的解 A = x02 + (v0 + nx0 )2 ωd2 α = tan−1[ωd x0 (v0 + nx0 )]
阻尼比 ζ = 1称系统为临界阻尼； 阻尼比 ζ > 1称系统为过阻尼。
J zϕ&& = −kϕ
ϕ&& + ω 2ϕ = 0
ω = k Jz
简单振动系统及振动运动微分方程
例1: 质量为m长为l的均质杆OA悬挂在O点处，可绕O轴摆动。质量为M的滑块 用刚度系数为k的弹簧连接，并可沿杆OA滑动，如所示。杆OA铅直位置是系 统的平衡位置。忽略摩擦力。求系统微幅振动的固有频率。
z = Q0ei(ωt−ψ )
Q= 1
0
(ωn2 −ω 2 )2 +(2ωn)2
ψ = tg −1 2ωn (ωn2 −ω 2 )
m&x&+ cx& + kx = F0s in(ωt)
&x&+ 2nx& + ωn2x = (F0 m)sin(ω t) eiωt = cosωt + i sin ωt
x = (F0 m)im(z)
非共振响应
通解 x(t) = Asin(ωt + α ) − Ht (2ω) ⋅ cosωt
共振响应
有阻尼系统的强迫振动微分方程的解
假设 &z& + 2nz& + ωn2 z = eiωt 特解 z = Qeiωt
采用待定系数法得 Q(−ω 2 + i2ωn+ ωn2 ) = 1
Q = 1/[(ωn2 − ω 2 ) + i2ωn] = Q0e−iψ
用待定系数法得 Q = H (ωn2 − ω2 )
通解 x(t) = Asin(ωnt + α ) + H (ωn2 − ω2 ) sin ωt
2、共振情况 ω = ω n ，取 Q = q1t + q0
用待定系数法取 q1 = − H (2iω) , q0 = 0
xt (t) = q1teiωnt = Ht (2ω) ⋅ (sin ωnt − i cosωnt)
p t n−1 ( n −1)
+L
p1t
+
p0
设形式相同的解：x(t) = Q(t)eλt
Q(t)
=
qmt m
+
q t m−1 ( m −1)
+L+
q1t
+
q0
用待定系数法确定 Q(t)。
将假设的解代入原方程并约去公因子 eλt Q′′(t) + (2λ + a1)Q′(t) + (λ 2 + a1λ + a2 )Q(t) = P(t)
解: 取θ为广义坐标: x = h tanθ
( ) T
=
1 2
1 ml 2θ&2 3
+
1 2
Mx& 2
=
1 2
1 3
ml 2
+
Mh2 cos2 θ
θ&2
V = 1 kx2 + mg l (1− cosθ ) = 1 kh2 tan2 θ + mg l (1− cosθ )
2
2
2
2
d dt
⎝⎛⎜
∂L ∂θ&
¾ 临界阻尼 (ζ = 1) x = e−nt (C1 + C2t)
预备知识（II）：非齐次二阶线性常微分方程：
&x&+ a1x& + a2 x = f (t) 通解 = 齐次方程的通解 ＋ 任一个特解
对 t 的多项式与指数函数乘积形式的右端函数：
f (t) = P(t)eλt
P(t)
=
pnt n
+
=
F0Q0 m
sin(ωt
−ψ
)
β=
1
(1−λ2 )2 +(2ζλ )2
ψ=
tg −1
2ζλ (1−λ2 )
=
F0 k
β
sin(ωt
−ψ
)
λ = ω /ωn ζ = n /ωn
振动系统
流致 振动 水平振动输送机
复合振动 输送机
Pogo振动是液体推进火箭中的一种自
激振动现象。
1
典型的Pogo现象: 航天器运动中突然出现轴向的剧烈振 动，然后在一段时间内逐渐消失。
找到两个独立的解， 就可以得到通解表达式。
若 λ 满足特征方程 λ2 + a1λ + a2 = 0
直接验证 x = eλt 是原微分方程的解。
