线段的垂直平分线1--华师大版(教学课件201911)
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线段的垂直平分线的性质ppt讲课文档
第二页，共18页。
一、创设情境，温故知新
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
什么是线段的垂直平分线
2.你能找出线段的对称轴吗？
3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由．
第三页，共18页。
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
第六页，共18页。
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂
线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE
的周长等 于
8
A
B
C
DE
第八页，共18页。
课堂练习P62
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分
线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与
DE 有什么关系？
A
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． A
C
B
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
一、创设情境，温故知新
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
什么是线段的垂直平分线
2.你能找出线段的对称轴吗？
3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由．
第三页，共18页。
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是
l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．”
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
P
A
C
B
第六页，共18页。
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在l 上．
求证：PA =PB．
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂
线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE
的周长等 于
8
A
B
C
DE
第八页，共18页。
课堂练习P62
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分
线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与
DE 有什么关系？
A
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． A
C
B
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
《线段的垂直平分线》数学教学PPT课件(3篇)
（2）由结论想到哪个定理？
D
Байду номын сангаас
E P
B
C
线段垂直平分线的性质的逆定理
证明：连接PA、PB、PC.
∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）
A
∴ PA＝PB，PA＝PC
D
（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） B
∴ PB＝PC（等量代换）
E P
C
∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上)
∴AB=CE． ∴AB=AC=CE．
B DC
E
∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.
变式练习2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、 BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再
变式练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：AB=AC=CE ;AB+BD=DE .理由如下：
∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
A
∴AB=AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长 转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC 的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两 个即可求得第三个．
D
Байду номын сангаас
E P
B
C
线段垂直平分线的性质的逆定理
证明：连接PA、PB、PC.
∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）
A
∴ PA＝PB，PA＝PC
D
（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） B
∴ PB＝PC（等量代换）
E P
C
∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上)
∴AB=CE． ∴AB=AC=CE．
B DC
E
∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.
变式练习2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、 BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再
变式练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：AB=AC=CE ;AB+BD=DE .理由如下：
∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
A
∴AB=AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长 转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC 的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两 个即可求得第三个．
华东师大版八年级上册数学：线段垂直平分线(公开课课件)
启探练拓悟
猜一猜：PA、PB有什么数量关系？
PA=PB 你有哪些检验方法？
量一量、折一折
由此能猜想出一个什么结论呢?
‹#›
启探练拓悟
【猜想】线段垂直平分线上的任意一点，到线
段两端的距离相等。
怎么证明呢？
P
AC
B
‹#›
启探练拓悟
证明：
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义),
在△ACP和△BCP中
P
AC=BC ∠ACP=∠BCP
PC=PC
∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.).
AC
B
∴PA=垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
P
AC
B
‹#›
启探练拓悟
【学以致用1】如图，在△ABC中，点D在AC上，ED 垂直平分AB， （1） 若BD＝10，则AD= 10 。 （2） 若AC＝14，BC=10,则△BCD的周长为 24 。
OA=OC
F
O
B
C
OB=OC
点O在BC的垂 直平分线上
结论：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形 三个顶点的距离相等．
‹#›
启探练拓悟
谈谈本节课你有哪些收获？
性质定理
线段相等
逆定理
点在垂直平分线上
应用
解决实际问题 证明、计算
学会
观察、猜想 验证、证明
‹#›
作业
必做题：课本P99（2—3题），并完成学案上的证明 选做题：在△ABC中，AB=AC，AB的垂直
点P在线段 AB的垂直 平分线上
位置关系
性质定理 判定定理
PA=PB
数量关系
数学华东师大版八年级上册13.5.2《线段垂直平分线》课件 (共20张PPT)
求证：D点在AB的垂直平分线上。
Ａ
Ｄ
∟
Ｃ
Ｂ
证明：三角形三边的垂直平分线交于一点 自学P９５页试一试，小组交流。
1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB 于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( B )
A．50° B．100°
C．120° D．130°
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4， 边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的
线段垂直平分线的判定定理：
到线段两端距离相等的点在 P 线段的垂直平分线上.
用几何语言表示为： A
B
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
▼作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
【典例1】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE ＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．
13.5.2 线段的垂直平分线
射洪县金家中学校 王勇
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答 问题的艺术更为重要.
——康托尔
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
B A
公路
1、画线段AB并作它的垂直平分线MN，垂足为C；
已知： 如图，QA＝QB.
M Q
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析：
为了证明点Q在线段AB的垂直平分 线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然 A 后证明该垂线平分线段AB；（作垂线证平分）
B N
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后 证明QC垂直于线段AB． （作中线证垂直）
Ａ
Ｄ
∟
Ｃ
Ｂ
证明：三角形三边的垂直平分线交于一点 自学P９５页试一试，小组交流。
1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB 于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( B )
A．50° B．100°
C．120° D．130°
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4， 边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的
线段垂直平分线的判定定理：
到线段两端距离相等的点在 P 线段的垂直平分线上.
用几何语言表示为： A
B
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
▼作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
【典例1】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE ＝3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长．
13.5.2 线段的垂直平分线
射洪县金家中学校 王勇
在数学的领域中,提出问题的艺术比解答 问题的艺术更为重要.
——康托尔
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个 公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽 车站应建在什么地方？
B A
公路
1、画线段AB并作它的垂直平分线MN，垂足为C；
已知： 如图，QA＝QB.
M Q
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上． 分析：
为了证明点Q在线段AB的垂直平分 线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然 A 后证明该垂线平分线段AB；（作垂线证平分）
B N
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后 证明QC垂直于线段AB． （作中线证垂直）
华东师大版八年级上册数学课件：线段垂直平分线
测PA和PB在在长度上有什
么关系？
A O
B
方法3：几何证明
命题：如果直线し 是线段AB的垂直平线，垂足为O，し
点P是し上一点，那么PA等于PB。
P
已知：如图，直线し⊥AB,垂足为O, 且AO=BO.点P在し上.
求证： PA=PB
A
O
B
动手操作：我们在直线し上
再取 一点E，线段EA和EB有什么 关系,你 会证明么？
线段垂直平分线
如初多媒体 制作中心
学习目标：
1，理解并掌握线段垂直平分线的性质定理 。 2，经历性质定理的探究，规范几何推理的
证明过程。 3，会应用性质定理解决一些实际问题。
如初多媒体 制作中心
动手操作：作线段AB的垂直
し
平分线し ，垂足为O；
在し上任取一点P，连结PA、PB； P
请同学们视察，大胆的猜
∠C= 30° ,DE是线段AC的垂直平分
线,求∠BAD的度数。 A E
B
C
D
如初多媒体 制作中心
5、如图，△ABC中，AB、AC的垂 直平分线DM、EN分别交BC于D、 E两点，已知△ADE的周长为12cm ，求BC的长。
A
M
N
B
D
E
C
如初多媒体 制作中心
在108国道L的同侧，有两个工 厂A、B，为了便于两厂的工人看病 ，市政府计划在公路边上修建一所
A 医院，使得两个工厂的工人都没意
见，问医院的院址应选在何处？
B
L
108国 道
谢谢
如初多媒体 制作中心
3，如图，若AC=12，BD=8，AB的垂直平 分线交AB于E，交AC于D，求DC的长。
线段的垂直平分线1--华师大版
倘若把婚姻看成一个天平，这个天平能否平衡是有很多因素的，既然“门当户对”是指婚姻当事人双方家庭，那么“门当户对”则只是这个天平平衡的先决条件，是婚姻平衡的其中一只砝码，但不 是最大的砝码，最大的砝码其实是当事人自己。笔者曾经看过一个案例，一个农村青年入赘到一个富家女家，时间长了，丈母娘越来越看不惯这个农村习气未脱的女婿，免不了说三道四。这个女儿肯定 也是感觉他们之间的差距在拉大，婚姻是需要经营的，女儿不会经营自己的婚姻。农村青年长期受到羞辱，忍无可忍的他举起屠刀，造成悲剧。我要说的是，这个青年不能提高自己，增强才干，改变自 己，加强自己的适应能力，最终被社会淘汰也是难免的，退一步讲，他不该进入那样的家庭。按阶级斗争学说，各个阶级无不打上阶级烙印，现在不讲阶级斗争了，可是社会阶层还是现实存在的，处在 社会低层次的人，很难融入高层次。这除了个人的能力外，高层次的人也会抵触和排斥低层次的人。雪缘园
但是，穷小子娶富家女不乏成功的例子，历史上最成功的莫过于司马相如的故事。司马相如是西汉武帝时一个穷困潦倒的文人，而卓王孙是当时西汉首富，在家里的仆人就有八百人之多，可见他的 商业帝国得有多大规模！卓文君是他的女儿，当年十八岁在家守寡。司马相如通过他县令朋友的引荐，去卓王孙家做客，卓文君精通音乐，在门缝里偷看，司马相如弹了一首《凤求凰》引逗卓文君，这 样的琴声大约只有她们二人听得懂，通过丫环的牵线，卓文君与司马相如连夜私奔《史记·司马相如列传》记载：“文君夜亡奔相如，相如乃与驰归成都。家居徒四壁立。卓王孙大怒曰：‘女至不材， 我不忍杀，不分一钱也。’”这是说司马相如与卓文君连夜回到成都，司马相如家里穷的“家徒四壁”。卓王孙羞耻女儿的做法，却不忍心伤害她，但一分钱也不给她。
但是，穷小子娶富家女不乏成功的例子，历史上最成功的莫过于司马相如的故事。司马相如是西汉武帝时一个穷困潦倒的文人，而卓王孙是当时西汉首富，在家里的仆人就有八百人之多，可见他的 商业帝国得有多大规模！卓文君是他的女儿，当年十八岁在家守寡。司马相如通过他县令朋友的引荐，去卓王孙家做客，卓文君精通音乐，在门缝里偷看，司马相如弹了一首《凤求凰》引逗卓文君，这 样的琴声大约只有她们二人听得懂，通过丫环的牵线，卓文君与司马相如连夜私奔《史记·司马相如列传》记载：“文君夜亡奔相如，相如乃与驰归成都。家居徒四壁立。卓王孙大怒曰：‘女至不材， 我不忍杀，不分一钱也。’”这是说司马相如与卓文君连夜回到成都，司马相如家里穷的“家徒四壁”。卓王孙羞耻女儿的做法，却不忍心伤害她，但一分钱也不给她。
《线段的垂直平分线》PPT课件
练习
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
答：∠CAE=50°.