（1）当特征方程有两个相异的实根 λ1,λ2
x = C1eλ1t + C2eλ2t
（2）当特征方程有一个重根 λ
x = C1eλt + C2teλt
（3）当特征方程有一对共轭复根 λ1 = α + βi, λ2 = α − βi e(α ±βi)t = eαt (cos β t ± i sin β t) 欧拉公式
x1
x2
N自由度的线性振动方程具有N个
静平衡位置
静平衡位置
振动频率和模态(振型)
(ωi,ϕi ), i = 1,L, N
ΦT MΦ = I ΦT KΦ = Λ
一阶振型
Λ = diag(ω12 ,L,ωN2 )
二阶振型
例题: 建立图示系统的运动微分方程并求出系统的各阶固有频率及相应的振型
（使用图中给定的广义坐标）。
动画
EXAMPLE-4 悬臂梁
λ 不是特征方程的根时取 m = n ，
λ 是单根时取 m = n +1，λ 是二重根时取 m = n +1 。
例： 无阻尼强迫振动 &x&+ ωn2x = H sin ωt 方程 &x& + ωn2 x = Heiωt 解的虚部即为原方程的解。
假设特解 xt (t) = Q(t)eiωt
1、非共振情况 ω ≠ ωn ，取：Q = q0
θ&&+ ω 2θ = 0
振动频率 ω = (ml2 3+ Mh2) (kh2 + mgl 2)
小结: 角振动、线振动和系统振动具有 类似的力学模型和数学模型，均具有惯性 的参数和刚度参数。
m&x& + kx = 0 J zϕ&& + kϕ = 0
(ml2 3 + Mh2 )θ&& + (kh2 + mgl 2)θ = 0
c
fc = −cx&i
o 静平衡位置
x
x = Ae−nt sin(ωdt + α ) ζ <1
例题: 。建立图示系统的运动微分方程并求出系统的各阶固有频率及相应的
振型（使用图中给定的广义坐标）
f1(t)
f2(t)
解: 系统运动微分方程
k1
m1
k2
m2
Mx&& + Kx = fBiblioteka ⎡m1⎢ ⎣0
0 m2
⎤ ⎥ ⎦
−k3
位移向量 力向量
0 −k3
⎤
⎥ ⎥
,
x
=
⎧ ⎪ ⎨
x1 x2
⎫ ⎪ ⎬
,
f
=
⎧ ⎪ ⎨
f1 f2
⎫ ⎪ ⎬
(k3 + k4 )⎥⎦
⎩⎪ x3 ⎭⎪
⎩⎪ f3 ⎭⎪
在 m1 = m2 = m3, k1 = k2 = k3 = k4条件下，这个三自由度系统的个振型或模态：
一阶振型
二阶振型
三阶振型
电场激励纳米管的振动
简单振动系统及振动运动微分方程
扭摆轴对称物体由细弹性杆对称地悬挂，并能绕杆轴作 扭转振动的装置称为扭摆。已知物体的 Jz ，杆的扭转 刚度系数为 k。不计细杆质量与内阻力矩。试求扭摆作 扭转振动的周期。
解：细杆提供恢复力矩扭转刚体系数，
k = Mz ϕ
k：弹性轴或扭转弹簧产生单位转 角时所需要的扭矩。
eαt sin βt、eαt cos βt 也是方程的两个独立的解：
x = C1eαt sin βt +C2eαt cos βt = Aeαt sin(βt +ϕ)
方程 m&x& + cx& + kx = 0 &x&+ 2nx& + ωn2x = 0
特征解 x = e λt 特征方程： n = c 2m ωn = k m
m&x&+ cx& + kx = 0
阻尼比 ζ = n ω n
&x&+ 2ζωn x& + ωn2 x = 0
x = e λt λ2 + 2nλ + ωn2 = 0
λ1,2 = −n ± p p = ωn ζ 2 −1
x1,2 = e (− n ± p )t
¾ 过阻尼 (ζ > 1) x = e−nt (C1e pt + C2e− pt )
有阻尼自由振子的能量
m&x&+ cx& + kx = 0