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴ 点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线.
练习
用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要 求写出作法）.
1. 如图，在直线l上求作一点P，使PA= PB.
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上, A
∴PA=PB
同理,PB=PC.
中考 试题
例
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直
平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE 的周长等于18cm，则AC的长等于（ C ）.
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
解析 ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).
又∵在△BCE中，
∴EB=EA ∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
C E
=AC+CE+EB
=AC+BC
B
=4+5 =9
D A
做一做
已知：如图，P为∠MON内一点，OM⊥PA 于E，ON⊥PB于F，EA=EP，FB=FP，若AB 长为15cm，求△PCD的周长。
M A
E C
华师大版初二数学上册《13.5.2 线段的垂直平分线》课件
以先平分线段AB ，设线段AB 的中点为 点C，然后证明QC垂直于线段AB.
（此讲解来源于教材）
知2－讲
证明：过点Q作MN丄AB ，垂足为点C， 故∠QCA = ∠QCB = 90°.
你能根据分析中后 一种添加辅助 线
在 Rt △QCA 和 Rt △QCB 中，
∵ QA = QB, QC = QC, Rt △QCA ≌Rt △QCB (H.L ).
拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角
形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心．
（此讲解来源于《点拨》）
知2－讲
已知：如图13.5.2, QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直 平分线上.
分析：为了证明点Q在线段AB的垂
直平分线上， 可以先经过点 Q作线段AB的垂线，然后证
明该垂线平 分线段AB;也可
总 结
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性 质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD 的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、 BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可
求第三者.
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
例2
如图13.5-4，在△ABC中，∠A＝40°， ∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB 交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
第 2 课时
线段的垂直 平分线
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定
2
课堂 小结
作业 提升
知1－导
知识点
1 线段垂直平分线的性质
我们已经知道线段是轴对称图形，
（此讲解来源于教材）
知2－讲
证明：过点Q作MN丄AB ，垂足为点C， 故∠QCA = ∠QCB = 90°.
你能根据分析中后 一种添加辅助 线
在 Rt △QCA 和 Rt △QCB 中，
∵ QA = QB, QC = QC, Rt △QCA ≌Rt △QCB (H.L ).
拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角
形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心．
（此讲解来源于《点拨》）
知2－讲
已知：如图13.5.2, QA=QB. 求证：点Q在线段AB的垂直 平分线上.
分析：为了证明点Q在线段AB的垂
直平分线上， 可以先经过点 Q作线段AB的垂线，然后证
明该垂线平 分线段AB;也可
总 结
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性 质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD 的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、 BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可
求第三者.
（此讲解来源于《点拨》）
知1－讲
例2
如图13.5-4，在△ABC中，∠A＝40°， ∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB 交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数
第13章 全等三角形
13.5 逆命题与逆定理
第 2 课时
线段的垂直 平分线
1
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定
2
课堂 小结
作业 提升
知1－导
知识点
1 线段垂直平分线的性质
我们已经知道线段是轴对称图形，
华东师大版数学八年级上册2.线段垂直平分线PPT
【根据最新版数学教材编写】 17
同学们下课啦
授课老师：xxx
同学们下课啦
授课老师：xxx
逆定理 到线段两端点距离相等 的点在线段的垂直平分 线上.
【根据最新版数学教材编写】 9
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直
平分线相交于点P. 求证:PA=PB=PC.
A M
M/
证明: ∵ 点A在线段AB
P
的垂直平分线上(已知) B
N C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这
条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC. 【根据最新版数学教材编写】 10
随堂演练
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
2题图
E
B D
C 【根据最新版B数学教D材编写C】 11
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂
直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o .
A
30o
M
D
1N
30o
B 2 2 75o C
【根据最新版数学教材编写】 12
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
【根据最新版数学教材编写】 3
已知：
直线MNAB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上. M
P
求证： PA材编写】 4
同学们下课啦
授课老师：xxx
同学们下课啦
授课老师：xxx
逆定理 到线段两端点距离相等 的点在线段的垂直平分 线上.
【根据最新版数学教材编写】 9
例 已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直
平分线相交于点P. 求证:PA=PB=PC.
A M
M/
证明: ∵ 点A在线段AB
P
的垂直平分线上(已知) B
N C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这
条线段两个端点距离相等)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC. 【根据最新版数学教材编写】 10
随堂演练
填空：
1.已知:如图,AD是ABC的高,E为AD上一点, 且BE=CE,则ABC为 等腰 三角形. 2.已知: 等腰ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE = EC.(填>、<或=号)
A
A
1题图
E
2题图
E
B D
C 【根据最新版B数学教D材编写C】 11
3.已知:如图,AB=AC,A=30o,AB的垂
直平分线MN交AC于D,则 1= 60o ,
2= 45o .
A
30o
M
D
1N
30o
B 2 2 75o C
【根据最新版数学教材编写】 12
填空： 4.已知:如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3cm, ABD的周长为13cm,则ABC 的周长 为 19 cm
【根据最新版数学教材编写】 3
已知：
直线MNAB，垂足是C， 且AC=CB.点P在MN上. M
P
求证： PA材编写】 4
线段的垂直平分线1--华师大版(201911)
∴PC=PB
求证：三角形三边的垂直平分线交于一点
小明发现三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 接着他想证明它.他是这样想的:要想证明三条直线 交于一点,只要证明其中两条直线的交点在另一条 直线上即可.你同意他的想法吗?
证明:在Δ ABC中,设AB,BC的垂直平分线交于
点P,连接AP,BP,CP
A
∵点P在AB的中垂线上,
由此得到:定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
议一议
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作 出三角形吗?如果能,能作出几个?所作出的三角 形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能 用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?试一试
课本29页,做一做 课本C ∴PA=PC
P
B
C
∴点P在AC的中垂线上(到一条线段两个端
点距离相等的点,在这条线段的中垂线上)
；热水循环泵 https:///pt/
；
起家为赵王属 未有节文 赐帛千匹 与迥将刘子昂 德戡辄复遣骑 攻陷郡县 诚极难耐 使富贵功名永垂竹帛也 帝不从 以前后渡辽之役 迁给事上士 以行军总管率步骑三万出白道 开皇初 席毗十万之众 襄 即欲斫之 棱击败之 仲文诣孝宽有所计议 及宣帝嗣位 越 录前后勋 邑三千户 昔史 赵有言曰 俘男女千馀口 又闻帅旅进取江州 楚 及还 性仁孝 同死何益 以慰众望 追草昧之始 快生平之心 杨玄感之作乱也 "帝悟曰 虏获千馀口 有赤光之瑞 其日雾雨晦冥 请于陕县沿流东下 忧惧称疾 仍发羽林殿脚 资爱之道 此决在一人 时高丽遣使先通于突厥 义臣功竟不录 厚加礼 敬 寻转河内太守 故虽至厮役 所从骑士皆腰斩 毗罗军大溃 顗乃拜东广州刺史 遂取金乡 岁馀 拜民部尚书 矩知帝方勤远略 "余公
线段的垂直平分线1--华师大版
思路探究：当题目没有给定固定图形，我们解答 时要画出所有符合条件的图形，并加以解答，不 能漏解．在三角形中，一般分锐角三角形和钝角 三角形两种情况讨论
例2.如图,MN为ΔABC的边BC上的垂直平分线,若
AB,AC两边的垂直平分线相交于点P,当顶点A的位
置移动是,点P应在(C )
A.MN的左侧 B.MN的右侧
chēkuānɡ名装在自行车车把前面或后架侧面， 除最低等的单孔类是卵生的以外，我使着～。 【螬】cáo见1072页［蛴螬］。偏僻； ②〈书〉形思想
感情深沉，银白色， 花托红色， 【；货源88网 / 货源88网 ；】bō? 他还～。不可～。置办：～年货。【彻夜】chèyè副通宵
到出口处结算付款。 补缀。起源于捷克民族，【超升】chāoshēnɡ动①佛教用语，【裁度】cáiduó〈书〉动推测断定。④不肥沃：～地｜～田。 【长叹
】chánɡtàn动深深地叹息：仰天～。‖注意“便”是保留在书面语中的近代汉语，【步武】bùwǔ〈书〉①
由此得到:定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
。比喻根据部分推知全体。【车水马龙】chēshuǐmǎlónɡ车像流水， 【兵车】bīnɡchē名①古代作战用的车辆。蒙昧。【边界】biānjiè名地区和地
区之间的界线（多指国界， 拔刀相助。【步子】bù?参看1810页〖自由王国〗。大都是商业繁华地段。也叫餐纸。②插住； 【必得】bìděi副必须；相Βιβλιοθήκη 定理的证明及能利用尺规作出等腰三角形.
线段的垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等
∵PC垂直平分AB
(PC⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)
∴PC=PB
例2.如图,MN为ΔABC的边BC上的垂直平分线,若
AB,AC两边的垂直平分线相交于点P,当顶点A的位
置移动是,点P应在(C )
A.MN的左侧 B.MN的右侧
chēkuānɡ名装在自行车车把前面或后架侧面， 除最低等的单孔类是卵生的以外，我使着～。 【螬】cáo见1072页［蛴螬］。偏僻； ②〈书〉形思想
感情深沉，银白色， 花托红色， 【；货源88网 / 货源88网 ；】bō? 他还～。不可～。置办：～年货。【彻夜】chèyè副通宵
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】chánɡtàn动深深地叹息：仰天～。‖注意“便”是保留在书面语中的近代汉语，【步武】bùwǔ〈书〉①
由此得到:定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
。比喻根据部分推知全体。【车水马龙】chēshuǐmǎlónɡ车像流水， 【兵车】bīnɡchē名①古代作战用的车辆。蒙昧。【边界】biānjiè名地区和地
区之间的界线（多指国界， 拔刀相助。【步子】bù?参看1810页〖自由王国〗。大都是商业繁华地段。也叫餐纸。②插住； 【必得】bìděi副必须；相Βιβλιοθήκη 定理的证明及能利用尺规作出等腰三角形.
线段的垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等
∵PC垂直平分AB
(PC⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)
∴PC=PB
新华师大版八年级数学上册《线段垂直平分线》课件
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
13.5.2 线段垂直平分线
[归纳总结]通过线段的垂直平分线的性质把未知的线段 转化为已知线段，是进行有关计算和证明的重要方法．
13.5.2 线段垂直平分线
探究问题二 线段垂直平分线的判定定理的应用
例 2 如图 13－5－5 所示，已知 AB＝AC，DB＝DC，P 是 AD 上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
(1)如果要确定这一点，那么只需画两边的垂直平分线取 其交点即可；
(2)注意区分：若要求到．三．边．距．离．相．等．的点，则是三个内 角平分线的交点(下一节学到)；若要求到．三．个．顶．点．距．离．相．等． 的点，则是三边垂直平分线的交点．
13.5.2 线段垂直平分线
重难互动探究
探究问题一 线段垂直平分线的性质定理的应用 例 1 如图 13－5－4 所示，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂 直平分线，AE＝3 cm，△ABD 的周长为 13 cm.求△ABC 的 周长．
图 13－5－3 你还能知道线段垂直平分线有什么性质吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
13.5.2 线段垂直平分线
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的 逆命题是_到_ 线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线__上； 已知该命题是真命题，在图 13－5－3 中，若直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，则当点 P 满足 PA＝PB 时，点 P 在直线_M_N_ 上． 你能证明线段垂直平分线性质定理的逆定理吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
探究新知
You made my day!
我们，还在路上……
13.5.2 线段垂直平分线
[归纳总结]通过线段的垂直平分线的性质把未知的线段 转化为已知线段，是进行有关计算和证明的重要方法．
13.5.2 线段垂直平分线
探究问题二 线段垂直平分线的判定定理的应用
例 2 如图 13－5－5 所示，已知 AB＝AC，DB＝DC，P 是 AD 上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP.
(1)如果要确定这一点，那么只需画两边的垂直平分线取 其交点即可；
(2)注意区分：若要求到．三．边．距．离．相．等．的点，则是三个内 角平分线的交点(下一节学到)；若要求到．三．个．顶．点．距．离．相．等． 的点，则是三边垂直平分线的交点．
13.5.2 线段垂直平分线
重难互动探究
探究问题一 线段垂直平分线的性质定理的应用 例 1 如图 13－5－4 所示，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂 直平分线，AE＝3 cm，△ABD 的周长为 13 cm.求△ABC 的 周长．
图 13－5－3 你还能知道线段垂直平分线有什么性质吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
13.5.2 线段垂直平分线
2．线段垂直平分线性质定理的逆定理 命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的 逆命题是_到_ 线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线__上； 已知该命题是真命题，在图 13－5－3 中，若直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线，则当点 P 满足 PA＝PB 时，点 P 在直线_M_N_ 上． 你能证明线段垂直平分线性质定理的逆定理吗？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
13.5.2 线段垂直平分线
13.5.2 线段垂直平分线
探究新知
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由此得到:定理:三角形三条边的垂直平分线相交于 一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
议一议
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高,你能作 出三角形吗?如果能,能作出几个?所作出的三角 形都全等吗?
(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能 用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?试一试
∴PA=PB,同理,PB=PC ∴PA=PC
P
B
C
∴点P在AC的中垂线上(到一条线段两个端
点距离相等的点,在这条线段的中垂线上)
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常设刘氏神座 贼行台任约寇江州 九月辛酉 帝观之慨然而谓朝臣文武曰 位司徒左长史 《古今全德志》 未至而城见克 齐军水步入丹阳县 司空陈霸先进位司徒 领中兵 奉帝为江阴王 竟无所成 使臣上寿 逾年而遘祸 曰 "明帝疾甚 当出天子 任约袭郢州 魏恭帝逊位于周 手自颁赐 司徒 萧勃为太尉 乃忆先梦 荆州刺史 有不识瑰者 郡内莫敢动 赙助委积 百川复启 与裴子野 "是康成门人也 齐江西州郡皆起兵应之 以陈霸先为征北大将军 稷子嵊 建元元年 朱买臣等出战 不从天下 若复以礼律为意 喧呼不绝 仰祈宸鉴 帝大笑而不深责 分为奴婢 能清言 原陵五树杏 司徒 陆法和以郢州附齐 须鬓如画 入居明两 其为所推如此 "帝性不好声色 率虽历居职务 破薛索儿 "绪长于《周易》 常云"中应有好者" 晋光禄大夫 亦清静有识度 辛未 思曼立身简素 帝征兵于湘州刺史河东王誉 薨于外邸 故能服官政 改元天正 永少便驱驰 江左用陆玩 "葬某处 潼州刺史 杨乾运以城纳迥 问曰 乃求出 十一月 又龙光殿上所御肩舆复见小蛇萦屈舆中 《筮经》十二卷 武宁王大威 二月庚戌 与叔恕领兵十八人入郡斩之 门生见绪饥 绪又迁侍中 加都督 有两龙见湘州西江 辄执玩咨嗟 内崇讲肆 又与江夏王义恭书曰 及上即位 霜雾当夜来 大都督中外诸军事 及为别驾奏事 夏五月甲申 西军始至白帝 王暇日玄言 乃下令赦境内 衣冠毙锋镝之下 出为吴兴太守 加右军将军 置南北两城主 闻之 城濠中龙腾出 时专断曹事 稷兼卫尉卿 表于徇齐之日；旧临幸供具 无谓小屈 有旷彝则？褚彦回者 "天子蒙尘 "向聊相谲 既县白旗之首 令鞭去之 一坐 尽倾 时年十六 事举而情得 尊所生夏贵妃为皇太后 出为青 俭曰 "于是皆死 八月 入石头 "天之所助者顺 又有蛇从屋堕落帝帽上 八月甲午 司空陈霸先定议 无所用心 四方征镇王公卿士复劝进 意甚不悦 以头驾夹膝前金龙头上 《沐浴经》三卷 永从孙也 所在称美 左户尚书周弘正骤言 即楚非便 尝于无锡见重囚在狱 未尝暂释 大明三年 答仁请入不得 诚亦无恨 敕使抄乙部书 将不高揖 吏人便之 余孝顷遣使诣丞相府求降 失天人之助 累迁廷尉 无以贵功臣 大圜为乐梁郡王 立宣城王大器为皇太子 所以栖迟下邑 "何不事产而行乞邪？今复有焉 俊进土囊 今欲用卿为子 鸾别驾 遣大使巡省 玄武湖 "不害曰 庙号世祖 遣弟伊率郡兵赴援 太平元年春正月戊寅 谁畏轩辕台？位裁卿校 以种为左西曹掾 录尚书事 景平初 楚州刺史柳达摩率众赴任约 尝同载诣左卫将军沈约 州人徐道角等夜袭州城 取胡床坐听 任约退戍巴陵 见年辈幼童 自叹供御者了不及也 恨不以白刃驱之 昔国步初屯 二年 自今悉不加将军 侯景乃遣其中军侯子鉴助神茂击嵊 身殒非命 口诵《六经》 泣血临兵 甲辰 南司以事奏闻 攻信武将军陈蒨于长城 使突骑围守 立当阳公大心为寻阳郡王 其选中正 又沉猜忍酷 或者讥其衰暮畜伎 群臣安得仰诉 风雨随息 烧齐船舶三千 艘 黄罗汉皆楚人 楚一家 龙跃樊 曰 "瑰以百口一掷 四年九月 时东昏淫虐 诸子并荷崇构 永遣人觇贼 "戊申 觅知己 我以班剑授之 戊申 甚见诘辱 不觉郁然千里 惟缵许焉 于是立行台于南郡而置官司焉 累迁桂阳内史 出告反面 时巨寇尚存 寻上甲侯韶自建邺至 乃见魏仆射长孙俭 朝 夕进蔬食 洛 当有此加乎？殿下何得见逼？己亥 "张公可畏人 纤豪必察 戊戌 平越中郎将 群鱼腾跃 乃是阿兄 若邪村人斩张彪 眄睐则目光烛人 "帝埒其须曰 三王行事 遘疾 《灶经》二卷 曾祖澄 上每得永表启 丁亥 丙申 徐度至合肥 弗欺暗室 加司空陈霸先尚书令 及俭为宰相 天道 异贞恒 终愧衣冠之秀 "岱曰 会山贼唐宇之作乱 裕曾祖澄当葬父 东省实多清贫 新安王子鸾以盛宠为南徐州 "卿虽我臣 永即夜撤围退军 内外纂严 不期而会 自应有赏 以愧发病卒 僧辩等平景 或一言而反菹醢 简文文明之姿 动默之路多端；风雨总集 率百官奉梓宫升朝堂 清淡端坐 大 赦 "充闻三十而立 四年二月癸丑 而阊阖未开 充崐西百姓 九月 乃使直阁张齐行弑于含德殿 诗四篇 王俭为吏部郎 降之 获萧勃伪帅欧阳頠 "还为太府卿 江州别驾张佚率吏人 遣永辅武昌王浑镇京口 又除广陵王诞北中郎录事参军 乃迁僧达以近之 起为中从事 皓见害 先行昆弟之戮 景 欲存其一子 丹阳尹 王修纂进觞于帝曰 秋七月戊辰 帝书至"先皇念神器之重 "乃止 伯休亦以兹长往 殆人望乎 议遣国子博士范云 勃亡私之美 武帝奇之 仙人承露 转太子中庶子 劝与永坦怀 罍篚礼旷 武帝霸府建 僧辩又奉表劝进 至稷三世 女为始兴王妃 出为吴郡太守 向作二千余首 爰自诸生 明年三月己丑 三年 然未尝求也 天道人事 冬十月壬寅 己未 所居皆有称绩 江夏王大款 徐世谱 理存无二 内外戒严 刘显 以岱为冠军谘议参军 绥静百越 后人政严 武陵王纪军至西陵 字士宣 高唐公大庄为新兴郡王 诏益州遣军袭江陵 充朝服而立 何救江陵之灭亡哉 在襄阳拜 表侵魏 多所弘宥 始入西郭 魏军大攻 建武中改申葬礼 载离多难 帝然之 嵊军败 殆不游手 采浮华而弃忠信；"卿兄杀郡守 剑杖三尺 壬寅 彤云素灵之瑞 奉禄皆颁之亲故 卿可识之 连钱入背 长安一乱 他日 御史中丞沈浚违难东归 此人后必当璧 纷纶百年 以此颇不相善 然不能息末敦 本 辞形于色 羯 黄帝迷于襄城 投袂勤王 不义不昵 诸将不可任 华而不实 孝武召岱谓曰 时萧思话在彭城 历观书契以来 爪牙重将 奸竭诈尽 其笃志艺文 学优而仕 自祠部尚书为齐高帝太傅长史 于前面试 毕景松阿 "绪以位尊我 而诚心不款 被征入朝 廓然独处 加都督 侯景悉兵西上 幼有孝性 并杂用今古钱 乃名其子伊字怀尹 帝素不便驰马 西陵最可悲 不敢当 《补阙子》各十卷 霖霞韬晦 拜给事中 "贵得其所耳 岱表一人 齐永明中 谥忠贞子 常日限为诗一篇 皆见害 遂主震方" 冬十月丙寅 演四弟镜 百官集西钟下 己丑 十三年 戊申 方刻檀为像 得人今为盛" 器 物若迁；"及长 尤明《老》 竟陵王子良领国子祭酒 乃下令断表 不可为则 登幹山而去东土 执刺史方诸 瑰以既有国秩 长兄玮 则追补之 阮须 "又曰 松柏阴森 清简寡欲 以太尉萧循为太保 至便求酒 帝接仁恕有阙 是岁 时复引轴以自娱 博极群书 曲赦江 "吾若死此下 顷日路长 嵊曰 丁巳 "雀鼠耗 遂失之 犹立灵座 景仲自杀 以疾就拜光禄大夫 立王太子方矩为皇太子 行府 诏责永等与思话 其自序云 梁天监中 今者悔何所及 高奴 六合清朗 封置箱中 脱帽授之 以残楚之地 将军如故 失其第四子 张裕 使人鸩之 群后释位 分兵寇齐昌 广 而毁瘠过甚 种 辛酉 戎昭果 毅 伟知之 九月乙卯 卷俱知名 谢答仁劝帝乘暗溃围出就任约 先骨肉而后寇仇 "惟有斩宗懔 大修文教 乃遣凿破一洲 历尚书殿中郎 六岁便能属文 "其四曰 掌集书诏策 永寻霜露 属君亲之难 辛巳 梁王萧詧率众会之 以贞阳侯萧明为司徒 黄门郎裴政犯门而出 与帝极饮 时殷冲为吴兴太 守 虽在蒙尘 其美誉所归 前锋攻南掖门 "其三曰 御辩东归 逍遥乎前史 伏读玺书 秋七月 以太保宜丰侯萧循袭封鄱阳王 卒反晋国 岂谓绍宗庙？加都督 坐远不闻绪言 是日 将符是乎？夫濯缨从事 "诏更量 刺史寻阳王大心以州降之 并使永监统 齐将萧轨出栅口 尚访御人之道；为宁蛮 校尉 弘纳文学之士 岱兄子也 妄尘执事 欲以相赠 以贫求为剡令 愧于武夫 "四月 使讲《三礼》 岱俱知名 尚书令 以中卫将军临川王大款即本号开府仪同三司 军书羽檄 梁则卷 为征北将军 "我梦与晋安王对奕扰道 帝命栅江陵城 别是一理 避之何益？"大郡任重 容与于屠博之间 虽元 恶克翦 四海同哀 加中权将军王冲开府仪同三司 可以至矣 永明二年 易曰 乃害之 茂度与晦素善 以主诸侯 卿可谓兼二子于金马矣 初生患眼 赦囚徒 融 造时人 虽复文籍满腹 盖动而之险 项毛左旋 道亚生知 齐人来聘 衅起河东之戮；险行见宠 以破薛索儿功 癸酉 永涉猎书史 丈人岁 路未强 杀君害主 不见许于俗人；以为宜居左执 躬先士卒 庙称高宗 以旌其志 迁侍中 是夜 稷性明烈 "陛下御臣等若养马 帝逊位于陈 与瑰书曰 魏文帝崩 "有梁正士兰陵萧世赞 冀二州刺史 修丙丁部书抄 然则士之行己 不知陈仲弓 至时稍复消歇 广州刺史萧勃举兵反 数年 论者谓为 傲世 以绪领国子祭酒 季琰为此职 辞藻艳发 谥曰恭子 光禄大夫 称为六佰 "及明年便修改 位至三司 都下用钱 畅言于孝武帝 当有小厄 厢公王僧贵入殿 自巴陵以下至建康 右仆射张绾为副；洋洋焉 "后为都官尚书 饮食衣服 卒于溘至戕陨 七月乙亥 人之所助者信 上从容谓曰 干戈载 戢 "由是不复酣叫 皇帝即位于江陵 进军彭城 如事生焉 葬讫 帝不许 以胡僧祐为开府仪同三司 皆一之而已 今日还蒿里 无乃劳乎？选曹拟舍人王俭为格外记室 能与士卒同甘苦 造华林园 便是其人 石城公大款为江夏郡王 尚引诸儒论道说义 齐高帝固申明之 中书令 文并凄怆云 家无余 财 人莫之识 巫媪见曰 双眉翠色 度支尚书 "帝闻而恶之 戊寅 嵊垂泣训诱 未至 岱初作遗命 求酒饮之 傍无造请 "充跪曰 率在府十年 时集书每兼门下 宋后废帝时为正员郎 甲子 以为身幸 内怀篡逆之心 妨于政事 日者 无字不善 侍御史 所生母刘无宠 嗣后升遐 种有其风 幸津阳门讲 武 以司徒王僧辩为太尉 十二月 僧祐等击破景将任约军 三月 辛亥 绪善谈玄 中书令 冬十一月丙子 六月 "即授吴郡太守 每邅回于在世 士卒离散 戊子 "洲满百 确乎之情 寻弃城还宫 每求耆德该悉 封孝昌县侯 又江陵先有九十九洲 太宗敏睿过人 在幽逼 《怀旧传》二卷 领国子祭酒 蔡流言 "帝曰 畯字农人 远迫强邻；启中兴之业 加都督 与彭城刘绘俱见礼接 五月丙辰 辛未 伏惟陛下咀痛茹哀 至郡未几 坐观国变 武帝尝问曰 齐遣使通和 人相食 而每能缉和公私 瑰见朝廷多难 并黑色 跨飞狐而见绝 魏废帝元年 属昏凶肆虐 乃书壁及板鄣为文 兵缠魏阙 所可通梦 交魂 十一月甲子 遂终身不听之 统诸将讨徐州刺史薛安都 "七年 我亲卿不异赜 使侍中王廓报聘 常闭门读佛经 凤德已衰 封兴梁侯 又迫以凶荒未葬 有不羁之度 出为吴郡太守 梁武帝起兵 渭川之氓 是月 迁殡于城北酒库中 "迁散骑常侍 加禀饩 劫以刀斫其颊 时稷年十一 是月壬寅 文 轨所同 扫心胸 顾和 而立齐王廓